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Programme scolaire (États-Unis)

Mathématiques — 11e année

Mathématiques de 11e année selon les Common Core State Standards, généralement Algèbre II : division de polynômes, expressions et équations rationnelles, nombres complexes, théorème du binôme, mesure en radians et fonctions périodiques. Chaque sujet est accompagné de fiches d'exercices imprimables.

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Qu'apprennent les élèves en mathématiques en 11e année ?

En 11e année, les élèves divisent des polynômes, simplifient des expressions rationnelles et résolvent des équations rationnelles. Ils effectuent des calculs avec des nombres complexes et résolvent des équations du second degré ayant des racines complexes, développent des puissances à l'aide du binôme de Newton et transforment des représentations graphiques de fonctions. La mesure en radians et les fonctions périodiques préparent à la trigonométrie du précalcul.

À propos des standards : les standards du Common Core pour le lycée sont organisés par catégorie conceptuelle (Nombres et quantités, Algèbre, Fonctions, Géométrie, Statistiques et probabilités), et non par niveau scolaire. L'attribution d'un thème à un niveau est notre choix, suivant la séquence habituelle de cours : Algèbre I, Géométrie, Algèbre II et Précalcul. Les standards marqués d'un (+) vont au-delà du socle fondamental de préparation aux études supérieures et à la vie professionnelle.

État de la page : les thèmes de ce niveau sont prêts sous forme d'exercices simples (consigne et formule) ; les problèmes avec graphiques et les problèmes contextualisés seront ajoutés prochainement.

Programme officiel

  1. Point du programme HSN-CN · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Le système des nombres complexes

    notre traduction · texte original (EN): The Complex Number System

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Complex Number System (HSN-CN)

  2. Point du programme HSN-CN.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Effectuer des opérations arithmétiques avec les nombres complexes.

    notre traduction · texte original (EN): Perform arithmetic operations with complex numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster A

  3. Point du programme HSN-CN.C · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Utiliser les nombres complexes dans les identités polynomiales et les équations.

    notre traduction · texte original (EN): Use complex numbers in polynomial identities and equations.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster C

  4. Point du programme HSN-CN.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Savoir qu'il existe un nombre complexe i tel que i2 = –1, et que tout nombre complexe a la forme a + bi avec a et b réels.

    notre traduction · texte original (EN): Know there is a complex number i such that i2 = –1, and every complex number has the form a + bi with a and b real.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.1

    Additionner, multiplier et travailler avec les nombres complexes (chez nous en classe 11)

  5. Point du programme HSN-CN.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Utiliser la relation i2 = –1 et les propriétés commutative, associative et distributive pour additionner, soustraire et multiplier des nombres complexes.

    notre traduction · texte original (EN): Use the relation i2 = –1 and the commutative, associative, and distributive properties to add, subtract, and multiply complex numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.2

    Additionner, multiplier et travailler avec les nombres complexes (chez nous en classe 11)

  6. Point du programme HSN-CN.C.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Résoudre des équations du second degré à coefficients réels ayant des solutions complexes.

    notre traduction · texte original (EN): Solve quadratic equations with real coefficients that have complex solutions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.7

    Résolution d'équations du second degré à racines complexes (chez nous en classe 11)

  7. Point du programme HSN-CN.C.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    (+) Étendre les identités polynomiales aux nombres complexes. Par exemple, réécrire x2 + 4 sous la forme (x + 2i)(x – 2i).

    notre traduction · texte original (EN): (+) Extend polynomial identities to the complex numbers. For example, rewrite x2 + 4 as (x + 2i)(x – 2i).

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.8

    Résolution d'équations du second degré à racines complexes (chez nous en classe 11)

  8. Point du programme HSN-CN.C.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    (+) Connaître le théorème fondamental de l'algèbre ; montrer qu'il est vrai pour les polynômes du second degré.

    notre traduction · texte original (EN): (+) Know the Fundamental Theorem of Algebra; show that it is true for quadratic polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.9

  9. Point du programme HSA-SSE · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Voir la structure dans les expressions

    notre traduction · texte original (EN): Seeing Structure in Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)

  10. Point du programme HSA-SSE.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Interpréter la structure des expressions

    notre traduction · texte original (EN): Interpret the structure of expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A

  11. Point du programme HSA-SSE.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Écrire des expressions sous des formes équivalentes pour résoudre des problèmes

    notre traduction · texte original (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B

  12. Point du programme HSA-SSE.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Interpréter des expressions qui représentent une quantité en fonction de son contexte.★ a. Interpréter les parties d'une expression, telles que les termes, les facteurs et les coefficients. b. Interpréter des expressions complexes en considérant une ou plusieurs de leurs parties comme une seule entité. Par exemple, interpréter P(1+r)n comme le produit de P et d'un facteur ne dépendant pas de P.

    notre traduction · texte original (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1

  13. Point du programme HSA-SSE.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Utiliser la structure d'une expression pour identifier des façons de la réécrire. Par exemple, voir x4 – y4 comme (x2)2 – ( y2)2, la reconnaissant ainsi comme une différence de carrés qui peut être factorisée sous la forme (x2 – y2)(x2 + y2).

    notre traduction · texte original (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

    Utiliser les formules des produits remarquables (chez nous en classe 9-11) · Factorisation de polynômes par groupement et cubes (chez nous en classe 9-11)

  14. Point du programme HSA-SSE.B.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Établir la formule de la somme d'une série géométrique finie (lorsque la raison n'est pas 1), et utiliser la formule pour résoudre des problèmes. Par exemple, calculer des remboursements hypothécaires.★

    notre traduction · texte original (EN): Derive the formula for the sum of a finite geometric series (when the common ratio is not 1), and use the formula to solve problems. For example, calculate mortgage payments.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.B.4

    Déterminer le n-ième terme et la somme d'une suite géométrique (chez nous en classe 9-11)

  15. Point du programme HSA-APR · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Arithmétique avec les polynômes et les expressions rationnelles

    notre traduction · texte original (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)

  16. Point du programme HSA-APR.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Effectuer des opérations arithmétiques sur des polynômes

    notre traduction · texte original (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A

  17. Point du programme HSA-APR.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Comprendre la relation entre les zéros et les facteurs des polynômes

    notre traduction · texte original (EN): Understand the relationship between zeros and factors of polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster B

  18. Point du programme HSA-APR.C · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Utiliser les identités polynomiales pour résoudre des problèmes

    notre traduction · texte original (EN): Use polynomial identities to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster C

  19. Point du programme HSA-APR.D · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Réécrire des expressions rationnelles

    notre traduction · texte original (EN): Rewrite rational expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster D

  20. Point du programme HSA-APR.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Comprendre que les polynômes forment un système analogue aux entiers, à savoir qu'ils sont stables pour les opérations d'addition, de soustraction et de multiplication ; additionner, soustraire et multiplier des polynômes.

    notre traduction · texte original (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1

  21. Point du programme HSA-APR.B.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Connaître et appliquer le théorème du reste : Pour un polynôme p(x) et un nombre a, le reste de la division par x – a est p(a), donc p(a) = 0 si et seulement si (x – a) est un facteur de p(x).

    notre traduction · texte original (EN): Know and apply the Remainder Theorem: For a polynomial p(x) and a number a, the remainder on division by x – a is p(a), so p(a) = 0 if and only if (x – a) is a factor of p(x).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.B.2

    Division de polynômes et théorème du reste (chez nous en classe 11)

  22. Point du programme HSA-APR.B.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Identifier les zéros de polynômes lorsque des factorisations appropriées sont disponibles, et utiliser les zéros pour construire un graphique sommaire de la fonction définie par le polynôme.

    notre traduction · texte original (EN): Identify zeros of polynomials when suitable factorizations are available, and use the zeros to construct a rough graph of the function defined by the polynomial.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.B.3

