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Programme scolaire (Pologne)

Mathématiques — 11e année

Mathématiques en 3e année de lycée et lycée technique : suites arithmétiques et géométriques, trigonométrie avec mesure en radians, géométrie analytique — droites, cercles, vecteurs — combinatoire et probabilités. Des exercices prêts à imprimer pour chaque thème.

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Qu'apprend un élève en mathématiques en 3e année de lycée ?

En 3e année, l'élève étudie les suites : il détermine des termes, des sommes de suites arithmétiques et géométriques, et dans le programme approfondi, les limites et la série géométrique. Il découvre la mesure en radians, les fonctions périodiques et les équations trigonométriques. En géométrie analytique, il détermine les équations de droites et de cercles, les points d'intersection d'une droite et d'un cercle, les tangentes et les opérations sur les vecteurs. En combinatoire et calcul des probabilités, il dénombre des événements à l'aide du principe multiplicatif, du binôme de Newton et de la probabilité classique.

Remarque importante sur le programme : le programme pour le lycée général et technologique est formulé par blocs — il décrit ce que l'élève maîtrise à la fin de l'enseignement secondaire, séparément pour le niveau de base et le niveau approfondi. L'attribution d'un thème à une classe est notre décision selon une répartition pédagogique classique ; dans la section « Programme », vous trouverez les points du programme officiel accompagnés de citations.

État de la page : les exercices de ce niveau sont prêts sous forme brute sans mise en situation (uniquement l'énoncé et la formule) ; les exercices avec figures, les démonstrations et les problèmes contextualisés seront ajoutés au cours des prochaines étapes.

Programme officiel

  1. Point du programme MAT.LO.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Nombres réels

    notre traduction · texte original (PL): Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Point du programme MAT.LO.1.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    effectue des opérations (addition, soustraction, multiplication, division, élévation à la puissance, extraction de racine, calcul de logarithme) dans l'ensemble des nombres réels

    notre traduction · texte original (PL): wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

  3. Point du programme MAT.LO.1.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    effectue des démonstrations simples concernant la divisibilité des nombres entiers et les restes de la division, par ex. :

    notre traduction · texte original (PL): przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Point du programme MAT.LO.1.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés des racines de degré quelconque, y compris des racines de degré impair de nombres négatifs

    notre traduction · texte original (PL): stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

  5. Point du programme MAT.LO.1.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise le lien entre l'extraction de racine et l'élévation à la puissance ainsi que les règles de calcul sur les puissances et les racines

    notre traduction · texte original (PL): stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

  6. Point du programme MAT.LO.1.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    applique la monotonie de l'élévation à la puissance, en particulier les propriétés : si x < y et a > 1, alors ax < ay, tandis que si x < y et 0 < a < 1, alors ax > ay

    notre traduction · texte original (PL): stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Point du programme MAT.LO.1.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise la notion d'intervalle numérique, représente des intervalles sur la droite numérique

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Point du programme MAT.LO.1.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    applique l'interprétation géométrique et algébrique de la valeur absolue, résout des équations du type : |x + 4| = 5

    notre traduction · texte original (PL): stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Point du programme MAT.LO.1.P.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés des puissances et des racines dans des situations pratiques, notamment pour calculer les intérêts composés, les gains sur les placements et les coûts des crédits

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

  10. Point du programme MAT.LO.1.P.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    applique la relation entre logarithme et exponentiation, utilise les formules du logarithme d'un produit, du logarithme d'un quotient et du logarithme d'une puissance.

    notre traduction · texte original (PL): stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

  11. Point du programme MAT.LO.1.P.2.a · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    démonstration de la divisibilité par 24 du produit de quatre entiers naturels consécutifs

    notre traduction · texte original (PL): dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Point du programme MAT.LO.1.P.2.b · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    démonstration de la propriété : si un nombre donne un reste de 3 dans la division par 4, alors il n'est pas le carré d'un nombre entier

    notre traduction · texte original (PL): dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Point du programme MAT.LO.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Expressions algébriques

    notre traduction · texte original (PL): Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Point du programme MAT.LO.2.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les identités remarquables pour : (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    notre traduction · texte original (PL): stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

  15. Point du programme MAT.LO.2.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    additionne, soustrait et multiplie des polynômes à une et plusieurs variables

    notre traduction · texte original (PL): dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

  16. Point du programme MAT.LO.2.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    met en facteur un monôme dans une somme algébrique

    notre traduction · texte original (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

  17. Point du programme MAT.LO.2.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    multiplie et divise des expressions rationnelles.

    notre traduction · texte original (PL): mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

  18. Point du programme MAT.LO.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Équations et inéquations

    notre traduction · texte original (PL): Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Point du programme MAT.LO.3.P.1 · Contenus d'enseignement

    transforme des équations et des inéquations de manière équivalente, y compris par ex. transforme de manière équivalente une équation rationnelle (exemple dans l'acte)

    notre traduction · texte original (PL): przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

  20. Point du programme MAT.LO.3.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    interprète les équations et inéquations linéaires impossibles et indéterminées

    notre traduction · texte original (PL): interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

  21. Point du programme MAT.LO.3.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    résout des inéquations linéaires à une inconnue

    notre traduction · texte original (PL): rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

  22. Point du programme MAT.LO.3.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    résout des équations et inéquations du second degré

    notre traduction · texte original (PL): rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Point du programme MAT.LO.3.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    résout des équations polynomiales de la forme W(x) = 0 pour des polynômes mis sous forme factorisée.

    notre traduction · texte original (PL): rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Point du programme MAT.LO.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Systèmes d'équations

    notre traduction · texte original (PL): Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Point du programme MAT.LO.4.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    résout des systèmes d'équations linéaires à deux inconnues, donne une interprétation géométrique des systèmes déterminés, indéterminés et incompatibles

    notre traduction · texte original (PL): rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

  26. Point du programme MAT.LO.4.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise des systèmes d'équations pour résoudre des problèmes textuels.

    notre traduction · texte original (PL): stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Point du programme MAT.LO.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Fonctions

    notre traduction · texte original (PL): Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Point du programme MAT.LO.5.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    définit les fonctions comme une correspondance univoque au moyen d'une description verbale, d'un tableau, d'un graphique, d'une formule (également par différentes formules sur différents intervalles)

    notre traduction · texte original (PL): określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Point du programme MAT.LO.5.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule la valeur d'une fonction donnée par une formule algébrique

    notre traduction · texte original (PL): oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Point du programme MAT.LO.5.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    lit et interprète les valeurs de fonctions définies au moyen de tableaux, de graphiques, de formules, etc., également dans des situations d'utilisation répétée de la même source d'information ou de plusieurs sources simultanément

    notre traduction · texte original (PL): odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Point du programme MAT.LO.5.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    lit sur la représentation graphique d'une fonction : l'ensemble de définition, l'ensemble des valeurs, les zéros, les intervalles de monotonie, les intervalles sur lesquels la fonction prend des valeurs supérieures (non inférieures) ou inférieures (non supérieures) à un nombre donné, les valeurs maximale et minimale de la fonction (si elles existent) sur un intervalle fermé donné ainsi que les antécédents pour lesquels les valeurs maximale et minimale sont prises par la fonction

    notre traduction · texte original (PL): odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Point du programme MAT.LO.5.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    interprète les coefficients figurant dans la formule d'une fonction linéaire

    notre traduction · texte original (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Point du programme MAT.LO.5.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    détermine l'expression d'une fonction linéaire à partir d'informations sur sa représentation graphique ou sur ses propriétés

    notre traduction · texte original (PL): wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

