Polski
Program nauczania (Stany Zjednoczone)

Matematyka — klasa 1 liceum i technikum

Matematyka dla klasy 9 według standardów Common Core State Standards, zazwyczaj Algebra I: równania liniowe, nierówności i układy równań, funkcje liniowe i kwadratowe, rozkład na czynniki, wykładniki wymierne, ciągi oraz funkcje wykładnicze. Do każdego tematu dołączone są karty pracy do wydrukowania.

Wygeneruj arkusz z tego zakresu

Czego uczniowie uczą się na matematyce w 9. klasie?

W 9. klasie uczniowie rozwiązują równania liniowe, nierówności i układy równań, wyznaczają wzory funkcji liniowych na podstawie dwóch punktów oraz interpretują średnie tempo zmian. Rozkładają wielomiany na czynniki, stosują wzory skróconego mnożenia i wykładniki wymierne, rozwiązują równania kwadratowe oraz pracują z postacią kanoniczną funkcji kwadratowej. Ciągi arytmetyczne i geometryczne, funkcje wykładnicze, składanie funkcji oraz funkcje odwrotne dopełniają program tego roku.

O standardach: standardy Common Core dla szkół średnich są zorganizowane według kategorii pojęciowych (Liczby i wielkości, Algebra, Funkcje, Geometria, Statystyka i prawdopodobieństwo), a nie według klas. Przypisanie danego tematu do klasy jest naszą decyzją, wynikającą z powszechnej kolejności kursów: Algebra I, Geometria, Algebra II i Precalculus. Standardy oznaczone symbolem (+) wykraczają poza podstawowy zakres przygotowania do studiów i kariery zawodowej.

Status strony: tematy dla tej klasy są gotowe w postaci prostych ćwiczeń (polecenie i wzór); zadania z diagramami oraz zadania tekstowe są dodawane w kolejnym etapie.

Zakres programowy

  1. Punkt podstawy HSN-RN · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    System liczb rzeczywistych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): The Real Number System

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Real Number System (HSN-RN)

  2. Punkt podstawy HSN-RN.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozszerzyć własności potęg na wykładniki wymierne.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Extend the properties of exponents to rational exponents.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, cluster A

  3. Punkt podstawy HSN-RN.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować własności liczb wymiernych i niewymiernych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use properties of rational and irrational numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, cluster B

  4. Punkt podstawy HSN-RN.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyjaśnij, w jaki sposób definicja znaczenia wykładników wymiernych wynika z rozszerzenia własności wykładników całkowitych na te wartości, umożliwiając zapis pierwiastków za pomocą wykładników wymiernych. Na przykład definiujemy 5 1/3 jako pierwiastek sześcienny z 5, ponieważ chcemy, aby zachodziło (51/3)3 = 5(1/3)3, więc (51/3)3 musi być równe 5.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Explain how the definition of the meaning of rational exponents follows from extending the properties of integer exponents to those values, allowing for a notation for radicals in terms of rational exponents. For example, we define 5 1/3 to be the cube root of 5 because we want (51/3)3 = 5(1/3)3 to hold, so (51/3)3 must equal 5.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.A.1

  5. Punkt podstawy HSN-RN.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przekształcać wyrażenia zawierające pierwiastki i wykładniki wymierne, stosując własności potęg.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Rewrite expressions involving radicals and rational exponents using the properties of exponents.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.A.2

    Praca z wykładnikami ułamkowymi (u nas w klasie 9)

  6. Punkt podstawy HSN-RN.B.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyjaśnić, dlaczego suma lub iloczyn dwóch liczb wymiernych jest liczbą wymierną; że suma liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną; oraz że iloczyn niezerowej liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Explain why the sum or product of two rational numbers is rational; that the sum of a rational number and an irrational number is irrational; and that the product of a nonzero rational number and an irrational number is irrational.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.B.3

  7. Punkt podstawy HSN-Q · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wielkości★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Quantities★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Quantities★ (HSN-Q)

  8. Punkt podstawy HSN-Q.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumować ilościowo i używać jednostek do rozwiązywania problemów.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Reason quantitatively and use units to solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, cluster A

  9. Punkt podstawy HSN-Q.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Używać jednostek jako sposobu na zrozumienie problemów i ukierunkowanie rozwiązywania zadań wieloetapowych; konsekwentnie dobierać i interpretować jednostki we wzorach; dobierać i interpretować skalę oraz początek układu na wykresach i prezentacjach danych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use units as a way to understand problems and to guide the solution of multi-step problems; choose and interpret units consistently in formulas; choose and interpret the scale and the origin in graphs and data displays.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.1

  10. Punkt podstawy HSN-Q.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Definiować odpowiednie wielkości na potrzeby modelowania opisowego.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Define appropriate quantities for the purpose of descriptive modeling.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.2

  11. Punkt podstawy HSN-Q.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dobierać poziom dokładności odpowiedni do ograniczeń pomiaru przy podawaniu wielkości.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Choose a level of accuracy appropriate to limitations on measurement when reporting quantities.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.3

  12. Punkt podstawy HSA-SSE · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dostrzeganie struktury w wyrażeniach

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Seeing Structure in Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)

  13. Punkt podstawy HSA-SSE.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować strukturę wyrażeń

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret the structure of expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A

  14. Punkt podstawy HSA-SSE.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Zapisywać wyrażenia w postaciach równoważnych, aby rozwiązywać problemy

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B

  15. Punkt podstawy HSA-SSE.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować wyrażenia reprezentujące wielkość w odniesieniu do jej kontekstu.★ a. Interpretować części wyrażenia, takie jak wyrazy, czynniki i współczynniki. b. Interpretować złożone wyrażenia, traktując jedną lub więcej ich części jako pojedynczą całość. Na przykład interpretować P(1+r)n jako iloczyn P oraz czynnika niezależącego od P.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1

  16. Punkt podstawy HSA-SSE.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystaj strukturę wyrażenia do zidentyfikowania sposobów jego przekształcenia. Na przykład dostrzeż x4 – y4 jako (x2)2 – ( y2)2, rozpoznając je w ten sposób jako różnicę kwadratów, którą można rozłożyć na czynniki jako (x2 – y2)(x2 + y2).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

    Mnożenie szczególnych iloczynów dwumianów (u nas w klasie 9-11) · Rozkładanie wielomianów na czynniki: grupowanie i sześciany (u nas w klasie 9-11)

  17. Punkt podstawy HSA-SSE.B.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wybierać i tworzyć równoważną postać wyrażenia, aby ujawnić i wyjaśnić własności wielkości reprezentowanej przez to wyrażenie. ★ a. Rozkładać na czynniki wyrażenie kwadratowe, aby ujawnić miejsca zerowe funkcji, którą ono określa. b. Dopełniać do kwadratu w wyrażeniu kwadratowym, aby ujawnić wartość maksymalną lub minimalną funkcji, którą ono określa. c. Stosować własności potęg do przekształcania wyrażeń funkcji wykładniczych. Na przykład wyrażenie 1.15t można zapisać w postaci (1.151/12)12t ≈ 1.01212t, aby ujawnić przybliżoną równoważną miesięczną stopę procentową, jeśli roczna stopa wynosi 15%.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. ★ a. Factor a quadratic expression to reveal the zeros of the function it defines. b. Complete the square in a quadratic expression to reveal the maximum or minimum value of the function it defines. c. Use the properties of exponents to transform expressions for exponential functions. For example the expression 1.15t can be rewritten as (1.151/12)12t ≈ 1.01212t to reveal the approximate equivalent monthly interest rate if the annual rate is 15%.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.B.3

  18. Punkt podstawy HSA-APR · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Działania na wielomianach i wyrażeniach wymiernych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)

  19. Punkt podstawy HSA-APR.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykonywać działania arytmetyczne na wielomianach

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A

  20. Punkt podstawy HSA-APR.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć, że wielomiany tworzą układ analogiczny do liczb całkowitych, mianowicie są zamknięte ze względu na działania dodawania, odejmowania i mnożenia; dodawać, odejmować i mnożyć wielomiany.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1

  21. Punkt podstawy HSA-CED · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzenie równań★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Creating Equations★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)

  22. Punkt podstawy HSA-CED.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzyć równania opisujące liczby lub zależności

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Create equations that describe numbers or relationships

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A

  23. Punkt podstawy HSA-CED.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzyć równania i nierówności z jedną zmienną i używać ich do rozwiązywania problemów. Uwzględniać równania wynikające z funkcji liniowych i kwadratowych oraz prostych funkcji wymiernych i wykładniczych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1

  24. Punkt podstawy HSA-CED.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzyć równania z dwiema lub więcej zmiennymi, aby przedstawić zależności między wielkościami; sporządzać wykresy równań na osiach współrzędnych z oznaczeniami i skalami.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2

  25. Punkt podstawy HSA-CED.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przedstawiać ograniczenia za pomocą równań lub nierówności oraz za pomocą układów równań i/lub nierówności i interpretować rozwiązania jako opcje dopuszczalne lub niedopuszczalne w kontekście modelowania. Na przykład przedstawiać nierówności opisujące ograniczenia żywieniowe i kosztowe dotyczące kombinacji różnych produktów spożywczych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3

  26. Punkt podstawy HSA-CED.A.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przekształcać wzory, aby wyznaczyć wskazaną wielkość, stosując to samo rozumowanie, co przy rozwiązywaniu równań. Na przykład przekształcić prawo Ohma V = IR, aby wyznaczyć opór R.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4

