Español
Programa escolar (Estados Unidos)

Matemáticas — 9.º curso

Matemáticas de 9.º grado según los Estándares Estatales del Núcleo Común, generalmente Álgebra I: ecuaciones lineales, desigualdades y sistemas, funciones lineales y cuadráticas, factorización, exponentes racionales, sucesiones y funciones exponenciales. Cada tema incluye hojas de trabajo imprimibles.

Crear una hoja de este programa

¿Qué aprenden los estudiantes en matemáticas de noveno grado?

En 9.º grado, los estudiantes resuelven ecuaciones lineales, desigualdades y sistemas, escriben funciones lineales a partir de dos puntos e interpretan la tasa de cambio promedio. Factorizan polinomios, usan productos notables y exponentes racionales, resuelven ecuaciones cuadráticas y trabajan con la forma del vértice de una función cuadrática. Las sucesiones aritméticas y geométricas, las funciones exponenciales, la composición y las funciones inversas completan el año.

Sobre los estándares: los estándares Common Core para la escuela secundaria están organizados por categoría conceptual (Número y cantidad, Álgebra, Funciones, Geometría, Estadística y probabilidad), no por grado. La asignación de un tema a un grado es una decisión propia, siguiendo la secuencia habitual de cursos: Álgebra I, Geometría, Álgebra II y Precálculo. Los estándares marcados con (+) van más allá del núcleo de preparación para la universidad y la carrera profesional.

Estado de la página: los temas de este grado están listos como ejercicios simples (instrucción y fórmula); a continuación se están añadiendo problemas con diagramas y problemas verbales.

Alcance del currículo

  1. Punto del currículo HSN-RN · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    El sistema de los números reales

    nuestra traducción · texto original (EN): The Real Number System

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Real Number System (HSN-RN)

  2. Punto del currículo HSN-RN.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Extender las propiedades de los exponentes a exponentes racionales.

    nuestra traducción · texto original (EN): Extend the properties of exponents to rational exponents.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, cluster A

  3. Punto del currículo HSN-RN.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar las propiedades de los números racionales e irracionales.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use properties of rational and irrational numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, cluster B

  4. Punto del currículo HSN-RN.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar cómo la definición del significado de los exponentes racionales se deriva de extender las propiedades de los exponentes enteros a esos valores, permitiendo una notación para los radicales en términos de exponentes racionales. Por ejemplo, definimos 5 1/3 como la raíz cúbica de 5 porque queremos que se cumpla (51/3)3 = 5(1/3)3, por lo que (51/3)3 debe ser igual a 5.

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain how the definition of the meaning of rational exponents follows from extending the properties of integer exponents to those values, allowing for a notation for radicals in terms of rational exponents. For example, we define 5 1/3 to be the cube root of 5 because we want (51/3)3 = 5(1/3)3 to hold, so (51/3)3 must equal 5.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.A.1

  5. Punto del currículo HSN-RN.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reescribir expresiones que involucran radicales y exponentes racionales utilizando las propiedades de los exponentes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Rewrite expressions involving radicals and rational exponents using the properties of exponents.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.A.2

    Trabajar con exponentes fraccionarios (en nuestro curso 9)

  6. Punto del currículo HSN-RN.B.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar por qué la suma o el producto de dos números racionales es racional; que la suma de un número racional y un número irracional es irracional; y que el producto de un número racional distinto de cero y un número irracional es irracional.

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain why the sum or product of two rational numbers is rational; that the sum of a rational number and an irrational number is irrational; and that the product of a nonzero rational number and an irrational number is irrational.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.B.3

  7. Punto del currículo HSN-Q · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Cantidades★

    nuestra traducción · texto original (EN): Quantities★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Quantities★ (HSN-Q)

  8. Punto del currículo HSN-Q.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Razonar cuantitativamente y usar unidades para resolver problemas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Reason quantitatively and use units to solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, cluster A

  9. Punto del currículo HSN-Q.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar las unidades como una manera de comprender los problemas y de guiar la solución de problemas de varios pasos; elegir e interpretar unidades de manera coherente en fórmulas; elegir e interpretar la escala y el origen en gráficas y representaciones de datos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use units as a way to understand problems and to guide the solution of multi-step problems; choose and interpret units consistently in formulas; choose and interpret the scale and the origin in graphs and data displays.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.1

  10. Punto del currículo HSN-Q.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Definir cantidades adecuadas para el propósito del modelado descriptivo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Define appropriate quantities for the purpose of descriptive modeling.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.2

  11. Punto del currículo HSN-Q.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Elegir un nivel de exactitud adecuado a las limitaciones de la medición al reportar cantidades.

    nuestra traducción · texto original (EN): Choose a level of accuracy appropriate to limitations on measurement when reporting quantities.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.3

  12. Punto del currículo HSA-SSE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Ver la estructura en las expresiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Seeing Structure in Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)

  13. Punto del currículo HSA-SSE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar la estructura de las expresiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret the structure of expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A

  14. Punto del currículo HSA-SSE.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B

  15. Punto del currículo HSA-SSE.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto.★ a. Interpretar partes de una expresión, tales como términos, factores y coeficientes. b. Interpretar expresiones complicadas al considerar una o más de sus partes como una sola entidad. Por ejemplo, interpretar P(1+r)n como el producto de P y un factor que no depende de P.

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1

  16. Punto del currículo HSA-SSE.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2).

    nuestra traducción · texto original (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

    Multiplicación de productos notables de binomios (en nuestro curso 9-11) · Factorización de polinomios: agrupación y cubos (en nuestro curso 9-11)

  17. Punto del currículo HSA-SSE.B.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar las propiedades de la cantidad representada por la expresión. ★ a. Factorizar una expresión cuadrática para revelar los ceros de la función que define. b. Completar el cuadrado en una expresión cuadrática para revelar el valor máximo o mínimo de la función que define. c. Usar las propiedades de los exponentes para transformar expresiones de funciones exponenciales. Por ejemplo, la expresión 1.15t se puede reescribir como (1.151/12)12t ≈ 1.01212t para revelar la tasa de interés mensual equivalente aproximada si la tasa anual es del 15%.

    nuestra traducción · texto original (EN): Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. ★ a. Factor a quadratic expression to reveal the zeros of the function it defines. b. Complete the square in a quadratic expression to reveal the maximum or minimum value of the function it defines. c. Use the properties of exponents to transform expressions for exponential functions. For example the expression 1.15t can be rewritten as (1.151/12)12t ≈ 1.01212t to reveal the approximate equivalent monthly interest rate if the annual rate is 15%.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.B.3

  18. Punto del currículo HSA-APR · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Aritmética con polinomios y expresiones racionales

    nuestra traducción · texto original (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)

  19. Punto del currículo HSA-APR.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Realizar operaciones aritméticas con polinomios

    nuestra traducción · texto original (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A

  20. Punto del currículo HSA-APR.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender que los polinomios forman un sistema análogo al de los números enteros, es decir, son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación; sumar, restar y multiplicar polinomios.

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1

  21. Punto del currículo HSA-CED · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones★

    nuestra traducción · texto original (EN): Creating Equations★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)

  22. Punto del currículo HSA-CED.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones que describan números o relaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations that describe numbers or relationships

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A

  23. Punto del currículo HSA-CED.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones y desigualdades en una variable y usarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surgen de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples.

