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Lehrplan (Polen)

Mathematik — Klasse 11

Mathematik in der 3. Klasse von Gymnasium und Technikum: arithmetische und geometrische Folgen, Trigonometrie mit Bogenmaß, analytische Geometrie — Geraden, Kreise, Vektoren — Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zu jedem Thema fertige Aufgaben zum Ausdrucken.

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Was lernt ein Schüler in Mathematik in der 3. Klasse des Lyzeums?

In der 3. Klasse untersucht der Schüler Folgen: Er bestimmt Glieder sowie Summen arithmetischer und geometrischer Folgen und auf erweitertem Niveau Grenzwerte und die geometrische Reihe. Er lernt das Bogenmaß, periodische Funktionen und trigonometrische Gleichungen kennen. In der analytischen Geometrie bestimmt er Gleichungen von Geraden und Kreisen, Schnittpunkte von Gerade und Kreis, Tangenten und Vektoroperationen. In der Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung berechnet er Ereignisse mit der Produktregel, dem binomischen Lehrsatz und der klassischen Wahrscheinlichkeit.

Wichtiges zum Lehrplan: Der Lehrplan für das Lyzeum und Technikum ist in Blöcken formuliert – er beschreibt, was ein Schüler am Ende der weiterführenden Schule beherrscht, separat für das grundlegende und das erweiterte Niveau. Die Zuordnung eines Themas zu einer bestimmten Klassenstufe ist unsere Entscheidung gemäß dem typischen Stoffverteilungsplan; im Abschnitt „Lehrplanumfang“ sehen Sie die Lehrplanpunkte im Wortlaut.

Status der Seite: Die Aufgaben dieser Klassenstufe sind in kontextfreier Form fertiggestellt (nur Aufgabenstellung und Formel); Aufgaben mit Abbildungen, Beweise und Textaufgaben werden in den nächsten Schritten ergänzt.

Lehrplanumfang

  1. Lehrplanpunkt MAT.LO.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Reelle Zahlen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    führt Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Potenzieren, Radizieren, Logarithmieren) in der Menge der reellen Zahlen aus

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

  3. Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    führt einfache Beweise zur Teilbarkeit ganzer Zahlen und zu Resten bei der Division durch, z. B.:

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    wendet Eigenschaften von Wurzeln beliebigen Grades an, einschließlich Wurzeln ungeraden Grades aus negativen Zahlen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

  5. Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    wendet den Zusammenhang zwischen dem Wurzelziehen und dem Potenzieren sowie die Rechengesetze für Potenzen und Wurzeln an

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

  6. Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    wendet die Monotonie des Potenzierens an, insbesondere die Eigenschaften: wenn x < y und a > 1, dann ax < ay, und wenn x < y und 0 < a < 1, dann ax > ay

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    verwendet den Begriff des Zahlenintervalls, markiert Intervalle auf der Zahlengeraden

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    wendet die geometrische und algebraische Interpretation des Betrags an, löst Gleichungen des Typs: |x + 4| = 5

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    nutzt Eigenschaften des Potenzierens und Radizierens in praktischen Situationen, darunter zur Berechnung von Zinseszinsen, Gewinnen aus Geldanlagen und Kreditkosten

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

  10. Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    wendet den Zusammenhang zwischen Logarithmieren und Potenzieren an, verwendet Formeln für den Logarithmus eines Produkts, den Logarithmus eines Quotienten und den Logarithmus einer Potenz.

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

  11. Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.2.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Beweis der Teilbarkeit des Produkts von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen durch 24

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.2.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Beweis der Eigenschaft: Wenn eine Zahl bei der Division durch 4 den Rest 3 lässt, ist sie kein Quadrat einer ganzen Zahl

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Lehrplanpunkt MAT.LO.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Algebraische Ausdrücke

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    wendet die binomischen Formeln für: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2 an

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

  15. Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    addiert, subtrahiert und multipliziert Polynome in einer und mehreren Variablen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

  16. Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    klammert ein Monom aus einer algebraischen Summe aus

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

  17. Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    multipliziert und dividiert rationale Terme.

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

  18. Lehrplanpunkt MAT.LO.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Gleichungen und Ungleichungen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.1 · Lerninhalte

    formt Gleichungen und Ungleichungen äquivalent um, darunter z. B. formt eine rationale Gleichung äquivalent um (Beispiel im Rechtsakt)

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

  20. Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    interpretiert widersprüchliche und identische lineare Gleichungen und Ungleichungen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

  21. Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    löst lineare Ungleichungen mit einer Unbekannten

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

  22. Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    löst quadratische Gleichungen und Ungleichungen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    löst Polynomgleichungen der Form W(x) = 0 für in Produktform gebrachte Polynome.

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Lehrplanpunkt MAT.LO.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Gleichungssysteme

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Lehrplanpunkt MAT.LO.4.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    löst lineare Gleichungssysteme mit zwei Unbekannten, gibt die geometrische Interpretation bestimmter, unbestimmter und widersprüchlicher Systeme an

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

  26. Lehrplanpunkt MAT.LO.4.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    wendet Gleichungssysteme zum Lösen von Textaufgaben an.

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Lehrplanpunkt MAT.LO.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Funktionen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    beschreibt Funktionen als eindeutige Zuordnung mithilfe einer Wortbeschreibung, einer Tabelle, eines Graphen, einer Formel (auch durch verschiedene Formeln auf verschiedenen Intervallen)

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    berechnet den Funktionswert einer durch eine algebraische Formel gegebenen Funktion

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    liest Werte von Funktionen, die durch Tabellen, Graphen, Formeln usw. gegeben sind, ab und interpretiert sie, auch in Situationen der mehrfachen Nutzung derselben Informationsquelle oder mehrerer Quellen gleichzeitig

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    liest aus dem Funktionsgraphen ab: Definitionsbereich, Wertebereich, Nullstellen, Monotonieintervalle, Intervalle, in denen die Funktion Werte annimmt, die größer (nicht kleiner) oder kleiner (nicht größer) als eine gegebene Zahl sind, die größten und kleinsten Werte der Funktion (sofern sie existieren) in einem gegebenen abgeschlossenen Intervall sowie die Argumente, für welche die größten und kleinsten Werte von der Funktion angenommen werden

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    interpretiert die in der Funktionsgleichung einer linearen Funktion auftretenden Koeffizienten

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    bestimmt die Funktionsgleichung einer linearen Funktion auf der Grundlage von Informationen über ihren Graphen oder über ihre Eigenschaften

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

  34. Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    skizziert den Graphen einer durch eine Formel gegebenen quadratischen Funktion

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    interpretiert die Koeffizienten in der Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in allgemeiner Form, Scheitelpunktform und faktorisierter Form (sofern sie existiert)

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    bestimmt die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion anhand von Informationen über diese Funktion oder über ihren Graphen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    bestimmt den größten und kleinsten Wert einer quadratischen Funktion in einem abgeschlossenen Intervall

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    nutzt Eigenschaften linearer und quadratischer Funktionen zur Interpretation geometrischer, physikalischer usw. Fragestellungen, auch eingebettet in einen praktischen Kontext

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.12 · Lerninhalte

    skizziert auf der Grundlage des Graphen der Funktion y = f(x) die Graphen der Funktionen y = f(x − a), y = f(x) + b

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.13 · Lerninhalte

    verwendet die Funktion f(x) = a/x, einschließlich ihres Graphen, zur Beschreibung und Interpretation von Sachverhalten im Zusammenhang mit umgekehrt proportionalen Größen, auch in praktischen Anwendungen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.14 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    verwendet Exponential- und Logarithmusfunktionen, einschließlich ihrer Graphen, zur Beschreibung und Interpretation von Fragestellungen im Zusammenhang mit praktischen Anwendungen.