  27. Punkt podstawy HSA-REI · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumowanie z wykorzystaniem równań i nierówności

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)

  28. Punkt podstawy HSA-REI.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć rozwiązywanie równań jako proces rozumowania i wyjaśniać to rozumowanie

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A

  29. Punkt podstawy HSA-REI.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozwiązywać równania i nierówności z jedną niewiadomą

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Solve equations and inequalities in one variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster B

  30. Punkt podstawy HSA-REI.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozwiązywać układy równań

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Solve systems of equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C

  31. Punkt podstawy HSA-REI.D · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przedstawiać i rozwiązywać równania i nierówności graficznie

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D

  32. Punkt podstawy HSA-REI.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyjaśnić każdy krok w rozwiązywaniu prostego równania jako wynikający z równości liczb stwierdzonej w poprzednim kroku, wychodząc z założenia, że równanie wyjściowe ma rozwiązanie. Skonstruować poprawny argument, aby uzasadnić metodę rozwiązania.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Explain each step in solving a simple equation as following from the equality of numbers asserted at the previous step, starting from the assumption that the original equation has a solution. Construct a viable argument to justify a solution method.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.A.1

  33. Punkt podstawy HSA-REI.B.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozwiązywać równania i nierówności liniowe z jedną niewiadomą, w tym równania ze współczynnikami reprezentowanymi przez litery.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.B.3

    Rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą (u nas w klasie 9) · Równania bez rozwiązań lub o nieskończenie wielu rozwiązaniach (u nas w klasie 9)

  34. Punkt podstawy HSA-REI.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozwiązywać równania kwadratowe z jedną niewiadomą. a. Stosować metodę dopełniania do kwadratu w celu przekształcenia dowolnego równania kwadratowego ze zmienną x w równanie postaci (x – p)2 = q mające te same rozwiązania. Wyprowadzać wzór na pierwiastki równania kwadratowego z tej postaci. b. Rozwiązywać równania kwadratowe przez ogląd (np. dla x2 = 49), pierwiastkowanie, dopełnianie do kwadratu, wzór na pierwiastki równania kwadratowego oraz rozkład na czynniki, stosownie do początkowej postaci równania. Rozpoznawać, kiedy wzór na pierwiastki równania kwadratowego daje rozwiązania zespolone, i zapisywać je jako a ± bi dla liczb rzeczywistych a i b.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Solve quadratic equations in one variable. a. Use the method of completing the square to transform any quadratic equation in x into an equation of the form (x – p)2 = q that has the same solutions. Derive the quadratic formula from this form. b. Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x2 = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi f or real numbers a and b.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.B.4

    Rozwiązywanie równań kwadratowych (u nas w klasie 9)

  35. Punkt podstawy HSA-REI.C.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Udowodnić, że dla danego układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi zastąpienie jednego równania sumą tego równania i wielokrotności drugiego daje układ o tych samych rozwiązaniach.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Prove that, given a system of two equations in two variables, replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.5

  36. Punkt podstawy HSA-REI.C.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozwiązywać układy równań liniowych dokładnie i w przybliżeniu (np. za pomocą wykresów), skupiając się na parach równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Solve systems of linear equations exactly and approximately (e.g., with graphs), focusing on pairs of linear equations in two variables.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.6

    Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji (u nas w klasie 9)

  37. Punkt podstawy HSA-REI.C.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozwiąż prosty układ składający się z równania liniowego i równania kwadratowego z dwiema zmiennymi algebraicznie i graficznie. Na przykład znajdź punkty przecięcia prostej y = –3x i okręgu x2 + y2 = 3.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Solve a simple system consisting of a linear equation and a quadratic equation in two variables algebraically and graphically. For example, find the points of intersection between the line y = –3x and the circle x2 + y2 = 3.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.7

    Rozwiązywanie układów równań prostej i paraboli (u nas w klasie 9)

  38. Punkt podstawy HSA-REI.D.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć, że wykres równania z dwiema zmiennymi jest zbiorem wszystkich jego rozwiązań zaznaczonych na płaszczyźnie współrzędnych, często tworzącym krzywą (która może być prostą).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.10

  39. Punkt podstawy HSA-REI.D.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyjaśnij, dlaczego współrzędne x punktów przecięcia wykresów równań y = f(x) i y = g(x) są rozwiązaniami równania f(x) = g(x); znajdź rozwiązania w przybliżeniu, np. wykorzystując technologię do sporządzania wykresów funkcji, tworzenia tabel wartości lub znajdowania kolejnych przybliżeń. Uwzględnij przypadki, w których f(x) i/lub g(x) są funkcjami liniowymi, wielomianowymi, wymiernymi, z wartością bezwzględną, wykładniczymi i logarytmicznymi.★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11

  40. Punkt podstawy HSA-REI.D.12 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przedstaw graficznie rozwiązania nierówności liniowej z dwiema niewiadomymi jako półpłaszczyznę (z wyłączeniem brzegu w przypadku nierówności ostrej) oraz przedstaw graficznie zbiór rozwiązań układu nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi jako część wspólną odpowiednich półpłaszczyzn.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Graph the solutions to a linear inequality in two variables as a half-plane (excluding the boundary in the case of a strict inequality), and graph the solution set to a system of linear inequalities in two variables as the intersection of the corresponding half-planes.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.12

  41. Punkt podstawy HSF-IF · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretowanie funkcji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpreting Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)

  42. Punkt podstawy HSF-IF.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć pojęcie funkcji i stosować notację funkcyjną

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand the concept of a function and use function notation

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster A

  43. Punkt podstawy HSF-IF.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować funkcje pojawiające się w zastosowaniach w odniesieniu do kontekstu

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B

  44. Punkt podstawy HSF-IF.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Analizować funkcje za pomocą różnych reprezentacji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Analyze functions using different representations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C

  45. Punkt podstawy HSF-IF.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć, że funkcja z jednego zbioru (zwanego dziedziną) do drugiego zbioru (zwanego zbiorem wartości) przyporządkowuje każdemu elementowi dziedziny dokładnie jeden element zbioru wartości. Jeśli f jest funkcją, a x jest elementem jej dziedziny, to f(x) oznacza wartość wyjściową f odpowiadającą wartości wejściowej x. Wykres f jest wykresem równania y = f(x).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand that a function from one set (called the domain) to another set (called the range) assigns to each element of the domain exactly one element of the range. If f is a function and x is an element of its domain, then f(x) denotes the output of f corresponding to the input x. The graph of f is the graph of the equation y = f(x).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.1

  46. Punkt podstawy HSF-IF.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Używać notacji funkcyjnej, obliczać wartości funkcji dla argumentów należących do ich dziedzin i interpretować stwierdzenia wykorzystujące notację funkcyjną w odniesieniu do kontekstu.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use function notation, evaluate functions for inputs in their domains, and interpret statements that use function notation in terms of a context.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.2

    Wyznaczanie wartości funkcji kwadratowej (u nas w klasie 9) · Obliczanie wartości funkcji liniowych (u nas w klasie 8)

  47. Punkt podstawy HSF-IF.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozpoznawać, że ciągi są funkcjami, czasami definiowanymi rekurencyjnie, których dziedziną jest podzbiór liczb całkowitych. Na przykład ciąg Fibonacciego jest zdefiniowany rekurencyjnie przez f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) dla n ≥ 1.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Recognize that sequences are functions, sometimes defined recursively, whose domain is a subset of the integers. For example, the Fibonacci sequence is defined recursively by f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) for n ≥ 1.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.3

    Wyznaczanie wyrazów ciągu (u nas w klasie 9)

  48. Punkt podstawy HSF-IF.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dla funkcji modelującej zależność między dwiema wielkościami interpretować kluczowe własności wykresów i tabel w odniesieniu do tych wielkości oraz szkicować wykresy przedstawiające kluczowe własności na podstawie słownego opisu zależności. Kluczowe własności obejmują: punkty przecięcia z osiami; przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca, dodatnia lub ujemna; maksima i minima lokalne; symetrie; zachowanie na krańcach; oraz okresowość.★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4

  49. Punkt podstawy HSF-IF.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Powiązać dziedzinę funkcji z jej wykresem oraz, tam gdzie ma to zastosowanie, z zależnością ilościową, którą opisuje. Na przykład, jeśli funkcja h(n) podaje liczbę roboczogodzin potrzebnych do zmontowania n silników w fabryce, wówczas dodatnie liczby całkowite byłyby odpowiednią dziedziną tej funkcji. ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5

  50. Punkt podstawy HSF-IF.B.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Obliczać i interpretować średnią szybkość zmian funkcji (przedstawionej symbolicznie lub w postaci tabeli) w określonym przedziale. Szacować szybkość zmian na podstawie wykresu. ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

    Obliczanie średniego tempa zmian (u nas w klasie 9-11)