  34. Point du programme MAT.LO.5.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    esquisse la courbe représentative d'une fonction quadratique donnée par une formule

    notre traduction · texte original (PL): szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Point du programme MAT.LO.5.P.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    interprète les coefficients apparaissant dans l'expression d'une fonction quadratique sous forme générale, canonique et factorisée (si elle existe)

    notre traduction · texte original (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Point du programme MAT.LO.5.P.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    détermine l'expression d'une fonction quadratique à partir d'informations sur cette fonction ou sur son graphique

    notre traduction · texte original (PL): wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Point du programme MAT.LO.5.P.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    détermine la valeur maximale et la valeur minimale d'une fonction quadratique sur un intervalle fermé

    notre traduction · texte original (PL): wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Point du programme MAT.LO.5.P.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés de la fonction linéaire et de la fonction quadratique pour interpréter des problèmes géométriques, physiques, etc., également ancrés dans un contexte pratique

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Point du programme MAT.LO.5.P.12 · Contenus d'enseignement

    à partir de la représentation graphique de la fonction y = f(x), esquisse les représentations graphiques des fonctions y = f(x − a), y = f(x) + b

    notre traduction · texte original (PL): na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Point du programme MAT.LO.5.P.13 · Contenus d'enseignement

    utilise la fonction f(x) = a/x, y compris sa représentation graphique, pour décrire et interpréter des problèmes liés à des grandeurs inversement proportionnelles, également dans des applications pratiques

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Point du programme MAT.LO.5.P.14 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les fonctions exponentielle et logarithmique, y compris leurs représentations graphiques, pour décrire et interpréter des problèmes liés à des applications pratiques.

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Point du programme MAT.LO.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Suites

    notre traduction · texte original (PL): Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Point du programme MAT.LO.6.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule les termes d'une suite définie par une formule générale

    notre traduction · texte original (PL): oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

    Calcul des termes d'une suite à partir de la formule générale et de la récurrence (chez nous en classe 11)

  44. Point du programme MAT.LO.6.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule les premiers termes de suites définies par récurrence

    notre traduction · texte original (PL): oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

    Calcul des termes d'une suite à partir de la formule générale et de la récurrence (chez nous en classe 11)

  45. Point du programme MAT.LO.6.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    dans des cas simples, étudie si une suite est croissante ou décroissante

    notre traduction · texte original (PL): w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Point du programme MAT.LO.6.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    vérifie si une suite donnée est arithmétique ou géométrique

    notre traduction · texte original (PL): sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

    Calcul du n-ième terme et de la somme d'une suite arithmétique (chez nous en classe 11) · Calcul des termes et de la somme d'une suite géométrique (chez nous en classe 11)

  47. Point du programme MAT.LO.6.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise la formule du n-ième terme et de la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique

    notre traduction · texte original (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

    Calcul du n-ième terme et de la somme d'une suite arithmétique (chez nous en classe 11)

  48. Point du programme MAT.LO.6.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise la formule du n-ième terme et de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique

    notre traduction · texte original (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

    Calcul des termes et de la somme d'une suite géométrique (chez nous en classe 11)

  49. Point du programme MAT.LO.6.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés des suites, notamment arithmétiques et géométriques, pour résoudre des problèmes, également ancrés dans un contexte pratique.

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

    Calcul du n-ième terme et de la somme d'une suite arithmétique (chez nous en classe 11) · Calcul des termes et de la somme d'une suite géométrique (chez nous en classe 11)

  50. Point du programme MAT.LO.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Trigonométrie

    notre traduction · texte original (PL): Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Point du programme MAT.LO.7.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les définitions des fonctions : sinus, cosinus et tangente pour les angles de 0° à 180°, en particulier détermine les valeurs des fonctions trigonométriques pour les angles de 30°, 45°, 60°

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Point du programme MAT.LO.7.P.2 · Contenus d'enseignement

    utilise les formules sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    notre traduction · texte original (PL): korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Point du programme MAT.LO.7.P.3 · Contenus d'enseignement

    applique le théorème des cosinus et la formule de l'aire d'un triangle P = ½ · a · b · sin γ

    notre traduction · texte original (PL): stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Point du programme MAT.LO.7.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule les angles d'un triangle rectangle et les longueurs de ses côtés à partir de données appropriées (résout des triangles rectangles, y compris en utilisant les fonctions trigonométriques).

    notre traduction · texte original (PL): oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Point du programme MAT.LO.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Géométrie plane

    notre traduction · texte original (PL): Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Point du programme MAT.LO.8.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    détermine les rayons et les diamètres de cercles, les longueurs des cordes de cercles ainsi que des segments tangents, y compris en utilisant le théorème de Pythagore

    notre traduction · texte original (PL): wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Point du programme MAT.LO.8.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît les triangles acutangles, rectangles et obtusangles pour des longueurs de côtés données (applique notamment la réciproque du théorème de Pythagore et le théorème du cosinus) ; applique le théorème : dans un triangle, au plus grand angle intérieur est opposé le côté le plus long

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Point du programme MAT.LO.8.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît les polygones réguliers et utilise leurs propriétés de base

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Point du programme MAT.LO.8.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés des angles et des diagonales dans les rectangles, parallélogrammes, losanges et trapèzes

    notre traduction · texte original (PL): korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Point du programme MAT.LO.8.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les propriétés des angles inscrits et des angles au centre

    notre traduction · texte original (PL): stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Point du programme MAT.LO.8.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    applique les formules de l'aire d'un secteur circulaire et de la longueur d'un arc de cercle

    notre traduction · texte original (PL): stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Point du programme MAT.LO.8.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    applique le théorème de Thalès

    notre traduction · texte original (PL): stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Point du programme MAT.LO.8.P.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les critères de similitude des triangles

    notre traduction · texte original (PL): korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Point du programme MAT.LO.8.P.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les relations entre les périmètres et entre les aires de figures semblables

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Point du programme MAT.LO.8.P.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    identifie les points remarquables fondamentaux dans un triangle : le centre du cercle inscrit dans un triangle, le centre du cercle circonscrit à un triangle, l'orthocentre, le centre de gravité et utilise leurs propriétés

    notre traduction · texte original (PL): wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Point du programme MAT.LO.8.P.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    mène des démonstrations géométriques

    notre traduction · texte original (PL): przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Point du programme MAT.LO.8.P.12 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les fonctions trigonométriques pour déterminer des longueurs de segments dans des figures planes et calculer des aires de figures.

