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Programa escolar (Polonia)

Matemáticas — 11.º curso

Matemáticas de 3.º de bachillerato y escuela técnica: sucesiones aritméticas y geométricas, trigonometría con medida en radianes, geometría analítica — rectas, circunferencias, vectores —, combinatoria y probabilidad. Ejercicios listos para imprimir para cada tema.

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¿Qué aprende un estudiante en matemáticas en 3.º de bachillerato?

En 3.er curso, el alumno estudia las sucesiones: halla términos, sumas de progresiones aritméticas y geométricas, y en el nivel ampliado, límites y series geométricas. Conoce la medida en radianes, las funciones periódicas y las ecuaciones trigonométricas. En geometría analítica, determina ecuaciones de rectas y circunferencias, puntos de intersección entre recta y circunferencia, tangentes y operaciones con vectores. En combinatoria y cálculo de probabilidades, calcula sucesos con la regla del producto, el binomio de Newton y la probabilidad clásica.

Información importante sobre el currículo: el currículo para la educación secundaria superior está formulado por bloques: describe lo que el alumno sabe al finalizar la etapa, por separado para el nivel básico y el ampliado. La asignación de cada tema a un curso específico es nuestra propuesta según la distribución habitual de la materia; en la sección «Alcance curricular» se muestran los puntos del currículo con citas textuales.

Estado de la página: los ejercicios de este curso están listos en formato directo (solo el enunciado y la fórmula); los ejercicios con figuras, demostraciones y problemas contextualizados se irán incorporando en las siguientes fases.

Alcance del currículo

  1. Punto del currículo MAT.LO.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Números reales

    nuestra traducción · texto original (PL): Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Punto del currículo MAT.LO.1.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    realiza operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potenciación, radicación, logaritmación) en el conjunto de los números reales

    nuestra traducción · texto original (PL): wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

  3. Punto del currículo MAT.LO.1.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    realiza demostraciones sencillas sobre la divisibilidad de números enteros y los restos de la división, p. ej.:

    nuestra traducción · texto original (PL): przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Punto del currículo MAT.LO.1.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica las propiedades de las raíces de cualquier grado, incluidas las raíces de grado impar de números negativos

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

  5. Punto del currículo MAT.LO.1.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la relación entre la radicación y la potenciación y las leyes de las operaciones con potencias y raíces

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

  6. Punto del currículo MAT.LO.1.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la monotonía de la potenciación, en particular las propiedades: si x < y y a > 1, entonces ax < ay, mientras que cuando x < y y 0 < a < 1, entonces ax > ay

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Punto del currículo MAT.LO.1.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza el concepto de intervalo numérico, representa intervalos en la recta numérica

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Punto del currículo MAT.LO.1.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la interpretación geométrica y algebraica del valor absoluto, resuelve ecuaciones del tipo: |x + 4| = 5

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Punto del currículo MAT.LO.1.P.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las propiedades de la potenciación y la radicación en situaciones prácticas, incluido el cálculo de intereses compuestos, ganancias de depósitos y costes de créditos

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

  10. Punto del currículo MAT.LO.1.P.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la relación entre la logaritmación y la potenciación, utiliza las fórmulas del logaritmo de un producto, el logaritmo de un cociente y el logaritmo de una potencia.

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

  11. Punto del currículo MAT.LO.1.P.2.a · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    demostración de la divisibilidad por 24 del producto de cuatro números naturales consecutivos

    nuestra traducción · texto original (PL): dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Punto del currículo MAT.LO.1.P.2.b · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    demostración de la propiedad: si un número al dividirse entre 4 da resto 3, entonces no es el cuadrado de un número entero

    nuestra traducción · texto original (PL): dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Punto del currículo MAT.LO.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Expresiones algebraicas

    nuestra traducción · texto original (PL): Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Punto del currículo MAT.LO.2.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica las fórmulas de los productos notables para: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

  15. Punto del currículo MAT.LO.2.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    suma, resta y multiplica polinomios de una y varias variables

    nuestra traducción · texto original (PL): dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

  16. Punto del currículo MAT.LO.2.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    extrae fuera del paréntesis un monomio de una suma algebraica

    nuestra traducción · texto original (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

  17. Punto del currículo MAT.LO.2.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    multiplica y divide expresiones racionales.

    nuestra traducción · texto original (PL): mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

  18. Punto del currículo MAT.LO.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Ecuaciones e inecuaciones

    nuestra traducción · texto original (PL): Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Punto del currículo MAT.LO.3.P.1 · Contenidos de enseñanza

    transforma ecuaciones e inecuaciones de forma equivalente, entre ellas, p. ej., transforma de forma equivalente una ecuación racional (ejemplo en la norma)

    nuestra traducción · texto original (PL): przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

  20. Punto del currículo MAT.LO.3.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpreta ecuaciones e inecuaciones lineales incompatibles y de identidad

    nuestra traducción · texto original (PL): interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

  21. Punto del currículo MAT.LO.3.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve inecuaciones lineales con una incógnita

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

  22. Punto del currículo MAT.LO.3.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve ecuaciones e inecuaciones cuadráticas

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Punto del currículo MAT.LO.3.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve ecuaciones polinómicas de la forma W(x) = 0 para polinomios llevados a la forma factorizada.

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Punto del currículo MAT.LO.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Sistemas de ecuaciones

    nuestra traducción · texto original (PL): Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Punto del currículo MAT.LO.4.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, da la interpretación geométrica de sistemas determinados, indeterminados e incompatibles

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

  26. Punto del currículo MAT.LO.4.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica sistemas de ecuaciones para resolver problemas con enunciado.

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Punto del currículo MAT.LO.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Funciones

    nuestra traducción · texto original (PL): Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Punto del currículo MAT.LO.5.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    define las funciones como una asignación unívoca mediante descripción verbal, tabla, gráfica, fórmula (también mediante diferentes fórmulas en diferentes intervalos)

    nuestra traducción · texto original (PL): określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Punto del currículo MAT.LO.5.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula el valor de una función dada por una fórmula algebraica

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Punto del currículo MAT.LO.5.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    lee e interpreta los valores de funciones definidas mediante tablas, gráficas, fórmulas, etc., también en situaciones de uso múltiple de la misma fuente de información o de varias fuentes simultáneamente

    nuestra traducción · texto original (PL): odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Punto del currículo MAT.LO.5.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    lee a partir de la gráfica de una función: el dominio, el recorrido, los ceros, los intervalos de monotonía, los intervalos en los que la función toma valores mayores (no menores) o menores (no mayores) que un número dado, los valores máximo y mínimo de la función (si existen) en un intervalo cerrado dado y los argumentos para los cuales la función alcanza los valores máximo y mínimo

    nuestra traducción · texto original (PL): odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Punto del currículo MAT.LO.5.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpreta los coeficientes que aparecen en la fórmula de la función lineal

    nuestra traducción · texto original (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Punto del currículo MAT.LO.5.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    determina la fórmula de una función lineal a partir de información sobre su gráfica o sobre sus propiedades

    nuestra traducción · texto original (PL): wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

