Polski
Program nauczania (Polska)

Matematyka — klasa 3 liceum i technikum

Matematyka w klasie 3 liceum i technikum: ciągi arytmetyczne i geometryczne, trygonometria z miarą łukową, geometria analityczna — proste, okręgi, wektory — kombinatoryka i prawdopodobieństwo. Do każdego tematu gotowe zadania do druku.

Wygeneruj arkusz z tego zakresu

Czego uczy się uczeń z matematyki w klasie 3 liceum?

W klasie 3 uczeń bada ciągi: wyznacza wyrazy, sumy ciągów arytmetycznych i geometrycznych, a w zakresie rozszerzonym granice i szereg geometryczny. Poznaje miarę łukową, funkcje okresowe i równania trygonometryczne. W geometrii analitycznej wyznacza równania prostych i okręgów, punkty wspólne prostej i okręgu, styczne i działania na wektorach. Z kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa liczy zdarzenia z regułą mnożenia, dwumianem Newtona i prawdopodobieństwem klasycznym.

Ważne o podstawie programowej: podstawa dla liceum i technikum jest sformułowana blokowo — opisuje, co uczeń umie na koniec szkoły średniej, osobno w zakresie podstawowym i rozszerzonym. Przypisanie tematu do klasy to nasza decyzja według typowego rozkładu materiału; w sekcji „Zakres programowy” widzisz punkty podstawy z cytatami.

Stan strony: zadania tej klasy są gotowe w postaci bez fabuły (samo polecenie i wzór); zadania z rysunkiem, dowody i fabuły dochodzą w kolejnych krokach.

Zakres programowy

  1. Punkt podstawy MAT.LO.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

  3. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

  5. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

  6. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

  9. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

  10. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

  11. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.2.a · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.2.b · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Punkt podstawy MAT.LO.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Punkt podstawy MAT.LO.2.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

  15. Punkt podstawy MAT.LO.2.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

  16. Punkt podstawy MAT.LO.2.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

  17. Punkt podstawy MAT.LO.2.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

  18. Punkt podstawy MAT.LO.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.1 · Treści nauczania

    przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

  20. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

  21. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

  22. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

  23. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

  24. Punkt podstawy MAT.LO.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Punkt podstawy MAT.LO.4.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

  26. Punkt podstawy MAT.LO.4.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Punkt podstawy MAT.LO.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

  30. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

  34. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

  36. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

  38. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

  39. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.12 · Treści nauczania

    na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

  40. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.13 · Treści nauczania

    posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

  41. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.14 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

  42. Punkt podstawy MAT.LO.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

    Obliczanie wyrazów ciągu ze wzoru ogólnego i rekurencji (u nas w klasie 11)

  44. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

    Obliczanie wyrazów ciągu ze wzoru ogólnego i rekurencji (u nas w klasie 11)

  45. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

    Obliczanie n-tego wyrazu i sumy ciągu arytmetycznego (u nas w klasie 11) · Obliczanie wyrazów i sumy ciągu geometrycznego (u nas w klasie 11)

  47. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

    Obliczanie n-tego wyrazu i sumy ciągu arytmetycznego (u nas w klasie 11)

  48. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

    Obliczanie wyrazów i sumy ciągu geometrycznego (u nas w klasie 11)

  49. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

    Obliczanie n-tego wyrazu i sumy ciągu arytmetycznego (u nas w klasie 11) · Obliczanie wyrazów i sumy ciągu geometrycznego (u nas w klasie 11)

  50. Punkt podstawy MAT.LO.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Punkt podstawy MAT.LO.7.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

  52. Punkt podstawy MAT.LO.7.P.2 · Treści nauczania

    korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

  53. Punkt podstawy MAT.LO.7.P.3 · Treści nauczania

    stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

  54. Punkt podstawy MAT.LO.7.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

  55. Punkt podstawy MAT.LO.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

  57. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

  58. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

  61. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

  62. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

  63. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

  65. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

  66. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.12 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

  68. Punkt podstawy MAT.LO.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

    Równania prostych: prostopadłość i punkt przecięcia (u nas w klasie 11)

  70. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

    Równania prostych: prostopadłość i punkt przecięcia (u nas w klasie 11)

  71. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

    Obliczanie odległości punktów na płaszczyźnie (u nas w klasie 11)

  72. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.4 · Treści nauczania

    posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

    Wyznaczanie środka i promienia okręgu z równania (u nas w klasie 11)

  73. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Punkt podstawy MAT.LO.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Punkt podstawy MAT.LO.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Punkt podstawy MAT.LO.11.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

    Zliczanie możliwości: reguła mnożenia i permutacje (u nas w klasie 11)

  83. Punkt podstawy MAT.LO.11.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

    Zliczanie możliwości: reguła mnożenia i permutacje (u nas w klasie 11)

  84. Punkt podstawy MAT.LO.11.P.2.a · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

    Zliczanie możliwości: reguła mnożenia i permutacje (u nas w klasie 11)