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1

  24. Punto del currículo HSA-CED.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones con dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2

  25. Punto del currículo HSA-CED.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelado. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3

  26. Punto del currículo HSA-CED.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reorganizar fórmulas para destacar una cantidad de interés, utilizando el mismo razonamiento que al resolver ecuaciones. Por ejemplo, reorganizar la ley de Ohm V = IR para destacar la resistencia R.

    nuestra traducción · texto original (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4

  27. Punto del currículo HSA-REI · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Razonamiento con ecuaciones y desigualdades

    nuestra traducción · texto original (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)

  28. Punto del currículo HSA-REI.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la resolución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A

  29. Punto del currículo HSA-REI.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver ecuaciones e inecuaciones con una variable

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve equations and inequalities in one variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster B

  30. Punto del currículo HSA-REI.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver sistemas de ecuaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve systems of equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C

  31. Punto del currículo HSA-REI.D · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D

  32. Punto del currículo HSA-REI.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar cada paso al resolver una ecuación simple como consecuencia de la igualdad de números afirmada en el paso anterior, partiendo de la suposición de que la ecuación original tiene una solución. Construir un argumento viable para justificar un método de solución.

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain each step in solving a simple equation as following from the equality of numbers asserted at the previous step, starting from the assumption that the original equation has a solution. Construct a viable argument to justify a solution method.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.A.1

  33. Punto del currículo HSA-REI.B.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales con una variable, incluyendo ecuaciones con coeficientes representados por letras.

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.B.3

    Resolución de inecuaciones lineales en una variable (en nuestro curso 9) · Ecuaciones sin solución o con infinitas soluciones (en nuestro curso 9)

  34. Punto del currículo HSA-REI.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable. a. Usar el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x – p)2 = q que tenga las mismas soluciones. Deducir la fórmula cuadrática a partir de esta forma. b. Resolver ecuaciones cuadráticas por inspección (p. ej., para x2 = 49), extrayendo raíces cuadradas, completando el cuadrado, mediante la fórmula cuadrática y factorizando, según sea adecuado para la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuándo la fórmula cuadrática da soluciones complejas y escribirlas como a ± bi para números reales a y b.

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve quadratic equations in one variable. a. Use the method of completing the square to transform any quadratic equation in x into an equation of the form (x – p)2 = q that has the same solutions. Derive the quadratic formula from this form. b. Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x2 = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi f or real numbers a and b.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.B.4

    Resolución de ecuaciones cuadráticas (en nuestro curso 9)

  35. Punto del currículo HSA-REI.C.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar que, dado un sistema de dos ecuaciones con dos variables, reemplazar una ecuación por la suma de esa ecuación y un múltiplo de la otra produce un sistema con las mismas soluciones.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove that, given a system of two equations in two variables, replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.5

  36. Punto del currículo HSA-REI.C.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma exacta y aproximada (p. ej., con gráficas), centrándose en pares de ecuaciones lineales con dos variables.

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve systems of linear equations exactly and approximately (e.g., with graphs), focusing on pairs of linear equations in two variables.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.6

    Resolución de sistemas de ecuaciones por eliminación (en nuestro curso 9)

  37. Punto del currículo HSA-REI.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver algebraica y gráficamente un sistema simple formado por una ecuación lineal y una ecuación cuadrática en dos variables. Por ejemplo, hallar los puntos de intersección entre la recta y = –3x y el círculo x2 + y2 = 3.

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve a simple system consisting of a linear equation and a quadratic equation in two variables algebraically and graphically. For example, find the points of intersection between the line y = –3x and the circle x2 + y2 = 3.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.7

    Resolución de sistemas de una recta y una parábola (en nuestro curso 9)

  38. Punto del currículo HSA-REI.D.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones representadas en el plano de coordenadas, que a menudo forma una curva (que podría ser una recta).

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.10

  39. Punto del currículo HSA-REI.D.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar por qué las coordenadas x de los puntos donde se intersecan las gráficas de las ecuaciones y = f(x) e y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); hallar las soluciones de forma aproximada, p. ej., usando tecnología para graficar las funciones, hacer tablas de valores o hallar aproximaciones sucesivas. Incluir casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas.★

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11

  40. Punto del currículo HSA-REI.D.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar gráficamente las soluciones de una desigualdad lineal en dos variables como un semiplano (excluyendo la frontera en el caso de una desigualdad estricta), y representar gráficamente el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales en dos variables como la intersección de los semiplanos correspondientes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Graph the solutions to a linear inequality in two variables as a half-plane (excluding the boundary in the case of a strict inequality), and graph the solution set to a system of linear inequalities in two variables as the intersection of the corresponding half-planes.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.12

  41. Punto del currículo HSF-IF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretación de funciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpreting Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)

  42. Punto del currículo HSF-IF.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender el concepto de función y utilizar la notación de funciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand the concept of a function and use function notation

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster A

  43. Punto del currículo HSF-IF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B

  44. Punto del currículo HSF-IF.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Analizar funciones utilizando diferentes representaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Analyze functions using different representations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C

  45. Punto del currículo HSF-IF.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender que una función de un conjunto (llamado dominio) a otro conjunto (llamado rango) asigna a cada elemento del dominio exactamente un elemento del rango. Si f es una función y x es un elemento de su dominio, entonces f(x) denota la salida de f correspondiente a la entrada x. La gráfica de f es la gráfica de la ecuación y = f(x).

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand that a function from one set (called the domain) to another set (called the range) assigns to each element of the domain exactly one element of the range. If f is a function and x is an element of its domain, then f(x) denotes the output of f corresponding to the input x. The graph of f is the graph of the equation y = f(x).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.1

  46. Punto del currículo HSF-IF.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar la notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios, e interpretar enunciados que usan la notación de funciones en términos de un contexto.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use function notation, evaluate functions for inputs in their domains, and interpret statements that use function notation in terms of a context.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.2

    Hallar el valor de una función cuadrática (en nuestro curso 9) · Evaluación de funciones lineales (en nuestro curso 8)

  47. Punto del currículo HSF-IF.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reconocer que las sucesiones son funciones, a veces definidas recursivamente, cuyo dominio es un subconjunto de los números enteros. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se define recursivamente mediante f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) para n ≥ 1.

    nuestra traducción · texto original (EN): Recognize that sequences are functions, sometimes defined recursively, whose domain is a subset of the integers. For example, the Fibonacci sequence is defined recursively by f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) for n ≥ 1.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.3

    Hallar los términos de una sucesión (en nuestro curso 9)

  48. Punto del currículo HSF-IF.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar las características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y trazar gráficas que muestren las características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: intersecciones; intervalos donde la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento en los extremos; y periodicidad .★

    nuestra traducción · texto original (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4

  49. Punto del currículo HSF-IF.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, cuando corresponda, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h(n) da el número de horas-persona que se necesitan para ensamblar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio adecuado para la función. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5

  50. Punto del currículo HSF-IF.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

    Cálculo de la tasa de cambio promedio (en nuestro curso 9-11)

