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Programa escolar (Polonia)

Matemáticas — 12.º curso

Matemáticas en 4.º de bachillerato y escuela técnica: geometría del espacio y cuerpos de revolución, estadística, probabilidad condicionada y esquema de Bernoulli, y en el nivel avanzado, límites de funciones y derivadas — y repaso para el examen de selectividad. Ejercicios listos para imprimir para cada tema.

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¿Qué aprende un estudiante en matemáticas en el 4.º curso de liceo?

En 4.º curso, el estudiante calcula volúmenes y áreas de prismas, pirámides y cuerpos de revolución, así como longitudes de segmentos y áreas de secciones en cuerpos geométricos. En estadística, calcula la media, la media ponderada y la mediana, y en probabilidad utiliza la probabilidad condicionada, la fórmula de la probabilidad total y el esquema de Bernoulli. En el nivel avanzado, estudia el límite de una función y la derivada: la recta tangente a la gráfica, la monotonía y los extremos. El 4.º curso finaliza con el examen de selectividad (matura), por lo que se repasa todo el temario de la educación secundaria.

Información importante sobre el currículo: el currículo para el liceo y la escuela técnica está formulado por bloques: describe lo que el estudiante domina al finalizar la educación secundaria, por separado para el nivel básico y el avanzado. La asignación de los temas a cada curso responde a nuestro criterio según la distribución habitual de la materia; en la sección «Contenido curricular» se muestran los puntos del currículo con citas.

Estado de la página: los ejercicios de este curso están disponibles en formato directo (solo el enunciado y la fórmula); los ejercicios con figuras, las demostraciones y los problemas contextualizados se irán incorporando en fases posteriores.

Alcance del currículo

  1. Punto del currículo MAT.LO.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Números reales

    nuestra traducción · texto original (PL): Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Punto del currículo MAT.LO.1.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    realiza operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación, logaritmación) en el conjunto de los números reales

    nuestra traducción · texto original (PL): wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

  3. Punto del currículo MAT.LO.1.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    realiza demostraciones sencillas sobre la divisibilidad de números enteros y los restos de la división, p. ej.:

    nuestra traducción · texto original (PL): przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Punto del currículo MAT.LO.1.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica las propiedades de las raíces de cualquier grado, incluidas las raíces de grado impar de números negativos

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

  5. Punto del currículo MAT.LO.1.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la relación entre la radicación y la potenciación y las leyes de las operaciones con potencias y raíces

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

  6. Punto del currículo MAT.LO.1.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la monotonía de la potenciación, en particular las propiedades: si x < y y a > 1, entonces ax < ay, mientras que cuando x < y y 0 < a < 1, entonces ax > ay

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Punto del currículo MAT.LO.1.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza el concepto de intervalo numérico, representa intervalos en la recta numérica

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Punto del currículo MAT.LO.1.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la interpretación geométrica y algebraica del valor absoluto, resuelve ecuaciones del tipo: |x + 4| = 5

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Punto del currículo MAT.LO.1.P.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las propiedades de la potenciación y la radicación en situaciones prácticas, incluido el cálculo de intereses compuestos, ganancias de depósitos y costes de créditos

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

  10. Punto del currículo MAT.LO.1.P.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la relación entre la logaritmación y la potenciación, utiliza las fórmulas del logaritmo de un producto, el logaritmo de un cociente y el logaritmo de una potencia.

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

  11. Punto del currículo MAT.LO.1.P.2.a · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    demostración de la divisibilidad por 24 del producto de cuatro números naturales consecutivos

    nuestra traducción · texto original (PL): dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Punto del currículo MAT.LO.1.P.2.b · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    demostración de la propiedad: si un número al dividirse entre 4 da resto 3, entonces no es el cuadrado de un número entero

    nuestra traducción · texto original (PL): dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Punto del currículo MAT.LO.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Expresiones algebraicas

    nuestra traducción · texto original (PL): Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Punto del currículo MAT.LO.2.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica las fórmulas de los productos notables para: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

  15. Punto del currículo MAT.LO.2.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    suma, resta y multiplica polinomios de una y varias variables

    nuestra traducción · texto original (PL): dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

  16. Punto del currículo MAT.LO.2.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    extrae fuera del paréntesis un monomio de una suma algebraica

    nuestra traducción · texto original (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

  17. Punto del currículo MAT.LO.2.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    multiplica y divide expresiones racionales.

    nuestra traducción · texto original (PL): mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

  18. Punto del currículo MAT.LO.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Ecuaciones e inecuaciones

    nuestra traducción · texto original (PL): Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Punto del currículo MAT.LO.3.P.1 · Contenidos de enseñanza

    transforma ecuaciones e inecuaciones de forma equivalente, entre ellas, p. ej., transforma de forma equivalente una ecuación racional (ejemplo en la norma)

    nuestra traducción · texto original (PL): przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

  20. Punto del currículo MAT.LO.3.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpreta ecuaciones e inecuaciones lineales incompatibles y de identidad

    nuestra traducción · texto original (PL): interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

  21. Punto del currículo MAT.LO.3.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve inecuaciones lineales con una incógnita

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

  22. Punto del currículo MAT.LO.3.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve ecuaciones e inecuaciones cuadráticas

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Punto del currículo MAT.LO.3.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve ecuaciones polinómicas de la forma W(x) = 0 para polinomios llevados a la forma factorizada.