  51. Punkt podstawy HSF-IF.C.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Sporządzać wykresy funkcji wyrażonych symbolicznie i przedstawiać kluczowe cechy wykresu, ręcznie w prostych przypadkach oraz z użyciem technologii w przypadkach bardziej złożonych. ★ a. Sporządzać wykresy funkcji liniowych i kwadratowych oraz wskazywać punkty przecięcia z osiami, maksima i minima. b. Sporządzać wykresy funkcji pierwiastka kwadratowego, pierwiastka sześciennego oraz funkcji określonych przedziałami, w tym funkcji schodkowych i funkcji wartości bezwzględnej. c. Sporządzać wykresy funkcji wielomianowych, wyznaczając miejsca zerowe, gdy dostępny jest odpowiedni rozkład na czynniki, oraz wskazując zachowanie na krańcach dziedziny. d. (+) Sporządzać wykresy funkcji wymiernych, wyznaczając miejsca zerowe i asymptoty, gdy dostępny jest odpowiedni rozkład na czynniki, oraz wskazując zachowanie na krańcach dziedziny. e. Sporządzać wykresy funkcji wykładniczych i logarytmicznych, wskazując punkty przecięcia z osiami i zachowanie na krańcach dziedziny, oraz funkcji trygonometrycznych, wskazując okres, linię środkową i amplitudę.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7

  52. Punkt podstawy HSF-IF.C.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Zapisywać funkcję określoną za pomocą wyrażenia w różnych, lecz równoważnych postaciach, aby ujawnić i wyjaśnić różne własności funkcji. a. Stosować rozkład na czynniki i dopełnianie do kwadratu w funkcji kwadratowej, aby pokazać miejsca zerowe, wartości ekstremalne oraz symetrię wykresu, i interpretować je w kontekście. b. Stosować własności potęg do interpretacji wyrażeń opisujących funkcje wykładnicze. Na przykład określać procentową stopę zmiany w funkcjach takich jak y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10 i klasyfikować je jako reprezentujące wzrost lub zanik wykładniczy.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

    Wyznaczanie wierzchołka i stosowanie postaci kanonicznej (u nas w klasie 9-11)

  53. Punkt podstawy HSF-IF.C.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Porównaj własności dwóch funkcji, z których każda jest przedstawiona w inny sposób (algebraicznie, graficznie, liczbowo w tabelach lub za pomocą opisów słownych). Na przykład, mając dany wykres jednej funkcji kwadratowej i wyrażenie algebraiczne drugiej, określ, która ma większe maksimum.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9

  54. Punkt podstawy HSF-BF · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Budowanie funkcji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Building Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)

  55. Punkt podstawy HSF-BF.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Budować funkcję, która modeluje zależność między dwiema wielkościami

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A

  56. Punkt podstawy HSF-BF.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzyć nowe funkcje z istniejących funkcji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Build new functions from existing functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B

  57. Punkt podstawy HSF-BF.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Zapisać funkcję opisującą zależność między dwiema wielkościami.★ a. Wyznaczyć wyrażenie w postaci jawnej, proces rekurencyjny lub kroki obliczeń na podstawie kontekstu. b. Łączyć standardowe typy funkcji za pomocą działań arytmetycznych. Na przykład zbudować funkcję modelującą temperaturę stygnącego ciała poprzez dodanie funkcji stałej do malejącej funkcji wykładniczej oraz powiązać te funkcje z modelem. c. (+) Składać funkcje. Na przykład, jeśli T(y) jest temperaturą w atmosferze w zależności od wysokości, a h(t) jest wysokością balonu meteorologicznego w zależności od czasu, to T(h(t)) jest temperaturą w miejscu balonu meteorologicznego w zależności od czasu.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

    Wyznaczanie równań prostych i prostych równoległych (u nas w klasie 9-11) · Łączenie funkcji poprzez składanie (u nas w klasie 9-11)

  58. Punkt podstawy HSF-BF.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Zapisywać ciągi arytmetyczne i geometryczne zarówno rekurencyjnie, jak i za pomocą wzoru jawnego, wykorzystywać je do modelowania sytuacji oraz przechodzić między tymi dwiema postaciami. ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.2

    Wyznaczanie wyrazów i sum ciągów arytmetycznych (u nas w klasie 9) · Wyznaczanie wyrazów i sum ciągów geometrycznych (u nas w klasie 9-11)

  59. Punkt podstawy HSF-BF.B.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Identyfikować wpływ na wykres zastąpienia f(x) przez f(x) + k, k f(x), f(kx) oraz f(x + k) dla określonych wartości k (zarówno dodatnich, jak i ujemnych); wyznaczać wartość k na podstawie wykresów. Eksperymentować z przypadkami i ilustrować wyjaśnienie wpływu na wykres z wykorzystaniem technologii. Uwzględniać rozpoznawanie funkcji parzystych i nieparzystych na podstawie ich wykresów oraz opisujących je wyrażeń algebraicznych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

    Przesuwanie wykresów funkcji w górę, w dół, w lewo i w prawo (u nas w klasie 9-11)

  60. Punkt podstawy HSF-BF.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyznacz funkcje odwrotne. a. Rozwiąż równanie postaci f(x) = c dla prostej funkcji f, która ma funkcję odwrotną, i zapisz wyrażenie dla funkcji odwrotnej. Na przykład f(x) =2 x3 lub f(x) = (x+1)/(x–1) dla x ≠ 1. b. (+) Sprawdź za pomocą składania, że jedna funkcja jest funkcją odwrotną do drugiej. c. (+) Odczytaj wartości funkcji odwrotnej z wykresu lub tabeli, przy założeniu, że funkcja ma funkcję odwrotną. d. (+) Utwórz funkcję odwracalną z funkcji nieodwracalnej poprzez ograniczenie dziedziny.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

    Wyznaczanie funkcji odwrotnej do funkcji liniowej (u nas w klasie 9-11)

  61. Punkt podstawy HSF-LE · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Modele liniowe, kwadratowe i wykładnicze★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)

  62. Punkt podstawy HSF-LE.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Konstruować i porównywać modele liniowe, kwadratowe i wykładnicze oraz rozwiązywać zadania

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A

  63. Punkt podstawy HSF-LE.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować wyrażenia określające funkcje w kontekście sytuacji, którą modelują

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret expressions for functions in terms of the situation they model

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster B

  64. Punkt podstawy HSF-LE.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozróżniać sytuacje, które można modelować za pomocą funkcji liniowych i funkcji wykładniczych. a. Dowodzić, że funkcje liniowe rosną o równe różnice w równych przedziałach, a funkcje wykładnicze rosną o równe czynniki w równych przedziałach. b. Rozpoznawać sytuacje, w których jedna wielkość zmienia się ze stałą szybkością w jednostkowym przedziale względem drugiej. c. Rozpoznawać sytuacje, w których wielkość rośnie lub maleje o stałą stopę procentową w jednostkowym przedziale względem drugiej.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. a. Prove that linear functions grow by equal differences over equal intervals, and that exponential functions grow by equal factors over equal intervals. b. Recognize situations in which one quantity changes at a constant rate per unit interval relative to another. c. Recognize situations in which a quantity grows or decays by a constant percent rate per unit interval relative to another.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.1

  65. Punkt podstawy HSF-LE.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Konstruować funkcje liniowe i wykładnicze, w tym ciągi arytmetyczne i geometryczne, na podstawie wykresu, opisu zależności lub dwóch par wartości wejściowych i wyjściowych (w tym odczytywanie ich z tabeli).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.2

    Wyznaczanie wyrazów i sum ciągów arytmetycznych (u nas w klasie 9) · Wyznaczanie wyrazów i sum ciągów geometrycznych (u nas w klasie 9-11)

  66. Punkt podstawy HSF-LE.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Obserwować, korzystając z wykresów i tabel, że wielkość rosnąca wykładniczo ostatecznie przewyższa wielkość rosnącą liniowo, kwadratowo lub (ogólniej) jako funkcja wielomianowa.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Observe using graphs and tables that a quantity increasing exponentially eventually exceeds a quantity increasing linearly, quadratically, or (more generally) as a polynomial function.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.3

  67. Punkt podstawy HSF-LE.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować parametry funkcji liniowej lub wykładniczej w odniesieniu do kontekstu.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.B.5

    Wyznaczanie wartości funkcji wykładniczych (u nas w klasie 9)

  68. Punkt podstawy HSS-ID · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretowanie danych jakościowych i ilościowych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)

  69. Punkt podstawy HSS-ID.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Podsumowywać, przedstawiać i interpretować dane dotyczące pojedynczej zmiennej zliczeniowej lub pomiarowej

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A

  70. Punkt podstawy HSS-ID.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Podsumowywać, przedstawiać i interpretować dane dotyczące dwóch zmiennych jakościowych i ilościowych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Summarize, represent, and interpret data on two categorical and quantitative variables

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster B

  71. Punkt podstawy HSS-ID.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować modele liniowe

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret linear models

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster C

  72. Punkt podstawy HSS-ID.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przedstawiać dane za pomocą wykresów na osi liczb rzeczywistych (wykresy kropkowe, histogramy i wykresy pudełkowe).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Represent data with plots on the real number line (dot plots, histograms, and box plots).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.1

  73. Punkt podstawy HSS-ID.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować statystyki odpowiednie do kształtu rozkładu danych, aby porównać środek (medianę, średnią) i rozproszenie (rozstęp międzykwartylowy, odchylenie standardowe) dwóch lub więcej różnych zestawów danych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use statistics appropriate to the shape of the data distribution to compare center (median, mean) and spread (interquartile range, standard deviation) of two or more different data sets.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.2

    Obliczanie wariancji zestawu danych (u nas w klasie 9)

  74. Punkt podstawy HSS-ID.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować różnice w kształcie, środku i rozproszeniu w kontekście zestawów danych, uwzględniając możliwy wpływ skrajnych punktów danych (obserwacji odstających).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret differences in shape, center, and spread in the context of the data sets, accounting for possible effects of extreme data points (outliers).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.3

