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Programma scolastico (Polonia)

Matematica — classe 11ª

Matematica per il 3° anno di liceo e istituto tecnico: successioni aritmetiche e geometriche, trigonometria con misura in radianti, geometria analitica — rette, circonferenze, vettori — calcolo combinatorio e probabilità. Per ogni argomento, esercizi pronti da stampare.

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Cosa impara uno studente in matematica al terzo anno di liceo?

Nel 3° anno lo studente affronta le successioni: determina i termini e le somme delle successioni aritmetiche e geometriche e, a livello avanzato, i limiti e la serie geometrica. Apprende la misura in radianti, le funzioni periodiche e le equazioni trigonometriche. Nella geometria analitica determina le equazioni di rette e circonferenze, i punti di intersezione tra retta e circonferenza, le tangenti e le operazioni con i vettori. Nel calcolo combinatorio e delle probabilità, calcola gli eventi applicando la regola del prodotto, il binomio di Newton e la probabilità classica.

Nota importante sul programma ministeriale: le indicazioni per i licei e gli istituti tecnici sono formulate a blocchi: descrivono le competenze dello studente al termine della scuola secondaria di secondo grado, separatamente per il livello base e avanzato. L'attribuzione di un argomento a una classe specifica è una nostra scelta basata sulla tipica scansione didattica; nella sezione «Programma didattico» sono riportati i singoli punti del programma con le relative citazioni.

Stato della pagina: gli esercizi per questa classe sono pronti in forma essenziale (solo consegna e formula); gli esercizi con figure, le dimostrazioni e i problemi applicativi verranno aggiunti nelle fasi successive.

Ambito del programma

  1. Punto del programma MAT.LO.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Numeri reali

    nostra traduzione · testo originale (PL): Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Punto del programma MAT.LO.1.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    esegue operazioni (addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, estrazione di radice, logaritmizzazione) nell'insieme dei numeri reali

    nostra traduzione · testo originale (PL): wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

  3. Punto del programma MAT.LO.1.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    svolge semplici dimostrazioni riguardanti la divisibilità dei numeri interi e i resti della divisione, ad es.:

    nostra traduzione · testo originale (PL): przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Punto del programma MAT.LO.1.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica le proprietà delle radici di qualsiasi indice, comprese le radici di indice dispari di numeri negativi

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

  5. Punto del programma MAT.LO.1.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica la relazione tra estrazione di radice ed elevamento a potenza e le proprietà delle operazioni con potenze e radici

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

  6. Punto del programma MAT.LO.1.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica la monotonia dell'elevamento a potenza, in particolare le proprietà: se x < y e a > 1, allora ax < ay, mentre se x < y e 0 < a < 1, allora ax > ay

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Punto del programma MAT.LO.1.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza il concetto di intervallo numerico, rappresenta gli intervalli sulla retta numerica

    nostra traduzione · testo originale (PL): posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Punto del programma MAT.LO.1.P.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica l'interpretazione geometrica e algebrica del valore assoluto, risolve equazioni del tipo: |x + 4| = 5

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Punto del programma MAT.LO.1.P.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza le proprietà delle potenze e delle radici in situazioni pratiche, compreso il calcolo dell'interesse composto, dei rendimenti dei depositi e dei costi dei prestiti

    nostra traduzione · testo originale (PL): wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

  10. Punto del programma MAT.LO.1.P.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica la relazione tra logaritmo ed elevamento a potenza, utilizza le formule per il logaritmo del prodotto, il logaritmo del quoziente e il logaritmo della potenza.

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

  11. Punto del programma MAT.LO.1.P.2.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    dimostrazione della divisibilità per 24 del prodotto di quattro numeri naturali consecutivi

    nostra traduzione · testo originale (PL): dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Punto del programma MAT.LO.1.P.2.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    dimostrazione della proprietà: se un numero diviso per 4 dà resto 3, allora non è il quadrato di un numero intero

    nostra traduzione · testo originale (PL): dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Punto del programma MAT.LO.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Espressioni algebriche

    nostra traduzione · testo originale (PL): Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Punto del programma MAT.LO.2.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica le formule dei prodotti notevoli per: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

  15. Punto del programma MAT.LO.2.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    somma, sottrae e moltiplica polinomi in una e più variabili

    nostra traduzione · testo originale (PL): dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

  16. Punto del programma MAT.LO.2.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    raccoglie a fattor comune un monomio da una somma algebrica

    nostra traduzione · testo originale (PL): wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

  17. Punto del programma MAT.LO.2.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    moltiplica e divide espressioni razionali.

    nostra traduzione · testo originale (PL): mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

  18. Punto del programma MAT.LO.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Equazioni e disequazioni

    nostra traduzione · testo originale (PL): Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Punto del programma MAT.LO.3.P.1 · Contenuti di insegnamento

    trasforma equazioni e disequazioni in modo equivalente, tra cui ad es. trasforma in modo equivalente un'equazione razionale (esempio nell'atto)

    nostra traduzione · testo originale (PL): przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

  20. Punto del programma MAT.LO.3.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    interpreta equazioni e disequazioni lineari impossibili e indeterminate

    nostra traduzione · testo originale (PL): interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

  21. Punto del programma MAT.LO.3.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    risolve disequazioni lineari con un'incognita

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

  22. Punto del programma MAT.LO.3.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    risolve equazioni e disequazioni di secondo grado

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Punto del programma MAT.LO.3.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    risolve equazioni polinomiali della forma W(x) = 0 per polinomi ridotti alla forma fattorizzata.

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Punto del programma MAT.LO.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Sistemi di equazioni

    nostra traduzione · testo originale (PL): Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Punto del programma MAT.LO.4.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    risolve sistemi di equazioni lineari a due incognite, fornisce l'interpretazione geometrica di sistemi determinati, indeterminati e impossibili

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

  26. Punto del programma MAT.LO.4.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza i sistemi di equazioni per risolvere problemi testuali.

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Punto del programma MAT.LO.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Funzioni

    nostra traduzione · testo originale (PL): Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Punto del programma MAT.LO.5.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    definisce le funzioni come corrispondenza univoca mediante descrizione verbale, tabella, grafico, formula (anche con formule diverse su intervalli diversi)

    nostra traduzione · testo originale (PL): określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Punto del programma MAT.LO.5.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola il valore di una funzione data da una formula algebrica

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Punto del programma MAT.LO.5.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    legge e interpreta i valori di funzioni definite mediante tabelle, grafici, formule ecc., anche in situazioni di utilizzo ripetuto della stessa fonte di informazione o di più fonti contemporaneamente

    nostra traduzione · testo originale (PL): odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Punto del programma MAT.LO.5.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    legge dal grafico di una funzione: il dominio, l'insieme delle immagini, gli zeri, gli intervalli di monotonia, gli intervalli in cui la funzione assume valori maggiori (non minori) o minori (non maggiori) di un dato numero, i valori massimo e minimo della funzione (se esistono) in un dato intervallo chiuso e gli argomenti per i quali i valori massimo e minimo sono assunti dalla funzione

    nostra traduzione · testo originale (PL): odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Punto del programma MAT.LO.5.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    interpreta i coefficienti presenti nella formula della funzione lineare

    nostra traduzione · testo originale (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Punto del programma MAT.LO.5.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    determina la formula di una funzione lineare in base alle informazioni sul suo grafico o sulle sue proprietà

    nostra traduzione · testo originale (PL): wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

