Français
Programme scolaire (États-Unis)

Mathématiques — 9e année

Mathématiques de 9e année selon les normes du Common Core State Standards, généralement Algèbre I : équations linéaires, inéquations et systèmes, fonctions linéaires et quadratiques, factorisation, exposants rationnels, suites et fonctions exponentielles. Chaque thème comprend des fiches d'exercices à imprimer.

Créer une fiche pour ce programme

Qu'apprennent les élèves en mathématiques en 9e année ?

En 9e année, les élèves résolvent des équations linéaires, des inéquations et des systèmes, écrivent des fonctions linéaires à partir de deux points et interprètent le taux de variation moyen. Ils factorisent des polynômes, utilisent des produits remarquables et des exposants rationnels, résolvent des équations quadratiques et travaillent avec la forme canonique d'une fonction quadratique. Les suites arithmétiques et géométriques, les fonctions exponentielles, la composition de fonctions et les fonctions réciproques viennent compléter l'année.

À propos des standards : les standards du Common Core pour le secondaire sont organisés par catégorie conceptuelle (Nombres et quantités, Algèbre, Fonctions, Géométrie, Statistiques et probabilités), et non par niveau. L'attribution d'un thème à un niveau scolaire relève de notre choix, suivant la progression habituelle des cours : Algèbre I, Géométrie, Algèbre II et Précalcul. Les standards marqués d'un (+) vont au-delà du socle commun de préparation aux études supérieures et professionnelles.

État de la page : les thèmes de ce niveau sont prêts sous la forme d'exercices simples (consigne et formule) ; les problèmes avec graphiques et les problèmes rédigés seront ajoutés par la suite.

Programme officiel

  1. Point du programme HSN-RN · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Le système des nombres réels

    notre traduction · texte original (EN): The Real Number System

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Real Number System (HSN-RN)

  2. Point du programme HSN-RN.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Étendre les propriétés des exposants aux exposants rationnels.

    notre traduction · texte original (EN): Extend the properties of exponents to rational exponents.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, cluster A

  3. Point du programme HSN-RN.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Utiliser les propriétés des nombres rationnels et irrationnels.

    notre traduction · texte original (EN): Use properties of rational and irrational numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, cluster B

  4. Point du programme HSN-RN.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Expliquer comment la définition du sens des exposants rationnels découle de l'extension des propriétés des exposants entiers à ces valeurs, permettant une notation des radicaux au moyen d'exposants rationnels. Par exemple, on définit 5 1/3 comme étant la racine cubique de 5 parce qu'on veut que (51/3)3 = 5(1/3)3 soit vérifié, donc (51/3)3 doit être égal à 5.

    notre traduction · texte original (EN): Explain how the definition of the meaning of rational exponents follows from extending the properties of integer exponents to those values, allowing for a notation for radicals in terms of rational exponents. For example, we define 5 1/3 to be the cube root of 5 because we want (51/3)3 = 5(1/3)3 to hold, so (51/3)3 must equal 5.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.A.1

  5. Point du programme HSN-RN.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Réécrire des expressions comportant des radicaux et des exposants rationnels en utilisant les propriétés des exposants.

    notre traduction · texte original (EN): Rewrite expressions involving radicals and rational exponents using the properties of exponents.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.A.2

    Travailler avec les exposants fractionnaires (chez nous en classe 9)

  6. Point du programme HSN-RN.B.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Expliquer pourquoi la somme ou le produit de deux nombres rationnels est rationnel ; que la somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est irrationnelle ; et que le produit d'un nombre rationnel non nul et d'un nombre irrationnel est irrationnel.

    notre traduction · texte original (EN): Explain why the sum or product of two rational numbers is rational; that the sum of a rational number and an irrational number is irrational; and that the product of a nonzero rational number and an irrational number is irrational.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.B.3

  7. Point du programme HSN-Q · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Quantités★

    notre traduction · texte original (EN): Quantities★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Quantities★ (HSN-Q)

  8. Point du programme HSN-Q.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Raisonner quantitativement et utiliser des unités pour résoudre des problèmes.

    notre traduction · texte original (EN): Reason quantitatively and use units to solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, cluster A

  9. Point du programme HSN-Q.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Utiliser les unités comme moyen de comprendre les problèmes et de guider la résolution de problèmes à étapes multiples ; choisir et interpréter les unités de manière cohérente dans les formules ; choisir et interpréter l'échelle et l'origine dans les graphiques et les représentations de données.

    notre traduction · texte original (EN): Use units as a way to understand problems and to guide the solution of multi-step problems; choose and interpret units consistently in formulas; choose and interpret the scale and the origin in graphs and data displays.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.1

  10. Point du programme HSN-Q.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Définir des grandeurs appropriées à des fins de modélisation descriptive.

    notre traduction · texte original (EN): Define appropriate quantities for the purpose of descriptive modeling.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.2

  11. Point du programme HSN-Q.A.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Choisir un niveau de précision adapté aux limites de la mesure lors de l'expression de grandeurs.

    notre traduction · texte original (EN): Choose a level of accuracy appropriate to limitations on measurement when reporting quantities.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.3

  12. Point du programme HSA-SSE · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Voir la structure dans les expressions

    notre traduction · texte original (EN): Seeing Structure in Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)

  13. Point du programme HSA-SSE.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Interpréter la structure des expressions

    notre traduction · texte original (EN): Interpret the structure of expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A

  14. Point du programme HSA-SSE.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Écrire des expressions sous des formes équivalentes pour résoudre des problèmes

    notre traduction · texte original (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B

  15. Point du programme HSA-SSE.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Interpréter des expressions qui représentent une quantité en fonction de son contexte.★ a. Interpréter les parties d'une expression, telles que les termes, les facteurs et les coefficients. b. Interpréter des expressions complexes en considérant une ou plusieurs de leurs parties comme une seule entité. Par exemple, interpréter P(1+r)n comme le produit de P et d'un facteur ne dépendant pas de P.

    notre traduction · texte original (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1

  16. Point du programme HSA-SSE.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Utiliser la structure d'une expression pour identifier des façons de la réécrire. Par exemple, voir x4 – y4 comme (x2)2 – ( y2)2, la reconnaissant ainsi comme une différence de carrés qui peut être factorisée sous la forme (x2 – y2)(x2 + y2).

    notre traduction · texte original (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

    Multiplication de produits remarquables de binômes (chez nous en classe 9-11) · Factorisation de polynômes : groupement et cubes (chez nous en classe 9-11)

  17. Point du programme HSA-SSE.B.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Choisir et produire une forme équivalente d'une expression pour révéler et expliquer des propriétés de la quantité représentée par l'expression. ★ a. Factoriser une expression quadratique pour révéler les zéros de la fonction qu'elle définit. b. Compléter le carré dans une expression quadratique pour révéler la valeur maximale ou minimale de la fonction qu'elle définit. c. Utiliser les propriétés des exposants pour transformer des expressions de fonctions exponentielles. Par exemple, l'expression 1.15t peut être réécrite sous la forme (1.151/12)12t ≈ 1.01212t pour révéler le taux d'intérêt mensuel équivalent approximatif si le taux annuel est de 15 %.

    notre traduction · texte original (EN): Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. ★ a. Factor a quadratic expression to reveal the zeros of the function it defines. b. Complete the square in a quadratic expression to reveal the maximum or minimum value of the function it defines. c. Use the properties of exponents to transform expressions for exponential functions. For example the expression 1.15t can be rewritten as (1.151/12)12t ≈ 1.01212t to reveal the approximate equivalent monthly interest rate if the annual rate is 15%.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.B.3

  18. Point du programme HSA-APR · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Arithmétique avec les polynômes et les expressions rationnelles

    notre traduction · texte original (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)

  19. Point du programme HSA-APR.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Effectuer des opérations arithmétiques sur des polynômes

    notre traduction · texte original (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A

  20. Point du programme HSA-APR.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Comprendre que les polynômes forment un système analogue aux entiers, à savoir qu'ils sont stables pour les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication ; additionner, soustraire et multiplier des polynômes.

    notre traduction · texte original (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1

  21. Point du programme HSA-CED · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Créer des équations★

    notre traduction · texte original (EN): Creating Equations★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)

  22. Point du programme HSA-CED.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Créer des équations qui décrivent des nombres ou des relations

    notre traduction · texte original (EN): Create equations that describe numbers or relationships

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A

  23. Point du programme HSA-CED.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Créer des équations et des inéquations à une variable et les utiliser pour résoudre des problèmes. Inclure des équations issues de fonctions linéaires et quadratiques, ainsi que de fonctions rationnelles et exponentielles simples.

    notre traduction · texte original (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1

  24. Point du programme HSA-CED.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Créer des équations à deux variables ou plus pour représenter des relations entre des grandeurs ; représenter graphiquement des équations sur des axes de coordonnées avec des étiquettes et des échelles.

    notre traduction · texte original (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2