  51. Punto del currículo HSF-IF.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos simples y utilizando tecnología para casos más complicados. ★ a. Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar las intersecciones, los máximos y los mínimos. b. Graficar funciones de raíz cuadrada, raíz cúbica y definidas por partes, incluidas las funciones escalonadas y las funciones de valor absoluto. c. Graficar funciones polinómicas, identificando los ceros cuando se disponga de factorizaciones adecuadas, y mostrando el comportamiento en los extremos. d. (+) Graficar funciones racionales, identificando los ceros y las asíntotas cuando se disponga de factorizaciones adecuadas, y mostrando el comportamiento en los extremos. e. Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, mostrando las intersecciones y el comportamiento en los extremos, y funciones trigonométricas, mostrando el período, la línea media y la amplitud.

    nuestra traducción · texto original (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7

  52. Punto del currículo HSF-IF.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. a. Usar el proceso de factorización y de completar el cuadrado en una función cuadrática para mostrar los ceros, los valores extremos y la simetría de la gráfica, e interpretarlos en términos de un contexto. b. Usar las propiedades de los exponentes para interpretar expresiones de funciones exponenciales. Por ejemplo, identificar la tasa porcentual de cambio en funciones tales como y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, y clasificarlas según representen crecimiento o decaimiento exponencial.

    nuestra traducción · texto original (EN): Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

    Encontrar el vértice y usar la forma del vértice (en nuestro curso 9-11)

  53. Punto del currículo HSF-IF.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una forma diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada la gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica de otra, indicar cuál tiene el máximo mayor.

    nuestra traducción · texto original (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9

  54. Punto del currículo HSF-BF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construcción de funciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Building Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)

  55. Punto del currículo HSF-BF.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir una función que modele una relación entre dos cantidades

    nuestra traducción · texto original (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A

  56. Punto del currículo HSF-BF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes

    nuestra traducción · texto original (EN): Build new functions from existing functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B

  57. Punto del currículo HSF-BF.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

    Hallar ecuaciones de rectas y rectas paralelas (en nuestro curso 9-11) · Combinación de funciones mediante composición (en nuestro curso 9-11)

  58. Punto del currículo HSF-BF.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Escribir sucesiones aritméticas y geométricas tanto de forma recursiva como con una fórmula explícita, utilizarlas para modelar situaciones y traducir entre las dos formas. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.2

    Hallar términos y sumas de sucesiones aritméticas (en nuestro curso 9) · Hallar términos y sumas de sucesiones geométricas (en nuestro curso 9-11)

  59. Punto del currículo HSF-BF.B.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Identificar el efecto en la gráfica al reemplazar f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y de sus expresiones algebraicas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

    Desplazamiento de gráficas de funciones hacia arriba, hacia abajo, a la izquierda y a la derecha (en nuestro curso 9-11)

  60. Punto del currículo HSF-BF.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Hallar funciones inversas. a. Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tiene una inversa y escribir una expresión para la inversa. Por ejemplo, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) para x ≠ 1. b. (+) Verificar mediante composición que una función es la inversa de otra. c. (+) Leer valores de una función inversa a partir de una gráfica o una tabla, dado que la función tiene una inversa. d. (+) Producir una función invertible a partir de una función no invertible restringiendo el dominio.

    nuestra traducción · texto original (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

    Cómo hallar la inversa de una función lineal (en nuestro curso 9-11)

  61. Punto del currículo HSF-LE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Modelos lineales, cuadráticos y exponenciales★

    nuestra traducción · texto original (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)

  62. Punto del currículo HSF-LE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A

  63. Punto del currículo HSF-LE.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar expresiones de funciones en términos de la situación que modelan

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret expressions for functions in terms of the situation they model

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster B

  64. Punto del currículo HSF-LE.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Distinguir entre situaciones que se pueden modelar con funciones lineales y con funciones exponenciales. a. Demostrar que las funciones lineales crecen por diferencias iguales a lo largo de intervalos iguales, y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales a lo largo de intervalos iguales. b. Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una razón constante por intervalo unitario en relación con otra. c. Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decae a una razón porcentual constante por intervalo unitario en relación con otra.

    nuestra traducción · texto original (EN): Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. a. Prove that linear functions grow by equal differences over equal intervals, and that exponential functions grow by equal factors over equal intervals. b. Recognize situations in which one quantity changes at a constant rate per unit interval relative to another. c. Recognize situations in which a quantity grows or decays by a constant percent rate per unit interval relative to another.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.1

  65. Punto del currículo HSF-LE.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir funciones lineales y exponenciales, incluidas las sucesiones aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos a partir de una tabla).

    nuestra traducción · texto original (EN): Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.2

    Hallar términos y sumas de sucesiones aritméticas (en nuestro curso 9) · Hallar términos y sumas de sucesiones geométricas (en nuestro curso 9-11)

  66. Punto del currículo HSF-LE.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Observar, utilizando gráficas y tablas, que una cantidad que aumenta exponencialmente finalmente supera a una cantidad que aumenta linealmente, cuadráticamente o (más generalmente) como una función polinómica.

    nuestra traducción · texto original (EN): Observe using graphs and tables that a quantity increasing exponentially eventually exceeds a quantity increasing linearly, quadratically, or (more generally) as a polynomial function.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.3

  67. Punto del currículo HSF-LE.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en términos de un contexto.

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.B.5

    Hallar valores de funciones exponenciales (en nuestro curso 9)

  68. Punto del currículo HSS-ID · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretación de datos categóricos y cuantitativos

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)

  69. Punto del currículo HSS-ID.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resumir, representar e interpretar datos sobre una sola variable de conteo o medición

    nuestra traducción · texto original (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A

  70. Punto del currículo HSS-ID.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resumir, representar e interpretar datos sobre dos variables categóricas y cuantitativas

    nuestra traducción · texto original (EN): Summarize, represent, and interpret data on two categorical and quantitative variables

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster B

  71. Punto del currículo HSS-ID.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar modelos lineales

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret linear models

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster C

  72. Punto del currículo HSS-ID.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar datos con gráficas en la recta numérica real (diagramas de puntos, histogramas y diagramas de caja).

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent data with plots on the real number line (dot plots, histograms, and box plots).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.1

  73. Punto del currículo HSS-ID.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar estadísticas apropiadas para la forma de la distribución de los datos para comparar el centro (mediana, media) y la dispersión (rango intercuartílico, desviación estándar) de dos o más conjuntos de datos diferentes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use statistics appropriate to the shape of the data distribution to compare center (median, mean) and spread (interquartile range, standard deviation) of two or more different data sets.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.2

    Cálculo de la varianza de un conjunto de datos (en nuestro curso 9)

  74. Punto del currículo HSS-ID.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar las diferencias en la forma, el centro y la dispersión en el contexto de los conjuntos de datos, teniendo en cuenta los posibles efectos de los puntos de datos extremos (valores atípicos).