  34. Punto del programma MAT.LO.5.P.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    traccia il grafico di una funzione quadratica data da una formula

    nostra traduzione · testo originale (PL): szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Punto del programma MAT.LO.5.P.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    interpreta i coefficienti presenti nella formula della funzione quadratica in forma generale, canonica e fattorizzata (se esiste)

    nostra traduzione · testo originale (PL): interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Punto del programma MAT.LO.5.P.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    determina la formula di una funzione quadratica sulla base di informazioni su questa funzione o sul suo grafico

    nostra traduzione · testo originale (PL): wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Punto del programma MAT.LO.5.P.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    determina il valore massimo e il valore minimo di una funzione quadratica in un intervallo chiuso

    nostra traduzione · testo originale (PL): wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Punto del programma MAT.LO.5.P.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza le proprietà della funzione lineare e quadratica per l'interpretazione di problemi geometrici, fisici, ecc., anche inseriti in un contesto pratico

    nostra traduzione · testo originale (PL): wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Punto del programma MAT.LO.5.P.12 · Contenuti di insegnamento

    sulla base del grafico della funzione y = f(x) traccia i grafici delle funzioni y = f(x − a), y = f(x) + b

    nostra traduzione · testo originale (PL): na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Punto del programma MAT.LO.5.P.13 · Contenuti di insegnamento

    utilizza la funzione f(x) = a/x, compreso il suo grafico, per descrivere e interpretare questioni legate a grandezze inversamente proporzionali, anche in applicazioni pratiche

    nostra traduzione · testo originale (PL): posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Punto del programma MAT.LO.5.P.14 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza le funzioni esponenziale e logaritmica, compresi i loro grafici, per descrivere e interpretare questioni legate ad applicazioni pratiche.

    nostra traduzione · testo originale (PL): posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Punto del programma MAT.LO.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Successioni

    nostra traduzione · testo originale (PL): Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Punto del programma MAT.LO.6.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola i termini di una successione definita dalla formula generale

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

    Calcolo dei termini di una successione dalla formula generale e per ricorrenza (da noi in classe 11)

  44. Punto del programma MAT.LO.6.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola i primi termini di successioni definite ricorsivamente

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

    Calcolo dei termini di una successione dalla formula generale e per ricorrenza (da noi in classe 11)

  45. Punto del programma MAT.LO.6.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    in casi semplici esamina se una successione è crescente o decrescente

    nostra traduzione · testo originale (PL): w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Punto del programma MAT.LO.6.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    verifica se una data successione è aritmetica o geometrica

    nostra traduzione · testo originale (PL): sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

    Calcolo dell'n-esimo termine e della somma di una progressione aritmetica (da noi in classe 11) · Calcolo dei termini e della somma di una progressione geometrica (da noi in classe 11)

  47. Punto del programma MAT.LO.6.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica la formula per l'n-esimo termine e per la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

    Calcolo dell'n-esimo termine e della somma di una progressione aritmetica (da noi in classe 11)

  48. Punto del programma MAT.LO.6.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica la formula per il termine n-esimo e per la somma dei primi n termini di una progressione geometrica

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

    Calcolo dei termini e della somma di una progressione geometrica (da noi in classe 11)

  49. Punto del programma MAT.LO.6.P.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza le proprietà delle successioni, tra cui quelle aritmetiche e geometriche, per risolvere problemi, anche inseriti in un contesto pratico.

    nostra traduzione · testo originale (PL): wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

    Calcolo dell'n-esimo termine e della somma di una progressione aritmetica (da noi in classe 11) · Calcolo dei termini e della somma di una progressione geometrica (da noi in classe 11)

  50. Punto del programma MAT.LO.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Trigonometria

    nostra traduzione · testo originale (PL): Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Punto del programma MAT.LO.7.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza le definizioni delle funzioni: seno, coseno e tangente per angoli da 0° a 180°, in particolare determina i valori delle funzioni trigonometriche per gli angoli di 30°, 45°, 60°

    nostra traduzione · testo originale (PL): wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Punto del programma MAT.LO.7.P.2 · Contenuti di insegnamento

    utilizza le formule sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    nostra traduzione · testo originale (PL): korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Punto del programma MAT.LO.7.P.3 · Contenuti di insegnamento

    applica il teorema del coseno e la formula per l'area del triangolo P = ½ · a · b · sin γ

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Punto del programma MAT.LO.7.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola gli angoli di un triangolo rettangolo e le lunghezze dei suoi lati a partire da dati opportuni (risolve triangoli rettangoli, anche con l'uso delle funzioni trigonometriche).

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Punto del programma MAT.LO.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Geometria piana

    nostra traduzione · testo originale (PL): Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Punto del programma MAT.LO.8.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    determina raggi e diametri di circonferenze, lunghezze di corde di circonferenze e di segmenti di tangente, compreso l'utilizzo del teorema di Pitagora

    nostra traduzione · testo originale (PL): wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Punto del programma MAT.LO.8.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce triangoli acutangoli, rettangoli e ottusangoli date le lunghezze dei lati (tra l'altro applica il teorema inverso del teorema di Pitagora e il teorema del coseno); applica il teorema: in un triangolo all'angolo interno maggiore è opposto il lato più lungo

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Punto del programma MAT.LO.8.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce i poligoni regolari e utilizza le loro proprietà fondamentali

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Punto del programma MAT.LO.8.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza le proprietà degli angoli e delle diagonali nei rettangoli, parallelogrammi, rombi e trapezi

    nostra traduzione · testo originale (PL): korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Punto del programma MAT.LO.8.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica le proprietà degli angoli alla circonferenza e al centro

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Punto del programma MAT.LO.8.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica le formule per l'area del settore circolare e la lunghezza dell'arco di circonferenza

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Punto del programma MAT.LO.8.P.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica il teorema di Talete

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Punto del programma MAT.LO.8.P.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza i criteri di similitudine dei triangoli

    nostra traduzione · testo originale (PL): korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Punto del programma MAT.LO.8.P.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza le relazioni tra i perimetri e tra le aree di figure simili

    nostra traduzione · testo originale (PL): wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Punto del programma MAT.LO.8.P.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    indica i punti notevoli fondamentali in un triangolo: il centro della circonferenza inscritta in un triangolo, il centro della circonferenza circoscritta a un triangolo, l'ortocentro, il baricentro e utilizza le loro proprietà

    nostra traduzione · testo originale (PL): wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Punto del programma MAT.LO.8.P.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    svolge dimostrazioni geometriche

    nostra traduzione · testo originale (PL): przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Punto del programma MAT.LO.8.P.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    applica le funzioni trigonometriche per determinare le lunghezze dei segmenti nelle figure piane e per calcolare le aree delle figure.