  34. Punto del currículo MAT.LO.5.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    esboza la gráfica de una función cuadrática dada por una fórmula

    nuestra traducción · texto original (PL): szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Punto del currículo MAT.LO.5.P.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpreta los coeficientes que aparecen en la fórmula de la función cuadrática en forma general, canónica y factorizada (si existe)

    nuestra traducción · texto original (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Punto del currículo MAT.LO.5.P.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    determina la fórmula de la función cuadrática a partir de información sobre esta función o sobre su gráfica

    nuestra traducción · texto original (PL): wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Punto del currículo MAT.LO.5.P.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    determina el valor máximo y mínimo de una función cuadrática en un intervalo cerrado

    nuestra traducción · texto original (PL): wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Punto del currículo MAT.LO.5.P.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las propiedades de la función lineal y cuadrática para interpretar cuestiones geométricas, físicas, etc., también enmarcadas en un contexto práctico

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Punto del currículo MAT.LO.5.P.12 · Contenidos de enseñanza

    a partir de la gráfica de la función y = f(x) esboza las gráficas de las funciones y = f(x − a), y = f(x) + b

    nuestra traducción · texto original (PL): na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Punto del currículo MAT.LO.5.P.13 · Contenidos de enseñanza

    utiliza la función f(x) = a/x, incluida su gráfica, para describir e interpretar cuestiones relacionadas con magnitudes inversamente proporcionales, también en aplicaciones prácticas

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Punto del currículo MAT.LO.5.P.14 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las funciones exponencial y logarítmica, incluidas sus gráficas, para describir e interpretar cuestiones relacionadas con aplicaciones prácticas.

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Punto del currículo MAT.LO.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Sucesiones

    nuestra traducción · texto original (PL): Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Punto del currículo MAT.LO.6.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula los términos de una sucesión definida por una fórmula general

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

    Cálculo de los términos de una sucesión a partir de la fórmula general y de la recurrencia (en nuestro curso 11)

  44. Punto del currículo MAT.LO.6.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula los primeros términos de sucesiones definidas recursivamente

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

    Cálculo de los términos de una sucesión a partir de la fórmula general y de la recurrencia (en nuestro curso 11)

  45. Punto del currículo MAT.LO.6.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    en casos sencillos analiza si una sucesión es creciente o decreciente

    nuestra traducción · texto original (PL): w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Punto del currículo MAT.LO.6.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    comprueba si una sucesión dada es aritmética o geométrica

    nuestra traducción · texto original (PL): sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

    Cálculo del n-ésimo término y de la suma de una progresión aritmética (en nuestro curso 11) · Cálculo de los términos y la suma de una progresión geométrica (en nuestro curso 11)

  47. Punto del currículo MAT.LO.6.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la fórmula del término n-ésimo y de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

    Cálculo del n-ésimo término y de la suma de una progresión aritmética (en nuestro curso 11)

  48. Punto del currículo MAT.LO.6.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica la fórmula del término n-ésimo y de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

    Cálculo de los términos y la suma de una progresión geométrica (en nuestro curso 11)

  49. Punto del currículo MAT.LO.6.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las propiedades de las sucesiones, incluidas las aritméticas y geométricas, para resolver problemas, también enmarcados en un contexto práctico.

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

    Cálculo del n-ésimo término y de la suma de una progresión aritmética (en nuestro curso 11) · Cálculo de los términos y la suma de una progresión geométrica (en nuestro curso 11)

  50. Punto del currículo MAT.LO.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Trigonometría

    nuestra traducción · texto original (PL): Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Punto del currículo MAT.LO.7.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las definiciones de las funciones: seno, coseno y tangente para ángulos de 0° a 180°, en particular determina los valores de las funciones trigonométricas para ángulos de 30°, 45°, 60°

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Punto del currículo MAT.LO.7.P.2 · Contenidos de enseñanza

    utiliza las fórmulas sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    nuestra traducción · texto original (PL): korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Punto del currículo MAT.LO.7.P.3 · Contenidos de enseñanza

    aplica el teorema del coseno y la fórmula del área del triángulo P = ½ · a · b · sin γ

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Punto del currículo MAT.LO.7.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula los ángulos de un triángulo rectángulo y las longitudes de sus lados con los datos adecuados (resuelve triángulos rectángulos, incluido el uso de funciones trigonométricas).

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Punto del currículo MAT.LO.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Planimetría

    nuestra traducción · texto original (PL): Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Punto del currículo MAT.LO.8.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    determina radios y diámetros de circunferencias, longitudes de cuerdas de circunferencias y de segmentos tangentes, incluyendo el uso del teorema de Pitágoras

    nuestra traducción · texto original (PL): wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Punto del currículo MAT.LO.8.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce triángulos acutángulos, rectángulos y obtusángulos dadas las longitudes de los lados (entre otros, aplica el teorema recíproco de Pitágoras y el teorema del coseno); aplica el teorema: en un triángulo, al ángulo interior mayor se opone el lado más largo

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Punto del currículo MAT.LO.8.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce polígonos regulares y utiliza sus propiedades básicas

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Punto del currículo MAT.LO.8.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las propiedades de los ángulos y las diagonales en rectángulos, paralelogramos, rombos y trapecios

    nuestra traducción · texto original (PL): korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Punto del currículo MAT.LO.8.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica las propiedades de los ángulos inscritos y centrales

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Punto del currículo MAT.LO.8.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica las fórmulas del área del sector circular y de la longitud del arco de circunferencia

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Punto del currículo MAT.LO.8.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica el teorema de Tales

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Punto del currículo MAT.LO.8.P.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza los criterios de semejanza de triángulos

    nuestra traducción · texto original (PL): korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Punto del currículo MAT.LO.8.P.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las relaciones entre los perímetros y entre las áreas de figuras semejantes

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Punto del currículo MAT.LO.8.P.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    indica los puntos notables básicos de un triángulo: centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, centro de la circunferencia circunscrita al triángulo, ortocentro, baricentro y utiliza sus propiedades

    nuestra traducción · texto original (PL): wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Punto del currículo MAT.LO.8.P.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    realiza demostraciones geométricas

    nuestra traducción · texto original (PL): przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Punto del currículo MAT.LO.8.P.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    aplica funciones trigonométricas para determinar longitudes de segmentos en figuras planas y calcular áreas de figuras.