    notre traduction · texte original (PL): stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Point du programme MAT.LO.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Géométrie analytique dans le plan cartésien

    notre traduction · texte original (PL): Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Point du programme MAT.LO.9.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît la position relative de droites dans le plan à partir de leurs équations, notamment trouve le point commun de deux droites, s'il existe

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

    Équations de droites : perpendicularité et point d'intersection (chez nous en classe 11)

  70. Point du programme MAT.LO.9.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise les équations de droites dans le plan, sous forme réduite et générale, notamment détermine l'équation d'une droite ayant des propriétés données (telles que, par exemple, le passage par deux points donnés, un coefficient directeur connu, le parallélisme avec une autre droite)

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

    Équations de droites : perpendicularité et point d'intersection (chez nous en classe 11)

  71. Point du programme MAT.LO.9.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule la distance entre deux points dans un repère

    notre traduction · texte original (PL): oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

    Calcul de la distance entre deux points dans le plan (chez nous en classe 11)

  72. Point du programme MAT.LO.9.P.4 · Contenus d'enseignement

    utilise l'équation d'un cercle (x − a)² + (y − b)² = r²

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

    Détermination du centre et du rayon d'un cercle à partir de son équation (chez nous en classe 11)

  73. Point du programme MAT.LO.9.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    détermine les images de cercles et de polygones par des symétries axiales par rapport aux axes du repère, par une symétrie centrale (de centre l'origine du repère).

    notre traduction · texte original (PL): wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Point du programme MAT.LO.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Géométrie dans l'espace

    notre traduction · texte original (PL): Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Point du programme MAT.LO.10.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît la position relative de droites dans l'espace, en particulier les droites perpendiculaires non sécantes

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Point du programme MAT.LO.10.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise la notion d'angle entre une droite et un plan et la notion d'angle dièdre entre des demi-plans

    notre traduction · texte original (PL): posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Point du programme MAT.LO.10.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît dans les prismes et les pyramides les angles entre des segments (par ex. des arêtes, des arêtes et des diagonales) ainsi que les angles entre des faces, calcule les mesures de ces angles

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Point du programme MAT.LO.10.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    reconnaît dans les cylindres et dans les cônes l'angle entre des segments ainsi que l'angle entre des segments et des plans (par ex. l'angle au sommet du cône, l'angle entre la génératrice et la base), calcule les mesures de ces angles

    notre traduction · texte original (PL): rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Point du programme MAT.LO.10.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule les volumes et les aires des prismes, des pyramides, du cylindre, du cône et de la sphère, également en utilisant la trigonométrie

    notre traduction · texte original (PL): oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Point du programme MAT.LO.10.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    utilise la relation entre les volumes de solides semblables.

    notre traduction · texte original (PL): wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Point du programme MAT.LO.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Combinatoire

    notre traduction · texte original (PL): Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Point du programme MAT.LO.11.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    dénombre des objets dans des situations combinatoires simples

    notre traduction · texte original (PL): zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

    Dénombrement des possibilités : principe multiplicatif et permutations (chez nous en classe 11)

  83. Point du programme MAT.LO.11.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    dénombre des objets en appliquant les règles de multiplication et d'addition (également conjointement) pour un nombre quelconque d'actions, par ex. :

    notre traduction · texte original (PL): zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

    Dénombrement des possibilités : principe multiplicatif et permutations (chez nous en classe 11)

  84. Point du programme MAT.LO.11.P.2.a · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcul du nombre d'entiers strictement positifs impairs à quatre chiffres tels que, dans leur écriture décimale, figurent exactement un chiffre 1 et exactement un chiffre 2

    notre traduction · texte original (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

    Dénombrement des possibilités : principe multiplicatif et permutations (chez nous en classe 11)

  85. Point du programme MAT.LO.11.P.2.b · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcul du nombre d'entiers strictement positifs pairs à quatre chiffres tels que leur écriture décimale comporte exactement un chiffre 0 et exactement un chiffre 1.

    notre traduction · texte original (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

    Dénombrement des possibilités : principe multiplicatif et permutations (chez nous en classe 11)

  86. Point du programme MAT.LO.12 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Calcul des probabilités et statistiques

    notre traduction · texte original (PL): Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Point du programme MAT.LO.12.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule la probabilité dans le modèle classique

    notre traduction · texte original (PL): oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

    Probabilités dans des expériences simples (chez nous en classe 11) · Probabilité dans un tirage sans remise (chez nous en classe 11) · Calcul de la probabilité de l'union d'événements (chez nous en classe 11)

  88. Point du programme MAT.LO.12.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    calcule la moyenne arithmétique et la moyenne pondérée, trouve la médiane et le mode.

    notre traduction · texte original (PL): oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Point du programme MAT.LO.13 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Optimisation et calcul différentiel

    notre traduction · texte original (PL): Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Point du programme MAT.LO.13.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    résout des problèmes d'optimisation dans des situations pouvant être décrites par une fonction du second degré.

    notre traduction · texte original (PL): rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Point du programme MAT.LO.WO.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Maîtrise du calcul

    notre traduction · texte original (PL): Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Point du programme MAT.LO.WO.1.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Effectuer des calculs sur les nombres réels, également à l'aide d'une calculatrice, appliquer les propriétés des opérations mathématiques lors de la transformation d'expressions algébriques et utiliser ces compétences dans la résolution de problèmes dans des contextes réels et théoriques

    notre traduction · texte original (PL): Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Point du programme MAT.LO.WO.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Utilisation et création d'informations

    notre traduction · texte original (PL): Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Point du programme MAT.LO.WO.2.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Interprétation et exploitation des informations présentées dans un texte, aussi bien mathématique que de vulgarisation scientifique, ainsi que sous forme de graphiques, de diagrammes, de tableaux

    notre traduction · texte original (PL): Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Point du programme MAT.LO.WO.2.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Utilisation du langage mathématique pour produire des textes mathématiques, notamment pour décrire les raisonnements menés et justifier les conclusions, ainsi que pour présenter des données

    notre traduction · texte original (PL): Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Point du programme MAT.LO.WO.3 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Utilisation et interprétation des représentations

    notre traduction · texte original (PL): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Point du programme MAT.LO.WO.3.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Utilisation d'objets mathématiques et leur manipulation, interprétation de concepts mathématiques

    notre traduction · texte original (PL): Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Point du programme MAT.LO.WO.3.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Choix et création de modèles mathématiques lors de la résolution de problèmes pratiques et théoriques

    notre traduction · texte original (PL): Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Point du programme MAT.LO.WO.3.3 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Création d'objets mathématiques auxiliaires à partir d'objets existants, afin de mener une argumentation ou de résoudre un problème

    notre traduction · texte original (PL): Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Point du programme MAT.LO.WO.3.4 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Indication de la nécessité ou de la possibilité de modifier le modèle mathématique dans les cas nécessitant des réserves particulières, des hypothèses supplémentaires, l'examen de conditions particulières

    notre traduction · texte original (PL): Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Point du programme MAT.LO.WO.4 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Raisonnement et argumentation

    notre traduction · texte original (PL): Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Point du programme MAT.LO.WO.4.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Conduite de raisonnements, y compris en plusieurs étapes, présentation d'arguments justifiant la validité du raisonnement, distinction entre une preuve et un exemple

    notre traduction · texte original (PL): Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Point du programme MAT.LO.WO.4.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Identification de régularités, de similitudes et d'analogies, formulation de conclusions à partir de celles-ci et justification de leur validité

    notre traduction · texte original (PL): Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Point du programme MAT.LO.WO.4.3 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Choix d'arguments pour justifier la validité de la résolution de problèmes, élaboration d'une chaîne d'arguments garantissant la validité de la solution et l'efficacité dans la recherche de solutions au problème

    notre traduction · texte original (PL): Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Point du programme MAT.LO.WO.4.4 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Utilisation et élaboration de stratégies lors de la résolution de problèmes, également dans des situations atypiques

    notre traduction · texte original (PL): Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Compétences étape par étape