    nostra traduzione · testo originale (PL): stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Punto del programma MAT.LO.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Geometria analitica nel piano cartesiano

    nostra traduzione · testo originale (PL): Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Punto del programma MAT.LO.9.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce la posizione reciproca delle rette nel piano in base alle loro equazioni, tra cui trova il punto comune di due rette, se esiste

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

    Equazioni delle rette: perpendicolarità e punto di intersezione (da noi in classe 11)

  70. Punto del programma MAT.LO.9.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza le equazioni delle rette nel piano, in forma esplicita e generale, tra cui determina l'equazione di una retta con proprietà assegnate (quali, ad es., il passaggio per due punti dati, coefficiente angolare noto, parallelismo con un'altra retta)

    nostra traduzione · testo originale (PL): posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

    Equazioni delle rette: perpendicolarità e punto di intersezione (da noi in classe 11)

  71. Punto del programma MAT.LO.9.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola la distanza tra due punti in un sistema di coordinate

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

    Calcolo della distanza tra punti nel piano (da noi in classe 11)

  72. Punto del programma MAT.LO.9.P.4 · Contenuti di insegnamento

    utilizza l'equazione della circonferenza (x − a)² + (y − b)² = r²

    nostra traduzione · testo originale (PL): posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

    Determinazione del centro e del raggio di una circonferenza dall'equazione (da noi in classe 11)

  73. Punto del programma MAT.LO.9.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    determina le immagini di circonferenze e poligoni nelle simmetrie assiali rispetto agli assi del sistema di coordinate, nella simmetria centrale (con centro nell'origine del sistema di coordinate).

    nostra traduzione · testo originale (PL): wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Punto del programma MAT.LO.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Stereometria

    nostra traduzione · testo originale (PL): Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Punto del programma MAT.LO.10.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce la posizione reciproca delle rette nello spazio, in particolare rette perpendicolari non incidenti

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Punto del programma MAT.LO.10.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza il concetto di angolo tra una retta e un piano e il concetto di angolo diedro tra semipiani

    nostra traduzione · testo originale (PL): posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Punto del programma MAT.LO.10.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce nei prismi e nelle piramidi gli angoli tra segmenti (ad es. spigoli, spigoli e diagonali) nonché gli angoli tra facce, calcola le ampiezze di tali angoli

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Punto del programma MAT.LO.10.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    riconosce nei cilindri e nei coni l'angolo tra segmenti e l'angolo tra segmenti e piani (ad es. l'angolo di apertura del cono, l'angolo tra la generatrice e la base), calcola le ampiezze di questi angoli

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Punto del programma MAT.LO.10.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola i volumi e le aree delle superfici di prismi, piramidi, cilindro, cono e sfera, anche utilizzando la trigonometria

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Punto del programma MAT.LO.10.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    utilizza la relazione tra i volumi di solidi simili.

    nostra traduzione · testo originale (PL): wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Punto del programma MAT.LO.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Combinatoria

    nostra traduzione · testo originale (PL): Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Punto del programma MAT.LO.11.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    conta oggetti in semplici situazioni combinatorie

    nostra traduzione · testo originale (PL): zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

    Conteggio delle possibilità: regola del prodotto e permutazioni (da noi in classe 11)

  83. Punto del programma MAT.LO.11.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    conta gli oggetti, applicando le regole della moltiplicazione e dell'addizione (anche congiuntamente) per un qualsiasi numero di azioni, ad es.:

    nostra traduzione · testo originale (PL): zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

    Conteggio delle possibilità: regola del prodotto e permutazioni (da noi in classe 11)

  84. Punto del programma MAT.LO.11.P.2.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcolo di quanti siano i numeri interi positivi dispari a quattro cifre tali che nella loro scrittura decimale compaiano esattamente una cifra 1 ed esattamente una cifra 2

    nostra traduzione · testo originale (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

    Conteggio delle possibilità: regola del prodotto e permutazioni (da noi in classe 11)

  85. Punto del programma MAT.LO.11.P.2.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcolo di quanti siano i numeri interi positivi pari a quattro cifre tali che nella loro scrittura decimale compaia esattamente una cifra 0 ed esattamente una cifra 1.

    nostra traduzione · testo originale (PL): obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

    Conteggio delle possibilità: regola del prodotto e permutazioni (da noi in classe 11)

  86. Punto del programma MAT.LO.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Calcolo delle probabilità e statistica

    nostra traduzione · testo originale (PL): Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Punto del programma MAT.LO.12.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola la probabilità nel modello classico

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

    Probabilità in semplici esperimenti (da noi in classe 11) · Probabilità nell'estrazione senza reimbussolamento (da noi in classe 11) · Calcolo della probabilità dell'unione di eventi (da noi in classe 11)

  88. Punto del programma MAT.LO.12.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    calcola la media aritmetica e la media ponderata, trova la mediana e la moda.

    nostra traduzione · testo originale (PL): oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Punto del programma MAT.LO.13 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Ottimizzazione e calcolo differenziale

    nostra traduzione · testo originale (PL): Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Punto del programma MAT.LO.13.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    risolve problemi di ottimizzazione in situazioni che possono essere descritte da una funzione quadratica.

    nostra traduzione · testo originale (PL): rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Punto del programma MAT.LO.WO.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Abilità di calcolo

    nostra traduzione · testo originale (PL): Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Punto del programma MAT.LO.WO.1.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Esecuzione di calcoli con i numeri reali, anche con l'uso della calcolatrice, applicazione delle proprietà delle operazioni matematiche nella trasformazione di espressioni algebriche e utilizzo di tali abilità nella risoluzione di problemi in contesti reali e teorici

    nostra traduzione · testo originale (PL): Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Punto del programma MAT.LO.WO.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzo e creazione di informazioni

    nostra traduzione · testo originale (PL): Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Punto del programma MAT.LO.WO.2.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare e operare con le informazioni presentate in un testo, sia matematico sia divulgativo, nonché sotto forma di grafici, diagrammi, tabelle

    nostra traduzione · testo originale (PL): Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Punto del programma MAT.LO.WO.2.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Uso del linguaggio matematico per la produzione di testi matematici, compresa la descrizione dei ragionamenti svolti e la giustificazione delle conclusioni, nonché per la presentazione dei dati

    nostra traduzione · testo originale (PL): Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Punto del programma MAT.LO.WO.3 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzo e interpretazione delle rappresentazioni

    nostra traduzione · testo originale (PL): Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Punto del programma MAT.LO.WO.3.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzo di oggetti matematici e operare con essi, interpretazione di concetti matematici

    nostra traduzione · testo originale (PL): Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Punto del programma MAT.LO.WO.3.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Selezione e creazione di modelli matematici nella risoluzione di problemi pratici e teorici

    nostra traduzione · testo originale (PL): Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Punto del programma MAT.LO.WO.3.3 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Creazione di oggetti matematici ausiliari sulla base di quelli esistenti, al fine di condurre un'argomentazione o risolvere un problema

    nostra traduzione · testo originale (PL): Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Punto del programma MAT.LO.WO.3.4 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Indicazione della necessità o della possibilità di modifica del modello matematico nei casi che richiedono speciali riserve, ipotesi aggiuntive, la considerazione di particolari condizioni