    nuestra traducción · texto original (PL): stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Punto del currículo MAT.LO.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Geometría analítica en el plano cartesiano

    nuestra traducción · texto original (PL): Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Punto del currículo MAT.LO.9.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce la posición relativa de rectas en el plano a partir de sus ecuaciones, incluyendo hallar el punto común de dos rectas, si existe

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

    Ecuaciones de rectas: perpendicularidad y punto de intersección (en nuestro curso 11)

  70. Punto del currículo MAT.LO.9.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza las ecuaciones de rectas en el plano, en forma explícita y general, entre ellas determina la ecuación de una recta con propiedades dadas (tales como, p. ej., pasar por dos puntos dados, pendiente conocida, paralelismo con otra recta)

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

    Ecuaciones de rectas: perpendicularidad y punto de intersección (en nuestro curso 11)

  71. Punto del currículo MAT.LO.9.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula la distancia entre dos puntos en el sistema de coordenadas

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

    Cálculo de la distancia entre puntos en el plano (en nuestro curso 11)

  72. Punto del currículo MAT.LO.9.P.4 · Contenidos de enseñanza

    utiliza la ecuación de la circunferencia (x − a)² + (y − b)² = r²

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

    Determinación del centro y el radio de una circunferencia a partir de su ecuación (en nuestro curso 11)

  73. Punto del currículo MAT.LO.9.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    determina las imágenes de circunferencias y polígonos en simetrías axiales respecto a los ejes del sistema de coordenadas, simetría central (con centro en el origen del sistema de coordenadas).

    nuestra traducción · texto original (PL): wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Punto del currículo MAT.LO.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Estereometría

    nuestra traducción · texto original (PL): Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Punto del currículo MAT.LO.10.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce la posición relativa de rectas en el espacio, en particular rectas perpendiculares que no se cortan

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Punto del currículo MAT.LO.10.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza el concepto de ángulo entre una recta y un plano y el concepto de ángulo diedro entre semiplanos

    nuestra traducción · texto original (PL): posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Punto del currículo MAT.LO.10.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce en prismas y pirámides ángulos entre segmentos (p. ej., aristas, aristas y diagonales) y ángulos entre caras, calcula las medidas de estos ángulos

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Punto del currículo MAT.LO.10.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    reconoce en cilindros y en conos el ángulo entre segmentos y el ángulo entre segmentos y planos (p. ej., el ángulo de apertura del cono, el ángulo entre la generatriz y la base), calcula las medidas de estos ángulos

    nuestra traducción · texto original (PL): rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Punto del currículo MAT.LO.10.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula volúmenes y áreas de la superficie de prismas, pirámides, cilindro, cono y esfera, también utilizando la trigonometría

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Punto del currículo MAT.LO.10.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    utiliza la relación entre los volúmenes de sólidos semejantes.

    nuestra traducción · texto original (PL): wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Punto del currículo MAT.LO.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Combinatoria

    nuestra traducción · texto original (PL): Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Punto del currículo MAT.LO.11.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    cuenta objetos en situaciones combinatorias sencillas

    nuestra traducción · texto original (PL): zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

    Conteo de posibilidades: regla de la multiplicación y permutaciones (en nuestro curso 11)

  83. Punto del currículo MAT.LO.11.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    cuenta objetos, aplicando las reglas de la multiplicación y de la suma (también conjuntamente) para cualquier número de acciones, p. ej.:

    nuestra traducción · texto original (PL): zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

    Conteo de posibilidades: regla de la multiplicación y permutaciones (en nuestro curso 11)

  84. Punto del currículo MAT.LO.11.P.2.a · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    cálculo de cuántos números enteros positivos impares de cuatro cifras hay tales que en su notación decimal aparece exactamente una cifra 1 y exactamente una cifra 2

    nuestra traducción · texto original (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

    Conteo de posibilidades: regla de la multiplicación y permutaciones (en nuestro curso 11)

  85. Punto del currículo MAT.LO.11.P.2.b · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    cálculo de cuántos números enteros positivos pares de cuatro cifras hay tales que en su notación decimal aparece exactamente una cifra 0 y exactamente una cifra 1.

    nuestra traducción · texto original (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

    Conteo de posibilidades: regla de la multiplicación y permutaciones (en nuestro curso 11)

  86. Punto del currículo MAT.LO.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Cálculo de probabilidades y estadística

    nuestra traducción · texto original (PL): Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Punto del currículo MAT.LO.12.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula la probabilidad en el modelo clásico

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

    Probabilidad en experimentos simples (en nuestro curso 11) · Probabilidad en el muestreo sin reemplazo (en nuestro curso 11) · Cálculo de la probabilidad de la unión de sucesos (en nuestro curso 11)

  88. Punto del currículo MAT.LO.12.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    calcula la media aritmética y la media ponderada, halla la mediana y la moda.

    nuestra traducción · texto original (PL): oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Punto del currículo MAT.LO.13 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Optimización y cálculo diferencial

    nuestra traducción · texto original (PL): Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Punto del currículo MAT.LO.13.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    resuelve problemas de optimización en situaciones que pueden describirse mediante una función cuadrática.

    nuestra traducción · texto original (PL): rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Punto del currículo MAT.LO.WO.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Destreza de cálculo

    nuestra traducción · texto original (PL): Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Punto del currículo MAT.LO.WO.1.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Realización de cálculos con números reales, también con el uso de la calculadora, aplicación de las propiedades de las operaciones matemáticas en la transformación de expresiones algebraicas y utilización de estas habilidades en la resolución de problemas en contextos reales y teóricos

    nuestra traducción · texto original (PL): Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Punto del currículo MAT.LO.WO.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Uso y creación de información

    nuestra traducción · texto original (PL): Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Punto del currículo MAT.LO.WO.2.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Interpretación y manejo de la información presentada en un texto, tanto matemático como de divulgación científica, así como en forma de gráficos, diagramas, tablas

    nuestra traducción · texto original (PL): Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Punto del currículo MAT.LO.WO.2.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Uso del lenguaje matemático para la creación de textos matemáticos, incluida la descripción de los razonamientos realizados y la justificación de las conclusiones, así como para la presentación de datos

    nuestra traducción · texto original (PL): Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Punto del currículo MAT.LO.WO.3 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Uso e interpretación de representaciones

    nuestra traducción · texto original (PL): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Utilización de objetos matemáticos y operaciones con ellos, interpretación de conceptos matemáticos

    nuestra traducción · texto original (PL): Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Selección y creación de modelos matemáticos en la resolución de problemas prácticos y teóricos

    nuestra traducción · texto original (PL): Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.3 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Creación de objetos matemáticos auxiliares a partir de los existentes, con el fin de llevar a cabo una argumentación o resolver un problema