  85. Punkt podstawy MAT.LO.11.P.2.b · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

    Zliczanie możliwości: reguła mnożenia i permutacje (u nas w klasie 11)

  86. Punkt podstawy MAT.LO.12 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Punkt podstawy MAT.LO.12.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

    Prawdopodobieństwo w prostych doświadczeniach (u nas w klasie 11) · Prawdopodobieństwo w losowaniu bez zwracania (u nas w klasie 11) · Obliczanie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń (u nas w klasie 11)

  88. Punkt podstawy MAT.LO.12.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Punkt podstawy MAT.LO.13 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Punkt podstawy MAT.LO.13.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

  91. Punkt podstawy MAT.LO.WO.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Punkt podstawy MAT.LO.WO.1.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Punkt podstawy MAT.LO.WO.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Punkt podstawy MAT.LO.WO.2.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Punkt podstawy MAT.LO.WO.2.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3.3 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3.4 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4.3 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4.4 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Umiejętności krok po kroku

Zliczanie możliwości: reguła mnożenia i permutacje

Uczeń oblicza liczbę możliwych ustawień i wyborów, stosując reguły mnożenia i dodawania, permutacje oraz wariacje w zadaniach o cyfrach czy podziale nagród.

Punkt podstawy MAT.LO.11.P.1 zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych
Punkt podstawy MAT.LO.11.P.2 zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:
Punkt podstawy MAT.LO.11.P.2.a obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2
Punkt podstawy MAT.LO.11.P.2.b obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

Uczeń w klasie 3 liceum i technikum analizuje sytuacje kombinatoryczne i wyznacza liczbę możliwych wyników bez konieczności wypisywania wszystkich przypadków. Stosuje regułę mnożenia oraz dodawania w procesach wieloetapowych, oblicza liczbę permutacji zbioru skończonego przy ustawianiu obiektów w określonym porządku oraz posługuje się wariacjami, gdy wybiera określoną liczbę elementów z przypisaniem ich do konkretnych miejsc.

Częstym błędem jest nieuwzględnienie warunków brzegowych na poszczególnych etapach wyboru. Uczniowie zapominają na przykład, że pierwsza cyfra tworzonej liczby nie może być zerem, albo nie biorą pod uwagę, że parzystość zależy wyłącznie od ostatniej cyfry. Jeśli dane zadanie wymaga, aby konkretna cyfra wystąpiła tylko raz, pomyłki wynikają z niewłaściwego rozdzielenia etapów: zamiast najpierw ustalić pozycję cyfry wyróżnionej, uczeń bezrefleksyjnie mnoży dostępne możliwości.

Zadania ćwiczące tę umiejętność opierają się na modelach losowania i porządkowania. Uczeń rozwiązuje zadania polegające na wyznaczeniu liczby sposobów na ustawienie osób w kolejce (permutacje), podziale wyróżnionych pucharów lub miejsc (wariacje — rozdanie nagród) oraz tworzeniu liczb parzystych lub nieparzystych o zadanej liczbie cyfr, w których wskazana cyfra pojawia się dokładnie jeden raz.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Permutacje — ustawienie w kolejce · Wariacje — rozdanie nagród · Liczby nieparzyste z cyfrą występującą raz · Liczby parzyste z cyfrą występującą raz

Prawdopodobieństwo w prostych doświadczeniach

Uczeń oblicza szansę zajścia zdarzenia w pojedynczym losowaniu, takim jak rzut kostką czy wyciągnięcie kuli z pudełka, zapisując wynik w postaci ułamka.

Punkt podstawy MAT.LO.12.P.1 oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

Na tym etapie uczeń wyznacza prawdopodobieństwo klasyczne w pojedynczych doświadczeniach losowych o skończonej liczbie jednakowo prawdopodobnych wyników. Potrafi poprawnie zliczyć wszystkie możliwe rezultaty danego zdarzenia, wyodrębnić te, które spełniają podany warunek (wyniki sprzyjające), a następnie przedstawić szansę zajścia zdarzenia jako iloraz tych dwóch wartości.

Typowym błędem jest niepoprawne wyznaczanie liczby wyników sprzyjających. Uczniowie często pomijają niektóre możliwości przy sprawdzaniu cech liczb (na przykład zapominają, że liczba 2 jest liczbą pierwszą) lub mylą liczbę zdarzeń sprzyjających z całkowitą liczbą elementów w zbiorze. Zdarza się również błędne utożsamianie prawdopodobieństwa z samą liczbą pasujących wyników zamiast zapisania go w postaci ułamka.

W praktyce zadania polegają na analizie konkretnej sytuacji losowej:

  • Rzut kostką – na przykład obliczenie szansy wyrzucenia liczby oczek będącej liczbą pierwszą lub większą od zadanej wartości,
  • Losowanie kuli z pudełka – obliczenie prawdopodobieństwa wyciągnięcia kuli o określonym kolorze przy podanej liczbie kul każdego rodzaju,
  • Losowanie kartki z liczbą – wyznaczenie szansy wylosowania kartonika z liczbą spełniającą określony warunek, np. podzielną przez 3.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Losowanie kuli z pudełka · Rzut kostką · Losowanie kartki z liczbą

Równania prostych: prostopadłość i punkt przecięcia

Uczeń wyznacza punkt przecięcia dwóch prostych, tworzy równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez punkt oraz odczytuje współczynnik kierunkowy z postaci ogólnej.