    nostra traduzione · testo originale (PL): Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Punto del programma MAT.LO.WO.4 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Ragionamento e argomentazione

    nostra traduzione · testo originale (PL): Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Punto del programma MAT.LO.WO.4.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Condurre ragionamenti, anche a più fasi, fornire argomenti che giustificano la correttezza del ragionamento, distinguere una dimostrazione da un esempio

    nostra traduzione · testo originale (PL): Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Punto del programma MAT.LO.WO.4.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Individuazione di regolarità, somiglianze e analogie, formulazione di conclusioni sulla base di esse e giustificazione della loro correttezza

    nostra traduzione · testo originale (PL): Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Punto del programma MAT.LO.WO.4.3 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Selezione di argomenti per giustificare la correttezza della risoluzione di problemi, creazione di una catena di argomenti che garantiscano la correttezza della soluzione e l'efficacia nella ricerca di soluzioni al problema

    nostra traduzione · testo originale (PL): Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Punto del programma MAT.LO.WO.4.4 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Applicazione e creazione di strategie nella risoluzione di problemi, anche in situazioni atipiche

    nostra traduzione · testo originale (PL): Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Competenze passo dopo passo

Conteggio delle possibilità: regola del prodotto e permutazioni

Lo studente calcola il numero di possibili configurazioni e scelte, applicando le regole di moltiplicazione e di addizione, le permutazioni e le disposizioni in problemi riguardanti cifre o la distribuzione di premi.

Punto del programma MAT.LO.11.P.1 conta oggetti in semplici situazioni combinatorie (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.LO.11.P.2 conta gli oggetti, applicando le regole della moltiplicazione e dell'addizione (anche congiuntamente) per un qualsiasi numero di azioni, ad es.: (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.LO.11.P.2.a calcolo di quanti siano i numeri interi positivi dispari a quattro cifre tali che nella loro scrittura decimale compaiano esattamente una cifra 1 ed esattamente una cifra 2 (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.LO.11.P.2.b calcolo di quanti siano i numeri interi positivi pari a quattro cifre tali che nella loro scrittura decimale compaia esattamente una cifra 0 ed esattamente una cifra 1. (nostra traduzione)

Lo studente del terzo anno di scuola secondaria di secondo grado analizza situazioni combinatorie e determina il numero di esiti possibili senza dover elencare tutti i casi. Applica il principio di moltiplicazione e di addizione in processi a più fasi, calcola il numero di permutazioni di un insieme finito quando ordina gli oggetti secondo un criterio specifico e utilizza le disposizioni quando sceglie un determinato numero di elementi assegnandoli a posizioni precise.

Un errore comune consiste nel non considerare i vincoli nelle singole fasi della scelta. Gli studenti dimenticano, ad esempio, che la prima cifra del numero formato non può essere zero, oppure non tengono conto del fatto che la parità dipende esclusivamente dall'ultima cifra. Se un dato problema richiede che una cifra specifica compaia una sola volta, gli errori derivano da un'errata scomposizione dei passaggi: invece di stabilire prima la posizione della cifra selezionata, lo studente moltiplica acriticamente le possibilità disponibili.

I problemi che allenano questa competenza si basano su modelli di estrazione e ordinamento. Lo studente risolve compiti incentrati sul calcolo del numero di modi per disporre le persone in fila (permutazioni), assegnare coppe o posizioni distinte (disposizioni — assegnazione di premi) e formare numeri pari o dispari di una data lunghezza in cui la cifra specificata compare esattamente una volta.

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Tipi di esercizi: Permutazioni — fila · Disposizioni — premi · Numeri dispari con una cifra una sola volta · Numeri pari con una cifra una sola volta

Probabilità in semplici esperimenti

Lo studente calcola la probabilità che si verifichi un evento in una singola estrazione, come il lancio di un dado o l'estrazione di una pallina da una scatola, scrivendo il risultato sotto forma di frazione.

Punto del programma MAT.LO.12.P.1 calcola la probabilità nel modello classico (nostra traduzione)

In questa fase, lo studente calcola la probabilità classica in singoli esperimenti aleatori con un numero finito di esiti equiprobabili. È in grado di contare correttamente tutti i possibili esiti di un dato evento, individuare quelli che soddisfano una determinata condizione (esiti favorevoli) e quindi esprimere la probabilità che l'evento si verifichi come quoziente tra questi due valori.

Un errore tipico consiste nel calcolare in modo errato il numero di esiti favorevoli. Spesso gli studenti trascurano alcune possibilità quando verificano le proprietà dei numeri (ad esempio, dimenticano che il numero 2 è un numero primo) oppure confondono il numero di esiti favorevoli con il numero totale di elementi dell'insieme. Accade anche che la probabilità venga erroneamente identificata con il solo numero di esiti favorevoli anziché essere espressa sotto forma di frazione.

Nella pratica, gli esercizi consistono nell'analizzare una specifica situazione aleatoria:

  • Lancio di un dado – ad esempio, calcolare la probabilità di ottenere un numero di punti che sia un numero primo o maggiore di un valore dato,
  • Estrazione di una pallina da una scatola – calcolare la probabilità di estrarre una pallina di un determinato colore a partire dal numero indicato di palline di ciascun tipo,
  • Estrazione di un biglietto numerato – determinare la probabilità di estrarre un cartoncino con un numero che soddisfa una determinata condizione, ad esempio divisibile per 3.
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Tipi di esercizi: Estrarre una pallina dalla scatola · Lancio di un dado · Estrarre un cartellino numerato

Equazioni delle rette: perpendicolarità e punto di intersezione

Lo studente determina il punto di intersezione di due rette, scrive l'equazione di una retta perpendicolare passante per un punto e ricava il coefficiente angolare dalla forma generale.

Punto del programma MAT.LO.9.P.1 riconosce la posizione reciproca delle rette nel piano in base alle loro equazioni, tra cui trova il punto comune di due rette, se esiste (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.LO.9.P.2 utilizza le equazioni delle rette nel piano, in forma esplicita e generale, tra cui determina l'equazione di una retta con proprietà assegnate (quali, ad es., il passaggio per due punti dati, coefficiente angolare noto, parallelismo con un'altra retta) (nostra traduzione)

Nell'ambito della geometria analitica, lo studente trasforma l'equazione generale di una retta nella forma esplicita per determinare con precisione il suo coefficiente angolare. Su questa base, è in grado di ricavare la condizione di perpendicolarità e scrivere l'equazione della retta perpendicolare passante per un punto assegnato di coordinate note. Determina inoltre algebricamente le coordinate del punto di intersezione tra due rette nel piano.

L'errore più comune nella determinazione della retta perpendicolare consiste nel confondere i concetti di numero opposto e inverso: gli studenti spesso considerano solo il reciproco del coefficiente angolare (ad es. trasformano il numero 3 in 1/3 anziché in -1/3). Risulta inoltre difficoltoso dividere correttamente per il coefficiente della variabile y durante la trasformazione dell'equazione generale, soprattutto quando tale coefficiente ha segno negativo.

