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Programa escolar (Estados Unidos)

Matemáticas — 11.º curso

Matemáticas de 11.º grado según los Estándares Estatales Básicos Comunes, generalmente Álgebra II: división de polinomios, expresiones y ecuaciones racionales, números complejos, el teorema del binomio, medida en radianes y funciones periódicas. Cada tema incluye hojas de trabajo imprimibles.

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¿Qué aprenden los estudiantes en matemáticas de 11.º grado?

En 11.º grado, los estudiantes dividen polinomios, simplifican expresiones racionales y resuelven ecuaciones racionales. Operan con números complejos y resuelven ecuaciones cuadráticas con raíces complejas, desarrollan potencias con el teorema del binomio y transforman gráficas de funciones. La medida en radianes y las funciones periódicas preparan la trigonometría del precálculo.

Acerca de los estándares: los estándares de Common Core para la escuela secundaria están organizados por categoría conceptual (Número y cantidad, Álgebra, Funciones, Geometría, Estadística y probabilidad), no por grado. La asignación de un tema a un grado es nuestra decisión, siguiendo la secuencia habitual de cursos de Álgebra I, Geometría, Álgebra II y Precálculo. Los estándares marcados con (+) van más allá del núcleo de preparación para la universidad y la vida profesional.

Estado de la página: los temas de este grado están listos como ejercicios simples (instrucción y fórmula); a continuación se agregarán problemas con diagramas y problemas verbales.

Alcance del currículo

  1. Punto del currículo HSN-CN · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    El sistema de los números complejos

    nuestra traducción · texto original (EN): The Complex Number System

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Complex Number System (HSN-CN)

  2. Punto del currículo HSN-CN.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Realizar operaciones aritméticas con números complejos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Perform arithmetic operations with complex numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster A

  3. Punto del currículo HSN-CN.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar números complejos en identidades y ecuaciones polinomiales.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use complex numbers in polynomial identities and equations.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster C

  4. Punto del currículo HSN-CN.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Saber que existe un número complejo i tal que i2 = –1, y que todo número complejo tiene la forma a + bi con a y b reales.

    nuestra traducción · texto original (EN): Know there is a complex number i such that i2 = –1, and every complex number has the form a + bi with a and b real.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.1

    Sumar, multiplicar y trabajar con números complejos (en nuestro curso 11)

  5. Punto del currículo HSN-CN.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar la relación i2 = –1 y las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva para sumar, restar y multiplicar números complejos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use the relation i2 = –1 and the commutative, associative, and distributive properties to add, subtract, and multiply complex numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.2

    Sumar, multiplicar y trabajar con números complejos (en nuestro curso 11)

  6. Punto del currículo HSN-CN.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales que tienen soluciones complejas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve quadratic equations with real coefficients that have complex solutions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.7

    Resolución de ecuaciones cuadráticas con raíces complejas (en nuestro curso 11)

  7. Punto del currículo HSN-CN.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Extender las identidades polinómicas a los números complejos. Por ejemplo, reescribir x2 + 4 como (x + 2i)(x – 2i).

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Extend polynomial identities to the complex numbers. For example, rewrite x2 + 4 as (x + 2i)(x – 2i).

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.8

    Resolución de ecuaciones cuadráticas con raíces complejas (en nuestro curso 11)

  8. Punto del currículo HSN-CN.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Conocer el Teorema Fundamental del Álgebra; mostrar que es verdadero para polinomios cuadráticos.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Know the Fundamental Theorem of Algebra; show that it is true for quadratic polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.9

  9. Punto del currículo HSA-SSE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Ver la estructura en las expresiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Seeing Structure in Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)

  10. Punto del currículo HSA-SSE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar la estructura de las expresiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret the structure of expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A

  11. Punto del currículo HSA-SSE.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B

  12. Punto del currículo HSA-SSE.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto.★ a. Interpretar partes de una expresión, tales como términos, factores y coeficientes. b. Interpretar expresiones complicadas al considerar una o más de sus partes como una sola entidad. Por ejemplo, interpretar P(1+r)n como el producto de P y un factor que no depende de P.