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret differences in shape, center, and spread in the context of the data sets, accounting for possible effects of extreme data points (outliers).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.3

  75. Punto del currículo HSS-ID.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resumir datos categóricos para dos categorías en tablas de frecuencias de doble entrada. Interpretar frecuencias relativas en el contexto de los datos (incluidas frecuencias relativas conjuntas, marginales y condicionales). Reconocer posibles asociaciones y tendencias en los datos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Summarize categorical data for two categories in two-way frequency tables. Interpret relative frequencies in the context of the data (including joint, marginal, and conditional relative frequencies). Recognize possible associations and trends in the data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.5

  76. Punto del currículo HSS-ID.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar datos de dos variables cuantitativas en un diagrama de dispersión, y describir cómo se relacionan las variables. a. Ajustar una función a los datos; usar funciones ajustadas a los datos para resolver problemas en el contexto de los datos. Usar funciones dadas o elegir una función sugerida por el contexto. Enfatizar los modelos lineales, cuadráticos y exponenciales. b. Evaluar informalmente el ajuste de una función graficando y analizando los residuos. c. Ajustar una función lineal para un diagrama de dispersión que sugiere una asociación lineal.

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related. a. Fit a function to the data; use functions fitted to data to solve problems in the context of the data. Use given functions or choose a function suggested by the context. Emphasize linear, quadratic, and exponential models. b. Informally assess the fit of a function by plotting and analyzing residuals. c. Fit a linear function for a scatter plot that suggests a linear association.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.6

  77. Punto del currículo HSS-ID.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar la pendiente (tasa de cambio) y la intersección (término constante) de un modelo lineal en el contexto de los datos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret the slope (rate of change) and the intercept (constant term) of a linear model in the context of the data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.7

  78. Punto del currículo HSS-ID.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Calcular (utilizando tecnología) e interpretar el coeficiente de correlación de un ajuste lineal.

    nuestra traducción · texto original (EN): Compute (using technology) and interpret the correlation coefficient of a linear fit.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.8

  79. Punto del currículo HSS-ID.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Distinguir entre correlación y causalidad.

    nuestra traducción · texto original (EN): Distinguish between correlation and causation.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.9

Competencias paso a paso

Factorización de polinomios: agrupación y cubos

Los estudiantes aprenden a reescribir expresiones polinómicas factorizando monomios comunes, agrupando términos y utilizando la suma y diferencia de cubos.

Punto del currículo HSA-SSE.A.2 Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2). (nuestra traducción)

En 9.º grado, los estudiantes aprenden a inspeccionar la estructura de una expresión polinómica para identificar cómo se puede reescribir en forma factorizada. En esta etapa, van más allá de los trinomios básicos para extraer el máximo factor común, factorizar expresiones de cuatro términos agrupando términos en pares y reconocer expresiones compuestas por dos términos al cubo.

Un error frecuente ocurre con los signos negativos al factorizar por agrupación: los estudiantes a menudo olvidan cambiar el signo del segundo término al extraer un monomio negativo de un par. Con los cubos, los estudiantes suelen confundir los signos en la fórmula o tratan por error el factor cuadrático resultante como un trinomio estándar que se puede seguir factorizando.

La práctica imprimible sobre esta habilidad se centra en tres tipos de tareas:

  • Factorizar extrayendo un monomio: hallar el máximo factor común compartido por todos los términos y extraerlo delante de los paréntesis.
  • Factorización por agrupación: organizar cuatro términos en dos pares para extraer un factor binomio común.
  • Suma y diferencia de cubos: identificar expresiones con dos términos al cubo y reescribirlas como el producto de un factor lineal y un factor cuadrático.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Sacar factor común un monomio · Factorización por agrupación · Suma y diferencia de cubos

Evaluación de funciones lineales

Los estudiantes aprenden a sustituir un valor de entrada dado en una ecuación lineal utilizando la notación de funciones para calcular el único valor de salida correspondiente.

Punto del currículo 8.F.A.1 Comprender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consiste en una entrada y la salida correspondiente. (nuestra traducción)
Punto del currículo 8.F.A.3 Interpretar la ecuación y = mx + b como la definición de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s2 que da el área de un cuadrado en función de la longitud de su lado no es lineal porque su gráfica contiene los puntos (1,1), (2,4) y (3,9), los cuales no están en una línea recta. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSF-IF.A.2 Usar la notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios, e interpretar enunciados que usan la notación de funciones en términos de un contexto. (nuestra traducción)

En esta etapa, los estudiantes trabajan con reglas lineales de la forma f(x) = mx + b. Dado un valor de entrada numérico específico para x, sustituyen ese valor en la regla, lo multiplican por la pendiente y suman o restan el término constante para encontrar el valor de salida único.

Un error frecuente ocurre cuando los estudiantes confunden la notación de función con la multiplicación, interpretando f(4) como una instrucción para multiplicar una incógnita f por 4 en lugar de hallar el valor de la regla en 4. Los estudiantes también suelen cometer errores de signo al sustituir números negativos o al trabajar con coeficientes negativos, omitiendo los signos negativos durante el paso de la multiplicación.

Las tareas en las hojas de trabajo imprimibles presentan funciones lineales y piden a los estudiantes que determinen el valor de salida para un valor del dominio dado. En la práctica, los estudiantes resuelven e introducen el valor final directamente o identifican la respuesta correcta entre opciones de opción múltiple.

Hallar términos y sumas de sucesiones aritméticas

Los estudiantes aprenden a escribir fórmulas para encontrar cualquier término de una sucesión aritmética y a calcular la suma de un número determinado de términos.

Punto del currículo HSF-BF.A.2 Escribir sucesiones aritméticas y geométricas tanto de forma recursiva como con una fórmula explícita, utilizarlas para modelar situaciones y traducir entre las dos formas. ★ (nuestra traducción)
Punto del currículo HSF-LE.A.2 Construir funciones lineales y exponenciales, incluidas las sucesiones aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos a partir de una tabla). (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a identificar sucesiones aritméticas con una diferencia constante que se suma entre términos consecutivos. En 9.º grado, utilizan fórmulas explícitas para calcular directamente cualquier término n-ésimo específico y determinar la suma total de una cantidad determinada de términos sin tener que escribir cada uno de los valores intermedios.

Un error frecuente ocurre al construir la fórmula para el término n-ésimo: los estudiantes a menudo multiplican la diferencia común por n en lugar de n − 1, olvidando que al término inicial aún no se le ha sumado ninguna diferencia. Al calcular la suma de una sucesión, los estudiantes también suelen confundir el valor del término final con el número total de términos que se están sumando.

La práctica en las hojas de trabajo se centra en dos tipos concretos de ejercicios:

  • Sucesión aritmética — término n-ésimo: Los estudiantes toman una sucesión o tabla de valores, determinan la diferencia común y calculan un término lejano, como el término 20.º o 50.º.
  • Sucesión aritmética — suma de términos: Los estudiantes aplican la fórmula de la sucesión para hallar el total combinado de los primeros n términos.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Progresión aritmética — suma · Progresión aritmética — término n-ésimo

Hallar términos y sumas de sucesiones geométricas

Los estudiantes aprenden a encontrar cualquier término específico en una sucesión geométrica y a calcular la suma de un conjunto de términos utilizando fórmulas.

Punto del currículo HSA-SSE.B.4 Deducir la fórmula para la suma de una serie geométrica finita (cuando la razón común no es 1), y usar la fórmula para resolver problemas. Por ejemplo, calcular los pagos de una hipoteca.★ (nuestra traducción)
Punto del currículo HSF-BF.A.2 Escribir sucesiones aritméticas y geométricas tanto de forma recursiva como con una fórmula explícita, utilizarlas para modelar situaciones y traducir entre las dos formas. ★ (nuestra traducción)
Punto del currículo HSF-LE.A.2 Construir funciones lineales y exponenciales, incluidas las sucesiones aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos a partir de una tabla). (nuestra traducción)

En 9.º grado, los estudiantes trabajan con sucesiones geométricas: listas ordenadas de números donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón común fija (distinta de 1). Los estudiantes identifican el valor inicial y el multiplicador, escriben fórmulas explícitas y las utilizan para calcular cualquier término lejano (el n-ésimo término), así como la suma total de un número finito de términos.