Punkt podstawy MAT.LO.9.P.1 rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje
Punkt podstawy MAT.LO.9.P.2 posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

W ramach geometrii analitycznej uczeń przekształca równanie ogólne prostej do postaci kierunkowej, aby precyzyjnie odczytać jej współczynnik kierunkowy. Na tej podstawie potrafi wyznaczyć warunek prostopadłości i zapisać równanie prostej prostopadłej przechodzącej przez wskazany punkt o znanych współrzędnych. Wyznacza także algebraicznie współrzędne punktu przecięcia dwóch prostych na płaszczyźnie.

Najczęstszym problemem przy wyznaczaniu prostej prostopadłej jest mylenie pojęć liczby przeciwnej i odwrotnej — uczniowie często biorą jedynie odwrotność współczynnika kierunkowego (np. zamieniają liczbę 3 na 1/3 zamiast na -1/3). Trudność sprawia również poprawne dzielenie przez współczynnik stojący przy zmiennej y podczas przekształcania równania ogólnego, zwłaszcza gdy współczynnik ten ma znak ujemny.

Ćwiczenia sprawdzające tę umiejętność obejmują typowe zadania rachunkowe:

  • Współczynnik kierunkowy z równania ogólnego — przekształcenie wzoru prostej i odczytanie jej nachylenia;
  • Prosta prostopadła przez punkt — znalezienie nowego równania prostej spełniającej warunek prostopadłości i przechodzącej przez zadany punkt;
  • Punkt przecięcia prostych — wyznaczenie pary liczb będącej wspólnym rozwiązaniem równań dwóch prostych.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Współczynnik kierunkowy z równania ogólnego · Prosta prostopadła przez punkt · Punkt przecięcia prostych

Obliczanie odległości punktów na płaszczyźnie

Uczeń oblicza odległość między dwoma punktami w układzie współrzędnych, wykorzystując geometryczną zależność z twierdzenia Pitagorasa.

Punkt podstawy MAT.LO.9.P.3 oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

W ramach geometrii analitycznej uczeń wyznacza odległość między dwoma punktami o danych współrzędnych liczbowych. Odcinek łączący te punkty traktuje jako przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne wynikają bezpośrednio z różnic współrzędnych na osiach liczbowych. Na tej podstawie uczeń stosuje twierdzenie Pitagorasa do obliczenia dokładnej długości odcinka.

Typowym problemem na tym etapie są błędy rachunkowe przy odejmowaniu liczb ujemnych podczas wyznaczania długości przyprostokątnych (np. odejmowanie współrzędnej ujemnej od dodatniej). Uczniowie miewają również tendencję do zapominania o wyciągnięciu pierwiastka kwadratowego na samym końcu obliczeń, pozostawiając jako wynik kwadrat odległości.

W praktyce, w zadaniach takich jak Odległość punktów z twierdzenia Pitagorasa oraz Odległość punktów, uczeń otrzymuje współrzędne dwóch punktów i wyznacza odległość między nimi. Zadania mogą wymagać zilustrowania pomocniczego trójkąta w układzie współrzędnych lub bezpośredniego obliczenia długości odcinka z ewentualnym wyłączeniem czynnika przed znak pierwiastka.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Odległość punktów · Odległość punktów z twierdzenia Pitagorasa

Obliczanie n-tego wyrazu i sumy ciągu arytmetycznego

Uczeń wyznacza dowolny wyraz ciągu arytmetycznego na podstawie wzoru ogólnego oraz oblicza sumę określonej liczby jego początkowych wyrazów.

Punkt podstawy MAT.LO.6.P.4 sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny
Punkt podstawy MAT.LO.6.P.5 stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
Punkt podstawy MAT.LO.6.P.7 wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

W klasie 3 liceum i technikum uczeń sprawnie posługuje się własnościami ciągu arytmetycznego. Potrafi wyznaczyć wartość dowolnego, wskazanego wyrazu na podstawie pierwszego wyrazu oraz różnicy ciągu, a także obliczyć sumę określonej liczby kolejnych początkowych wyrazów.

Częstym problemem na tym etapie bywa mylenie numeru wyrazu z jego faktyczną wartością (czyli indeksu n z wyrazem an). Błędy pojawiają się także przy ciągach malejących, gdzie różnica ciągu jest liczbą ujemną, co prowadzi do pomyłek w znakach podczas podstawiania danych do wzoru na sumę.