  25. Point du programme HSA-CED.A.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Représenter des contraintes par des équations ou des inéquations, et par des systèmes d'équations et/ou d'inéquations, et interpréter les solutions comme des options viables ou non viables dans un contexte de modélisation. Par exemple, représenter des inéquations décrivant des contraintes nutritionnelles et de coût sur des combinaisons de différents aliments.

    notre traduction · texte original (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3

  26. Point du programme HSA-CED.A.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Réorganiser des formules pour mettre en évidence une grandeur d'intérêt, en utilisant le même raisonnement que dans la résolution d'équations. Par exemple, réorganiser la loi d'Ohm V = IR pour mettre en évidence la résistance R.

    notre traduction · texte original (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4

  27. Point du programme HSA-REI · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Raisonner avec des équations et des inéquations

    notre traduction · texte original (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)

  28. Point du programme HSA-REI.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Comprendre la résolution d'équations comme un processus de raisonnement et expliquer le raisonnement

    notre traduction · texte original (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A

  29. Point du programme HSA-REI.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Résoudre des équations et des inéquations à une variable

    notre traduction · texte original (EN): Solve equations and inequalities in one variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster B

  30. Point du programme HSA-REI.C · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Résoudre des systèmes d'équations

    notre traduction · texte original (EN): Solve systems of equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C

  31. Point du programme HSA-REI.D · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Représenter et résoudre graphiquement des équations et des inéquations

    notre traduction · texte original (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D

  32. Point du programme HSA-REI.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Expliquer chaque étape de la résolution d'une équation simple comme découlant de l'égalité des nombres affirmée à l'étape précédente, en partant de l'hypothèse que l'équation initiale a une solution. Construire un argument viable pour justifier une méthode de résolution.

    notre traduction · texte original (EN): Explain each step in solving a simple equation as following from the equality of numbers asserted at the previous step, starting from the assumption that the original equation has a solution. Construct a viable argument to justify a solution method.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.A.1

  33. Point du programme HSA-REI.B.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Résoudre des équations et des inéquations linéaires à une variable, y compris des équations dont les coefficients sont représentés par des lettres.

    notre traduction · texte original (EN): Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.B.3

    Résolution d'inéquations linéaires à une inconnue (chez nous en classe 9) · Équations sans solution ou avec une infinité de solutions (chez nous en classe 9)

  34. Point du programme HSA-REI.B.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Résoudre des équations du second degré à une variable. a. Utiliser la méthode de complétion du carré pour transformer toute équation du second degré en x en une équation de la forme (x – p)2 = q ayant les mêmes solutions. Établir la formule quadratique à partir de cette forme. b. Résoudre des équations du second degré par inspection (par ex., pour x2 = 49), par extraction de la racine carrée, par complétion du carré, au moyen de la formule quadratique et par factorisation, selon ce qui est approprié à la forme initiale de l'équation. Reconnaître les cas où la formule quadratique donne des solutions complexes et les écrire sous la forme a ± bi pour des nombres réels a et b.

    notre traduction · texte original (EN): Solve quadratic equations in one variable. a. Use the method of completing the square to transform any quadratic equation in x into an equation of the form (x – p)2 = q that has the same solutions. Derive the quadratic formula from this form. b. Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x2 = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi f or real numbers a and b.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.B.4

    Résolution des équations du second degré (chez nous en classe 9)

  35. Point du programme HSA-REI.C.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Démontrer que, étant donné un système de deux équations à deux variables, remplacer une équation par la somme de cette équation et d'un multiple de l'autre produit un système ayant les mêmes solutions.

    notre traduction · texte original (EN): Prove that, given a system of two equations in two variables, replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.5

  36. Point du programme HSA-REI.C.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Résoudre des systèmes d'équations linéaires de manière exacte et approchée (p. ex., à l'aide de graphiques), en mettant l'accent sur les paires d'équations linéaires à deux variables.

    notre traduction · texte original (EN): Solve systems of linear equations exactly and approximately (e.g., with graphs), focusing on pairs of linear equations in two variables.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.6

    Résolution de systèmes d'équations par élimination (chez nous en classe 9)

  37. Point du programme HSA-REI.C.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Résoudre un système simple composé d'une équation linéaire et d'une équation quadratique à deux variables, algébriquement et graphiquement. Par exemple, trouver les points d'intersection entre la droite y = –3x et le cercle x2 + y2 = 3.

    notre traduction · texte original (EN): Solve a simple system consisting of a linear equation and a quadratic equation in two variables algebraically and graphically. For example, find the points of intersection between the line y = –3x and the circle x2 + y2 = 3.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.7

    Résolution de systèmes d'une droite et d'une parabole (chez nous en classe 9)

  38. Point du programme HSA-REI.D.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Comprendre que la représentation graphique d'une équation à deux variables est l'ensemble de toutes ses solutions représentées dans le plan cartésien, formant souvent une courbe (qui peut être une droite).

    notre traduction · texte original (EN): Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.10

  39. Point du programme HSA-REI.D.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Expliquer pourquoi les abscisses des points où les représentations graphiques des équations y = f(x) et y = g(x) se coupent sont les solutions de l'équation f(x) = g(x) ; trouver les solutions de manière approchée, par ex. en utilisant des outils technologiques pour tracer les fonctions, créer des tableaux de valeurs ou trouver des approximations successives. Inclure des cas où f(x) et/ou g(x) sont des fonctions linéaires, polynomiales, rationnelles, valeur absolue, exponentielles et logarithmiques.★

    notre traduction · texte original (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11

  40. Point du programme HSA-REI.D.12 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Représenter graphiquement les solutions d'une inéquation linéaire à deux variables comme un demi-plan (en excluant la frontière dans le cas d'une inéquation stricte), et représenter graphiquement l'ensemble des solutions d'un système d'inéquations linéaires à deux variables comme l'intersection des demi-plans correspondants.

    notre traduction · texte original (EN): Graph the solutions to a linear inequality in two variables as a half-plane (excluding the boundary in the case of a strict inequality), and graph the solution set to a system of linear inequalities in two variables as the intersection of the corresponding half-planes.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.12

  41. Point du programme HSF-IF · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Interpréter des fonctions

    notre traduction · texte original (EN): Interpreting Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)

  42. Point du programme HSF-IF.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Comprendre la notion de fonction et utiliser la notation fonctionnelle

    notre traduction · texte original (EN): Understand the concept of a function and use function notation

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster A

  43. Point du programme HSF-IF.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Interpréter des fonctions issues d'applications en fonction du contexte

    notre traduction · texte original (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B

  44. Point du programme HSF-IF.C · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Analyser des fonctions à l'aide de différentes représentations

    notre traduction · texte original (EN): Analyze functions using different representations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C

  45. Point du programme HSF-IF.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Comprendre qu'une fonction d'un ensemble (appelé le domaine) vers un autre ensemble (appelé l'ensemble image) associe à chaque élément du domaine exactement un élément de l'ensemble image. Si f est une fonction et x est un élément de son domaine, alors f(x) désigne la sortie de f correspondant à l'entrée x. Le graphique de f est le graphique de l'équation y = f(x).

    notre traduction · texte original (EN): Understand that a function from one set (called the domain) to another set (called the range) assigns to each element of the domain exactly one element of the range. If f is a function and x is an element of its domain, then f(x) denotes the output of f corresponding to the input x. The graph of f is the graph of the equation y = f(x).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.1

  46. Point du programme HSF-IF.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Utiliser la notation fonctionnelle, évaluer des fonctions pour des valeurs d'entrée de leur domaine de définition et interpréter des énoncés utilisant la notation fonctionnelle dans le cadre d'un contexte.

    notre traduction · texte original (EN): Use function notation, evaluate functions for inputs in their domains, and interpret statements that use function notation in terms of a context.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.2

    Calculer la valeur d'une fonction du second degré (chez nous en classe 9) · Évaluer des fonctions linéaires (chez nous en classe 8)

  47. Point du programme HSF-IF.A.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Reconnaître que les suites sont des fonctions, parfois définies par récurrence, dont l'ensemble de définition est un sous-ensemble des entiers. Par exemple, la suite de Fibonacci est définie par récurrence par f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) pour n ≥ 1.

    notre traduction · texte original (EN): Recognize that sequences are functions, sometimes defined recursively, whose domain is a subset of the integers. For example, the Fibonacci sequence is defined recursively by f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) for n ≥ 1.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.3

    Trouver les termes d'une suite (chez nous en classe 9)

  48. Point du programme HSF-IF.B.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Pour une fonction qui modélise une relation entre deux grandeurs, interpréter les caractéristiques clés des graphiques et des tableaux en termes de ces grandeurs, et esquisser des graphiques montrant les caractéristiques clés à partir d'une description verbale de la relation. Les caractéristiques clés comprennent : les intersections avec les axes ; les intervalles où la fonction est croissante, décroissante, positive ou négative ; les maximums et minimums relatifs ; les symétries ; le comportement à l'infini ; et la périodicité .★

    notre traduction · texte original (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4