Un error común ocurre en el exponente de la fórmula del n-ésimo término. Los estudiantes con frecuencia multiplican el término inicial por la razón común elevada a la potencia n en lugar de n − 1, olvidando que el primer término implica cero multiplicaciones. Al calcular sumas, los estudiantes a menudo aplican de forma incorrecta los signos negativos o gestionan mal los paréntesis cuando la razón común es una fracción o un número negativo.

Las actividades de las hojas de trabajo desarrollan esta habilidad mediante dos formatos principales:

  • Sucesión geométrica: n-ésimo término: Los estudiantes observan una lista dada de números (como 3, 6, 12, ...) o una situación del mundo real, determinan la razón común y encuentran un valor específico, como el 8.º término.
  • Sucesión geométrica: suma de términos: Los estudiantes toman una sucesión y calculan la suma total de sus primeros términos sustituyendo el primer término, la razón y la cantidad de términos en la fórmula de la serie geométrica finita.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Progresión geométrica — suma · Progresión geométrica — término n-ésimo

Hallar los términos de una sucesión

Los estudiantes aprenden a encontrar valores específicos en una sucesión sustituyendo entradas enteras en una fórmula o utilizando una regla recursiva paso a paso.

Punto del currículo HSF-IF.A.3 Reconocer que las sucesiones son funciones, a veces definidas recursivamente, cuyo dominio es un subconjunto de los números enteros. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se define recursivamente mediante f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) para n ≥ 1. (nuestra traducción)

En 9.º grado, los estudiantes tratan las sucesiones como funciones cuyo dominio consiste en números enteros, como n ≥ 1 o a partir de n = 0. Los estudiantes aprenden a determinar términos específicos evaluando una fórmula algebraica explícita para una posición dada o avanzando paso a paso a través de una definición recursiva utilizando los valores iniciales proporcionados.

Un obstáculo frecuente es confundir el número de posición del término, n, con el valor del término, f(n). Los estudiantes también suelen malinterpretar notaciones como f(n − 1), restando accidentalmente 1 del valor numérico del término en lugar de referirse al término anterior en la sucesión.

Las tareas de práctica generalmente se centran en dos formatos estándar:

  • Término de una sucesión a partir de su fórmula: Los estudiantes sustituyen una posición entera directamente en la fórmula de una función para calcular ese término específico.
  • Término de una sucesión recursiva: Los estudiantes comienzan con términos iniciales dados (como f(0) o f(1)) y aplican una relación de recurrencia, como f(n + 1) = f(n) + 3, para generar los términos siguientes uno a uno.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Término de una sucesión a partir de la fórmula · Término de una sucesión recurrente

Multiplicación de productos notables de binomios

Los estudiantes aprenden a reconocer patrones para desarrollar rápidamente cuadrados de binomios y productos de sumas y diferencias sin multiplicar término a término.

Punto del currículo HSA-SSE.A.2 Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2). (nuestra traducción)

En 9.º grado, los estudiantes aprenden a utilizar la estructura subyacente de las expresiones para desarrollarlas de manera eficiente mediante patrones abreviados. En lugar de multiplicar cada término uno por uno, identifican si un problema coincide con una regla algebraica específica para escribir directamente el polinomio desarrollado.

El error más común ocurre al elevar al cuadrado una suma o una diferencia. Los estudiantes con frecuencia escriben (x + 4)^2 como x^2 + 16, aplicando incorrectamente el exponente a cada término dentro del paréntesis y omitiendo el término central generado al multiplicar el binomio por sí mismo.

Las actividades de las hojas de ejercicios ofrecen a los estudiantes práctica con dos estructuras específicas:

  • Cuadrado de una suma o una diferencia: desarrollar términos como (x + 5)^2 o (2x - 3)^2 en una expresión cuadrática completa de tres términos.
  • Producto de una suma por una diferencia: multiplicar pares como (x + 7)(x - 7) donde los términos centrales se cancelan, dejando una diferencia de cuadrados.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Cuadrado de una suma o diferencia · Suma por diferencia

Hallar valores de funciones exponenciales

Los estudiantes aprenden a evaluar funciones exponenciales para valores de entrada dados e interpretar los valores iniciales y los factores de crecimiento o decrecimiento en contextos del mundo real.

Punto del currículo HSF-LE.B.5 Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en términos de un contexto. (nuestra traducción)

En 9.º grado, los estudiantes aprenden a calcular el valor de salida de una función exponencial y a comprender qué representa cada parámetro en un problema verbal. Identifican la cantidad inicial (el valor inicial cuando la entrada es cero) y utilizan la multiplicación repetida por una base constante para determinar cómo cambian las cantidades a lo largo del tiempo.

Un error frecuente ocurre al trabajar con el decaimiento exponencial. Cuando una cantidad disminuye, los estudiantes a menudo confunden la tasa de disminución con la base multiplicadora—por ejemplo, al multiplicar por 0,15 en lugar de 0,85 cuando algo disminuye un 15 %. Otro error común es multiplicar el valor inicial por la base antes de aplicar el exponente, ignorando el orden correcto de las operaciones.

Las tareas de las fichas de trabajo se centran en problemas como Valor de una función exponencial y Función exponencial decreciente. Un problema típico presenta una situación del mundo real, como la depreciación del valor de un automóvil o el enfriamiento de un objeto, y pide a los estudiantes que evalúen la fórmula después de un número determinado de intervalos de tiempo o indiquen qué significa un número específico en la ecuación dentro de esa situación.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Función exponencial decreciente · Valor de una función exponencial

Hallar ecuaciones de rectas y rectas paralelas

Los estudiantes aprenden a escribir la ecuación de una función lineal dados dos puntos de coordenadas o un solo punto y una recta paralela.

Punto del currículo HSF-BF.A.1 Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo. (nuestra traducción)

En 9.º grado, los estudiantes aprenden a escribir una ecuación algebraica explícita para una función lineal. Utilizan puntos de coordenadas para calcular la pendiente —la tasa de cambio— y determinar dónde corta la recta el eje vertical (la intersección con el eje y). Al trabajar con rectas paralelas, los estudiantes reconocen y aplican el principio geométrico de que las rectas paralelas comparten exactamente la misma pendiente.

Un error común ocurre durante la sustitución de las coordenadas. Al calcular la intersección con el eje y, los estudiantes suelen intercambiar los valores de x e y en la fórmula, lo que da lugar a una constante incorrecta. Al trabajar con rectas paralelas, los estudiantes también tienden a alterar la pendiente en lugar de mantenerla idéntica a la de la ecuación original.