  23. Point du programme HSA-APR.C.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Démontrer des identités polynomiales et les utiliser pour décrire des relations numériques. Par exemple, l'identité polynomiale (x2 + y2)2 = ( x2 – y2)2 + (2xy)2 peut être utilisée pour générer des triplets pythagoriciens.

    notre traduction · texte original (EN): Prove polynomial identities and use them to describe numerical relationships. For example, the polynomial identity (x2 + y2)2 = ( x2 – y2)2 + (2xy)2 can be used to generate Pythagorean triples.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.C.4

  24. Point du programme HSA-APR.C.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    (+) Connaître et appliquer le théorème du binôme pour le développement de (x + y)n en puissances de x et de y pour un entier positif n, où x et y sont des nombres quelconques, avec des coefficients déterminés par exemple par le triangle de Pascal.

    notre traduction · texte original (EN): (+) Know and apply the Binomial Theorem for the expansion of (x + y)n in powers of x and y for a positive integer n, where x and y are any numbers, with coefficients determined for example by Pascal’s Triangle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.C.5

    Déterminer les coefficients dans les développements du binôme (chez nous en classe 11)

  25. Point du programme HSA-APR.D.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Réécrire des expressions rationnelles simples sous différentes formes ; écrire a(x)/b(x) sous la forme q(x) + r(x)/b(x), où a(x), b(x), q(x) et r(x) sont des polynômes, le degré de r(x) étant inférieur au degré de b(x), en utilisant l'inspection, la division posée ou, pour les exemples plus compliqués, un système de calcul formel.

    notre traduction · texte original (EN): Rewrite simple rational expressions in different forms; write a(x)/b(x) in the form q(x) + r(x)/b(x), where a(x), b(x), q(x), and r(x) are polynomials with the degree of r(x) less than the degree of b(x), using inspection, long division, or, for the more complicated examples, a computer algebra system.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.D.6

    Division de polynômes et théorème du reste (chez nous en classe 11) · Multiplication et soustraction d'expressions rationnelles (chez nous en classe 11)

  26. Point du programme HSA-APR.D.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    (+) Comprendre que les expressions rationnelles forment un système analogue à celui des nombres rationnels, stable par addition, soustraction, multiplication et division par une expression rationnelle non nulle ; additionner, soustraire, multiplier et diviser des expressions rationnelles.

    notre traduction · texte original (EN): (+) Understand that rational expressions form a system analogous to the rational numbers, closed under addition, subtraction, multiplication, and division by a nonzero rational expression; add, subtract, multiply, and divide rational expressions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.D.7

  27. Point du programme HSA-CED · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Créer des équations★

    notre traduction · texte original (EN): Creating Equations★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)

  28. Point du programme HSA-CED.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Créer des équations qui décrivent des nombres ou des relations

    notre traduction · texte original (EN): Create equations that describe numbers or relationships

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A

  29. Point du programme HSA-CED.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Créer des équations et des inéquations à une variable et les utiliser pour résoudre des problèmes. Inclure des équations issues de fonctions linéaires et quadratiques, ainsi que de fonctions rationnelles et exponentielles simples.

    notre traduction · texte original (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1

  30. Point du programme HSA-CED.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Créer des équations à deux variables ou plus pour représenter des relations entre des grandeurs ; représenter graphiquement des équations sur des axes de coordonnées avec des étiquettes et des échelles.

    notre traduction · texte original (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2

  31. Point du programme HSA-CED.A.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Représenter des contraintes par des équations ou des inéquations, et par des systèmes d'équations et/ou d'inéquations, et interpréter les solutions comme des options viables ou non viables dans un contexte de modélisation. Par exemple, représenter des inéquations décrivant des contraintes nutritionnelles et de coût sur des combinaisons de différents aliments.

    notre traduction · texte original (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3

  32. Point du programme HSA-CED.A.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Réorganiser des formules pour mettre en évidence une grandeur d'intérêt, en utilisant le même raisonnement que dans la résolution d'équations. Par exemple, réorganiser la loi d'Ohm V = IR pour mettre en évidence la résistance R.

    notre traduction · texte original (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4

  33. Point du programme HSA-REI · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Raisonner avec des équations et des inéquations

    notre traduction · texte original (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)

  34. Point du programme HSA-REI.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Comprendre la résolution d'équations comme un processus de raisonnement et expliquer le raisonnement

    notre traduction · texte original (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A

  35. Point du programme HSA-REI.C · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Résoudre des systèmes d'équations

    notre traduction · texte original (EN): Solve systems of equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C

  36. Point du programme HSA-REI.D · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Représenter et résoudre graphiquement des équations et des inéquations

    notre traduction · texte original (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D

  37. Point du programme HSA-REI.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Résoudre des équations rationnelles et radicales simples à une variable, et donner des exemples montrant comment des solutions étrangères peuvent apparaître.

    notre traduction · texte original (EN): Solve simple rational and radical equations in one variable, and give examples showing how extraneous solutions may arise.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.A.2

    Résolution d'équations rationnelles et à radicaux (chez nous en classe 11)

  38. Point du programme HSA-REI.D.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Expliquer pourquoi les abscisses des points où les représentations graphiques des équations y = f(x) et y = g(x) se coupent sont les solutions de l'équation f(x) = g(x) ; trouver les solutions de manière approchée, par ex. en utilisant des outils technologiques pour tracer les fonctions, créer des tableaux de valeurs ou trouver des approximations successives. Inclure des cas où f(x) et/ou g(x) sont des fonctions linéaires, polynomiales, rationnelles, valeur absolue, exponentielles et logarithmiques.★

    notre traduction · texte original (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11

  39. Point du programme HSF-IF · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Interpréter des fonctions

    notre traduction · texte original (EN): Interpreting Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)

  40. Point du programme HSF-IF.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Interpréter des fonctions issues d'applications en fonction du contexte

    notre traduction · texte original (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B

  41. Point du programme HSF-IF.C · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Analyser des fonctions à l'aide de différentes représentations

    notre traduction · texte original (EN): Analyze functions using different representations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C

  42. Point du programme HSF-IF.B.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Pour une fonction qui modélise une relation entre deux grandeurs, interpréter les caractéristiques clés des graphiques et des tableaux en termes de ces grandeurs, et esquisser des graphiques montrant les caractéristiques clés à partir d'une description verbale de la relation. Les caractéristiques clés comprennent : les intersections avec les axes ; les intervalles où la fonction est croissante, décroissante, positive ou négative ; les maximums et minimums relatifs ; les symétries ; le comportement à l'infini ; et la périodicité .★

    notre traduction · texte original (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4

  43. Point du programme HSF-IF.B.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Associer le domaine de définition d'une fonction à sa représentation graphique et, le cas échéant, à la relation quantitative qu'elle décrit. Par exemple, si la fonction h(n) donne le nombre d'heures-personnes nécessaires pour assembler n moteurs dans une usine, alors les entiers positifs constituent un domaine de définition approprié pour la fonction. ★

    notre traduction · texte original (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5

  44. Point du programme HSF-IF.B.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Calculer et interpréter le taux de variation moyen d'une fonction (présentée sous forme symbolique ou sous forme de tableau) sur un intervalle donné. Estimer le taux de variation à partir d'un graphique. ★

    notre traduction · texte original (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

    Calculer le taux de variation moyen (chez nous en classe 9-11)

  45. Point du programme HSF-IF.C.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Représenter graphiquement des fonctions exprimées symboliquement et montrer les caractéristiques clés du graphique, à la main pour les cas simples et à l'aide de la technologie pour les cas plus complexes. ★ a. Représenter graphiquement des fonctions linéaires et quadratiques et montrer les intersections avec les axes, les maxima et les minima. b. Représenter graphiquement des fonctions racine carrée, racine cubique et définies par morceaux, y compris les fonctions en escalier et les fonctions valeur absolue. c. Représenter graphiquement des fonctions polynomiales, en identifiant les zéros lorsque des factorisations appropriées sont disponibles, et en montrant le comportement à l'infini. d. (+) Représenter graphiquement des fonctions rationnelles, en identifiant les zéros et les asymptotes lorsque des factorisations appropriées sont disponibles, et en montrant le comportement à l'infini. e. Représenter graphiquement des fonctions exponentielles et logarithmiques, en montrant les intersections avec les axes et le comportement à l'infini, et des fonctions trigonométriques, en montrant la période, l'axe médian et l'amplitude.

