Nederlands
Leerplan (Polen)

Wiskunde — klas 11

Wiskunde in klas 3 van het lyceum en technicum: rekenkundige en meetkundige rijen, goniometrie met radialen, analytische meetkunde — lijnen, cirkels, vectoren — combinatoriek en kansrekening. Kant-en-klare printbare opgaven voor elk onderwerp.

Werkblad maken voor dit leerplan

Wat leert een leerling bij wiskunde in klas 3 van het lyceum?

In klas 3 bestudeert de leerling rijen: het bepalen van termen, sommen van rekenkundige en meetkundige rijen, en op gevorderd niveau limieten en de meetkundige reeks. De leerling maakt kennis met radialen, periodieke functies en goniometrische vergelijkingen. Binnen de analytische meetkunde bepaalt de leerling vergelijkingen van lijnen en cirkels, snijpunten van een lijn en een cirkel, raaklijnen en bewerkingen met vectoren. Bij combinatoriek en kansrekening berekent hij gebeurtenissen met de productregel, het binomium van Newton en klassieke waarschijnlijkheid.

Belangrijk over het leerplan: het leerplan voor het lyceum en technicum is bloksgewijs geformuleerd — het beschrijft wat de leerling aan het einde van de middelbare school kan, afzonderlijk op basisniveau en gevorderd niveau. De toewijzing van een onderwerp aan een klas is onze keuze op basis van een typische spreiding van de leerstof; in het onderdeel „Leerplan” vindt u de officiële eindtermen met citaten.

Status van de pagina: de opgaven voor dit leerjaar zijn gereed in een vorm zonder context (alleen de opdracht en formule); opgaven met figuren, bewijzen en contextuele opgaven worden in volgende stappen toegevoegd.

Leerplanbereik

  1. Leerplanpunt MAT.LO.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Reële getallen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    voert bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen, worteltrekken, logaritmeren) uit in de verzameling van de reële getallen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

  3. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    voert eenvoudige bewijzen uit over de deelbaarheid van gehele getallen en resten bij deling, bijv.:

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past eigenschappen van wortels van een willekeurige graad toe, waaronder wortels van een oneven graad uit negatieve getallen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

  5. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past het verband tussen worteltrekken en machtsverheffen en de rekenregels voor machten en wortels toe

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

  6. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past de monotoniciteit van machtsverheffen toe, in het bijzonder de eigenschappen: als x < y en a > 1, dan ax < ay, en wanneer x < y en 0 < a < 1, dan ax > ay

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt het begrip getalleninterval, geeft intervallen aan op de getallenlijn

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past de meetkundige en algebraïsche interpretatie van de absolute waarde toe, lost vergelijkingen op van het type: |x + 4| = 5

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt eigenschappen van machtsverheffen en worteltrekken in praktische situaties, waaronder voor het berekenen van samengestelde rente, winst uit deposito's en kosten van kredieten

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

  10. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past het verband tussen logaritmeren en machtsverheffen toe, gebruikt de formules voor de logaritme van een product, de logaritme van een quotiënt en de logaritme van een macht.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

  11. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.2.a · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    bewijs van de deelbaarheid door 24 van het product van vier opeenvolgende natuurlijke getallen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.2.b · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    bewijs van de eigenschap: als een getal bij deling door 4 een rest van 3 geeft, dan is het geen kwadraat van een geheel getal

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Leerplanpunt MAT.LO.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Algebraïsche uitdrukkingen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Leerplanpunt MAT.LO.2.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past merkwaardige producten toe voor: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

  15. Leerplanpunt MAT.LO.2.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    telt veeltermen in één en meerdere variabelen op, trekt ze af en vermenigvuldigt ze

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

  16. Leerplanpunt MAT.LO.2.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    haalt een eenterm uit een algebraïsche som buiten haakjes

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

  17. Leerplanpunt MAT.LO.2.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    vermenigvuldigt en deelt rationale uitdrukkingen.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

  18. Leerplanpunt MAT.LO.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Vergelijkingen en ongelijkheden

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.1 · Leerinhouden

    vormt vergelijkingen en ongelijkheden op equivalente wijze om, waaronder bijv. een rationale vergelijking equivalent omvormt (voorbeeld in de wettekst)

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

  20. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    interpreteert strijdige en identieke lineaire vergelijkingen en ongelijkheden

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

  21. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    lost lineaire ongelijkheden met één onbekende op

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

  22. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    lost kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden op

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    lost veeltermvergelijkingen van de vorm W(x) = 0 op voor veeltermen herleid tot de ontbonden vorm.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Leerplanpunt MAT.LO.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Stelsels van vergelijkingen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Leerplanpunt MAT.LO.4.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    lost stelsels van lineaire vergelijkingen met twee onbekenden op, geeft de meetkundige interpretatie van bepaalde, onbepaalde en strijdige stelsels

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

  26. Leerplanpunt MAT.LO.4.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past stelsels van vergelijkingen toe bij het oplossen van tekstopgaven.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Leerplanpunt MAT.LO.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Functies

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    definieert functies als een eenduidige toekenning met behulp van een woordelijke beschrijving, tabel, grafiek, formule (ook met verschillende formules op verschillende intervallen)

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent de waarde van een functie gegeven door een algebraïsche formule

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    leest en interpreteert waarden van functies die zijn gedefinieerd met behulp van tabellen, grafieken, formules e.d., ook in situaties van meervoudig gebruik van dezelfde informatiebron of meerdere bronnen tegelijkertijd

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    leest uit de grafiek van een functie af: het domein, het bereik, de nulpunten, de intervallen van monotoniciteit, de intervallen waarin de functie waarden aanneemt die groter (niet kleiner) of kleiner (niet groter) zijn dan een gegeven getal, de grootste en kleinste waarden van de functie (voor zover deze bestaan) op een gegeven gesloten interval en de argumenten waarvoor de grootste en kleinste waarden door de functie worden aangenomen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    interpreteert de coëfficiënten die voorkomen in de formule van een lineaire functie

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    bepaalt de formule van een lineaire functie op basis van informatie over haar grafiek of over haar eigenschappen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

  34. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    schetst de grafiek van een kwadratische functie gegeven door een formule

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    interpreteert de coëfficiënten die voorkomen in de formule van een kwadratische functie in de algemene vorm, topvorm en productvorm (indien deze bestaat)

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    bepaalt de formule van een kwadratische functie op basis van informatie over deze functie of over de grafiek ervan

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.10 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    bepaalt de grootste en kleinste waarde van een kwadratische functie op een gesloten interval

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.11 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt eigenschappen van lineaire en kwadratische functies voor de interpretatie van meetkundige, natuurkundige vraagstukken e.d., ook geplaatst in een praktische context

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.12 · Leerinhouden

    schetst op basis van de grafiek van de functie y = f(x) de grafieken van de functies y = f(x − a), y = f(x) + b