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1

  13. Punto del currículo HSA-SSE.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2).

    nuestra traducción · texto original (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

    Uso de fórmulas de productos notables (en nuestro curso 9-11) · Factorización de polinomios por agrupación y cubos (en nuestro curso 9-11)

  14. Punto del currículo HSA-SSE.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Deducir la fórmula para la suma de una serie geométrica finita (cuando la razón común no es 1), y usar la fórmula para resolver problemas. Por ejemplo, calcular los pagos de una hipoteca.★

    nuestra traducción · texto original (EN): Derive the formula for the sum of a finite geometric series (when the common ratio is not 1), and use the formula to solve problems. For example, calculate mortgage payments.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.B.4

    Cómo hallar el enésimo término y la suma de una sucesión geométrica (en nuestro curso 9-11)

  15. Punto del currículo HSA-APR · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Aritmética con polinomios y expresiones racionales

    nuestra traducción · texto original (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)

  16. Punto del currículo HSA-APR.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Realizar operaciones aritméticas con polinomios

    nuestra traducción · texto original (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A

  17. Punto del currículo HSA-APR.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la relación entre los ceros y factores de polinomios

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand the relationship between zeros and factors of polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster B

  18. Punto del currículo HSA-APR.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar identidades polinómicas para resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Use polynomial identities to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster C

  19. Punto del currículo HSA-APR.D · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reescribir expresiones racionales

    nuestra traducción · texto original (EN): Rewrite rational expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster D

  20. Punto del currículo HSA-APR.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender que los polinomios forman un sistema análogo al de los números enteros, es decir, son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación; sumar, restar y multiplicar polinomios.

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1

  21. Punto del currículo HSA-APR.B.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Conocer y aplicar el teorema del resto: para un polinomio p(x) y un número a, el resto de la división por x – a es p(a), por lo que p(a) = 0 si y solo si (x – a) es un factor de p(x).

    nuestra traducción · texto original (EN): Know and apply the Remainder Theorem: For a polynomial p(x) and a number a, the remainder on division by x – a is p(a), so p(a) = 0 if and only if (x – a) is a factor of p(x).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.B.2

    División de polinomios y el teorema del resto (en nuestro curso 11)

  22. Punto del currículo HSA-APR.B.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Identificar ceros de polinomios cuando se dispone de factorizaciones adecuadas, y usar los ceros para construir una gráfica aproximada de la función definida por el polinomio.

    nuestra traducción · texto original (EN): Identify zeros of polynomials when suitable factorizations are available, and use the zeros to construct a rough graph of the function defined by the polynomial.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.B.3

  23. Punto del currículo HSA-APR.C.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar identidades polinómicas y utilizarlas para describir relaciones numéricas. Por ejemplo, la identidad polinómica (x2 + y2)2 = ( x2 – y2)2 + (2xy)2 se puede utilizar para generar ternas pitagóricas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove polynomial identities and use them to describe numerical relationships. For example, the polynomial identity (x2 + y2)2 = ( x2 – y2)2 + (2xy)2 can be used to generate Pythagorean triples.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.C.4

  24. Punto del currículo HSA-APR.C.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Conocer y aplicar el teorema del binomio para el desarrollo de (x + y)n en potencias de x e y para un número entero positivo n, donde x e y son números cualesquiera, con coeficientes determinados, por ejemplo, por el triángulo de Pascal.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Know and apply the Binomial Theorem for the expansion of (x + y)n in powers of x and y for a positive integer n, where x and y are any numbers, with coefficients determined for example by Pascal’s Triangle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.C.5

    Cálculo de coeficientes en expansiones binomiales (en nuestro curso 11)

  25. Punto del currículo HSA-APR.D.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reescribir expresiones racionales simples en diferentes formas; escribir a(x)/b(x) en la forma q(x) + r(x)/b(x), donde a(x), b(x), q(x) y r(x) son polinomios con el grado de r(x) menor que el grado de b(x), usando inspección, división larga o, para los ejemplos más complicados, un sistema de álgebra computacional.