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Lehrplanpunkt MAT.LO.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Folgen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    berechnet Glieder einer durch eine explizite Formel definierten Folge

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

    Berechnung von Folgengliedern aus der expliziten Formel und Rekursion (bei uns in Klasse 11)

  44. Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    berechnet die ersten Glieder rekursiv definierter Folgen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

    Berechnung von Folgengliedern aus der expliziten Formel und Rekursion (bei uns in Klasse 11)

  45. Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    untersucht in einfachen Fällen, ob eine Folge wachsend oder fallend ist

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    prüft, ob eine gegebene Folge arithmetisch oder geometrisch ist

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

    Berechnung des n-ten Gliedes und der Summe einer arithmetischen Folge (bei uns in Klasse 11) · Berechnung der Glieder und der Summe einer geometrischen Folge (bei uns in Klasse 11)

  47. Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    wendet die Formel für das n-te Glied und für die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge an

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

    Berechnung des n-ten Gliedes und der Summe einer arithmetischen Folge (bei uns in Klasse 11)

  48. Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    wendet die Formel für das n-te Glied und für die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge an

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

    Berechnung der Glieder und der Summe einer geometrischen Folge (bei uns in Klasse 11)

  49. Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    nutzt Eigenschaften von Folgen, darunter arithmetischer und geometrischer, zum Lösen von Aufgaben, auch eingebettet in einen praktischen Kontext.

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

    Berechnung des n-ten Gliedes und der Summe einer arithmetischen Folge (bei uns in Klasse 11) · Berechnung der Glieder und der Summe einer geometrischen Folge (bei uns in Klasse 11)

  50. Lehrplanpunkt MAT.LO.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Trigonometrie

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    verwendet die Definitionen der Funktionen: Sinus, Kosinus und Tangens für Winkel von 0° bis 180°, bestimmt insbesondere die Werte der trigonometrischen Funktionen für die Winkel 30°, 45°, 60°

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.2 · Lerninhalte

    verwendet die Formeln sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.3 · Lerninhalte

    wendet den Kosinussatz sowie die Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks P = ½ · a · b · sin γ an

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    berechnet die Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks und die Längen seiner Seiten bei entsprechenden Angaben (löst rechtwinklige Dreiecke, einschließlich unter Verwendung trigonometrischer Funktionen).

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Lehrplanpunkt MAT.LO.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Planimetrie

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    bestimmt Radien und Durchmesser von Kreisen, Längen von Kreissehnen sowie Tangentenabschnitten, einschließlich unter Verwendung des Satzes des Pythagoras

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    erkennt spitzwinklige, rechtwinklige und stumpfwinklige Dreiecke bei gegebenen Seitenlängen (wendet u. a. die Umkehrung des Satzes des Pythagoras und den Kosinussatz an); wendet den Satz an: Im Dreieck liegt dem größeren Innenwinkel die längere Seite gegenüber

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    erkennt regelmäßige Vielecke und nutzt deren grundlegende Eigenschaften

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    nutzt Eigenschaften von Winkeln und Diagonalen in Rechtecken, Parallelogrammen, Rauten und Trapezen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    wendet Eigenschaften von Umfangswinkeln und Mittelpunktswinkeln an

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    wendet Formeln für den Flächeninhalt eines Kreisausschnitts und die Länge eines Kreisbogens an

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    wendet den Strahlensatz an

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    nutzt die Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    nutzt Beziehungen zwischen den Umfängen sowie zwischen den Flächeninhalten ähnlicher Figuren

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    benennt grundlegende besondere Punkte im Dreieck: Mittelpunkt des Inkreises eines Dreiecks, Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks, Höhenschnittpunkt, Schwerpunkt und nutzt deren Eigenschaften

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    führt geometrische Beweise durch

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    wendet trigonometrische Funktionen zur Bestimmung von Streckenlängen in ebenen Figuren sowie zur Berechnung von Flächeninhalten von Figuren an.

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Lehrplanpunkt MAT.LO.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Analytische Geometrie in der kartesischen Ebene

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    erkennt die gegenseitige Lage von Geraden in der Ebene anhand ihrer Gleichungen, darunter findet den gemeinsamen Punkt zweier Geraden, falls ein solcher existiert

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

    Geradengleichungen: Orthogonalität und Schnittpunkt (bei uns in Klasse 11)

  70. Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    verwendet Geradengleichungen in der Ebene in Steigungsform und allgemeiner Form, bestimmt unter anderem die Gleichung einer Geraden mit vorgegebenen Eigenschaften (wie z. B. das Verlaufen durch zwei gegebene Punkte, eine bekannte Steigung, Parallelität zu einer anderen Geraden)

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

    Geradengleichungen: Orthogonalität und Schnittpunkt (bei uns in Klasse 11)

  71. Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    berechnet den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

    Berechnung des Abstands von Punkten in der Ebene (bei uns in Klasse 11)

  72. Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.4 · Lerninhalte

    verwendet die Kreisgleichung (x − a)² + (y − b)² = r²

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

    Bestimmung von Mittelpunkt und Radius eines Kreises aus der Gleichung (bei uns in Klasse 11)

  73. Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    bestimmt Bilder von Kreisen und Vielecken bei Achsenspiegelungen an den Achsen des Koordinatensystems, bei Punktspiegelung (mit dem Zentrum im Ursprung des Koordinatensystems).

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Lehrplanpunkt MAT.LO.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Stereometrie

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    erkennt die gegenseitige Lage von Geraden im Raum, insbesondere zueinander senkrechte, sich nicht schneidende Geraden

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    verwendet den Begriff des Winkels zwischen einer Geraden und einer Ebene sowie den Begriff des Diederwinkels zwischen Halbebenen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    erkennt in Prismen und Pyramiden Winkel zwischen Strecken (z. B. Kanten, Kanten und Diagonalen) sowie Winkel zwischen Flächen, berechnet die Maße dieser Winkel

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    erkennt in Zylindern und in Kegeln den Winkel zwischen Strecken sowie den Winkel zwischen Strecken und Ebenen (z. B. Öffnungswinkel des Kegels, Winkel zwischen Mantellinie und Grundfläche), berechnet die Maße dieser Winkel

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    berechnet Volumina und Oberflächeninhalte von Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel und Kugel, auch unter Verwendung der Trigonometrie

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    nutzt den Zusammenhang zwischen den Volumina ähnlicher Körper.

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Lehrplanpunkt MAT.LO.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Kombinatorik

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    zählt Objekte in einfachen kombinatorischen Situationen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

    Zählen von Möglichkeiten: Multiplikationsregel und Permutationen (bei uns in Klasse 11)

  83. Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    zählt Objekte unter Anwendung der Multiplikations- und Additionsregeln (auch kombiniert) für eine beliebige Anzahl von Vorgängen, z. B.:

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

    Zählen von Möglichkeiten: Multiplikationsregel und Permutationen (bei uns in Klasse 11)

  84. Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Berechnen, wie viele vierstellige ungerade positive ganze Zahlen es gibt, in deren Dezimalschreibweise genau eine Ziffer 1 und genau eine Ziffer 2 vorkommt

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

    Zählen von Möglichkeiten: Multiplikationsregel und Permutationen (bei uns in Klasse 11)

  85. Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Berechnen, wie viele vierstellige gerade positive ganze Zahlen es gibt, in deren Dezimalschreibweise genau eine Ziffer 0 und genau eine Ziffer 1 vorkommt.