Zadania ćwiczące tę umiejętność występują w dwóch czytelnych formach:

  • Ciąg arytmetyczny — n-ty wyraz: uczeń otrzymuje początkowe dane ciągu i oblicza konkretny, odległy wyraz (np. dziesiąty lub dwudziesty).
  • Ciąg arytmetyczny — suma wyrazów: zadanie polega na zsumowaniu ustalonej liczby pierwszych wyrazów danego ciągu z wykorzystaniem odpowiedniego wzoru.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Ciąg arytmetyczny — n-ty wyraz · Ciąg arytmetyczny — suma wyrazów

Obliczanie wyrazów i sumy ciągu geometrycznego

Uczeń wyznacza dowolny wyraz ciągu geometrycznego oraz oblicza sumę jego początkowych wyrazów na podstawie podanych danych.

Punkt podstawy MAT.LO.6.P.4 sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny
Punkt podstawy MAT.LO.6.P.6 stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego
Punkt podstawy MAT.LO.6.P.7 wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

W klasie 3 liceum i technikum uczeń opanowuje reguły rządzące ciągiem geometrycznym. Na podstawie pierwszego wyrazu oraz ilorazu potrafi wyznaczyć wzór ogólny i obliczyć wartość dowolnego, n-tego wyrazu. Korzysta także ze wzoru na sumę n początkowych wyrazów ciągu, sprawnie łącząc mnożenie przez stały iloraz z potęgowaniem.

Częstym problemem bywa mylenie ilorazu ciągu geometrycznego z różnicą ciągu arytmetycznego — uczniowie odruchowo dodają stałą wartość zamiast mnożyć kolejne wyrazy. Trudności sprawia także kolejność działań oraz potęgowanie ułamków i liczb ujemnych, co prowadzi do błędów ze znakiem przy obliczaniu wartości potęgi we wzorze na sumę.

Zadania do druku obejmują szablony:

  • Ciąg geometryczny — n-ty wyraz: obliczanie wskazanego wyrazu lub ilorazu na podstawie danych początkowych;
  • Ciąg geometryczny — suma wyrazów: wyznaczanie sumy określonej liczby pierwszych wyrazów ciągu.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Ciąg geometryczny — n-ty wyraz · Ciąg geometryczny — suma wyrazów

Obliczanie wyrazów ciągu ze wzoru ogólnego i rekurencji

Uczeń oblicza konkretne wyrazy ciągu liczbowego na podstawie podanego wzoru ogólnego lub zależności rekurencyjnej.

Punkt podstawy MAT.LO.6.P.1 oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym
Punkt podstawy MAT.LO.6.P.2 oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

W klasie 3 liceum i technikum uczeń sprawnie wyznacza wartości wskazanych wyrazów ciągu liczbowego. Potrafi podstawić numer pozycji n do wzoru ogólnego, aby bezpośrednio obliczyć wynik, a także wyznaczać kolejne liczby w ciągu na podstawie wzoru rekurencyjnego, korzystając ze znajomości wyrazów poprzednich.

Typową trudnością jest mylenie indeksu wyrazu z jego wartością — na przykład mylenie oznaczenia poprzedniego wyrazu z odejmowaniem jedynki od wartości bieżącego wyrazu. Przy ciągach rekurencyjnych wyzwaniem bywa też dyscyplina rachunkowa: drobny błąd arytmetyczny popełniony na początku obliczeń przenosi się lawinowo na wszystkie dalsze wyrazy.

Ćwiczenia opierają się na dwóch rodzajach zadań:

  • Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego — uczeń otrzymuje bezpośredni przepis na ciąg i oblicza konkretną wartość (np. piąty lub dziesiąty wyraz), wstawiając odpowiednią liczbę naturalną w miejsce n;
  • Wyraz ciągu rekurencyjnego — mając dany wyraz początkowy oraz regułę tworzenia następnych kroków, uczeń stopniowo wylicza kolejne elementy ciągu, aż dotrze do poszukiwanego wyrazu.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego · Wyraz ciągu rekurencyjnego

Obliczanie i stosowanie symbolu Newtona

Uczeń uczy się obliczać wartość symbolu Newtona za pomocą silni oraz stosować go do wyznaczania liczby sposobów wyboru grupy osób lub elementów.

W klasie 3 uczeń poznaje symbol Newtona i uczy się sprawnie wyznaczać jego wartość liczbową. Opanowuje rozwijanie i skracanie ułamków zawierających silnie, co pozwala na szybkie rachunki bez konieczności wymnażania wielkich liczb. Wykorzystuje ten zapis do opisu sytuacji, w których wybiera się podzbiór elementów bez zwracania uwagi na ich kolejność.

Typowym błędem na tym etapie jest mylenie sytuacji, w których kolejność ma znaczenie, z sytuacjami, w których ważny jest tylko sam skład grupy. W efekcie uczniowie często zapominają o podzieleniu iloczynu przez silnię liczby wybieranych elementów. Często pojawiają się również pomyłki rachunkowe podczas skracania mianownika ułamka.