Dénombrement des possibilités : principe multiplicatif et permutations

L'élève calcule le nombre de dispositions et de choix possibles en appliquant les règles de multiplication et d'addition, les permutations ainsi que les arrangements dans des problèmes portant sur les chiffres ou l'attribution de prix.

Point du programme MAT.LO.11.P.1 dénombre des objets dans des situations combinatoires simples (notre traduction)
Point du programme MAT.LO.11.P.2 dénombre des objets en appliquant les règles de multiplication et d'addition (également conjointement) pour un nombre quelconque d'actions, par ex. : (notre traduction)
Point du programme MAT.LO.11.P.2.a calcul du nombre d'entiers strictement positifs impairs à quatre chiffres tels que, dans leur écriture décimale, figurent exactement un chiffre 1 et exactement un chiffre 2 (notre traduction)
Point du programme MAT.LO.11.P.2.b calcul du nombre d'entiers strictement positifs pairs à quatre chiffres tels que leur écriture décimale comporte exactement un chiffre 0 et exactement un chiffre 1. (notre traduction)

L'élève de 3e année de lycée général et technologique analyse des situations combinatoires et détermine le nombre d'issues possibles sans avoir à énumérer tous les cas. Il applique le principe multiplicatif ainsi que le principe additif dans des processus à plusieurs étapes, calcule le nombre de permutations d'un ensemble fini lors de la disposition d'objets dans un ordre déterminé et utilise les arrangements lorsqu'il choisit un nombre donné d'éléments en les assignant à des places précises.

Une erreur fréquente consiste à ne pas prendre en compte les conditions aux limites lors des différentes étapes du choix. Les élèves oublient, par exemple, que le premier chiffre d'un nombre à former ne peut pas être zéro, ou ne tiennent pas compte du fait que la parité dépend uniquement du dernier chiffre. Si un exercice exige qu'un chiffre donné n'apparaisse qu'une seule fois, les erreurs proviennent d'une mauvaise décomposition des étapes : au lieu de fixer d'abord la position du chiffre particulier, l'élève multiplie les possibilités disponibles sans réfléchir.

Les exercices développant cette compétence reposent sur des modèles de tirage et d'ordonnancement. L'élève résout des problèmes consistant à déterminer le nombre de façons de disposer des personnes dans une file d'attente (permutations), d'attribuer des trophées distincts ou des places (arrangements — remise de prix) et de former des nombres pairs ou impairs comportant un nombre donné de chiffres, dans lesquels un chiffre indiqué apparaît exactement une fois.

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Types d’exercices: Permutations — file d'attente · Arrangements — attribution de prix · Nombres impairs contenant un chiffre une fois · Nombres pairs contenant un chiffre une fois

Probabilités dans des expériences simples

L'élève calcule la probabilité d'un événement lors d'un tirage unique, comme le lancer d'un dé ou le tirage d'une boule dans une boîte, en écrivant le résultat sous forme de fraction.

Point du programme MAT.LO.12.P.1 calcule la probabilité dans le modèle classique (notre traduction)

À ce stade, l'élève détermine la probabilité classique dans des expériences aléatoires simples ayant un nombre fini d'issues équiprobables. Il est capable de dénombrer correctement toutes les issues possibles d'une expérience donnée, d'isoler celles qui vérifient la condition donnée (issues favorables), puis de représenter la probabilité de réalisation de l'événement sous la forme du quotient de ces deux valeurs.

Une erreur fréquente consiste à déterminer de manière incorrecte le nombre d'issues favorables. Les élèves oublient souvent certaines possibilités lors de la vérification des propriétés des nombres (par exemple, ils oublient que le nombre 2 est un nombre premier) ou confondent le nombre d'issues favorables avec le nombre total d'éléments de l'ensemble. Il arrive également qu'ils assimilent à tort la probabilité au simple nombre d'issues correspondantes au lieu de l'écrire sous forme de fraction.

En pratique, les exercices consistent à analyser une situation aléatoire concrète :

  • Lancer de dé – par exemple, calculer la probabilité d'obtenir un nombre qui est un nombre premier ou qui est supérieur à une valeur donnée,
  • Tirage d'une boule dans une boîte – calculer la probabilité de tirer une boule d'une couleur déterminée étant donné le nombre de boules de chaque type,
  • Tirage d'une carte portant un nombre – déterminer la probabilité de tirer un carton avec un nombre vérifiant une condition donnée, par exemple divisible par 3.
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Types d’exercices: Lancer un dé · Tirer une boule dans une boîte · Tirer une carte numérotée

Équations de droites : perpendicularité et point d'intersection

L'élève détermine le point d'intersection de deux droites, établit l'équation d'une droite perpendiculaire passant par un point et lit le coefficient directeur à partir de la forme générale.

Point du programme MAT.LO.9.P.1 reconnaît la position relative de droites dans le plan à partir de leurs équations, notamment trouve le point commun de deux droites, s'il existe (notre traduction)
Point du programme MAT.LO.9.P.2 utilise les équations de droites dans le plan, sous forme réduite et générale, notamment détermine l'équation d'une droite ayant des propriétés données (telles que, par exemple, le passage par deux points donnés, un coefficient directeur connu, le parallélisme avec une autre droite) (notre traduction)

Dans le cadre de la géométrie analytique, l'élève transforme l'équation cartésienne d'une droite en équation réduite afin de lire avec précision son coefficient directeur. Sur cette base, il est capable d'établir la condition de perpendicularité et d'écrire l'équation d'une droite perpendiculaire passant par un point donné aux coordonnées connues. Il détermine également de manière algébrique les coordonnées du point d'intersection de deux droites dans le plan.

L'erreur la plus fréquente lors de la détermination d'une droite perpendiculaire est la confusion entre l'opposé et l'inverse d'un nombre — les élèves ne prennent souvent que l'inverse du coefficient directeur (par exemple, ils remplacent le nombre 3 par 1/3 au lieu de -1/3). La division correcte par le coefficient associé à la variable y lors de la transformation de l'équation cartésienne pose également des difficultés, en particulier lorsque ce coefficient est de signe négatif.