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

    Zählen von Möglichkeiten: Multiplikationsregel und Permutationen (bei uns in Klasse 11)

  86. Lehrplanpunkt MAT.LO.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Lehrplanpunkt MAT.LO.12.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    berechnet die Wahrscheinlichkeit im klassischen Modell

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

    Wahrscheinlichkeit bei einfachen Experimenten (bei uns in Klasse 11) · Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen (bei uns in Klasse 11) · Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen (bei uns in Klasse 11)

  88. Lehrplanpunkt MAT.LO.12.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    berechnet das arithmetische Mittel und das gewichtete Mittel, findet den Median und den Modalwert.

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Lehrplanpunkt MAT.LO.13 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Optimierung und Differentialrechnung

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Lehrplanpunkt MAT.LO.13.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    löst Optimierungsaufgaben in Situationen, die sich durch eine quadratische Funktion beschreiben lassen.

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Rechenfertigkeit

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.1.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Durchführen von Berechnungen mit reellen Zahlen, auch unter Verwendung eines Taschenrechners, Anwenden von Rechengesetzen beim Umformen algebraischer Ausdrücke sowie Nutzen dieser Fähigkeiten beim Lösen von Problemen in realen und theoretischen Kontexten

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Nutzung und Erstellung von Informationen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.2.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Interpretieren und Verarbeiten von Informationen, die in Texten, sowohl mathematischen als auch populärwissenschaftlichen, sowie in Form von Graphen, Diagrammen, Tabellen dargestellt sind

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.2.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Verwendung der mathematischen Sprache zur Erstellung mathematischer Texte, einschließlich zur Beschreibung durchgeführter Überlegungen und zur Begründung von Schlussfolgerungen sowie zur Darstellung von Daten

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Verwendung und Interpretation von Darstellungen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Anwenden mathematischer Objekte und Operieren mit ihnen, Interpretieren mathematischer Begriffe

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Auswählen und Erstellen mathematischer Modelle beim Lösen praktischer und theoretischer Probleme

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Erstellen mathematischer Hilfsobjekte auf der Grundlage bestehender zur Durchführung einer Argumentation oder zur Lösung eines Problems

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Aufzeigen der Notwendigkeit oder Möglichkeit einer Modifikation des mathematischen Modells in Fällen, die besondere Vorbehalte, zusätzliche Annahmen, die Berücksichtigung besonderer Bedingungen erfordern

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Schlussfolgern und Argumentieren

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Durchführen von Schlussfolgerungen, auch mehrschrittigen, Angeben von Argumenten zur Begründung der Richtigkeit der Schlussfolgerung, Unterscheiden eines Beweises von einem Beispiel

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Erkennen von Regelmäßigkeiten, Ähnlichkeiten sowie Analogien, Formulieren von Schlussfolgerungen auf deren Grundlage und Begründen ihrer Richtigkeit

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Auswählen von Argumenten zur Begründung der Richtigkeit von Problemlösungen, Bilden einer Argumentationskette, die die Richtigkeit der Lösung garantiert, und Effizienz bei der Suche nach Lösungen der Problemstellung

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

    Anwenden und Entwickeln von Strategien beim Lösen von Aufgaben, auch in atypischen Situationen

    unsere Übersetzung · Originalwortlaut (PL): Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Kompetenzen Schritt für Schritt

Zählen von Möglichkeiten: Multiplikationsregel und Permutationen

Der Schüler berechnet die Anzahl möglicher Anordnungen und Auswahlen unter Anwendung der Multiplikations- und Additionsregel, von Permutationen sowie Variationen bei Aufgaben zu Ziffern oder zur Verteilung von Preisen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.1 zählt Objekte in einfachen kombinatorischen Situationen (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2 zählt Objekte unter Anwendung der Multiplikations- und Additionsregeln (auch kombiniert) für eine beliebige Anzahl von Vorgängen, z. B.: (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2.a Berechnen, wie viele vierstellige ungerade positive ganze Zahlen es gibt, in deren Dezimalschreibweise genau eine Ziffer 1 und genau eine Ziffer 2 vorkommt (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2.b Berechnen, wie viele vierstellige gerade positive ganze Zahlen es gibt, in deren Dezimalschreibweise genau eine Ziffer 0 und genau eine Ziffer 1 vorkommt. (unsere Übersetzung)

Ein Schüler der 3. Klasse der gymnasialen Oberstufe oder der Fachoberschule analysiert kombinatorische Situationen und bestimmt die Anzahl der möglichen Ergebnisse, ohne alle Fälle auflisten zu müssen. Er wendet die Produkt- und die Additionsregel bei mehrstufigen Prozessen an, berechnet die Anzahl der Permutationen einer endlichen Menge bei der Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge und verwendet Variationen, wenn er eine bestimmte Anzahl von Elementen auswählt und ihnen konkrete Plätze zuweist.

Ein häufiger Fehler besteht darin, Randbedingungen in den einzelnen Phasen der Auswahl nicht zu berücksichtigen. Schüler vergessen beispielsweise, dass die erste Ziffer einer gebildeten Zahl keine Null sein darf, oder bedenken nicht, dass die Parität ausschließlich von der letzten Ziffer abhängt. Wenn eine Aufgabe erfordert, dass eine bestimmte Ziffer nur einmal vorkommt, entstehen Fehler durch eine fehlerhafte Aufteilung der Schritte: Anstatt zuerst die Position der hervorgehobenen Ziffer festzulegen, multipliziert der Schüler unüberlegt die verfügbaren Möglichkeiten.

Aufgaben, die diese Fähigkeit schulen, basieren auf Modellen des Ziehens und Anordnens. Der Schüler löst Aufgaben, bei denen es darum geht, die Anzahl der Möglichkeiten zu bestimmen, Personen in einer Reihe aufzustellen (Permutationen), ausgezeichnete Pokale oder Plätze zu vergeben (Variationen – Preisverleihung) sowie gerade oder ungerade Zahlen mit einer vorgegebenen Ziffernanzahl zu bilden, in denen eine bestimmte Ziffer genau einmal vorkommt.

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Aufgabentypen: Permutationen — Warteschlange · Variationen — Preise vergeben · Gerade Zahlen mit einer Ziffer genau einmal · Ungerade Zahlen mit einer Ziffer genau einmal

Wahrscheinlichkeit bei einfachen Experimenten

Der Schüler berechnet die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bei einem einzelnen Zufallsexperiment, wie dem Würfeln oder dem Ziehen einer Kugel aus einer Schachtel, und gibt das Ergebnis als Bruch an.

Lehrplanpunkt MAT.LO.12.P.1 berechnet die Wahrscheinlichkeit im klassischen Modell (unsere Übersetzung)

Auf dieser Stufe bestimmt der Schüler die klassische Wahrscheinlichkeit bei einzelnen Zufallsexperimenten mit einer endlichen Anzahl gleich wahrscheinlicher Ergebnisse. Er kann alle möglichen Ergebnisse eines gegebenen Ereignisses korrekt zählen, diejenigen ermitteln, die die angegebene Bedingung erfüllen (günstige Ergebnisse), und anschließend die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses als Quotient dieser beiden Werte darstellen.