  75. Punkt podstawy HSS-ID.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Podsumowywać dane jakościowe dla dwóch kategorii w dwudzielczych tabelach liczności. Interpretować częstości względne w kontekście danych (w tym łączne, brzegowe i warunkowe częstości względne). Rozpoznawać możliwe zależności i trendy w danych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Summarize categorical data for two categories in two-way frequency tables. Interpret relative frequencies in the context of the data (including joint, marginal, and conditional relative frequencies). Recognize possible associations and trends in the data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.5

  76. Punkt podstawy HSS-ID.B.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przedstaw dane dotyczące dwóch zmiennych ilościowych na wykresie rozrzutu i opisz, jak te zmienne są powiązane. a. Dopasuj funkcję do danych; użyj funkcji dopasowanych do danych do rozwiązywania problemów w kontekście danych. Użyj danych funkcji lub wybierz funkcję sugerowaną przez kontekst. Połóż nacisk na modele liniowe, kwadratowe i wykładnicze. b. Nieformalnie oceń dopasowanie funkcji, wykreślając i analizując reszty. c. Dopasuj funkcję liniową do wykresu rozrzutu, który sugeruje zależność liniową.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related. a. Fit a function to the data; use functions fitted to data to solve problems in the context of the data. Use given functions or choose a function suggested by the context. Emphasize linear, quadratic, and exponential models. b. Informally assess the fit of a function by plotting and analyzing residuals. c. Fit a linear function for a scatter plot that suggests a linear association.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.6

  77. Punkt podstawy HSS-ID.C.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować współczynnik kierunkowy (tempo zmian) i punkt przecięcia z osią (wyraz wolny) modelu liniowego w kontekście danych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret the slope (rate of change) and the intercept (constant term) of a linear model in the context of the data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.7

  78. Punkt podstawy HSS-ID.C.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Obliczać (z wykorzystaniem technologii) i interpretować współczynnik korelacji dopasowania liniowego.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Compute (using technology) and interpret the correlation coefficient of a linear fit.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.8

  79. Punkt podstawy HSS-ID.C.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozróżniać korelację i przyczynowość.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Distinguish between correlation and causation.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.9

Umiejętności krok po kroku

Rozkładanie wielomianów na czynniki: grupowanie i sześciany

Uczniowie uczą się przekształcać wyrażenia wielomianowe poprzez wyłączanie wspólnego jednomianu przed nawias, grupowanie wyrazów oraz stosowanie sumy i różnicy sześcianów.

Punkt podstawy HSA-SSE.A.2 Wykorzystaj strukturę wyrażenia do zidentyfikowania sposobów jego przekształcenia. Na przykład dostrzeż x4 – y4 jako (x2)2 – ( y2)2, rozpoznając je w ten sposób jako różnicę kwadratów, którą można rozłożyć na czynniki jako (x2 – y2)(x2 + y2). (nasze tłumaczenie)

W 9. klasie uczniowie uczą się analizować strukturę wyrażeń wielomianowych, aby określić, w jaki sposób można zapisać je w postaci iloczynowej. Na tym etapie wykraczają poza podstawowe trójmiany, wyłączając największy wspólny czynnik przed nawias, rozkładając na czynniki wyrażenia czterowyrazowe poprzez grupowanie wyrazów w pary oraz rozpoznając wyrażenia złożone z dwóch sześcianów.

Częsty błąd wiąże się ze znakami ujemnymi podczas rozkładania na czynniki metodą grupowania: uczniowie często zapominają o zmianie znaku drugiego wyrazu przy wyłączaniu ujemnego jednomianu z pary. W przypadku sześcianów uczniowie powszechnie mylą znaki we wzorze lub błędnie traktują powstały czynnik kwadratowy jako standardowy trójmian, który można dalej rozłożyć na czynniki.

Karty pracy do druku ćwiczące tę umiejętność skupiają się na trzech rodzajach zadań:

  • Wyłączanie jednomianu przed nawias: znajdowanie największego wspólnego dzielnika dla wszystkich wyrazów i wyłączanie go przed nawias.
  • Rozkład na czynniki przez grupowanie: porządkowanie czterech wyrazów w dwie pary w celu wyłączenia wspólnego czynnika dwumianowego.
  • Suma i różnica sześcianów: rozpoznawanie wyrażeń z dwoma sześcianami i zapisywanie ich w postaci iloczynu czynnika liniowego i czynnika kwadratowego.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wyłączanie jednomianu przed nawias · Rozkład przez grupowanie · Suma i różnica sześcianów

Obliczanie wartości funkcji liniowych

Uczniowie uczą się podstawiać daną wartość wejściową do równania liniowego przy użyciu notacji funkcyjnej, aby obliczyć odpowiadającą jej pojedynczą wartość wyjściową.

Punkt podstawy 8.F.A.1 Rozumie, że funkcja to reguła, która każdemu argumentowi (wartości wejściowej) przyporządkowuje dokładnie jedną wartość (wartość wyjściową). Wykresem funkcji jest zbiór par uporządkowanych składających się z argumentu i odpowiadającej mu wartości. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy 8.F.A.3 Interpretować równanie y = mx + b jako definiujące funkcję liniową, której wykresem jest prosta; podawać przykłady funkcji, które nie są liniowe. Na przykład funkcja A = s2 określająca pole kwadratu jako funkcję długości jego boku nie jest liniowa, ponieważ jej wykres zawiera punkty (1,1), (2,4) i (3,9), które nie leżą na prostej. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSF-IF.A.2 Używać notacji funkcyjnej, obliczać wartości funkcji dla argumentów należących do ich dziedzin i interpretować stwierdzenia wykorzystujące notację funkcyjną w odniesieniu do kontekstu. (nasze tłumaczenie)

Na tym etapie uczniowie pracują ze wzorami funkcji liniowej w postaci f(x) = mx + b. Mając daną konkretną wartość liczbową dla x, podstawiają tę wartość do wzoru, mnożą ją przez współczynnik kierunkowy oraz dodają lub odejmują wyraz wolny, aby wyznaczyć jednoznaczną wartość funkcji.

Częstym błędem jest mylenie zapisu funkcji z mnożeniem i odczytywanie f(4) jako polecenia pomnożenia niewiadomej f przez 4, zamiast obliczenia wartości funkcji dla argumentu 4. Uczniowie nagminnie popełniają również błędy w znakach podczas podstawiania liczb ujemnych lub pracy z ujemnymi współczynnikami, gubiąc minusy na etapie mnożenia.

Zadania na kartach pracy do wydruku przedstawiają funkcje liniowe i wymagają od uczniów wyznaczenia wartości funkcji dla podanego argumentu z dziedziny. W praktyce uczniowie obliczają i wpisują końcowy wynik bezpośrednio lub wskazują poprawną odpowiedź spośród opcji wielokrotnego wyboru.

Wyznaczanie wyrazów i sum ciągów arytmetycznych

Uczniowie uczą się zapisywać wzory na dowolny wyraz ciągu arytmetycznego oraz obliczać sumę danej liczby wyrazów.

Punkt podstawy HSF-BF.A.2 Zapisywać ciągi arytmetyczne i geometryczne zarówno rekurencyjnie, jak i za pomocą wzoru jawnego, wykorzystywać je do modelowania sytuacji oraz przechodzić między tymi dwiema postaciami. ★ (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSF-LE.A.2 Konstruować funkcje liniowe i wykładnicze, w tym ciągi arytmetyczne i geometryczne, na podstawie wykresu, opisu zależności lub dwóch par wartości wejściowych i wyjściowych (w tym odczytywanie ich z tabeli). (nasze tłumaczenie)

Uczniowie uczą się rozpoznawać ciągi arytmetyczne o stałej różnicy dodawanej między kolejnymi wyrazami. W 9. klasie używają wzorów ogólnych, aby bezpośrednio obliczyć dowolny, konkretny n-ty wyraz oraz wyznaczyć łączną sumę określonej liczby wyrazów bez konieczności wypisywania wszystkich wartości pośrednich.

Częsty błąd pojawia się podczas tworzenia wzoru na n-ty wyraz: uczniowie często mnożą różnicę ciągu przez n zamiast przez n − 1, zapominając, że do wyrazu początkowego nie dodaje się jeszcze różnicy. Podczas obliczania sumy ciągu uczniowie często mylą także wartość ostatniego wyrazu z łączną liczbą sumowanych wyrazów.

Ćwiczenia na kartach pracy koncentrują się na dwóch konkretnych typach zadań:

  • Ciąg arytmetyczny — n-ty wyraz: Uczniowie analizują ciąg lub tabelę wartości, wyznaczają różnicę ciągu i obliczają odległy wyraz, na przykład 20. lub 50. wyraz.
  • Ciąg arytmetyczny — suma wyrazów: Uczniowie stosują wzór na sumę ciągu, aby obliczyć łączną sumę pierwszych n wyrazów.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Ciąg arytmetyczny — n-ty wyraz · Ciąg arytmetyczny — suma wyrazów

Wyznaczanie wyrazów i sum ciągów geometrycznych

Uczniowie uczą się wyznaczać dowolny wyraz ciągu geometrycznego oraz obliczać sumę wyrazów za pomocą wzorów.