    nuestra traducción · texto original (EN): Rewrite simple rational expressions in different forms; write a(x)/b(x) in the form q(x) + r(x)/b(x), where a(x), b(x), q(x), and r(x) are polynomials with the degree of r(x) less than the degree of b(x), using inspection, long division, or, for the more complicated examples, a computer algebra system.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.D.6

    División de polinomios y el teorema del resto (en nuestro curso 11) · Multiplicación y resta de expresiones racionales (en nuestro curso 11)

  26. Punto del currículo HSA-APR.D.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Comprender que las expresiones racionales forman un sistema análogo a los números racionales, cerrado bajo la suma, resta, multiplicación y división por una expresión racional distinta de cero; sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones racionales.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Understand that rational expressions form a system analogous to the rational numbers, closed under addition, subtraction, multiplication, and division by a nonzero rational expression; add, subtract, multiply, and divide rational expressions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.D.7

  27. Punto del currículo HSA-CED · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones★

    nuestra traducción · texto original (EN): Creating Equations★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)

  28. Punto del currículo HSA-CED.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones que describan números o relaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations that describe numbers or relationships

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A

  29. Punto del currículo HSA-CED.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones y desigualdades en una variable y usarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surgen de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples.

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1

  30. Punto del currículo HSA-CED.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones con dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2

  31. Punto del currículo HSA-CED.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelado. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3

  32. Punto del currículo HSA-CED.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reorganizar fórmulas para destacar una cantidad de interés, utilizando el mismo razonamiento que al resolver ecuaciones. Por ejemplo, reorganizar la ley de Ohm V = IR para destacar la resistencia R.

    nuestra traducción · texto original (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4

  33. Punto del currículo HSA-REI · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Razonamiento con ecuaciones y desigualdades

    nuestra traducción · texto original (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)

  34. Punto del currículo HSA-REI.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la resolución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A

  35. Punto del currículo HSA-REI.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver sistemas de ecuaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve systems of equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C

  36. Punto del currículo HSA-REI.D · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D

  37. Punto del currículo HSA-REI.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver ecuaciones racionales y radicales simples de una variable, y dar ejemplos que muestren cómo pueden surgir soluciones extrañas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve simple rational and radical equations in one variable, and give examples showing how extraneous solutions may arise.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.A.2

    Resolución de ecuaciones racionales y radicales (en nuestro curso 11)

  38. Punto del currículo HSA-REI.D.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar por qué las coordenadas x de los puntos donde se intersecan las gráficas de las ecuaciones y = f(x) e y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); hallar las soluciones de forma aproximada, p. ej., usando tecnología para graficar las funciones, hacer tablas de valores o hallar aproximaciones sucesivas. Incluir casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas.★

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11

  39. Punto del currículo HSF-IF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretación de funciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpreting Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)

  40. Punto del currículo HSF-IF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B

  41. Punto del currículo HSF-IF.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Analizar funciones utilizando diferentes representaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Analyze functions using different representations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C

  42. Punto del currículo HSF-IF.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar las características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y trazar gráficas que muestren las características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: intersecciones; intervalos donde la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento en los extremos; y periodicidad .★

    nuestra traducción · texto original (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4

  43. Punto del currículo HSF-IF.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, cuando corresponda, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h(n) da el número de horas-persona que se necesitan para ensamblar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio adecuado para la función. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5

  44. Punto del currículo HSF-IF.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

    Hallar la tasa de cambio promedio (en nuestro curso 9-11)

  45. Punto del currículo HSF-IF.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos simples y utilizando tecnología para casos más complicados. ★ a. Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar las intersecciones, los máximos y los mínimos. b. Graficar funciones de raíz cuadrada, raíz cúbica y definidas por partes, incluidas las funciones escalonadas y las funciones de valor absoluto. c. Graficar funciones polinómicas, identificando los ceros cuando se disponga de factorizaciones adecuadas, y mostrando el comportamiento en los extremos. d. (+) Graficar funciones racionales, identificando los ceros y las asíntotas cuando se disponga de factorizaciones adecuadas, y mostrando el comportamiento en los extremos. e. Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, mostrando las intersecciones y el comportamiento en los extremos, y funciones trigonométricas, mostrando el período, la línea media y la amplitud.