    notre traduction · texte original (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7

  46. Point du programme HSF-IF.C.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Écrire une fonction définie par une expression sous des formes différentes mais équivalentes pour révéler et expliquer différentes propriétés de la fonction. a. Utiliser les processus de factorisation et de complétion du carré dans une fonction quadratique pour montrer les zéros, les valeurs extrêmes et la symétrie du graphique, et les interpréter en fonction d'un contexte. b. Utiliser les propriétés des exposants pour interpréter des expressions de fonctions exponentielles. Par exemple, identifier le taux de variation en pourcentage dans des fonctions telles que y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, et les classer comme représentant une croissance ou une décroissance exponentielle.

    notre traduction · texte original (EN): Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

    Trouver le sommet et utiliser la forme canonique (chez nous en classe 9-11)

  47. Point du programme HSF-IF.C.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Comparer les propriétés de deux fonctions représentées chacune d'une manière différente (algébriquement, graphiquement, numériquement dans des tableaux ou par des descriptions verbales). Par exemple, étant donné le graphique d'une fonction quadratique et l'expression algébrique d'une autre, dire laquelle a le plus grand maximum.

    notre traduction · texte original (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9

  48. Point du programme HSF-BF · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Construction de fonctions

    notre traduction · texte original (EN): Building Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)

  49. Point du programme HSF-BF.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Construire une fonction qui modélise une relation entre deux grandeurs

    notre traduction · texte original (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A

  50. Point du programme HSF-BF.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Construire de nouvelles fonctions à partir de fonctions existantes

    notre traduction · texte original (EN): Build new functions from existing functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B

  51. Point du programme HSF-BF.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Écrire une fonction qui décrit une relation entre deux grandeurs.★ a. Déterminer une expression explicite, un processus récursif ou des étapes de calcul à partir d'un contexte. b. Combiner des types de fonctions usuelles à l'aide d'opérations arithmétiques. Par exemple, construire une fonction qui modélise la température d'un corps qui se refroidit en ajoutant une fonction constante à une exponentielle décroissante, et relier ces fonctions au modèle. c. (+) Composer des fonctions. Par exemple, si T(y) est la température dans l'atmosphère en fonction de l'altitude, et h(t) est l'altitude d'un ballon météorologique en fonction du temps, alors T(h(t)) est la température à l'emplacement du ballon météorologique en fonction du temps.

    notre traduction · texte original (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

    Écrire des équations de droites et de droites parallèles (chez nous en classe 9-11) · Combinaison de fonctions par composition (chez nous en classe 9-11)

  52. Point du programme HSF-BF.B.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Identifier l'effet sur la représentation graphique du remplacement de f(x) par f(x) + k, k f(x), f(kx) et f(x + k) pour des valeurs spécifiques de k (à la fois positives et négatives) ; trouver la valeur de k à partir des représentations graphiques. Expérimenter des cas et illustrer une explication des effets sur la représentation graphique à l'aide de la technologie. Inclure la reconnaissance des fonctions paires et impaires à partir de leurs représentations graphiques et de leurs expressions algébriques.

    notre traduction · texte original (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

    Translations horizontales et verticales de graphiques (chez nous en classe 9-11)

  53. Point du programme HSF-BF.B.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Trouver des fonctions réciproques. a. Résoudre une équation de la forme f(x) = c pour une fonction simple f qui admet une réciproque et écrire une expression pour la réciproque. Par exemple, f(x) =2 x3 ou f(x) = (x+1)/(x–1) pour x ≠ 1. b. (+) Vérifier par composition qu'une fonction est la réciproque d'une autre. c. (+) Lire des valeurs d'une fonction réciproque à partir d'un graphique ou d'un tableau, sachant que la fonction admet une réciproque. d. (+) Produire une fonction inversible à partir d'une fonction non inversible en restreignant le domaine.

    notre traduction · texte original (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

    Trouver la réciproque d'une fonction affine (chez nous en classe 9-11)

  54. Point du programme HSF-LE · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Modèles linéaires, quadratiques et exponentiels★

    notre traduction · texte original (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)

  55. Point du programme HSF-LE.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Construire et comparer des modèles linéaires, quadratiques et exponentiels et résoudre des problèmes

    notre traduction · texte original (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A

  56. Point du programme HSF-LE.A.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Pour les modèles exponentiels, exprimer sous forme de logarithme la solution de abct = d où a, c et d sont des nombres et la base b est 2, 10 ou e ; évaluer le logarithme à l'aide de la technologie.

    notre traduction · texte original (EN): For exponential models, express as a logarithm the solution to abct = d where a, c, and d are numbers and the base b is 2, 10, or e; evaluate the logarithm using technology.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.4

  57. Point du programme HSF-TF · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Fonctions trigonométriques

    notre traduction · texte original (EN): Trigonometric Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Trigonometric Functions (HSF-TF)

  58. Point du programme HSF-TF.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Étendre le domaine de définition des fonctions trigonométriques en utilisant le cercle trigonométrique

    notre traduction · texte original (EN): Extend the domain of trigonometric functions using the unit circle

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster A

  59. Point du programme HSF-TF.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Modéliser des phénomènes périodiques à l'aide de fonctions trigonométriques

    notre traduction · texte original (EN): Model periodic phenomena with trigonometric functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster B

  60. Point du programme HSF-TF.C · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Démontrer et appliquer des identités trigonométriques

    notre traduction · texte original (EN): Prove and apply trigonometric identities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster C

  61. Point du programme HSF-TF.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Comprendre la mesure en radians d'un angle comme la longueur de l'arc sur le cercle unité sous-tendu par l'angle.

    notre traduction · texte original (EN): Understand radian measure of an angle as the length of the arc on the unit circle subtended by the angle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.1

    Conversion entre degrés et radians (chez nous en classe 11)

  62. Point du programme HSF-TF.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Expliquer comment le cercle unité dans le plan cartésien permet d'étendre les fonctions trigonométriques à tous les nombres réels, interprétés comme des mesures en radians d'angles parcourus dans le sens antihoraire autour du cercle unité.

    notre traduction · texte original (EN): Explain how the unit circle in the coordinate plane enables the extension of trigonometric functions to all real numbers, interpreted as radian measures of angles traversed counterclockwise around the unit circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.2

  63. Point du programme HSF-TF.B.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Choisir des fonctions trigonométriques pour modéliser des phénomènes périodiques avec une amplitude, une fréquence et une ligne médiane spécifiées. ★

    notre traduction · texte original (EN): Choose trigonometric functions to model periodic phenomena with specified amplitude, frequency, and midline. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.5

    Déterminer la période et l'amplitude d'une courbe sinusoïdale (chez nous en classe 11)

  64. Point du programme HSF-TF.C.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Démontrer l'identité pythagoricienne sin2(θ) + cos2(θ) = 1 et l'utiliser pour trouver sin(θ), cos(θ) ou tan(θ) étant donné sin(θ), cos(θ) ou tan(θ) et le quadrant de l'angle.

    notre traduction · texte original (EN): Prove the Pythagorean identity sin2(θ) + cos2(θ) = 1 and use it to find sin(θ), cos(θ), or tan(θ) given sin(θ), cos(θ), or tan(θ) and the quadrant of the angle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.C.8

  65. Point du programme HSF-TF.C.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    (+) Démontrer les formules d'addition et de soustraction pour le sinus, le cosinus et la tangente et les utiliser pour résoudre des problèmes.