W praktyce ćwiczenia na tę umiejętność obejmują dwa typy zadań:

  • Wartość symbolu Newtona — czysto rachunkowe obliczanie wartości podanego symbolu poprzez upraszczanie iloczynów liczb;
  • Wybór delegacji — zadania z treścią polegające na obliczeniu, na ile sposobów można wybrać mniejszą grupę (np. kilkuosobową reprezentację) z większego zbioru osób lub przedmiotów.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wartość symbolu Newtona · Wybór delegacji

Zamiana stopni na radiany i radianów na stopnie

Uczeń sprawnie przelicza miarę kąta podaną w stopniach na radiany oraz zamienia miarę wyrażoną w radianach na stopnie.

W klasie 3 uczeń poznaje miarę łukową kąta jako alternatywny sposób określania rozwartości kąta. Na tym etapie opanowuje swobodne przechodzenie między stopniami a radianami, opierając się na podstawowej zależności, że kąt o mierze 180° odpowiada π radianom. Wykorzystuje proporcje oraz mnożenie przez odpowiedni ułamek, aby wyznaczyć dokładną wartość kąta w nowej jednostce.

Typowym problemem jest odwracanie wzoru przeliczeniowego. Uczniowie często mylą, kiedy należy pomnożyć przez π/180°, a kiedy przez 180°/π, co prowadzi do błędnego wyniku z podwójną liczbą π lub jej brakiem. Kłopotliwe bywa także poprawne skracanie powstałych ułamków zwykłych do najprostszej postaci.

Ćwiczenia opierają się na dwóch rodzajach poleceń: w zadaniach Stopnie na radiany uczeń przekształca podany kąt (np. 45° lub 120°) na postać ułamka z symbolem π. W zadaniach Radiany na stopnie wykonuje operację odwrotną, zastępując π wartością 180° i obliczając końcową miarę w stopniach.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Radiany na stopnie · Stopnie na radiany

Określanie okresu i amplitudy sinusoidy

Uczeń uczy się wyznaczać okres podstawowy oraz największą wartość funkcji sinus na podstawie jej wzoru lub wykresu.

W klasie 3 liceum i technikum uczniowie analizują wykresy i wzory funkcji trygonometrycznych z wykorzystaniem miary łukowej kąta. W ramach tej umiejętności określają dwa kluczowe parametry sinusoidy: jej okres (długość powtarzającego się cyklu) oraz amplitudę, czyli odchylenie od osi środkowej powiązane z największą osiąganą wartością.

Częstym błędem jest mylenie wpływu poszczególnych współczynników we wzorze funkcji na jej kształt. Uczniowie nierzadko utożsamiają liczbę stojącą przy argumencie bezpośrednio z okresem, zamiast obliczyć go ze wzoru uwzględniającego powtarzalność co 2π, lub mylą rozciągnięcie wykresu w pionie z jego zwężeniem w poziomie.

Zadania do druku z tego zakresu obejmują dwa typowe formaty ćwiczeń:

  • Okres sinusoidy — uczeń oblicza lub odczytuje długość cyklu funkcji o przekształconym argumencie;
  • Największa wartość sinusoidy — uczeń wskazuje maksymalną wartość, jaką funkcja przyjmuje, analizując jej amplitudę i przesunięcie pionowe.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Największa wartość sinusoidy · Okres sinusoidy

Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu

Uczeń oblicza miary kątów w czworokącie wpisanym w okrąg oraz długości boków w czworokącie opisanym na okręgu, stosując zależności między przeciwległymi elementami figury.

Uczeń w klasie 3 liceum i technikum potrafi wyznaczać brakujące wielkości w czworokątach powiązanych z okręgiem. W przypadku figury wpisanej w okrąg korzysta z reguły, że suma miar przeciwległych kątów wynosi 180°. Gdy czworokąt jest opisany na okręgu, uczeń stosuje zależność mówiącą, że sumy długości przeciwległych par boków są sobie równe.

Najczęstszym problemem jest mylenie tych dwóch własności lub stosowanie ich do sąsiednich elementów figury zamiast do leżących naprzeciwko. Uczniowie omyłkowo sumują do 180° kąty leżące przy jednym boku lub zrównują ze sobą sumy boków przyległych, co prowadzi do błędnego ułożenia równania.

W praktyce zadania polegają na odczytaniu danych z rysunku lub treści polecenia i obliczeniu brakującej wartości. W szablonie Kąt w czworokącie wpisanym uczeń wyznacza nieznaną miarę kąta, a w zadaniu Bok czworokąta opisanego na okręgu oblicza długość czwartego boku na podstawie trzech podanych odcinków.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Bok czworokąta opisanego na okręgu · Kąt w czworokącie wpisanym

Wyznaczanie środka i promienia okręgu z równania

Uczeń uczy się odczytywać współrzędne środka oraz długość promienia okręgu bezpośrednio z jego równania w postaci kanonicznej.

Punkt podstawy MAT.LO.9.P.4 posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

Na tym etapie uczeń analizuje równanie okręgu i wyznacza na jego podstawie dwa podstawowe parametry: współrzędne punktu będącego środkiem okręgu oraz długość jego promienia. Sprawnie łączy algebraiczny zapis zależności między zmiennymi z jego geometrycznym znaczeniem w układzie współrzędnych.