  49. Point du programme HSF-IF.B.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Associer le domaine de définition d'une fonction à sa représentation graphique et, le cas échéant, à la relation quantitative qu'elle décrit. Par exemple, si la fonction h(n) donne le nombre d'heures-personnes nécessaires pour assembler n moteurs dans une usine, alors les entiers positifs constituent un domaine de définition approprié pour la fonction. ★

    notre traduction · texte original (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5

  50. Point du programme HSF-IF.B.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Calculer et interpréter le taux de variation moyen d'une fonction (présentée sous forme symbolique ou sous forme de tableau) sur un intervalle donné. Estimer le taux de variation à partir d'un graphique. ★

    notre traduction · texte original (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

    Calcul du taux de variation moyen (chez nous en classe 9-11)

  51. Point du programme HSF-IF.C.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Représenter graphiquement des fonctions exprimées symboliquement et montrer les caractéristiques clés du graphique, à la main pour les cas simples et à l'aide de la technologie pour les cas plus complexes. ★ a. Représenter graphiquement des fonctions linéaires et quadratiques et montrer les intersections avec les axes, les maxima et les minima. b. Représenter graphiquement des fonctions racine carrée, racine cubique et définies par morceaux, y compris les fonctions en escalier et les fonctions valeur absolue. c. Représenter graphiquement des fonctions polynomiales, en identifiant les zéros lorsque des factorisations appropriées sont disponibles, et en montrant le comportement à l'infini. d. (+) Représenter graphiquement des fonctions rationnelles, en identifiant les zéros et les asymptotes lorsque des factorisations appropriées sont disponibles, et en montrant le comportement à l'infini. e. Représenter graphiquement des fonctions exponentielles et logarithmiques, en montrant les intersections avec les axes et le comportement à l'infini, et des fonctions trigonométriques, en montrant la période, l'axe médian et l'amplitude.

    notre traduction · texte original (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7

  52. Point du programme HSF-IF.C.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Écrire une fonction définie par une expression sous des formes différentes mais équivalentes pour révéler et expliquer différentes propriétés de la fonction. a. Utiliser les processus de factorisation et de complétion du carré dans une fonction quadratique pour montrer les zéros, les valeurs extrêmes et la symétrie du graphique, et les interpréter en fonction d'un contexte. b. Utiliser les propriétés des exposants pour interpréter des expressions de fonctions exponentielles. Par exemple, identifier le taux de variation en pourcentage dans des fonctions telles que y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, et les classer comme représentant une croissance ou une décroissance exponentielle.

    notre traduction · texte original (EN): Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

    Trouver le sommet et utiliser la forme canonique (chez nous en classe 9-11)

  53. Point du programme HSF-IF.C.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Comparer les propriétés de deux fonctions représentées chacune d'une manière différente (algébriquement, graphiquement, numériquement dans des tableaux ou par des descriptions verbales). Par exemple, étant donné le graphique d'une fonction quadratique et l'expression algébrique d'une autre, dire laquelle a le plus grand maximum.

    notre traduction · texte original (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9

  54. Point du programme HSF-BF · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Construction de fonctions

    notre traduction · texte original (EN): Building Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)

  55. Point du programme HSF-BF.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Construire une fonction qui modélise une relation entre deux grandeurs

    notre traduction · texte original (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A

  56. Point du programme HSF-BF.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Construire de nouvelles fonctions à partir de fonctions existantes

    notre traduction · texte original (EN): Build new functions from existing functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B

  57. Point du programme HSF-BF.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Écrire une fonction qui décrit une relation entre deux grandeurs.★ a. Déterminer une expression explicite, un processus récursif ou des étapes de calcul à partir d'un contexte. b. Combiner des types de fonctions usuelles à l'aide d'opérations arithmétiques. Par exemple, construire une fonction qui modélise la température d'un corps qui se refroidit en ajoutant une fonction constante à une exponentielle décroissante, et relier ces fonctions au modèle. c. (+) Composer des fonctions. Par exemple, si T(y) est la température dans l'atmosphère en fonction de l'altitude, et h(t) est l'altitude d'un ballon météorologique en fonction du temps, alors T(h(t)) est la température à l'emplacement du ballon météorologique en fonction du temps.

    notre traduction · texte original (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

    Déterminer les équations de droites et de droites parallèles (chez nous en classe 9-11) · Combiner des fonctions par composition (chez nous en classe 9-11)

  58. Point du programme HSF-BF.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Écrire des suites arithmétiques et géométriques à la fois par récurrence et avec une formule explicite, les utiliser pour modéliser des situations, et passer d'une forme à l'autre. ★

    notre traduction · texte original (EN): Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.2

    Déterminer les termes et les sommes de suites arithmétiques (chez nous en classe 9) · Déterminer les termes et les sommes de suites géométriques (chez nous en classe 9-11)

  59. Point du programme HSF-BF.B.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Identifier l'effet sur la représentation graphique du remplacement de f(x) par f(x) + k, k f(x), f(kx) et f(x + k) pour des valeurs spécifiques de k (à la fois positives et négatives) ; trouver la valeur de k à partir des représentations graphiques. Expérimenter des cas et illustrer une explication des effets sur la représentation graphique à l'aide de la technologie. Inclure la reconnaissance des fonctions paires et impaires à partir de leurs représentations graphiques et de leurs expressions algébriques.

    notre traduction · texte original (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

    Déplacer les courbes de fonctions vers le haut, le bas, la gauche et la droite (chez nous en classe 9-11)

  60. Point du programme HSF-BF.B.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Trouver des fonctions réciproques. a. Résoudre une équation de la forme f(x) = c pour une fonction simple f qui admet une réciproque et écrire une expression pour la réciproque. Par exemple, f(x) =2 x3 ou f(x) = (x+1)/(x–1) pour x ≠ 1. b. (+) Vérifier par composition qu'une fonction est la réciproque d'une autre. c. (+) Lire des valeurs d'une fonction réciproque à partir d'un graphique ou d'un tableau, sachant que la fonction admet une réciproque. d. (+) Produire une fonction inversible à partir d'une fonction non inversible en restreignant le domaine.

    notre traduction · texte original (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

    Trouver la fonction réciproque d'une fonction affine (chez nous en classe 9-11)

  61. Point du programme HSF-LE · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Modèles linéaires, quadratiques et exponentiels★

    notre traduction · texte original (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)

  62. Point du programme HSF-LE.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Construire et comparer des modèles linéaires, quadratiques et exponentiels et résoudre des problèmes

    notre traduction · texte original (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A

  63. Point du programme HSF-LE.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Interpréter des expressions de fonctions en fonction de la situation qu'elles modélisent

    notre traduction · texte original (EN): Interpret expressions for functions in terms of the situation they model

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster B

  64. Point du programme HSF-LE.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Distinguer les situations qui peuvent être modélisées par des fonctions linéaires et par des fonctions exponentielles. a. Démontrer que les fonctions linéaires croissent par différences égales sur des intervalles égaux, et que les fonctions exponentielles croissent par facteurs égaux sur des intervalles égaux. b. Reconnaître les situations dans lesquelles une quantité varie à un taux constant par intervalle unitaire par rapport à une autre. c. Reconnaître les situations dans lesquelles une quantité croît ou décroît à un taux de pourcentage constant par intervalle unitaire par rapport à une autre.

    notre traduction · texte original (EN): Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. a. Prove that linear functions grow by equal differences over equal intervals, and that exponential functions grow by equal factors over equal intervals. b. Recognize situations in which one quantity changes at a constant rate per unit interval relative to another. c. Recognize situations in which a quantity grows or decays by a constant percent rate per unit interval relative to another.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.1

  65. Point du programme HSF-LE.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Construire des fonctions linéaires et exponentielles, y compris des suites arithmétiques et géométriques, à partir d'un graphique, d'une description d'une relation ou de deux couples entrée-sortie (y compris la lecture de ceux-ci dans un tableau).

    notre traduction · texte original (EN): Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.2

    Déterminer les termes et les sommes de suites arithmétiques (chez nous en classe 9) · Déterminer les termes et les sommes de suites géométriques (chez nous en classe 9-11)

  66. Point du programme HSF-LE.A.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Observer, à l'aide de graphiques et de tableaux, qu'une quantité croissant de façon exponentielle finit par dépasser une quantité croissant de façon linéaire, quadratique ou (plus généralement) comme une fonction polynomiale.

    notre traduction · texte original (EN): Observe using graphs and tables that a quantity increasing exponentially eventually exceeds a quantity increasing linearly, quadratically, or (more generally) as a polynomial function.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.3

  67. Point du programme HSF-LE.B.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Interpréter les paramètres d'une fonction affine ou exponentielle dans un contexte donné.

    notre traduction · texte original (EN): Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.B.5

    Calculer les valeurs de fonctions exponentielles (chez nous en classe 9)

  68. Point du programme HSS-ID · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Interpréter des données catégorielles et quantitatives

    notre traduction · texte original (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)