    notre traduction · texte original (EN): (+) Prove the addition and subtraction formulas for sine, cosine, and tangent and use them t o solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.C.9

  66. Point du programme HSG-GPE · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Exprimer des propriétés géométriques avec des équations

    notre traduction · texte original (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)

  67. Point du programme HSG-GPE.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Passer de la description géométrique à l'équation d'une section conique

    notre traduction · texte original (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A

  68. Point du programme HSG-GMD · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Mesure géométrique et dimension

    notre traduction · texte original (EN): Geometric Measurement and Dimension

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)

  69. Point du programme HSG-GMD.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Expliquer les formules de volume et les utiliser pour résoudre des problèmes

    notre traduction · texte original (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A

  70. Point du programme HSS-ID · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Interpréter des données catégorielles et quantitatives

    notre traduction · texte original (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)

  71. Point du programme HSS-ID.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Résumer, représenter et interpréter des données portant sur une seule variable de comptage ou de mesure

    notre traduction · texte original (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A

  72. Point du programme HSS-ID.A.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Utiliser la moyenne et l'écart type d'un ensemble de données pour l'ajuster à une loi normale et pour estimer des pourcentages de la population. Reconnaître qu'il existe des ensembles de données pour lesquels une telle procédure n'est pas appropriée. Utiliser des calculatrices, des tableurs et des tables pour estimer des aires sous la courbe normale.

    notre traduction · texte original (EN): Use the mean and standard deviation of a data set to fit it to a normal distribution and to estimate population percentages. Recognize that there are data sets for which such a procedure is not appropriate. Use calculators, spreadsheets, and tables to estimate areas under the normal curve.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.4

  73. Point du programme HSS-IC · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Faire des inférences et justifier des conclusions

    notre traduction · texte original (EN): Making Inferences and Justifying Conclusions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Making Inferences and Justifying Conclusions (HSS-IC)

  74. Point du programme HSS-IC.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Comprendre et évaluer les processus aléatoires sous-jacents aux expériences statistiques

    notre traduction · texte original (EN): Understand and evaluate random processes underlying statistical experiments

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, cluster A

  75. Point du programme HSS-IC.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Faire des inférences et justifier des conclusions à partir d'enquêtes par échantillonnage, d'expériences et d'études observationnelles

    notre traduction · texte original (EN): Make inferences and justify conclusions from sample surveys, experiments, and observational studies

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, cluster B

  76. Point du programme HSS-IC.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Comprendre la statistique comme un processus permettant de faire des inférences sur les paramètres d'une population à partir d'un échantillon aléatoire de cette population.

    notre traduction · texte original (EN): Understand statistics as a process for making inferences about population parameters based on a random sample from that population.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.A.1

  77. Point du programme HSS-IC.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Décider si un modèle spécifié est cohérent avec les résultats d'un processus donné de génération de données, par exemple en utilisant la simulation. Par exemple, un modèle indique qu'une pièce que l'on fait tourner tombe sur face avec une probabilité de 0.5. Un résultat de 5 piles consécutifs vous amènerait-il à remettre en question le modèle ?

    notre traduction · texte original (EN): Decide if a specified model is consistent with results from a given data-generating process, e.g., using simulation. For example, a model says a spinning coin falls heads up with probability 0.5. Would a result of 5 tails in a row cause you to question the model?

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.A.2

  78. Point du programme HSS-IC.B.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Reconnaître les objectifs et les différences entre les enquêtes par sondage, les expériences et les études observationnelles ; expliquer comment la randomisation s'applique à chacune d'entre elles.

    notre traduction · texte original (EN): Recognize the purposes of and differences among sample surveys, experiments, and observational studies; explain how randomization relates to each.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.3

  79. Point du programme HSS-IC.B.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Utiliser des données provenant d'une enquête par sondage pour estimer une moyenne ou une proportion d'une population ; déterminer une marge d'erreur par l'utilisation de modèles de simulation pour l'échantillonnage aléatoire.

    notre traduction · texte original (EN): Use data from a sample survey to estimate a population mean or proportion; develop a margin of error through the use of simulation models for random sampling.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.4

  80. Point du programme HSS-IC.B.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Utiliser des données issues d'une expérience randomisée pour comparer deux traitements ; utiliser des simulations pour décider si les différences entre les paramètres sont significatives.

    notre traduction · texte original (EN): Use data from a randomized experiment to compare two treatments; use simulations to decide if differences between parameters are significant.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.5

  81. Point du programme HSS-IC.B.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Évaluer des rapports fondés sur des données.

    notre traduction · texte original (EN): Evaluate reports based on data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.6

  82. Point du programme HSS-MD · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Utiliser la probabilité pour prendre des décisions

    notre traduction · texte original (EN): Using Probability to Make Decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)

  83. Point du programme HSS-MD.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Utiliser les probabilités pour évaluer les résultats de décisions

    notre traduction · texte original (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B

  84. Point du programme HSS-MD.B.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    (+) Utiliser les probabilités pour prendre des décisions équitables (p. ex., tirer au sort, utiliser un générateur de nombres aléatoires).

    notre traduction · texte original (EN): (+) Use probabilities to make fair decisions (e.g., drawing by lots, using a random number gener ator).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.6

  85. Point du programme HSS-MD.B.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    (+) Analyser des décisions et des stratégies à l'aide de concepts de probabilité (p. ex., tests de produits, tests médicaux, retrait d'un gardien de but au hockey en fin de partie).

    notre traduction · texte original (EN): (+) Analyze decisions and strategies using probability concepts (e.g., product t esting, medical testing, pulling a hockey goalie at the end of a game).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.7

Compétences étape par étape

Factorisation de polynômes par groupement et cubes

Les élèves apprennent à décomposer des expressions algébriques complexes en mettant en évidence des facteurs communs, en regroupant des termes et en utilisant les formules de la somme et de la différence de cubes.

Point du programme HSA-SSE.A.2 Utiliser la structure d'une expression pour identifier des façons de la réécrire. Par exemple, voir x4 – y4 comme (x2)2 – ( y2)2, la reconnaissant ainsi comme une différence de carrés qui peut être factorisée sous la forme (x2 – y2)(x2 + y2). (notre traduction)

En 11e année, les élèves utilisent la structure d'une expression algébrique pour la décomposer en facteurs plus simples. Au lieu de s'appuyer uniquement sur les méthodes de base du second degré, les élèves examinent des expressions à plusieurs termes pour repérer le plus grand facteur commun, regrouper les termes présentant des caractéristiques communes et reconnaître les expressions composées de deux cubes parfaits.

Une erreur fréquente concerne les signes négatifs lors de la factorisation par groupement ou de l'utilisation des identités de cubes. Lors du regroupement de quatre termes, les élèves oublient souvent de factoriser par un signe négatif dans la deuxième paire, laissant des binômes incompatibles qui les empêchent de terminer le problème. Avec la somme et la différence de cubes, les élèves confondent fréquemment les signes positifs et négatifs dans les parties linéaire et quadratique de la forme factorisée.

Les exercices de la fiche renforcent ces compétences à travers trois formats principaux :

  • Factorisation par un monôme : identifier et extraire le plus grand facteur commun partagé par tous les termes d'une expression.
  • Factorisation par groupement : diviser des polynômes à quatre termes en paires pour faire apparaître et extraire un facteur binomial commun.
  • Somme et différence de cubes : identifier les termes au cube et appliquer la formule cubique appropriée pour réécrire l'expression.
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Types d’exercices: Mise en facteur d'un monôme · Factorisation par regroupement · Somme et différence de cubes

Additionner, multiplier et travailler avec les nombres complexes

Les élèves apprennent à additionner, soustraire et multiplier des nombres complexes sous la forme a + bi et à simplifier les puissances de i en utilisant la règle selon laquelle i² est égal à –1.