Typowym problemem jest mylenie znaków przy wyznaczaniu współrzędnych środka. We wzorze występuje odejmowanie, dlatego obecność plusa w nawiasie oznacza ujemną współrzędną, o czym uczniowie często zapominają. Częstym błędem jest również utożsamianie prawej strony równania bezpośrednio z promieniem zamiast z jego kwadratem – na przykład wpisywanie promienia równego 25 zamiast 5.

Zadania mają formę bezpośredniej analizy zapisanego równania. W ćwiczeniu Środek okręgu z równania zadaniem ucznia jest poprawne podanie pary współrzędnych punktu centralnego, natomiast w zadaniu Promień okręgu z równania wyznacza on właściwą długość promienia poprzez spierwiastkowanie liczby stojącej po prawej stronie znaku równości.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Promień okręgu z równania · Środek okręgu z równania

Długość i działania na wektorach

Uczeń oblicza długość wektora na płaszczyźnie na podstawie jego współrzędnych oraz wyznacza współrzędne wektorów będących wynikiem dodawania, odejmowania i mnożenia przez liczbę.

W klasie 3 liceum i technikum uczeń pracuje z wektorami w układzie współrzędnych. Sprawnie wyznacza długość wektora, korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla jego współrzędnych, a także wykonuje podstawowe operacje: dodaje i odejmuje wektory oraz mnoży je przez liczby rzeczywiste, tworząc ich kombinacje liniowe.

Częstym błędem jest gubienie znaków przy potęgowaniu ujemnych współrzędnych podczas obliczania długości wektora. Uczniowie zapisują na przykład -32 = -9 zamiast (-3)2 = 9, co prowadzi do błędnych wyników pod pierwiastkiem. Trudność sprawia także poprawne odejmowanie wektorów, gdy współrzędne zawierają liczby ujemne i łatwo o pomyłkę przy redukcji podwójnego minusa.

Zadania z tego zakresu występują w dwóch głównych formach:

  • Długość wektora – uczeń otrzymuje współrzędne wektora i oblicza jego wartość liczbową, nierzadko upraszczając wyrażenia pierwiastkowe;
  • Kombinacja wektorów – uczeń wyznacza współrzędne nowego wektora opisanego wzorem algebraicznym, na przykład 2a - 3b, operując bezpośrednio na współrzędnych danych wektorów.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Długość wektora · Kombinacja wektorów

Obliczanie sumy szeregu geometrycznego

Uczeń sprawdza warunek zbieżności i oblicza sumę nieskończonego ciągu liczb za pomocą wzoru na sumę szeregu geometrycznego.

W klasie 3 szkoły ponadpodstawowej uczeń poznaje pojęcie szeregu geometrycznego, czyli sumy nieskończenie wielu kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego. Uczy się oceniać, kiedy taka suma w ogóle daje skończoną liczbę — sprawdza, czy iloraz ciągu spełnia warunek |q| < 1 — a następnie oblicza jej dokładną wartość za pomocą wzoru wykorzystującego pierwszy wyraz oraz iloraz.

Typowym problemem jest mechaniczne stosowanie wzoru bez zweryfikowania, czy szereg jest zbieżny. Uczniowie próbują obliczać sumę także wtedy, gdy iloraz wynosi na przykład 2 lub -3, co prowadzi do błędnych wniosków. Częstym potknięciem są również błędy rachunkowe przy ujemnym ilorazie, gdzie w mianowniku pojawia się odejmowanie liczby ujemnej (1 - q).

W zadaniach z szablonu Suma szeregu geometrycznego uczeń otrzymuje najczęściej ciąg ułamków lub liczb całkowitych (np. 1/2, 1/4, 1/8...) zapisany jako nieskończona suma, z poleceniem ustalenia ilorazu, zbadania możliwości zsumowania i wyznaczenia ostatecznego wyniku liczbowego.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń

Uczeń oblicza prawdopodobieństwo zajścia przynajmniej jednego z dwóch zdarzeń, korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń i uwzględniając ich część wspólną.

Punkt podstawy MAT.LO.12.P.1 oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

Uczeń w klasie 3 liceum i technikum wyznacza szansę na to, że zajdzie przynajmniej jedno z dwóch zdarzeń losowych. Wykorzystuje do tego zależność łączącą prawdopodobieństwo sumy zdarzeń z prawdopodobieństwami poszczególnych zdarzeń oraz ich iloczynu: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).

Najczęstszym błędem jest mechaniczne dodawanie wartości P(A) i P(B) z pominięciem odjęcia części wspólnej P(A ∩ B). Uczniowie zapominają sprawdzić, czy zdarzenia mogą zajść jednocześnie, przez co podwójnie zliczają te same wyniki losowania, co nierzadko prowadzi do błędnego rezultatu przekraczającego 1.