    nuestra traducción · texto original (PL): Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.4 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Indicación de la necesidad o posibilidad de modificar el modelo matemático en casos que requieran salvedades especiales, supuestos adicionales, la consideración de condiciones particulares

    nuestra traducción · texto original (PL): Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Punto del currículo MAT.LO.WO.4 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Razonamiento y argumentación

    nuestra traducción · texto original (PL): Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Realización de razonamientos, también de varias etapas, aportación de argumentos que justifiquen la corrección del razonamiento, distinción entre demostración y ejemplo

    nuestra traducción · texto original (PL): Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Reconocimiento de regularidades, similitudes y analogías, formulación de conclusiones a partir de ellas y justificación de su corrección

    nuestra traducción · texto original (PL): Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.3 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Selección de argumentos para justificar la corrección de la resolución de problemas, creación de una cadena de argumentos que garanticen la corrección de la solución y la eficacia en la búsqueda de soluciones a la cuestión

    nuestra traducción · texto original (PL): Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.4 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Aplicación y creación de estrategias en la resolución de problemas, también en situaciones atípicas

    nuestra traducción · texto original (PL): Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Competencias paso a paso

Conteo de posibilidades: regla de la multiplicación y permutaciones

El estudiante calcula el número de posibles ordenaciones y elecciones, aplicando las reglas de la multiplicación y de la suma, permutaciones y variaciones en problemas sobre cifras o reparto de premios.

Punto del currículo MAT.LO.11.P.1 cuenta objetos en situaciones combinatorias sencillas (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.LO.11.P.2 cuenta objetos, aplicando las reglas de la multiplicación y de la suma (también conjuntamente) para cualquier número de acciones, p. ej.: (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.LO.11.P.2.a cálculo de cuántos números enteros positivos impares de cuatro cifras hay tales que en su notación decimal aparece exactamente una cifra 1 y exactamente una cifra 2 (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.LO.11.P.2.b cálculo de cuántos números enteros positivos pares de cuatro cifras hay tales que en su notación decimal aparece exactamente una cifra 0 y exactamente una cifra 1. (nuestra traducción)

El alumno analiza situaciones combinatorias y determina el número de resultados posibles sin necesidad de enumerar todos los casos. Aplica el principio de la multiplicación y de la suma en procesos de varias etapas, calcula el número de permutaciones de un conjunto finito al ordenar objetos en un orden determinado y utiliza variaciones cuando selecciona un número determinado de elementos asignándolos a posiciones concretas.

Un error común es no tener en cuenta las condiciones límite en las distintas etapas de elección. Los alumnos olvidan, por ejemplo, que la primera cifra del número formado no puede ser cero, o no consideran que la paridad depende exclusivamente de la última cifra. Si un problema requiere que una cifra concreta aparezca solo una vez, las equivocaciones suelen deberse a una separación incorrecta de las etapas: en lugar de determinar primero la posición de la cifra destacada, el alumno multiplica de forma automática las posibilidades disponibles.

Los ejercicios que practican esta habilidad se basan en modelos de selección y ordenación. El alumno resuelve problemas que consisten en determinar el número de formas de ordenar a personas en una fila (permutaciones), repartir trofeos o puestos determinados (variaciones — entrega de premios) y formar números pares o impares de una cantidad dada de cifras, en los cuales la cifra indicada aparece exactamente una vez.

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Tipos de ejercicios: Permutaciones — fila · Variaciones — reparto de premios · Números impares con una cifra una vez · Números pares con una cifra una vez

Probabilidad en experimentos simples

El estudiante calcula la probabilidad de que ocurra un suceso en una única tirada o extracción, como lanzar un dado o sacar una bola de una caja, expresando el resultado en forma de fracción.

Punto del currículo MAT.LO.12.P.1 calcula la probabilidad en el modelo clásico (nuestra traducción)

En esta etapa, el estudiante determina la probabilidad clásica en experimentos aleatorios simples con un número finito de resultados equiprobables. Es capaz de contar correctamente todos los resultados posibles de un evento determinado, identificar aquellos que cumplen con una condición dada (casos favorables) y luego expresar la probabilidad de que ocurra el evento como el cociente de estos dos valores.

Un error común es calcular incorrectamente el número de casos favorables. Los estudiantes a menudo omiten algunas posibilidades al comprobar las propiedades de los números (por ejemplo, olvidan que el número 2 es un número primo) o confunden el número de casos favorables con el número total de elementos del conjunto. También ocurre que identifican erróneamente la probabilidad con el número de resultados favorables en sí, en lugar de expresarla como una fracción.

En la práctica, los ejercicios consisten en analizar una situación aleatoria específica:

  • Lanzamiento de un dado – por ejemplo, calcular la probabilidad de obtener un número de puntos que sea un número primo o mayor que un valor determinado,
  • Extracción de una bola de una caja – calcular la probabilidad de sacar una bola de un color determinado a partir del número dado de bolas de cada tipo,
  • Extracción de una tarjeta con un número – determinar la probabilidad de sacar una tarjeta con un número que cumpla una condición específica, por ejemplo, que sea divisible por 3.
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Tipos de ejercicios: Lanzar un dado · Sacar una bola de una caja · Sacar una tarjeta numerada

Ecuaciones de rectas: perpendicularidad y punto de intersección

El alumno determina el punto de intersección de dos rectas, halla la ecuación de una recta perpendicular que pasa por un punto y obtiene la pendiente a partir de la forma general.

Punto del currículo MAT.LO.9.P.1 reconoce la posición relativa de rectas en el plano a partir de sus ecuaciones, incluyendo hallar el punto común de dos rectas, si existe (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.LO.9.P.2 utiliza las ecuaciones de rectas en el plano, en forma explícita y general, entre ellas determina la ecuación de una recta con propiedades dadas (tales como, p. ej., pasar por dos puntos dados, pendiente conocida, paralelismo con otra recta) (nuestra traducción)

En el marco de la geometría analítica, el estudiante transforma la ecuación general de una recta a su forma explícita para determinar con precisión su pendiente. A partir de esto, es capaz de aplicar la condición de perpendicularidad y escribir la ecuación de la recta perpendicular que pasa por un punto determinado de coordenadas conocidas. También determina algebraicamente las coordenadas del punto de intersección de dos rectas en el plano.

El error más común al determinar una recta perpendicular es confundir los conceptos de número opuesto e inverso: los estudiantes a menudo solo toman el inverso de la pendiente (por ejemplo, cambian el número 3 por 1/3 en lugar de -1/3). También suele resultar difícil dividir correctamente entre el coeficiente de la variable y al transformar la ecuación general, especialmente cuando dicho coeficiente tiene signo negativo.