Les exercices vérifiant cette compétence comprennent des calculs types :

  • Coefficient directeur à partir de l'équation cartésienne — transformation de l'équation de la droite et lecture de sa pente ;
  • Droite perpendiculaire passant par un point — recherche d'une nouvelle équation de droite satisfaisant à la condition de perpendicularité et passant par un point donné ;
  • Point d'intersection de deux droites — détermination du couple de nombres constituant la solution commune des équations des deux droites.
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Types d’exercices: Pente à partir de la forme générale · Droite perpendiculaire passant par un point · Intersection de deux droites

Calcul de la distance entre deux points dans le plan

L'élève calcule la distance entre deux points dans un système de coordonnées, en utilisant la relation géométrique issue du théorème de Pythagore.

Point du programme MAT.LO.9.P.3 calcule la distance entre deux points dans un repère (notre traduction)

Dans le cadre de la géométrie analytique, l'élève détermine la distance entre deux points de coordonnées numériques données. Il considère le segment reliant ces points comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle, dont les côtés de l'angle droit découlent directement des différences de coordonnées sur les axes. Sur cette base, l'élève applique le théorème de Pythagore pour calculer la longueur exacte du segment.

Une difficulté typique à cette étape réside dans les erreurs de calcul lors de la soustraction de nombres négatifs pendant la détermination de la longueur des côtés de l'angle droit (par exemple, soustraire une coordonnée négative d'une coordonnée positive). Les élèves ont également tendance à oublier d'extraire la racine carrée à la fin des calculs, laissant comme résultat le carré de la distance.

En pratique, dans des exercices tels que Distance entre des points avec le théorème de Pythagore et Distance entre des points, l'élève reçoit les coordonnées de deux points et détermine la distance qui les sépare. Les exercices peuvent demander de représenter un triangle auxiliaire dans le repère ou de calculer directement la longueur du segment, avec une éventuelle simplification du radical.

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Types d’exercices: Distance entre deux points · Distance entre deux points avec Pythagore

Calcul du n-ième terme et de la somme d'une suite arithmétique

L'élève détermine un terme quelconque d'une suite arithmétique à partir de sa formule générale et calcule la somme d'un nombre déterminé de ses premiers termes.

Point du programme MAT.LO.6.P.4 vérifie si une suite donnée est arithmétique ou géométrique (notre traduction)
Point du programme MAT.LO.6.P.5 utilise la formule du n-ième terme et de la somme des n premiers termes d'une suite arithmétique (notre traduction)
Point du programme MAT.LO.6.P.7 utilise les propriétés des suites, notamment arithmétiques et géométriques, pour résoudre des problèmes, également ancrés dans un contexte pratique. (notre traduction)

En classe de 3e année de lycée et de lycée technique, l'élève manipule avec aisance les propriétés d'une suite arithmétique. Il est capable de déterminer la valeur de n'importe quel terme indiqué à partir du premier terme et de la raison de la suite, ainsi que de calculer la somme d'un nombre déterminé de ses premiers termes consécutifs.

Une difficulté fréquente à ce stade consiste à confondre le rang d'un terme avec sa valeur réelle (c'est-à-dire l'indice n avec le terme an). Des erreurs apparaissent également avec les suites décroissantes, pour lesquelles la raison est négative, ce qui entraîne des fautes de signe lors du remplacement des valeurs dans la formule de la somme.

Les exercices permettant d'entraîner cette compétence se présentent sous deux formes claires :

  • Suite arithmétique — n-ième terme : l'élève dispose des données initiales de la suite et calcule un terme précis et plus éloigné (par exemple le dixième ou le vingtième).
  • Suite arithmétique — somme de termes : l'exercice consiste à calculer la somme d'un nombre défini de premiers termes d'une suite donnée à l'aide de la formule appropriée.
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Types d’exercices: Suite arithmétique — somme · Suite arithmétique — terme de rang n

Calcul des termes et de la somme d'une suite géométrique

L'élève détermine un terme quelconque d'une suite géométrique et calcule la somme de ses premiers termes à partir des données fournies.

Point du programme MAT.LO.6.P.4 vérifie si une suite donnée est arithmétique ou géométrique (notre traduction)
Point du programme MAT.LO.6.P.6 utilise la formule du n-ième terme et de la somme des n premiers termes d'une suite géométrique (notre traduction)
Point du programme MAT.LO.6.P.7 utilise les propriétés des suites, notamment arithmétiques et géométriques, pour résoudre des problèmes, également ancrés dans un contexte pratique. (notre traduction)

En 3e année de lycée général et technologique, l'élève maîtrise les règles régissant la suite géométrique. À partir du premier terme et de la raison, il est capable de déterminer le terme général et de calculer la valeur de n'importe quel n-ième terme. Il utilise également la formule de la somme des n premiers termes de la suite, en combinant avec aisance la multiplication par une raison constante et l'élévation à la puissance.

Une erreur fréquente consiste à confondre la raison d'une suite géométrique avec celle d'une suite arithmétique — les élèves ont le réflexe d'ajouter une valeur constante au lieu de multiplier les termes consécutifs. La priorité des opérations ainsi que l'élévation à la puissance de fractions et de nombres négatifs posent également des difficultés, ce qui entraîne des erreurs de signe lors du calcul des puissances dans la formule de la somme.

Les fiches d'exercices à imprimer comprennent les modèles suivants :

  • Suite géométrique — n-ième terme : calcul du terme indiqué ou de la raison à partir des données initiales ;
  • Suite géométrique — somme des termes : détermination de la somme d'un nombre donné de premiers termes de la suite.
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Types d’exercices: Suite géométrique — somme · Suite géométrique — terme de rang n

Calcul des termes d'une suite à partir de la formule générale et de la récurrence

L'élève calcule des termes particuliers d'une suite numérique à partir de la formule générale donnée ou d'une relation de récurrence.

Point du programme MAT.LO.6.P.1 calcule les termes d'une suite définie par une formule générale (notre traduction)
Point du programme MAT.LO.6.P.2 calcule les premiers termes de suites définies par récurrence (notre traduction)

En classe de 3e de lycée général et technique, l'élève détermine avec aisance les valeurs des termes indiqués d'une suite numérique. Il sait remplacer le rang n dans la formule explicite pour calculer directement le résultat, ainsi que déterminer les termes successifs de la suite à partir d'une relation de récurrence, en s'appuyant sur la connaissance des termes précédents.

Une difficulté fréquente consiste à confondre l'indice d'un terme avec sa valeur — par exemple, confondre la notation du terme précédent avec la soustraction de un à la valeur du terme actuel. Pour les suites définies par récurrence, la rigueur de calcul représente également un défi : une petite erreur arithmétique commise au début des calculs se répercute en cascade sur tous les termes suivants.