  69. Point du programme HSS-ID.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Résumer, représenter et interpréter des données portant sur une seule variable de comptage ou de mesure

    notre traduction · texte original (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A

  70. Point du programme HSS-ID.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Résumer, représenter et interpréter des données sur deux variables catégorielles et quantitatives

    notre traduction · texte original (EN): Summarize, represent, and interpret data on two categorical and quantitative variables

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster B

  71. Point du programme HSS-ID.C · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Interpréter des modèles linéaires

    notre traduction · texte original (EN): Interpret linear models

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster C

  72. Point du programme HSS-ID.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Représenter des données par des graphiques sur la droite numérique réelle (diagrammes à points, histogrammes et diagrammes en boîte).

    notre traduction · texte original (EN): Represent data with plots on the real number line (dot plots, histograms, and box plots).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.1

  73. Point du programme HSS-ID.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Utiliser des statistiques appropriées à la forme de la distribution des données pour comparer le centre (médiane, moyenne) et la dispersion (écart interquartile, écart-type) de deux ensembles de données différents ou plus.

    notre traduction · texte original (EN): Use statistics appropriate to the shape of the data distribution to compare center (median, mean) and spread (interquartile range, standard deviation) of two or more different data sets.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.2

    Calcul de la variance d'un ensemble de données (chez nous en classe 9)

  74. Point du programme HSS-ID.A.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Interpréter les différences de forme, de centre et de dispersion dans le contexte des séries de données, en tenant compte des effets possibles des valeurs extrêmes (valeurs aberrantes).

    notre traduction · texte original (EN): Interpret differences in shape, center, and spread in the context of the data sets, accounting for possible effects of extreme data points (outliers).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.3

  75. Point du programme HSS-ID.B.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Résumer des données catégorielles pour deux catégories dans des tableaux de fréquences à double entrée. Interpréter les fréquences relatives dans le contexte des données (y compris les fréquences conjointes, marginales et conditionnelles). Reconnaître les associations et les tendances possibles dans les données.

    notre traduction · texte original (EN): Summarize categorical data for two categories in two-way frequency tables. Interpret relative frequencies in the context of the data (including joint, marginal, and conditional relative frequencies). Recognize possible associations and trends in the data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.5

  76. Point du programme HSS-ID.B.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Représenter des données relatives à deux variables quantitatives sur un nuage de points, et décrire comment les variables sont liées. a. Ajuster une fonction aux données ; utiliser des fonctions ajustées aux données pour résoudre des problèmes dans le contexte des données. Utiliser des fonctions données ou choisir une fonction suggérée par le contexte. Mettre l'accent sur les modèles linéaires, quadratiques et exponentiels. b. Évaluer de manière informelle l'ajustement d'une fonction en traçant et en analysant les résidus. c. Ajuster une fonction linéaire pour un nuage de points qui suggère une association linéaire.

    notre traduction · texte original (EN): Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related. a. Fit a function to the data; use functions fitted to data to solve problems in the context of the data. Use given functions or choose a function suggested by the context. Emphasize linear, quadratic, and exponential models. b. Informally assess the fit of a function by plotting and analyzing residuals. c. Fit a linear function for a scatter plot that suggests a linear association.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.6

  77. Point du programme HSS-ID.C.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Interpréter la pente (taux de variation) et l'ordonnée à l'origine (terme constant) d'un modèle linéaire dans le contexte des données.

    notre traduction · texte original (EN): Interpret the slope (rate of change) and the intercept (constant term) of a linear model in the context of the data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.7

  78. Point du programme HSS-ID.C.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Calculer (à l'aide de la technologie) et interpréter le coefficient de corrélation d'un ajustement linéaire.

    notre traduction · texte original (EN): Compute (using technology) and interpret the correlation coefficient of a linear fit.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.8

  79. Point du programme HSS-ID.C.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Distinguer corrélation et causalité.

    notre traduction · texte original (EN): Distinguish between correlation and causation.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.9

Compétences étape par étape

Factorisation de polynômes : groupement et cubes

Les élèves apprennent à réécrire des expressions polynomiales en factorisant par un monôme commun, en regroupant les termes et en utilisant la somme et la différence de cubes.

Point du programme HSA-SSE.A.2 Utiliser la structure d'une expression pour identifier des façons de la réécrire. Par exemple, voir x4 – y4 comme (x2)2 – ( y2)2, la reconnaissant ainsi comme une différence de carrés qui peut être factorisée sous la forme (x2 – y2)(x2 + y2). (notre traduction)

En classe de 3e, les élèves apprennent à examiner la structure d'une expression polynomiale pour déterminer comment la réécrire sous forme factorisée. À ce stade, ils vont au-delà des trinômes élémentaires pour extraire le plus grand facteur commun, factoriser des expressions à quatre termes par groupement de termes deux à deux, et reconnaître des expressions composées de deux termes au cube.

Une erreur fréquente concerne les signes négatifs lors de la factorisation par groupement : les élèves oublient souvent de changer le signe du second terme lorsqu'ils mettent en facteur un monôme négatif à partir d'une paire. Avec les cubes, les élèves confondent couramment les signes dans la formule ou traitent par erreur le facteur quadratique obtenu comme un trinôme standard pouvant être factorisé davantage.

Les exercices imprimables sur cette compétence se concentrent sur trois types de tâches :

  • Mise en facteur d'un monôme : trouver le plus grand facteur commun à tous les termes et le mettre en facteur devant les parenthèses.
  • Factorisation par groupement : organiser quatre termes en deux paires pour extraire un facteur binôme commun.
  • Somme et différence de cubes : identifier les expressions comportant deux termes au cube et les réécrire sous la forme d'un produit d'un facteur linéaire et d'un facteur quadratique.
Créer une fiche pour cette compétence

Types d’exercices: Mise en facteur d'un monôme · Factorisation par regroupement · Somme et différence de cubes

Évaluer des fonctions linéaires

Les élèves apprennent à substituer une valeur d'entrée donnée dans une équation linéaire en utilisant la notation fonctionnelle pour calculer l'unique valeur de sortie correspondante.

Point du programme 8.F.A.1 Comprendre qu'une fonction est une règle qui associe à chaque entrée exactement une sortie. Le graphique d'une fonction est l'ensemble des paires ordonnées constituées d'une entrée et de la sortie correspondante. (notre traduction)
Point du programme 8.F.A.3 Interpréter l'équation y = mx + b comme définissant une fonction linéaire, dont la représentation graphique est une droite ; donner des exemples de fonctions qui ne sont pas linéaires. Par exemple, la fonction A = s2 donnant l'aire d'un carré en fonction de la longueur de son côté n'est pas linéaire parce que sa représentation graphique contient les points (1,1), (2,4) et (3,9), qui ne sont pas sur une droite. (notre traduction)
Point du programme HSF-IF.A.2 Utiliser la notation fonctionnelle, évaluer des fonctions pour des valeurs d'entrée de leur domaine de définition et interpréter des énoncés utilisant la notation fonctionnelle dans le cadre d'un contexte. (notre traduction)

À ce stade, les élèves travaillent avec des règles linéaires sous la forme f(x) = mx + b. Étant donné une valeur d'entrée numérique spécifique pour x, ils remplacent cette valeur dans la règle, la multiplient par la pente et ajoutent ou soustraient le terme constant pour trouver l'unique valeur de sortie.

Une erreur fréquente se produit lorsque les élèves confondent la notation des fonctions avec une multiplication, interprétant f(4) comme une consigne de multiplier une inconnue f par 4 plutôt que de trouver la valeur de la règle en 4. Les élèves commettent aussi couramment des erreurs de signe lorsqu'ils remplacent par des nombres négatifs ou travaillent avec des coefficients négatifs, omettant les signes négatifs lors de l'étape de multiplication.

Les exercices sur les fiches imprimables présentent des fonctions linéaires et demandent aux élèves de déterminer la valeur de sortie pour une valeur donnée du domaine. En pratique, les élèves calculent et saisissent directement la valeur finale ou identifient la bonne réponse parmi des options à choix multiples.

Déterminer les termes et les sommes de suites arithmétiques

Les élèves apprennent à écrire des formules pour trouver n'importe quel terme d'une suite arithmétique et à calculer la somme d'un nombre donné de termes.

Point du programme HSF-BF.A.2 Écrire des suites arithmétiques et géométriques à la fois par récurrence et avec une formule explicite, les utiliser pour modéliser des situations, et passer d'une forme à l'autre. ★ (notre traduction)
Point du programme HSF-LE.A.2 Construire des fonctions linéaires et exponentielles, y compris des suites arithmétiques et géométriques, à partir d'un graphique, d'une description d'une relation ou de deux couples entrée-sortie (y compris la lecture de ceux-ci dans un tableau). (notre traduction)

Les élèves apprennent à identifier les suites arithmétiques présentant une raison constante ajoutée entre deux termes consécutifs. En classe de 3e, ils utilisent des formules explicites pour calculer directement n'importe quel n-ième terme et déterminer la somme totale d'un nombre donné de termes sans avoir à écrire toutes les valeurs intermédiaires.