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Punto del currículo MAT.LO.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Sistemas de ecuaciones

    nuestra traducción · texto original (PL): Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Punto del currículo MAT.LO.4.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, da la interpretación geométrica de sistemas determinados, indeterminados e incompatibles

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

  26. Punto del currículo MAT.LO.4.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica sistemas de ecuaciones para resolver problemas con enunciado.

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Punto del currículo MAT.LO.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Funciones

    nuestra traducción · texto original (PL): Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Punto del currículo MAT.LO.5.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    define las funciones como una asignación unívoca mediante descripción verbal, tabla, gráfica, fórmula (también mediante diferentes fórmulas en diferentes intervalos)

    nuestra traducción · texto original (PL): określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Punto del currículo MAT.LO.5.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula el valor de una función dada por una fórmula algebraica

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Punto del currículo MAT.LO.5.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    lee e interpreta los valores de funciones definidas mediante tablas, gráficas, fórmulas, etc., también en situaciones de uso múltiple de la misma fuente de información o de varias fuentes simultáneamente

    nuestra traducción · texto original (PL): odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Punto del currículo MAT.LO.5.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    lee a partir de la gráfica de una función: el dominio, el recorrido, los ceros, los intervalos de monotonía, los intervalos en los que la función toma valores mayores (no menores) o menores (no mayores) que un número dado, los valores máximo y mínimo de la función (si existen) en un intervalo cerrado dado y los argumentos para los cuales la función alcanza los valores máximo y mínimo

    nuestra traducción · texto original (PL): odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Punto del currículo MAT.LO.5.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpreta los coeficientes que aparecen en la fórmula de la función lineal

    nuestra traducción · texto original (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Punto del currículo MAT.LO.5.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    determina la fórmula de una función lineal a partir de información sobre su gráfica o sobre sus propiedades

    nuestra traducción · texto original (PL): wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

  34. Punto del currículo MAT.LO.5.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    esboza la gráfica de una función cuadrática dada por una fórmula

    nuestra traducción · texto original (PL): szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Punto del currículo MAT.LO.5.P.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpreta los coeficientes que aparecen en la fórmula de la función cuadrática en forma general, canónica y factorizada (si existe)

    nuestra traducción · texto original (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Punto del currículo MAT.LO.5.P.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    determina la fórmula de la función cuadrática a partir de información sobre esta función o sobre su gráfica

    nuestra traducción · texto original (PL): wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Punto del currículo MAT.LO.5.P.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    determina el valor máximo y mínimo de una función cuadrática en un intervalo cerrado

    nuestra traducción · texto original (PL): wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Punto del currículo MAT.LO.5.P.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las propiedades de la función lineal y cuadrática para interpretar cuestiones geométricas, físicas, etc., también enmarcadas en un contexto práctico

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Punto del currículo MAT.LO.5.P.12 · Contenidos de enseñanza

    a partir de la gráfica de la función y = f(x) esboza las gráficas de las funciones y = f(x − a), y = f(x) + b

    nuestra traducción · texto original (PL): na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Punto del currículo MAT.LO.5.P.13 · Contenidos de enseñanza

    utiliza la función f(x) = a/x, incluida su gráfica, para describir e interpretar cuestiones relacionadas con magnitudes inversamente proporcionales, también en aplicaciones prácticas

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Punto del currículo MAT.LO.5.P.14 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las funciones exponencial y logarítmica, incluidas sus gráficas, para describir e interpretar cuestiones relacionadas con aplicaciones prácticas.

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Punto del currículo MAT.LO.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Sucesiones

    nuestra traducción · texto original (PL): Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Punto del currículo MAT.LO.6.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula los términos de una sucesión definida por una fórmula general

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Punto del currículo MAT.LO.6.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula los primeros términos de sucesiones definidas recursivamente

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Punto del currículo MAT.LO.6.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    en casos sencillos analiza si una sucesión es creciente o decreciente

    nuestra traducción · texto original (PL): w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Punto del currículo MAT.LO.6.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    comprueba si una sucesión dada es aritmética o geométrica

    nuestra traducción · texto original (PL): sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Punto del currículo MAT.LO.6.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la fórmula del término n-ésimo y de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Punto del currículo MAT.LO.6.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la fórmula del término n-ésimo y de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Punto del currículo MAT.LO.6.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las propiedades de las sucesiones, incluidas las aritméticas y geométricas, para resolver problemas, también enmarcados en un contexto práctico.

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Punto del currículo MAT.LO.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Trigonometría

    nuestra traducción · texto original (PL): Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Punto del currículo MAT.LO.7.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las definiciones de las funciones: seno, coseno y tangente para ángulos de 0° a 180°, en particular determina los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 30°, 45°, 60°

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Punto del currículo MAT.LO.7.P.2 · Contenidos de enseñanza

    utiliza las fórmulas sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    nuestra traducción · texto original (PL): korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Punto del currículo MAT.LO.7.P.3 · Contenidos de enseñanza

    aplica el teorema del coseno y la fórmula del área del triángulo P = ½ · a · b · sin γ

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Punto del currículo MAT.LO.7.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula los ángulos de un triángulo rectángulo y las longitudes de sus lados con los datos adecuados (resuelve triángulos rectángulos, incluido el uso de funciones trigonométricas).