Point du programme HSN-CN.A.1 Savoir qu'il existe un nombre complexe i tel que i2 = –1, et que tout nombre complexe a la forme a + bi avec a et b réels. (notre traduction)
Point du programme HSN-CN.A.2 Utiliser la relation i2 = –1 et les propriétés commutative, associative et distributive pour additionner, soustraire et multiplier des nombres complexes. (notre traduction)

En 11e année, les élèves travaillent avec des nombres complexes écrits sous la forme standard a + bi, où a et b sont des nombres réels. En appliquant des règles algébriques familières — notamment la commutativité, l'associativité et la distributivité — ainsi que la définition fondamentale selon laquelle i² = –1, les élèves apprennent à additionner, soustraire et multiplier des nombres complexes, ainsi qu'à évaluer des puissances positives de i.

Une erreur fréquente se produit lors de la multiplication lorsque les élèves traitent simplement i comme une variable ordinaire telle que x. Ils oublient souvent de remplacer i² par –1, ce qui entraîne une erreur de signe dans la partie réelle finale du nombre. Une autre erreur courante survient lors de la soustraction, lorsque les élèves oublient de distribuer le signe négatif à la fois à la partie réelle et à la partie imaginaire du second nombre.

Les exercices d'entraînement couvrent trois formats clairs basés sur ces compétences. Dans l'addition et la soustraction de nombres complexes, les élèves combinent les termes réels entre eux et les termes imaginaires entre eux. Dans la multiplication de nombres complexes, les élèves développent des expressions telles que (3 + 2i)(1 – 4i) et simplifient le résultat sous la forme standard a + bi. Enfin, les exercices sur les puissances de i demandent aux élèves de simplifier les exposants plus élevés pour obtenir 1, –1, i ou –i en appliquant la règle selon laquelle i² = –1.

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Types d’exercices: Addition et soustraction de nombres complexes · Puissances de i · Multiplication de nombres complexes

Déterminer le n-ième terme et la somme d'une suite géométrique

Les élèves apprennent à écrire des formules pour trouver n'importe quel terme d'une suite géométrique et à utiliser la formule de la somme pour calculer le total d'une série finie.

Point du programme HSA-SSE.B.4 Établir la formule de la somme d'une série géométrique finie (lorsque la raison n'est pas 1), et utiliser la formule pour résoudre des problèmes. Par exemple, calculer des remboursements hypothécaires.★ (notre traduction)
Point du programme HSF-BF.A.2 Écrire des suites arithmétiques et géométriques à la fois par récurrence et avec une formule explicite, les utiliser pour modéliser des situations, et passer d'une forme à l'autre. ★ (notre traduction)
Point du programme HSF-LE.A.2 Construire des fonctions linéaires et exponentielles, y compris des suites arithmétiques et géométriques, à partir d'un graphique, d'une description d'une relation ou de deux couples entrée-sortie (y compris la lecture de ceux-ci dans un tableau). (notre traduction)

En 11e année, les élèves travaillent avec des suites géométriques où chaque valeur est multipliée par une raison constante (différente de 1). Les élèves écrivent des formules explicites pour calculer n'importe quel terme spécifique — appelé le n-ième terme — et utilisent la formule de la somme d'une suite géométrique finie pour additionner rapidement un nombre donné de termes.

Une erreur fréquente se produit lors du calcul des exposants et des signes. Pour trouver le n-ième terme, les élèves multiplient souvent par erreur le premier terme par la raison avant d'appliquer la puissance, ou ils oublient d'utiliser n − 1 dans l'exposant. Lors du calcul des sommes, les raisons négatives entraînent souvent des erreurs de signe au dénominateur, où la soustraction d'une valeur négative devrait se traduire par une addition.

Les exercices des fiches d'entraînement s'articulent autour de deux modèles principaux :

  • Suite géométrique — n-ième terme : Les élèves déterminent le premier terme et la raison à partir d'une liste ou d'un tableau afin de calculer un terme ultérieur précis, tel que le 8e ou le 12e terme.
  • Suite géométrique — somme des termes : Les élèves appliquent la formule de la somme pour calculer le total des n premiers termes d'une suite sans avoir à additionner chaque valeur manuellement.
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Types d’exercices: Suite géométrique — somme · Suite géométrique — terme de rang n

Utiliser les formules des produits remarquables

Les élèves apprennent à utiliser des identités remarquables pour développer rapidement le carré d'une somme ou d'une différence et le produit d'une somme et d'une différence.

Point du programme HSA-SSE.A.2 Utiliser la structure d'une expression pour identifier des façons de la réécrire. Par exemple, voir x4 – y4 comme (x2)2 – ( y2)2, la reconnaissant ainsi comme une différence de carrés qui peut être factorisée sous la forme (x2 – y2)(x2 + y2). (notre traduction)

À ce niveau, les élèves apprennent à reconnaître la structure d'une expression algébrique plutôt qu'à multiplier chaque terme à la main. Ils identifient des expressions qui correspondent à des modèles classiques et appliquent des formules directes pour trouver immédiatement la forme développée, en travaillant avec des sommes et des différences de termes contenant des variables et des constantes.

Une erreur très fréquente survient lorsque les élèves élèvent un binôme au carré. Beaucoup oublient complètement le terme central, pensant à tort qu'élever une somme au carré revient simplement à élever chaque terme au carré. Cela se produit lorsqu'ils tentent de distribuer l'exposant sur l'addition ou la soustraction au lieu d'appliquer la règle de multiplication complète.

Les exercices d'entraînement pour cette compétence portent généralement sur deux formats :

  • Produit d'une somme et d'une différence, où les élèves multiplient des expressions conjuguées, telles que (x + 5)(x – 5), pour obtenir directement une différence de carrés.
  • Carré d'une somme ou d'une différence, où les élèves développent des expressions telles que (x + 3) au carré ou (2x – 7) au carré en incluant le double produit central aux côtés des termes d'extrémités élevés au carré.
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Types d’exercices: Carré d'une somme ou d'une différence · Produit d'une somme par une différence

Division de polynômes et théorème du reste

Les élèves apprennent à diviser des polynômes par des facteurs linéaires comme x − a et à trouver directement le reste à l'aide du théorème du reste.

Point du programme HSA-APR.B.2 Connaître et appliquer le théorème du reste : Pour un polynôme p(x) et un nombre a, le reste de la division par x – a est p(a), donc p(a) = 0 si et seulement si (x – a) est un facteur de p(x). (notre traduction)
Point du programme HSA-APR.D.6 Réécrire des expressions rationnelles simples sous différentes formes ; écrire a(x)/b(x) sous la forme q(x) + r(x)/b(x), où a(x), b(x), q(x) et r(x) sont des polynômes, le degré de r(x) étant inférieur au degré de b(x), en utilisant l'inspection, la division posée ou, pour les exemples plus compliqués, un système de calcul formel. (notre traduction)

En 11e année, les élèves apprennent à diviser un polynôme par un binôme linéaire de la forme x − a à l'aide de la division posée. Ils écrivent leur réponse sous la forme q(x) + r/(x − a), où q(x) est le quotient et r est le reste constant. En parallèle de la division, les élèves utilisent le théorème du reste pour trouver ce reste rapidement : en calculant p(a), ils peuvent déterminer le reste sans effectuer toute la division, confirmant ainsi que x − a est un facteur exact dès lors que p(a) = 0.

Une erreur fréquente consiste à confondre le signe de a. Lors d'une division par un binôme tel que x − 3, les élèves évaluent souvent p(−3) au lieu de p(3) parce qu'ils reportent le signe moins dans le calcul. Dans la division posée de polynômes, les élèves ont également tendance à commettre des erreurs de signe lors de la soustraction des lignes, en particulier lorsqu'ils soustraient des termes ayant déjà des coefficients négatifs.