Une erreur fréquente survient lors de l'établissement de la formule du n-ième terme : les élèves multiplient souvent la raison par n plutôt que par n − 1, en oubliant qu'aucune raison n'est encore ajoutée au terme initial. Lors du calcul de la somme d'une suite, les élèves confondent également souvent la valeur du dernier terme avec le nombre total de termes à additionner.

L'entraînement sur fiche d'exercices se concentre sur deux types d'exercices concrets :

  • Suite arithmétique — n-ième terme : Les élèves s'appuient sur une suite ou un tableau de valeurs, déterminent la raison et calculent un terme éloigné, tel que le 20e ou le 50e terme.
  • Suite arithmétique — somme de termes : Les élèves appliquent la formule de la suite pour déterminer la somme totale des n premiers termes.
Créer une fiche pour cette compétence

Types d’exercices: Suite arithmétique — somme · Suite arithmétique — terme de rang n

Déterminer les termes et les sommes de suites géométriques

Les élèves apprennent à déterminer n'importe quel terme d'une suite géométrique et à calculer la somme d'un ensemble de termes à l'aide de formules.

Point du programme HSA-SSE.B.4 Établir la formule de la somme d'une série géométrique finie (lorsque la raison n'est pas 1), et utiliser la formule pour résoudre des problèmes. Par exemple, calculer des remboursements hypothécaires.★ (notre traduction)
Point du programme HSF-BF.A.2 Écrire des suites arithmétiques et géométriques à la fois par récurrence et avec une formule explicite, les utiliser pour modéliser des situations, et passer d'une forme à l'autre. ★ (notre traduction)
Point du programme HSF-LE.A.2 Construire des fonctions linéaires et exponentielles, y compris des suites arithmétiques et géométriques, à partir d'un graphique, d'une description d'une relation ou de deux couples entrée-sortie (y compris la lecture de ceux-ci dans un tableau). (notre traduction)

En classe de 3e, les élèves travaillent sur les suites géométriques : des listes ordonnées de nombres où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par une raison constante (différente de 1). Les élèves identifient le premier terme et la raison, écrivent des formules explicites et les utilisent pour calculer n'importe quel terme éloigné (le n-ième terme) ainsi que la somme totale d'un nombre fini de termes.

Une erreur fréquente concerne l'exposant dans la formule du n-ième terme. Les élèves multiplient souvent le premier terme par la raison élevée à la puissance n au lieu de n − 1, oubliant que le premier terme n'implique aucune multiplication. Lors du calcul des sommes, les élèves appliquent souvent mal les signes négatifs ou gèrent incorrectement les parenthèses lorsque la raison est une fraction ou un nombre négatif.

Les exercices des fiches développent cette compétence à travers deux formats principaux :

  • Suite géométrique — n-ième terme : les élèves observent une liste de nombres donnée (comme 3, 6, 12, ...) ou une situation concrète, déterminent la raison et calculent une valeur précise, telle que le 8e terme.
  • Suite géométrique — somme des termes : les élèves prennent une suite et calculent la somme totale de ses premiers termes en remplaçant le premier terme, la raison et le nombre de termes dans la formule de la somme d'une suite géométrique finie.
Créer une fiche pour cette compétence

Types d’exercices: Suite géométrique — somme · Suite géométrique — terme de rang n

Trouver les termes d'une suite

Les élèves apprennent à trouver des valeurs spécifiques dans une suite en substituant des entiers dans une formule ou en utilisant une règle de récurrence étape par étape.

Point du programme HSF-IF.A.3 Reconnaître que les suites sont des fonctions, parfois définies par récurrence, dont l'ensemble de définition est un sous-ensemble des entiers. Par exemple, la suite de Fibonacci est définie par récurrence par f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) pour n ≥ 1. (notre traduction)

En classe de troisième, les élèves abordent les suites comme des fonctions dont l'ensemble de définition est constitué d'entiers, par exemple n ≥ 1 ou à partir de n = 0. Les élèves apprennent à déterminer des termes particuliers en évaluant une formule algébrique explicite pour un rang donné ou en appliquant pas à pas une définition par récurrence à partir des valeurs initiales fournies.

Une difficulté fréquente consiste à confondre le rang du terme, n, avec la valeur du terme, f(n). Les élèves interprètent également souvent mal des notations telles que f(n − 1), en soustrayant par erreur 1 de la valeur numérique du terme au lieu de désigner le terme précédent de la suite.

Les exercices d'entraînement se concentrent généralement sur deux formats classiques :

  • Terme d'une suite à partir de sa formule : les élèves remplacent directement la variable par un entier représentant le rang dans la formule d'une fonction pour calculer ce terme précis.
  • Terme d'une suite définie par récurrence : les élèves partent des termes initiaux donnés (tels que f(0) ou f(1)) et appliquent une relation de récurrence, comme f(n + 1) = f(n) + 3, pour générer les termes suivants un par un.
Créer une fiche pour cette compétence

Types d’exercices: Terme d'une suite à partir de la formule · Terme d'une suite récurrente

Multiplication de produits remarquables de binômes

Les élèves apprennent à reconnaître des régularités pour développer rapidement des carrés de binômes et des produits de sommes et de différences sans multiplier terme à terme.

Point du programme HSA-SSE.A.2 Utiliser la structure d'une expression pour identifier des façons de la réécrire. Par exemple, voir x4 – y4 comme (x2)2 – ( y2)2, la reconnaissant ainsi comme une différence de carrés qui peut être factorisée sous la forme (x2 – y2)(x2 + y2). (notre traduction)

En classe de 3e, les élèves apprennent à utiliser la structure sous-jacente des expressions pour les développer efficacement à l'aide de formules de calcul rapide. Plutôt que de multiplier chaque terme un à un, ils déterminent si un problème correspond à une règle algébrique spécifique afin d'écrire directement le polynôme développé.

L'erreur la plus fréquente se produit lors de l'élévation au carré d'une somme ou d'une différence. Les élèves écrivent fréquemment (x + 4)^2 sous la forme x^2 + 16, en appliquant incorrectement l'exposant à chaque terme à l'intérieur des parenthèses et en omettant le terme intermédiaire généré lorsque le binôme est multiplié par lui-même.

Les exercices proposés sur les fiches permettent aux élèves de s'entraîner sur deux configurations spécifiques :

  • Carré d'une somme ou d'une différence : développer des expressions comme (x + 5)^2 ou (2x - 3)^2 pour obtenir une expression du second degré complète à trois termes.
  • Produit d'une somme et d'une différence : multiplier des paires telles que (x + 7)(x - 7) où les termes intermédiaires s'annulent, laissant une différence de carrés.
Créer une fiche pour cette compétence

Types d’exercices: Carré d'une somme ou d'une différence · Produit d'une somme par une différence

Calculer les valeurs de fonctions exponentielles

Les élèves apprennent à évaluer des fonctions exponentielles pour des valeurs données et à interpréter les valeurs initiales ainsi que les facteurs de croissance ou de décroissance dans des contextes réels.

Point du programme HSF-LE.B.5 Interpréter les paramètres d'une fonction affine ou exponentielle dans un contexte donné. (notre traduction)

En 9e année, les élèves apprennent à calculer la valeur d'une fonction exponentielle et à comprendre ce que représente chaque paramètre dans un problème rédigé. Ils identifient la quantité de départ (la valeur initiale lorsque la variable d'entrée est égale à zéro) et utilisent la multiplication répétée par une base constante pour déterminer l'évolution des quantités au fil du temps.

Une erreur fréquente survient lorsqu'il s'agit d'une décroissance. Lorsqu'une quantité diminue, les élèves confondent souvent le taux de diminution avec le multiplicateur de base — par exemple, en multipliant par 0,15 au lieu de 0,85 lorsqu'une grandeur diminue de 15 %. Une autre erreur courante consiste à multiplier la valeur initiale par la base avant d'appliquer l'exposant, sans respecter l'ordre des opérations.

Les exercices des fiches portent sur des problèmes tels que Valeur d'une fonction exponentielle et Fonction exponentielle décroissante. Un problème type présente une situation de la vie réelle, comme la dépréciation de la valeur d'une voiture ou le refroidissement d'un objet, et demande aux élèves d'évaluer la formule après un nombre donné d'intervalles de temps ou d'expliquer ce qu'un nombre précis de l'équation signifie dans cette situation.

Créer une fiche pour cette compétence

Types d’exercices: Fonction exponentielle décroissante · Valeur d'une fonction exponentielle

Déterminer les équations de droites et de droites parallèles

Les élèves apprennent à écrire l'équation d'une fonction affine à partir de deux points de coordonnées ou d'un seul point et d'une droite parallèle.

