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Programma scolastico (Stati Uniti)

Matematica — classe 9ª

Matematica per il 9° grado secondo i Common Core State Standards, solitamente Algebra I: equazioni lineari, disequazioni e sistemi, funzioni lineari e quadratiche, scomposizione in fattori, esponenti razionali, successioni e funzioni esponenziali. Ogni argomento include schede didattiche stampabili.

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Cosa imparano gli studenti in matematica in prima superiore?

Nel 9° anno gli studenti risolvono equazioni lineari, disequazioni e sistemi, scrivono funzioni lineari a partire da due punti e interpretano il tasso medio di variazione. Scompongono polinomi in fattori, usano prodotti notevoli ed esponenti razionali, risolvono equazioni di secondo grado e lavorano con la forma del vertice di una funzione quadratica. Successioni aritmetiche e geometriche, funzioni esponenziali, composizione di funzioni e funzioni inverse completano l'anno.

Informazioni sugli standard: gli standard del Common Core per la scuola superiore sono organizzati per categoria concettuale (Numero e Quantità, Algebra, Funzioni, Geometria, Statistica e Probabilità), non per classe. L'assegnazione di un argomento a una specifica classe è una nostra scelta, che segue la comune sequenza dei corsi: Algebra I, Geometria, Algebra II e Precalcolo. Gli standard contrassegnati con (+) vanno oltre il nucleo fondamentale per la preparazione all'università e alla carriera lavorativa.

Stato della pagina: gli argomenti di questa classe sono pronti sotto forma di esercizi semplici (istruzioni e formula); i problemi con grafici e i problemi con testo verranno aggiunti prossimamente.

Ambito del programma

  1. Punto del programma HSN-RN · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    L'insieme dei numeri reali

    nostra traduzione · testo originale (EN): The Real Number System

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Real Number System (HSN-RN)

  2. Punto del programma HSN-RN.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Estendere le proprietà degli esponenti agli esponenti razionali.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Extend the properties of exponents to rational exponents.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, cluster A

  3. Punto del programma HSN-RN.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare le proprietà dei numeri razionali e irrazionali.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use properties of rational and irrational numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, cluster B

  4. Punto del programma HSN-RN.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Spiegare come la definizione del significato degli esponenti razionali derivi dall'estensione delle proprietà degli esponenti interi a tali valori, consentendo una notazione per i radicali in termini di esponenti razionali. Ad esempio, definiamo 5 1/3 come la radice cubica di 5 perché vogliamo che valga (51/3)3 = 5(1/3)3, quindi (51/3)3 deve essere uguale a 5.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Explain how the definition of the meaning of rational exponents follows from extending the properties of integer exponents to those values, allowing for a notation for radicals in terms of rational exponents. For example, we define 5 1/3 to be the cube root of 5 because we want (51/3)3 = 5(1/3)3 to hold, so (51/3)3 must equal 5.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.A.1

  5. Punto del programma HSN-RN.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Riscrivere espressioni che coinvolgono radicali ed esponenti razionali utilizzando le proprietà degli esponenti.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Rewrite expressions involving radicals and rational exponents using the properties of exponents.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.A.2

    Lavorare con gli esponenti frazionari (da noi in classe 9)

  6. Punto del programma HSN-RN.B.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Spiegare perché la somma o il prodotto di due numeri razionali è razionale; che la somma di un numero razionale e di un numero irrazionale è irrazionale; e che il prodotto di un numero razionale non nullo e di un numero irrazionale è irrazionale.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Explain why the sum or product of two rational numbers is rational; that the sum of a rational number and an irrational number is irrational; and that the product of a nonzero rational number and an irrational number is irrational.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.B.3

  7. Punto del programma HSN-Q · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Quantità★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Quantities★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Quantities★ (HSN-Q)

  8. Punto del programma HSN-Q.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Ragionare quantitativamente e usare le unità per risolvere problemi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Reason quantitatively and use units to solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, cluster A

  9. Punto del programma HSN-Q.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare le unità come modo per comprendere i problemi e per guidare la risoluzione di problemi a più passaggi; scegliere e interpretare le unità in modo coerente nelle formule; scegliere e interpretare la scala e l'origine nei grafici e nelle rappresentazioni di dati.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use units as a way to understand problems and to guide the solution of multi-step problems; choose and interpret units consistently in formulas; choose and interpret the scale and the origin in graphs and data displays.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.1

  10. Punto del programma HSN-Q.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Definire quantità appropriate ai fini della modellizzazione descrittiva.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Define appropriate quantities for the purpose of descriptive modeling.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.2

  11. Punto del programma HSN-Q.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Scegliere un livello di accuratezza appropriato ai limiti della misurazione quando si riportano quantità.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Choose a level of accuracy appropriate to limitations on measurement when reporting quantities.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.3

  12. Punto del programma HSA-SSE · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Vedere la struttura nelle espressioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Seeing Structure in Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)

  13. Punto del programma HSA-SSE.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare la struttura delle espressioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret the structure of expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A

  14. Punto del programma HSA-SSE.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Scrivere espressioni in forme equivalenti per risolvere problemi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B

  15. Punto del programma HSA-SSE.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare espressioni che rappresentano una quantità in termini del suo contesto.★ a. Interpretare parti di un'espressione, come termini, fattori e coefficienti. b. Interpretare espressioni complicate considerando una o più delle loro parti come una singola entità. Per esempio, interpretare P(1+r)n come il prodotto di P e di un fattore non dipendente da P.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1

  16. Punto del programma HSA-SSE.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare la struttura di un'espressione per individuare modi per riscriverla. Per esempio, vedere x4 – y4 come (x2)2 – ( y2)2, riconoscendola così come una differenza di quadrati che può essere scomposta in fattori come (x2 – y2)(x2 + y2).

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

    Moltiplicazione di prodotti notevoli di binomi (da noi in classe 9-11) · Scomposizione di polinomi: raccoglimento parziale e cubi (da noi in classe 9-11)

  17. Punto del programma HSA-SSE.B.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Scegliere e produrre una forma equivalente di un'espressione per rivelare e spiegare le proprietà della quantità rappresentata dall'espressione. ★ a. Scomporre in fattori un'espressione quadratica per rivelare gli zeri della funzione che definisce. b. Completare il quadrato in un'espressione quadratica per rivelare il valore massimo o minimo della funzione che definisce. c. Utilizzare le proprietà degli esponenti per trasformare espressioni per funzioni esponenziali. Ad esempio l'espressione 1.15t può essere riscritta come (1.151/12)12t ≈ 1.01212t per rivelare il tasso di interesse mensile equivalente approssimato se il tasso annuo è del 15%.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. ★ a. Factor a quadratic expression to reveal the zeros of the function it defines. b. Complete the square in a quadratic expression to reveal the maximum or minimum value of the function it defines. c. Use the properties of exponents to transform expressions for exponential functions. For example the expression 1.15t can be rewritten as (1.151/12)12t ≈ 1.01212t to reveal the approximate equivalent monthly interest rate if the annual rate is 15%.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.B.3

  18. Punto del programma HSA-APR · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Aritmetica con polinomi ed espressioni razionali

    nostra traduzione · testo originale (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)

  19. Punto del programma HSA-APR.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Eseguire operazioni aritmetiche sui polinomi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A

  20. Punto del programma HSA-APR.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere che i polinomi formano un sistema analogo a quello dei numeri interi, ossia che sono chiusi rispetto alle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione; addizionare, sottrarre e moltiplicare polinomi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1

  21. Punto del programma HSA-CED · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Creare equazioni★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Creating Equations★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)

  22. Punto del programma HSA-CED.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Creare equazioni che descrivono numeri o relazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Create equations that describe numbers or relationships

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A

  23. Punto del programma HSA-CED.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Creare equazioni e disequazioni in una variabile e utilizzarle per risolvere problemi. Includere equazioni derivanti da funzioni lineari e quadratiche, e semplici funzioni razionali ed esponenziali.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1

  24. Punto del programma HSA-CED.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Creare equazioni in due o più variabili per rappresentare relazioni tra grandezze; rappresentare graficamente equazioni su assi coordinati con etichette e scale.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2

  25. Punto del programma HSA-CED.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rappresentare vincoli mediante equazioni o disequazioni, e mediante sistemi di equazioni e/o disequazioni, e interpretare le soluzioni come opzioni praticabili o non praticabili in un contesto di modellizzazione. Per esempio, rappresentare disequazioni che descrivono vincoli nutrizionali e di costo su combinazioni di alimenti diversi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3