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.13 · Leerinhouden

    gebruikt de functie f(x) = a/x, inclusief de grafiek ervan, voor de beschrijving en interpretatie van vraagstukken die verband houden met omgekeerd evenredige grootheden, ook in praktische toepassingen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.14 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt exponentiële en logaritmische functies, waaronder hun grafieken, om vraagstukken die verband houden met praktische toepassingen te beschrijven en te interpreteren.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Leerplanpunt MAT.LO.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Rijen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent termen van een rij gegeven door een algemene formule

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

    Termen van een rij berekenen uit de algemene formule en recursie (bij ons in groep 11)

  44. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent de eerste termen van recursief gedefinieerde rijen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

    Termen van een rij berekenen uit de algemene formule en recursie (bij ons in groep 11)

  45. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    onderzoekt in eenvoudige gevallen of een rij stijgend of dalend is

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    controleert of een gegeven rij rekenkundig of meetkundig is

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

    Berekenen van de n-de term en de som van een rekenkundige rij (bij ons in groep 11) · Berekenen van termen en de som van een meetkundige rij (bij ons in groep 11)

  47. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past de formule voor de n-de term en voor de som van de eerste n termen van een rekenkundige rij toe

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

    Berekenen van de n-de term en de som van een rekenkundige rij (bij ons in groep 11)

  48. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past de formule voor de n-de term en voor de som van de eerste n termen van een meetkundige rij toe

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

    Berekenen van termen en de som van een meetkundige rij (bij ons in groep 11)

  49. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt eigenschappen van rijen, waaronder rekenkundige en meetkundige, voor het oplossen van opgaven, ook geplaatst in een praktische context.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

    Berekenen van de n-de term en de som van een rekenkundige rij (bij ons in groep 11) · Berekenen van termen en de som van een meetkundige rij (bij ons in groep 11)

  50. Leerplanpunt MAT.LO.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Goniometrie

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Leerplanpunt MAT.LO.7.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt de definities van de functies sinus, cosinus en tangens voor hoeken van 0° tot 180°, en bepaalt in het bijzonder de waarden van goniometrische functies voor de hoeken 30°, 45°, 60°

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Leerplanpunt MAT.LO.7.P.2 · Leerinhouden

    gebruikt de formules sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Leerplanpunt MAT.LO.7.P.3 · Leerinhouden

    past de cosinusregel en de formule voor de oppervlakte van een driehoek P = ½ · a · b · sin γ toe

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Leerplanpunt MAT.LO.7.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent de hoeken van een rechthoekige driehoek en de lengten van zijn zijden bij passende gegevens (lost rechthoekige driehoeken op, waaronder met behulp van goniometrische functies).

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Leerplanpunt MAT.LO.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Planimetrie

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    bepaalt stralen en middellijnen van cirkels, lengtes van koorden van cirkels en van raaklijnstukken, waaronder met behulp van de stelling van Pythagoras

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent scherphoekige, rechthoekige en stomphoekige driehoeken bij gegeven lengtes van de zijden (past o.a. de omgekeerde stelling van Pythagoras en de cosinusregel toe); past de stelling toe: in een driehoek ligt tegenover de grotere binnenhoek de langere zijde

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent regelmatige veelhoeken en maakt gebruik van hun basiseigenschappen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt de eigenschappen van hoeken en diagonalen in rechthoeken, parallellogrammen, ruiten en trapezia

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past de eigenschappen van omtrekshoeken en middelpuntshoeken toe

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past formules toe voor de oppervlakte van een cirkelsector en de lengte van een cirkelboog

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past de stelling van Thales toe

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    maakt gebruik van de gelijkvormigheidskenmerken van driehoeken

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt de verbanden tussen de omtrekken en tussen de oppervlakten van gelijkvormige figuren

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.10 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wijst de elementaire bijzondere punten in een driehoek aan: het middelpunt van de ingeschreven cirkel in een driehoek, het middelpunt van de omgeschreven cirkel om een driehoek, het hoogtepunt, het zwaartepunt en maakt gebruik van hun eigenschappen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.11 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    voert meetkundige bewijzen uit

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.12 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    past goniometrische functies toe om lengten van lijnstukken in vlakke figuren te bepalen en oppervlakten van figuren te berekenen.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Leerplanpunt MAT.LO.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Analytische meetkunde in het cartesisch vlak

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent de onderlinge ligging van rechte lijnen in het vlak op basis van hun vergelijkingen, waaronder het vinden van het gemeenschappelijke punt van twee rechte lijnen, als dat bestaat

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

    Lijnvergelijkingen: loodrechtheid en snijpunt (bij ons in groep 11)

  70. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    maakt gebruik van vergelijkingen van lijnen in het vlak, in richtingsvorm en algemene vorm, en bepaalt onder meer de vergelijking van een lijn met gegeven eigenschappen (zoals bijv. het gaan door twee gegeven punten, een bekende richtingscoëfficiënt, evenwijdigheid aan een andere lijn)

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

    Lijnvergelijkingen: loodrechtheid en snijpunt (bij ons in groep 11)

  71. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent de afstand tussen twee punten in een coördinatenstelsel

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

    Berekenen van de afstand tussen punten in het platte vlak (bij ons in groep 11)

  72. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.4 · Leerinhouden

    gebruikt de vergelijking van een cirkel (x − a)² + (y − b)² = r²

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

    Het bepalen van het middelpunt en de straal van een cirkel uit de vergelijking (bij ons in groep 11)

  73. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    bepaalt beelden van cirkels en veelhoeken bij lijnsymmetrie ten opzichte van de assen van het coördinatenstelsel, puntsymmetrie (met het middelpunt in de oorsprong van het coördinatenstelsel).

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Leerplanpunt MAT.LO.10 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Ruimtemeetkunde

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent de onderlinge ligging van rechten in de ruimte, in het bijzonder loodrechte, elkaar niet snijdende rechten

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt het begrip hoek tussen een lijn en een vlak en het begrip tweevlakshoek tussen halfvlakken

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent in prisma's en piramides hoeken tussen lijnstukken (bijv. ribben, ribben en diagonalen) en hoeken tussen zijvlakken, berekent de grootte van deze hoeken

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    herkent in cilinders en kegels de hoek tussen lijnstukken en de hoek tussen lijnstukken en vlakken (bijv. de tophoek van een kegel, de hoek tussen de beschrijvende en het grondvlak), berekent de grootte van deze hoeken

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent inhouden en oppervlakten van prisma's, piramiden, cilinder, kegel en bol, ook met behulp van goniometrie

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    gebruikt het verband tussen de inhouden van gelijkvormige lichamen.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Leerplanpunt MAT.LO.11 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Combinatoriek

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Leerplanpunt MAT.LO.11.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    telt objecten in eenvoudige combinatorische situaties

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

    Mogelijkheden tellen: productregel en permutaties (bij ons in groep 11)