Zadania z szablonu Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń wymagają obliczenia brakującego prawdopodobieństwa na podstawie danych liczbowych podanych wprost lub w treści zadania o losowaniu liczb, kart czy rzutach kostką, gdzie uczeń musi samodzielnie ustalić prawdopodobieństwa składowe i część wspólną obu sytuacji.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Prawdopodobieństwo w losowaniu bez zwracania

Uczeń oblicza prawdopodobieństwo zdarzeń losowych, stosując reguły kombinatoryki do wieloetapowych doświadczeń, takich jak losowanie kul z urny bez zwracania.

Punkt podstawy MAT.LO.12.P.1 oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

Uczeń łączy definicję prawdopodobieństwa klasycznego z metodami kombinatoryki. Na tym etapie potrafi poprawnie wyznaczyć liczbę wszystkich możliwych wyników doświadczenia oraz liczbę zdarzeń sprzyjających w sytuacjach, gdy obiekty są wybierane partiami lub kolejno bez odkładania ich z powrotem do puli.

Częstym błędem jest nieuwzględnienie faktu, że po każdym kroku zmniejsza się liczba dostępnych elementów w zbiorze. Uczniowie bywają skłonni traktować kolejne etapy tak, jakby losowali ze zwracaniem, albo mają trudność z rozstrzygnięciem, czy kolejność losowania obiektów ma znaczenie przy zliczaniu kombinacji sprzyjających.

Zadania ćwiczące tę umiejętność wykorzystują model losowania kul bez zwracania. Uczeń analizuje zawartość pojemnika zawierającego kule w różnych kolorach i oblicza szansę na wyciągnięcie określonego zestawu — na przykład wylosowanie dokładnie dwóch kul jednego koloru lub kul o różnych barwach.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie granic ciągów wymiernych

Uczeń uczy się wyznaczać granicę ciągu określonego wyrażeniem ułamkowym (wymiernym), badając zachowanie jego wyrazów, gdy wskaźnik dąży do nieskończoności.

W klasie 3 liceum i technikum uczeń ćwiczy wyznaczanie granicy ciągu, którego wyrazy są opisane ułamkiem z wielomianami zmiennej n w liczniku i mianowniku. Zadanie polega na określeniu, do jakiej wartości dążą kolejne wyrazy ciągu, gdy n staje się dowolnie duże. Uczeń stosuje technikę wyłączania najwyższej potęgi n przed nawias w liczniku i mianowniku, co pozwala sprowadzić ułamek do czytelnej postaci.

Częstym błędem jest próba bezpośredniego wstawiania nieskończoności do wzoru i wykonywania na niej zwykłych działań, co prowadzi do błędnych wniosków przy wyrażeniach nieoznaczonych. Uczniowie miewają też trudności z poprawnym dzieleniem każdego składnika sumy przez wyłączoną potęgę lub zapominają, że ułamki mające n w mianowniku dążą przy rosnącym wskaźniku do zera.

Zadania z szablonu Granica ciągu wymiernego polegają na obliczeniu granicy konkretnego ułamka algebraicznego. Uczeń przekształca podany wzór ciągu, redukuje potęgi i zapisuje ostateczną wartość liczbową granicy bądź określa, że ciąg jest rozbieżny do nieskończoności.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Wyznaczanie złożenia dwóch funkcji

Uczeń uczy się tworzyć nową funkcję poprzez wstawienie wzoru jednej funkcji w miejsce argumentu drugiej oraz obliczać wartości takiego złożenia.

Na tym etapie uczeń potrafi wyznaczyć wzór funkcji złożonej, stosując operację składania dwóch funkcji, takich jak f(g(x)) lub g(f(x)). Rozumie, że wartość zwracana przez funkcję wewnętrzną staje się argumentem wejściowym dla funkcji zewnętrznej, i potrafi na tej podstawie wyznaczyć ostateczną postać algebraiczną nowej funkcji.

Typowym błędem jest mylenie kolejności składania i traktowanie operacji f(g(x)) tak samo jak g(f(x)), podczas gdy składanie funkcji na ogół nie jest przemienne. Uczniowie często zapominają również o ujęciu podstawianego wyrażenia w nawias, co prowadzi do błędów ze znakami lub gubienia potęg przy zastępowaniu zmiennej x całym wzorem funkcji wewnętrznej.

Zadania z szablonu Złożenie funkcji wymagają najczęściej wyznaczenia ogólnego wzoru złożenia dwóch podanych funkcji algebraicznych bądź obliczenia konkretnej wartości liczbowej dla wskazanego argumentu, na przykład wartości wyrażenia f(g(3)).

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych

Uczeń rozwiązuje proste równania z funkcjami trygonometrycznymi, wyznaczając kąty w mierze łukowej lub stopniowej z uwzględnieniem ich okresowości.

W klasie 3 uczeń rozwiązuje bazowe równania z pojedynczą funkcją trygonometryczną, taką jak sinus, cosinus lub tangens (na przykład sin x = 1/2 czy tg x = 1). Odczytuje wartości kątów, posługując się miarą łukową wyrażoną za pomocą liczby π lub miarą stopniową, i zapisuje pełne serie rozwiązań z uwzględnieniem okresowości funkcji.