Les exercices reposent sur deux types de tâches :

  • Terme d'une suite à partir de la formule générale — l'élève dispose de la formule explicite de la suite et calcule une valeur précise (par exemple le cinquième ou le dixième terme) en remplaçant n par l'entier naturel correspondant ;
  • Terme d'une suite définie par récurrence — à partir du terme initial et de la règle de récurrence, l'élève calcule progressivement les éléments successifs de la suite jusqu'à parvenir au terme recherché.
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Types d’exercices: Terme d'une suite à partir de la formule · Terme d'une suite récurrente

Calcul et application du symbole de Newton

L'élève apprend à calculer la valeur du coefficient binomial à l'aide de la factorielle et à l'utiliser pour déterminer le nombre de façons de choisir un groupe de personnes ou d'éléments.

En classe de 3e, l'élève découvre le coefficient binomial (notation de Newton) et apprend à calculer efficacement sa valeur numérique. Il maîtrise le développement et la simplification de fractions contenant des factorielles, ce qui permet d'effectuer des calculs rapides sans devoir multiplier de grands nombres. Il utilise cette notation pour modéliser des situations où l'on choisit un sous-ensemble d'éléments sans tenir compte de leur ordre.

Une erreur fréquente à ce stade consiste à confondre les situations où l'ordre compte avec celles où seule la composition du groupe importe. Par conséquent, les élèves oublient souvent de diviser le produit par la factorielle du nombre d'éléments sélectionnés. Des erreurs de calcul surviennent également couramment lors de la simplification du dénominateur de la fraction.

En pratique, les exercices portant sur cette compétence comprennent deux types de tâches :

  • Valeur du coefficient binomial — calcul purement arithmétique de la valeur du coefficient donné en simplifiant les produits de nombres ;
  • Choix d'une délégation — problèmes contextuels consistant à calculer de combien de façons on peut choisir un groupe plus restreint (par exemple, une délégation de quelques personnes) au sein d'un ensemble plus large de personnes ou d'objets.
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Types d’exercices: Valeur d'un coefficient binomial · Choix d'une délégation

Conversion de degrés en radians et de radians en degrés

L'élève convertit avec aisance la mesure d'un angle donnée en degrés en radians et convertit une mesure exprimée en radians en degrés.

En classe de 3e, l'élève découvre la mesure en radians d'un angle comme méthode alternative pour exprimer la mesure d'un angle. À cette étape, il apprend à passer aisément des degrés aux radians, en s'appuyant sur la relation fondamentale selon laquelle un angle de 180° correspond à π radians. Il utilise des proportions ainsi que la multiplication par la fraction appropriée pour déterminer la valeur exacte de l'angle dans la nouvelle unité.

Une difficulté classique réside dans l'inversion de la formule de conversion. Les élèves confondent souvent le cas où il faut multiplier par π/180° et celui où il faut multiplier par 180°/π, ce qui mène à un résultat erroné comportant un π en trop ou absent. La simplification correcte des fractions obtenues sous leur forme irréductible peut également s'avérer délicate.

Les exercices reposent sur deux types de consignes : dans les exercices Degrés en radians, l'élève convertit un angle donné (par ex. 45° ou 120°) sous la forme d'une fraction avec le symbole π. Dans les exercices Radians en degrés, il effectue l'opération inverse en remplaçant π par 180° et en calculant la mesure finale en degrés.

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Types d’exercices: Degrés en radians · Radians en degrés

Détermination de la période et de l'amplitude d'une sinusoïde

L'élève apprend à déterminer la période fondamentale et la valeur maximale de la fonction sinus à partir de sa formule ou de son graphique.

En troisième année de lycée général et technique, les élèves analysent les représentations graphiques et les formules des fonctions trigonométriques en utilisant la mesure des angles en radians. Dans le cadre de cet apprentissage, ils déterminent deux paramètres clés de la sinusoïde : sa période (la longueur du cycle qui se répète) et son amplitude, c'est-à-dire l'écart par rapport à l'axe médian lié à la valeur maximale atteinte.

Une erreur fréquente consiste à confondre l'effet des différents coefficients de la formule sur l'allure de la courbe. Les élèves assimilent souvent le coefficient de la variable directement à la période, au lieu de la calculer à l'aide de la formule tenant compte de la périodicité de 2π, ou confondent l'étirement vertical de la courbe avec sa compression horizontale.

Les fiches d'exercices à imprimer sur ce thème comprennent deux formats types :

  • Période d'une sinusoïde — l'élève calcule ou lit la longueur du cycle d'une fonction dont la variable a été transformée ;
  • Valeur maximale d'une sinusoïde — l'élève détermine la valeur maximale atteinte par la fonction en analysant son amplitude et son décalage vertical.
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Types d’exercices: Maximum d'une sinusoïde · Période d'une sinusoïde

Quadrilatères inscrits dans un cercle et circonscrits à un cercle

L'élève calcule les mesures des angles d'un quadrilatère inscrit dans un cercle et les longueurs des côtés d'un quadrilatère circonscrit à un cercle, en appliquant les relations entre les éléments opposés de la figure.

L'élève de 3e année de lycée général et technique est capable de déterminer les grandeurs manquantes dans les quadrilatères liés à un cercle. Dans le cas d'une figure inscrite dans un cercle, il utilise la règle selon laquelle la somme des mesures des angles opposés est égale à 180°. Lorsqu'un quadrilatère est circonscrit à un cercle, l'élève applique la relation indiquant que les sommes des longueurs des paires de côtés opposés sont égales.

Le problème le plus fréquent consiste à confondre ces deux propriétés ou à les appliquer à des éléments adjacents de la figure plutôt qu'à ceux situés à l'opposé. Les élèves additionnent par erreur pour obtenir 180° des angles adjacents à un même côté ou égalisent les sommes de côtés consécutifs, ce qui conduit à poser une équation incorrecte.

En pratique, les exercices consistent à lire les données d'une figure ou de l'énoncé et à calculer la valeur manquante. Dans le modèle Angle dans un quadrilatère inscrit, l'élève détermine la mesure d'un angle inconnu, et dans l'exercice Côté d'un quadrilatère circonscrit à un cercle, il calcule la longueur du quatrième côté à partir de trois segments donnés.

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Types d’exercices: Angle d'un quadrilatère inscrit · Côté d'un quadrilatère circonscrit

Détermination du centre et du rayon d'un cercle à partir de son équation

L'élève apprend à lire les coordonnées du centre et la longueur du rayon d'un cercle directement à partir de son équation sous forme canonique.

Point du programme MAT.LO.9.P.4 utilise l'équation d'un cercle (x − a)² + (y − b)² = r² (notre traduction)

À cette étape, l'élève analyse l'équation d'un cercle et détermine à partir de celle-ci deux paramètres fondamentaux : les coordonnées du centre du cercle et la longueur de son rayon. Il relie avec aisance l'écriture algébrique de la relation entre les variables à sa signification géométrique dans le repère.