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Punto del currículo MAT.LO.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Planimetría

    nuestra traducción · texto original (PL): Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Punto del currículo MAT.LO.8.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    determina radios y diámetros de circunferencias, longitudes de cuerdas de circunferencias y de segmentos tangentes, incluyendo el uso del teorema de Pitágoras

    nuestra traducción · texto original (PL): wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Punto del currículo MAT.LO.8.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos dadas las longitudes de los lados (entre otros, aplica el teorema recíproco de Pitágoras y el teorema del coseno); aplica el teorema: en un triángulo, al ángulo interior mayor se opone el lado más largo

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Punto del currículo MAT.LO.8.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce polígonos regulares y utiliza sus propiedades básicas

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Punto del currículo MAT.LO.8.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las propiedades de los ángulos y las diagonales en rectángulos, paralelogramos, rombos y trapecios

    nuestra traducción · texto original (PL): korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Punto del currículo MAT.LO.8.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica las propiedades de los ángulos inscritos y centrales

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Punto del currículo MAT.LO.8.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica las fórmulas del área del sector circular y de la longitud del arco de circunferencia

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Punto del currículo MAT.LO.8.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica el teorema de Tales

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Punto del currículo MAT.LO.8.P.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza los criterios de semejanza de triángulos

    nuestra traducción · texto original (PL): korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Punto del currículo MAT.LO.8.P.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las relaciones entre los perímetros y entre las áreas de figuras semejantes

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Punto del currículo MAT.LO.8.P.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    indica los puntos notables básicos de un triángulo: centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, ortocentro, baricentro y utiliza sus propiedades

    nuestra traducción · texto original (PL): wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Punto del currículo MAT.LO.8.P.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    realiza demostraciones geométricas

    nuestra traducción · texto original (PL): przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Punto del currículo MAT.LO.8.P.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica funciones trigonométricas para determinar longitudes de segmentos en figuras planas y calcular áreas de figuras.

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Punto del currículo MAT.LO.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Geometría analítica en el plano cartesiano

    nuestra traducción · texto original (PL): Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Punto del currículo MAT.LO.9.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce la posición relativa de rectas en el plano a partir de sus ecuaciones, incluyendo hallar el punto común de dos rectas, si existe

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Punto del currículo MAT.LO.9.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las ecuaciones de rectas en el plano, en forma explícita y general, entre ellas determina la ecuación de una recta con propiedades dadas (tales como, p. ej., pasar por dos puntos dados, pendiente conocida, paralelismo con otra recta)

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Punto del currículo MAT.LO.9.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula la distancia entre dos puntos en el sistema de coordenadas

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Punto del currículo MAT.LO.9.P.4 · Contenidos de enseñanza

    utiliza la ecuación de la circunferencia (x − a)² + (y − b)² = r²

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Punto del currículo MAT.LO.9.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    determina las imágenes de circunferencias y polígonos en simetrías axiales respecto a los ejes del sistema de coordenadas, simetría central (con centro en el origen del sistema de coordenadas).

    nuestra traducción · texto original (PL): wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Punto del currículo MAT.LO.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Estereometría

    nuestra traducción · texto original (PL): Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Punto del currículo MAT.LO.10.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce la posición relativa de rectas en el espacio, en particular rectas perpendiculares que no se cortan

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Punto del currículo MAT.LO.10.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza el concepto de ángulo entre una recta y un plano y el concepto de ángulo diedro entre semiplanos

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Punto del currículo MAT.LO.10.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce en prismas y pirámides ángulos entre segmentos (p. ej., aristas, aristas y diagonales) y ángulos entre caras, calcula las medidas de estos ángulos

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Punto del currículo MAT.LO.10.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce en cilindros y en conos el ángulo entre segmentos y el ángulo entre segmentos y planos (p. ej., el ángulo de apertura del cono, el ángulo entre la generatriz y la base), calcula las medidas de estos ángulos

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

    Cálculo del área superficial del cilindro, el cono y la esfera (en nuestro curso 12)

  79. Punto del currículo MAT.LO.10.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula volúmenes y áreas de la superficie de prismas, pirámides, cilindro, cono y esfera, también utilizando la trigonometría

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

    Cálculo del área superficial del cilindro, el cono y la esfera (en nuestro curso 12) · Cálculo del volumen del cilindro, el cono y la esfera (en nuestro curso 12) · Cálculo de diagonales, aristas y generatrices en cuerpos geométricos (en nuestro curso 12)

  80. Punto del currículo MAT.LO.10.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza la relación entre los volúmenes de sólidos semejantes.