Las tareas de las hojas de ejercicios se presentan en dos formatos estándar:

  • Función lineal que pasa por dos puntos: Los estudiantes reciben dos coordenadas, calculan la pendiente entre ellas y escriben la ecuación lineal resultante.
  • Recta paralela que pasa por un punto: Los estudiantes reciben una ecuación lineal existente y un punto aparte, lo que les exige extraer la pendiente y construir una nueva recta que pase por ese punto específico.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Función lineal por dos puntos · Recta paralela por un punto

Encontrar el vértice y usar la forma del vértice

Los estudiantes aprenden a usar la forma de vértice y a completar el cuadrado para identificar el vértice, el valor máximo o mínimo y el eje de simetría de una parábola.

Punto del currículo HSF-IF.C.8 Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. a. Usar el proceso de factorización y de completar el cuadrado en una función cuadrática para mostrar los ceros, los valores extremos y la simetría de la gráfica, e interpretarlos en términos de un contexto. b. Usar las propiedades de los exponentes para interpretar expresiones de funciones exponenciales. Por ejemplo, identificar la tasa porcentual de cambio en funciones tales como y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, y clasificarlas según representen crecimiento o decaimiento exponencial. (nuestra traducción)

En Álgebra I de 9.º grado, los estudiantes aprenden a reescribir expresiones cuadráticas en la forma de vértice para revelar las características clave de una parábola. Mediante técnicas como completar el cuadrado, convierten funciones cuadráticas estándar en formas equivalentes que muestran los valores extremos de la gráfica (puntos máximos o mínimos) y el eje de simetría sin necesidad de graficar cada punto.

Un obstáculo común es controlar los signos dentro de la forma de vértice, escrita típicamente como y = a(x - h)2 + k (o sin etiquetas de superíndice, como un término al cuadrado). Debido a la resta dentro del paréntesis, los estudiantes a menudo confunden las coordenadas positivas y negativas, e identifican incorrectamente el vértice de una expresión como (x + 4)2 + 1 como (4, 1) en lugar de (-4, 1).

Las tareas de práctica se basan en plantillas como Vértice de una parábola y Forma de vértice de una función cuadrática. Un problema típico presenta una ecuación cuadrática y pide a los estudiantes que extraigan las coordenadas del vértice, identifiquen si se abre hacia arriba o hacia abajo, o reescriban una expresión polinómica estándar para determinar directamente su vértice.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Vértice de una parábola · Forma canónica de la función cuadrática

Resolución de sistemas de ecuaciones por eliminación

Los estudiantes aprenden a resolver pares de ecuaciones lineales con dos variables mediante el método de eliminación y a determinar si un sistema tiene una, ninguna o infinitas soluciones.

Punto del currículo HSA-REI.C.6 Resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma exacta y aproximada (p. ej., con gráficas), centrándose en pares de ecuaciones lineales con dos variables. (nuestra traducción)

En 9.º grado, los estudiantes resuelven pares de ecuaciones lineales con dos variables para encontrar soluciones numéricas exactas. Mediante el método de eliminación, suman o restan ecuaciones—multiplicando una o ambas ecuaciones por una constante cuando sea necesario—para que se cancele una variable. Los estudiantes también evalúan los enunciados algebraicos resultantes para identificar si un sistema tiene un único par de coordenadas como solución, ninguna solución o infinitas soluciones.

Un error frecuente ocurre al multiplicar una ecuación completa para obtener coeficientes opuestos. A menudo, los estudiantes olvidan distribuir los signos negativos o pasan por alto multiplicar el término constante al otro lado del signo igual. También surge confusión cuando ambas variables se cancelan: con frecuencia los estudiantes confunden un enunciado falso como 0 = 4 (lo que significa que no hay solución) con un enunciado verdadero como 0 = 0 (lo que indica infinitas soluciones).

Las tareas de práctica generalmente se dividen en dos formatos:

  • Sistema de ecuaciones — eliminación presenta dos ecuaciones lineales dispuestas en forma estándar, requiriendo que los estudiantes encuentren los valores exactos de ambas variables.
  • Número de soluciones de un sistema pide a los estudiantes manipular y comparar ecuaciones para indicar si el sistema tiene una solución única, ninguna solución o infinitas soluciones.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Número de soluciones de un sistema · Sistema de ecuaciones — reducción

Cálculo de la varianza de un conjunto de datos

Los estudiantes aprenden a calcular la varianza de un conjunto de datos para medir cómo se dispersan los valores individuales respecto a la media.

Punto del currículo HSS-ID.A.2 Usar estadísticas apropiadas para la forma de la distribución de los datos para comparar el centro (mediana, media) y la dispersión (rango intercuartílico, desviación estándar) de dos o más conjuntos de datos diferentes. (nuestra traducción)

En noveno grado, los estudiantes cuantifican qué tan dispersos están los valores numéricos calculando la varianza de los datos. A partir de una lista de valores, hallan la media, determinan cuánto se desvía cada dato respecto a esa media, elevan al cuadrado esas diferencias individuales y luego calculan el promedio de esos valores al cuadrado.

Un error frecuente ocurre al trabajar con desviaciones que se encuentran por debajo de la media. Los estudiantes a menudo tienen dificultades para elevar al cuadrado números negativos, ya sea omitiendo los signos negativos demasiado pronto o escribiendo incorrectamente un resultado negativo después de elevar al cuadrado. Otro error común es sumar correctamente las diferencias al cuadrado, pero olvidar el paso final de dividir entre el número de datos.

Las fichas de trabajo para esta habilidad se centran en hallar la varianza de un conjunto de datos. Una tarea típica presenta una lista breve de números y le pide al estudiante que realice el cálculo paso a paso para llegar a una única medida numérica de dispersión.

Crear una hoja de esta habilidad

Trabajar con exponentes fraccionarios

Los estudiantes aprenden a reescribir expresiones con exponentes fraccionarios y radicales aplicando las propiedades estándar de los exponentes.

Punto del currículo HSN-RN.A.2 Reescribir expresiones que involucran radicales y exponentes racionales utilizando las propiedades de los exponentes. (nuestra traducción)

En 9.º grado, los estudiantes aprenden a trabajar con números y variables elevados a potencias fraccionarias. Utilizan las propiedades de los exponentes para reescribir expresiones que contienen exponentes racionales, pasando con fluidez de la forma radical a la forma de potencia.

Un error común es confundir las funciones del numerador y del denominador en una potencia fraccionaria. Los estudiantes a menudo olvidan qué valor representa la raíz y cuál representa el exponente, a veces tratando el denominador como un multiplicador común o invirtiendo la raíz y la potencia al convertir a la notación radical.

Las tareas de práctica basadas en la plantilla Potencia con exponente racional presentan una expresión con una base elevada a una fracción. Los estudiantes aplican las reglas de los exponentes para simplificar la expresión o convertirla entre la forma radical y la forma exponencial.

Crear una hoja de esta habilidad

Resolución de inecuaciones lineales en una variable

Los estudiantes aprenden a resolver desigualdades lineales en una variable aislando el valor desconocido para encontrar todas las soluciones posibles.

Punto del currículo HSA-REI.B.3 Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales con una variable, incluyendo ecuaciones con coeficientes representados por letras. (nuestra traducción)

En 9.º grado, los estudiantes resuelven desigualdades lineales con una variable utilizando operaciones inversas para despejar el valor desconocido. Manipulan expresiones que contienen números positivos y negativos, así como coeficientes representados por letras, para determinar todo el conjunto de números que hace que una desigualdad sea verdadera.