Typowym problemem na tym etapie jest podanie tylko jednego kąta zamiast dwóch w ramach jednego okresu — na przykład wskazanie kąta π/6 dla sinusa równego 1/2 i przeoczenie wartości 5π/6. Uczniowie często mylą także okresy funkcji, dopisując błędnie + 2kπ do tangensa zamiast + kπ, albo całkowicie pomijają symbol całkowitego parametru k.

Zadania z szablonu Równanie trygonometryczne wymagają najczęściej przekształcenia podanego wyrażenia do postaci elementarnej, a następnie wyznaczenia wszystkich pasujących rozwiązań w zadanym przedziale (np. od 0 do 2π) lub podania ogólnej formuły na wszystkie liczby spełniające równanie.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Wyznaczanie punktów wspólnych prostej i okręgu

Uczeń uczy się wyznaczać współrzędne punktów przecięcia lub styczności prostej z okręgiem oraz określać liczbę ich punktów wspólnych.

W ramach geometrii analitycznej uczeń łączy algebrę z geometrią, aby ustalić wzajemne położenie prostej i okręgu. Rozwiązując układ równania liniowego z kwadratowym, potrafi sprawdzić, czy prosta przecina okrąg w dwóch punktach, jest do niego styczna, czy nie ma z nim punktów wspólnych, a także oblicza dokładne współrzędne tych punktów w układzie współrzędnych.

Częstym problemem są błędy rachunkowe podczas podstawiania wyznaczonej zmiennej z równania prostej do równania okręgu. Uczniowie mylą się przy stosowaniu wzorów skróconego mnożenia (zwłaszcza przy minusach) oraz nierzadko poprzestają na wyliczeniu samych pierwszych współrzędnych x, zapominając o obliczeniu odpowiadających im wartości y.

Typowe zadania z szablonu Punkty wspólne okręgu i prostej podają równanie prostej oraz równanie okręgu w postaci algebraicznej. Zadaniem ucznia jest rozwiązanie układu równań, określenie liczby rozwiązań oraz podanie par liczb stanowiących współrzędne punktów wspólnych.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Wyznaczanie równania stycznej do okręgu w punkcie

Uczeń wyznacza równanie prostej stycznej do okręgu w zadanym punkcie leżącym na tym okręgu, korzystając z metod geometrii analitycznej w układzie współrzędnych.

W ramach geometrii analitycznej w klasie 3 uczeń potrafi wyznaczyć równanie prostej stycznej do okręgu w punkcie, który do niego należy. Zadanie opiera się na powiązaniu równania okręgu z własnościami prostych: uczeń ustala współrzędne środka okręgu, wyznacza prostą zawierającą promień łączący środek z punktem styczności, a następnie tworzy równanie prostej prostopadłej do tego promienia.

Typowym błędem przy tym zagadnieniu jest pomyłka w wyznaczaniu współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej (na przykład zmiana znaku bez odwrócenia liczby) lub błędne odczytanie współrzędnych środka okręgu z jego równania, szczególnie gdy we wzorze pojawiają się znaki ujemne. Problemem bywa także sytuacja, w której styczna jest prostą pionową — uczeń próbuje wtedy na siłę zapisać ją w postaci kierunkowej zamiast w postaci x = c.

W praktyce, w zadaniach typu Styczna do okręgu w punkcie, uczeń otrzymuje algebraiczne równanie okręgu oraz współrzędne punktu styczności. Jego celem jest przeprowadzenie obliczeń prowadzących do podania ostatecznego równania prostej stycznej w postaci kierunkowej lub ogólnej.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Szablony zadań do druku

Wszystkie typy zadań, pogrupowane według umiejętności. Kliknięcie otwiera generator z wybranym już typem.

Zliczanie możliwości: reguła mnożenia i permutacje

Prawdopodobieństwo w prostych doświadczeniach

Równania prostych: prostopadłość i punkt przecięcia

Obliczanie odległości punktów na płaszczyźnie

Obliczanie n-tego wyrazu i sumy ciągu arytmetycznego

Obliczanie wyrazów i sumy ciągu geometrycznego

Obliczanie wyrazów ciągu ze wzoru ogólnego i rekurencji

Obliczanie i stosowanie symbolu Newtona

Zamiana stopni na radiany i radianów na stopnie

Określanie okresu i amplitudy sinusoidy

Czworokąty wpisane w okrąg i opisane na okręgu

Wyznaczanie środka i promienia okręgu z równania

Długość i działania na wektorach

Obliczanie sumy szeregu geometrycznego

Obliczanie prawdopodobieństwa sumy zdarzeń

Prawdopodobieństwo w losowaniu bez zwracania

Obliczanie granic ciągów wymiernych

Wyznaczanie złożenia dwóch funkcji

Rozwiązywanie prostych równań trygonometrycznych

Wyznaczanie punktów wspólnych prostej i okręgu

Wyznaczanie równania stycznej do okręgu w punkcie

Pozostałe typy zadań

Wygeneruj arkusz z tego zakresu