Ein typischer Fehler ist die fehlerhafte Bestimmung der Anzahl der günstigen Ergebnisse. Schüler übersehen beim Überprüfen von Zahleneigenschaften oft bestimmte Möglichkeiten (sie vergessen beispielsweise, dass die Zahl 2 eine Primzahl ist) oder verwechseln die Anzahl der günstigen Ereignisse mit der Gesamtzahl der Elemente in der Menge. Es kommt auch vor, dass die Wahrscheinlichkeit fälschlicherweise mit der reinen Anzahl der passenden Ergebnisse gleichgesetzt wird, anstatt sie als Bruch anzugeben.

In der Praxis bestehen die Aufgaben in der Analyse einer konkreten Zufallssituation:

  • Würfelwurf – beispielsweise die Berechnung der Wahrscheinlichkeit, eine Augenzahl zu würfeln, die eine Primzahl oder größer als ein vorgegebener Wert ist,
  • Ziehen einer Kugel aus einer Schachtel – Berechnung der Wahrscheinlichkeit, eine Kugel einer bestimmten Farbe bei einer angegebenen Anzahl von Kugeln jeder Art zu ziehen,
  • Ziehen eines Zettels mit einer Zahl – Bestimmung der Wahrscheinlichkeit, ein Kärtchen mit einer Zahl zu ziehen, die eine bestimmte Bedingung erfüllt, z. B. durch 3 teilbar ist.
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Aufgabentypen: Eine Kugel aus der Schachtel ziehen · Würfeln · Eine Zahlenkarte ziehen

Geradengleichungen: Orthogonalität und Schnittpunkt

Der Schüler bestimmt den Schnittpunkt zweier Geraden, stellt die Gleichung einer senkrechten Geraden durch einen Punkt auf und liest die Steigung aus der allgemeinen Form ab.

Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.1 erkennt die gegenseitige Lage von Geraden in der Ebene anhand ihrer Gleichungen, darunter findet den gemeinsamen Punkt zweier Geraden, falls ein solcher existiert (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.2 verwendet Geradengleichungen in der Ebene in Steigungsform und allgemeiner Form, bestimmt unter anderem die Gleichung einer Geraden mit vorgegebenen Eigenschaften (wie z. B. das Verlaufen durch zwei gegebene Punkte, eine bekannte Steigung, Parallelität zu einer anderen Geraden) (unsere Übersetzung)

Im Rahmen der analytischen Geometrie formt der Schüler die allgemeine Geradengleichung in die Steigungsform um, um deren Steigung präzise abzulesen. Auf dieser Grundlage kann er die Orthogonalitätsbedingung bestimmen und die Gleichung einer senkrechten Geraden aufstellen, die durch einen angegebenen Punkt mit bekannten Koordinaten verläuft. Zudem bestimmt er algebraisch die Koordinaten des Schnittpunkts zweier Geraden in der Ebene.

Das häufigste Problem bei der Bestimmung einer senkrechten Geraden ist die Verwechslung von Gegenzahl und Kehrwert – Schüler verwenden oft nur den Kehrwert der Steigung (z. B. ersetzen sie die Zahl 3 durch 1/3 anstelle von -1/3). Schwierigkeiten bereitet auch die korrekte Division durch den Koeffizienten vor der Variablen y beim Umformen der allgemeinen Gleichung, insbesondere wenn dieser Koeffizient negativ ist.

Übungen zur Überprüfung dieser Fähigkeit umfassen typische Rechenaufgaben:

  • Steigung aus der allgemeinen Form — Umformung der Geradengleichung und Ablesen ihrer Steigung;
  • Senkrechte Gerade durch einen Punkt — Aufstellen einer neuen Geradengleichung, die die Orthogonalitätsbedingung erfüllt und durch einen vorgegebenen Punkt verläuft;
  • Schnittpunkt zweier Geraden — Bestimmung des Zahlenpaars, das die gemeinsame Lösung der Gleichungen beider Geraden darstellt.
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Aufgabentypen: Steigung aus der allgemeinen Form · Schnittpunkt zweier Geraden · Senkrechte Gerade durch einen Punkt

Berechnung des Abstands von Punkten in der Ebene

Der Schüler berechnet den Abstand zwischen zwei Punkten im Koordinatensystem unter Verwendung der geometrischen Beziehung aus dem Satz des Pythagoras.

Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.3 berechnet den Abstand zweier Punkte im Koordinatensystem (unsere Übersetzung)

Im Rahmen der analytischen Geometrie bestimmt die Schülerin oder der Schüler den Abstand zwischen zwei Punkten mit gegebenen numerischen Koordinaten. Die Verbindungsstrecke dieser Punkte wird als Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks betrachtet, dessen Katheten sich direkt aus den Koordinatendifferenzen auf den Achsen ergeben. Auf dieser Grundlage wendet man den Satz des Pythagoras an, um die genaue Länge der Strecke zu berechnen.

Ein typisches Problem auf dieser Stufe sind Rechenfehler bei der Subtraktion negativer Zahlen während der Bestimmung der Kathetenlängen (z. B. das Subtrahieren einer negativen Koordinate von einer positiven). Schülerinnen und Schüler neigen außerdem dazu, das Ziehen der Quadratwurzel ganz am Ende der Rechnung zu vergessen, sodass als Ergebnis das Quadrat des Abstands stehen bleibt.

In der Praxis erhalten die Lernenden bei Aufgaben wie Abstand zweier Punkte mit dem Satz des Pythagoras sowie Abstand zweier Punkte die Koordinaten zweier Punkte und bestimmen den Abstand zwischen ihnen. Die Aufgaben können das Einzeichnen eines Hilfsdreiecks im Koordinatensystem oder die direkte Berechnung der Streckenlänge mit eventuellem teilweisem Radizieren erfordern.

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Aufgabentypen: Abstand zweier Punkte · Abstand zweier Punkte mit dem Satz des Pythagoras

Berechnung des n-ten Gliedes und der Summe einer arithmetischen Folge

Der Schüler bestimmt ein beliebiges Glied einer arithmetischen Folge anhand der allgemeinen Formel und berechnet die Summe einer bestimmten Anzahl ihrer Anfangsglieder.

Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.4 prüft, ob eine gegebene Folge arithmetisch oder geometrisch ist (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.5 wendet die Formel für das n-te Glied und für die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge an (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.7 nutzt Eigenschaften von Folgen, darunter arithmetischer und geometrischer, zum Lösen von Aufgaben, auch eingebettet in einen praktischen Kontext. (unsere Übersetzung)

In der 3. Klasse der Sekundarstufe II wendet der Schüler die Eigenschaften der arithmetischen Folge sicher an. Er kann den Wert jedes beliebigen, vorgegebenen Gliedes anhand des ersten Gliedes und der Differenz der Folge bestimmen sowie die Summe einer bestimmten Anzahl aufeinanderfolgender Anfangsglieder berechnen.

Ein häufiges Problem auf dieser Stufe ist die Verwechslung des Gliedindex mit dessen tatsächlichem Wert (also des Index n mit dem Folgenglied an). Fehler treten auch bei fallenden Folgen auf, bei denen die Differenz der Folge eine negative Zahl ist, was zu Vorzeichenfehlern beim Einsetzen der Werte in die Summenformel führt.