  83. Leerplanpunt MAT.LO.11.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    telt objecten met behulp van de vermenigvuldigings- en optelregel (ook gecombineerd) voor een willekeurig aantal handelingen, bijv.:

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

    Mogelijkheden tellen: productregel en permutaties (bij ons in groep 11)

  84. Leerplanpunt MAT.LO.11.P.2.a · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekenen hoeveel viercijferige oneven positieve gehele getallen er zijn zodanig dat in hun decimale notatie precies één cijfer 1 en precies één cijfer 2 voorkomt

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

    Mogelijkheden tellen: productregel en permutaties (bij ons in groep 11)

  85. Leerplanpunt MAT.LO.11.P.2.b · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekenen hoeveel viercijferige even positieve gehele getallen er zijn zodanig dat in hun decimale notatie precies één cijfer 0 en precies één cijfer 1 voorkomt.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

    Mogelijkheden tellen: productregel en permutaties (bij ons in groep 11)

  86. Leerplanpunt MAT.LO.12 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Kansrekening en statistiek

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Leerplanpunt MAT.LO.12.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent de kans in het klassieke model

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

    Kansen bij eenvoudige experimenten (bij ons in groep 11) · Kans bij trekking zonder teruglegging (bij ons in groep 11) · Berekenen van de kans op de vereniging van gebeurtenissen (bij ons in groep 11)

  88. Leerplanpunt MAT.LO.12.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    berekent het rekenkundig gemiddelde en het gewogen gemiddelde, vindt de mediaan en de modus.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Leerplanpunt MAT.LO.13 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Optimalisatie en differentiaalrekening

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Leerplanpunt MAT.LO.13.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    lost optimalisatieproblemen op in situaties die kunnen worden beschreven met een kwadratische functie.

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Leerplanpunt MAT.LO.WO.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Rekenvaardigheid

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Leerplanpunt MAT.LO.WO.1.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het uitvoeren van berekeningen met reële getallen, ook met behulp van een rekenmachine, het toepassen van rekenregels bij het herleiden van algebraïsche uitdrukkingen en het benutten van deze vaardigheden bij het oplossen van problemen in reële en theoretische contexten

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Leerplanpunt MAT.LO.WO.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Gebruik en creatie van informatie

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Leerplanpunt MAT.LO.WO.2.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Interpreteren en hanteren van informatie weergegeven in tekst, zowel wiskundig als populairwetenschappelijk, alsook in de vorm van grafieken, diagrammen, tabellen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Leerplanpunt MAT.LO.WO.2.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het gebruik van wiskundige taal voor het opstellen van wiskundige teksten, waaronder voor het beschrijven van gevolgde redeneringen en het onderbouwen van conclusies, alsook voor het weergeven van gegevens

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Gebruik en interpretatie van representaties

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Toepassen van en opereren met wiskundige objecten, interpreteren van wiskundige begrippen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Selecteren en opstellen van wiskundige modellen bij het oplossen van praktische en theoretische problemen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3.3 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het creëren van wiskundige hulpobjecten op basis van bestaande, om een argumentatie te voeren of een probleem op te lossen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3.4 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het aangeven van de noodzaak of mogelijkheid tot aanpassing van het wiskundig model in gevallen die speciale voorbehouden, aanvullende aannames, het in overweging nemen van bijzondere omstandigheden vereisen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Redeneren en argumenteren

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het uitvoeren van redeneringen, ook in meerdere stappen, het aandragen van argumenten die de juistheid van de redenering onderbouwen, het onderscheiden van een bewijs en een voorbeeld

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het herkennen van regelmatigheden, overeenkomsten en analogieën, het formuleren van conclusies op basis daarvan en het onderbouwen van de juistheid ervan

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4.3 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Het selecteren van argumenten ter onderbouwing van de juistheid van het oplossen van problemen, het vormen van een reeks argumenten die de juistheid van de oplossing en de effectiviteit bij het zoeken naar oplossingen voor het vraagstuk garanderen

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4.4 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Toepassen en creëren van strategieën bij het oplossen van opgaven, ook in niet-standaardsituaties

    onze vertaling · oorspronkelijke tekst (PL): Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Vaardigheden stap voor stap

Mogelijkheden tellen: productregel en permutaties

De leerling berekent het aantal mogelijke rangschikkingen en keuzes door de vermenigvuldigings- en optelregel, permutaties en variaties toe te passen in opgaven over cijfers of de verdeling van prijzen.

Leerplanpunt MAT.LO.11.P.1 telt objecten in eenvoudige combinatorische situaties (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.LO.11.P.2 telt objecten met behulp van de vermenigvuldigings- en optelregel (ook gecombineerd) voor een willekeurig aantal handelingen, bijv.: (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.LO.11.P.2.a berekenen hoeveel viercijferige oneven positieve gehele getallen er zijn zodanig dat in hun decimale notatie precies één cijfer 1 en precies één cijfer 2 voorkomt (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.LO.11.P.2.b berekenen hoeveel viercijferige even positieve gehele getallen er zijn zodanig dat in hun decimale notatie precies één cijfer 0 en precies één cijfer 1 voorkomt. (onze vertaling)

De leerling in klas 3 van het lyceum en technicum analyseert combinatorische situaties en bepaalt het aantal mogelijke uitkomsten zonder alle gevallen te hoeven uitschrijven. De leerling past de product- en somregel toe in processen met meerdere stappen, berekent het aantal permutaties van een eindige verzameling bij het rangschikken van objecten in een bepaalde volgorde en maakt gebruik van variaties bij het kiezen van een bepaald aantal elementen dat aan specifieke posities wordt toegewezen.

Een veelvoorkomende fout is het over het hoofd zien van randvoorwaarden bij de afzonderlijke keuzestappen. Leerlingen vergeten bijvoorbeeld dat het eerste cijfer van een te vormen getal geen nul mag zijn, of houden er geen rekening mee dat de pariteit uitsluitend afhangt van het laatste cijfer. Wanneer een opgave vereist dat een specifiek cijfer slechts één keer voorkomt, ontstaan er fouten door een verkeerde verdeling van de stappen: in plaats van eerst de positie van het betreffende cijfer te bepalen, vermenigvuldigt de leerling gedachteloos de beschikbare mogelijkheden.

Opgaven om deze vaardigheid te oefenen zijn gebaseerd op modellen voor trekking en ordening. De leerling lost opgaven op waarin het aantal manieren wordt bepaald om mensen in een rij op te stellen (permutaties), onderscheidende bekers of plaatsen te verdelen (variaties — prijsuitreiking) en even of oneven getallen van een gegeven lengte te vormen waarin een specifiek cijfer precies één keer voorkomt.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Permutaties — rij · Variaties — prijzen verdelen · Even getallen met een cijfer precies één keer · Oneven getallen met een cijfer precies één keer

Kansen bij eenvoudige experimenten

De leerling berekent de kans op een gebeurtenis bij een enkele trekking, zoals het werpen van een dobbelsteen of het trekken van een bal uit een doos, en noteert het resultaat als een breuk.