Point du programme HSF-BF.A.1 Écrire une fonction qui décrit une relation entre deux grandeurs.★ a. Déterminer une expression explicite, un processus récursif ou des étapes de calcul à partir d'un contexte. b. Combiner des types de fonctions usuelles à l'aide d'opérations arithmétiques. Par exemple, construire une fonction qui modélise la température d'un corps qui se refroidit en ajoutant une fonction constante à une exponentielle décroissante, et relier ces fonctions au modèle. c. (+) Composer des fonctions. Par exemple, si T(y) est la température dans l'atmosphère en fonction de l'altitude, et h(t) est l'altitude d'un ballon météorologique en fonction du temps, alors T(h(t)) est la température à l'emplacement du ballon météorologique en fonction du temps. (notre traduction)

En classe de 3e, les élèves apprennent à écrire l'équation algébrique explicite d'une fonction affine. Ils utilisent les coordonnées de points pour calculer le coefficient directeur (la pente) — le taux de variation — et déterminer le point d'intersection de la droite avec l'axe vertical (l'ordonnée à l'origine). Lorsqu'ils travaillent avec des droites parallèles, les élèves reconnaissent et appliquent le principe géométrique selon lequel des droites parallèles ont exactement la même pente.

Une erreur fréquente survient lors de la substitution des coordonnées. Au moment de calculer l'ordonnée à l'origine, les élèves intervertissent souvent les valeurs de x et de y dans la formule, ce qui aboutit à une constante incorrecte. De même, lorsqu'ils travaillent avec des droites parallèles, les élèves ont tendance à modifier la pente plutôt qu'à la conserver identique à celle de l'équation initiale.

Les exercices de la fiche se présentent sous deux formats types :

  • Fonction affine passant par deux points : Les élèves reçoivent deux coordonnées, calculent la pente entre ces points et écrivent l'équation de la droite obtenue.
  • Droite parallèle passant par un point : Les élèves disposent de l'équation d'une droite existante et d'un point distinct ; ils doivent alors en extraire la pente et déterminer l'équation d'une nouvelle droite passant par ce point spécifique.
Créer une fiche pour cette compétence

Types d’exercices: Droite parallèle passant par un point · Fonction affine passant par deux points

Trouver le sommet et utiliser la forme canonique

Les élèves apprennent à utiliser la forme canonique et la complétion du carré pour déterminer le sommet, la valeur maximale ou minimale et l'axe de symétrie d'une parabole.

Point du programme HSF-IF.C.8 Écrire une fonction définie par une expression sous des formes différentes mais équivalentes pour révéler et expliquer différentes propriétés de la fonction. a. Utiliser les processus de factorisation et de complétion du carré dans une fonction quadratique pour montrer les zéros, les valeurs extrêmes et la symétrie du graphique, et les interpréter en fonction d'un contexte. b. Utiliser les propriétés des exposants pour interpréter des expressions de fonctions exponentielles. Par exemple, identifier le taux de variation en pourcentage dans des fonctions telles que y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, et les classer comme représentant une croissance ou une décroissance exponentielle. (notre traduction)

En cours d'algèbre de 9e année, les élèves apprennent à réécrire des expressions quadratiques sous forme canonique afin de faire apparaître les caractéristiques clés d'une parabole. En utilisant des techniques telles que la complétion du carré, ils convertissent les fonctions du second degré sous forme développée en formes équivalentes qui mettent en valeur les extremums du graphique (points maximum ou minimum) et l'axe de symétrie, sans avoir besoin de tracer chaque point.

Une difficulté fréquente consiste à bien gérer les signes au sein de la forme canonique, généralement écrite sous la forme y = a(x - h)2 + k (ou sans balises d'exposant, comme un terme au carré). En raison de la soustraction à l'intérieur des parenthèses, les élèves confondent souvent les coordonnées positives et négatives, identifiant par erreur le sommet d'une expression comme (x + 4)2 + 1 comme étant (4, 1) au lieu de (-4, 1).

Les exercices d'entraînement s'appuient sur des modèles tels que Sommet d'une parabole et Forme canonique d'une fonction du second degré. Un problème type présente une équation du second degré et demande aux élèves d'en extraire les coordonnées du sommet, de déterminer si la parabole est orientée vers le haut ou vers le bas, ou de réécrire une expression polynomiale développée pour déterminer directement son sommet.

Créer une fiche pour cette compétence

Types d’exercices: Sommet d'une parabole · Forme canonique

Résolution de systèmes d'équations par élimination

Les élèves apprennent à résoudre des systèmes de deux équations linéaires à deux variables par élimination et à déterminer si un système admet une solution, aucune solution ou une infinité de solutions.

Point du programme HSA-REI.C.6 Résoudre des systèmes d'équations linéaires de manière exacte et approchée (p. ex., à l'aide de graphiques), en mettant l'accent sur les paires d'équations linéaires à deux variables. (notre traduction)

En 9e année, les élèves résolvent des systèmes de deux équations linéaires à deux inconnues pour trouver des solutions numériques exactes. À l'aide de la méthode par élimination, ils additionnent ou soustraient les équations — en multipliant l'une d'elles ou les deux par une constante si nécessaire — afin d'éliminer l'une des variables. Les élèves analysent également les égalités algébriques obtenues pour déterminer si un système admet un unique couple de coordonnées comme solution, aucune solution ou une infinité de solutions.

Une erreur fréquente survient lors de la multiplication d'une équation entière pour obtenir des coefficients opposés. Les élèves oublient souvent de distribuer le signe négatif ou omettent de multiplier le terme constant situé de l'autre côté du signe égal. Une confusion apparaît également lorsque les deux variables s'annulent : les élèves confondent fréquemment une égalité fausse telle que 0 = 4 (qui signifie qu'il n'y a aucune solution) avec une égalité vraie telle que 0 = 0 (qui indique une infinité de solutions).

Les exercices d'entraînement se présentent généralement sous deux formats :

  • Système d'équations — élimination présente deux équations linéaires écrites sous forme standard et demande aux élèves de trouver les valeurs exactes des deux variables.
  • Nombre de solutions d'un système demande aux élèves de manipuler et de comparer des équations pour déterminer si le système admet une solution unique, aucune solution ou une infinité de solutions.
Créer une fiche pour cette compétence

Types d’exercices: Nombre de solutions d'un système · Système d'équations — combinaison

Calcul de la variance d'un ensemble de données

Les élèves apprennent à calculer la variance d'un ensemble de données pour mesurer comment les valeurs individuelles se dispersent par rapport à la moyenne.

Point du programme HSS-ID.A.2 Utiliser des statistiques appropriées à la forme de la distribution des données pour comparer le centre (médiane, moyenne) et la dispersion (écart interquartile, écart-type) de deux ensembles de données différents ou plus. (notre traduction)

En 9e année, les élèves quantifient la dispersion des valeurs numériques en calculant la variance des données. À partir d'une liste de valeurs, ils calculent la moyenne, déterminent l'écart de chaque donnée par rapport à cette moyenne, élèvent ces écarts au carré, puis calculent la moyenne de ces valeurs au carré.

Une erreur fréquente se produit lors du travail avec les écarts inférieurs à la moyenne. Les élèves ont souvent du mal à élever des nombres négatifs au carré, soit en omettant les signes négatifs trop tôt, soit en écrivant par erreur un résultat négatif après l'élévation au carré. Une autre erreur courante consiste à additionner correctement les carrés des écarts, mais à oublier l'étape finale qui consiste à diviser par le nombre de données.

Les fiches d'exercices pour cette compétence se concentrent sur le calcul de la variance d'un ensemble de données. Une tâche typique présente une courte liste de nombres et demande à l'élève d'effectuer le calcul étape par étape pour parvenir à une mesure numérique unique de la dispersion.

Créer une fiche pour cette compétence

Travailler avec les exposants fractionnaires

Les élèves apprennent à réécrire des expressions comportant des exposants fractionnaires et des radicaux en appliquant les propriétés usuelles des exposants.

Point du programme HSN-RN.A.2 Réécrire des expressions comportant des radicaux et des exposants rationnels en utilisant les propriétés des exposants. (notre traduction)

En classe de 3e, les élèves apprennent à travailler avec des nombres et des variables élevés à des puissances fractionnaires. Ils utilisent les propriétés des exposants pour réécrire des expressions comportant des exposants rationnels, passant aisément de la forme radicale à la forme de puissance.

Une erreur fréquente consiste à confondre le rôle du numérateur et celui du dénominateur dans une puissance fractionnaire. Les élèves oublient souvent quelle valeur représente la racine et laquelle représente l'exposant, traitant parfois un dénominateur comme un simple multiplicateur ou inversant la racine et la puissance lors de la conversion vers l'écriture sous forme de radical.

Les exercices d'entraînement basés sur le modèle Puissance à exposant rationnel présentent une expression comportant une base élevée à une fraction. Les élèves appliquent les règles des exposants pour simplifier l'expression ou pour passer de la forme radicale à la forme exponentielle, et inversement.