Gli esercizi per verificare questa competenza comprendono compiti di calcolo tipici:

  • Coefficiente angolare dall'equazione generale — trasformazione della formula della retta e determinazione della sua pendenza;
  • Retta perpendicolare passante per un punto — individuazione della nuova equazione della retta che soddisfa la condizione di perpendicolarità e passa per il punto dato;
  • Punto di intersezione tra rette — determinazione della coppia di numeri che costituisce la soluzione comune del sistema formato dalle equazioni delle due rette.
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Tipi di esercizi: Coefficiente angolare dalla forma generale · Intersezione di due rette · Retta perpendicolare per un punto

Calcolo della distanza tra punti nel piano

Lo studente calcola la distanza tra due punti in un sistema di coordinate cartesiane, utilizzando la relazione geometrica derivata dal teorema di Pitagora.

Punto del programma MAT.LO.9.P.3 calcola la distanza tra due punti in un sistema di coordinate (nostra traduzione)

Nell'ambito della geometria analitica, lo studente determina la distanza tra due punti aventi determinate coordinate numeriche. Il segmento che unisce questi punti viene trattato come l'ipotenusa di un triangolo rettangolo, i cui cateti derivano direttamente dalle differenze delle coordinate sugli assi cartesiani. Su questa base, lo studente applica il teorema di Pitagora per calcolare la lunghezza esatta del segmento.

Un problema tipico a questo livello è rappresentato dagli errori di calcolo nella sottrazione di numeri negativi durante la determinazione della lunghezza dei cateti (ad es. sottraendo una coordinata negativa da una positiva). Gli studenti tendono inoltre a dimenticare di estrarre la radice quadrata al termine dei calcoli, lasciando come risultato il quadrato della distanza.

In pratica, in esercizi come Distanza tra due punti con il teorema di Pitagora e Distanza tra due punti, lo studente riceve le coordinate di due punti e calcola la distanza tra di essi. I compiti possono richiedere di illustrare il triangolo ausiliario nel sistema di coordinate cartesiane o di calcolare direttamente la lunghezza del segmento, eventualmente portando fuori radice i fattori possibili.

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Tipi di esercizi: Distanza tra due punti · Distanza tra punti con Pitagora

Calcolo dell'n-esimo termine e della somma di una progressione aritmetica

Lo studente determina un qualsiasi termine di una successione aritmetica sulla base della formula generale e calcola la somma di un determinato numero dei suoi primi termini.

Punto del programma MAT.LO.6.P.4 verifica se una data successione è aritmetica o geometrica (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.LO.6.P.5 applica la formula per l'n-esimo termine e per la somma dei primi n termini di una progressione aritmetica (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.LO.6.P.7 utilizza le proprietà delle successioni, tra cui quelle aritmetiche e geometriche, per risolvere problemi, anche inseriti in un contesto pratico. (nostra traduzione)

Nel terzo anno della scuola secondaria di secondo grado, lo studente utilizza con disinvoltura le proprietà della progressione aritmetica. È in grado di determinare il valore di un qualsiasi termine indicato a partire dal primo termine e dalla ragione, nonché di calcolare la somma di un determinato numero di termini iniziali consecutivi.

Un problema frequente in questa fase è la confusione tra la posizione del termine e il suo effettivo valore (ovvero l'indice n con il termine an). Gli errori si verificano anche con le progressioni decrescenti, in cui la ragione è un numero negativo, portando a scambi di segno durante l'inserimento dei dati nella formula della somma.

Gli esercizi per sviluppare questa abilità si presentano in due forme chiare:

  • Progressione aritmetica — n-esimo termine: lo studente riceve i dati iniziali della progressione e calcola un termine specifico e più distante (ad es. il decimo o il ventesimo).
  • Progressione aritmetica — somma dei termini: l'esercizio consiste nel sommare un numero stabilito di termini iniziali della progressione applicando la formula corrispondente.
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Tipi di esercizi: Progressione aritmetica — somma · Progressione aritmetica — termine n-esimo

Calcolo dei termini e della somma di una progressione geometrica

Lo studente determina un termine qualsiasi di una progressione geometrica e calcola la somma dei suoi primi termini sulla base dei dati forniti.

Punto del programma MAT.LO.6.P.4 verifica se una data successione è aritmetica o geometrica (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.LO.6.P.6 applica la formula per il termine n-esimo e per la somma dei primi n termini di una progressione geometrica (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.LO.6.P.7 utilizza le proprietà delle successioni, tra cui quelle aritmetiche e geometriche, per risolvere problemi, anche inseriti in un contesto pratico. (nostra traduzione)

Al terzo anno di liceo e istituto tecnico, lo studente apprende le regole che governano la progressione geometrica. A partire dal primo termine e dalla ragione, è in grado di ricavare la formula del termine generale e calcolare il valore di un qualsiasi n-esimo termine. Utilizza inoltre la formula per la somma dei primi n termini della progressione, combinando con sicurezza la moltiplicazione per la ragione costante con l'elevamento a potenza.

Un errore frequente consiste nel confondere la ragione della progressione geometrica con la differenza di una progressione aritmetica: gli studenti tendono spontaneamente a sommare un valore costante anziché moltiplicare i termini successivi. Ulteriori difficoltà derivano dall'ordine delle operazioni e dall'elevamento a potenza di frazioni e numeri negativi, che causano errori di segno nel calcolo della potenza all'interno della formula della somma.

Le schede operative stampabili includono i seguenti modelli:

  • Progressione geometrica — n-esimo termine: calcolo di un termine specifico o della ragione a partire dai dati iniziali;
  • Progressione geometrica — somma dei termini: determinazione della somma di un numero assegnato di termini iniziali della progressione.
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Tipi di esercizi: Progressione geometrica — somma · Progressione geometrica — termine n-esimo

Calcolo dei termini di una successione dalla formula generale e per ricorrenza

Lo studente calcola termini specifici di una successione numerica in base alla formula generale data o a una relazione ricorsiva.

Punto del programma MAT.LO.6.P.1 calcola i termini di una successione definita dalla formula generale (nostra traduzione)
Punto del programma MAT.LO.6.P.2 calcola i primi termini di successioni definite ricorsivamente (nostra traduzione)

Al terzo anno della scuola secondaria di secondo grado lo studente determina con sicurezza i valori dei termini indicati di una successione numerica. È in grado di sostituire l'indice di posizione n nella formula generale per calcolare direttamente il risultato, nonché di ricavare i termini successivi della successione a partire da una formula ricorsiva, sfruttando la conoscenza dei termini precedenti.

Una difficoltà tipica consiste nel confondere l'indice del termine con il suo valore, ad esempio scambiare la notazione del termine precedente con la sottrazione di uno dal valore del termine corrente. Nelle successioni ricorsive, un'altra sfida è la precisione nei calcoli: un piccolo errore aritmetico commesso all'inizio si ripercuote a cascata su tutti i termini successivi.