Aufgaben zur Übung dieser Fertigkeit treten in zwei übersichtlichen Formen auf:

  • Arithmetische Folge — n-tes Glied: Der Schüler erhält die Anfangsdaten der Folge und berechnet ein bestimmtes, weiter hinten liegendes Glied (z. B. das zehnte oder zwanzigste).
  • Arithmetische Folge — Summe der Glieder: Die Aufgabe besteht darin, eine vorgegebene Anzahl der ersten Glieder einer bestimmten Folge mithilfe der entsprechenden Formel zu summieren.
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Aufgabentypen: Arithmetische Folge — Summe · Arithmetische Folge — n-tes Glied

Berechnung der Glieder und der Summe einer geometrischen Folge

Der Schüler bestimmt ein beliebiges Glied einer geometrischen Folge und berechnet die Summe ihrer ersten Glieder anhand der angegebenen Daten.

Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.4 prüft, ob eine gegebene Folge arithmetisch oder geometrisch ist (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.6 wendet die Formel für das n-te Glied und für die Summe der ersten n Glieder einer geometrischen Folge an (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.7 nutzt Eigenschaften von Folgen, darunter arithmetischer und geometrischer, zum Lösen von Aufgaben, auch eingebettet in einen praktischen Kontext. (unsere Übersetzung)

In der 3. Klasse von Gymnasium und Fachoberschule beherrscht der Schüler die Regeln einer geometrischen Folge. Ausgehend vom ersten Glied und dem Quotienten kann er die explizite Formel bestimmen und den Wert eines beliebigen, n-ten Gliedes berechnen. Er wendet auch die Formel für die Summe der ersten n Glieder der Folge an und kombiniert dabei sicher die Multiplikation mit einem konstanten Quotienten und das Potenzieren.

Ein häufiges Problem ist die Verwechslung des Quotienten einer geometrischen Folge mit der Differenz einer arithmetischen Folge – Schüler addieren reflexartig einen festen Wert, anstatt aufeinanderfolgende Glieder zu multiplizieren. Schwierigkeiten bereiten auch die Reihenfolge der Rechenoperationen sowie das Potenzieren von Brüchen und negativen Zahlen, was zu Vorzeichenfehlern bei der Berechnung der Potenzen in der Summenformel führt.

Die druckbaren Aufgaben umfassen folgende Vorlagen:

  • Geometrische Folge – n-tes Glied: Berechnung eines bestimmten Gliedes oder des Quotienten anhand der Anfangsdaten;
  • Geometrische Folge – Summe der Glieder: Bestimmung der Summe einer bestimmten Anzahl der ersten Glieder der Folge.
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Aufgabentypen: Geometrische Folge — Summe · Geometrische Folge — n-tes Glied

Berechnung von Folgengliedern aus der expliziten Formel und Rekursion

Der Schüler berechnet konkrete Glieder einer Zahlenfolge anhand der angegebenen expliziten Formel oder einer rekursiven Vorschrift.

Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.1 berechnet Glieder einer durch eine explizite Formel definierten Folge (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.2 berechnet die ersten Glieder rekursiv definierter Folgen (unsere Übersetzung)

In der 11. Klasse an Gymnasium und Fachoberschule bestimmt der Schüler souverän die Werte angegebener Glieder einer Zahlenfolge. Er kann die Positionsnummer n in die explizite Formel einsetzen, um das Ergebnis direkt zu berechnen, und auch aufeinanderfolgende Glieder einer Folge anhand einer rekursiven Bildungsvorschrift unter Verwendung der vorhergehenden Glieder bestimmen.

Eine typische Schwierigkeit besteht darin, den Index eines Gliedes mit dessen Wert zu verwechseln – beispielsweise die Bezeichnung des vorherigen Gliedes mit dem Subtrahieren von eins vom Wert des aktuellen Gliedes zu verwechseln. Bei rekursiven Folgen ist auch die rechnerische Disziplin eine Herausforderung: Ein kleiner Rechenfehler zu Beginn der Rechnungen überträgt sich wie eine Lawine auf alle weiteren Glieder.

Die Übungen basieren auf zwei Arten von Aufgaben:

  • Folgenglied aus der expliziten Formel — Der Schüler erhält eine direkte Bildungsvorschrift für die Folge und berechnet einen konkreten Wert (z. B. das fünfte oder zehnte Glied), indem er die entsprechende natürliche Zahl anstelle von n einsetzt;
  • Glied einer rekursiven Folge — Ausgehend vom Anfangsglied und der Bildungsvorschrift für die nächsten Schritte berechnet der Schüler schrittweise die nachfolgenden Elemente der Folge, bis das gesuchte Glied erreicht ist.
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Aufgabentypen: Folgenglied aus der Formel · Glied einer rekursiven Folge

Berechnung und Anwendung des Binomialkoeffizienten

Der Schüler lernt, den Wert des Binomialkoeffizienten mithilfe der Fakultät zu berechnen und ihn anzuwenden, um die Anzahl der Möglichkeiten zur Auswahl einer Gruppe von Personen oder Elementen zu bestimmen.

In der 3. Klasse lernt der Schüler den Binomialkoeffizienten kennen und lernt, dessen Zahlenwert sicher zu bestimmen. Er beherrscht das Ausschreiben und Kürzen von Brüchen mit Fakultäten, was schnelle Rechnungen ohne das Ausmultiplizieren großer Zahlen ermöglicht. Er nutzt diese Schreibweise, um Situationen zu beschreiben, in denen eine Teilmenge von Elementen ausgewählt wird, ohne deren Reihenfolge zu beachten.

Ein typischer Fehler auf dieser Stufe ist die Verwechslung von Situationen, in denen die Reihenfolge eine Rolle spielt, mit solchen, bei denen nur die Zusammensetzung der Gruppe von Bedeutung ist. Infolgedessen vergessen Schüler häufig, das Produkt durch die Fakultät der Anzahl der ausgewählten Elemente zu dividieren. Zudem treten beim Kürzen des Nenners oft Rechenfehler auf.

In der Praxis umfassen die Übungen zu dieser Fertigkeit zwei Aufgabentypen:

  • Wert des Binomialkoeffizienten — rein rechnerische Bestimmung des Wertes des angegebenen Ausdrucks durch Vereinfachen von Zahlenprodukten;
  • Auswahl einer Delegation — Textaufgaben, bei denen berechnet werden soll, auf wie viele Arten eine kleinere Gruppe (z. B. eine mehrköpfige Vertretung) aus einer größeren Menge von Personen oder Gegenständen ausgewählt werden kann.
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Aufgabentypen: Wert eines Binomialkoeffizienten · Auswahl einer Delegation

Umrechnung von Grad in Radiant und Radiant in Grad

Der Schüler rechnet das in Grad angegebene Winkelmaß sicher in Radiant um und wandelt das in Radiant ausgedrückte Maß in Grad um.

In der 3. Klasse lernen die Schülerinnen und Schüler das Bogenmaß als alternative Möglichkeit kennen, die Weite eines Winkels anzugeben. In dieser Phase erlernen sie den sicheren Wechsel zwischen Grad und Radiant, basierend auf dem grundlegenden Zusammenhang, dass ein Winkel von 180° π Radiant entspricht. Sie verwenden Proportionen sowie die Multiplikation mit dem entsprechenden Bruch, um den genauen Wert des Winkels in der neuen Einheit zu bestimmen.

Ein typisches Problem ist das Vertauschen der Umrechnungsformel. Schülerinnen und Schüler verwechseln häufig, wann mit π/180° und wann mit 180°/π multipliziert werden muss, was zu einem falschen Ergebnis mit doppeltem π oder dessen Fehlen führt. Schwierigkeiten bereitet mitunter auch das korrekte Kürzen der entstandenen Brüche bis zur einfachsten Form.