Une difficulté classique consiste à confondre les signes lors de la détermination des coordonnées du centre. La formule comportant une soustraction, la présence d'un signe plus entre parenthèses indique une coordonnée négative, ce que les élèves oublient souvent. Une autre erreur fréquente consiste à assimiler directement le membre de droite de l'équation au rayon plutôt qu'à son carré – par exemple en indiquant un rayon égal à 25 au lieu de 5.

Les exercices se présentent sous la forme d'une analyse directe de l'équation donnée. Dans l'exercice Centre d'un cercle à partir de son équation, l'élève doit donner correctement le couple de coordonnées du centre, tandis que dans l'exercice Rayon d'un cercle à partir de son équation, il détermine la longueur du rayon en prenant la racine carrée du nombre situé à droite du signe égal.

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Types d’exercices: Centre du cercle à partir de l'équation · Rayon du cercle à partir de l'équation

Longueur et opérations sur les vecteurs

L'élève calcule la longueur d'un vecteur dans le plan à partir de ses coordonnées et détermine les coordonnées des vecteurs résultant de l'addition, de la soustraction et de la multiplication par un nombre.

En 3e année de lycée général et technique, l'élève travaille avec les vecteurs dans un repère. Il détermine efficacement la norme d'un vecteur à l'aide du théorème de Pythagore appliqué à ses coordonnées et effectue les opérations fondamentales : il additionne et soustrait des vecteurs, et les multiplie par des nombres réels, formant ainsi leurs combinaisons linéaires.

Une erreur fréquente consiste à perdre les signes lors de l'élévation au carré de coordonnées négatives pendant le calcul de la norme d'un vecteur. Les élèves écrivent par exemple -32 = -9 au lieu de (-3)2 = 9, ce qui mène à des résultats erronés sous la racine carrée. La soustraction correcte de vecteurs pose également des difficultés lorsque les coordonnées contiennent des nombres négatifs, car il est facile de se tromper en simplifiant un double signe moins.

Les exercices portant sur cette notion se présentent sous deux formes principales :

  • Norme d'un vecteur – l'élève reçoit les coordonnées d'un vecteur et calcule sa valeur numérique, souvent en simplifiant des expressions avec des radicaux ;
  • Combinaison de vecteurs – l'élève détermine les coordonnées d'un nouveau vecteur défini par une formule algébrique, par exemple 2a - 3b, en effectuant les calculs directement sur les coordonnées des vecteurs donnés.
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Types d’exercices: Combinaison de vecteurs · Norme d'un vecteur

Calcul de la somme d'une série géométrique

L'élève vérifie la condition de convergence et calcule la somme d'une suite infinie de nombres à l'aide de la formule de la somme d'une série géométrique.

En troisième année de lycée, l'élève découvre la notion de série géométrique, c'est-à-dire la somme d'une infinité de termes consécutifs d'une suite géométrique. Il apprend à déterminer quand une telle somme donne un nombre fini — en vérifiant si la raison de la suite satisfait à la condition |q| < 1 — puis calcule sa valeur exacte à l'aide d'une formule utilisant le premier terme et la raison.

Un problème classique réside dans l'application mécanique de la formule sans vérifier si la série est convergente. Les élèves tentent de calculer la somme même lorsque la raison vaut par exemple 2 ou -3, ce qui conduit à des conclusions erronées. Un autre piège fréquent concerne les erreurs de calcul lorsque la raison est négative, où apparaît au dénominateur la soustraction d'un nombre négatif (1 - q).

Dans les exercices du modèle Somme d'une série géométrique, l'élève reçoit le plus souvent une suite de fractions ou de nombres entiers (par ex. 1/2, 1/4, 1/8...) écrite sous la forme d'une somme infinie, avec pour consigne de déterminer la raison, d'étudier la possibilité de calculer la somme et d'en déterminer le résultat numérique final.

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Calcul de la probabilité de l'union d'événements

L'élève calcule la probabilité de réalisation d'au moins un des deux événements, en utilisant la formule de la probabilité de la réunion d'événements et en tenant compte de leur intersection.

Point du programme MAT.LO.12.P.1 calcule la probabilité dans le modèle classique (notre traduction)

L'élève en 3e année de lycée général ou technique détermine la probabilité qu'au moins l'un de deux événements aléatoires se produise. Il utilise pour cela la relation reliant la probabilité de la réunion d'événements aux probabilités de chacun des événements et de leur intersection : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

L'erreur la plus courante consiste à additionner mécaniquement les valeurs P(A) et P(B) en omettant de soustraire l'intersection P(A ∩ B). Les élèves oublient de vérifier si les événements peuvent se produire simultanément, ce qui les amène à compter deux fois les mêmes issues et conduit souvent à un résultat erroné supérieur à 1.

Les exercices du modèle Probabilité de la réunion d'événements exigent de calculer la probabilité manquante à partir de données numériques fournies explicitement ou dans l'énoncé d'un problème portant sur un tirage de nombres, de cartes ou des lancers de dés, où l'élève doit déterminer lui-même les probabilités élémentaires et l'intersection des deux situations.

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Probabilité dans un tirage sans remise

L'élève calcule la probabilité d'événements aléatoires en appliquant les règles de la combinatoire à des expériences à plusieurs étapes, telles que le tirage de boules d'une urne sans remise.

Point du programme MAT.LO.12.P.1 calcule la probabilité dans le modèle classique (notre traduction)

L'élève associe la définition classique de la probabilité aux méthodes combinatoires. À ce stade, il est capable de déterminer correctement le nombre de toutes les issues possibles d'une expérience ainsi que le nombre d'issues favorables dans des situations où les objets sont tirés par lots ou successivement sans remise.

Une erreur fréquente consiste à ne pas tenir compte du fait qu'après chaque étape, le nombre d'éléments disponibles dans l'ensemble diminue. Les élèves ont parfois tendance à traiter les étapes successives comme s'il s'agissait d'un tirage avec remise, ou ont des difficultés à déterminer si l'ordre de tirage des objets a de l'importance lors du dénombrement des combinaisons favorables.

Les exercices d'entraînement à cette compétence s'appuient sur le modèle du tirage de boules sans remise. L'élève analyse le contenu d'une urne contenant des boules de différentes couleurs et calcule la probabilité de tirer un ensemble précis — par exemple, tirer exactement deux boules d'une même couleur ou des boules de couleurs différentes.

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Calcul des limites de suites rationnelles

L'élève apprend à déterminer la limite d'une suite définie par une expression fractionnaire (rationnelle), en étudiant le comportement de ses termes lorsque l'indice tend vers l'infini.

En troisième année de lycée et de lycée technique, l'élève s'exerce à déterminer la limite d'une suite dont les termes sont exprimés par une fraction contenant des polynômes de la variable n au numérateur et au dénominateur. L'exercice consiste à déterminer vers quelle valeur tendent les termes de la suite lorsque n devient arbitrairement grand. L'élève applique la technique consistant à factoriser par la plus haute puissance de n au numérateur et au dénominateur, ce qui permet de ramener la fraction à une forme claire.