  26. Punto del programma HSA-CED.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Riorganizzare formule per evidenziare una grandezza di interesse, utilizzando lo stesso ragionamento impiegato nella risoluzione delle equazioni. Per esempio, riorganizzare la legge di Ohm V = IR per evidenziare la resistenza R.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4

  27. Punto del programma HSA-REI · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Ragionamento con equazioni e disequazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)

  28. Punto del programma HSA-REI.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere la risoluzione di equazioni come un processo di ragionamento e spiegare il ragionamento

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A

  29. Punto del programma HSA-REI.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Risolvere equazioni e disequazioni in una variabile

    nostra traduzione · testo originale (EN): Solve equations and inequalities in one variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster B

  30. Punto del programma HSA-REI.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Risolvere sistemi di equazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Solve systems of equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C

  31. Punto del programma HSA-REI.D · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rappresentare e risolvere equazioni e disequazioni graficamente

    nostra traduzione · testo originale (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D

  32. Punto del programma HSA-REI.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Spiegare ciascun passaggio nella risoluzione di una semplice equazione come derivante dall'uguaglianza di numeri affermata al passaggio precedente, partendo dall'ipotesi che l'equazione iniziale abbia una soluzione. Costruire un'argomentazione valida per giustificare un metodo di risoluzione.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Explain each step in solving a simple equation as following from the equality of numbers asserted at the previous step, starting from the assumption that the original equation has a solution. Construct a viable argument to justify a solution method.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.A.1

  33. Punto del programma HSA-REI.B.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Risolvere equazioni e disequazioni lineari in una variabile, incluse le equazioni con coefficienti rappresentati da lettere.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.B.3

    Risolvere disequazioni lineari in una variabile (da noi in classe 9) · Equazioni senza soluzione o con infinite soluzioni (da noi in classe 9)

  34. Punto del programma HSA-REI.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Risolvere equazioni di secondo grado in una variabile. a. Utilizzare il metodo del completamento del quadrato per trasformare qualsiasi equazione di secondo grado in x in un'equazione della forma (x – p)2 = q che ha le stesse soluzioni. Ricavare la formula quadratica da questa forma. b. Risolvere equazioni di secondo grado a vista (ad es., per x2 = 49), estraendo le radici quadrate, mediante completamento del quadrato, la formula quadratica e la scomposizione in fattori, a seconda della forma iniziale dell'equazione. Riconoscere quando la formula quadratica dà soluzioni complesse e scriverle come a ± bi per numeri reali a e b.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Solve quadratic equations in one variable. a. Use the method of completing the square to transform any quadratic equation in x into an equation of the form (x – p)2 = q that has the same solutions. Derive the quadratic formula from this form. b. Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x2 = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi f or real numbers a and b.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.B.4

    Risoluzione delle equazioni di secondo grado (da noi in classe 9)

  35. Punto del programma HSA-REI.C.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dimostrare che, dato un sistema di due equazioni in due variabili, sostituire un'equazione con la somma di tale equazione e di un multiplo dell'altra produce un sistema con le stesse soluzioni.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Prove that, given a system of two equations in two variables, replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.5

  36. Punto del programma HSA-REI.C.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Risolvere sistemi di equazioni lineari in modo esatto e approssimato (ad es., con grafici), concentrandosi su coppie di equazioni lineari in due variabili.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Solve systems of linear equations exactly and approximately (e.g., with graphs), focusing on pairs of linear equations in two variables.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.6

    Risolvere sistemi di equazioni per eliminazione (da noi in classe 9)

  37. Punto del programma HSA-REI.C.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Risolvere algebricamente e graficamente un semplice sistema costituito da un'equazione lineare e un'equazione quadratica in due variabili. Per esempio, trovare i punti di intersezione tra la retta y = –3x e la circonferenza x2 + y2 = 3.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Solve a simple system consisting of a linear equation and a quadratic equation in two variables algebraically and graphically. For example, find the points of intersection between the line y = –3x and the circle x2 + y2 = 3.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.7

    Risoluzione di sistemi tra una retta e una parabola (da noi in classe 9)

  38. Punto del programma HSA-REI.D.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere che il grafico di un'equazione in due variabili è l'insieme di tutte le sue soluzioni rappresentate nel piano cartesiano, che spesso forma una curva (che può essere una retta).

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.10

  39. Punto del programma HSA-REI.D.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Spiegare perché le coordinate x dei punti in cui i grafici delle equazioni y = f(x) e y = g(x) si intersecano sono le soluzioni dell'equazione f(x) = g(x); trovare le soluzioni approssimativamente, ad es. utilizzando la tecnologia per rappresentare graficamente le funzioni, creare tabelle di valori o trovare approssimazioni successive. Includere casi in cui f(x) e/o g(x) sono funzioni lineari, polinomiali, razionali, con valore assoluto, esponenziali e logaritmiche.★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11

  40. Punto del programma HSA-REI.D.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rappresentare graficamente le soluzioni di una disequazione lineare in due variabili come un semipiano (escludendo il bordo nel caso di una disequazione stretta), e rappresentare graficamente l'insieme delle soluzioni di un sistema di disequazioni lineari in due variabili come intersezione dei semipiani corrispondenti.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Graph the solutions to a linear inequality in two variables as a half-plane (excluding the boundary in the case of a strict inequality), and graph the solution set to a system of linear inequalities in two variables as the intersection of the corresponding half-planes.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.12

  41. Punto del programma HSF-IF · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare funzioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpreting Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)

  42. Punto del programma HSF-IF.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere il concetto di funzione e utilizzare la notazione funzionale

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand the concept of a function and use function notation

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster A

  43. Punto del programma HSF-IF.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare funzioni che si presentano nelle applicazioni in termini del contesto

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B

  44. Punto del programma HSF-IF.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Analizzare funzioni utilizzando diverse rappresentazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Analyze functions using different representations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C

  45. Punto del programma HSF-IF.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere che una funzione da un insieme (chiamato dominio) a un altro insieme (chiamato codominio) associa a ogni elemento del dominio esattamente un elemento del codominio. Se f è una funzione e x è un elemento del suo dominio, allora f(x) indica l'output di f corrispondente all'input x. Il grafico di f è il grafico dell'equazione y = f(x).

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand that a function from one set (called the domain) to another set (called the range) assigns to each element of the domain exactly one element of the range. If f is a function and x is an element of its domain, then f(x) denotes the output of f corresponding to the input x. The graph of f is the graph of the equation y = f(x).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.1

  46. Punto del programma HSF-IF.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare la notazione funzionale, valutare funzioni per valori nei loro domini e interpretare affermazioni che utilizzano la notazione funzionale in termini di un contesto.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use function notation, evaluate functions for inputs in their domains, and interpret statements that use function notation in terms of a context.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.2

    Trovare il valore di una funzione quadratica (da noi in classe 9) · Valutare le funzioni lineari (da noi in classe 8)

  47. Punto del programma HSF-IF.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Riconoscere che le successioni sono funzioni, talvolta definite ricorsivamente, il cui dominio è un sottoinsieme dei numeri interi. Ad esempio, la successione di Fibonacci è definita ricorsivamente da f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) per n ≥ 1.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Recognize that sequences are functions, sometimes defined recursively, whose domain is a subset of the integers. For example, the Fibonacci sequence is defined recursively by f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) for n ≥ 1.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.3

    Trovare i termini di una successione (da noi in classe 9)

  48. Punto del programma HSF-IF.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Per una funzione che modella una relazione tra due grandezze, interpretare le caratteristiche chiave di grafici e tabelle in termini delle grandezze, e tracciare grafici che mostrino le caratteristiche chiave data una descrizione verbale della relazione. Le caratteristiche chiave includono: intercette; intervalli in cui la funzione è crescente, decrescente, positiva o negativa; massimi e minimi relativi; simmetrie; comportamento all'infinito; e periodicità .★

    nostra traduzione · testo originale (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4

  49. Punto del programma HSF-IF.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Mettere in relazione il dominio di una funzione con il suo grafico e, ove applicabile, con la relazione quantitativa che descrive. Per esempio, se la funzione h(n) fornisce il numero di ore-persona necessarie per assemblare n motori in una fabbrica, allora gli interi positivi sarebbero un dominio appropriato per la funzione. ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5