El error más común ocurre al multiplicar o dividir ambos lados por un valor negativo. Los estudiantes suelen olvidar invertir el símbolo de la desigualdad, tratando el problema como una ecuación estándar y terminando con una desigualdad que apunta en la dirección incorrecta.

Las tareas típicas de la plantilla de desigualdad lineal piden a los estudiantes resolver problemas como -3x + 4 < 19 o expresiones con variables en ambos lados. Los estudiantes aplican la suma, la resta, la multiplicación y la división para despejar la variable y expresar la solución final.

Crear una hoja de esta habilidad

Ecuaciones sin solución o con infinitas soluciones

Los estudiantes aprenden a resolver ecuaciones lineales con una variable que dan como resultado ninguna solución o infinitas soluciones.

Punto del currículo HSA-REI.B.3 Resolver ecuaciones e inecuaciones lineales con una variable, incluyendo ecuaciones con coeficientes representados por letras. (nuestra traducción)

Los estudiantes resuelven ecuaciones lineales de varios pasos con una variable en las que los términos con la variable se cancelan en ambos lados durante la simplificación. Aprenden a interpretar la expresión resultante: si la simplificación conduce a una afirmación matemática verdadera (como 5 = 5), hay infinitas soluciones; si produce una contradicción (como 0 = 7), la ecuación no tiene solución.

Un error común ocurre cuando las variables desaparecen por completo y dejan una afirmación verdadera como 0 = 0. Con frecuencia, los estudiantes escriben erróneamente que la respuesta es x = 0, confundiendo el cero como un valor específico con una afirmación que se cumple para todos los números. Del mismo modo, al enfrentarse a una afirmación falsa como 3 = 8, los estudiantes suelen asumir que cometieron un error aritmético y continúan buscando un único número en lugar de reconocer que ningún valor puede satisfacer la ecuación.

Las actividades de las fichas de trabajo presentan una ecuación sin solución o con infinitas soluciones. Los estudiantes aplican los pasos algebraicos habituales —como usar la propiedad distributiva, combinar términos semejantes y aislar variables— para simplificar la ecuación y determinar si no tiene solución o si tiene infinitas soluciones.

Crear una hoja de esta habilidad

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Los estudiantes aprenden a resolver ecuaciones cuadráticas factorizando, calculando raíces cuadradas, completando el cuadrado y usando la fórmula cuadrática, identificando soluciones tanto reales como complejas.

Punto del currículo HSA-REI.B.4 Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable. a. Usar el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x – p)2 = q que tenga las mismas soluciones. Deducir la fórmula cuadrática a partir de esta forma. b. Resolver ecuaciones cuadráticas por inspección (p. ej., para x2 = 49), extrayendo raíces cuadradas, completando el cuadrado, mediante la fórmula cuadrática y factorizando, según sea adecuado para la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuándo la fórmula cuadrática da soluciones complejas y escribirlas como a ± bi para números reales a y b. (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a resolver ecuaciones cuadráticas de una variable mediante diversos métodos adaptados a la estructura de la ecuación. Resuelven problemas sencillos por inspección o mediante raíces cuadradas, como hallar valores para ecuaciones del tipo x² = 49, y transforman ecuaciones a la forma (x – p)² = q completando el cuadrado. También resuelven mediante factorización y la fórmula cuadrática, aprendiendo a identificar cuándo una ecuación produce soluciones complejas y expresando dichas soluciones en la forma a ± bi.

Un error habitual ocurre cuando los estudiantes calculan raíces cuadradas y olvidan incluir la raíz negativa, indicando únicamente el valor positivo (por ejemplo, hallar 7 pero omitir –7). Otro error frecuente involucra fallos de signo al simplificar los términos bajo la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática, lo que a menudo lleva a los estudiantes a pasar por alto cuándo una solución requiere números complejos.

Las actividades de práctica que utilizan la plantilla Ecuación cuadrática presentan ecuaciones en diversas formas iniciales. Los estudiantes examinan cada ecuación, eligen el método más adecuado —ya sea factorizar, calcular raíces cuadradas, completar el cuadrado o aplicar la fórmula cuadrática— y escriben todos los pasos de la solución.

Crear una hoja de esta habilidad

Desplazamiento de gráficas de funciones hacia arriba, hacia abajo, a la izquierda y a la derecha

Los estudiantes aprenden cómo sumar o restar un número desplaza una gráfica hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha, e identifican el valor del desplazamiento a partir de una gráfica de coordenadas.

Punto del currículo HSF-BF.B.3 Identificar el efecto en la gráfica al reemplazar f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y de sus expresiones algebraicas. (nuestra traducción)

En 9.º grado, los estudiantes exploran cómo se desplazan las gráficas de funciones básicas a lo largo del plano cartesiano cuando cambian sus fórmulas. Centrándose en las traslaciones, aprenden a identificar el efecto visual de reemplazar f(x) por f(x) + k o f(x + k) para valores específicos positivos y negativos de k. También trabajan en sentido inverso: a partir de una curva base y una curva desplazada, hallan el valor exacto, positivo o negativo, de k que produjo el desplazamiento.

El error más común ocurre con las traslaciones horizontales. Cuando los estudiantes ven una expresión como f(x + 3), la intuición les dice que se desplacen hacia los números positivos en el eje x (hacia la derecha). De hecho, sumar un valor positivo dentro de la función desplaza la gráfica 3 unidades hacia la izquierda, mientras que restar la desplaza hacia la derecha. Los estudiantes frecuentemente invierten esta dirección horizontal o confunden los desplazamientos aplicados dentro del argumento, f(x + k), con los desplazamientos verticales sumados fuera, f(x) + k.

En las tareas de Traslación de una gráfica, los estudiantes suelen trabajar con cuadrículas de coordenadas que muestran una función original y su copia desplazada. Se les puede pedir que escriban la nueva fórmula, identifiquen si la transformación se desplazó vertical u horizontalmente, o tracen la nueva posición a partir de una expresión como f(x) − 5 o f(x + 2).

Crear una hoja de esta habilidad

Cálculo de la tasa de cambio promedio

Los estudiantes aprenden a calcular, estimar e interpretar la rapidez con la que cambian los valores de una función en un intervalo específico mediante el uso de ecuaciones, tablas y gráficas.

Punto del currículo HSF-IF.B.6 Calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. ★ (nuestra traducción)

En 9.º grado, los estudiantes aprenden a determinar cuánto cambia la salida de una función en relación con su entrada en un intervalo determinado. Al trabajar con funciones dadas en forma de ecuaciones, tablas de datos o gráficas, los estudiantes calculan el cambio en los valores de salida dividido entre el cambio en los valores de entrada. Al observar una gráfica, estiman esta tasa directamente observando la inclinación entre dos puntos.

Un obstáculo frecuente es invertir las entradas y las salidas, lo que lleva a los estudiantes a dividir el cambio en x entre el cambio en y en lugar del cambio en y entre el cambio en x. También es común que confundan la notación de intervalo como [2, 5] con un par de coordenadas (x, y) en lugar de dos valores de entrada independientes, o que resten los valores en un orden inconsistente en el numerador y el denominador.

Las hojas de ejercicios que utilizan la plantilla Tasa de cambio promedio presentan a los estudiantes la fórmula de una función, una tabla de valores o una curva representada gráficamente junto con un intervalo específico. Los estudiantes calculan los valores de la función al inicio y al final de ese intervalo, realizan la división e indican la tasa de cambio o interpretan qué representa esa tasa en situaciones del mundo real.