Punkt podstawy HSA-SSE.B.4 Wyprowadzać wzór na sumę skończonego szeregu geometrycznego (gdy iloraz nie jest równy 1) i stosować ten wzór do rozwiązywania problemów. Na przykład obliczać raty kredytu hipotecznego.★ (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSF-BF.A.2 Zapisywać ciągi arytmetyczne i geometryczne zarówno rekurencyjnie, jak i za pomocą wzoru jawnego, wykorzystywać je do modelowania sytuacji oraz przechodzić między tymi dwiema postaciami. ★ (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSF-LE.A.2 Konstruować funkcje liniowe i wykładnicze, w tym ciągi arytmetyczne i geometryczne, na podstawie wykresu, opisu zależności lub dwóch par wartości wejściowych i wyjściowych (w tym odczytywanie ich z tabeli). (nasze tłumaczenie)

W 9. klasie uczniowie pracują z ciągami geometrycznymi — uporządkowanymi ciągami liczb, w których każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez stały iloraz (różny od 1). Uczniowie określają wyraz początkowy oraz iloraz, zapisują wzory ogólne i wykorzystują je do obliczania dowolnego odległego wyrazu (n-tego wyrazu), a także sumy skończonej liczby wyrazów.

Częstym błędem jest pomyłka w wykładniku potęgi we wzorze na n-ty wyraz. Uczniowie nierzadko mnożą wyraz początkowy przez iloraz podniesiony do potęgi n zamiast n − 1, zapominając, że dla pierwszego wyrazu mnożenie nie zachodzi wcale. Podczas obliczania sum uczniowie często popełniają błędy przy znakach ujemnych lub niewłaściwie stosują nawiasy, gdy iloraz ciągu jest ułamkiem bądź liczbą ujemną.

Zadania na kartach pracy rozwijają tę umiejętność w dwóch głównych formatach:

  • Ciąg geometryczny — n-ty wyraz: Uczniowie analizują podany ciąg liczb (np. 3, 6, 12, ...) lub sytuację z życia codziennego, wyznaczają iloraz ciągu i obliczają konkretną wartość, na przykład 8. wyraz.
  • Ciąg geometryczny — suma wyrazów: Uczniowie na podstawie ciągu obliczają sumę jego kilku pierwszych wyrazów, podstawiając wyraz początkowy, iloraz oraz liczbę wyrazów do wzoru na sumę skończonego ciągu geometrycznego.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Ciąg geometryczny — n-ty wyraz · Ciąg geometryczny — suma wyrazów

Wyznaczanie wyrazów ciągu

Uczniowie uczą się wyznaczać określone wartości w ciągu poprzez podstawianie liczb całkowitych do wzoru lub stosowanie reguły rekurencyjnej krok po kroku.

Punkt podstawy HSF-IF.A.3 Rozpoznawać, że ciągi są funkcjami, czasami definiowanymi rekurencyjnie, których dziedziną jest podzbiór liczb całkowitych. Na przykład ciąg Fibonacciego jest zdefiniowany rekurencyjnie przez f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) dla n ≥ 1. (nasze tłumaczenie)

W 9. klasie uczniowie traktują ciągi jako funkcje, których dziedziną są liczby całkowite, np. n ≥ 1 lub począwszy od n = 0. Uczniowie uczą się wyznaczać określone wyrazy ciągu, obliczając wartość jawnego wzoru algebraicznego dla danej pozycji lub przechodząc krok po kroku przez definicję rekurencyjną przy użyciu podanych wartości początkowych.

Częstą trudnością jest mylenie numeru pozycji wyrazu, n, z wartością wyrazu, f(n). Uczniowie często błędnie interpretują również zapis taki jak f(n − 1), omyłkowo odejmując 1 od wartości liczbowej wyrazu, zamiast odnosić się do poprzedniego wyrazu ciągu.

Zadania ćwiczeniowe zazwyczaj koncentrują się na dwóch standardowych formach:

  • Wyraz ciągu na podstawie wzoru: Uczniowie podstawiają całkowity numer pozycji bezpośrednio do wzoru funkcji, aby obliczyć dany wyraz.
  • Wyraz ciągu rekurencyjnego: Uczniowie rozpoczynają od podanych wyrazów początkowych (takich jak f(0) lub f(1)) i stosują zależność rekurencyjną, np. f(n + 1) = f(n) + 3, aby wyznaczać kolejne wyrazy jeden po drugim.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego · Wyraz ciągu rekurencyjnego

Mnożenie szczególnych iloczynów dwumianów

Uczniowie uczą się rozpoznawać wzorce, aby szybko rozwijać kwadraty dwumianów oraz iloczyny sum i różnic bez mnożenia wyraz po wyrazie.

Punkt podstawy HSA-SSE.A.2 Wykorzystaj strukturę wyrażenia do zidentyfikowania sposobów jego przekształcenia. Na przykład dostrzeż x4 – y4 jako (x2)2 – ( y2)2, rozpoznając je w ten sposób jako różnicę kwadratów, którą można rozłożyć na czynniki jako (x2 – y2)(x2 + y2). (nasze tłumaczenie)

W 9. klasie uczniowie uczą się wykorzystywać strukturę wyrażeń, aby sprawnie je przekształcać za pomocą wzorów skróconego mnożenia. Zamiast mnożyć każdy wyraz po kolei, sprawdzają, czy dane zadanie pasuje do konkretnej reguły algebraicznej, aby od razu zapisać rozwinięty wielomian.

Najczęstszy błąd pojawia się podczas podnoszenia do kwadratu sumy lub różnicy. Uczniowie często zapisują (x + 4)^2 jako x^2 + 16, błędnie stosując wykładnik do każdego wyrazu w nawiasie i pomijając środkowy wyraz, który powstaje przy mnożeniu dwumianu przez samego siebie.

Zadania na kartach pracy pozwalają uczniom ćwiczyć dwa konkretne schematy:

  • Kwadrat sumy lub różnicy: rozpisywanie wyrażeń takich jak (x + 5)^2 lub (2x - 3)^2 do pełnego trójmianu kwadratowego.
  • Iloczyn sumy i różnicy: mnożenie par takich jak (x + 7)(x - 7), w których środkowe wyrazy się redukują, dając różnicę kwadratów.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Iloczyn sumy i różnicy · Kwadrat sumy i różnicy

Wyznaczanie wartości funkcji wykładniczych

Uczniowie uczą się obliczać wartości funkcji wykładniczych dla danych argumentów oraz interpretować wartości początkowe i współczynniki wzrostu lub zaniku w kontekstach z życia codziennego.

Punkt podstawy HSF-LE.B.5 Interpretować parametry funkcji liniowej lub wykładniczej w odniesieniu do kontekstu. (nasze tłumaczenie)

W klasie 9 uczniowie uczą się obliczać wartości funkcji wykładniczej i rozumieć, co oznacza każdy parametr w zadaniu z treścią. Identyfikują wartość początkową (wartość dla argumentu równego zero) i stosują wielokrotne mnożenie przez stałą podstawę, aby określić, jak wielkości zmieniają się w czasie.

Częsty błąd pojawia się w przypadku zaniku wykładniczego. Gdy wielkość maleje, uczniowie często mylą stopę spadku ze współczynnikiem zmiany — na przykład mnożąc przez 0,15 zamiast przez 0,85, gdy dana wielkość maleje o 15%. Innym powszechnym błędem jest mnożenie wartości początkowej przez podstawę przed podniesieniem jej do potęgi, z pominięciem prawidłowej kolejności wykonywania działań.

Zadania na kartach pracy skupiają się na zagadnieniach takich jak Wartość funkcji wykładniczej oraz Funkcja wykładnicza malejąca. Typowe zadanie przedstawia sytuację z życia codziennego, taką jak spadek wartości samochodu lub stygnięcie przedmiotu, i wymaga od uczniów obliczenia wartości ze wzoru po określonej liczbie jednostek czasu lub określenia, co dana liczba w równaniu oznacza w tej sytuacji.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Funkcja wykładnicza malejąca · Wartość funkcji wykładniczej

Wyznaczanie równań prostych i prostych równoległych

Uczniowie uczą się wyznaczać równanie funkcji liniowej na podstawie współrzędnych dwóch punktów lub jednego punktu i prostej równoległej.

Punkt podstawy HSF-BF.A.1 Zapisać funkcję opisującą zależność między dwiema wielkościami.★ a. Wyznaczyć wyrażenie w postaci jawnej, proces rekurencyjny lub kroki obliczeń na podstawie kontekstu. b. Łączyć standardowe typy funkcji za pomocą działań arytmetycznych. Na przykład zbudować funkcję modelującą temperaturę stygnącego ciała poprzez dodanie funkcji stałej do malejącej funkcji wykładniczej oraz powiązać te funkcje z modelem. c. (+) Składać funkcje. Na przykład, jeśli T(y) jest temperaturą w atmosferze w zależności od wysokości, a h(t) jest wysokością balonu meteorologicznego w zależności od czasu, to T(h(t)) jest temperaturą w miejscu balonu meteorologicznego w zależności od czasu. (nasze tłumaczenie)

W 9. klasie uczniowie uczą się wyznaczać jawne równanie algebraiczne funkcji liniowej. Używają współrzędnych punktów do obliczenia współczynnika kierunkowego — tempa zmian — oraz określenia punktu przecięcia prostej z osią pionową (punktu przecięcia z osią y). Podczas pracy z prostymi równoległymi uczniowie rozpoznają i stosują zasadę geometryczną, zgodnie z którą proste równoległe mają dokładnie taki sam współczynnik kierunkowy.