  50. Punto del programma HSF-IF.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Calcolare e interpretare il tasso medio di variazione di una funzione (presentata simbolicamente o come tabella) in un intervallo specificato. Stimare il tasso di variazione da un grafico. ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

    Calcolo del tasso medio di variazione (da noi in classe 9-11)

  51. Punto del programma HSF-IF.C.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rappresentare graficamente funzioni espresse simbolicamente e mostrare le caratteristiche fondamentali del grafico, a mano nei casi semplici e utilizzando la tecnologia per i casi più complessi. ★ a. Rappresentare graficamente funzioni lineari e quadratiche e mostrare intercette, massimi e minimi. b. Rappresentare graficamente funzioni radice quadrata, radice cubica e definite a tratti, incluse le funzioni a gradino e le funzioni valore assoluto. c. Rappresentare graficamente funzioni polinomiali, identificando gli zeri quando sono disponibili opportune fattorizzazioni e mostrando il comportamento all'infinito. d. (+) Rappresentare graficamente funzioni razionali, identificando gli zeri e gli asintoti quando sono disponibili opportune fattorizzazioni e mostrando il comportamento all'infinito. e. Rappresentare graficamente funzioni esponenziali e logaritmiche, mostrando intercette e comportamento all'infinito, e funzioni trigonometriche, mostrando periodo, linea mediana e ampiezza.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7

  52. Punto del programma HSF-IF.C.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Scrivere una funzione definita da un'espressione in forme diverse ma equivalenti per rivelare e spiegare diverse proprietà della funzione. a. Utilizzare il processo di scomposizione in fattori e di completamento del quadrato in una funzione quadratica per mostrare gli zeri, i valori estremi e la simmetria del grafico, e interpretarli rispetto a un contesto. b. Utilizzare le proprietà degli esponenti per interpretare espressioni di funzioni esponenziali. Ad esempio, individuare il tasso percentuale di variazione in funzioni come y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, e classificarle come rappresentanti una crescita o un decadimento esponenziale.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

    Trovare il vertice e usare la forma vertice (da noi in classe 9-11)

  53. Punto del programma HSF-IF.C.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Confrontare le proprietà di due funzioni ciascuna rappresentata in modo diverso (algebricamente, graficamente, numericamente in tabelle o mediante descrizioni verbali). Ad esempio, dato il grafico di una funzione quadratica e l'espressione algebrica di un'altra, dire quale ha il massimo maggiore.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9

  54. Punto del programma HSF-BF · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire funzioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Building Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)

  55. Punto del programma HSF-BF.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire una funzione che modelli una relazione tra due grandezze

    nostra traduzione · testo originale (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A

  56. Punto del programma HSF-BF.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire nuove funzioni a partire da funzioni esistenti

    nostra traduzione · testo originale (EN): Build new functions from existing functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B

  57. Punto del programma HSF-BF.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Scrivere una funzione che descrive una relazione tra due grandezze.★ a. Determinare un'espressione esplicita, un processo ricorsivo o passaggi di calcolo a partire da un contesto. b. Combinare tipi standard di funzioni utilizzando le operazioni aritmetiche. Per esempio, costruire una funzione che modella la temperatura di un corpo in raffreddamento sommando una funzione costante a un esponenziale decrescente, e mettere in relazione queste funzioni con il modello. c. (+) Comporre funzioni. Per esempio, se T(y) è la temperatura nell'atmosfera in funzione dell'altezza, e h(t) è l'altezza di un pallone meteorologico in funzione del tempo, allora T(h(t)) è la temperatura nella posizione del pallone meteorologico in funzione del tempo.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

    Determinare le equazioni di rette e rette parallele (da noi in classe 9-11) · Combinare le funzioni mediante composizione (da noi in classe 9-11)

  58. Punto del programma HSF-BF.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Scrivere successioni aritmetiche e geometriche sia ricorsivamente sia con una formula esplicita, utilizzarle per modellizzare situazioni e passare da una forma all'altra. ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.2

    Determinare i termini e le somme delle progressioni aritmetiche (da noi in classe 9) · Determinare termini e somme di successioni geometriche (da noi in classe 9-11)

  59. Punto del programma HSF-BF.B.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Identificare l'effetto sul grafico della sostituzione di f(x) con f(x) + k, k f(x), f(kx) e f(x + k) per valori specifici di k (sia positivi sia negativi); trovare il valore di k dati i grafici. Sperimentare con diversi casi e illustrare una spiegazione degli effetti sul grafico mediante l'uso della tecnologia. Includere il riconoscimento di funzioni pari e dispari a partire dai loro grafici e dalle loro espressioni algebriche.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

    Traslazione dei grafici di funzioni verso l'alto, il basso, a sinistra e a destra (da noi in classe 9-11)

  60. Punto del programma HSF-BF.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Trovare funzioni inverse. a. Risolvere un'equazione della forma f(x) = c per una funzione semplice f che ha un'inversa e scrivere un'espressione per l'inversa. Per esempio, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) per x ≠ 1. b. (+) Verificare mediante composizione che una funzione è l'inversa di un'altra. c. (+) Leggere i valori di una funzione inversa da un grafico o da una tabella, dato che la funzione ha un'inversa. d. (+) Produrre una funzione invertibile da una funzione non invertibile restringendo il dominio.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

    Trovare l'inversa di una funzione lineare (da noi in classe 9-11)

  61. Punto del programma HSF-LE · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Modelli lineari, quadratici ed esponenziali★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)

  62. Punto del programma HSF-LE.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire e confrontare modelli lineari, quadratici ed esponenziali e risolvere problemi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A

  63. Punto del programma HSF-LE.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare espressioni di funzioni in termini della situazione che modellano

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret expressions for functions in terms of the situation they model

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster B

  64. Punto del programma HSF-LE.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Distinguere tra situazioni che possono essere modellate con funzioni lineari e con funzioni esponenziali. a. Dimostrare che le funzioni lineari crescono per differenze uguali su intervalli uguali e che le funzioni esponenziali crescono per fattori uguali su intervalli uguali. b. Riconoscere situazioni in cui una quantità varia a un tasso costante per intervallo unitario rispetto a un'altra. c. Riconoscere situazioni in cui una quantità cresce o decresce a un tasso percentuale costante per intervallo unitario rispetto a un'altra.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. a. Prove that linear functions grow by equal differences over equal intervals, and that exponential functions grow by equal factors over equal intervals. b. Recognize situations in which one quantity changes at a constant rate per unit interval relative to another. c. Recognize situations in which a quantity grows or decays by a constant percent rate per unit interval relative to another.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.1

  65. Punto del programma HSF-LE.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire funzioni lineari ed esponenziali, comprese le successioni aritmetiche e geometriche, dato un grafico, una descrizione di una relazione o due coppie input-output (inclusa la loro lettura da una tabella).

    nostra traduzione · testo originale (EN): Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.2

    Determinare i termini e le somme delle progressioni aritmetiche (da noi in classe 9) · Determinare termini e somme di successioni geometriche (da noi in classe 9-11)

  66. Punto del programma HSF-LE.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Osservare, utilizzando grafici e tabelle, che una quantità che cresce esponenzialmente alla fine supera una quantità che cresce linearmente, quadraticamente o (più in generale) come funzione polinomiale.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Observe using graphs and tables that a quantity increasing exponentially eventually exceeds a quantity increasing linearly, quadratically, or (more generally) as a polynomial function.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.3

  67. Punto del programma HSF-LE.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare i parametri di una funzione lineare o esponenziale in termini di un contesto.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.B.5

    Calcolare i valori delle funzioni esponenziali (da noi in classe 9)

  68. Punto del programma HSS-ID · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare dati categorici e quantitativi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)

  69. Punto del programma HSS-ID.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Sintetizzare, rappresentare e interpretare dati relativi a una singola variabile di conteggio o di misura

    nostra traduzione · testo originale (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A

  70. Punto del programma HSS-ID.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Sintetizzare, rappresentare e interpretare dati su due variabili categoriche e quantitative

    nostra traduzione · testo originale (EN): Summarize, represent, and interpret data on two categorical and quantitative variables

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster B

  71. Punto del programma HSS-ID.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare modelli lineari

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret linear models

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster C

  72. Punto del programma HSS-ID.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rappresentare dati con grafici sulla retta dei numeri reali (diagrammi a punti, istogrammi e diagrammi a scatola).

    nostra traduzione · testo originale (EN): Represent data with plots on the real number line (dot plots, histograms, and box plots).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.1

  73. Punto del programma HSS-ID.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare statistiche appropriate alla forma della distribuzione dei dati per confrontare il centro (mediana, media) e la dispersione (intervallo interquartile, deviazione standard) di due o più insiemi di dati diversi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use statistics appropriate to the shape of the data distribution to compare center (median, mean) and spread (interquartile range, standard deviation) of two or more different data sets.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.2

    Calcolo della varianza di un insieme di dati (da noi in classe 9)

  74. Punto del programma HSS-ID.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare le differenze di forma, centro e dispersione nel contesto degli insiemi di dati, tenendo conto dei possibili effetti dei valori estremi (outlier).