Crear una hoja de esta habilidad

Combinación de funciones mediante composición

Los estudiantes aprenden a sustituir una función en otra para evaluar o escribir expresiones compuestas como f(g(x)).

Punto del currículo HSF-BF.A.1 Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo. (nuestra traducción)

En 9.º grado, los estudiantes aprenden a conectar dos relaciones utilizando directamente la salida de una función como la entrada de otra. Evalúan estas reglas anidadas en un número dado, como hallar f(g(3)), y construyen nuevas fórmulas algebraicas para funciones combinadas, escritas como f(g(x)), utilizando las relaciones lineales y cuadráticas estándar introducidas en este curso.

Un error común es confundir la composición con la multiplicación. Cuando se les pide evaluar f(g(x)), los estudiantes a menudo calculan f(x) por g(x) en lugar de sustituir la expresión completa de g(x) en la variable de f(x). Otro error típico es invertir la secuencia aplicando la regla externa antes que la regla interna, en lugar de trabajar de adentro hacia afuera.

Las tareas del conjunto Composición de funciones suelen presentar dos reglas de función, como f(x) = 2x + 1 y g(x) = 3x - 4. Se pide a los estudiantes que evalúen la regla encadenada para un valor de entrada específico o que escriban y simplifiquen una única expresión algebraica que represente la composición completa.

Crear una hoja de esta habilidad

Cómo hallar la inversa de una función lineal

Los estudiantes aprenden a escribir la fórmula de la inversa de una función lineal reorganizando la ecuación para despejar la entrada original.

Punto del currículo HSF-BF.B.4 Hallar funciones inversas. a. Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tiene una inversa y escribir una expresión para la inversa. Por ejemplo, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) para x ≠ 1. b. (+) Verificar mediante composición que una función es la inversa de otra. c. (+) Leer valores de una función inversa a partir de una gráfica o una tabla, dado que la función tiene una inversa. d. (+) Producir una función invertible a partir de una función no invertible restringiendo el dominio. (nuestra traducción)

En 9.º grado, los estudiantes aprenden a hallar la inversa de una función lineal simple. Toman una ecuación de la forma f(x) = mx + b, la igualan a un valor o variable de salida y deshacen las operaciones paso a paso para despejar la variable de entrada original x. Esto les permite obtener una nueva regla lineal que invierte el efecto de la función inicial.

Un error común es confundir una función inversa con el recíproco. Con frecuencia, los estudiantes escriben 1 / f(x) en lugar de hallar la regla que deshace las operaciones, en parte porque la notación de exponente negativo puede parecer similar. Otro error frecuente es invertir el orden de las operaciones de manera incorrecta, como dividir entre la pendiente antes de restar el término constante al despejar la variable.

Las actividades de las hojas de trabajo sobre la Inversa de una función lineal presentan una ecuación lineal, como f(x) = 4x - 7 o f(x) = -2x + 3. Los estudiantes realizan los pasos algebraicos para despejar la entrada y escribir la expresión inversa resultante, expresada normalmente en notación de función como f⁻¹(x) = (x + 7) / 4.

Crear una hoja de esta habilidad

Resolución de sistemas de una recta y una parábola

Los estudiantes aprenden a encontrar los puntos donde se intersecan una línea recta y una parábola utilizando métodos algebraicos y gráficos.

Punto del currículo HSA-REI.C.7 Resolver algebraica y gráficamente un sistema simple formado por una ecuación lineal y una ecuación cuadrática en dos variables. Por ejemplo, hallar los puntos de intersección entre la recta y = –3x y el círculo x2 + y2 = 3. (nuestra traducción)

En 9.º grado, los estudiantes resuelven sistemas de ecuaciones que combinan una ecuación lineal con una ecuación cuadrática. Aprenden a determinar las coordenadas donde se intersecan una recta y una parábola, trabajando tanto de forma gráfica en un plano de coordenadas como algebraicamente al sustituir la expresión lineal en la ecuación cuadrática para resolver las variables compartidas.

Un error común es hallar los valores de x y detenerse ahí. Como la solución de un sistema representa puntos de intersección, los estudiantes deben sustituir cada x en la ecuación lineal para encontrar su valor de y correspondiente y escribir las respuestas finales como pares de coordenadas completos, como (x, y). Los estudiantes también suelen cometer errores de signo al igualar la ecuación combinada a cero antes de factorizar o usar la fórmula cuadrática.

Las actividades de las fichas de trabajo se centran en hallar las intersecciones de una parábola y una recta. Un ejercicio típico presenta un sistema como y = x² + 2x - 1 e y = x + 5, y les pide a los estudiantes que grafiquen ambas ecuaciones para identificar dónde se intersecan o que utilicen la sustitución para calcular los puntos exactos de intersección.

Crear una hoja de esta habilidad

Hallar el valor de una función cuadrática

Los estudiantes aprenden a sustituir un número dado en una función cuadrática y a calcular su valor de salida usando la notación de funciones.

Punto del currículo HSF-IF.A.2 Usar la notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios, e interpretar enunciados que usan la notación de funciones en términos de un contexto. (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a utilizar la notación de funciones para evaluar expresiones cuadráticas para valores de entrada específicos. Dada una regla como f(x), sustituyen la variable por el valor de entrada elegido, elevan el valor al cuadrado, lo multiplican por los coeficientes correspondientes y combinan los términos para hallar el valor final de salida.

Un obstáculo frecuente tiene que ver con las entradas negativas y el orden de las operaciones. A menudo, los estudiantes aplican de forma errónea los signos al elevar al cuadrado un número negativo —escribiendo -3² = -9 en lugar de (-3)² = 9— o multiplican la entrada por un coeficiente externo antes de elevarla al cuadrado, lo que conduce a un resultado incorrecto.

Las tareas de práctica basadas en la plantilla Valor de una función cuadrática suelen presentar una ecuación como f(x) = 2x² - 5x + 3 y piden a los estudiantes determinar salidas como f(4) o f(-2).

Crear una hoja de esta habilidad

Plantillas de ejercicios para imprimir

Todos los tipos de ejercicios, agrupados por habilidad. Un clic abre el generador con el tipo ya elegido.

Factorización de polinomios: agrupación y cubos

Hallar términos y sumas de sucesiones aritméticas

Hallar términos y sumas de sucesiones geométricas

Hallar los términos de una sucesión

Multiplicación de productos notables de binomios

Hallar valores de funciones exponenciales

Hallar ecuaciones de rectas y rectas paralelas

Encontrar el vértice y usar la forma del vértice

Resolución de sistemas de ecuaciones por eliminación

Cálculo de la varianza de un conjunto de datos

Trabajar con exponentes fraccionarios

Resolución de inecuaciones lineales en una variable

Ecuaciones sin solución o con infinitas soluciones

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Desplazamiento de gráficas de funciones hacia arriba, hacia abajo, a la izquierda y a la derecha

Cálculo de la tasa de cambio promedio

Combinación de funciones mediante composición

Cómo hallar la inversa de una función lineal

Resolución de sistemas de una recta y una parábola

Hallar el valor de una función cuadrática

Otros tipos de ejercicios

Crear una hoja de este programa