Die Übungen basieren auf zwei Arten von Aufgaben: Bei Grad in Radiant wandeln die Lernenden den angegebenen Winkel (z. B. 45° oder 120°) in die Form eines Bruchs mit dem Symbol π um. Bei Radiant in Grad führen sie den umgekehrten Vorgang durch, indem sie π durch den Wert 180° ersetzen und das endgültige Winkelmaß in Grad berechnen.

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Aufgabentypen: Bogenmaß in Grad · Grad ins Bogenmaß

Bestimmen der Periode und Amplitude einer Sinuskurve

Der Schüler lernt, die Grundperiode sowie den Maximalwert der Sinusfunktion anhand ihrer Formel oder ihres Graphen zu bestimmen.

In der 11. Klasse von Gymnasium und Fachoberschule analysieren Schülerinnen und Schüler Graphen und Funktionsgleichungen trigonometrischer Funktionen unter Verwendung des Bogenmaßes. Im Rahmen dieser Kompetenz bestimmen sie zwei zentrale Parameter der Sinuskurve: ihre Periode (die Länge des sich wiederholenden Zyklus) sowie die Amplitude, also die Abweichung von der Mittellinie, die mit dem maximal erreichten Wert zusammenhängt.

Ein häufiger Fehler ist die Verwechslung des Einflusses der einzelnen Koeffizienten in der Funktionsgleichung auf deren Verlauf. Schülerinnen und Schüler setzen nicht selten den Koeffizienten beim Argument direkt mit der Periode gleich, anstatt diese mithilfe der Formel unter Berücksichtigung der Periodizität von 2π zu berechnen, oder sie verwechseln die vertikale Streckung des Graphen mit seiner horizontalen Stauchung.

Die druckbaren Aufgaben zu diesem Bereich umfassen zwei typische Übungsformate:

  • Periode der Sinuskurve — die Schüler berechnen oder lesen die Zykluslänge einer Funktion mit transformiertem Argument ab;
  • Größter Wert der Sinuskurve — die Schüler geben den maximalen Wert an, den die Funktion annimmt, indem sie deren Amplitude und vertikale Verschiebung analysieren.
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Aufgabentypen: Maximum einer Sinuskurve · Periode einer Sinuskurve

Sehnenvierecke und Tangentenvierecke

Der Schüler berechnet die Winkelmaße in einem Sehnenviereck sowie die Seitenlängen in einem Tangentenviereck unter Anwendung der Beziehungen zwischen gegenüberliegenden Elementen der Figur.

Schülerinnen und Schüler der 3. Klasse von Lyzeum und Technikum können fehlende Größen in Vierecken im Zusammenhang mit einem Kreis bestimmen. Im Fall einer in einen Kreis einbeschriebenen Figur nutzen sie die Regel, dass die Summe der Maße gegenüberliegender Winkel 180° beträgt. Ist das Viereck einem Kreis umbeschrieben, wenden sie die Beziehung an, dass die Summen der Längen gegenüberliegender Seitenpaare gleich sind.

Das häufigste Problem ist das Verwechseln dieser beiden Eigenschaften oder deren Anwendung auf benachbarte statt auf gegenüberliegende Elemente der Figur. Schülerinnen und Schüler addieren fälschlicherweise an derselben Seite liegende Winkel zu 180° oder setzen die Summen benachbarter Seiten gleich, was zu einem falschen Aufstellen der Gleichung führt.

In der Praxis bestehen die Aufgaben darin, Daten aus der Zeichnung oder der Aufgabenstellung abzulesen und den fehlenden Wert zu berechnen. In der Vorlage Winkel im einbeschriebenen Viereck bestimmt der Schüler das unbekannte Winkelmaß, und in der Aufgabe Seite des einem Kreis umbeschriebenen Vierecks berechnet er die Länge der vierten Seite anhand von drei angegebenen Strecken.

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Aufgabentypen: Seite eines Tangentenvierecks · Winkel im Sehnenviereck

Bestimmung von Mittelpunkt und Radius eines Kreises aus der Gleichung

Der Schüler lernt, die Koordinaten des Mittelpunkts sowie die Länge des Radius eines Kreises direkt aus seiner Gleichung in der kanonischen Form abzulesen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.4 verwendet die Kreisgleichung (x − a)² + (y − b)² = r² (unsere Übersetzung)

Auf dieser Stufe analysiert der Lernende die Kreisgleichung und bestimmt anhand dieser zwei grundlegende Parameter: die Koordinaten des Kreismittelpunkts sowie die Länge seines Radius. Er verbindet sicher die algebraische Darstellung der Beziehung zwischen den Variablen mit ihrer geometrischen Bedeutung im Koordinatensystem.

Ein typisches Problem ist das Verwechseln der Vorzeichen beim Bestimmen der Mittelpunktskoordinaten. In der Formel steht ein Minuszeichen, weshalb ein Plus in der Klammer eine negative Koordinate bedeutet, was häufig vergessen wird. Ein weiterer häufiger Fehler ist das direkte Gleichsetzen der rechten Seite der Gleichung mit dem Radius statt mit dessen Quadrat – zum Beispiel die Angabe eines Radius von 25 statt 5.

Die Aufgaben bestehen in der direkten Analyse der vorgegebenen Gleichung. In der Übung Mittelpunkt des Kreises aus der Gleichung besteht die Aufgabe darin, das Koordinatenpaar des Mittelpunkts korrekt anzugeben, während in der Aufgabe Radius des Kreises aus der Gleichung die richtige Länge des Radius bestimmt wird, indem die Wurzel aus der Zahl auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens gezogen wird.

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Aufgabentypen: Kreismittelpunkt aus der Gleichung · Kreisradius aus der Gleichung

Länge und Operationen mit Vektoren

Der Schüler berechnet die Länge eines Vektors in der Ebene anhand seiner Koordinaten und bestimmt die Koordinaten von Vektoren, die das Ergebnis von Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einer Zahl sind.

In der 3. Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule arbeiten Schülerinnen und Schüler mit Vektoren im Koordinatensystem. Sie bestimmen sicher die Länge eines Vektors mithilfe des Satzes des Pythagoras anhand seiner Koordinaten und führen grundlegende Rechenoperationen aus: Sie addieren und subtrahieren Vektoren und multiplizieren sie mit reellen Zahlen, wodurch sie deren Linearkombinationen bilden.

Ein häufiger Fehler ist das Verlieren von Vorzeichen beim Quadrieren negativer Koordinaten während der Berechnung der Vektorlänge. Schülerinnen und Schüler schreiben beispielsweise -32 = -9 anstelle von (-3)2 = 9, was zu falschen Ergebnissen unter der Wurzel führt. Schwierigkeiten bereitet auch das korrekte Subtrahieren von Vektoren, wenn die Koordinaten negative Zahlen enthalten und es leicht zu Fehlern beim Auflösen eines Doppelminusses kommt.