Leerplanpunt MAT.LO.12.P.1 berekent de kans in het klassieke model (onze vertaling)

In deze fase berekent de leerling de klassieke kans bij enkelvoudige toevalsexperimenten met een eindig aantal even waarschijnlijke uitkomsten. De leerling kan alle mogelijke uitkomsten van een gebeurtenis correct tellen, de uitkomsten die aan de gestelde voorwaarde voldoen (gunstige uitkomsten) selecteren, en vervolgens de kans op het plaatsvinden van de gebeurtenis weergeven als het quotiënt van deze twee waarden.

Een veelvoorkomende fout is het onjuist bepalen van het aantal gunstige uitkomsten. Leerlingen zien vaak bepaalde mogelijkheden over het hoofd bij het controleren van eigenschappen van getallen (ze vergeten bijvoorbeeld dat het getal 2 een priemgetal is) of verwarren het aantal gunstige uitkomsten met het totale aantal elementen in de verzameling. Ook komt het voor dat de kans ten onrechte wordt gelijkgesteld aan alleen het aantal passende uitkomsten, in plaats van deze als een breuk te noteren.

In de praktijk bestaan de opgaven uit het analyseren van een concrete toevalssituatie:

  • Gooien met een dobbelsteen – bijvoorbeeld het berekenen van de kans op het werpen van een aantal ogen dat een priemgetal is of groter is dan een bepaalde waarde,
  • Trekken van een bal uit een doos – het berekenen van de kans op het trekken van een bal met een specifieke kleur bij een gegeven aantal ballen van elke soort,
  • Trekken van een kaartje met een getal – het bepalen van de kans op het trekken van een kaartje met een getal dat aan een bepaalde voorwaarde voldoet, zoals deelbaar door 3.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Een bal uit een doos trekken · Gooien met een dobbelsteen · Een genummerd kaartje trekken

Lijnvergelijkingen: loodrechtheid en snijpunt

De leerling bepaalt het snijpunt van twee lijnen, stelt de vergelijking op van een loodrechte lijn door een punt en leest de richtingscoëfficiënt af uit de algemene vorm.

Leerplanpunt MAT.LO.9.P.1 herkent de onderlinge ligging van rechte lijnen in het vlak op basis van hun vergelijkingen, waaronder het vinden van het gemeenschappelijke punt van twee rechte lijnen, als dat bestaat (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.LO.9.P.2 maakt gebruik van vergelijkingen van lijnen in het vlak, in richtingsvorm en algemene vorm, en bepaalt onder meer de vergelijking van een lijn met gegeven eigenschappen (zoals bijv. het gaan door twee gegeven punten, een bekende richtingscoëfficiënt, evenwijdigheid aan een andere lijn) (onze vertaling)

In het kader van de analytische meetkunde zet de leerling de algemene vergelijking van een lijn om naar de richtingsvorm om de richtingscoëfficiënt nauwkeurig af te lezen. Op basis hiervan kan hij of zij de voorwaarde voor loodrechte stand bepalen en de vergelijking opstellen van een loodlijn die door een aangegeven punt met bekende coördinaten gaat. Daarnaast berekent de leerling algebraïsch de coördinaten van het snijpunt van twee lijnen in het vlak.

Het meest voorkomende probleem bij het bepalen van een loodlijn is het verwarren van het tegengestelde en het omgekeerde van een getal — leerlingen nemen vaak alleen het omgekeerde van de richtingscoëfficiënt (ze veranderen bijvoorbeeld het getal 3 in 1/3 in plaats van -1/3). Ook het correct delen door de coëfficiënt van de variabele y bij het omvormen van de algemene vergelijking vormt een struikelblok, vooral wanneer deze coëfficiënt een negatief teken heeft.

Oefeningen die deze vaardigheid toetsen, omvatten typische rekenopgaven:

  • Richtingscoëfficiënt uit de algemene vergelijking — het omvormen van de lijnvergelijking en het aflezen van de helling;
  • Loodlijn door een punt — het vinden van de nieuwe vergelijking van een lijn die voldoet aan de voorwaarde voor loodrechte stand en door een gegeven punt gaat;
  • Snijpunt van lijnen — het bepalen van het getallenpaar dat de gemeenschappelijke oplossing vormt van de vergelijkingen van twee lijnen.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Richtingscoëfficiënt uit de algemene vorm · Loodlijn door een punt · Snijpunt van twee lijnen

Berekenen van de afstand tussen punten in het platte vlak

De leerling berekent de afstand tussen twee punten in een assenstelsel met behulp van het meetkundige verband uit de stelling van Pythagoras.

Leerplanpunt MAT.LO.9.P.3 berekent de afstand tussen twee punten in een coördinatenstelsel (onze vertaling)

Binnen de analytische meetkunde bepaalt de leerling de afstand tussen twee punten met gegeven numerieke coördinaten. Het lijnstuk dat deze punten verbindt, wordt beschouwd als de schuine zijde van een rechthoekige driehoek, waarvan de rechthoekszijden direct volgen uit de verschillen tussen de coördinaten op de assen. Op basis hiervan past de leerling de stelling van Pythagoras toe om de exacte lengte van het lijnstuk te berekenen.

Een veelvoorkomend probleem in deze fase zijn rekenfouten bij het aftrekken van negatieve getallen tijdens het bepalen van de lengte van de rechthoekszijden (bijvoorbeeld het aftrekken van een negatieve coördinaat van een positieve). Leerlingen hebben ook de neiging om aan het einde van de berekening te vergeten de wortel te trekken, waardoor ze het kwadraat van de afstand als antwoord laten staan.

In de praktijk krijgt de leerling bij opgaven zoals Afstand tussen punten met de stelling van Pythagoras en Afstand tussen punten de coördinaten van twee punten en berekent de afstand daartussen. De opgaven kunnen vereisen dat er een hulpdriehoek in het assenstelsel wordt getekend of dat de lengte van het lijnstuk direct wordt berekend, eventueel met het buiten het wortelteken halen van factoren.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Afstand tussen twee punten · Afstand tussen punten met Pythagoras

Berekenen van de n-de term en de som van een rekenkundige rij

De leerling bepaalt een willekeurige term van een rekenkundige rij op basis van de algemene formule en berekent de som van een bepaald aantal van de eerste termen.

Leerplanpunt MAT.LO.6.P.4 controleert of een gegeven rij rekenkundig of meetkundig is (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.LO.6.P.5 past de formule voor de n-de term en voor de som van de eerste n termen van een rekenkundige rij toe (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.LO.6.P.7 gebruikt eigenschappen van rijen, waaronder rekenkundige en meetkundige, voor het oplossen van opgaven, ook geplaatst in een praktische context. (onze vertaling)

In klas 3 van de bovenbouw maakt de leerling vlot gebruik van de eigenschappen van een rekenkundige rij. De leerling kan de waarde van elke willekeurige term bepalen aan de hand van de eerste term en het verschil van de rij, en ook de som van een bepaald aantal opeenvolgende begintermen berekenen.