Créer une fiche pour cette compétence

Résolution d'inéquations linéaires à une inconnue

Les élèves apprennent à résoudre des inéquations linéaires à une inconnue en isolant la valeur inconnue afin de trouver toutes les solutions possibles.

Point du programme HSA-REI.B.3 Résoudre des équations et des inéquations linéaires à une variable, y compris des équations dont les coefficients sont représentés par des lettres. (notre traduction)

En 9e année, les élèves résolvent des inéquations du premier degré à une inconnue en utilisant les opérations inverses pour isoler la valeur inconnue. Ils manipulent des expressions contenant des nombres positifs et négatifs, ainsi que des coefficients représentés par des lettres, afin de déterminer l'ensemble des nombres qui vérifient l'inéquation.

L'erreur la plus fréquente se produit lors de la multiplication ou de la division des deux membres par une valeur négative. Les élèves oublient souvent d'inverser le symbole d'inégalité, traitant le problème comme une équation classique et aboutissant à une inégalité orientée dans le mauvais sens.

Les exercices types du modèle inéquation linéaire demandent aux élèves de résoudre des problèmes tels que -3x + 4 < 19 ou des expressions comportant des variables des deux côtés. Les élèves appliquent l'addition, la soustraction, la multiplication et la division pour isoler la variable et exprimer la solution finale.

Créer une fiche pour cette compétence

Équations sans solution ou avec une infinité de solutions

Les élèves apprennent à résoudre des équations linéaires à une inconnue qui n'admettent aucune solution ou qui admettent une infinité de solutions.

Point du programme HSA-REI.B.3 Résoudre des équations et des inéquations linéaires à une variable, y compris des équations dont les coefficients sont représentés par des lettres. (notre traduction)

Les élèves résolvent des équations linéaires à plusieurs étapes à une inconnue dans lesquelles les termes variables s'annulent des deux côtés lors de la simplification. Ils apprennent à interpréter l'égalité restante : si la simplification mène à une affirmation mathématique vraie (telle que 5 = 5), il y a une infinité de solutions ; si elle produit une contradiction (telle que 0 = 7), l'équation n'a aucune solution.

Une erreur courante se produit lorsque les variables disparaissent complètement et laissent une égalité vraie comme 0 = 0. Les élèves écrivent souvent à tort que la réponse est x = 0, confondant zéro en tant que valeur spécifique avec une affirmation qui est vraie pour tous les nombres. De même, lorsqu'ils sont confrontés à une égalité fausse comme 3 = 8, les élèves supposent fréquemment qu'ils ont fait une erreur de calcul et continuent à chercher un nombre unique au lieu de reconnaître qu'aucune valeur ne peut satisfaire l'équation.

Les exercices de la fiche présentent une équation n'ayant aucune solution ou une infinité de solutions. Les élèves appliquent les étapes algébriques standard — telles que l'utilisation de la distributivité, la réduction des termes semblables et l'isolation des variables — pour simplifier l'équation et déterminer si elle n'a aucune solution ou une infinité de solutions.

Créer une fiche pour cette compétence

Résolution des équations du second degré

Les élèves apprennent à résoudre des équations du second degré par factorisation, extraction de racines carrées, complétion du carré et à l'aide de la formule quadratique, en identifiant à la fois les solutions réelles et complexes.

Point du programme HSA-REI.B.4 Résoudre des équations du second degré à une variable. a. Utiliser la méthode de complétion du carré pour transformer toute équation du second degré en x en une équation de la forme (x – p)2 = q ayant les mêmes solutions. Établir la formule quadratique à partir de cette forme. b. Résoudre des équations du second degré par inspection (par ex., pour x2 = 49), par extraction de la racine carrée, par complétion du carré, au moyen de la formule quadratique et par factorisation, selon ce qui est approprié à la forme initiale de l'équation. Reconnaître les cas où la formule quadratique donne des solutions complexes et les écrire sous la forme a ± bi pour des nombres réels a et b. (notre traduction)

Les élèves apprennent à résoudre des équations du second degré à une variable à l'aide de diverses méthodes adaptées à la structure de l'équation. Ils résolvent des problèmes simples par observation ou par extraction de racine carrée, comme trouver les valeurs pour des équations telles que x² = 49, et transforment des équations sous la forme (x – p)² = q par complétion du carré. Ils les résolvent également par factorisation et à l'aide de la formule quadratique, en apprenant à identifier lorsqu'une équation admet des solutions complexes et à exprimer ces solutions sous la forme a ± bi.

Une erreur classique se produit lorsque les élèves prennent la racine carrée et oublient d'inclure la racine négative, n'indiquant que la valeur positive (par exemple, trouver 7 mais omettre –7). Une autre erreur fréquente concerne les fautes de signe lors de la simplification des termes sous le radical dans la formule quadratique, ce qui amène souvent les élèves à ne pas voir qu'une solution fait intervenir des nombres complexes.

Les exercices d'entraînement utilisant le modèle Équation du second degré présentent des équations sous différentes formes initiales. Les élèves examinent chaque équation, choisissent la méthode la plus appropriée — qu'il s'agisse de la factorisation, de l'extraction de racine carrée, de la complétion du carré ou de l'application de la formule quadratique — et rédigent l'ensemble des étapes de résolution.

Créer une fiche pour cette compétence

Déplacer les courbes de fonctions vers le haut, le bas, la gauche et la droite

Les élèves apprennent comment l'addition ou la soustraction d'un nombre déplace un graphique vers le haut, le bas, la gauche ou la droite, et identifient la valeur du déplacement à partir d'un graphique cartésien.

Point du programme HSF-BF.B.3 Identifier l'effet sur la représentation graphique du remplacement de f(x) par f(x) + k, k f(x), f(kx) et f(x + k) pour des valeurs spécifiques de k (à la fois positives et négatives) ; trouver la valeur de k à partir des représentations graphiques. Expérimenter des cas et illustrer une explication des effets sur la représentation graphique à l'aide de la technologie. Inclure la reconnaissance des fonctions paires et impaires à partir de leurs représentations graphiques et de leurs expressions algébriques. (notre traduction)

En 9e année, les élèves explorent la manière dont les graphiques de fonctions de base se déplacent dans le plan cartésien lorsque leur formule change. En se concentrant sur les translations, ils apprennent à identifier l'effet visuel du remplacement de f(x) par f(x) + k ou f(x + k) pour des valeurs spécifiques de k, positives ou négatives. Ils travaillent également en sens inverse : à partir d'une courbe de base et d'une courbe translatée, ils déterminent la valeur exacte, positive ou négative, de k à l'origine du déplacement.

L'erreur la plus fréquente concerne les translations horizontales. Lorsque les élèves voient une expression comme f(x + 3), leur intuition les incite à se déplacer vers les valeurs positives de l'axe des abscisses (vers la droite). En réalité, ajouter une valeur positive à l'intérieur de la fonction déplace le graphique de 3 unités vers la gauche, tandis qu'une soustraction le déplace vers la droite. Les élèves inversent fréquemment cette direction horizontale ou confondent les décalages appliqués à l'intérieur de la variable, f(x + k), avec les décalages verticaux ajoutés à l'extérieur, f(x) + k.

Dans les exercices de Translation d'un graphique, les élèves travaillent généralement avec des repères cartésiens présentant une fonction initiale et sa représentation déplacée. Il peut leur être demandé d'écrire la nouvelle formule, de déterminer si la transformation correspond à un déplacement vertical ou horizontal, ou de tracer la nouvelle courbe à partir d'une expression telle que f(x) − 5 ou f(x + 2).

Créer une fiche pour cette compétence

Calcul du taux de variation moyen

Les élèves apprennent à calculer, estimer et interpréter la rapidité avec laquelle les valeurs d'une fonction varient sur un intervalle donné à l'aide d'équations, de tableaux et de graphiques.

Point du programme HSF-IF.B.6 Calculer et interpréter le taux de variation moyen d'une fonction (présentée sous forme symbolique ou sous forme de tableau) sur un intervalle donné. Estimer le taux de variation à partir d'un graphique. ★ (notre traduction)

En classe de 3e, les élèves apprennent à déterminer comment la valeur de sortie d'une fonction varie par rapport à sa valeur d'entrée sur un intervalle donné. À partir de fonctions données sous forme d'équations, de tableaux de données ou de graphiques, les élèves calculent la variation des valeurs de sortie divisée par la variation des valeurs d'entrée. En observant un graphique, ils estiment directement ce taux en observant la pente entre deux points.

Un écueil fréquent consiste à inverser les entrées et les sorties, ce qui conduit les élèves à diviser la variation de x par la variation de y au lieu de diviser la variation de y par la variation de x. Les élèves confondent également souvent la notation d'un intervalle comme [2, 5] avec les coordonnées d'un point (x, y) au lieu d'y voir deux valeurs d'entrée distinctes, ou ils soustraient les valeurs dans un ordre incohérent entre le numérateur et le dénominateur.