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret differences in shape, center, and spread in the context of the data sets, accounting for possible effects of extreme data points (outliers).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.3

  75. Punto del programma HSS-ID.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Sintetizzare dati categorici per due categorie in tabelle di frequenza a doppia entrata. Interpretare le frequenze relative nel contesto dei dati (comprese le frequenze relative congiunte, marginali e condizionate). Riconoscere possibili associazioni e tendenze nei dati.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Summarize categorical data for two categories in two-way frequency tables. Interpret relative frequencies in the context of the data (including joint, marginal, and conditional relative frequencies). Recognize possible associations and trends in the data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.5

  76. Punto del programma HSS-ID.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rappresentare dati relativi a due variabili quantitative su un grafico a dispersione e descrivere come le variabili sono correlate. a. Adattare una funzione ai dati; utilizzare funzioni adattate ai dati per risolvere problemi nel contesto dei dati. Utilizzare funzioni date o scegliere una funzione suggerita dal contesto. Porre l'accento su modelli lineari, quadratici ed esponenziali. b. Valutare informalmente l'adattamento di una funzione tracciando e analizzando i residui. c. Adattare una funzione lineare a un grafico a dispersione che suggerisce un'associazione lineare.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related. a. Fit a function to the data; use functions fitted to data to solve problems in the context of the data. Use given functions or choose a function suggested by the context. Emphasize linear, quadratic, and exponential models. b. Informally assess the fit of a function by plotting and analyzing residuals. c. Fit a linear function for a scatter plot that suggests a linear association.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.6

  77. Punto del programma HSS-ID.C.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare la pendenza (tasso di variazione) e l'intercetta (termine costante) di un modello lineare nel contesto dei dati.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret the slope (rate of change) and the intercept (constant term) of a linear model in the context of the data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.7

  78. Punto del programma HSS-ID.C.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Calcolare (utilizzando la tecnologia) e interpretare il coefficiente di correlazione di un adattamento lineare.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Compute (using technology) and interpret the correlation coefficient of a linear fit.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.8

  79. Punto del programma HSS-ID.C.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Distinguere tra correlazione e causalità.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Distinguish between correlation and causation.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.9

Competenze passo dopo passo

Scomposizione di polinomi: raccoglimento parziale e cubi

Gli studenti imparano a riscrivere espressioni polinomiali raccogliendo a fattor comune i monomi, raggruppando i termini e utilizzando la somma e la differenza di cubi.

Punto del programma HSA-SSE.A.2 Utilizzare la struttura di un'espressione per individuare modi per riscriverla. Per esempio, vedere x4 – y4 come (x2)2 – ( y2)2, riconoscendola così come una differenza di quadrati che può essere scomposta in fattori come (x2 – y2)(x2 + y2). (nostra traduzione)

Nel 9° anno, gli studenti imparano a esaminare la struttura di un'espressione polinomiale per individuare come riscriverla in forma fattorizzata. In questa fase, vanno oltre i trinomi di base per raccogliere il massimo comune divisore, scomporre espressioni a quattro termini raggruppando i termini a coppie e riconoscere espressioni composte da due termini al cubo.

Un errore frequente si verifica con i segni negativi durante il raccoglimento parziale: gli studenti spesso dimenticano di cambiare il segno del secondo termine quando mettono in evidenza un monomio negativo da una coppia. Con i cubi, capita spesso di confondere i segni nella formula o di considerare erroneamente il fattore quadratico risultante come un normale trinomio ulteriormente scomponibile.

Le schede operative stampabili su questa competenza si concentrano su tre tipi di attività:

  • Raccoglimento a fattor comune di un monomio: trovare il massimo comune divisore condiviso da tutti i termini e metterlo a fattor comune davanti alle parentesi.
  • Raccoglimento parziale: organizzare quattro termini in due coppie per estrarre un fattore binomiale comune.
  • Somma e differenza di cubi: identificare le espressioni con due termini al cubo e riscriverle come prodotto di un fattore lineare e di un fattore quadratico.
Crea una scheda di questa abilità

Tipi di esercizi: Raccoglimento di un monomio · Scomposizione per raggruppamento · Somma e differenza di cubi

Valutare le funzioni lineari

Gli studenti imparano a sostituire un dato input in un'equazione lineare utilizzando la notazione funzionale per calcolare il singolo valore di output corrispondente.

Punto del programma 8.F.A.1 Comprendere che una funzione è una regola che assegna a ciascun input esattamente un output. Il grafico di una funzione è l'insieme delle coppie ordinate costituite da un input e dal corrispondente output. (nostra traduzione)
Punto del programma 8.F.A.3 Interpretare l'equazione y = mx + b come definizione di una funzione lineare, il cui grafico è una retta; fornire esempi di funzioni che non sono lineari. Per esempio, la funzione A = s2 che fornisce l'area di un quadrato in funzione della lunghezza del suo lato non è lineare perché il suo grafico contiene i punti (1,1), (2,4) e (3,9), che non si trovano su una retta. (nostra traduzione)
Punto del programma HSF-IF.A.2 Utilizzare la notazione funzionale, valutare funzioni per valori nei loro domini e interpretare affermazioni che utilizzano la notazione funzionale in termini di un contesto. (nostra traduzione)

In questa fase, gli studenti lavorano con regole lineari nella forma f(x) = mx + b. Dato uno specifico valore numerico di input per x, sostituiscono tale valore nella regola, lo moltiplicano per il coefficiente angolare e sommano o sottraggono il termine noto per trovare l'unico valore di output.

Un errore frequente si verifica quando gli studenti confondono la notazione di funzione con la moltiplicazione, interpretando f(4) come l'istruzione di moltiplicare un'incognita f per 4 anziché trovare il valore della regola in 4. Inoltre, gli studenti commettono abitualmente errori di segno quando sostituiscono numeri negativi o lavorano con coefficienti negativi, tralasciando i segni meno durante il passaggio di moltiplicazione.

Le attività sulle schede didattiche stampabili presentano funzioni lineari e chiedono agli studenti di determinare l'output per un dato valore del dominio. Nella pratica, gli studenti calcolano e inseriscono direttamente il valore finale oppure individuano la risposta corretta tra opzioni a scelta multipla.

Determinare i termini e le somme delle progressioni aritmetiche

Gli studenti imparano a scrivere formule per trovare qualsiasi termine di una progressione aritmetica e a calcolare la somma di un dato numero di termini.

Punto del programma HSF-BF.A.2 Scrivere successioni aritmetiche e geometriche sia ricorsivamente sia con una formula esplicita, utilizzarle per modellizzare situazioni e passare da una forma all'altra. ★ (nostra traduzione)
Punto del programma HSF-LE.A.2 Costruire funzioni lineari ed esponenziali, comprese le successioni aritmetiche e geometriche, dato un grafico, una descrizione di una relazione o due coppie input-output (inclusa la loro lettura da una tabella). (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a identificare le successioni aritmetiche con una differenza costante sommata tra termini consecutivi. Al 9° anno, usano formule esplicite per calcolare direttamente qualsiasi n-esimo termine specifico e determinare la somma totale di un dato numero di termini senza dover scrivere tutti i valori intermedi.

Un errore frequente si verifica durante la costruzione della formula per l'n-esimo termine: gli studenti spesso moltiplicano la differenza per n invece che per n − 1, dimenticando che al termine iniziale non è stata ancora aggiunta alcuna differenza. Nel calcolare la somma di una successione, gli studenti tendono inoltre a confondere il valore del termine finale con il numero totale di termini sommati.