Les exercices des fiches associées à cette compétence s'articulent autour de deux formats principaux. Dans Division d'un polynôme par un binôme, les élèves effectuent la division de polynômes étape par étape pour trouver le quotient et l'éventuel reste. Dans Reste de la division d'un polynôme, les élèves utilisent le théorème du reste pour calculer rapidement le reste ou pour vérifier si un binôme donné divise exactement le polynôme.

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Types d’exercices: Reste de la division d'un polynôme · Division d'un polynôme par un binôme

Multiplication et soustraction d'expressions rationnelles

Les élèves apprennent à multiplier et à soustraire des expressions rationnelles formées de polynômes, en simplifiant les résultats sous la forme d'une seule fraction algébrique.

Point du programme HSA-APR.D.6 Réécrire des expressions rationnelles simples sous différentes formes ; écrire a(x)/b(x) sous la forme q(x) + r(x)/b(x), où a(x), b(x), q(x) et r(x) sont des polynômes, le degré de r(x) étant inférieur au degré de b(x), en utilisant l'inspection, la division posée ou, pour les exemples plus compliqués, un système de calcul formel. (notre traduction)

En classe de première, les élèves travaillent avec des expressions rationnelles — des fractions où le numérateur et le dénominateur sont tous deux des polynômes. Les élèves réécrivent et combinent ces fractions algébriques en utilisant la multiplication et la soustraction pour obtenir une expression rationnelle unique et simplifiée.

Une erreur courante lors de la soustraction consiste à oublier de distribuer le signe moins à chaque terme du numérateur de la seconde fraction après avoir trouvé un dénominateur commun. Lors de la multiplication, les élèves tentent souvent de simplifier des termes individuels séparés par des signes d'addition ou de soustraction au lieu de factoriser d'abord les polynômes pour éliminer les facteurs communs.

Les exercices d'entraînement se concentrent sur deux formats principaux : la multiplication d'expressions rationnelles et la soustraction d'expressions rationnelles. Dans les problèmes de soustraction, les élèves identifient un dénominateur polynomial commun et regroupent les termes semblables au numérateur. Dans les problèmes de multiplication, les élèves factorisent complètement les numérateurs et dénominateurs polynomiaux afin de réduire le produit final à sa forme la plus simple.

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Types d’exercices: Multiplication d'expressions rationnelles · Soustraction d'expressions rationnelles

Résolution d'équations rationnelles et à radicaux

Les élèves apprennent à résoudre des équations rationnelles et radicales simples à une variable et à identifier les solutions parasites qui ne fonctionnent pas dans l'équation d'origine.

Point du programme HSA-REI.A.2 Résoudre des équations rationnelles et radicales simples à une variable, et donner des exemples montrant comment des solutions étrangères peuvent apparaître. (notre traduction)

Les élèves apprennent à résoudre des équations simples à une variable contenant des expressions rationnelles (des fractions avec des variables au dénominateur) ou des expressions avec radicaux (des racines contenant des variables). Ils appliquent des techniques algébriques telles que l'élimination des dénominateurs en multipliant par un terme commun ou l'élimination des racines en élevant les deux membres de l'équation à une puissance appropriée.

Un obstacle fréquent réside dans l'identification des solutions parasites. Comme des étapes algébriques telles que l'élévation au carré des deux membres ou la multiplication par une expression contenant la variable peuvent faire apparaître des valeurs qui ne vérifient pas le problème initial, les élèves oublient souvent de vérifier leurs résultats. Cela conduit à accepter des réponses non valides, comme des valeurs qui annulent un dénominateur ou qui imposent qu'une racine carrée principale soit égale à un nombre négatif.

Les fiches d'exercices et les activités d'entraînement se concentrent sur deux formats :

  • Équation avec radicaux : des exercices où les élèves isolent une racine, l'éliminent en élevant les deux membres à une puissance, résolvent l'équation pour trouver la variable et vérifient la validité des réponses.
  • Équation rationnelle : des exercices où les élèves éliminent les dénominateurs, résolvent l'équation linéaire ou polynomiale restante et vérifient qu'aucune solution ne provoque de division par zéro.
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Types d’exercices: Équation avec racine · Équation rationnelle

Écrire des équations de droites et de droites parallèles

Les élèves apprennent à déterminer des fonctions affines explicites à partir de deux points de coordonnées ou d'un seul point et d'une droite parallèle.

Point du programme HSF-BF.A.1 Écrire une fonction qui décrit une relation entre deux grandeurs.★ a. Déterminer une expression explicite, un processus récursif ou des étapes de calcul à partir d'un contexte. b. Combiner des types de fonctions usuelles à l'aide d'opérations arithmétiques. Par exemple, construire une fonction qui modélise la température d'un corps qui se refroidit en ajoutant une fonction constante à une exponentielle décroissante, et relier ces fonctions au modèle. c. (+) Composer des fonctions. Par exemple, si T(y) est la température dans l'atmosphère en fonction de l'altitude, et h(t) est l'altitude d'un ballon météorologique en fonction du temps, alors T(h(t)) est la température à l'emplacement du ballon météorologique en fonction du temps. (notre traduction)

Les élèves écrivent des fonctions affines explicites pour décrire la relation entre deux quantités. Ils déterminent la pente entre deux coordonnées données ou identifient la pente correspondante nécessaire pour écrire l'équation d'une droite parallèle passant par un point cible.

Une erreur fréquente survient lors du travail sur les droites parallèles : les élèves modifient parfois la pente — en prenant son inverse ou son opposé, par exemple — au lieu de la conserver à l'identique. Une autre erreur courante apparaît lors du calcul de la pente lui-même, lorsque les élèves inversent le rapport en plaçant la variation de x sur la variation de y, ou intervertissent les coordonnées lors de leur substitution dans l'équation.

Les exercices d'entraînement comprennent Droite parallèle passant par un point, où les élèves utilisent une équation de droite existante et des coordonnées données pour écrire l'équation d'une nouvelle droite parallèle, et Fonction affine passant par deux points, où ils déterminent le taux de variation entre deux coordonnées afin de construire l'équation complète de la droite.

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Types d’exercices: Droite parallèle passant par un point · Fonction affine passant par deux points

Trouver le sommet et utiliser la forme canonique

Les élèves apprennent à réécrire des équations du second degré sous forme canonique afin d'identifier le sommet d'une parabole, son axe de symétrie et ses valeurs maximales ou minimales.

Point du programme HSF-IF.C.8 Écrire une fonction définie par une expression sous des formes différentes mais équivalentes pour révéler et expliquer différentes propriétés de la fonction. a. Utiliser les processus de factorisation et de complétion du carré dans une fonction quadratique pour montrer les zéros, les valeurs extrêmes et la symétrie du graphique, et les interpréter en fonction d'un contexte. b. Utiliser les propriétés des exposants pour interpréter des expressions de fonctions exponentielles. Par exemple, identifier le taux de variation en pourcentage dans des fonctions telles que y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, et les classer comme représentant une croissance ou une décroissance exponentielle. (notre traduction)

En 11e année, les élèves utilisent des méthodes algébriques telles que la complétion du carré pour réécrire les fonctions quadratiques sous forme canonique, y = a(x − h)2 + k. La conversion vers cette forme leur permet de repérer directement le sommet de la parabole en (h, k), de déterminer l'axe de symétrie et d'indiquer les valeurs extrêmes de la fonction (selon que la parabole est ouverte vers le haut avec un minimum ou vers le bas avec un maximum).

Une erreur fréquente concerne la translation horizontale à l'intérieur du terme au carré. Comme la forme générale comporte un signe de soustraction, les élèves interprètent souvent mal les signes et identifient le sommet de y = (x − 4)2 + 3 comme étant (−4, 3) au lieu de (4, 3). Des erreurs se produisent également lorsque le coefficient dominant a n'est pas égal à 1 : les élèves oublient alors de le mettre en facteur avant de compléter le carré ou n'équilibrent pas correctement l'équation.