Een veelvoorkomend probleem in deze fase is het verwarren van het nummer van de term met de werkelijke waarde ervan (oftewel de index n met de term an). Er worden ook fouten gemaakt bij dalende rijen, waarbij het verschil van de rij een negatief getal is, wat leidt tot vergissingen met tekens bij het invullen van de gegevens in de somformule.

Opgaven waarmee deze vaardigheid wordt geoefend, komen voor in twee duidelijke vormen:

  • Rekenkundige rij — n-de term: de leerling krijgt de begingegevens van de rij en berekent een specifieke, verderop gelegen term (bijv. de tiende of twintigste).
  • Rekenkundige rij — som van termen: de opdracht bestaat uit het optellen van een vastgesteld aantal begintermen van een gegeven rij met behulp van de juiste formule.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Rekenkundige rij — n-de term · Rekenkundige rij — som

Berekenen van termen en de som van een meetkundige rij

De leerling bepaalt een willekeurige term van een meetkundige rij en berekent de som van de eerste termen op basis van de gegeven gegevens.

Leerplanpunt MAT.LO.6.P.4 controleert of een gegeven rij rekenkundig of meetkundig is (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.LO.6.P.6 past de formule voor de n-de term en voor de som van de eerste n termen van een meetkundige rij toe (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.LO.6.P.7 gebruikt eigenschappen van rijen, waaronder rekenkundige en meetkundige, voor het oplossen van opgaven, ook geplaatst in een praktische context. (onze vertaling)

In de bovenbouw maakt de leerling zich de regels van de meetkundige rij eigen. Op basis van de eerste term en de reden kan de leerling de algemene formule bepalen en de waarde van elke gewenste, n-de term berekenen. Ook maakt de leerling gebruik van de formule voor de som van de eerste n termen van de rij, waarbij vermenigvuldiging met een vaste reden soepel wordt gecombineerd met machtsverheffen.

Een veelvoorkomend probleem is het verwarren van de reden van een meetkundige rij met het verschil van een rekenkundige rij — leerlingen tellen uit automatisme een constante waarde op in plaats van opeenvolgende termen te vermenigvuldigen. Ook de volgorde van bewerkingen en het machtsverheffen van breuken en negatieve getallen leveren moeilijkheden op, wat leidt tot tekenfouten bij het berekenen van de macht in de somformule.

De printbare opgaven omvatten sjablonen voor:

  • Meetkundige rij — n-de term: het berekenen van een specifieke term of de reden op basis van de begingegevens;
  • Meetkundige rij — som van termen: het bepalen van de som van een bepaald aantal eerste termen van de rij.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Meetkundige rij — n-de term · Meetkundige rij — som

Termen van een rij berekenen uit de algemene formule en recursie

De leerling berekent specifieke termen van een getallenrij op basis van een gegeven algemene formule of recursieve betrekking.

Leerplanpunt MAT.LO.6.P.1 berekent termen van een rij gegeven door een algemene formule (onze vertaling)
Leerplanpunt MAT.LO.6.P.2 berekent de eerste termen van recursief gedefinieerde rijen (onze vertaling)

In klas 3 van het voortgezet onderwijs kan de leerling vlot de waarden van aangegeven termen van een getallenrij bepalen. De leerling kan het rangnummer n invullen in de directe formule om het resultaat rechtstreeks te berekenen, en tevens opeenvolgende getallen in de rij bepalen aan de hand van een recursieve formule met behulp van de voorgaande termen.

Een typische valkuil is het verwarren van de index van een term met de waarde ervan — bijvoorbeeld het verwarren van de notatie voor de vorige term met het aftrekken van één van de waarde van de huidige term. Bij recursieve rijen vormt ook de rekenkundige discipline een uitdaging: een kleine rekenfout aan het begin van de berekening werkt als een sneeuwbaleffect door in alle volgende termen.

De oefeningen zijn gebaseerd op twee soorten opgaven:

  • Term van een rij met een directe formule — de leerling krijgt een direct voorschrift voor de rij en berekent een specifieke waarde (bijv. de vijfde of tiende term) door het juiste natuurlijke getal in te vullen voor n;
  • Term van een recursieve rij — met een gegeven beginterm en een regel voor de volgende stappen berekent de leerling stap voor stap de opeenvolgende termen van de rij, totdat de gezochte term is bereikt.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Term van een rij uit de formule · Term van een recursieve rij

Berekenen en toepassen van de binomiaalcoëfficiënt

De leerling leert de waarde van de binomiaalcoëfficiënt te berekenen met behulp van faculteiten en deze toe te passen om het aantal manieren te bepalen om een groep personen of elementen te kiezen.

In klas 3 leert de leerling de binomiaalcoëfficiënt kennen en leert deze vlot de numerieke waarde ervan te bepalen. De leerling leert breuken met faculteiten uit te schrijven en te vereenvoudigen, wat snelle berekeningen mogelijk maakt zonder grote getallen te hoeven uitvermenigvuldigen. De leerling gebruikt deze notatie om situaties te beschrijven waarin een deelverzameling van elementen wordt gekozen zonder op de volgorde te letten.

Een veelvoorkomende fout in dit stadium is het verwarren van situaties waarin de volgorde van belang is met situaties waarin alleen de samenstelling van de groep telt. Hierdoor vergeten leerlingen vaak het product te delen door de faculteit van het aantal gekozen elementen. Ook treden er vaak rekenfouten op bij het wegstrepen in de noemer van de breuk.

In de praktijk omvatten de oefeningen voor deze vaardigheid twee soorten opgaven:

  • Waarde van de binomiaalcoëfficiënt — puur rekenkundig berekenen van de waarde van het gegeven symbool door het vereenvoudigen van producten van getallen;
  • Selectie van een afvaardiging — contextopgaven waarbij berekend moet worden op hoeveel manieren een kleinere groep (bijv. een vertegenwoordiging van enkele personen) gekozen kan worden uit een grotere verzameling van personen of voorwerpen.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Waarde van een binomiaalcoëfficiënt · Een delegatie kiezen

Graden omrekenen naar radialen en radialen naar graden

De leerling rekent vlot een hoekmaat gegeven in graden om naar radialen en zet een maat uitgedrukt in radialen om naar graden.

In klas 3 leert de leerling de boogmaat van een hoek kennen als een alternatieve manier om de grootte van een hoek uit te drukken. In deze fase leert de leerling vlot te wisselen tussen graden en radialen, uitgaande van het basisgegeven dat een hoek van 180° overeenkomt met π radialen. Hierbij worden verhoudingen en vermenigvuldiging met de juiste breuk gebruikt om de exacte waarde van de hoek in de nieuwe eenheid te bepalen.