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

    Cálculo del volumen de cuerpos semejantes (en nuestro curso 12)

  81. Punto del currículo MAT.LO.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Combinatoria

    nuestra traducción · texto original (PL): Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Punto del currículo MAT.LO.11.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    cuenta objetos en situaciones combinatorias sencillas

    nuestra traducción · texto original (PL): zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Punto del currículo MAT.LO.11.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    cuenta objetos, aplicando las reglas de la multiplicación y de la suma (también conjuntamente) para cualquier número de acciones, p. ej.:

    nuestra traducción · texto original (PL): zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Punto del currículo MAT.LO.11.P.2.a · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    cálculo de cuántos números enteros positivos impares de cuatro cifras hay tales que en su notación decimal aparece exactamente una cifra 1 y exactamente una cifra 2

    nuestra traducción · texto original (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Punto del currículo MAT.LO.11.P.2.b · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    cálculo de cuántos números enteros positivos pares de cuatro cifras hay tales que en su notación decimal aparece exactamente una cifra 0 y exactamente una cifra 1.

    nuestra traducción · texto original (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Punto del currículo MAT.LO.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Cálculo de probabilidades y estadística

    nuestra traducción · texto original (PL): Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Punto del currículo MAT.LO.12.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula la probabilidad en el modelo clásico

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Punto del currículo MAT.LO.12.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula la media aritmética y la media ponderada, halla la mediana y la moda.

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

    Cálculo de la media aritmética (en nuestro curso 12) · Cálculo de la media ponderada (en nuestro curso 12) · Determinación de la mediana de un conjunto de datos (en nuestro curso 12)

  89. Punto del currículo MAT.LO.13 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Optimización y cálculo diferencial

    nuestra traducción · texto original (PL): Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Punto del currículo MAT.LO.13.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve problemas de optimización en situaciones que pueden describirse mediante una función cuadrática.

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Punto del currículo MAT.LO.WO.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Destreza de cálculo

    nuestra traducción · texto original (PL): Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Punto del currículo MAT.LO.WO.1.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Realización de cálculos con números reales, también con el uso de la calculadora, aplicación de las propiedades de las operaciones matemáticas en la transformación de expresiones algebraicas y utilización de estas habilidades en la resolución de problemas en contextos reales y teóricos

    nuestra traducción · texto original (PL): Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Punto del currículo MAT.LO.WO.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Uso y creación de información

    nuestra traducción · texto original (PL): Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Punto del currículo MAT.LO.WO.2.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Interpretación y manejo de la información presentada en un texto, tanto matemático como de divulgación científica, así como en forma de gráficos, diagramas, tablas

    nuestra traducción · texto original (PL): Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Punto del currículo MAT.LO.WO.2.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Uso del lenguaje matemático para la creación de textos matemáticos, incluida la descripción de los razonamientos realizados y la justificación de las conclusiones, así como para la presentación de datos

    nuestra traducción · texto original (PL): Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Punto del currículo MAT.LO.WO.3 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Uso e interpretación de representaciones

    nuestra traducción · texto original (PL): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Utilización de objetos matemáticos y operaciones con ellos, interpretación de conceptos matemáticos

    nuestra traducción · texto original (PL): Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Selección y creación de modelos matemáticos en la resolución de problemas prácticos y teóricos

    nuestra traducción · texto original (PL): Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.3 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Creación de objetos matemáticos auxiliares a partir de los existentes, con el fin de llevar a cabo una argumentación o resolver un problema

    nuestra traducción · texto original (PL): Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.4 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Indicación de la necesidad o posibilidad de modificar el modelo matemático en casos que requieran salvedades especiales, supuestos adicionales, la consideración de condiciones particulares

    nuestra traducción · texto original (PL): Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Punto del currículo MAT.LO.WO.4 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Razonamiento y argumentación

    nuestra traducción · texto original (PL): Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Realización de razonamientos, también de varias etapas, aportación de argumentos que justifiquen la corrección del razonamiento, distinción entre demostración y ejemplo

    nuestra traducción · texto original (PL): Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Reconocimiento de regularidades, similitudes y analogías, formulación de conclusiones a partir de ellas y justificación de su corrección

    nuestra traducción · texto original (PL): Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.3 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Selección de argumentos para justificar la corrección de la resolución de problemas, creación de una cadena de argumentos que garanticen la corrección de la solución y la eficacia en la búsqueda de soluciones a la cuestión

    nuestra traducción · texto original (PL): Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.4 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Aplicación y creación de estrategias en la resolución de problemas, también en situaciones atípicas

    nuestra traducción · texto original (PL): Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Competencias paso a paso

Cálculo del área superficial del cilindro, el cono y la esfera

El alumno calcula el área de la superficie total y lateral de un cilindro, un cono y una esfera, y también determina el ángulo central del desarrollo de la superficie lateral del cono.

Punto del currículo MAT.LO.10.P.4 reconoce en cilindros y en conos el ángulo entre segmentos y el ángulo entre segmentos y planos (p. ej., el ángulo de apertura del cono, el ángulo entre la generatriz y la base), calcula las medidas de estos ángulos (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.LO.10.P.5 calcula volúmenes y áreas de la superficie de prismas, pirámides, cilindro, cono y esfera, también utilizando la trigonometría (nuestra traducción)

En 4.º curso de bachillerato y escuela técnica, el alumno calcula con soltura el área de la superficie total y lateral de los cuerpos de revolución: cilindro, cono y esfera. Para ello, utiliza las relaciones entre el radio de la base, la altura del cuerpo y la generatriz del cono. También es capaz de relacionar las dimensiones del cuerpo con su desarrollo plano, incluida la determinación de la medida del ángulo central del sector circular que forma la superficie lateral del cono.