Les exercices portent sur la Forme canonique d'une fonction quadratique et la recherche du Sommet d'une parabole. Les élèves s'entraînent à convertir étape par étape des équations de la forme développée vers la forme canonique, à en extraire les coordonnées du sommet et à interpréter la signification de cet extremum.

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Types d’exercices: Sommet d'une parabole · Forme canonique

Conversion entre degrés et radians

Les élèves apprennent à comprendre les radians comme des longueurs d'arc sur un cercle trigonométrique et à convertir les mesures d'angles entre degrés et radians.

Point du programme HSF-TF.A.1 Comprendre la mesure en radians d'un angle comme la longueur de l'arc sur le cercle unité sous-tendu par l'angle. (notre traduction)

En classe de première, les élèves apprennent que la mesure en radians d'un angle correspond à la longueur de l'arc qu'il intercepte sur un cercle trigonométrique. En s'appuyant sur cette définition, ils relient leurs connaissances préalables sur les mesures en degrés à ce nouveau système d'unité et apprennent à convertir la mesure des angles des degrés vers les radians et inversement.

Une erreur fréquente se produit lorsque les élèves inversent le facteur de conversion, en multipliant par π/180° alors qu'ils devraient multiplier par 180°/π. De plus, les apprenants supposent souvent qu'un angle n'est exprimé en radians que s'il contient le symbole π, ce qui engendre des confusions sur ce que les radians représentent concrètement sur le cercle.

Les exercices liés à cette compétence s'articulent autour de deux modèles de fiches distincts : Degrés en radians, où les élèves réécrivent des angles donnés en degrés sous forme de valeurs exactes en radians, et Radians en degrés, où ils convertissent des mesures en radians en valeurs en degrés.

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Types d’exercices: Degrés en radians · Radians en degrés

Déterminer la période et l'amplitude d'une courbe sinusoïdale

Les élèves apprennent à identifier la période et à déterminer le maximum ou l'amplitude d'une courbe sinusoïdale afin de modéliser des motifs périodiques.

Point du programme HSF-TF.B.5 Choisir des fonctions trigonométriques pour modéliser des phénomènes périodiques avec une amplitude, une fréquence et une ligne médiane spécifiées. ★ (notre traduction)

En classe de première, les élèves examinent les représentations graphiques de fonctions périodiques pour modéliser des cycles répétitifs. Ils identifient les caractéristiques géométriques clés d'une sinusoïde, en déterminant sa période — la longueur horizontale d'un cycle complet — et en repérant la valeur maximale de la courbe pour déterminer son amplitude.

Une erreur courante consiste à confondre la hauteur verticale totale de l'onde avec son amplitude. Les élèves mesurent souvent du creux le plus bas jusqu'au sommet, en oubliant que l'amplitude se mesure à partir de la ligne médiane centrale jusqu'au sommet. Une autre erreur fréquente se produit lors de la mesure de la période : les élèves prennent souvent la distance entre deux passages consécutifs par zéro, ce qui ne représente que la moitié d'une onde plutôt qu'un cycle complet.

Les exercices de la fiche se concentrent directement sur ces caractéristiques visuelles. Dans Maximum d'une sinusoïde, les élèves lisent la courbe graphique d'une onde pour trouver la valeur la plus élevée atteinte le long de l'axe vertical. Dans Période d'une sinusoïde, les élèves examinent l'axe horizontal pour mesurer la distance exacte d'un sommet d'onde au suivant.

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Types d’exercices: Maximum d'une sinusoïde · Période d'une sinusoïde

Déterminer les coefficients dans les développements du binôme

Les élèves apprennent à déterminer des coefficients spécifiques dans des expressions de la forme (x + c)ⁿ pour des puissances entières positives en utilisant le binôme de Newton ou le triangle de Pascal.

Point du programme HSA-APR.C.5 (+) Connaître et appliquer le théorème du binôme pour le développement de (x + y)n en puissances de x et de y pour un entier positif n, où x et y sont des nombres quelconques, avec des coefficients déterminés par exemple par le triangle de Pascal. (notre traduction)

Les élèves apprennent à déterminer des termes dans des expressions de la forme (x + c)n, où n est un entier positif et c est un nombre constant. En utilisant la formule du binôme ou les lignes du triangle de Pascal, ils trouvent le coefficient numérique de n'importe quelle puissance désignée de x sans avoir besoin de multiplier le binôme de manière répétée à la main.

Une erreur fréquente se produit lorsque les élèves négligent la valeur constante c. Ils identifient souvent correctement le coefficient binomial issu du triangle de Pascal, mais oublient d'élever c à la puissance correspondante, ou gèrent mal les signes négatifs lorsque c est négatif, ce qui conduit à un résultat final incorrect pour le coefficient.

Les exercices des fiches portent directement sur la recherche d'un seul coefficient dans un développement binomial. Par exemple, on peut donner à un élève une expression comme (x + 3)5 et lui demander de calculer le coefficient du terme en x2.

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Translations horizontales et verticales de graphiques

Les élèves apprennent à déplacer les courbes de fonctions vers le haut, le bas, la gauche et la droite en modifiant l'équation, et à déterminer la valeur du déplacement à partir d'un graphique.

Point du programme HSF-BF.B.3 Identifier l'effet sur la représentation graphique du remplacement de f(x) par f(x) + k, k f(x), f(kx) et f(x + k) pour des valeurs spécifiques de k (à la fois positives et négatives) ; trouver la valeur de k à partir des représentations graphiques. Expérimenter des cas et illustrer une explication des effets sur la représentation graphique à l'aide de la technologie. Inclure la reconnaissance des fonctions paires et impaires à partir de leurs représentations graphiques et de leurs expressions algébriques. (notre traduction)

En classe de première, les élèves font le lien entre les modifications d'une équation et les déplacements géométriques de sa courbe dans le repère. En travaillant avec des valeurs positives et négatives spécifiques de k, ils apprennent que remplacer f(x) par f(x) + k décale la courbe verticalement vers le haut ou vers le bas, tandis que le remplacer par f(x + k) la décale horizontalement vers la gauche ou vers la droite. Ils analysent également des graphiques pour déterminer la valeur numérique exacte de k.

Une erreur fréquente survient lors des translations horizontales. Les élèves supposent souvent que f(x + 3) déplace une courbe de trois unités vers la droite, vers les nombres positifs, plutôt que de trois unités vers la gauche. Les élèves confondent aussi les opérations appliquées à la variable de la fonction, comme f(x + k), avec les opérations appliquées à l'image globale de la fonction, comme f(x) + k.

L'entraînement avec des fiches d'exercices sur la translation de courbes propose aux élèves une courbe de référence aux côtés d'une courbe translatée. Les élèves comptent le nombre d'unités de déplacement le long de l'axe des x ou des y afin d'identifier la valeur de k et d'écrire l'expression de la nouvelle fonction, ou bien ils partent d'une formule donnée pour tracer le déplacement obtenu.

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Calculer le taux de variation moyen

Les élèves apprennent à calculer et à interpréter le taux de variation moyen d'une fonction à partir d'une équation ou d'un tableau sur un intervalle donné, et à l'estimer à partir d'un graphique.

Point du programme HSF-IF.B.6 Calculer et interpréter le taux de variation moyen d'une fonction (présentée sous forme symbolique ou sous forme de tableau) sur un intervalle donné. Estimer le taux de variation à partir d'un graphique. ★ (notre traduction)

En classe de première, les élèves déterminent la vitesse à laquelle une fonction croît ou décroît sur un intervalle donné. Ils calculent le taux de variation moyen à partir de fonctions données sous forme d'expressions algébriques (de manière symbolique) ou de tableaux de valeurs, et ils estiment ce taux visuellement en relevant des points sur un graphique. Ils apprennent également à interpréter ce que ce taux de variation représente dans des contextes réels.