La pratica con le schede didattiche si concentra su due tipologie concrete di esercizi:

  • Successione aritmetica — n-esimo termine: gli studenti prendono una successione o una tabella di valori, determinano la differenza costante e calcolano un termine distante, come il 20º o il 50º termine.
  • Successione aritmetica — somma dei termini: gli studenti applicano la formula della successione per trovare la somma totale dei primi n termini.
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Tipi di esercizi: Progressione aritmetica — somma · Progressione aritmetica — termine n-esimo

Determinare termini e somme di successioni geometriche

Gli studenti imparano a trovare qualsiasi termine specifico in una successione geometrica e a calcolare la somma di un insieme di termini utilizzando le formule.

Punto del programma HSA-SSE.B.4 Ricavare la formula per la somma di una serie geometrica finita (quando la ragione non è 1) e utilizzare la formula per risolvere problemi. Ad esempio, calcolare le rate del mutuo.★ (nostra traduzione)
Punto del programma HSF-BF.A.2 Scrivere successioni aritmetiche e geometriche sia ricorsivamente sia con una formula esplicita, utilizzarle per modellizzare situazioni e passare da una forma all'altra. ★ (nostra traduzione)
Punto del programma HSF-LE.A.2 Costruire funzioni lineari ed esponenziali, comprese le successioni aritmetiche e geometriche, dato un grafico, una descrizione di una relazione o due coppie input-output (inclusa la loro lettura da una tabella). (nostra traduzione)

In prima superiore, gli studenti lavorano con le successioni geometriche: elenchi ordinati di numeri in cui ogni termine si ottiene moltiplicando il precedente per una ragione costante (diversa da 1). Gli studenti individuano il valore iniziale e il moltiplicatore, scrivono formule esplicite e le usano per calcolare qualsiasi termine distante (l'n-esimo termine), così come la somma totale di un numero finito di termini.

Un errore comune si verifica nell'esponente della formula dell'n-esimo termine. Gli studenti spesso moltiplicano il termine iniziale per la ragione elevata alla potenza di n invece di n − 1, dimenticando che il primo termine comporta zero moltiplicazioni. Nel calcolare le somme, gli studenti spesso sbagliano i segni negativi o gestiscono in modo scorretto le parentesi quando la ragione è una frazione o un numero negativo.

Le attività delle schede didattiche sviluppano questa competenza attraverso due formati principali:

  • Successione geometrica — n-esimo termine: gli studenti osservano un elenco di numeri assegnato (come 3, 6, 12, ...) o uno scenario reale, determinano la ragione e trovano un valore specifico, come l'8° termine.
  • Successione geometrica — somma dei termini: gli studenti prendono una successione e calcolano la somma totale dei suoi primi termini sostituendo il primo termine, la ragione e il numero di termini nella formula della serie geometrica finita.
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Tipi di esercizi: Progressione geometrica — somma · Progressione geometrica — termine n-esimo

Trovare i termini di una successione

Gli studenti imparano a trovare valori specifici in una successione sostituendo valori interi in una formula o utilizzando una regola ricorsiva passo dopo passo.

Punto del programma HSF-IF.A.3 Riconoscere che le successioni sono funzioni, talvolta definite ricorsivamente, il cui dominio è un sottoinsieme dei numeri interi. Ad esempio, la successione di Fibonacci è definita ricorsivamente da f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) per n ≥ 1. (nostra traduzione)

Nel 9° anno, gli studenti trattano le successioni come funzioni il cui dominio è costituito da numeri interi, come n ≥ 1 o a partire da n = 0. Gli studenti imparano a determinare termini specifici calcolando una formula algebrica esplicita per una determinata posizione o procedendo passo dopo passo attraverso una definizione ricorsiva utilizzando i valori iniziali forniti.

Un frequente ostacolo consiste nel confondere il numero di posizione del termine, n, con il valore del termine, f(n). Gli studenti tendono inoltre a fraintendere notazioni come f(n − 1), sottraendo per errore 1 dal valore numerico del termine invece di fare riferimento al termine precedente della successione.

Le attività pratiche si concentrano generalmente su due formati standard:

  • Termine di una successione dalla sua formula: Gli studenti inseriscono direttamente una posizione intera nella formula della funzione per calcolare quello specifico termine.
  • Termine di una successione ricorsiva: Gli studenti partono dai termini iniziali dati (come f(0) o f(1)) e applicano una relazione di ricorrenza, come f(n + 1) = f(n) + 3, per generare i termini successivi uno alla volta.
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Tipi di esercizi: Termine di una successione dalla formula · Termine di una successione ricorsiva

Moltiplicazione di prodotti notevoli di binomi

Gli studenti imparano a riconoscere schemi per sviluppare rapidamente quadrati di binomi e prodotti di somme per differenze senza moltiplicare termine a termine.

Punto del programma HSA-SSE.A.2 Utilizzare la struttura di un'espressione per individuare modi per riscriverla. Per esempio, vedere x4 – y4 come (x2)2 – ( y2)2, riconoscendola così come una differenza di quadrati che può essere scomposta in fattori come (x2 – y2)(x2 + y2). (nostra traduzione)

In prima superiore, gli studenti imparano a utilizzare la struttura sottostante delle espressioni per svilupparle in modo efficiente attraverso schemi abbreviati. Invece di moltiplicare ogni termine uno per uno, riconoscono se un'espressione corrisponde a una specifica regola algebrica per scrivere direttamente il polinomio sviluppato.

L'errore più comune si verifica quando si eleva al quadrato una somma o una differenza. Gli studenti scrivono frequentemente (x + 4)^2 come x^2 + 16, applicando erroneamente l'esponente a ciascun termine dentro le parentesi e omettendo il termine intermedio generato moltiplicando il binomio per se stesso.

Le schede didattiche consentono agli studenti di esercitarsi su due modelli specifici:

  • Quadrato di una somma o di una differenza: sviluppare termini come (x + 5)^2 o (2x - 3)^2 in un'espressione quadratica completa a tre termini.
  • Prodotto di una somma per una differenza: moltiplicare coppie come (x + 7)(x - 7) in cui i termini intermedi si annullano, lasciando una differenza di quadrati.
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Tipi di esercizi: Prodotto di una somma per una differenza · Quadrato di una somma o differenza

Calcolare i valori delle funzioni esponenziali

Gli studenti imparano a valutare le funzioni esponenziali per determinati valori di input e a interpretare i valori iniziali e i fattori di crescita o decadimento in contesti reali.

Punto del programma HSF-LE.B.5 Interpretare i parametri di una funzione lineare o esponenziale in termini di un contesto. (nostra traduzione)

Nel nono anno, gli studenti imparano a calcolare l'output di una funzione esponenziale e a comprendere cosa rappresenta ciascun parametro in un problema contestualizzato. Identificano la quantità di partenza (il valore iniziale quando l'input è zero) e utilizzano la moltiplicazione ripetuta per una base costante per determinare come le quantità cambiano nel tempo.

Un errore frequente si verifica quando si affronta il decadimento. Quando una quantità diminuisce, gli studenti spesso confondono il tasso di decrescita con la base moltiplicativa; ad esempio, moltiplicando per 0,15 invece di 0,85 quando una grandezza diminuisce del 15%. Un altro errore comune consiste nel moltiplicare il valore iniziale per la base prima di applicare l'esponente, ignorando il corretto ordine delle operazioni.

Le attività delle schede didattiche si concentrano su problemi come Valore di una funzione esponenziale e Funzione esponenziale decrescente. Un tipico problema presenta uno scenario reale, come la perdita di valore di un'auto o il raffreddamento di un oggetto, e richiede agli studenti di calcolare la formula dopo un numero specifico di intervalli temporali o di spiegare cosa rappresenta un numero specifico nell'equazione all'interno di quella situazione.

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Tipi di esercizi: Funzione esponenziale decrescente · Valore di una funzione esponenziale

Determinare le equazioni di rette e rette parallele

Gli studenti imparano a scrivere l'equazione di una funzione lineare date le coordinate di due punti oppure un singolo punto e una retta parallela.