Un error frecuente es confundir la generatriz del cono con su altura al aplicar la fórmula del área de la superficie lateral, así como olvidar tener en cuenta las dos bases al calcular el área de la superficie total del cilindro. Los alumnos también suelen tener dificultades para determinar el ángulo del desarrollo de la superficie lateral del cono, confundiendo el radio de la base con el radio del sector circular, que en realidad es la generatriz.

Los ejercicios para practicar esta destreza incluyen el cálculo directo del área de la superficie de la esfera, el cilindro o el cono a partir de las dimensiones dadas (como el radio, la altura o la diagonal de la sección axial). En los exámenes también aparecen tareas que consisten en calcular el ángulo del desarrollo de la superficie lateral del cono conociendo las dimensiones de su base y de su generatriz.

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Tipos de ejercicios: Área de la esfera · Área total del cilindro · Ángulo del desarrollo del cono · Área total del cono

Cálculo de la derivada de una función y su valor

El estudiante calcula derivadas de polinomios, productos y funciones compuestas, y también determina el valor de la derivada en un punto específico.

En el 4.º curso de bachillerato y formación técnica, el alumno domina el cálculo de derivadas de funciones como parte de la preparación para las pruebas de acceso de nivel avanzado. Aplica con soltura las reglas de derivación a polinomios y a productos de dos funciones. También es capaz de derivar correctamente funciones compuestas y calcular el valor numérico de la derivada obtenida para un argumento dado.

Un error típico al calcular la derivada de un producto es tratarla como una simple multiplicación de las derivadas individuales, sin aplicar la fórmula correspondiente. Por su parte, en las funciones compuestas, los alumnos suelen olvidar multiplicar el resultado por la derivada de la función interna, lo que altera por completo la fórmula final.

Los ejercicios para practicar esta habilidad incluyen:

  • la derivada de un polinomio y la derivada de un producto, donde el objetivo es determinar la nueva expresión de la función,
  • la derivada de una función compuesta, que requiere identificar la función interna y la externa,
  • el valor de la derivada en un punto, donde tras obtener la fórmula de la derivada el alumno sustituye el número dado y calcula el resultado numérico final.
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Tipos de ejercicios: Derivada de un polinomio · Valor de la derivada en un punto · Derivada del producto · Regla de la cadena

Estudio de la monotonía y los extremos de una función

El alumno es capaz de determinar los intervalos en los que la función crece o decrece, así como indicar los argumentos y valores de sus mínimos y máximos locales.

En 4.º curso de bachillerato y formación técnica, el estudiante analiza el estudio de la variación de una función. A partir de la fórmula o de la gráfica, es capaz de determinar con precisión en qué conjuntos de argumentos la función es creciente y en cuáles decreciente, así como indicar los puntos en los que alcanza sus extremos locales.

Un error frecuente es confundir el punto donde la función alcanza un extremo (el argumento x) con el propio valor de ese extremo (el valor de y). Los estudiantes también tienden a unir erróneamente los intervalos de monotonía mediante el símbolo de unión en lugar de enumerarlos separados por una coma o por la conjunción «y», lo que conduce a conclusiones falsas sobre el comportamiento de la función en todo el conjunto unido.

En la práctica, los problemas consisten en analizar casos concretos e incluyen los siguientes ejercicios:

  • Intervalos de crecimiento de la función e Intervalo de decrecimiento de la función: determinación de los intervalos en los que la función mantiene un sentido de variación constante;
  • Máximo local y Mínimo local: localización de los puntos de cambio de tendencia en los que la función pasa de ser creciente a decreciente o viceversa.
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Tipos de ejercicios: Intervalo de decrecimiento · Intervalos de crecimiento · Máximo local · Mínimo local

Cálculo de la media aritmética

El alumno calcula la media aritmética de un conjunto de datos numéricos, lee valores de gráficos de barras y aplica la media en situaciones prácticas de la vida cotidiana.

Punto del currículo MAT.LO.12.P.2 calcula la media aritmética y la media ponderada, halla la mediana y la moda. (nuestra traducción)

Como parte del repaso de estadística, el alumno calcula con soltura la media aritmética. Sabe sumar las cantidades dadas y dividir el resultado entre el número de datos, así como procesar información presentada de forma ordenada o gráfica.

Un error común al trabajar con un diagrama de barras es dividir la suma de los valores entre el número de barras (categorías) en lugar de entre la suma real de todas las observaciones contabilizadas. Los alumnos también olvidan tener en cuenta las frecuencias de los resultados repetidos y suman únicamente las etiquetas de las barras.

Los ejercicios que ponen a prueba esta habilidad incluyen:

  • el cálculo estándar del resultado para un conjunto de datos (Calcula la media aritmética),
  • la lectura de valores y del número de repeticiones a partir de un gráfico (Media a partir de un diagrama de barras),
  • la resolución de problemas con enunciado que describen fenómenos aleatorios, mediciones o finanzas (La media en la vida cotidiana).
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Tipos de ejercicios: Calcula la media · La media en la vida diaria · Media a partir de un diagrama de barras

Cálculo del volumen del cilindro, el cono y la esfera

El estudiante calcula el volumen de cuerpos de revolución: cilindro, cono y esfera, aplicando las fórmulas correspondientes a partir de las dimensiones geométricas dadas.