Aufgaben aus diesem Bereich treten in zwei Hauptformen auf:

  • Länge eines Vektors – die Schülerinnen und Schüler erhalten die Koordinaten eines Vektors und berechnen seinen numerischen Wert, wobei sie häufig Wurzelterme vereinfachen;
  • Kombination von Vektoren – die Schülerinnen und Schüler bestimmen die Koordinaten eines neuen Vektors, der durch eine algebraische Formel beschrieben wird, beispielsweise 2a - 3b, indem sie direkt mit den Koordinaten der gegebenen Vektoren rechnen.
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Aufgabentypen: Linearkombination von Vektoren · Länge eines Vektors

Berechnung der Summe einer geometrischen Reihe

Der Schüler überprüft die Konvergenzbedingung und berechnet die Summe einer unendlichen Zahlenfolge mithilfe der Formel für die Summe einer geometrischen Reihe.

In der 3. Klasse der weiterführenden Schule lernen die Schülerinnen und Schüler den Begriff der geometrischen Reihe kennen, also der Summe unendlich vieler aufeinanderfolgender Glieder einer geometrischen Folge. Sie lernen zu beurteilen, wann eine solche Summe überhaupt eine endliche Zahl ergibt – sie prüfen, ob der Quotient der Folge die Bedingung |q| < 1 erfüllt – und berechnen anschließend ihren genauen Wert mithilfe einer Formel, die das erste Glied und den Quotienten nutzt.

Ein typisches Problem ist die mechanische Anwendung der Formel, ohne zu überprüfen, ob die Reihe konvergiert. Schülerinnen und Schüler versuchen, die Summe auch dann zu berechnen, wenn der Quotient beispielsweise 2 oder -3 beträgt, was zu falschen Schlussfolgerungen führt. Ein häufiger Stolperstein sind auch Rechenfehler bei einem negativen Quotienten, bei dem im Nenner eine negative Zahl subtrahiert wird (1 - q).

In den Aufgaben aus der Vorlage Summe einer geometrischen Reihe erhalten die Lernenden meist eine Folge von Brüchen oder ganzen Zahlen (z. B. 1/2, 1/4, 1/8...), die als unendliche Summe geschrieben ist, mit der Aufforderung, den Quotienten zu bestimmen, die Summierbarkeit zu überprüfen und das endgültige numerische Ergebnis zu ermitteln.

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Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen

Der Schüler berechnet die Wahrscheinlichkeit des Eintretens mindestens eines von zwei Ereignissen mithilfe der Formel für die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen und unter Berücksichtigung ihrer Schnittmenge.

Lehrplanpunkt MAT.LO.12.P.1 berechnet die Wahrscheinlichkeit im klassischen Modell (unsere Übersetzung)

Schüler der 3. Klasse an weiterführenden Schulen bestimmen die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens eines von zwei Zufallsereignissen eintritt. Dazu nutzen sie die Beziehung, die die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen mit den Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse und ihrer Schnittmenge verknüpft: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Der häufigste Fehler ist das mechanische Addieren der Werte P(A) und P(B), ohne die Schnittmenge P(A ∩ B) abzuziehen. Die Schüler vergessen zu prüfen, ob die Ereignisse gleichzeitig eintreten können, wodurch dieselben Ergebnisse des Zufallsexperiments doppelt gezählt werden, was oft zu einem fehlerhaften Ergebnis führt, das größer als 1 ist.

Aufgaben aus der Vorlage Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen erfordern die Berechnung einer fehlenden Wahrscheinlichkeit anhand direkt gegebener Zahlenwerte oder im Kontext von Aufgaben zum Ziehen von Zahlen, Karten oder zum Würfeln, bei denen die Schüler die Einzelwahrscheinlichkeiten und die Schnittmenge beider Situationen selbstständig ermitteln müssen.

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Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen

Der Schüler berechnet die Wahrscheinlichkeit von Zufallsereignissen unter Anwendung der Regeln der Kombinatorik auf mehrstufige Experimente, wie etwa das Ziehen von Kugeln aus einer Urne ohne Zurücklegen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.12.P.1 berechnet die Wahrscheinlichkeit im klassischen Modell (unsere Übersetzung)

Der Schüler verknüpft die Definition der klassischen Wahrscheinlichkeit mit Methoden der Kombinatorik. Auf dieser Stufe kann er die Anzahl aller möglichen Ergebnisse eines Zufallsexperiments sowie die Anzahl der günstigen Ergebnisse in Situationen korrekt bestimmen, in denen Objekte auf einmal oder nacheinander ohne Zurücklegen ausgewählt werden.

Ein häufiger Fehler ist das Übersehen der Tatsache, dass sich nach jedem Schritt die Anzahl der verfügbaren Elemente in der Menge verringert. Schüler neigen manchmal dazu, die aufeinanderfolgenden Stufen so zu behandeln, als handele es sich um ein Ziehen mit Zurücklegen, oder sie haben Schwierigkeiten zu entscheiden, ob die Reihenfolge bei der Ziehung der Objekte für das Zählen der günstigen Kombinationen von Bedeutung ist.

Aufgaben, die diese Fähigkeit trainieren, nutzen das Modell des Ziehens von Kugeln ohne Zurücklegen. Der Schüler analysiert den Inhalt eines Behälters mit Kugeln unterschiedlicher Farben und berechnet die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Zusammenstellung zu ziehen – zum Beispiel genau zwei Kugeln derselben Farbe oder Kugeln verschiedener Farben zu ziehen.

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Berechnung von Grenzwerten rationaler Folgen

Der Schüler lernt, den Grenzwert einer durch einen gebrochenen (rationalen) Ausdruck definierten Folge zu bestimmen, indem er das Verhalten ihrer Glieder untersucht, wenn der Index gegen Unendlich strebt.

In der 3. Klasse des Lyzeums und Technikums übt der Schüler das Bestimmen des Grenzwerts einer Folge, deren Glieder durch einen Bruch mit Polynomen der Variablen n im Zähler und Nenner beschrieben werden. Die Aufgabe besteht darin zu bestimmen, gegen welchen Wert die Folgenglieder streben, wenn n beliebig groß wird. Der Schüler wendet die Methode des Ausklammerns der höchsten Potenz von n im Zähler und Nenner an, wodurch sich der Bruch auf eine übersichtliche Form bringen lässt.

Ein häufiger Fehler ist der Versuch, Unendlich direkt in die Formel einzusetzen und gewöhnliche Rechenoperationen darauf anzuwenden, was bei unbestimmten Ausdrücken zu falschen Schlussfolgerungen führt. Schüler haben mitunter auch Schwierigkeiten, jeden Summanden korrekt durch die ausgeklammerte Potenz zu teilen, oder sie vergessen, dass Brüche mit n im Nenner bei wachsendem Index gegen null streben.

Die Aufgaben aus der Vorlage Grenzwert einer rationalen Folge bestehen darin, den Grenzwert eines bestimmten algebraischen Bruchs zu berechnen. Der Schüler formt die gegebene Bildungsvorschrift der Folge um, kürzt Potenzen und notiert den endgültigen Zahlenwert des Grenzwerts oder stellt fest, dass die Folge gegen Unendlich divergiert.

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Bestimmung der Verkettung zweier Funktionen

Der Schüler lernt, eine neue Funktion zu bilden, indem er den Funktionsterm einer Funktion an die Stelle des Arguments einer anderen einsetzt, und die Werte einer solchen Verkettung zu berechnen.

Auf dieser Stufe kann der Schüler den Funktionsterm einer verketteten Funktion bestimmen, indem er die Verkettung zweier Funktionen wie f(g(x)) oder g(f(x)) anwendet. Er versteht, dass der von der inneren Funktion gelieferte Funktionswert zum Eingabeargument der äußeren Funktion wird, und kann auf dieser Grundlage die endgültige algebraische Form der neuen Funktion bestimmen.