Częsty błąd pojawia się podczas podstawiania współrzędnych. Wyznaczając punkt przecięcia z osią y, uczniowie często zamieniają miejscami wartości x i y we wzorze, co prowadzi do błędnej wartości stałej. W przypadku prostych równoległych uczniowie mają również tendencję do modyfikowania współczynnika kierunkowego, zamiast pozostawić go identycznym jak w wyjściowym równaniu.

Zadania na kartach pracy występują w dwóch standardowych formatach:

  • Funkcja liniowa przechodząca przez dwa punkty: Uczniowie otrzymują współrzędne dwóch punktów, obliczają współczynnik kierunkowy między nimi i zapisują wynikowe równanie liniowe.
  • Prosta równoległa przechodząca przez punkt: Uczniowie otrzymują istniejące równanie liniowe oraz oddzielny punkt, co wymaga od nich odczytania współczynnika kierunkowego i wyznaczenia nowej prostej przechodzącej przez ten konkretny punkt.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Prosta równoległa przez punkt · Wzór funkcji liniowej z dwóch punktów

Wyznaczanie wierzchołka i stosowanie postaci kanonicznej

Uczniowie uczą się korzystać z postaci kanonicznej oraz metody dopełniania do kwadratu, aby wyznaczyć wierzchołek, wartość maksymalną lub minimalną oraz oś symetrii paraboli.

Punkt podstawy HSF-IF.C.8 Zapisywać funkcję określoną za pomocą wyrażenia w różnych, lecz równoważnych postaciach, aby ujawnić i wyjaśnić różne własności funkcji. a. Stosować rozkład na czynniki i dopełnianie do kwadratu w funkcji kwadratowej, aby pokazać miejsca zerowe, wartości ekstremalne oraz symetrię wykresu, i interpretować je w kontekście. b. Stosować własności potęg do interpretacji wyrażeń opisujących funkcje wykładnicze. Na przykład określać procentową stopę zmiany w funkcjach takich jak y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10 i klasyfikować je jako reprezentujące wzrost lub zanik wykładniczy. (nasze tłumaczenie)

W 9. klasie na lekcjach algebry uczniowie uczą się przekształcać wyrażenia kwadratowe do postaci kanonicznej, aby odczytać kluczowe własności paraboli. Stosując metody takie jak dopełnianie do kwadratu, przekształcają funkcje kwadratowe w postaci ogólnej w równoważne formy, które ukazują ekstrema wykresu (punkty maksimum lub minimum) oraz oś symetrii bez konieczności wyznaczania każdego punktu.

Częstą trudnością jest kontrolowanie znaków w postaci kanonicznej, zapisywanej zwykle jako y = a(x - h)2 + k (lub bez indeksu górnego, jako wyrażenie podniesione do kwadratu). Ze względu na odejmowanie wewnątrz nawiasu uczniowie często mylą współrzędne dodatnie i ujemne, błędnie określając wierzchołek wyrażenia takiego jak (x + 4)2 + 1 jako (4, 1) zamiast (-4, 1).

Zadania ćwiczeniowe korzystają z szablonów takich jak Wierzchołek paraboli oraz Postać kanoniczna funkcji kwadratowej. Typowe zadanie przedstawia równanie kwadratowe i wymaga od uczniów wyznaczenia współrzędnych wierzchołka paraboli, określenia, czy jej ramiona są skierowane w górę, czy w dół, bądź przekształcenia wielomianu w postaci ogólnej, aby bezpośrednio wskazać jego wierzchołek.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wierzchołek paraboli · Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji

Uczniowie uczą się rozwiązywać układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi metodą eliminacji oraz określać, czy układ ma jedno rozwiązanie, brak rozwiązań, czy nieskończenie wiele rozwiązań.

Punkt podstawy HSA-REI.C.6 Rozwiązywać układy równań liniowych dokładnie i w przybliżeniu (np. za pomocą wykresów), skupiając się na parach równań liniowych z dwiema niewiadomymi. (nasze tłumaczenie)

W klasie 9 uczniowie rozwiązują układy dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi, aby znaleźć ich dokładne rozwiązania liczbowe. Stosując metodę przeciwnych współczynników, dodają lub odejmują równania — w razie potrzeby mnożąc jedno lub oba równania przez stałą — tak aby jedna ze zmiennych uległa redukcji. Uczniowie oceniają również otrzymane wyrażenia algebraiczne, aby określić, czy układ ma dokładnie jedno rozwiązanie w postaci pary liczb, nie ma rozwiązań, czy też ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Częsty błąd pojawia się podczas mnożenia całego równania w celu uzyskania przeciwnych współczynników. Uczniowie często zapominają o uwzględnieniu znaków ujemnych lub pomijają pomnożenie wyrazu wolnego po drugiej stronie znaku równości. Nieporozumienia pojawiają się także wtedy, gdy obie zmienne się redukują: uczniowie często mylą zdanie fałszywe, takie jak 0 = 4 (co oznacza brak rozwiązań), ze zdaniem prawdziwym, takim jak 0 = 0 (co wskazuje na nieskończenie wiele rozwiązań).

Zadania ćwiczeniowe dzielą się zazwyczaj na dwa typy:

  • Układ równań — metoda przeciwnych współczynników przedstawia dwa równania liniowe zapisane w postaci ogólnej, wymagając od uczniów znalezienia dokładnych wartości obu zmiennych.
  • Liczba rozwiązań układu wymaga od uczniów przekształcenia i porównania równań w celu określenia, czy układ ma jedno jednoznaczne rozwiązanie, nie ma rozwiązań, czy ma nieskończenie wiele rozwiązań.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Liczba rozwiązań układu · Układ równań — metoda przeciwnych współczynników

Obliczanie wariancji zestawu danych

Uczniowie uczą się obliczać wariancję zbioru danych, aby zmierzyć, w jaki sposób poszczególne wartości są rozproszone wokół średniej.

Punkt podstawy HSS-ID.A.2 Stosować statystyki odpowiednie do kształtu rozkładu danych, aby porównać środek (medianę, średnią) i rozproszenie (rozstęp międzykwartylowy, odchylenie standardowe) dwóch lub więcej różnych zestawów danych. (nasze tłumaczenie)

W klasie 9 uczniowie określają stopień rozproszenia wartości liczbowych, obliczając wariancję danych. Pracując z zestawem wartości, wyznaczają średnią, określają, jak bardzo poszczególne wartości odchylają się od tej średniej, podnoszą te różnice do kwadratu, a następnie obliczają średnią z otrzymanych kwadratów.

Częsty błąd pojawia się podczas pracy z odchyleniami przyjmującymi wartości mniejsze od średniej. Uczniowie często mają trudności z podnoszeniem liczb ujemnych do kwadratu – albo zbyt wcześnie gubią znaki minus, albo błędnie zapisują ujemny wynik po podniesieniu do kwadratu. Innym powszechnym błędem jest poprawne zsumowanie kwadratów różnic, ale pominięcie ostatniego kroku, czyli podzielenia przez liczbę elementów zbioru danych.

Karty pracy dla tej umiejętności koncentrują się na obliczaniu wariancji zestawu danych. Typowe zadanie przedstawia krótką listę liczb i wymaga od ucznia przeprowadzenia obliczeń krok po kroku, aby uzyskać pojedynczą liczbową miarę rozproszenia.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Praca z wykładnikami ułamkowymi

Uczniowie uczą się przekształcać wyrażenia zawierające wykładniki ułamkowe i pierwiastki, stosując standardowe własności potęg.

Punkt podstawy HSN-RN.A.2 Przekształcać wyrażenia zawierające pierwiastki i wykładniki wymierne, stosując własności potęg. (nasze tłumaczenie)

W 9. klasie uczniowie uczą się pracować z liczbami i zmiennymi podniesionymi do potęg o wykładniku ułamkowym. Wykorzystują własności potęg do przekształcania wyrażeń zawierających wykładniki wymierne, płynnie przechodząc między postacią pierwiastkową a potęgową.

Częstym błędem jest mylenie roli licznika i mianownika w wykładniku ułamkowym. Uczniowie często zapominają, która wartość oznacza stopień pierwiastka, a która wykładnik potęgi, czasami traktując mianownik jak zwykły mnożnik lub zamieniając miejscami stopień pierwiastka i potęgę podczas zamiany na postać pierwiastkową.

Zadania ćwiczeniowe oparte na szablonie Potęga o wykładniku wymiernym przedstawiają wyrażenie z podstawą podniesioną do potęgi ułamkowej. Uczniowie stosują reguły działań na potęgach, aby uprościć wyrażenie lub przekształcić je między postacią pierwiastkową a potęgową.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą

Uczniowie uczą się rozwiązywać nierówności liniowe z jedną niewiadomą poprzez wyznaczanie niewiadomej, aby znaleźć wszystkie możliwe rozwiązania.

Punkt podstawy HSA-REI.B.3 Rozwiązywać równania i nierówności liniowe z jedną niewiadomą, w tym równania ze współczynnikami reprezentowanymi przez litery. (nasze tłumaczenie)

W 9. klasie uczniowie rozwiązują nierówności liniowe z jedną niewiadomą, stosując działania odwrotne w celu wyznaczenia niewiadomej. Przekształcają wyrażenia zawierające liczby dodatnie i ujemne, a także współczynniki literowe, aby wyznaczyć cały zbiór liczb spełniających daną nierówność.