Los ejercicios que evalúan esta habilidad incluyen tareas típicas de cálculo:

  • Pendiente a partir de la ecuación general — transformación de la ecuación de la recta y determinación de su pendiente;
  • Recta perpendicular que pasa por un punto — obtención de la nueva ecuación de la recta que cumple la condición de perpendicularidad y pasa por un punto dado;
  • Punto de intersección de rectas — determinación del par de números que constituye la solución común a las ecuaciones de dos rectas.
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Tipos de ejercicios: Pendiente desde la forma general · Intersección de dos rectas · Recta perpendicular por un punto

Cálculo de la distancia entre puntos en el plano

El estudiante calcula la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas, utilizando la relación geométrica del teorema de Pitágoras.

Punto del currículo MAT.LO.9.P.3 calcula la distancia entre dos puntos en el sistema de coordenadas (nuestra traducción)

En el marco de la geometría analítica, el alumno determina la distancia entre dos puntos a partir de sus coordenadas numéricas. Considera el segmento que une estos puntos como la hipotenusa de un triángulo rectángulo, cuyos catetos se obtienen directamente de las diferencias de las coordenadas en los ejes numéricos. A partir de esto, el alumno aplica el teorema de Pitágoras para calcular la longitud exacta del segmento.

Un problema típico en esta etapa son los errores de cálculo al restar números negativos durante la determinación de las longitudes de los catetos (por ejemplo, restar una coordenada negativa de una positiva). Los alumnos también suelen tender a olvidar extraer la raíz cuadrada al final de los cálculos, dejando como resultado el cuadrado de la distancia.

En la práctica, en ejercicios como Distancia entre puntos mediante el teorema de Pitágoras y Distancia entre puntos, el alumno recibe las coordenadas de dos puntos y determina la distancia entre ellos. Las tareas pueden requerir ilustrar un triángulo auxiliar en el sistema de coordenadas o calcular directamente la longitud del segmento, simplificando si es necesario los radicales extrayendo factores fuera de la raíz.

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Tipos de ejercicios: Distancia entre dos puntos · Distancia entre puntos con Pitágoras

Cálculo del n-ésimo término y de la suma de una progresión aritmética

El alumno determina cualquier término de una progresión aritmética a partir de la fórmula general y calcula la suma de un número determinado de sus primeros términos.

Punto del currículo MAT.LO.6.P.4 comprueba si una sucesión dada es aritmética o geométrica (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.LO.6.P.5 aplica la fórmula del término n-ésimo y de la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.LO.6.P.7 utiliza las propiedades de las sucesiones, incluidas las aritméticas y geométricas, para resolver problemas, también enmarcados en un contexto práctico. (nuestra traducción)

En 3.º de bachillerato y formación técnica, el estudiante domina las propiedades de la progresión aritmética. Es capaz de determinar el valor de cualquier término indicado a partir del primer término y de la diferencia de la progresión, así como de calcular la suma de un número determinado de términos iniciales consecutivos.

Un problema frecuente en esta etapa suele ser confundir la posición del término con su valor real (es decir, el índice n con el término an). También surgen errores en las progresiones decrecientes, donde la diferencia es un número negativo, lo que genera confusiones con los signos al sustituir los datos en la fórmula de la suma.

Los ejercicios para practicar esta habilidad se presentan en dos formatos claros:

  • Progresión aritmética — n-ésimo término: el estudiante recibe los datos iniciales de la progresión y calcula un término concreto y más alejado (por ejemplo, el décimo o el vigésimo).
  • Progresión aritmética — suma de términos: el ejercicio consiste en sumar una cantidad determinada de los primeros términos de una progresión dada utilizando la fórmula correspondiente.
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Tipos de ejercicios: Progresión aritmética — suma · Progresión aritmética — término n-ésimo

Cálculo de los términos y la suma de una progresión geométrica

El estudiante determina cualquier término de una progresión geométrica y calcula la suma de sus primeros términos a partir de los datos dados.

Punto del currículo MAT.LO.6.P.4 comprueba si una sucesión dada es aritmética o geométrica (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.LO.6.P.6 aplica la fórmula del término n-ésimo y de la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.LO.6.P.7 utiliza las propiedades de las sucesiones, incluidas las aritméticas y geométricas, para resolver problemas, también enmarcados en un contexto práctico. (nuestra traducción)

En 3.º de bachillerato y formación técnica, el alumno domina las reglas que rigen las progresiones geométricas. A partir del primer término y de la razón, es capaz de hallar el término general y calcular el valor de cualquier n-ésimo término. También utiliza la fórmula de la suma de los n primeros términos de la progresión, combinando con soltura la multiplicación por una razón constante con la potenciación.

Un problema frecuente suele ser confundir la razón de la progresión geométrica con la diferencia de la progresión aritmética: los alumnos tienden instintivamente a sumar un valor constante en lugar de multiplicar los términos sucesivos. También generan dificultades la jerarquía de las operaciones y la potenciación de fracciones y números negativos, lo que conduce a errores de signo al calcular la potencia en la fórmula de la suma.

Las tareas para imprimir incluyen las siguientes plantillas:

  • Progresión geométrica — n-ésimo término: cálculo del término indicado o de la razón a partir de los datos iniciales;
  • Progresión geométrica — suma de términos: determinación de la suma de un número determinado de primeros términos de la progresión.
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Tipos de ejercicios: Progresión geométrica — suma · Progresión geométrica — término n-ésimo

Cálculo de los términos de una sucesión a partir de la fórmula general y de la recurrencia

El estudiante calcula términos específicos de una sucesión numérica a partir de la fórmula general dada o de una relación de recurrencia.

Punto del currículo MAT.LO.6.P.1 calcula los términos de una sucesión definida por una fórmula general (nuestra traducción)
Punto del currículo MAT.LO.6.P.2 calcula los primeros términos de sucesiones definidas recursivamente (nuestra traducción)

En 3.º de bachillerato y escuela técnica, el estudiante determina con soltura los valores de términos específicos de una sucesión numérica. Es capaz de sustituir la posición n en la fórmula general para calcular directamente el resultado, así como de hallar los siguientes términos de la sucesión a partir de una fórmula recursiva, utilizando el conocimiento de los términos anteriores.

Una dificultad habitual es confundir el subíndice del término con su valor; por ejemplo, confundir la notación del término anterior con restar uno al valor del término actual. En las sucesiones recursivas, la precisión en el cálculo también suele ser un reto: un pequeño error aritmético cometido al principio de los cálculos se propaga en cascada a todos los términos siguientes.