Punto del currículo MAT.LO.10.P.5 calcula volúmenes y áreas de la superficie de prismas, pirámides, cilindro, cono y esfera, también utilizando la trigonometría (nuestra traducción)

En el último curso de secundaria y bachillerato, el alumno consolida la habilidad de calcular el volumen de cuerpos de revolución. A partir de las dimensiones básicas dadas —el radio de la base y la altura en el caso del cilindro y del cono, y el radio en el caso de la esfera—, selecciona la fórmula adecuada y realiza los cálculos correctos, expresando el resultado de forma exacta (con el símbolo π) o aproximándolo.

Un error frecuente suele ser confundir el radio con el diámetro y omitir los coeficientes numéricos en las fórmulas. Los alumnos a menudo olvidan la fracción 1/3 al calcular el volumen del cono y, en el caso de la esfera, confunden las potencias del radio, introduciendo en la fórmula el radio al cuadrado en lugar de al cubo.

Las actividades para practicar esta habilidad incluyen el cálculo directo de magnitudes en las fichas de trabajo: Volumen del cilindro, Volumen del cono y Volumen de la esfera. El alumno resuelve problemas con enunciado o a partir de una figura, calculando el volumen del cuerpo geométrico correspondiente en función de los datos proporcionados.

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Tipos de ejercicios: Volumen de la esfera · Volumen del cilindro · Volumen del cono

Cálculo de diagonales, aristas y generatrices en cuerpos geométricos

El estudiante determina las longitudes de segmentos clave en poliedros y cuerpos de revolución, tales como la diagonal de un ortoedro, la arista de una pirámide o la generatriz de un cono.

Punto del currículo MAT.LO.10.P.5 calcula volúmenes y áreas de la superficie de prismas, pirámides, cilindro, cono y esfera, también utilizando la trigonometría (nuestra traducción)

En 4.º curso de bachillerato y formación profesional, el alumno organiza y consolida sus conocimientos de geometría del espacio, determinando con soltura las longitudes de los segmentos clave en el espacio. A partir de las dimensiones dadas de un cuerpo geométrico, es capaz de identificar el triángulo rectángulo adecuado dentro de la figura y calcular la magnitud buscada, casi siempre utilizando el teorema de Pitágoras.

Una dificultad típica en esta etapa es la localización errónea del triángulo rectángulo en el espacio. Los alumnos a menudo confunden la diagonal del ortoedro con la diagonal de una cara lateral, y en el cono identifican la generatriz con su altura. En el caso de las pirámides, un error frecuente consiste en unir la arista lateral con un segmento inadecuado de la base (por ejemplo, con la altura de la base en lugar de con el radio de la circunferencia circunscrita a ella).

Las tareas que evalúan esta habilidad se basan en modelos concretos de cuerpos geométricos:

  • Diagonal del ortoedro — cálculo de la longitud del segmento que une dos vértices opuestos del cuerpo a partir de las dimensiones de sus aristas;
  • Generatriz del cono — determinación de la longitud de la generatriz conociendo la altura del cono y el radio de su base;
  • Arista lateral de la pirámide — cálculo de la longitud de la arista lateral a partir de la altura de la pirámide y de la geometría de su base.
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Tipos de ejercicios: Diagonal de un ortoedro · Generatriz del cono · Arista lateral de una pirámide

Probabilidad total y fórmula de Bayes

El alumno calcula la probabilidad de sucesos en varias etapas y la probabilidad condicional mediante la fórmula de Bayes, analizando la extracción de bolas de dos urnas diferentes.

En 4.º curso, el alumno resuelve problemas relacionados con experimentos de dos etapas utilizando la probabilidad total y el teorema de Bayes. Descompone un experimento complejo en casos mutuamente excluyentes (hipótesis) y calcula la probabilidad de que ocurra el suceso final, y también es capaz de determinar la probabilidad condicional de la causa cuando ya se conoce el efecto obtenido.

Un error común es confundir la probabilidad condicional con la probabilidad conjunta de ambos sucesos o ignorar la primera etapa del sorteo. Con frecuencia, los alumnos se centran únicamente en el número de bolas del recipiente, olvidando multiplicar el resultado por la probabilidad de elegir la propia urna.

En la práctica, los problemas se basan en el esquema de dos urnas con diferente contenido de bolas blancas y negras. El alumno primero elige una de las urnas (por ejemplo, lanzando una moneda) y luego extrae una bola de ella. En los problemas de probabilidad total, determina la probabilidad de extraer una bola de un color determinado y, aplicando el teorema de Bayes, calcula, por ejemplo, la probabilidad de que una bola blanca proceda de la primera urna si se sabe que se ha extraído dicho color.

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Tipos de ejercicios: Probabilidad total — dos urnas · Teorema de Bayes — dos urnas

Esquema de Bernoulli y distribución binomial

El alumno calcula la probabilidad de un número determinado de éxitos en ensayos repetidos mediante el esquema de Bernoulli y determina el valor esperado de la distribución binomial.

En 4.º curso, el alumno resuelve problemas basados en la repetición múltiple del mismo experimento aleatorio con dos resultados posibles: éxito o fracaso. Aplica la fórmula del esquema de Bernoulli para calcular la probabilidad de obtener exactamente un número determinado de éxitos en una serie de ensayos y determina la esperanza matemática de dicha distribución, es decir, el número medio previsto de resultados favorables.