Gli esercizi si basano su due tipi di problemi:

  • Termine di una successione dalla formula generale — lo studente riceve la formula diretta della successione e calcola un valore specifico (ad es. il quinto o il decimo termine), sostituendo il numero naturale corrispondente al posto di n;
  • Termine di una successione ricorsiva — dati il termine iniziale e la regola per determinare i passi successivi, lo studente calcola gradualmente gli elementi successivi della successione fino a raggiungere il termine cercato.
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Tipi di esercizi: Termine di una successione dalla formula · Termine di una successione ricorsiva

Calcolo e applicazione del coefficiente binomiale

Lo studente impara a calcolare il valore del coefficiente binomiale mediante il fattoriale e ad applicarlo per determinare il numero di modi per scegliere un gruppo di persone o elementi.

Nel terzo anno lo studente apprende il coefficiente binomiale e impara a calcolarne efficacemente il valore numerico. Padroneggia lo sviluppo e la semplificazione delle frazioni contenenti fattoriali, consentendo calcoli rapidi senza la necessità di moltiplicare numeri molto grandi. Utilizza questa notazione per descrivere situazioni in cui si sceglie un sottoinsieme di elementi senza tenere conto del loro ordine.

Un errore tipico in questa fase consiste nel confondere le situazioni in cui l'ordine ha importanza con quelle in cui conta solo la composizione del gruppo. Di conseguenza, gli studenti dimenticano spesso di dividere il prodotto per il fattoriale del numero di elementi scelti. Si verificano di frequente anche errori di calcolo durante la semplificazione del denominatore della frazione.

In pratica, gli esercizi su questa abilità comprendono due tipi di quesiti:

  • Valore del coefficiente binomiale — calcolo puramente aritmetico del valore del simbolo dato mediante la semplificazione di prodotti di numeri;
  • Scelta di una delegazione — problemi con testo che richiedono di calcolare in quanti modi sia possibile scegliere un gruppo più piccolo (ad esempio una rappresentanza di più persone) da un insieme più ampio di persone o oggetti.
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Tipi di esercizi: Valore di un coefficiente binomiale · Scelta di una delegazione

Conversione da gradi a radianti e da radianti a gradi

Lo studente converte agevolmente la misura di un angolo data in gradi in radianti e trasforma la misura espressa in radianti in gradi.

Nel terzo anno lo studente apprende la misura in radianti di un angolo come metodo alternativo per determinarne l'ampiezza. In questa fase impara a passare agevolmente dai gradi ai radianti e viceversa, basandosi sulla relazione fondamentale secondo cui un angolo di 180° corrisponde a π radianti. Utilizza proporzioni e la moltiplicazione per un'opportuna frazione per determinare il valore esatto dell'angolo nella nuova unità di misura.

Un problema tipico consiste nell'invertire la formula di conversione. Gli studenti spesso confondono quando moltiplicare per π/180° e quando per 180°/π, ottenendo un risultato errato con un doppio π o con la sua totale assenza. Può risultare difficoltoso anche ridurre correttamente ai minimi termini le frazioni ordinarie ottenute.

Gli esercizi si basano su due tipi di consegne: nelle attività Da gradi a radianti lo studente converte l'angolo indicato (ad es. 45° o 120°) in una frazione contenente il simbolo π. Nelle attività Da radianti a gradi esegue l'operazione inversa, sostituendo π con il valore di 180° e calcolando l'ampiezza finale in gradi.

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Tipi di esercizi: Gradi in radianti · Radianti in gradi

Determinazione del periodo e dell'ampiezza di una sinusoide

Lo studente impara a determinare il periodo fondamentale e il valore massimo della funzione seno in base alla sua formula o al suo grafico.

Al terzo anno delle scuole superiori, gli studenti analizzano i grafici e le formule delle funzioni trigonometriche utilizzando la misura degli angoli in radianti. Nell'ambito di questa competenza, determinano due parametri fondamentali della sinusoide: il suo periodo (la lunghezza del ciclo che si ripete) e la sua ampiezza, ovvero la deviazione dall'asse mediano legata al valore massimo raggiunto.

Un errore comune è confondere l'effetto dei singoli coefficienti nella formula della funzione sulla sua forma grafica. Gli studenti spesso identificano direttamente il coefficiente dell'argomento con il periodo, invece di calcolarlo tramite la formula che tiene conto della periodicità di 2π, oppure confondono la dilatazione verticale del grafico con la sua contrazione orizzontale.

Le schede stampabili su questo argomento comprendono due formati tipici di esercizi:

  • Periodo della sinusoide — lo studente calcola o ricava dal grafico la lunghezza del ciclo di una funzione con argomento trasformato;
  • Valore massimo della sinusoide — lo studente individua il valore massimo assunto dalla funzione analizzandone l'ampiezza e la traslazione verticale.
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Tipi di esercizi: Massimo di una sinusoide · Periodo di una sinusoide

Quadrilateri inscritti in una circonferenza e circoscritti a una circonferenza

Lo studente calcola le ampiezze degli angoli in un quadrilatero inscritto in una circonferenza e le lunghezze dei lati in un quadrilatero circoscritto a una circonferenza, applicando le relazioni tra gli elementi opposti della figura.

Lo studente del terzo anno della scuola secondaria di secondo grado è in grado di determinare le grandezze mancanti nei quadrilateri legati a una circonferenza. Nel caso di una figura inscritta in una circonferenza, utilizza la regola secondo cui la somma delle ampiezze degli angoli opposti è pari a 180°. Quando il quadrilatero è circoscritto a una circonferenza, lo studente applica la relazione secondo cui le somme delle lunghezze delle coppie di lati opposti sono uguali tra loro.

Il problema più frequente consiste nel confondere queste due proprietà o nell'applicarle a elementi adiacenti della figura anziché a quelli opposti. Gli studenti sommano erroneamente a 180° gli angoli adiacenti a uno stesso lato oppure uguagliano le somme di lati consecutivi, il che porta a impostare l'equazione in modo errato.

In pratica, gli esercizi consistono nel ricavare i dati da una figura o dal testo del problema e nel calcolare il valore mancante. Nel modello Angolo in un quadrilatero inscritto lo studente determina l'ampiezza incognita di un angolo, mentre nell'esercizio Lato di un quadrilatero circoscritto a una circonferenza calcola la lunghezza del quarto lato a partire dai tre segmenti forniti.

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Tipi di esercizi: Angolo nel quadrilatero inscritto · Lato del quadrilatero circoscritto

Determinazione del centro e del raggio di una circonferenza dall'equazione

Lo studente impara a determinare le coordinate del centro e la lunghezza del raggio di una circonferenza direttamente dalla sua equazione in forma canonica.

Punto del programma MAT.LO.9.P.4 utilizza l'equazione della circonferenza (x − a)² + (y − b)² = r² (nostra traduzione)

In questa fase lo studente analizza l'equazione della circonferenza e determina su questa base due parametri fondamentali: le coordinate del punto che rappresenta il centro della circonferenza e la lunghezza del suo raggio. Collega agilmente la notazione algebrica delle relazioni tra le variabili con il suo significato geometrico nel sistema di coordinate cartesiane.