Los ejercicios se basan en dos tipos de tareas:

  • Término de una sucesión a partir del término general — el estudiante recibe la fórmula explícita de la sucesión y calcula un valor concreto (por ejemplo, el quinto o el décimo término), sustituyendo el número natural correspondiente en el lugar de n;
  • Término de una sucesión recursiva — a partir del término inicial y de la regla para generar los pasos siguientes, el estudiante calcula sucesivamente los siguientes elementos de la sucesión hasta llegar al término buscado.
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Tipos de ejercicios: Término de una sucesión a partir de la fórmula · Término de una sucesión recurrente

Cálculo y aplicación del símbolo de Newton

El estudiante aprende a calcular el valor del número combinatorio mediante factoriales y a aplicarlo para determinar el número de formas de elegir un grupo de personas o elementos.

En 3.º curso, el alumno conoce el número combinatorio y aprende a calcular con soltura su valor numérico. Domina el desarrollo y la simplificación de fracciones que contienen factoriales, lo que permite realizar cálculos rápidos sin necesidad de multiplicar números grandes. Utiliza esta notación para describir situaciones en las que se elige un subconjunto de elementos sin tener en cuenta su orden.

Un error típico en esta etapa es confundir las situaciones en las que el orden importa con aquellas en las que solo importa la composición del grupo. Como resultado, los alumnos a menudo olvidan dividir el producto por el factorial del número de elementos seleccionados. También suelen cometerse errores de cálculo al simplificar el denominador de la fracción.

En la práctica, los ejercicios para esta habilidad incluyen dos tipos de problemas:

  • Valor del número combinatorio — cálculo puramente aritmético del valor de la expresión dada mediante la simplificación de productos de números;
  • Elección de una delegación — problemas de enunciado que consisten en calcular de cuántas maneras se puede elegir un grupo más pequeño (por ejemplo, una representación de varias personas) a partir de un conjunto más grande de personas u objetos.
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Tipos de ejercicios: Valor de un número combinatorio · Elección de una delegación

Conversión de grados a radianes y de radianes a grados

El alumno convierte con soltura la medida de un ángulo dada en grados a radianes y transforma la medida expresada en radianes a grados.

En 3.º curso, el alumno aprende la medida en radianes de un ángulo como una forma alternativa de determinar la amplitud angular. En esta etapa, domina la conversión fluida entre grados y radianes, basándose en la relación fundamental de que un ángulo de 180° corresponde a π radianes. Utiliza proporciones y la multiplicación por la fracción correspondiente para determinar el valor exacto del ángulo en la nueva unidad.

Un problema habitual es invertir la fórmula de conversión. Los alumnos suelen confundir cuándo deben multiplicar por π/180° y cuándo por 180°/π, lo que da lugar a un resultado erróneo con el número π duplicado o con su omisión. También suele resultar problemático simplificar correctamente las fracciones resultantes a su forma irreducible.

Los ejercicios se basan en dos tipos de enunciados: en las tareas de Grados a radianes, el alumno transforma el ángulo dado (por ejemplo, 45° o 120°) en una fracción con el símbolo π. En las tareas de Radianes a grados, realiza la operación inversa, sustituyendo π por el valor de 180° y calculando la medida final en grados.

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Tipos de ejercicios: Grados a radianes · Radianes a grados

Determinación del período y la amplitud de una sinusoide

El estudiante aprende a determinar el período fundamental y el valor máximo de la función seno a partir de su fórmula o gráfica.

En el 3.er curso de bachillerato y formación profesional, los alumnos analizan gráficas y fórmulas de funciones trigonométricas utilizando la medida del ángulo en radianes. Como parte de esta competencia, determinan dos parámetros clave de la sinusoide: su período (la longitud del ciclo que se repite) y su amplitud, es decir, la desviación respecto al eje central relacionada con el valor máximo alcanzado.

Un error común es confundir el efecto de los distintos coeficientes en la fórmula de la función sobre su forma. Con frecuencia, los estudiantes identifican el número que acompaña al argumento directamente con el período, en lugar de calcularlo mediante la fórmula que tiene en cuenta la periodicidad cada 2π, o confunden el estiramiento vertical de la gráfica con su compresión horizontal.

Las actividades imprimibles sobre este tema abarcan dos formatos típicos de ejercicios:

  • Período de la sinusoide: el alumno calcula o lee la longitud del ciclo de una función con el argumento transformado;
  • Valor máximo de la sinusoide: el alumno determina el valor máximo que toma la función analizando su amplitud y su desplazamiento vertical.
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Tipos de ejercicios: Máximo de una sinusoide · Periodo de una sinusoide

Cuadriláteros inscritos y circunscritos a una circunferencia

El alumno calcula las medidas de los ángulos de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia y las longitudes de los lados de un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, aplicando las relaciones entre los elementos opuestos de la figura.

El alumno de 3.º curso de educación secundaria postobligatoria y técnica sabe hallar magnitudes faltantes en cuadriláteros relacionados con una circunferencia. En el caso de una figura inscrita en una circunferencia, utiliza la regla de que la suma de las medidas de los ángulos opuestos es 180°. Cuando el cuadrilátero está circunscrito a una circunferencia, el alumno aplica la relación que establece que las sumas de las longitudes de los pares de lados opuestos son iguales entre sí.

El problema más común es confundir estas dos propiedades o aplicarlas a elementos adyacentes de la figura en lugar de a los opuestos. Los alumnos erróneamente suman hasta 180° los ángulos adyacentes a un mismo lado o igualan las sumas de lados contiguos, lo que conduce a un planteamiento incorrecto de la ecuación.

En la práctica, los ejercicios consisten en interpretar los datos a partir del dibujo o del enunciado y calcular el valor que falta. En la plantilla Ángulo en un cuadrilátero inscrito, el alumno halla la medida desconocida de un ángulo, y en el ejercicio Lado de un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia calcula la longitud del cuarto lado a partir de los tres segmentos dados.

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Tipos de ejercicios: Lado de un cuadrilátero circunscrito · Ángulo en un cuadrilátero inscrito

Determinación del centro y el radio de una circunferencia a partir de su ecuación

El estudiante aprende a leer las coordenadas del centro y la longitud del radio de la circunferencia directamente a partir de su ecuación canónica.

Punto del currículo MAT.LO.9.P.4 utiliza la ecuación de la circunferencia (x − a)² + (y − b)² = r² (nuestra traducción)

En esta etapa, el alumno analiza la ecuación de la circunferencia y determina a partir de ella dos parámetros fundamentales: las coordenadas del punto que es el centro de la circunferencia y la longitud de su radio. Conecta con soltura la expresión algebraica de la relación entre las variables con su significado geométrico en el sistema de coordenadas.

Un problema típico es confundir los signos al determinar las coordenadas del centro. En la fórmula aparece una resta, por lo que la presencia de un signo más dentro del paréntesis indica una coordenada negativa, algo que los alumnos suelen olvidar. Otro error frecuente es identificar el lado derecho de la ecuación directamente con el radio en lugar de con su cuadrado; por ejemplo, escribir un radio igual a 25 en vez de 5.