Punto del programma HSF-BF.A.1 Scrivere una funzione che descrive una relazione tra due grandezze.★ a. Determinare un'espressione esplicita, un processo ricorsivo o passaggi di calcolo a partire da un contesto. b. Combinare tipi standard di funzioni utilizzando le operazioni aritmetiche. Per esempio, costruire una funzione che modella la temperatura di un corpo in raffreddamento sommando una funzione costante a un esponenziale decrescente, e mettere in relazione queste funzioni con il modello. c. (+) Comporre funzioni. Per esempio, se T(y) è la temperatura nell'atmosfera in funzione dell'altezza, e h(t) è l'altezza di un pallone meteorologico in funzione del tempo, allora T(h(t)) è la temperatura nella posizione del pallone meteorologico in funzione del tempo. (nostra traduzione)

In prima superiore, gli studenti imparano a scrivere un'equazione algebrica esplicita per una funzione lineare. Usano le coordinate dei punti per calcolare la pendenza — il tasso di variazione — e determinare dove la retta interseca l'asse verticale (l'intercetta con l'asse y). Quando lavorano con le rette parallele, gli studenti riconoscono e applicano il principio geometrico secondo cui le rette parallele condividono esattamente la stessa pendenza.

Un errore comune si verifica durante la sostituzione delle coordinate. Nel calcolare l'intercetta con l'asse y, gli studenti scambiano frequentemente i valori di x e y all'interno della formula, ottenendo una costante errata. Quando lavorano con rette parallele, gli studenti tendono inoltre a modificare la pendenza anziché mantenerla identica a quella dell'equazione originale.

Le attività della scheda didattica si presentano in due formati standard:

  • Funzione lineare passante per due punti: gli studenti ricevono due coordinate, calcolano la pendenza tra di esse e scrivono l'equazione lineare risultante.
  • Retta parallela passante per un punto: agli studenti viene fornita un'equazione lineare esistente e un punto distinto, richiedendo loro di ricavare la pendenza e costruire una nuova retta che passi per quel punto specifico.
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Tipi di esercizi: Funzione lineare per due punti · Retta parallela per un punto

Trovare il vertice e usare la forma vertice

Gli studenti imparano a utilizzare la forma del vertice e il completamento del quadrato per identificare il vertice, il valore massimo o minimo e l'asse di simmetria di una parabola.

Punto del programma HSF-IF.C.8 Scrivere una funzione definita da un'espressione in forme diverse ma equivalenti per rivelare e spiegare diverse proprietà della funzione. a. Utilizzare il processo di scomposizione in fattori e di completamento del quadrato in una funzione quadratica per mostrare gli zeri, i valori estremi e la simmetria del grafico, e interpretarli rispetto a un contesto. b. Utilizzare le proprietà degli esponenti per interpretare espressioni di funzioni esponenziali. Ad esempio, individuare il tasso percentuale di variazione in funzioni come y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, e classificarle come rappresentanti una crescita o un decadimento esponenziale. (nostra traduzione)

Nel programma di Algebra I del primo anno delle superiori, gli studenti imparano a riscrivere le espressioni quadratiche nella forma del vertice per mettere in evidenza le caratteristiche fondamentali di una parabola. Utilizzando tecniche come il completamento del quadrato, convertono le funzioni quadratiche in forma standard in forme equivalenti che mostrano i valori estremi del grafico (punti di massimo o di minimo) e l'asse di simmetria senza dover tracciare ogni singolo punto.

Un ostacolo comune è tenere traccia dei segni all'interno della forma del vertice, tipicamente scritta come y = a(x - h)2 + k (o senza apici, come termine al quadrato). A causa della sottrazione tra parentesi, gli studenti spesso confondono le coordinate positive e negative, identificando erroneamente il vertice di un'espressione come (x + 4)2 + 1 in (4, 1) anziché (-4, 1).

Le attività pratiche attingono a modelli come Vertice di una parabola e Forma del vertice di una funzione quadratica. Un problema tipico presenta un'equazione quadratica e chiede agli studenti di estrarre le coordinate del punto di svolta, identificare se la parabola è rivolta verso l'alto o verso il basso, oppure riscrivere un'espressione polinomiale standard per individuarne direttamente il vertice.

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Tipi di esercizi: Vertice di una parabola · Forma canonica della funzione quadratica

Risolvere sistemi di equazioni per eliminazione

Gli studenti imparano a risolvere sistemi di due equazioni lineari in due variabili mediante il metodo di eliminazione e a determinare se un sistema ha una, nessuna o infinite soluzioni.

Punto del programma HSA-REI.C.6 Risolvere sistemi di equazioni lineari in modo esatto e approssimato (ad es., con grafici), concentrandosi su coppie di equazioni lineari in due variabili. (nostra traduzione)

Nel nono anno, gli studenti risolvono sistemi di equazioni lineari a due incognite per trovare soluzioni numeriche esatte. Utilizzando il metodo di eliminazione, sommano o sottraggono le equazioni—moltiplicando una o entrambe le equazioni per una costante quando necessario—in modo da eliminare un'incognita. Gli studenti valutano inoltre le espressioni algebriche risultanti per determinare se un sistema ammette una singola coppia di coordinate come soluzione, nessuna soluzione o infinite soluzioni.

Un errore frequente si verifica quando si moltiplica un'intera equazione per ottenere coefficienti opposti. Gli studenti spesso dimenticano di distribuire i segni negativi o tralasciano di moltiplicare il termine noto dall'altro lato del segno di uguale. Si crea confusione anche quando entrambe le incognite si annullano: gli studenti confondono spesso un'uguaglianza falsa come 0 = 4 (che significa che non c'è alcuna soluzione) con un'uguaglianza vera come 0 = 0 (che indica infinite soluzioni).

Le attività di esercitazione si dividono generalmente in due tipologie:

  • Sistema di equazioni — eliminazione presenta due equazioni lineari in forma normale, richiedendo agli studenti di trovare i valori esatti di entrambe le incognite.
  • Numero di soluzioni di un sistema chiede agli studenti di manipolare e confrontare le equazioni per stabilire se il sistema ha un'unica soluzione, nessuna soluzione o infinite soluzioni.
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Tipi di esercizi: Numero di soluzioni di un sistema · Sistema di equazioni — riduzione

Calcolo della varianza di un insieme di dati

Gli studenti imparano a calcolare la varianza di un insieme di dati per misurare come i singoli valori si disperdono rispetto alla media.

Punto del programma HSS-ID.A.2 Utilizzare statistiche appropriate alla forma della distribuzione dei dati per confrontare il centro (mediana, media) e la dispersione (intervallo interquartile, deviazione standard) di due o più insiemi di dati diversi. (nostra traduzione)

Nel nono anno scolastico, gli studenti quantificano il grado di dispersione dei valori numerici calcolando la varianza dei dati. Lavorando con un elenco di valori, trovano la media, determinano lo scarto di ciascun dato rispetto a tale media, elevano al quadrato le singole differenze e infine calcolano la media di questi valori al quadrato.

Un errore frequente si verifica quando si lavora con scarti che si trovano al di sotto della media. Spesso gli studenti hanno difficoltà a elevare al quadrato i numeri negativi, eliminando il segno meno troppo presto oppure scrivendo erroneamente un risultato negativo dopo aver elevato al quadrato. Un altro errore comune consiste nel sommare correttamente le differenze al quadrato, dimenticando però il passaggio finale: dividere per il numero totale di dati.

Le schede didattiche per questa competenza si concentrano sul calcolo della varianza di un insieme di dati. Un esercizio tipico presenta una breve serie di numeri, chiedendo allo studente di eseguire il calcolo passaggio dopo passaggio per giungere a una singola misura numerica di dispersione.

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Lavorare con gli esponenti frazionari

Gli studenti imparano a riscrivere espressioni contenenti esponenti frazionari e radicali applicando le proprietà standard delle potenze.

Punto del programma HSN-RN.A.2 Riscrivere espressioni che coinvolgono radicali ed esponenti razionali utilizzando le proprietà degli esponenti. (nostra traduzione)

In prima superiore, gli studenti imparano a lavorare con numeri e variabili elevati a potenze frazionarie. Utilizzano le proprietà delle potenze per riscrivere espressioni che presentano esponenti razionali, passando agevolmente dalla forma radicale alla forma di potenza.

Un errore comune consiste nel confondere il ruolo del numeratore e del denominatore in una potenza frazionaria. Gli studenti spesso dimenticano quale valore rappresenti la radice e quale l'esponente, trattando a volte il denominatore come un normale moltiplicatore o invertendo radice e potenza durante la conversione nella notazione radicale.

Gli esercizi pratici basati sul modello Potenza con esponente razionale presentano un'espressione con una base elevata a una frazione. Gli studenti applicano le proprietà delle potenze per semplificare l'espressione o per convertirla tra la forma radicale e la forma esponenziale.

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Risolvere disequazioni lineari in una variabile

Gli studenti imparano a risolvere le disequazioni lineari in una variabile isolando il valore incognito per trovare tutte le possibili soluzioni.