Un error típico en esta etapa es omitir el coeficiente binomial (el número combinatorio) en la fórmula. El alumno multiplica correctamente las probabilidades de éxito y fracaso, pero olvida que esos mismos resultados pueden aparecer en diferente orden. También suele ocurrir que se asignen incorrectamente los valores de las probabilidades de éxito y fracaso o que se aplique el esquema de Bernoulli en situaciones en las que la probabilidad cambia de un intento a otro.

Los problemas de este tema se basan en contextos prácticos, tales como series de lanzamientos de dados, tiros al blanco o el control de productos defectuosos en un lote de mercancías. Los materiales de práctica abarcan dos tipos principales de ejercicios: Esquema de Bernoulli, donde el objetivo es calcular la probabilidad de obtener un número concreto de éxitos, y Esperanza matemática de la distribución binomial, donde el alumno determina el resultado medio esperado para un número determinado de repeticiones.

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Tipos de ejercicios: Esperanza de la binomial · Esquema de Bernoulli

Determinación de la mediana de un conjunto de datos

El estudiante ordena un conjunto de datos numéricos y determina su mediana, indicando el valor central o calculando la media aritmética de los dos números centrales.

Punto del currículo MAT.LO.12.P.2 calcula la media aritmética y la media ponderada, halla la mediana y la moda. (nuestra traducción)

El estudiante de 4.º curso de bachillerato y formación profesional determina con soltura la mediana de un conjunto finito de datos numéricos como parte del repaso de estadística. Distingue la situación en la que el número de datos es impar (señalando entonces un único valor central) de la situación con un número par de datos, en la que la mediana es la media aritmética de los dos elementos centrales.

Un error típico en esta etapa es seleccionar el valor central directamente a partir de un conjunto de datos desordenado, omitiendo la ordenación previa de los números de menor a mayor. También ocurre que, ante un número par de elementos, el estudiante indica ambos números centrales en lugar de calcular su media.

Las tareas de la plantilla Indica la mediana consisten en analizar la secuencia de números dada, ordenarla y determinar el valor exacto de la mediana.

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Probabilidad condicional a partir de una tabla

El alumno calcula la probabilidad condicional de un suceso, leyendo los tamaños de los grupos correspondientes y las condiciones directamente de la tabla de datos.

En 4.º curso, el alumno aprende a determinar la probabilidad de que ocurra un suceso dado a condición de que haya ocurrido otro. Utilizando tablas de doble entrada, restringe el espacio de todos los resultados posibles exclusivamente al grupo que cumple la condición dada y, sobre esta base, calcula la probabilidad buscada en forma de fracción.

El error más común en esta etapa es dividir el número de casos favorables entre el total de todas las personas u objetos estudiados en toda la tabla, en lugar de entre la suma de los elementos que forman la condición dada. Los alumnos también confunden el sentido de la dependencia, intercambiando el suceso inicial con la condición (por ejemplo, la probabilidad de pertenecer a un grupo determinado a condición de haber obtenido un resultado específico con la situación inversa).

Los ejercicios de la plantilla Probabilidad condicional a partir de una tabla presentan datos estadísticos sobre un grupo concreto, por ejemplo, la distribución del alumnado según el sexo y la elección de una lengua extranjera. El enunciado requiere localizar las casillas adecuadas en la tabla y calcular cuál es la probabilidad de elegir al azar a una persona con una característica determinada si se sabe de antemano que cumple la condición indicada en el ejercicio.

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Cálculo de la media ponderada

El estudiante calcula la media ponderada de un conjunto de datos, asignando correctamente los pesos a los valores individuales y dividiendo la suma de los productos entre la suma de los pesos.

Punto del currículo MAT.LO.12.P.2 calcula la media aritmética y la media ponderada, halla la mediana y la moda. (nuestra traducción)

En 4.º curso de bachillerato y formación profesional técnica, el alumno calcula la media ponderada de un conjunto de datos. Multiplica con soltura cada valor por su peso correspondiente, suma los productos obtenidos y, a continuación, divide el resultado entre la suma total de los pesos.

El error más común es dividir la suma de los productos por el número de valores dados en lugar de por la suma de sus pesos, lo cual se debe a la costumbre de calcular la media aritmética simple. Los alumnos también suelen tener dificultades para distinguir correctamente el valor de la variable de su peso, especialmente cuando los pesos se expresan en porcentajes o fracciones.

En las tareas de la plantilla Media ponderada, el alumno resuelve problemas contextualizados en situaciones prácticas, como el cálculo de una calificación semestral a partir de exámenes con distinta ponderación o el cálculo del precio medio de compra de mercancías procedentes de diferentes entregas. La tarea consiste en extraer los datos, plantear correctamente la expresión aritmética y calcular el resultado.

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Cálculo del área de la sección de un cubo

El alumno determina la forma del plano que corta un cubo a través de diagonales seleccionadas de las caras y calcula el área de la sección resultante.

El estudiante analiza la disposición del plano secante en un cubo y reconoce qué figura geométrica forma dicha sección. Sobre esta base, determina las longitudes de los lados del polígono a partir de la longitud de la arista del cuerpo geométrico y del teorema de Pitágoras, para luego calcular su área.