Een veelvoorkomend probleem is het omkeren van de omrekenformule. Leerlingen halen vaak door elkaar wanneer ze moeten vermenigvuldigen met π/180° en wanneer met 180°/π, wat leidt tot een foutief resultaat met een dubbele π of juist het ontbreken ervan. Ook het correct vereenvoudigen van de resulterende breuken tot de eenvoudigste vorm kan lastig zijn.

De oefeningen zijn gebaseerd op twee soorten opdrachten: bij de opgaven Graden naar radialen rekent de leerling een gegeven hoek (bijv. 45° of 120°) om naar een breuk met het symbool π. Bij de opgaven Radialen naar graden wordt het omgekeerde gedaan: π wordt vervangen door 180° om de uiteindelijke hoekmaat in graden te berekenen.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Graden naar radialen · Radialen naar graden

Periode en amplitude van een sinusoïde bepalen

De leerling leert de periode en de maximale waarde van de sinusfunctie te bepalen op basis van de formule of de grafiek.

In klas 3 van het lyceum en technisch onderwijs analyseren leerlingen grafieken en formules van goniometrische functies met behulp van radialen. Binnen deze vaardigheid bepalen ze twee belangrijke parameters van een sinusoïde: de periode (de lengte van de zich herhalende cyclus) en de amplitude, oftewel de afwijking van de evenwichtsstand die gekoppeld is aan de maximaal bereikte waarde.

Een veelgemaakte fout is het verwarren van de invloed van afzonderlijke coëfficiënten in het functievoorschrift op de vorm van de grafiek. Leerlingen stellen het getal bij het argument niet zelden direct gelijk aan de periode, in plaats van deze te berekenen met de formule die rekening houdt met de periodiciteit van 2π, of ze verwarren een verticale uitrekking van de grafiek met een horizontale inkrimping.

De printbare opdrachten binnen dit onderwerp omvatten twee typische oefenvormen:

  • Periode van een sinusoïde — de leerling berekent of leest de cycluslengte af van een functie met een getransformeerd argument;
  • Maximale waarde van een sinusoïde — de leerling bepaalt de maximale waarde die de functie aanneemt door de amplitude en de verticale verschuiving te analyseren.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Maximum van een sinusoïde · Periode van een sinusoïde

Vierhoeken ingeschreven in een cirkel en omgeschreven om een cirkel

De leerling berekent de hoeken in een koordenvierhoek en de lengtes van de zijden in een raaklijnvierhoek door de verbanden tussen overstaande elementen van de figuur toe te passen.

Een leerling in het 3e leerjaar van het voortgezet onderwijs kan ontbrekende grootheden bepalen in vierhoeken gerelateerd aan een cirkel. In het geval van een figuur die is ingeschreven in een cirkel, gebruikt de leerling de regel dat de som van de overstaande hoeken 180° is. Wanneer een vierhoek om een cirkel is beschreven, past de leerling het verband toe dat de sommen van de lengtes van overstaande paren zijden aan elkaar gelijk zijn.

Het meest voorkomende probleem is het verwarren van deze twee eigenschappen of het toepassen ervan op aanliggende elementen van de figuur in plaats van op overstaande. Leerlingen tellen per ongeluk hoeken die aan dezelfde zijde liggen op tot 180° of stellen de sommen van aanliggende zijden aan elkaar gelijk, wat leidt tot een verkeerd opgestelde vergelijking.

In de praktijk bestaan de opgaven uit het aflezen van gegevens uit de figuur of de opgavetekst en het berekenen van de ontbrekende waarde. In het sjabloon Hoek in een ingeschreven vierhoek bepaalt de leerling een onbekende hoekgrootte, en in de opgave Zijde van een omgeschreven vierhoek berekent deze de lengte van de vierde zijde op basis van drie gegeven lijnstukken.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Hoek in een koordenvierhoek · Zijde van een raaklijnenvierhoek

Het bepalen van het middelpunt en de straal van een cirkel uit de vergelijking

De leerling leert de coördinaten van het middelpunt en de lengte van de straal van een cirkel rechtstreeks af te lezen uit de vergelijking in canonieke vorm.

Leerplanpunt MAT.LO.9.P.4 gebruikt de vergelijking van een cirkel (x − a)² + (y − b)² = r² (onze vertaling)

In deze fase analyseert de leerling de vergelijking van een cirkel en bepaalt op basis daarvan twee basisparameters: de coördinaten van het middelpunt van de cirkel en de lengte van de straal. De leerling koppelt de algebraïsche notatie van het verband tussen de variabelen vlot aan de meetkundige betekenis ervan in het assenstelsel.

Een veelvoorkomend probleem is het verwarren van de tekens bij het bepalen van de coördinaten van het middelpunt. In de formule staat een aftrekking, waardoor een plus tussen de haakjes een negatieve coördinaat betekent, wat leerlingen vaak vergeten. Een andere veelgemaakte fout is het direct gelijkstellen van de rechterzijde van de vergelijking aan de straal in plaats van aan het kwadraat ervan – bijvoorbeeld door een straal van 25 in te vullen in plaats van 5.

De opgaven bestaan uit een directe analyse van de gegeven vergelijking. In de oefening Middelpunt van de cirkel uit de vergelijking is het de taak van de leerling om het coördinatenpaar van het middelpunt correct op te geven, terwijl de leerling in de opgave Straal van de cirkel uit de vergelijking de juiste lengte van de straal bepaalt door de wortel te trekken uit het getal aan de rechterkant van het gelijkheidsteken.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Middelpunt van de cirkel uit de vergelijking · Straal van de cirkel uit de vergelijking

Lengte en bewerkingen met vectoren

De leerling berekent de lengte van een vector in het vlak op basis van zijn coördinaten en bepaalt de coördinaten van vectoren die het resultaat zijn van optelling, aftrekking en vermenigvuldiging met een getal.

In klas 3 van het voortgezet onderwijs werkt de leerling met vectoren in een coördinatenstelsel. De leerling bepaalt vlot de lengte van een vector met behulp van de stelling van Pythagoras voor de coördinaten ervan en voert ook basisbewerkingen uit: vectoren optellen en aftrekken en ze vermenigvuldigen met reële getallen om lineaire combinaties te vormen.

Een veelgemaakte fout is het kwijtraken van mintekens bij het kwadrateren van negatieve coördinaten tijdens het berekenen van de lengte van een vector. Leerlingen schrijven bijvoorbeeld -32 = -9 in plaats van (-3)2 = 9, wat leidt tot onjuiste uitkomsten onder het wortelteken. Ook het correct aftrekken van vectoren levert problemen op wanneer coördinaten negatieve getallen bevatten en er gemakkelijk fouten worden gemaakt bij het wegwerken van een dubbele min.