Un problema tipico è confondere i segni nel determinare le coordinate del centro. Nella formula compare una sottrazione, quindi la presenza di un segno più tra parentesi indica una coordinata negativa, cosa che gli studenti spesso dimenticano. Un errore frequente consiste anche nell'identificare il membro destro dell'equazione direttamente con il raggio anziché con il suo quadrato, ad esempio inserendo un raggio pari a 25 invece di 5.

Gli esercizi consistono nell'analisi diretta dell'equazione fornita. Nell'esercizio Centro della circonferenza dall'equazione il compito dello studente è indicare correttamente la coppia di coordinate del punto centrale, mentre nell'esercizio Raggio della circonferenza dall'equazione determina la corretta lunghezza del raggio calcolando la radice quadrata del numero posto a destra del segno di uguaglianza.

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Tipi di esercizi: Centro della circonferenza dall'equazione · Raggio della circonferenza dall'equazione

Lunghezza e operazioni sui vettori

Lo studente calcola la lunghezza di un vettore nel piano in base alle sue coordinate e determina le coordinate dei vettori risultanti da addizione, sottrazione e moltiplicazione per un numero.

Nel terzo anno della scuola secondaria di secondo grado, lo studente lavora con i vettori nel sistema di coordinate. Calcola agevolmente la lunghezza di un vettore utilizzando il teorema di Pitagora applicato alle sue coordinate, ed esegue inoltre le operazioni fondamentali: addiziona e sottrae vettori e li moltiplica per numeri reali, formando le loro combinazioni lineari.

Un errore frequente consiste nel confondere i segni quando si elevano a potenza coordinate negative durante il calcolo della lunghezza del vettore. Gli studenti scrivono, ad esempio, -32 = -9 invece di (-3)2 = 9, il che porta a risultati errati sotto radice. Risulta difficile anche sottrarre correttamente i vettori quando le coordinate contengono numeri negativi ed è facile sbagliare nella gestione del doppio segno meno.

Gli esercizi di questo argomento si presentano principalmente in due forme:

  • Lunghezza di un vettore – lo studente riceve le coordinate di un vettore e ne calcola il valore numerico, semplificando spesso le espressioni con radici;
  • Combinazione di vettori – lo studente determina le coordinate di un nuovo vettore descritto da una formula algebrica, ad esempio 2a - 3b, operando direttamente sulle coordinate dei vettori dati.
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Tipi di esercizi: Combinazione di vettori · Modulo di un vettore

Calcolo della somma di una serie geometrica

Lo studente verifica la condizione di convergenza e calcola la somma di una successione infinita di numeri utilizzando la formula per la somma di una serie geometrica.

Nel terzo anno della scuola secondaria di secondo grado lo studente apprende il concetto di serie geometrica, ovvero la somma di infiniti termini consecutivi di una successione geometrica. Impara a valutare quando tale somma dia effettivamente un numero finito — verificando se la ragione soddisfa la condizione |q| < 1 — per poi calcolarne il valore esatto mediante una formula che utilizza il primo termine e la ragione.

Un problema tipico è l'applicazione meccanica della formula senza verificare se la serie sia convergente. Gli studenti provano a calcolare la somma anche quando la ragione è, ad esempio, pari a 2 o -3, giungendo a conclusioni errate. Un errore frequente riguarda anche gli sbagli di calcolo in presenza di una ragione negativa, dove al denominatore compare la sottrazione di un numero negativo (1 - q).

Negli esercizi del modello Somma di una serie geometrica, lo studente riceve il più delle volte una successione di frazioni o numeri interi (ad es. 1/2, 1/4, 1/8...) scritta sotto forma di somma infinita, con la richiesta di determinare la ragione, verificare se sia possibile calcolare la somma e ricavare il risultato numerico finale.

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Calcolo della probabilità dell'unione di eventi

Lo studente calcola la probabilità che si verifichi almeno uno dei due eventi, utilizzando la formula per la probabilità dell'unione degli eventi e tenendo conto della loro intersezione.

Punto del programma MAT.LO.12.P.1 calcola la probabilità nel modello classico (nostra traduzione)

Lo studente del terzo anno della scuola secondaria di secondo grado determina la probabilità che si verifichi almeno uno di due eventi casuali. A tale scopo, utilizza la relazione che lega la probabilità dell'unione di eventi con le probabilità dei singoli eventi e della loro intersezione: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

L'errore più comune consiste nel sommare meccanicamente i valori P(A) e P(B) omettendo di sottrarre l'intersezione P(A ∩ B). Gli studenti dimenticano di verificare se gli eventi possano verificarsi contemporaneamente, contando così due volte gli stessi esiti dell'estrazione, il che spesso porta a un risultato errato superiore a 1.

Gli esercizi del modello Probabilità dell'unione di eventi richiedono di calcolare la probabilità mancante sulla base di dati numerici forniti direttamente o nel testo di un problema relativo all'estrazione di numeri, carte o al lancio di dadi, in cui lo studente deve determinare autonomamente le singole probabilità e l'intersezione di entrambe le situazioni.

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Probabilità nell'estrazione senza reimbussolamento

Lo studente calcola la probabilità di eventi aleatori applicando le regole del calcolo combinatorio a esperimenti in più fasi, come l'estrazione di palline da un'urna senza reinserimento.

Punto del programma MAT.LO.12.P.1 calcola la probabilità nel modello classico (nostra traduzione)

Lo studente collega la definizione classica di probabilità con i metodi del calcolo combinatorio. In questa fase è in grado di determinare correttamente il numero di tutti i possibili esiti dell'esperimento e il numero di eventi favorevoli in situazioni in cui gli oggetti vengono scelti a gruppi o in successione senza reinserimento.

Un errore comune è non considerare il fatto che, dopo ogni passaggio, il numero di elementi disponibili nell'insieme diminuisce. Gli studenti tendono a trattare le fasi successive come se l'estrazione avvenisse con reinserimento, oppure hanno difficoltà a stabilire se l'ordine di estrazione degli oggetti sia rilevante nel conteggio delle combinazioni favorevoli.

Gli esercizi che sviluppano questa competenza utilizzano il modello dell'estrazione di palline senza reinserimento. Lo studente analizza il contenuto di un contenitore con palline di diversi colori e calcola la probabilità di estrarre un determinato insieme, ad esempio l'estrazione di esattamente due palline dello stesso colore o di palline di colori diversi.

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Calcolo dei limiti di successioni razionali

Lo studente impara a determinare il limite di una successione definita da un'espressione frazionaria (razionale), studiando il comportamento dei suoi termini quando l'indice tende all'infinito.

Nel terzo anno della scuola secondaria di secondo grado, lo studente si esercita a determinare il limite di una successione i cui termini sono espressi da una frazione con polinomi nella variabile n al numeratore e al denominatore. Il compito consiste nello stabilire a quale valore tendono i termini della successione quando n diventa arbitrariamente grande. Lo studente applica la tecnica di raccogliere a fattor comune la potenza massima di n al numeratore e al denominatore, il che permette di ricondurre la frazione a una forma chiara.

Un errore comune è il tentativo di sostituire direttamente l'infinito nella formula ed eseguire su di esso le normali operazioni, il che porta a conclusioni errate in presenza di forme indeterminate. Gli studenti incontrano difficoltà anche nel dividere correttamente ciascun termine della somma per la potenza raccolta a fattor comune o dimenticano che le frazioni che hanno n al denominatore tendono a zero al crescere dell'indice.