Las actividades consisten en el análisis directo de la ecuación dada. En el ejercicio Centro de la circunferencia a partir de la ecuación, la tarea del alumno consiste en indicar correctamente el par de coordenadas del punto central, mientras que en el ejercicio Radio de la circunferencia a partir de la ecuación determina la longitud correcta del radio calculando la raíz cuadrada del número situado al lado derecho del signo igual.

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Tipos de ejercicios: Centro de la circunferencia · Radio de la circunferencia

Longitud y operaciones con vectores

El estudiante calcula la longitud de un vector en el plano a partir de sus coordenadas y determina las coordenadas de los vectores resultantes de la suma, la resta y la multiplicación por un número.

En 3.º de bachillerato y formación técnica, el alumno trabaja con vectores en el sistema de coordenadas. Calcula con soltura el módulo de un vector utilizando el teorema de Pitágoras para sus coordenadas, y también realiza operaciones básicas: suma y resta vectores y los multiplica por números reales, formando sus combinaciones lineales.

Un error común es perder los signos al elevar al cuadrado coordenadas negativas durante el cálculo del módulo de un vector. Los estudiantes escriben, por ejemplo, -32 = -9 en lugar de (-3)2 = 9, lo que da lugar a resultados erróneos bajo la raíz. También supone una dificultad restar vectores correctamente cuando las coordenadas contienen números negativos y es fácil equivocarse al simplificar el doble signo negativo.

Los ejercicios de este tema se presentan en dos formas principales:

  • Módulo de un vector – el alumno recibe las coordenadas de un vector y calcula su valor numérico, a menudo simplificando expresiones con radicales;
  • Combinación de vectores – el alumno determina las coordenadas de un nuevo vector descrito mediante una fórmula algebraica, por ejemplo 2a - 3b, operando directamente con las coordenadas de los vectores dados.
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Tipos de ejercicios: Combinación de vectores · Módulo de un vector

Cálculo de la suma de una serie geométrica

El estudiante comprueba la condición de convergencia y calcula la suma de una sucesión infinita de números mediante la fórmula de la suma de una serie geométrica.

En 3.º de secundaria, el estudiante aprende el concepto de serie geométrica, es decir, la suma de infinitos términos consecutivos de una progresión geométrica. Aprende a evaluar cuándo dicha suma da como resultado un número finito —comprueba si la razón de la progresión cumple la condición |q| < 1— y luego calcula su valor exacto mediante una fórmula que utiliza el primer término y la razón.

Un problema habitual es la aplicación mecánica de la fórmula sin comprobar si la serie es convergente. Los estudiantes intentan calcular la suma incluso cuando la razón es, por ejemplo, 2 o -3, lo que conduce a conclusiones erróneas. Otro tropiezo frecuente son los errores de cálculo con una razón negativa, donde en el denominador aparece la resta de un número negativo (1 - q).

En los ejercicios de la plantilla Suma de una serie geométrica, el estudiante suele recibir una sucesión de fracciones o números enteros (por ejemplo, 1/2, 1/4, 1/8...) escrita como una suma infinita, con la instrucción de determinar la razón, comprobar si es posible sumarla y calcular el resultado numérico final.

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Cálculo de la probabilidad de la unión de sucesos

El estudiante calcula la probabilidad de que ocurra al menos uno de dos sucesos, utilizando la fórmula de la probabilidad de la unión de sucesos y teniendo en cuenta su intersección.

Punto del currículo MAT.LO.12.P.1 calcula la probabilidad en el modelo clásico (nuestra traducción)

El alumno determina la probabilidad de que ocurra al menos uno de dos sucesos aleatorios. Para ello, utiliza la relación que vincula la probabilidad de la unión de sucesos con las probabilidades de los sucesos individuales y su intersección: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

El error más común es sumar mecánicamente los valores de P(A) y P(B) sin restar la intersección P(A ∩ B). Los alumnos olvidan comprobar si los sucesos pueden ocurrir simultáneamente, por lo que cuentan dos veces los mismos resultados, lo que a menudo conduce a un resultado incorrecto superior a 1.

Los ejercicios de la plantilla Probabilidad de la unión de sucesos requieren calcular la probabilidad faltante a partir de datos numéricos proporcionados directamente o en el enunciado sobre extracción de números, cartas o lanzamientos de dados, donde el alumno debe determinar por sí mismo las probabilidades individuales y la intersección de ambas situaciones.

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Probabilidad en el muestreo sin reemplazo

El alumno calcula la probabilidad de sucesos aleatorios aplicando las reglas de la combinatoria a experimentos de varias etapas, tales como la extracción de bolas de una urna sin reposición.

Punto del currículo MAT.LO.12.P.1 calcula la probabilidad en el modelo clásico (nuestra traducción)

El estudiante combina la definición clásica de probabilidad con los métodos de la combinatoria. En esta etapa, es capaz de determinar correctamente el número total de resultados posibles de un experimento y el número de casos favorables en situaciones en las que los objetos se eligen en grupos o sucesivamente sin reemplazo.

Un error frecuente es no tener en cuenta el hecho de que, tras cada paso, disminuye el número de elementos disponibles en el conjunto. Los estudiantes suelen tender a tratar las etapas sucesivas como si realizaran extracciones con reemplazo, o tienen dificultades para determinar si el orden de extracción de los objetos importa al contar las combinaciones favorables.

Las actividades que ejercitan esta habilidad utilizan el modelo de extracción de bolas sin reemplazo. El estudiante analiza el contenido de un recipiente que contiene bolas de diferentes colores y calcula la probabilidad de extraer un conjunto determinado; por ejemplo, sacar exactamente dos bolas del mismo color o bolas de colores distintos.

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Cálculo de límites de sucesiones racionales

El estudiante aprende a determinar el límite de una sucesión definida por una expresión fraccionaria (racional), analizando el comportamiento de sus términos cuando el índice tiende a infinito.

En 3.º de bachillerato y formación técnica, el alumno practica el cálculo del límite de una sucesión cuyos términos están dados por una fracción con polinomios en la variable n en el numerador y en el denominador. La tarea consiste en determinar a qué valor tienden los sucesivos términos de la sucesión cuando n se hace arbitrariamente grande. El alumno aplica la técnica de sacar factor común a la máxima potencia de n en el numerador y en el denominador, lo que permite simplificar la fracción a una forma clara.

Un error común consiste en intentar sustituir directamente el infinito en la fórmula y operar con él como si fuera un número ordinario, lo que conduce a conclusiones erróneas ante indeterminaciones. Los alumnos también suelen tener dificultades para dividir correctamente cada término de la suma entre la potencia extraída, o bien olvidan que las fracciones con n en el denominador tienden a cero a medida que el índice aumenta.