Les fiches d'exercices utilisant le modèle Taux de variation moyen présentent aux élèves une expression de fonction, un tableau de valeurs ou une courbe tracée, associés à un intervalle précis. Les élèves calculent les valeurs de la fonction aux bornes de cet intervalle, effectuent la division, puis indiquent le taux de variation ou interprètent ce que représente ce taux dans des situations concrètes.

Créer une fiche pour cette compétence

Combiner des fonctions par composition

Les élèves apprennent à substituer une fonction dans une autre pour évaluer ou écrire des expressions composées comme f(g(x)).

Point du programme HSF-BF.A.1 Écrire une fonction qui décrit une relation entre deux grandeurs.★ a. Déterminer une expression explicite, un processus récursif ou des étapes de calcul à partir d'un contexte. b. Combiner des types de fonctions usuelles à l'aide d'opérations arithmétiques. Par exemple, construire une fonction qui modélise la température d'un corps qui se refroidit en ajoutant une fonction constante à une exponentielle décroissante, et relier ces fonctions au modèle. c. (+) Composer des fonctions. Par exemple, si T(y) est la température dans l'atmosphère en fonction de l'altitude, et h(t) est l'altitude d'un ballon météorologique en fonction du temps, alors T(h(t)) est la température à l'emplacement du ballon météorologique en fonction du temps. (notre traduction)

En classe de 3e, les élèves apprennent à relier deux relations en utilisant directement la valeur de sortie d'une fonction comme valeur d'entrée d'une autre. Ils évaluent ces règles imbriquées pour un nombre donné, par exemple en calculant f(g(3)), et construisent de nouvelles formules algébriques pour des fonctions combinées, notées f(g(x)), à l'aide des relations linéaires et quadratiques standard abordées à ce niveau.

Une erreur fréquente consiste à confondre la composition avec la multiplication. Lorsqu'on leur demande d'évaluer f(g(x)), les élèves calculent souvent f(x) multiplié par g(x) au lieu de substituer l'expression complète de g(x) à la variable de f(x). Une autre erreur classique consiste à inverser l'ordre en appliquant la règle externe avant la règle interne, plutôt qu'en procédant de l'intérieur vers l'extérieur.

Les exercices de la série Composition de fonctions présentent généralement les expressions de deux fonctions, telles que f(x) = 2x + 1 et g(x) = 3x - 4. Il est demandé aux élèves d'évaluer cette chaîne de calcul pour une valeur d'entrée spécifique ou d'écrire et de simplifier une seule expression algébrique représentant la composition complète.

Créer une fiche pour cette compétence

Trouver la fonction réciproque d'une fonction affine

Les élèves apprennent à écrire la formule de la réciproque d'une fonction linéaire en réorganisant l'équation pour isoler la variable de départ.

Point du programme HSF-BF.B.4 Trouver des fonctions réciproques. a. Résoudre une équation de la forme f(x) = c pour une fonction simple f qui admet une réciproque et écrire une expression pour la réciproque. Par exemple, f(x) =2 x3 ou f(x) = (x+1)/(x–1) pour x ≠ 1. b. (+) Vérifier par composition qu'une fonction est la réciproque d'une autre. c. (+) Lire des valeurs d'une fonction réciproque à partir d'un graphique ou d'un tableau, sachant que la fonction admet une réciproque. d. (+) Produire une fonction inversible à partir d'une fonction non inversible en restreignant le domaine. (notre traduction)

En 9e année, les élèves apprennent à déterminer la fonction réciproque d'une fonction affine simple. Ils partent d'une équation de la forme f(x) = mx + b, la posent égale à une valeur ou une variable de sortie, puis inversent les opérations étape par étape pour isoler la variable d'entrée initiale x. Cela leur permet d'obtenir une nouvelle règle affine qui inverse l'effet de la fonction de départ.

Une erreur courante consiste à confondre fonction réciproque et inverse. Les élèves écrivent fréquemment 1 / f(x) au lieu de déterminer la règle réciproque, en partie parce que la notation avec un exposant négatif présente de fortes similitudes. Une autre erreur fréquente consiste à inverser incorrectement l'ordre des opérations, par exemple en divisant par la pente avant de soustraire le terme constant lors de l'isolement de la variable.

Les exercices de la fiche sur la Réciproque d'une fonction affine présentent une équation de droite, telle que f(x) = 4x - 7 ou f(x) = -2x + 3. Les élèves réalisent les étapes algébriques pour isoler la variable d'entrée et écrire l'expression réciproque résultante, généralement exprimée sous la notation fonctionnelle f⁻¹(x) = (x + 7) / 4.

Créer une fiche pour cette compétence

Résolution de systèmes d'une droite et d'une parabole

Les élèves apprennent à déterminer les points d'intersection d'une droite et d'une parabole à l'aide de méthodes algébriques et graphiques.

Point du programme HSA-REI.C.7 Résoudre un système simple composé d'une équation linéaire et d'une équation quadratique à deux variables, algébriquement et graphiquement. Par exemple, trouver les points d'intersection entre la droite y = –3x et le cercle x2 + y2 = 3. (notre traduction)

En 9e année, les élèves résolvent des systèmes d'équations associant une équation linéaire à une équation quadratique. Ils apprennent à déterminer les coordonnées des points d'intersection d'une droite et d'une parabole, en travaillant à la fois graphiquement dans un repère et algébriquement en substituant l'expression linéaire dans l'équation quadratique pour trouver les variables communes.

Une erreur fréquente consiste à trouver les valeurs de x et à s'arrêter là. Comme la solution d'un système représente des points d'intersection, les élèves doivent réinjecter chaque valeur de x dans l'équation linéaire afin de trouver la valeur de y correspondante et écrire les réponses finales sous la forme de couples de coordonnées complets, tels que (x, y). Les élèves commettent également souvent des erreurs de signe lorsqu'ils égalisent l'équation combinée à zéro avant de factoriser ou d'utiliser la formule quadratique.

Les exercices des fiches de travail portent sur la recherche des intersections entre une parabole et une droite. Un exercice type propose un système tel que y = x² + 2x - 1 et y = x + 5, en demandant aux élèves soit de tracer les deux équations pour déterminer l'endroit où elles se croisent, soit d'utiliser la substitution pour calculer les coordonnées exactes des points d'intersection.

Créer une fiche pour cette compétence

Calculer la valeur d'une fonction du second degré

Les élèves apprennent à substituer un nombre donné dans une fonction quadratique et à calculer sa valeur de sortie en utilisant la notation fonctionnelle.

Point du programme HSF-IF.A.2 Utiliser la notation fonctionnelle, évaluer des fonctions pour des valeurs d'entrée de leur domaine de définition et interpréter des énoncés utilisant la notation fonctionnelle dans le cadre d'un contexte. (notre traduction)

Les élèves apprennent à utiliser la notation fonctionnelle pour évaluer des expressions quadratiques pour des valeurs d'entrée spécifiques. À partir d'une règle telle que f(x), ils remplacent la variable par la valeur d'entrée choisie, élèvent la valeur au carré, la multiplient par d'éventuels coefficients et combinent les termes pour déterminer la valeur de sortie finale.

Un écueil fréquent concerne les valeurs d'entrée négatives et la priorité des opérations. Les élèves appliquent souvent mal les règles de signes lorsqu'ils élèvent un nombre négatif au carré — écrivant -3² = -9 au lieu de (-3)² = 9 — ou ils multiplient la valeur d'entrée par un coefficient externe avant de l'élever au carré, ce qui conduit à un résultat incorrect.

Les exercices d'entraînement basés sur le modèle Valeur d'une fonction quadratique présentent généralement une équation telle que f(x) = 2x² - 5x + 3 et invitent les élèves à déterminer des valeurs de sortie telles que f(4) ou f(-2).

Créer une fiche pour cette compétence

Modèles d'exercices à imprimer

Tous les types d’exercices, regroupés par compétence. Un clic ouvre le générateur avec le type déjà choisi.

Factorisation de polynômes : groupement et cubes

Déterminer les termes et les sommes de suites arithmétiques

Déterminer les termes et les sommes de suites géométriques

Trouver les termes d'une suite

Multiplication de produits remarquables de binômes

Calculer les valeurs de fonctions exponentielles

Déterminer les équations de droites et de droites parallèles

Trouver le sommet et utiliser la forme canonique

Résolution de systèmes d'équations par élimination

Calcul de la variance d'un ensemble de données

Travailler avec les exposants fractionnaires

Résolution d'inéquations linéaires à une inconnue

Équations sans solution ou avec une infinité de solutions

Résolution des équations du second degré

Déplacer les courbes de fonctions vers le haut, le bas, la gauche et la droite

Calcul du taux de variation moyen

Combiner des fonctions par composition

Trouver la fonction réciproque d'une fonction affine

Résolution de systèmes d'une droite et d'une parabole

Calculer la valeur d'une fonction du second degré

Autres types d’exercices

Créer une fiche pour ce programme