    nuestra traducción · texto original (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7

  46. Punto del currículo HSF-IF.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. a. Usar el proceso de factorización y de completar el cuadrado en una función cuadrática para mostrar los ceros, los valores extremos y la simetría de la gráfica, e interpretarlos en términos de un contexto. b. Usar las propiedades de los exponentes para interpretar expresiones de funciones exponenciales. Por ejemplo, identificar la tasa porcentual de cambio en funciones tales como y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, y clasificarlas según representen crecimiento o decaimiento exponencial.

    nuestra traducción · texto original (EN): Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

    Encontrar el vértice y usar la forma canónica (en nuestro curso 9-11)

  47. Punto del currículo HSF-IF.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una forma diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada la gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica de otra, indicar cuál tiene el máximo mayor.

    nuestra traducción · texto original (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9

  48. Punto del currículo HSF-BF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construcción de funciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Building Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)

  49. Punto del currículo HSF-BF.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir una función que modele una relación entre dos cantidades

    nuestra traducción · texto original (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A

  50. Punto del currículo HSF-BF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes

    nuestra traducción · texto original (EN): Build new functions from existing functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B

  51. Punto del currículo HSF-BF.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

    Escribir ecuaciones de rectas y rectas paralelas (en nuestro curso 9-11) · Combinación de funciones por composición (en nuestro curso 9-11)

  52. Punto del currículo HSF-BF.B.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Identificar el efecto en la gráfica al reemplazar f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y de sus expresiones algebraicas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

    Desplazamiento horizontal y vertical de gráficas (en nuestro curso 9-11)

  53. Punto del currículo HSF-BF.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Hallar funciones inversas. a. Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tiene una inversa y escribir una expresión para la inversa. Por ejemplo, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) para x ≠ 1. b. (+) Verificar mediante composición que una función es la inversa de otra. c. (+) Leer valores de una función inversa a partir de una gráfica o una tabla, dado que la función tiene una inversa. d. (+) Producir una función invertible a partir de una función no invertible restringiendo el dominio.

    nuestra traducción · texto original (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

    Hallar la inversa de una función lineal (en nuestro curso 9-11)

  54. Punto del currículo HSF-LE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Modelos lineales, cuadráticos y exponenciales★

    nuestra traducción · texto original (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)

  55. Punto del currículo HSF-LE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A

  56. Punto del currículo HSF-LE.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Para modelos exponenciales, expresar como un logaritmo la solución a abct = d donde a, c y d son números y la base b es 2, 10 o e; evaluar el logaritmo usando tecnología.

    nuestra traducción · texto original (EN): For exponential models, express as a logarithm the solution to abct = d where a, c, and d are numbers and the base b is 2, 10, or e; evaluate the logarithm using technology.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.4

  57. Punto del currículo HSF-TF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Funciones trigonométricas

    nuestra traducción · texto original (EN): Trigonometric Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Trigonometric Functions (HSF-TF)

  58. Punto del currículo HSF-TF.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Extender el dominio de las funciones trigonométricas utilizando el círculo unitario

    nuestra traducción · texto original (EN): Extend the domain of trigonometric functions using the unit circle

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster A

  59. Punto del currículo HSF-TF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Modelar fenómenos periódicos con funciones trigonométricas

    nuestra traducción · texto original (EN): Model periodic phenomena with trigonometric functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster B

  60. Punto del currículo HSF-TF.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar y aplicar identidades trigonométricas

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove and apply trigonometric identities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster C

  61. Punto del currículo HSF-TF.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la medida en radianes de un ángulo como la longitud del arco en el círculo unitario subtendido por el ángulo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand radian measure of an angle as the length of the arc on the unit circle subtended by the angle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.1

    Conversión entre grados y radianes (en nuestro curso 11)

  62. Punto del currículo HSF-TF.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar cómo el círculo unitario en el plano de coordenadas permite la extensión de las funciones trigonométricas a todos los números reales, interpretados como medidas en radianes de ángulos recorridos en sentido antihorario alrededor del círculo unitario.