Une erreur fréquente se produit lorsque les élèves inversent le calcul en divisant la variation des valeurs d'entrée par la variation des valeurs de sortie, au lieu de diviser la variation des valeurs de la fonction par la longueur de l'intervalle. Une autre difficulté courante consiste à ne calculer que la variation totale entre les deux extrémités en oubliant de la diviser par la différence entre les valeurs d'entrée.

Les exercices issus du modèle Taux de variation moyen présentent aux élèves un intervalle défini ainsi que l'équation d'une fonction, un tableau de données ou une courbe graphique. Les élèves déterminent les valeurs de la fonction aux extrémités de l'intervalle, divisent la variation verticale par la variation horizontale et expriment le résultat sous la forme d'une valeur simplifiée ou d'un taux assorti d'unités.

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Combinaison de fonctions par composition

Les élèves apprennent à évaluer et à écrire des fonctions composées en utilisant la sortie d'une fonction comme entrée d'une autre.

Point du programme HSF-BF.A.1 Écrire une fonction qui décrit une relation entre deux grandeurs.★ a. Déterminer une expression explicite, un processus récursif ou des étapes de calcul à partir d'un contexte. b. Combiner des types de fonctions usuelles à l'aide d'opérations arithmétiques. Par exemple, construire une fonction qui modélise la température d'un corps qui se refroidit en ajoutant une fonction constante à une exponentielle décroissante, et relier ces fonctions au modèle. c. (+) Composer des fonctions. Par exemple, si T(y) est la température dans l'atmosphère en fonction de l'altitude, et h(t) est l'altitude d'un ballon météorologique en fonction du temps, alors T(h(t)) est la température à l'emplacement du ballon météorologique en fonction du temps. (notre traduction)

En classe de première, les élèves apprennent à combiner deux règles mathématiques de sorte que la sortie d'une fonction serve d'entrée à la suivante, ce qui s'écrit f(g(x)). Ils construisent des expressions explicites pour ces fonctions composées et les interprètent dans des modèles pratiques, par exemple en reliant le temps à la température par l'intermédiaire d'une altitude qui varie.

Une difficulté fréquente consiste à inverser l'ordre : les élèves évaluent souvent la fonction externe en premier, en calculant g(f(x)) au lieu de f(g(x)), ou confondent la composition de fonctions avec la multiplication en traitant (f ∘ g)(x) comme f(x) · g(x). Lors de la substitution d'une expression algébrique dans la formule externe, les apprenants oublient aussi couramment d'encadrer l'expression interne par des parenthèses, ce qui engendre des erreurs de signes et d'exposants.

Les exercices générés à partir du modèle Composition de fonctions proposent des paires de formules — telles que des équations linéaires, quadratiques ou rationnelles — et demandent aux élèves de trouver l'expression composée f(g(x)) ou d'évaluer la fonction composée pour une valeur numérique spécifique.

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Trouver la réciproque d'une fonction affine

Les élèves apprennent à déterminer la réciproque algébrique d'une fonction linéaire en inversant ses opérations et en isolant la variable d'entrée.

Point du programme HSF-BF.B.4 Trouver des fonctions réciproques. a. Résoudre une équation de la forme f(x) = c pour une fonction simple f qui admet une réciproque et écrire une expression pour la réciproque. Par exemple, f(x) =2 x3 ou f(x) = (x+1)/(x–1) pour x ≠ 1. b. (+) Vérifier par composition qu'une fonction est la réciproque d'une autre. c. (+) Lire des valeurs d'une fonction réciproque à partir d'un graphique ou d'un tableau, sachant que la fonction admet une réciproque. d. (+) Produire une fonction inversible à partir d'une fonction non inversible en restreignant le domaine. (notre traduction)

Les élèves travaillent avec des équations linéaires écrites sous forme de notation fonctionnelle, telles que f(x) = 3x + 4 ou f(x) = -2x - 7. À ce stade, ils apprennent à annuler les opérations appliquées à la variable d'entrée en égalant la fonction à une valeur de sortie et en résolvant pour x. Cela leur permet d'écrire une formule claire pour la fonction réciproque, généralement notée f⁻¹(x).

Une erreur fréquente consiste à confondre la fonction réciproque avec l'inverse multiplicatif, ce qui amène les élèves à considérer par erreur f⁻¹(x) comme 1/f(x). Un autre écueil courant survient lors de l'isolement algébrique en plusieurs étapes : au moment de diviser par le coefficient directeur, les élèves ne divisent souvent qu'un seul terme plutôt que l'ensemble du membre de l'équation, écrivant x/3 + 4 au lieu de (x - 4)/3.

Sur les fiches d'exercices imprimables du modèle Réciproque d'une fonction linéaire, les activités présentent une fonction linéaire ou affine avec des coefficients entiers ou fractionnaires et demandent aux élèves de déterminer l'équation réciproque correspondante. Les élèves s'exercent à échanger les rôles des variables d'entrée et de sortie, puis à isoler la nouvelle variable dépendante à l'aide des opérations inverses.

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Résolution d'équations du second degré à racines complexes

Les élèves apprennent à résoudre des équations du second degré à coefficients réels ayant des solutions complexes à l'aide de l'unité imaginaire.

Point du programme HSN-CN.C.7 Résoudre des équations du second degré à coefficients réels ayant des solutions complexes. (notre traduction)
Point du programme HSN-CN.C.8 (+) Étendre les identités polynomiales aux nombres complexes. Par exemple, réécrire x2 + 4 sous la forme (x + 2i)(x – 2i). (notre traduction)

En 11e année, les élèves résolvent des équations du second degré à coefficients réels dont les solutions ne sont pas des nombres réels. Lorsqu'ils travaillent sur des équations telles que x2 + 4 = 0 ou qu'ils utilisent la formule quadratique pour des équations ayant un discriminant négatif, ils expriment les racines carrées de nombres négatifs à l'aide de l'unité imaginaire i. Ils peuvent également utiliser les nombres complexes pour factoriser des expressions qui ne se factorisent pas sur l'ensemble des réels, en réécrivant des formes comme x2 + 4 sous la forme (x + 2i)(x – 2i).

Une erreur fréquente se produit lors de la simplification de la racine carrée d'une valeur négative sous le radical. Les élèves omettent souvent complètement le signe négatif ou le traitent comme un résultat négatif ordinaire — par exemple, en écrivant que la racine carrée de –16 est –4 au lieu de 4i. Une autre difficulté courante consiste à oublier que les racines complexes apparaissent toujours sous forme de paires conjuguées lors de la résolution d'équations du second degré à coefficients réels.

Les exercices issus du modèle Équation du second degré avec racines complexes présentent aux élèves des équations telles que x2 + 2x + 5 = 0. Les élèves appliquent des méthodes algébriques telles que la formule quadratique ou la complétion du carré pour trouver les deux solutions complexes, en écrivant leurs réponses finales sous la forme standard a ± bi.

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Modèles d'exercices à imprimer

Tous les types d’exercices, regroupés par compétence. Un clic ouvre le générateur avec le type déjà choisi.

Factorisation de polynômes par groupement et cubes

Additionner, multiplier et travailler avec les nombres complexes

Déterminer le n-ième terme et la somme d'une suite géométrique

Utiliser les formules des produits remarquables

Division de polynômes et théorème du reste

Multiplication et soustraction d'expressions rationnelles

Résolution d'équations rationnelles et à radicaux

Écrire des équations de droites et de droites parallèles

Trouver le sommet et utiliser la forme canonique

Conversion entre degrés et radians

Déterminer la période et l'amplitude d'une courbe sinusoïdale

Déterminer les coefficients dans les développements du binôme

Translations horizontales et verticales de graphiques

Calculer le taux de variation moyen

Combinaison de fonctions par composition

Trouver la réciproque d'une fonction affine

Résolution d'équations du second degré à racines complexes

Autres types d’exercices

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