Gli esercizi del modello Limite di una successione razionale consistono nel calcolare il limite di una specifica frazione algebrica. Lo studente trasforma la formula data della successione, semplifica le potenze e scrive il valore numerico finale del limite oppure stabilisce che la successione diverge all'infinito.

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Determinazione della composizione di due funzioni

Lo studente impara a creare una nuova funzione inserendo l'espressione di una funzione al posto dell'argomento di un'altra e a calcolare i valori di tale composizione.

In questa fase, lo studente è in grado di determinare l'espressione di una funzione composta applicando l'operazione di composizione di due funzioni, come f(g(x)) o g(f(x)). Comprende che il valore restituito dalla funzione interna diventa l'argomento di input per la funzione esterna ed è in grado, su questa base, di determinare la forma algebrica finale della nuova funzione.

Un errore tipico consiste nel confondere l'ordine di composizione e trattare l'operazione f(g(x)) allo stesso modo di g(f(x)), mentre la composizione di funzioni in generale non è commutativa. Spesso gli studenti dimenticano anche di racchiudere tra parentesi l'espressione sostituita, il che porta a errori di segno o alla perdita di esponenti quando si sostituisce la variabile x con l'intera espressione della funzione interna.

I problemi del modello Composizione di funzioni richiedono generalmente di determinare l'espressione generale della composizione di due funzioni algebriche assegnate oppure di calcolare un valore numerico specifico per un argomento indicato, ad esempio il valore dell'espressione f(g(3)).

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Risoluzione di semplici equazioni trigonometriche

Lo studente risolve semplici equazioni con funzioni trigonometriche, determinando gli angoli in radianti o in gradi tenendo conto della loro periodicità.

Nel terzo anno lo studente risolve equazioni elementari con una singola funzione goniometrica, come seno, coseno o tangente (ad esempio sin x = 1/2 o tg x = 1). Ricava le ampiezze degli angoli utilizzando la misura in radianti espressa tramite π oppure in gradi, e scrive l'insieme completo delle soluzioni tenendo conto della periodicità della funzione.

Un errore tipico in questa fase consiste nell'indicare un solo angolo anziché due all'interno di un periodo — ad esempio specificando l'angolo π/6 per un seno pari a 1/2 e tralasciando il valore 5π/6. Spesso gli studenti confondono anche i periodi delle funzioni, aggiungendo per errore + 2kπ alla tangente invece di + kπ, oppure omettendo completamente il parametro intero k.

Gli esercizi del modello Equazione trigonometrica richiedono molto spesso di trasformare l'espressione data in forma elementare, per poi determinare tutte le soluzioni compatibili in un intervallo assegnato (ad esempio da 0 a 2π) o fornire la formula generale per tutti i numeri che soddisfano l'equazione.

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Determinazione dei punti comuni tra una retta e una circonferenza

Lo studente impara a determinare le coordinate dei punti di intersezione o di tangenza tra una retta e una circonferenza e a stabilire il numero dei loro punti in comune.

Nell'ambito della geometria analitica, lo studente unisce l'algebra alla geometria per determinare la posizione reciproca di una retta e di una circonferenza. Risolvendo un sistema formato da un'equazione lineare e una quadratica, è in grado di verificare se la retta interseca la circonferenza in due punti, è tangente ad essa o non ha punti in comune con essa, calcolando inoltre le coordinate esatte di questi punti nel sistema di riferimento cartesiano.

Un problema frequente è rappresentato dagli errori di calcolo durante la sostituzione della variabile esplicitata dall'equazione della retta nell'equazione della circonferenza. Gli studenti commettono spesso errori nell'applicazione dei prodotti notevoli (soprattutto in presenza di segni negativi) e non di rado si limitano a calcolare solo le prime coordinate x, dimenticando di calcolare i corrispondenti valori di y.

I problemi tipici del modello Punti comuni tra circonferenza e retta forniscono l'equazione della retta e l'equazione della circonferenza in forma algebrica. Il compito dello studente consiste nel risolvere il sistema di equazioni, determinare il numero di soluzioni e indicare le coppie di numeri che costituiscono le coordinate dei punti comuni.

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Determinazione dell'equazione della tangente alla circonferenza in un punto

Lo studente determina l'equazione della retta tangente a una circonferenza in un dato punto appartenente a tale circonferenza, utilizzando i metodi della geometria analitica in un sistema di coordinate.

Nell'ambito della geometria analitica del terzo anno, lo studente è in grado di determinare l'equazione della retta tangente a una circonferenza in un punto che le appartiene. Il compito si basa sul collegamento tra l'equazione della circonferenza e le proprietà delle rette: lo studente determina le coordinate del centro della circonferenza, individua la retta contenente il raggio che connette il centro con il punto di tangenza e successivamente ricava l'equazione della retta perpendicolare a tale raggio.

Un errore tipico in questo ambito consiste nello sbagliare a determinare il coefficiente angolare della retta perpendicolare (ad esempio cambiando segno senza calcolare l'inverso) oppure nell'interpretare erroneamente le coordinate del centro della circonferenza a partire dalla sua equazione, soprattutto quando nella formula compaiono segni negativi. Può costituire un problema anche la situazione in cui la tangente è una retta verticale: in questo caso lo studente tenta forzatamente di scriverla in forma esplicita anziché nella forma x = c.

In pratica, negli esercizi del tipo Tangente alla circonferenza in un punto, lo studente riceve l'equazione algebrica della circonferenza e le coordinate del punto di tangenza. Il suo obiettivo è svolgere i calcoli necessari per fornire l'equazione finale della retta tangente in forma esplicita o implicita.

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Modelli di esercizi da stampare

Tutti i tipi di esercizi, raggruppati per abilità. Un clic apre il generatore con il tipo già scelto.

Conteggio delle possibilità: regola del prodotto e permutazioni

Probabilità in semplici esperimenti

Equazioni delle rette: perpendicolarità e punto di intersezione

Calcolo della distanza tra punti nel piano

Calcolo dell'n-esimo termine e della somma di una progressione aritmetica

Calcolo dei termini e della somma di una progressione geometrica

Calcolo dei termini di una successione dalla formula generale e per ricorrenza

Calcolo e applicazione del coefficiente binomiale

Conversione da gradi a radianti e da radianti a gradi

Determinazione del periodo e dell'ampiezza di una sinusoide

Quadrilateri inscritti in una circonferenza e circoscritti a una circonferenza

Determinazione del centro e del raggio di una circonferenza dall'equazione

Lunghezza e operazioni sui vettori

Calcolo della somma di una serie geometrica

Calcolo della probabilità dell'unione di eventi

Probabilità nell'estrazione senza reimbussolamento

Calcolo dei limiti di successioni razionali

Determinazione della composizione di due funzioni

Risoluzione di semplici equazioni trigonometriche

Determinazione dei punti comuni tra una retta e una circonferenza

Determinazione dell'equazione della tangente alla circonferenza in un punto

Altri tipi di esercizi

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