Punto del programma HSA-REI.B.3 Risolvere equazioni e disequazioni lineari in una variabile, incluse le equazioni con coefficienti rappresentati da lettere. (nostra traduzione)

Nel 9° anno, gli studenti risolvono disequazioni lineari a una variabile utilizzando le operazioni inverse per isolare il valore incognito. Manipolano espressioni contenenti numeri positivi e negativi, nonché coefficienti rappresentati da lettere, per determinare l'intero insieme di numeri che rende vera una disequazione.

L'errore più comune si verifica quando si moltiplicano o si dividono entrambi i membri per un valore negativo. Gli studenti dimenticano spesso di invertire il verso della disequazione, trattando il problema come una normale equazione e ottenendo una disequazione con il verso sbagliato.

I compiti tipici del modello di disequazione lineare richiedono agli studenti di risolvere problemi come -3x + 4 < 19 o espressioni con variabili su entrambi i membri. Gli studenti applicano addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione per isolare la variabile e indicare la soluzione finale.

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Equazioni senza soluzione o con infinite soluzioni

Gli studenti imparano a risolvere equazioni lineari in una variabile che non hanno alcuna soluzione o che hanno infinite soluzioni.

Punto del programma HSA-REI.B.3 Risolvere equazioni e disequazioni lineari in una variabile, incluse le equazioni con coefficienti rappresentati da lettere. (nostra traduzione)

Gli studenti risolvono equazioni lineari a più passaggi in un'incognita in cui i termini con la variabile si annullano da entrambi i lati durante la semplificazione. Imparano a interpretare l'uguaglianza rimanente: se la semplificazione porta a un'affermazione matematica vera (come 5 = 5), ci sono infinite soluzioni; se produce una contraddizione (come 0 = 7), l'equazione non ha alcuna soluzione.

Un errore comune si verifica quando le variabili si annullano completamente lasciando un'uguaglianza vera come 0 = 0. Gli studenti spesso scrivono erroneamente che la risposta è x = 0, confondendo lo zero come valore specifico con un'affermazione che è vera per qualsiasi numero. Allo stesso modo, di fronte a un'affermazione falsa come 3 = 8, gli studenti spesso presumono di aver commesso un errore di calcolo e continuano a cercare un singolo numero invece di riconoscere che nessun valore può soddisfare l'equazione.

Le attività della scheda presentano un'equazione con nessuna o con infinite soluzioni. Gli studenti applicano i passaggi algebrici standard — come l'applicazione della proprietà distributiva, la riduzione dei termini simili e l'isolamento delle variabili — per semplificare l'equazione e determinare se non ha alcuna soluzione o se ha infinite soluzioni.

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Risoluzione delle equazioni di secondo grado

Gli studenti imparano a risolvere le equazioni di secondo grado mediante scomposizione in fattori, estrazione della radice quadrata, completamento del quadrato e utilizzo della formula quadratica, identificando soluzioni sia reali che complesse.

Punto del programma HSA-REI.B.4 Risolvere equazioni di secondo grado in una variabile. a. Utilizzare il metodo del completamento del quadrato per trasformare qualsiasi equazione di secondo grado in x in un'equazione della forma (x – p)2 = q che ha le stesse soluzioni. Ricavare la formula quadratica da questa forma. b. Risolvere equazioni di secondo grado a vista (ad es., per x2 = 49), estraendo le radici quadrate, mediante completamento del quadrato, la formula quadratica e la scomposizione in fattori, a seconda della forma iniziale dell'equazione. Riconoscere quando la formula quadratica dà soluzioni complesse e scriverle come a ± bi per numeri reali a e b. (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a risolvere equazioni di secondo grado a un'incognita utilizzando diversi metodi adatti alla struttura dell'equazione. Risolvono problemi semplici a colpo d'occhio o mediante radici quadrate, come determinare i valori per equazioni del tipo x² = 49, e trasformano le equazioni nella forma (x – p)² = q tramite il completamento del quadrato. Risolvono inoltre utilizzando la scomposizione in fattori e la formula quadratica, imparando a riconoscere quando un'equazione fornisce soluzioni complesse ed esprimendo tali soluzioni nella forma a ± bi.

Un errore tipico si verifica quando gli studenti estraggono le radici quadrate e dimenticano di includere la radice negativa, riportando solo il valore positivo (ad esempio, trovando 7 ma omettendo –7). Un altro errore frequente riguarda gli errori di segno durante la semplificazione dei termini sotto la radice quadrata nella formula quadratica, il che porta spesso gli studenti a trascurare i casi in cui una soluzione richiede numeri complessi.

Le attività pratiche che utilizzano il modello Equazione di secondo grado presentano equazioni in varie forme iniziali. Gli studenti esaminano ciascuna equazione, scelgono il metodo più appropriato — che si tratti di scomporre in fattori, estrarre radici quadrate, completare il quadrato o applicare la formula quadratica — e riportano tutti i passaggi della risoluzione.

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Traslazione dei grafici di funzioni verso l'alto, il basso, a sinistra e a destra

Gli studenti imparano come l'aggiunta o la sottrazione di un numero trasla un grafico verso l'alto, verso il basso, a sinistra o a destra, e a individuare il valore della traslazione da un grafico cartesiano.

Punto del programma HSF-BF.B.3 Identificare l'effetto sul grafico della sostituzione di f(x) con f(x) + k, k f(x), f(kx) e f(x + k) per valori specifici di k (sia positivi sia negativi); trovare il valore di k dati i grafici. Sperimentare con diversi casi e illustrare una spiegazione degli effetti sul grafico mediante l'uso della tecnologia. Includere il riconoscimento di funzioni pari e dispari a partire dai loro grafici e dalle loro espressioni algebriche. (nostra traduzione)

In prima superiore, gli studenti esplorano come i grafici delle funzioni elementari si muovono nel piano cartesiano al variare delle loro formule. Concentrandosi sulle traslazioni, imparano a riconoscere l'effetto visivo della sostituzione di f(x) con f(x) + k o f(x + k) per specifici valori positivi e negativi di k. Lavorano anche a ritroso: data una curva di base e una curva traslata, individuano il valore esatto, positivo o negativo, di k che ha determinato lo spostamento.

L'errore più comune si verifica con le traslazioni orizzontali. Quando gli studenti vedono un'espressione come f(x + 3), l'intuito suggerisce loro di spostarsi verso i numeri positivi sull'asse delle x (verso destra). In realtà, aggiungere un valore positivo all'interno della funzione sposta il grafico di 3 unità verso sinistra, mentre sottrarlo lo sposta verso destra. Gli studenti invertono frequentemente questa direzione orizzontale, oppure confondono le traslazioni applicate all'interno dell'argomento, f(x + k), con le traslazioni verticali sommate all'esterno, f(x) + k.

Negli esercizi di Traslazione di un grafico, gli studenti lavorano solitamente con piani cartesiani che mostrano una funzione originale e la sua copia traslata. Può essere loro richiesto di scrivere la nuova formula, identificare se la trasformazione sia avvenuta in senso verticale o orizzontale, oppure tracciare la nuova posizione data un'espressione come f(x) − 5 o f(x + 2).

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Calcolo del tasso medio di variazione

Gli studenti imparano a calcolare, stimare e interpretare la rapidità con cui cambiano i valori di una funzione in un intervallo specifico utilizzando equazioni, tabelle e grafici.

Punto del programma HSF-IF.B.6 Calcolare e interpretare il tasso medio di variazione di una funzione (presentata simbolicamente o come tabella) in un intervallo specificato. Stimare il tasso di variazione da un grafico. ★ (nostra traduzione)

Al nono anno, gli studenti imparano a calcolare quanto varia l'output di una funzione rispetto al suo input su un intervallo definito. Lavorando con funzioni espresse sotto forma di equazioni, tabelle di dati o grafici, gli studenti calcolano la variazione dei valori di output divisa per la variazione dei valori di input. Quando osservano un grafico, stimano questo tasso direttamente valutando la pendenza tra due punti.

Un ostacolo frequente è l'inversione di input e output, che porta gli studenti a dividere la variazione di x per la variazione di y anziché la variazione di y per la variazione di x. Spesso gli studenti scambiano anche la notazione di un intervallo come [2, 5] per una coppia di coordinate (x, y) anziché per due valori di input distinti, oppure sottraggono i valori in un ordine incoerente tra numeratore e denominatore.