Najczęstszy błąd pojawia się podczas mnożenia lub dzielenia obu stron przez liczbę ujemną. Uczniowie często zapominają o zmianie zwrotu znaku nierówności, traktując problem jak zwykłe równanie i otrzymując nierówność ze zwrotem w niewłaściwą stronę.

Typowe zadania z szablonu nierówności liniowych wymagają od uczniów rozwiązania problemów takich jak -3x + 4 < 19 lub wyrażeń ze zmiennymi po obu stronach. Uczniowie stosują dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie, aby wyznaczyć zmienną i podać ostateczne rozwiązanie.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Równania bez rozwiązań lub o nieskończenie wielu rozwiązaniach

Uczniowie uczą się rozwiązywać równania liniowe z jedną niewiadomą, które nie mają rozwiązań lub mają nieskończenie wiele rozwiązań.

Punkt podstawy HSA-REI.B.3 Rozwiązywać równania i nierówności liniowe z jedną niewiadomą, w tym równania ze współczynnikami reprezentowanymi przez litery. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie rozwiązują wieloetapowe równania liniowe z jedną niewiadomą, w których podczas upraszczania wyrażenia ze zmienną redukują się po obu stronach. Uczą się interpretować pozostałe zdanie: jeśli uproszczenie prowadzi do zdania prawdziwego (takiego jak 5 = 5), równanie ma nieskończenie wiele rozwiązań; jeśli prowadzi do sprzeczności (takiej jak 0 = 7), równanie nie ma rozwiązań.

Częsty błąd pojawia się, gdy zmienne całkowicie się redukują i pozostaje zdanie prawdziwe, takie jak 0 = 0. Uczniowie często błędnie zapisują, że odpowiedzią jest x = 0, myląc zero jako konkretną wartość ze zdaniem, które jest prawdziwe dla wszystkich liczb. Podobnie w przypadku zdania fałszywego, takiego jak 3 = 8, uczniowie często zakładają, że popełnili błąd rachunkowy i nadal szukają pojedynczej liczby, zamiast dostrzec, że żadna wartość nie spełnia równania.

Zadania na karcie pracy przedstawiają równania bez rozwiązań lub z nieskończenie wieloma rozwiązaniami. Uczniowie stosują standardowe kroki algebraiczne — takie jak prawo rozdzielności, redukcja wyrazów podobnych i izolowanie zmiennych — aby uprościć równanie i określić, czy nie ma ono rozwiązań, czy ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Rozwiązywanie równań kwadratowych

Uczniowie uczą się rozwiązywać równania kwadratowe poprzez rozkład na czynniki, wyciąganie pierwiastka kwadratowego, dopełnianie do kwadratu oraz stosowanie wzoru kwadratowego, identyfikując zarówno rozwiązania rzeczywiste, jak i zespolone.

Punkt podstawy HSA-REI.B.4 Rozwiązywać równania kwadratowe z jedną niewiadomą. a. Stosować metodę dopełniania do kwadratu w celu przekształcenia dowolnego równania kwadratowego ze zmienną x w równanie postaci (x – p)2 = q mające te same rozwiązania. Wyprowadzać wzór na pierwiastki równania kwadratowego z tej postaci. b. Rozwiązywać równania kwadratowe przez ogląd (np. dla x2 = 49), pierwiastkowanie, dopełnianie do kwadratu, wzór na pierwiastki równania kwadratowego oraz rozkład na czynniki, stosownie do początkowej postaci równania. Rozpoznawać, kiedy wzór na pierwiastki równania kwadratowego daje rozwiązania zespolone, i zapisywać je jako a ± bi dla liczb rzeczywistych a i b. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie uczą się rozwiązywać równania kwadratowe z jedną niewiadomą przy użyciu różnych metod dopasowanych do struktury równania. Rozwiązują proste zadania przez bezpośrednią analizę lub pierwiastkowanie, na przykład wyznaczając wartości dla równań takich jak x² = 49, oraz przekształcają równania do postaci (x – p)² = q metodą dopełniania do kwadratu. Rozwiązują je również poprzez rozkład na czynniki oraz za pomocą wzoru kwadratowego, ucząc się rozpoznawać, kiedy równanie prowadzi do rozwiązań zespolonych, i zapisywać te rozwiązania w postaci a ± bi.

Typowy błąd pojawia się, gdy uczniowie wyciągają pierwiastki kwadratowe i zapominają o uwzględnieniu ujemnego pierwiastka, podając wyłącznie wartość dodatnią (na przykład znajdując 7, ale pomijając –7). Innym częstym błędem są pomyłki w znakach podczas upraszczania wyrażeń pod pierwiastkiem we wzorze kwadratowym, co często sprawia, że uczniowie nie zauważają, kiedy rozwiązanie wymaga użycia liczb zespolonych.

Zadania ćwiczeniowe wykorzystujące szablon Równanie kwadratowe przedstawiają równania w różnych postaciach początkowych. Uczniowie analizują każde równanie, wybierają najwłaściwszą metodę — rozkład na czynniki, wyciąganie pierwiastka, dopełnianie do kwadratu lub zastosowanie wzoru kwadratowego — oraz zapisują pełne kroki rozwiązania.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Przesuwanie wykresów funkcji w górę, w dół, w lewo i w prawo

Uczniowie uczą się, jak dodawanie lub odejmowanie liczby przesuwa wykres w górę, w dół, w lewo lub w prawo, oraz odczytują wartość przesunięcia z wykresu w układzie współrzędnych.

Punkt podstawy HSF-BF.B.3 Identyfikować wpływ na wykres zastąpienia f(x) przez f(x) + k, k f(x), f(kx) oraz f(x + k) dla określonych wartości k (zarówno dodatnich, jak i ujemnych); wyznaczać wartość k na podstawie wykresów. Eksperymentować z przypadkami i ilustrować wyjaśnienie wpływu na wykres z wykorzystaniem technologii. Uwzględniać rozpoznawanie funkcji parzystych i nieparzystych na podstawie ich wykresów oraz opisujących je wyrażeń algebraicznych. (nasze tłumaczenie)

W 9. klasie uczniowie badają, jak wykresy podstawowych funkcji przesuwają się w układzie współrzędnych pod wpływem zmian we wzorach. Skupiając się na przesunięciach (translacji), uczą się rozpoznawać wizualny efekt zastąpienia f(x) przez f(x) + k lub f(x + k) dla określonych dodatnich i ujemnych wartości k. Pracują również w drugą stronę: mając dany wykres wyjściowy i wykres przesunięty, wyznaczają dokładną dodatnią lub ujemną wartość k, która odpowiada za to przesunięcie.

Najczęstszy błąd pojawia się przy przesunięciach poziomych. Gdy uczniowie widzą wyrażenie takie jak f(x + 3), intuicja podpowiada im ruch w stronę liczb dodatnich na osi x (w prawo). W rzeczywistości dodanie liczby dodatniej wewnątrz funkcji przesuwa wykres o 3 jednostki w lewo, podczas gdy odejmowanie przesuwa go w prawo. Uczniowie często odwracają ten poziomy kierunek lub mylą przesunięcia wewnątrz argumentu, f(x + k), z przesunięciami pionowymi dodawanymi na zewnątrz, f(x) + k.

W zadaniach dotyczących przesuwania wykresu uczniowie zazwyczaj pracują z siatkami układu współrzędnych przedstawiającymi funkcję pierwotną oraz jej przesuniętą kopię. Mogą zostać poproszeni o zapisanie nowego wzoru, określenie, czy przekształcenie nastąpiło w pionie czy w poziomie, bądź o naszkicowanie nowego położenia dla zadanego wyrażenia, takiego jak f(x) − 5 lub f(x + 2).

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie średniego tempa zmian

Uczniowie uczą się obliczać, szacować i interpretować, jak szybko zmieniają się wartości funkcji w określonym przedziale, korzystając z równań, tabel i wykresów.

Punkt podstawy HSF-IF.B.6 Obliczać i interpretować średnią szybkość zmian funkcji (przedstawionej symbolicznie lub w postaci tabeli) w określonym przedziale. Szacować szybkość zmian na podstawie wykresu. ★ (nasze tłumaczenie)

W 9. klasie uczniowie uczą się wyznaczać, jak bardzo zmienia się wartość funkcji w stosunku do jej argumentu w określonym przedziale. Pracując z funkcjami przedstawionymi w postaci wzorów, tabel danych lub wykresów, uczniowie obliczają iloraz zmiany wartości funkcji przez zmianę wartości argumentów. Patrząc na wykres, szacują tę wielkość bezpośrednio, obserwując nachylenie między dwoma punktami.

Częstą trudnością jest zamiana argumentów z wartościami funkcji, co prowadzi do dzielenia zmiany x przez zmianę y zamiast zmiany y przez zmianę x. Uczniowie często mylą także zapis przedziału, taki jak [2, 5], ze współrzędnymi punktu (x, y) zamiast odczytać go jako dwie oddzielne wartości argumentów, bądź też odejmują wartości w niespójnej kolejności w liczniku i mianowniku.

Karty pracy korzystające z szablonu Średnie tempo zmian przedstawiają uczniom wzór funkcji, tabelę wartości lub wykres wraz z określonym przedziałem. Uczniowie obliczają wartości funkcji na początku i na końcu tego przedziału, wykonują dzielenie oraz podają tempo zmian lub interpretują, co oznacza ono w rzeczywistych kontekstach.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Łączenie funkcji poprzez składanie

Uczniowie uczą się podstawiać jedną funkcję do drugiej, aby obliczać lub zapisywać wyrażenia złożone, takie jak f(g(x)).