Opgaven over dit onderwerp komen in twee hoofdvormen voor:

  • Lengte van een vector – de leerling krijgt de coördinaten van een vector en berekent de numerieke waarde ervan, waarbij wortelvormen vaak vereenvoudigd moeten worden;
  • Vectorcombinatie – de leerling bepaalt de coördinaten van een nieuwe vector beschreven door een algebraïsche formule, bijvoorbeeld 2a - 3b, door rechtstreeks te rekenen met de coördinaten van de gegeven vectoren.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Lengte van een vector · Lineaire combinatie van vectoren

Berekenen van de som van een meetkundige reeks

De leerling controleert de convergentievoorwaarde en berekent de som van een oneindige getallenrij met behulp van de formule voor de som van een meetkundige reeks.

In de derde klas van de bovenbouw van het voortgezet onderwijs leert de leerling het begrip meetkundige reeks kennen, oftewel de som van oneindig veel opeenvolgende termen van een meetkundige rij. De leerling leert beoordelen wanneer zo'n som überhaupt een eindig getal oplevert — door te controleren of de reden van de rij voldoet aan de voorwaarde |q| < 1 — en berekent vervolgens de exacte waarde met behulp van de formule waarin de eerste term en de reden worden gebruikt.

Een typisch probleem is het mechanisch toepassen van de formule zonder te controleren of de reeks convergent is. Leerlingen proberen de som ook te berekenen wanneer de reden bijvoorbeeld 2 of -3 is, wat leidt tot verkeerde conclusies. Een veelvoorkomende valkuil zijn ook rekenfouten bij een negatieve reden, waarbij er in de noemer sprake is van het aftrekken van een negatief getal (1 - q).

In opgaven van het sjabloon Som van een meetkundige reeks krijgt de leerling meestal een rij van breuken of gehele getallen (bijv. 1/2, 1/4, 1/8...) die genoteerd staat als een oneindige som, met de opdracht om de reden te bepalen, te onderzoeken of de reeks gesommeerd kan worden en de uiteindelijke numerieke uitkomst te berekenen.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Berekenen van de kans op de vereniging van gebeurtenissen

De leerling berekent de kans dat minstens één van twee gebeurtenissen plaatsvindt, gebruikmakend van de formule voor de kans op de vereniging van gebeurtenissen en rekening houdend met hun doorsnede.

Leerplanpunt MAT.LO.12.P.1 berekent de kans in het klassieke model (onze vertaling)

Een leerling in klas 3 van de bovenbouw bepaalt de kans dat ten minste één van twee gebeurtenissen optreedt. Hiervoor gebruikt de leerling het verband dat de kans op de vereniging van gebeurtenissen koppelt aan de kansen van de afzonderlijke gebeurtenissen en hun doorsnede: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

De meest voorkomende fout is het mechanisch optellen van de waarden P(A) en P(B) zonder de doorsnede P(A ∩ B) ervan af te trekken. Leerlingen vergeten te controleren of de gebeurtenissen tegelijkertijd kunnen optreden, waardoor ze dezelfde uitkomsten dubbel tellen, wat niet zelden leidt tot een foutief resultaat groter dan 1.

Opgaven uit het sjabloon Kans op de vereniging van gebeurtenissen vereisen het berekenen van de ontbrekende kans op basis van numerieke gegevens die direct worden vermeld of zijn verwerkt in vraagstukken over het trekken van getallen, kaarten of het werpen van dobbelstenen, waarbij de leerling zelfstandig de afzonderlijke kansen en de doorsnede van beide situaties moet bepalen.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Kans bij trekking zonder teruglegging

De leerling berekent de kans op toevallige gebeurtenissen door de regels van de combinatoriek toe te passen op meertraps experimenten, zoals het trekken van ballen uit een vaas zonder teruglegging.

Leerplanpunt MAT.LO.12.P.1 berekent de kans in het klassieke model (onze vertaling)

De leerling combineert de definitie van klassieke kansrekening met methoden uit de combinatoriek. In deze fase kan de leerling het aantal mogelijke uitkomsten van een experiment en het aantal gunstige uitkomsten correct bepalen in situaties waarin objecten tegelijk of achtereenvolgens zonder teruglegging worden gekozen.

Een veelgemaakte fout is het over het hoofd zien van het feit dat na elke stap het aantal beschikbare elementen in de verzameling afneemt. Leerlingen zijn soms geneigd opeenvolgende stappen te behandelen alsof ze met teruglegging trekken, of ze hebben moeite om te bepalen of de volgorde van de trekking van belang is bij het tellen van de gunstige combinaties.

Opgaven die deze vaardigheid oefenen, maken gebruik van het model van ballen trekken zonder teruglegging. De leerling analyseert de inhoud van een bak met ballen van verschillende kleuren en berekent de kans op het trekken van een bepaalde combinatie — bijvoorbeeld het trekken van precies twee ballen van dezelfde kleur of ballen van verschillende kleuren.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Berekenen van limieten van rationale rijen

De leerling leert de limiet te bepalen van een rij gedefinieerd door een gebroken (rationale) uitdrukking, door het gedrag van de termen te onderzoeken wanneer de index naar oneindig nadert.

In klas 3 van het voortgezet onderwijs oefent de leerling met het bepalen van de limiet van een rij waarvan de termen worden beschreven door een breuk met veeltermen van de variabele n in de teller en de noemer. De opgave bestaat uit het bepalen tot welke waarde de opeenvolgende termen van de rij naderen wanneer n willekeurig groot wordt. De leerling past de techniek toe van het buiten haakjes halen van de hoogste macht van n in de teller en de noemer, waardoor de breuk naar een overzichtelijke vorm kan worden herleid.

Een veelvoorkomende fout is de poging om direct oneindig in de formule in te vullen en daar gewone bewerkingen mee uit te voeren, wat leidt tot onjuiste conclusies bij onbepaalde vormen. Leerlingen hebben soms ook moeite met het correct delen van elke term van de som door de buiten haakjes gehaalde macht, of vergeten dat breuken met n in de noemer naar nul naderen wanneer de index toeneemt.

De opgaven uit het sjabloon Limiet van een rationale rij bestaan uit het berekenen van de limiet van een specifieke algebraïsche breuk. De leerling herschrijft de gegeven formule van de rij, vereenvoudigt de machten en noteert de uiteindelijke numerieke waarde van de limiet of stelt vast dat de rij divergeert naar oneindig.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Het bepalen van de samenstelling van twee functies

De leerling leert een nieuwe functie te vormen door het voorschrift van de ene functie in te vullen op de plaats van het argument van de andere en de waarden van zo'n samengestelde functie te berekenen.

In deze fase kan de leerling het voorschrift van een samengestelde functie bepalen door twee functies samen te stellen, zoals f(g(x)) of g(f(x)). De leerling begrijpt dat de uitkomst van de binnenste functie de invoerwaarde wordt voor de buitenste functie, en kan op basis daarvan de uiteindelijke algebraïsche vorm van de nieuwe functie bepalen.