La dificultad más común es interpretar de forma errónea la forma de la figura en un dibujo en proyección oblicua; por ejemplo, confundir un rectángulo con un cuadrado o un triángulo equilátero con uno escaleno. Los estudiantes también suelen confundir la longitud de la arista del cubo con la longitud del lado de la sección, olvidando que dicho lado es la diagonal de una cara lateral o de la base.

Un ejercicio típico consiste en calcular el área de la sección de un cubo que pasa por determinadas diagonales de sus caras. A partir de la longitud de la arista del cuerpo geométrico, el estudiante determina las dimensiones del polígono resultante (por ejemplo, un rectángulo cuyos lados son una arista y la diagonal de una cara) y expresa el resultado final en forma exacta.

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Cálculo del volumen de cuerpos semejantes

El alumno calcula el volumen de un sólido semejante utilizando la relación de que la razón entre los volúmenes de dos sólidos es igual al cubo de la escala de semejanza.

Punto del currículo MAT.LO.10.P.6 utiliza la relación entre los volúmenes de sólidos semejantes. (nuestra traducción)

En el último curso de secundaria y formación técnica, el alumno consolida sus conocimientos de geometría del espacio como parte de la preparación para los exámenes finales. En esta etapa, determina con soltura el volumen de un cuerpo semejante a uno dado utilizando la razón de semejanza k. En lugar de recalcular laboriosamente las dimensiones de todas las aristas o las alturas del nuevo cuerpo, aprovecha el hecho de que la razón entre sus volúmenes es igual a k elevado al cubo.

Un error típico en esta etapa es multiplicar el volumen inicial únicamente por la razón k o por su cuadrado. Los alumnos a menudo aplican de forma mecánica el hábito del escalado de segmentos o de áreas, olvidando que el espacio tridimensional requiere elevar la razón de semejanza al cubo.

Los ejercicios de la plantilla Volumen de un cuerpo semejante presentan al alumno una situación en la que se conoce el volumen del primer cuerpo y la razón entre las aristas correspondientes o la escala de ampliación del cuerpo. La tarea del alumno consiste en calcular el cubo de dicha razón y determinar el volumen que falta.

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Cálculo del límite de una función en un punto

El estudiante calcula límites de funciones en un punto, estudiando el comportamiento de los valores de la función a medida que los argumentos se aproximan a un número seleccionado.

En el último curso de educación secundaria y técnica, dentro del nivel avanzado, el alumno analiza el comportamiento de una función en el entorno de un número determinado y calcula el límite de una función en un punto. Comprende la diferencia entre el propio valor de la función en un punto dado y el valor al que tienden los resultados cuando el argumento se aproxima al número analizado.

Un error común es detenerse en el paso en el que aparece un cero en el denominador de la fracción. Los alumnos a menudo asumen erróneamente que el límite no existe o que la operación no está permitida, en lugar de identificar una indeterminación (por ejemplo, 0/0) y transformar la expresión de la función, por ejemplo, simplificando un factor común en el numerador y el denominador.

Los ejercicios de la plantilla Límite de una función en un punto consisten en calcular el límite para una expresión algebraica dada (generalmente una función racional). El alumno comprueba si basta con sustituir directamente el número indicado y, si esto conduce a una indeterminación, simplifica la fracción y solo entonces calcula el resultado numérico final.

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Ecuación de la recta tangente a la gráfica usando la derivada

El alumno aprende a determinar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto dado, utilizando la interpretación geométrica de la derivada.

En 4.º curso de bachillerato y educación técnica, el estudiante conecta el concepto de derivada con la geometría analítica. Es capaz de calcular la derivada de una función en un punto determinado, que define la pendiente de la recta, y luego hallar la ecuación completa de la recta tangente a la gráfica en el punto de coordenadas dadas.

Un error frecuente es confundir el valor de la derivada en un punto con el valor de la propia función o sustituir en la ecuación de la recta la expresión general de la derivada en lugar del valor numérico concreto calculado para la abscisa dada. También suelen ocurrir errores de signo al transformar la ecuación a su forma explícita.

En los ejercicios de la plantilla Tangente a la gráfica de una función, el estudiante recibe la expresión de la función y la abscisa del punto de tangencia. Su objetivo es determinar la segunda coordenada del punto, calcular el valor de la derivada en dicho punto y escribir la ecuación definitiva de la tangente en la forma y = ax + b.

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Plantillas de ejercicios para imprimir

Todos los tipos de ejercicios, agrupados por habilidad. Un clic abre el generador con el tipo ya elegido.

Cálculo del área superficial del cilindro, el cono y la esfera

Cálculo de la derivada de una función y su valor

Estudio de la monotonía y los extremos de una función

Cálculo de la media aritmética

Cálculo del volumen del cilindro, el cono y la esfera

Cálculo de diagonales, aristas y generatrices en cuerpos geométricos

Probabilidad total y fórmula de Bayes

Esquema de Bernoulli y distribución binomial

Determinación de la mediana de un conjunto de datos

Probabilidad condicional a partir de una tabla

Cálculo de la media ponderada

Cálculo del área de la sección de un cubo

Cálculo del volumen de cuerpos semejantes

Cálculo del límite de una función en un punto

Ecuación de la recta tangente a la gráfica usando la derivada

Otros tipos de ejercicios

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