Punkt podstawy HSF-BF.A.1 Zapisać funkcję opisującą zależność między dwiema wielkościami.★ a. Wyznaczyć wyrażenie w postaci jawnej, proces rekurencyjny lub kroki obliczeń na podstawie kontekstu. b. Łączyć standardowe typy funkcji za pomocą działań arytmetycznych. Na przykład zbudować funkcję modelującą temperaturę stygnącego ciała poprzez dodanie funkcji stałej do malejącej funkcji wykładniczej oraz powiązać te funkcje z modelem. c. (+) Składać funkcje. Na przykład, jeśli T(y) jest temperaturą w atmosferze w zależności od wysokości, a h(t) jest wysokością balonu meteorologicznego w zależności od czasu, to T(h(t)) jest temperaturą w miejscu balonu meteorologicznego w zależności od czasu. (nasze tłumaczenie)

W klasie 9 uczniowie uczą się łączyć dwie zależności, wykorzystując wartość wyjściową jednej funkcji bezpośrednio jako argument wejściowy dla drugiej. Obliczają wartości takich zagnieżdżonych reguł dla danej liczby, np. wyznaczając f(g(3)), oraz tworzą nowe wzory algebraiczne dla funkcji złożonych, zapisywane jako f(g(x)), przy użyciu standardowych zależności liniowych i kwadratowych wprowadzanych na tym etapie nauki.

Częstym błędem jest mylenie składania funkcji z mnożeniem. Mając za zadanie wyznaczyć f(g(x)), uczniowie często obliczają f(x) razy g(x), zamiast podstawić całe wyrażenie opisujące g(x) w miejsce zmiennej w f(x). Inną typową pomyłką jest odwrócenie kolejności poprzez zastosowanie reguły zewnętrznej przed wewnętrzną, zamiast wykonywania działań od wewnątrz do zewnątrz.

Zadania w zestawie Składanie funkcji zazwyczaj przedstawiają wzory dwóch funkcji, np. f(x) = 2x + 1 oraz g(x) = 3x - 4. Uczniowie mają za zadanie obliczyć wartość powiązanej reguły dla określonego argumentu lub zapisać i uprościć pojedyncze wyrażenie algebraiczne reprezentujące pełne złożenie.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Wyznaczanie funkcji odwrotnej do funkcji liniowej

Uczniowie uczą się wyznaczać wzór funkcji odwrotnej do funkcji liniowej, przekształcając równanie w celu wyznaczenia pierwotnej zmiennej wejściowej.

Punkt podstawy HSF-BF.B.4 Wyznacz funkcje odwrotne. a. Rozwiąż równanie postaci f(x) = c dla prostej funkcji f, która ma funkcję odwrotną, i zapisz wyrażenie dla funkcji odwrotnej. Na przykład f(x) =2 x3 lub f(x) = (x+1)/(x–1) dla x ≠ 1. b. (+) Sprawdź za pomocą składania, że jedna funkcja jest funkcją odwrotną do drugiej. c. (+) Odczytaj wartości funkcji odwrotnej z wykresu lub tabeli, przy założeniu, że funkcja ma funkcję odwrotną. d. (+) Utwórz funkcję odwracalną z funkcji nieodwracalnej poprzez ograniczenie dziedziny. (nasze tłumaczenie)

W 9. klasie uczniowie uczą się wyznaczać funkcję odwrotną do prostej funkcji liniowej. Biorą równanie postaci f(x) = mx + b, przyrównują je do wartości wyjściowej lub zmiennej i krok po kroku odwracają operacje, aby wyznaczyć początkową zmienną wejściową x. Pozwala im to uzyskać nową regułę liniową, która odwraca działanie funkcji wyjściowej.

Częstym błędem jest mylenie funkcji odwrotnej z odwrotnością funkcji. Uczniowie często zapisują 1 / f(x) zamiast znaleźć regułę odwracającą, częściowo dlatego, że zapis z ujemnym wykładnikiem może wyglądać podobnie. Innym częstym błędem jest nieprawidłowe odwracanie kolejności wykonywania działań — na przykład dzielenie przez współczynnik kierunkowy przed odjęciem wyrazu wolnego podczas wyznaczania zmiennej.

Zadania na kartach pracy dotyczące zagadnienia Funkcja odwrotna do funkcji liniowej przedstawiają równanie liniowe, takie jak f(x) = 4x - 7 lub f(x) = -2x + 3. Uczniowie wykonują kolejne przekształcenia algebraiczne, aby wyznaczyć zmienną wejściową i zapisać powstałe wyrażenie funkcji odwrotnej, zazwyczaj przedstawiane w notacji funkcyjnej jako f⁻¹(x) = (x + 7) / 4.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Rozwiązywanie układów równań prostej i paraboli

Uczniowie uczą się wyznaczać punkty przecięcia prostej i paraboli za pomocą metod algebraicznych oraz graficznych.

Punkt podstawy HSA-REI.C.7 Rozwiąż prosty układ składający się z równania liniowego i równania kwadratowego z dwiema zmiennymi algebraicznie i graficznie. Na przykład znajdź punkty przecięcia prostej y = –3x i okręgu x2 + y2 = 3. (nasze tłumaczenie)

W klasie 9 uczniowie rozwiązują układy równań składające się z równania liniowego i równania kwadratowego. Uczą się wyznaczać współrzędne punktów przecięcia prostej i paraboli, pracując zarówno graficznie w układzie współrzędnych, jak i algebraicznie poprzez podstawienie wyrażenia liniowego do równania kwadratowego w celu wyznaczenia wspólnych zmiennych.

Częstym błędem jest wyznaczenie wartości x i poprzestanie na tym. Ponieważ rozwiązanie układu reprezentuje punkty przecięcia, uczniowie muszą podstawić każdy x z powrotem do równania liniowego, aby znaleźć odpowiadającą mu wartość y i zapisać ostateczne odpowiedzi jako pełne pary współrzędnych, np. (x, y). Uczniowie często popełniają również błędy w znakach podczas przyrównywania połączonego równania do zera przed rozkładem na czynniki lub użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego.

Zadania na kartach pracy skupiają się na znajdowaniu punktów przecięcia paraboli i prostej. Typowe ćwiczenie przedstawia układ równań taki jak y = x² + 2x - 1 oraz y = x + 5, prosząc uczniów o narysowanie wykresów obu równań w celu wskazania punktów ich przecięcia lub o zastosowanie metody podstawiania do obliczenia dokładnych współrzędnych punktów przecięcia.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Wyznaczanie wartości funkcji kwadratowej

Uczniowie uczą się podstawiać daną liczbę do funkcji kwadratowej i obliczać jej wartość przy użyciu zapisu funkcyjnego.

Punkt podstawy HSF-IF.A.2 Używać notacji funkcyjnej, obliczać wartości funkcji dla argumentów należących do ich dziedzin i interpretować stwierdzenia wykorzystujące notację funkcyjną w odniesieniu do kontekstu. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie uczą się używać notacji funkcji do obliczania wartości wyrażeń kwadratowych dla określonych argumentów. Mając daną regułę, taką jak f(x), zastępują zmienną wybranym argumentem, podnoszą wartość do kwadratu, mnożą przez współczynniki i redukują wyrazy, aby wyznaczyć ostateczną wartość funkcji.

Częstą trudnością są ujemne argumenty oraz kolejność wykonywania działań. Uczniowie często popełniają błędy ze znakami podczas podnoszenia liczby ujemnej do kwadratu — zapisując -3² = -9 zamiast (-3)² = 9 — lub mnożą argument przez współczynnik przed podniesieniem go do kwadratu, co prowadzi do błędnego wyniku.

Zadania ćwiczeniowe oparte na szablonie Wartość funkcji kwadratowej zazwyczaj przedstawiają wzór taki jak f(x) = 2x² - 5x + 3 i wymagają od uczniów wyznaczenia wartości takich jak f(4) lub f(-2).

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Szablony zadań do druku

Wszystkie typy zadań, pogrupowane według umiejętności. Kliknięcie otwiera generator z wybranym już typem.

Rozkładanie wielomianów na czynniki: grupowanie i sześciany

Wyznaczanie wyrazów i sum ciągów arytmetycznych

Wyznaczanie wyrazów i sum ciągów geometrycznych

Wyznaczanie wyrazów ciągu

Mnożenie szczególnych iloczynów dwumianów

Wyznaczanie wartości funkcji wykładniczych

Wyznaczanie równań prostych i prostych równoległych

Wyznaczanie wierzchołka i stosowanie postaci kanonicznej

Rozwiązywanie układów równań metodą eliminacji

Obliczanie wariancji zestawu danych

Praca z wykładnikami ułamkowymi

Rozwiązywanie nierówności liniowych z jedną niewiadomą

Równania bez rozwiązań lub o nieskończenie wielu rozwiązaniach

Rozwiązywanie równań kwadratowych

Przesuwanie wykresów funkcji w górę, w dół, w lewo i w prawo

Obliczanie średniego tempa zmian

Łączenie funkcji poprzez składanie

Wyznaczanie funkcji odwrotnej do funkcji liniowej

Rozwiązywanie układów równań prostej i paraboli

Wyznaczanie wartości funkcji kwadratowej

Pozostałe typy zadań

Wygeneruj arkusz z tego zakresu