Een veelvoorkomende fout is het verwisselen van de volgorde van samenstelling en het behandelen van f(g(x)) alsof het hetzelfde is als g(f(x)), terwijl het samenstellen van functies over het algemeen niet commutatief is. Leerlingen vergeten ook vaak om de gesubstitueerde uitdrukking tussen haakjes te zetten, wat leidt tot tekenfouten of het over het hoofd zien van machten bij het vervangen van de variabele x door het volledige voorschrift van de binnenste functie.

Opgaven uit het sjabloon Samenstelling van functies vereisen meestal het bepalen van het algemene voorschrift van de samenstelling van twee gegeven algebraïsche functies of het berekenen van een specifieke getalwaarde voor een gegeven invoerwaarde, zoals de waarde van de uitdrukking f(g(3)).

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Het oplossen van eenvoudige goniometrische vergelijkingen

De leerling lost eenvoudige goniometrische vergelijkingen op en bepaalt hoeken in radialen of graden, rekening houdend met hun periodiciteit.

In klas 3 lost de leerling basisvergelijkingen op met een enkele goniometrische functie, zoals sinus, cosinus of tangens (bijvoorbeeld sin x = 1/2 of tan x = 1). Hij of zij leest hoekwaarden af met behulp van radialen uitgedrukt met het getal π of in graden, en noteert de volledige reeksen oplossingen rekening houdend met de periodiciteit van de functie.

Een veelvoorkomend probleem in deze fase is het geven van slechts één hoek in plaats van twee binnen één periode — bijvoorbeeld het noemen van de hoek π/6 voor een sinus gelijk aan 1/2 en het over het hoofd zien van de waarde 5π/6. Leerlingen halen ook vaak de periodes van functies door elkaar, waarbij ze ten onrechte + 2kπ toevoegen aan de tangens in plaats van + kπ, of het symbool voor de geheeltallige parameter k helemaal weglaten.

Opgaven uit het sjabloon Goniometrische vergelijking vereisen meestal het herleiden van de gegeven uitdrukking naar een basisvorm, en vervolgens het bepalen van alle passende oplossingen binnen een gegeven interval (bijv. van 0 tot 2π) of het geven van een algemene formule voor alle getallen die aan de vergelijking voldoen.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Het bepalen van de gemeenschappelijke punten van een lijn en een cirkel

De leerling leert de coördinaten te bepalen van de snijpunten of het raakpunt van een rechte lijn met een cirkel en het aantal gemeenschappelijke punten vast te stellen.

Binnen de analytische meetkunde combineert de leerling algebra met meetkunde om de onderlinge ligging van een rechte lijn en een cirkel te bepalen. Door een stelsel van een lineaire en een kwadratische vergelijking op te lossen, kan de leerling nagaan of de lijn de cirkel in twee punten snijdt, eraan raakt, of er geen gemeenschappelijke punten mee heeft, en berekent deze tevens de exacte coördinaten van deze punten in het assenstelsel.

Een veelvoorkomend probleem zijn rekenfouten bij het substitueren van de uitgedrukte variabele uit de vergelijking van de lijn in de vergelijking van de cirkel. Leerlingen maken fouten bij het toepassen van merkwaardige producten (vooral bij mintekens) en stoppen niet zelden na het berekenen van alleen de eerste coördinaten x, waarbij ze vergeten de bijbehorende waarden voor y te berekenen.

Typische opgaven uit het sjabloon Gemeenschappelijke punten van een cirkel en een rechte lijn geven de vergelijking van een lijn en de vergelijking van een cirkel in algebraïsche vorm. De taak van de leerling is om het stelsel van vergelijkingen op te lossen, het aantal oplossingen te bepalen en de getallenparen te geven die de coördinaten van de gemeenschappelijke punten vormen.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Bepalen van de vergelijking van de raaklijn aan een cirkel in een punt

De leerling bepaalt de vergelijking van de raaklijn aan een cirkel in een gegeven punt op deze cirkel, met behulp van methoden uit de analytische meetkunde in een coördinatenstelsel.

In het kader van de analytische meetkunde kan de leerling in klas 3 de vergelijking bepalen van de raaklijn aan een cirkel in een punt dat op de cirkel ligt. De opgave is gebaseerd op het koppelen van de cirkelvergelijking aan eigenschappen van rechte lijnen: de leerling bepaalt de coördinaten van het middelpunt van de cirkel, stelt de vergelijking op van de rechte die de straal bevat die het middelpunt met het raakpunt verbindt, en stelt vervolgens de vergelijking op van de rechte die loodrecht op deze straal staat.

Een veelvoorkomende fout bij dit onderwerp is een vergissing bij het bepalen van de richtingscoëfficiënt van de loodlijn (bijvoorbeeld wel het teken veranderen, maar niet het omgekeerde nemen) of het verkeerd aflezen van de coördinaten van het middelpunt uit de cirkelvergelijking, vooral wanneer er mintekens in de formule voorkomen. Een ander probleem vormt de situatie waarin de raaklijn een verticale lijn is — de leerling probeert deze dan geforceerd in de richtingsvorm te schrijven in plaats van in de vorm x = c.

In de praktijk krijgt de leerling bij opgaven van het type Raaklijn aan een cirkel in een punt de algebraïsche vergelijking van de cirkel en de coördinaten van het raakpunt. Het doel is om berekeningen uit te voeren die leiden tot de uiteindelijke vergelijking van de raaklijn in de richtingsvorm of de algemene vorm.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Opgavensjablonen om af te drukken

Alle soorten opgaven, gegroepeerd per vaardigheid. Een klik opent de generator met het type al gekozen.

Mogelijkheden tellen: productregel en permutaties

Kansen bij eenvoudige experimenten

Lijnvergelijkingen: loodrechtheid en snijpunt

Berekenen van de afstand tussen punten in het platte vlak

Berekenen van de n-de term en de som van een rekenkundige rij

Berekenen van termen en de som van een meetkundige rij

Termen van een rij berekenen uit de algemene formule en recursie

Berekenen en toepassen van de binomiaalcoëfficiënt

Graden omrekenen naar radialen en radialen naar graden

Periode en amplitude van een sinusoïde bepalen

Vierhoeken ingeschreven in een cirkel en omgeschreven om een cirkel

Het bepalen van het middelpunt en de straal van een cirkel uit de vergelijking

Lengte en bewerkingen met vectoren

Berekenen van de som van een meetkundige reeks

Berekenen van de kans op de vereniging van gebeurtenissen

Kans bij trekking zonder teruglegging

Berekenen van limieten van rationale rijen

Het bepalen van de samenstelling van twee functies

Het oplossen van eenvoudige goniometrische vergelijkingen

Het bepalen van de gemeenschappelijke punten van een lijn en een cirkel

Bepalen van de vergelijking van de raaklijn aan een cirkel in een punt

Andere soorten opgaven

Werkblad maken voor dit leerplan