Une erreur fréquente consiste à tenter de remplacer directement l'infini dans la formule et à effectuer sur celui-ci des opérations usuelles, ce qui conduit à des conclusions erronées en présence de formes indéterminées. Les élèves rencontrent également parfois des difficultés à diviser correctement chaque terme de la somme par la puissance factorisée, ou oublient que les fractions ayant n au dénominateur tendent vers zéro lorsque l'indice augmente.

Les exercices du modèle Limite d'une suite rationnelle consistent à calculer la limite d'une fraction algébrique donnée. L'élève transforme l'expression de la suite, simplifie les puissances et note la valeur numérique finale de la limite, ou établit que la suite diverge vers l'infini.

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Détermination de la composée de deux fonctions

L'élève apprend à créer une nouvelle fonction en insérant l'expression d'une fonction à la place de l'argument d'une autre et à calculer les valeurs d'une telle composition.

À ce stade, l'élève sait déterminer l'expression d'une fonction composée en appliquant l'opération de composition de deux fonctions, telles que f(g(x)) ou g(f(x)). Il comprend que la valeur renvoyée par la fonction interne devient l'argument d'entrée de la fonction externe, et sait déterminer sur cette base la forme algébrique finale de la nouvelle fonction.

Une erreur courante consiste à confondre l'ordre de composition et à traiter l'opération f(g(x)) de la même manière que g(f(x)), alors que la composition de fonctions n'est généralement pas commutative. Les élèves oublient également souvent d'entourer de parenthèses l'expression substituée, ce qui entraîne des erreurs de signe ou la perte d'exposants lors du remplacement de la variable x par l'expression complète de la fonction interne.

Les exercices du modèle Composition de fonctions demandent le plus souvent de déterminer l'expression générale de la composée de deux fonctions algébriques données ou de calculer une valeur numérique précise pour un argument donné, par exemple la valeur de l'expression f(g(3)).

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Résolution d'équations trigonométriques simples

L'élève résout des équations simples avec des fonctions trigonométriques, en déterminant les angles en radians ou en degrés tout en tenant compte de leur périodicité.

En classe de 3e, l'élève résout des équations trigonométriques de base comportant une seule fonction, telle que le sinus, le cosinus ou la tangente (par exemple sin x = 1/2 ou tan x = 1). Il détermine la valeur des angles en utilisant la mesure en radians exprimée à l'aide du nombre π ou la mesure en degrés, et écrit l'ensemble des séries de solutions en tenant compte de la périodicité de la fonction.

Une erreur classique à ce stade consiste à ne donner qu'un seul angle au lieu de deux au sein d'une même période — par exemple, indiquer l'angle π/6 pour un sinus égal à 1/2 en oubliant la valeur 5π/6. Les élèves confondent également souvent les périodes des fonctions, en ajoutant par erreur + 2kπ à la tangente au lieu de + kπ, ou en omettant complètement le paramètre entier k.

Les exercices du modèle Équation trigonométrique demandent le plus souvent de transformer l'expression donnée sous une forme élémentaire, puis de déterminer toutes les solutions correspondantes dans un intervalle donné (par exemple de 0 à 2π) ou de fournir une formule générale pour tous les nombres vérifiant l'équation.

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Détermination des points d'intersection d'une droite et d'un cercle

L'élève apprend à déterminer les coordonnées des points d'intersection ou de tangence d'une droite avec un cercle et à déterminer le nombre de leurs points communs.

Dans le cadre de la géométrie analytique, l'élève associe l'algèbre à la géométrie afin de déterminer la position relative d'une droite et d'un cercle. En résolvant un système composé d'une équation linéaire et d'une équation quadratique, il est capable de vérifier si la droite coupe le cercle en deux points, si elle lui est tangente ou si elle n'a aucun point commun avec lui, tout en calculant les coordonnées exactes de ces points dans un repère.

Une difficulté fréquente réside dans les erreurs de calcul lors de la substitution de la variable isolée de l'équation de la droite dans l'équation du cercle. Les élèves commettent souvent des erreurs lors de l'application des identités remarquables (en particulier avec les signes négatifs) et s'arrêtent fréquemment au calcul des seules abscisses x, en oubliant de calculer les ordonnées y correspondantes.

Les exercices types du modèle Points communs d'un cercle et d'une droite fournissent l'équation d'une droite et l'équation d'un cercle sous forme algébrique. L'élève doit résoudre le système d'équations, déterminer le nombre de solutions et donner les couples de nombres constituant les coordonnées des points d'intersection.

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Détermination de l'équation de la tangente à un cercle en un point

L'élève détermine l'équation de la droite tangente à un cercle en un point donné situé sur ce cercle, en utilisant les méthodes de la géométrie analytique dans un système de coordonnées.

Dans le cadre de la géométrie analytique en classe de 3e, l'élève sait déterminer l'équation de la droite tangente à un cercle en un point qui lui appartient. L'exercice repose sur la mise en relation de l'équation du cercle avec les propriétés des droites : l'élève détermine les coordonnées du centre du cercle, établit l'équation de la droite portant le rayon qui relie le centre au point de tangence, puis détermine l'équation de la droite perpendiculaire à ce rayon.

Une erreur fréquente sur cette notion réside dans la détermination du coefficient directeur de la droite perpendiculaire (par exemple, changer le signe sans inverser la valeur) ou dans la lecture incorrecte des coordonnées du centre du cercle à partir de son équation, en particulier lorsque des signes négatifs apparaissent dans la formule. Une autre difficulté survient lorsque la tangente est une droite verticale — l'élève tente alors d'écrire à tout prix son équation sous forme réduite plutôt que sous la forme x = c.

En pratique, dans les exercices du type Tangente à un cercle en un point, l'élève dispose de l'équation algébrique du cercle et des coordonnées du point de tangence. Son objectif est de mener les calculs permettant de donner l'équation finale de la droite tangente sous forme réduite ou générale.

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Modèles d'exercices à imprimer

Tous les types d’exercices, regroupés par compétence. Un clic ouvre le générateur avec le type déjà choisi.

Dénombrement des possibilités : principe multiplicatif et permutations

Probabilités dans des expériences simples

Équations de droites : perpendicularité et point d'intersection

Calcul de la distance entre deux points dans le plan

Calcul du n-ième terme et de la somme d'une suite arithmétique

Calcul des termes et de la somme d'une suite géométrique

Calcul des termes d'une suite à partir de la formule générale et de la récurrence

Calcul et application du symbole de Newton

Conversion de degrés en radians et de radians en degrés

Détermination de la période et de l'amplitude d'une sinusoïde

Quadrilatères inscrits dans un cercle et circonscrits à un cercle

Détermination du centre et du rayon d'un cercle à partir de son équation

Longueur et opérations sur les vecteurs

Calcul de la somme d'une série géométrique

Calcul de la probabilité de l'union d'événements

Probabilité dans un tirage sans remise

Calcul des limites de suites rationnelles

Détermination de la composée de deux fonctions

Résolution d'équations trigonométriques simples

Détermination des points d'intersection d'une droite et d'un cercle

Détermination de l'équation de la tangente à un cercle en un point

Autres types d’exercices

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