Ein typischer Fehler ist das Verwechseln der Reihenfolge bei der Verkettung und das Behandeln von f(g(x)) wie g(f(x)), obwohl die Funktionsverkettung im Allgemeinen nicht kommutativ ist. Schüler vergessen zudem häufig, den einzusetzenden Ausdruck in Klammern zu setzen, was zu Vorzeichenfehlern oder dem Verlieren von Potenzen führt, wenn die Variable x durch den gesamten Term der inneren Funktion ersetzt wird.

Aufgaben aus der Vorlage Verkettung von Funktionen erfordern meist die Bestimmung des allgemeinen Terms der Verkettung zweier gegebener algebraischer Funktionen oder die Berechnung eines konkreten Zahlenwerts für ein bestimmtes Argument, beispielsweise den Wert des Ausdrucks f(g(3)).

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Lösen einfacher trigonometrischer Gleichungen

Der Schüler löst einfache Gleichungen mit trigonometrischen Funktionen und bestimmt Winkel im Bogen- oder Gradmaß unter Berücksichtigung ihrer Periodizität.

In Klasse 3 löst der Schüler grundlegende Gleichungen mit einer einzelnen trigonometrischen Funktion wie Sinus, Kosinus oder Tangens (zum Beispiel sin x = 1/2 oder tan x = 1). Er bestimmt die Winkelwerte unter Verwendung des Bogenmaßes ausgedrückt durch die Zahl π oder des Gradmaßes und gibt vollständige Lösungsreihen unter Berücksichtigung der Periodizität der Funktionen an.

Ein typisches Problem auf dieser Stufe ist die Angabe nur eines Winkels anstelle von zweien innerhalb einer Periode – zum Beispiel die Angabe des Winkels π/6 für einen Sinuswert von 1/2 unter Übergehung des Wertes 5π/6. Schüler verwechseln häufig auch die Perioden der Funktionen, indem sie beim Tangens fälschlicherweise + 2kπ statt + kπ hinzufügen, oder sie lassen das Symbol des ganzzahligen Parameters k völlig weg.

Aufgaben aus der Vorlage Trigonometrische Gleichung erfordern meist das Umformen des gegebenen Ausdrucks in eine elementare Form und das anschließende Bestimmen aller passenden Lösungen in einem vorgegebenen Intervall (z. B. von 0 bis 2π) oder die Angabe einer allgemeinen Formel für alle Zahlen, die die Gleichung erfüllen.

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Bestimmung der gemeinsamen Punkte einer Geraden und eines Kreises

Die Schülerinnen und Schüler lernen, die Koordinaten der Schnitt- oder Berührungspunkte einer Geraden mit einem Kreis zu bestimmen sowie die Anzahl ihrer gemeinsamen Punkte zu ermitteln.

Im Rahmen der analytischen Geometrie verbindet der Schüler Algebra mit Geometrie, um die gegenseitige Lage einer Geraden und eines Kreises zu bestimmen. Durch das Lösen eines Gleichungssystems aus einer linearen und einer quadratischen Gleichung kann er überprüfen, ob die Gerade den Kreis in zwei Punkten schneidet, eine Tangente an ihn ist oder keine gemeinsamen Punkte mit ihm hat, und berechnet zudem die genauen Koordinaten dieser Punkte im Koordinatensystem.

Ein häufiges Problem sind Rechenfehler beim Einsetzen der aus der Geradengleichung freigestellten Variablen in die Kreisgleichung. Schüler machen Fehler bei der Anwendung der binomischen Formeln (insbesondere bei Minuszeichen) und begnügen sich nicht selten mit der Berechnung nur der ersten Koordinaten x, wobei sie vergessen, die dazugehörigen y-Werte zu berechnen.

Typische Aufgaben der Vorlage Gemeinsame Punkte von Kreis und Gerade geben die Geradengleichung sowie die Kreisgleichung in algebraischer Form an. Die Aufgabe des Schülers besteht darin, das Gleichungssystem zu lösen, die Anzahl der Lösungen zu bestimmen und die Zahlenpaare anzugeben, die die Koordinaten der gemeinsamen Punkte bilden.

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Bestimmung der Tangentengleichung an einen Kreis in einem Punkt

Der Schüler bestimmt die Gleichung der Tangente an einen Kreis in einem gegebenen Punkt, der auf diesem Kreis liegt, unter Verwendung von Methoden der analytischen Geometrie im Koordinatensystem.

Im Rahmen der analytischen Geometrie in der 3. Klasse kann der Schüler die Gleichung einer Tangente an einen Kreis in einem Punkt aufstellen, der auf dem Kreis liegt. Die Aufgabe basiert auf der Verknüpfung der Kreisgleichung mit den Eigenschaften von Geraden: Der Schüler bestimmt die Koordinaten des Kreismittelpunkts, ermittelt die Gerade, die den Radius zwischen Mittelpunkt und Berührpunkt enthält, und stellt anschließend die Gleichung der zu diesem Radius senkrechten Geraden auf.

Ein typischer Fehler bei diesem Thema ist eine Verwechslung bei der Bestimmung der Steigung der senkrechten Geraden (zum Beispiel ein Vorzeichenwechsel ohne Bildung des Kehrwerts) oder das fehlerhafte Ablesen der Koordinaten des Kreismittelpunkts aus der Kreisgleichung, insbesondere wenn in der Formel negative Vorzeichen auftreten. Schwierigkeiten bereitet mitunter auch der Fall, dass die Tangente eine vertikale Gerade ist – der Schüler versucht dann oft krampfhaft, sie in der Steigungsform statt in der Form x = c anzugeben.

In der Praxis erhält der Schüler bei Aufgaben des Typs Tangente an einen Kreis in einem Punkt die algebraische Kreisgleichung sowie die Koordinaten des Berührpunkts. Sein Ziel ist es, Berechnungen durchzuführen, die zur Angabe der endgültigen Tangentengleichung in der Steigungsform oder der allgemeinen Form führen.

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Aufgabenvorlagen zum Ausdrucken

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Zählen von Möglichkeiten: Multiplikationsregel und Permutationen

Wahrscheinlichkeit bei einfachen Experimenten

Geradengleichungen: Orthogonalität und Schnittpunkt

Berechnung des Abstands von Punkten in der Ebene

Berechnung des n-ten Gliedes und der Summe einer arithmetischen Folge

Berechnung der Glieder und der Summe einer geometrischen Folge

Berechnung von Folgengliedern aus der expliziten Formel und Rekursion

Berechnung und Anwendung des Binomialkoeffizienten

Umrechnung von Grad in Radiant und Radiant in Grad

Bestimmen der Periode und Amplitude einer Sinuskurve

Sehnenvierecke und Tangentenvierecke

Bestimmung von Mittelpunkt und Radius eines Kreises aus der Gleichung

Länge und Operationen mit Vektoren

Berechnung der Summe einer geometrischen Reihe

Berechnung der Wahrscheinlichkeit der Vereinigung von Ereignissen

Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen

Berechnung von Grenzwerten rationaler Folgen

Bestimmung der Verkettung zweier Funktionen

Lösen einfacher trigonometrischer Gleichungen

Bestimmung der gemeinsamen Punkte einer Geraden und eines Kreises

Bestimmung der Tangentengleichung an einen Kreis in einem Punkt

Weitere Aufgabentypen

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