Le schede didattiche che utilizzano il modello Tasso di variazione medio presentano agli studenti la formula di una funzione, una tabella di valori o una curva tracciata insieme a un intervallo specificato. Gli studenti calcolano i valori della funzione all'inizio e alla fine di tale intervallo, eseguono la divisione e determinano il tasso di variazione o interpretano il suo significato in contesti reali.

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Combinare le funzioni mediante composizione

Gli studenti imparano a sostituire una funzione in un'altra per calcolare o scrivere espressioni composte come f(g(x)).

Punto del programma HSF-BF.A.1 Scrivere una funzione che descrive una relazione tra due grandezze.★ a. Determinare un'espressione esplicita, un processo ricorsivo o passaggi di calcolo a partire da un contesto. b. Combinare tipi standard di funzioni utilizzando le operazioni aritmetiche. Per esempio, costruire una funzione che modella la temperatura di un corpo in raffreddamento sommando una funzione costante a un esponenziale decrescente, e mettere in relazione queste funzioni con il modello. c. (+) Comporre funzioni. Per esempio, se T(y) è la temperatura nell'atmosfera in funzione dell'altezza, e h(t) è l'altezza di un pallone meteorologico in funzione del tempo, allora T(h(t)) è la temperatura nella posizione del pallone meteorologico in funzione del tempo. (nostra traduzione)

Nel 9° anno, gli studenti imparano a collegare due relazioni utilizzando l'output di una funzione direttamente come input per un'altra. Valutano queste regole nidificate in corrispondenza di un dato numero, come ad esempio calcolare f(g(3)), e ricavano nuove formule algebriche per le funzioni composte, indicate come f(g(x)), utilizzando le relazioni lineari e quadratiche standard introdotte in questo anno scolastico.

Un errore comune è confondere la composizione con la moltiplicazione. Quando viene chiesto di calcolare f(g(x)), gli studenti spesso calcolano f(x) per g(x) invece di sostituire l'intera espressione di g(x) nella variabile di f(x). Un altro errore tipico consiste nell'invertire la sequenza applicando la regola esterna prima di quella interna, anziché procedere dall'interno verso l'esterno.

Gli esercizi del set Composizione di funzioni presentano in genere due funzioni, come f(x) = 2x + 1 e g(x) = 3x - 4. Agli studenti viene richiesto di calcolare la regola concatenata per uno specifico valore di input oppure di scrivere e semplificare una singola espressione algebrica che rappresenti l'intera composizione.

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Trovare l'inversa di una funzione lineare

Gli studenti imparano a scrivere la formula per l'inversa di una funzione lineare riorganizzando l'equazione per ricavare l'input originale.

Punto del programma HSF-BF.B.4 Trovare funzioni inverse. a. Risolvere un'equazione della forma f(x) = c per una funzione semplice f che ha un'inversa e scrivere un'espressione per l'inversa. Per esempio, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) per x ≠ 1. b. (+) Verificare mediante composizione che una funzione è l'inversa di un'altra. c. (+) Leggere i valori di una funzione inversa da un grafico o da una tabella, dato che la funzione ha un'inversa. d. (+) Produrre una funzione invertibile da una funzione non invertibile restringendo il dominio. (nostra traduzione)

In prima superiore, gli studenti imparano a determinare l'inversa di una semplice funzione lineare. Prendono un'equazione della forma f(x) = mx + b, la pongono uguale a un valore o variabile di output e invertono le operazioni passo dopo passo per risolvere rispetto alla variabile di input originale x. Questo permette loro di ottenere una nuova regola lineare che inverte l'effetto della funzione iniziale.

Un errore comune consiste nel confondere una funzione inversa con il suo reciproco. Gli studenti scrivono frequentemente 1 / f(x) invece di trovare la regola inversa, in parte perché la notazione con esponente negativo può sembrare simile. Un altro errore frequente è invertire l'ordine delle operazioni in modo errato, come dividere per il coefficiente angolare prima di sottrarre il termine noto quando si isola la variabile.

Le schede didattiche sull'Inversa di una funzione lineare presentano un'equazione lineare, come f(x) = 4x - 7 o f(x) = -2x + 3. Gli studenti svolgono i passaggi algebrici per isolare l'input e scrivere l'espressione inversa risultante, tipicamente espressa con la notazione funzionale f⁻¹(x) = (x + 7) / 4.

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Risoluzione di sistemi tra una retta e una parabola

Gli studenti imparano a trovare i punti in cui una retta e una parabola si intersecano utilizzando metodi algebrici e grafici.

Punto del programma HSA-REI.C.7 Risolvere algebricamente e graficamente un semplice sistema costituito da un'equazione lineare e un'equazione quadratica in due variabili. Per esempio, trovare i punti di intersezione tra la retta y = –3x e la circonferenza x2 + y2 = 3. (nostra traduzione)

Nel nono anno, gli studenti risolvono sistemi di equazioni che associano un'equazione lineare a un'equazione quadratica. Imparano a determinare le coordinate dei punti in cui una retta e una parabola si intersecano, lavorando sia graficamente su un piano cartesiano sia algebricamente, sostituendo l'espressione lineare nell'equazione quadratica per ricavare le variabili condivise.

Un errore comune è trovare i valori di x e fermarsi lì. Poiché la soluzione di un sistema rappresenta punti di intersezione, gli studenti devono sostituire ciascun valore di x nell'equazione lineare per trovare il corrispondente valore di y e scrivere le risposte finali come coppie ordinate complete di coordinate, come (x, y). Inoltre, gli studenti commettono frequentemente errori di segno quando pongono l'equazione combinata uguale a zero prima di scomporre in fattori o di applicare la formula quadratica.

Le attività delle schede didattiche si concentrano sull'individuazione delle intersezioni tra una parabola e una retta. Un esercizio tipico propone un sistema come y = x² + 2x - 1 e y = x + 5, chiedendo agli studenti di tracciare il grafico di entrambe le equazioni per individuare i punti di intersezione oppure di utilizzare il metodo di sostituzione per calcolare i punti esatti di intersezione.

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Trovare il valore di una funzione quadratica

Gli studenti imparano a sostituire un dato numero in una funzione quadratica e a calcolarne il valore di output utilizzando la notazione funzionale.

Punto del programma HSF-IF.A.2 Utilizzare la notazione funzionale, valutare funzioni per valori nei loro domini e interpretare affermazioni che utilizzano la notazione funzionale in termini di un contesto. (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a usare la notazione delle funzioni per valutare espressioni quadratiche per specifici valori di input. Data una regola come f(x), sostituiscono la variabile con il valore di input scelto, elevano al quadrato il valore, moltiplicano per gli eventuali coefficienti e combinano i termini per trovare il valore di output finale.

Un tipico ostacolo riguarda i valori di input negativi e l'ordine delle operazioni. Gli studenti spesso sbagliano i segni quando elevano al quadrato un numero negativo—scrivendo -3² = -9 invece di (-3)² = 9—oppure moltiplicano l'input per un coefficiente esterno prima di elevare al quadrato, ottenendo un risultato errato.

Gli esercizi pratici basati sul modello Valore di una funzione quadratica presentano tipicamente un'equazione come f(x) = 2x² - 5x + 3 e chiedono agli studenti di determinare valori di output come f(4) o f(-2).

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Modelli di esercizi da stampare

Tutti i tipi di esercizi, raggruppati per abilità. Un clic apre il generatore con il tipo già scelto.

Scomposizione di polinomi: raccoglimento parziale e cubi

Determinare i termini e le somme delle progressioni aritmetiche

Determinare termini e somme di successioni geometriche

Trovare i termini di una successione

Moltiplicazione di prodotti notevoli di binomi

Calcolare i valori delle funzioni esponenziali

Determinare le equazioni di rette e rette parallele

Trovare il vertice e usare la forma vertice

Risolvere sistemi di equazioni per eliminazione

Calcolo della varianza di un insieme di dati

Lavorare con gli esponenti frazionari

Risolvere disequazioni lineari in una variabile

Equazioni senza soluzione o con infinite soluzioni

Risoluzione delle equazioni di secondo grado

Traslazione dei grafici di funzioni verso l'alto, il basso, a sinistra e a destra

Calcolo del tasso medio di variazione

Combinare le funzioni mediante composizione

Trovare l'inversa di una funzione lineare

Risoluzione di sistemi tra una retta e una parabola

Trovare il valore di una funzione quadratica

Altri tipi di esercizi

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