Los ejercicios de la plantilla Límite de una sucesión racional consisten en calcular el límite de una fracción algebraica específica. El alumno transforma la fórmula dada de la sucesión, simplifica las potencias y escribe el valor numérico final del límite o determina que la sucesión diverge a infinito.

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Determinación de la composición de dos funciones

El estudiante aprende a crear una nueva función sustituyendo la expresión de una función en el lugar del argumento de la otra y a calcular los valores de dicha composición.

En esta etapa, el alumno es capaz de determinar la fórmula de una función compuesta aplicando la operación de composición de dos funciones, tales como f(g(x)) o g(f(x)). Comprende que el valor devuelto por la función interna se convierte en el argumento de entrada para la función externa y, a partir de esto, puede determinar la forma algebraica final de la nueva función.

Un error típico es confundir el orden de composición y tratar la operación f(g(x)) igual que g(f(x)), cuando la composición de funciones en general no es conmutativa. Los alumnos también suelen olvidar encerrar entre paréntesis la expresión que sustituyen, lo que provoca errores de signo o la pérdida de exponentes al reemplazar la variable x por la fórmula completa de la función interna.

Los ejercicios del modelo Composición de funciones suelen requerir determinar la fórmula general de la composición de dos funciones algebraicas dadas o calcular un valor numérico concreto para un argumento indicado, por ejemplo, el valor de la expresión f(g(3)).

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Resolución de ecuaciones trigonométricas simples

El alumno resuelve ecuaciones sencillas con funciones trigonométricas, determinando ángulos en radianes o en grados teniendo en cuenta su periodicidad.

En 3.º de secundaria, el alumno resuelve ecuaciones trigonométricas básicas con una sola función trigonométrica, como el seno, el coseno o la tangente (por ejemplo, sin x = 1/2 o tg x = 1). Determina los valores de los ángulos utilizando la medida en radianes expresada mediante el número π o en grados, y escribe las series completas de soluciones teniendo en cuenta la periodicidad de la función.

Un error habitual en esta etapa consiste en indicar un solo ángulo en lugar de dos dentro de un mismo período; por ejemplo, señalar el ángulo π/6 para un seno igual a 1/2 y pasar por alto el valor 5π/6. Los alumnos también suelen confundir los períodos de las funciones, añadiendo erróneamente + 2kπ a la tangente en lugar de + kπ, o bien omitiendo por completo el parámetro entero k.

Los ejercicios de la plantilla Ecuación trigonométrica suelen requerir transformar la expresión dada a su forma elemental y, a continuación, determinar todas las soluciones válidas en un intervalo dado (por ejemplo, de 0 a 2π) o proporcionar una fórmula general para todos los números que satisfacen la ecuación.

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Determinación de los puntos comunes de una recta y una circunferencia

El alumno aprende a determinar las coordenadas de los puntos de intersección o de tangencia de una recta con una circunferencia y a determinar el número de sus puntos en común.

En el marco de la geometría analítica, el estudiante combina el álgebra con la geometría para determinar la posición relativa de una recta y una circunferencia. Al resolver un sistema de una ecuación lineal con una cuadrática, puede comprobar si la recta corta a la circunferencia en dos puntos, es tangente a ella o no tiene puntos en común, y también calcula las coordenadas exactas de estos puntos en el sistema de coordenadas.

Un problema común son los errores de cálculo al sustituir la variable despejada de la ecuación de la recta en la ecuación de la circunferencia. Los estudiantes suelen equivocarse al aplicar las identidades notables (especialmente con los signos negativos) y, a menudo, se limitan a calcular únicamente las primeras coordenadas x, olvidando calcular los valores correspondientes de y.

Los ejercicios típicos de la plantilla Puntos comunes de una circunferencia y una recta presentan la ecuación de la recta y la ecuación de la circunferencia en forma algebraica. La tarea del estudiante consiste en resolver el sistema de ecuaciones, determinar el número de soluciones e indicar los pares de números que constituyen las coordenadas de los puntos comunes.

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Determinación de la ecuación de la recta tangente a una circunferencia en un punto

El alumno determina la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en un punto dado que pertenece a dicha circunferencia, utilizando métodos de geometría analítica en el sistema de coordenadas.

En el marco de la geometría analítica de 3.º curso, el alumno es capaz de determinar la ecuación de la recta tangente a una circunferencia en un punto perteneciente a ella. La tarea se basa en relacionar la ecuación de la circunferencia con las propiedades de las rectas: el alumno determina las coordenadas del centro de la circunferencia, halla la recta que contiene el radio que une el centro con el punto de tangencia y, a continuación, plantea la ecuación de la recta perpendicular a dicho radio.

Un error típico en este tema es equivocarse al determinar la pendiente de la recta perpendicular (por ejemplo, cambiar el signo sin invertir el número) o leer erróneamente las coordenadas del centro de la circunferencia a partir de su ecuación, especialmente cuando aparecen signos negativos en la fórmula. También suele ser un problema la situación en la que la tangente es una recta vertical: en ese caso, el alumno intenta forzar su escritura en forma explícita en lugar de en la forma x = c.

En la práctica, en ejercicios del tipo Tangente a una circunferencia en un punto, el alumno recibe la ecuación algebraica de la circunferencia y las coordenadas del punto de tangencia. Su objetivo es realizar los cálculos que permitan obtener la ecuación final de la recta tangente en forma explícita o general.

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Plantillas de ejercicios para imprimir

Todos los tipos de ejercicios, agrupados por habilidad. Un clic abre el generador con el tipo ya elegido.

Conteo de posibilidades: regla de la multiplicación y permutaciones

Probabilidad en experimentos simples

Ecuaciones de rectas: perpendicularidad y punto de intersección

Cálculo de la distancia entre puntos en el plano

Cálculo del n-ésimo término y de la suma de una progresión aritmética

Cálculo de los términos y la suma de una progresión geométrica

Cálculo de los términos de una sucesión a partir de la fórmula general y de la recurrencia

Cálculo y aplicación del símbolo de Newton

Conversión de grados a radianes y de radianes a grados

Determinación del período y la amplitud de una sinusoide

Cuadriláteros inscritos y circunscritos a una circunferencia

Determinación del centro y el radio de una circunferencia a partir de su ecuación

Longitud y operaciones con vectores

Cálculo de la suma de una serie geométrica

Cálculo de la probabilidad de la unión de sucesos

Probabilidad en el muestreo sin reemplazo

Cálculo de límites de sucesiones racionales

Determinación de la composición de dos funciones

Resolución de ecuaciones trigonométricas simples

Determinación de los puntos comunes de una recta y una circunferencia

Determinación de la ecuación de la recta tangente a una circunferencia en un punto

Otros tipos de ejercicios

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