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain how the unit circle in the coordinate plane enables the extension of trigonometric functions to all real numbers, interpreted as radian measures of angles traversed counterclockwise around the unit circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.2

  63. Punto del currículo HSF-TF.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Elegir funciones trigonométricas para modelar fenómenos periódicos con amplitud, frecuencia y línea media especificadas. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Choose trigonometric functions to model periodic phenomena with specified amplitude, frequency, and midline. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.5

    Hallar el período y la amplitud de una curva senoidal (en nuestro curso 11)

  64. Punto del currículo HSF-TF.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar la identidad pitagórica sin2(θ) + cos2(θ) = 1 y usarla para hallar sin(θ), cos(θ) o tan(θ) dados sin(θ), cos(θ) o tan(θ) y el cuadrante del ángulo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove the Pythagorean identity sin2(θ) + cos2(θ) = 1 and use it to find sin(θ), cos(θ), or tan(θ) given sin(θ), cos(θ), or tan(θ) and the quadrant of the angle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.C.8

  65. Punto del currículo HSF-TF.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Demostrar las fórmulas de adición y sustracción para el seno, el coseno y la tangente y utilizarlas para resolver problemas.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Prove the addition and subtraction formulas for sine, cosine, and tangent and use them t o solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.C.9

  66. Punto del currículo HSG-GPE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Expresar propiedades geométricas con ecuaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)

  67. Punto del currículo HSG-GPE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Traducir entre la descripción geométrica y la ecuación de una sección cónica

    nuestra traducción · texto original (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A

  68. Punto del currículo HSG-GMD · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Medición geométrica y dimensión

    nuestra traducción · texto original (EN): Geometric Measurement and Dimension

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)

  69. Punto del currículo HSG-GMD.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar las fórmulas de volumen y usarlas para resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A

  70. Punto del currículo HSS-ID · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretación de datos categóricos y cuantitativos

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)

  71. Punto del currículo HSS-ID.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resumir, representar e interpretar datos sobre una sola variable de conteo o medición

    nuestra traducción · texto original (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A

  72. Punto del currículo HSS-ID.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar la media y la desviación estándar de un conjunto de datos para ajustarlo a una distribución normal y para estimar porcentajes de población. Reconocer que existen conjuntos de datos para los cuales dicho procedimiento no es apropiado. Utilizar calculadoras, hojas de cálculo y tablas para estimar áreas bajo la curva normal.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use the mean and standard deviation of a data set to fit it to a normal distribution and to estimate population percentages. Recognize that there are data sets for which such a procedure is not appropriate. Use calculators, spreadsheets, and tables to estimate areas under the normal curve.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.4

  73. Punto del currículo HSS-IC · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Hacer inferencias y justificar conclusiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Making Inferences and Justifying Conclusions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Making Inferences and Justifying Conclusions (HSS-IC)

  74. Punto del currículo HSS-IC.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender y evaluar procesos aleatorios subyacentes a experimentos estadísticos

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand and evaluate random processes underlying statistical experiments

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, cluster A

  75. Punto del currículo HSS-IC.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Hacer inferencias y justificar conclusiones a partir de encuestas por muestreo, experimentos y estudios observacionales

    nuestra traducción · texto original (EN): Make inferences and justify conclusions from sample surveys, experiments, and observational studies

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, cluster B

  76. Punto del currículo HSS-IC.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la estadística como un proceso para hacer inferencias sobre los parámetros de una población a partir de una muestra aleatoria de esa población.

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand statistics as a process for making inferences about population parameters based on a random sample from that population.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.A.1

  77. Punto del currículo HSS-IC.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Decidir si un modelo especificado es consistente con los resultados de un proceso de generación de datos dado, p. ej., usando simulación. Por ejemplo, un modelo dice que una moneda que gira cae en cara con probabilidad 0.5. ¿Un resultado de 5 cruces consecutivas haría dudar del modelo?

    nuestra traducción · texto original (EN): Decide if a specified model is consistent with results from a given data-generating process, e.g., using simulation. For example, a model says a spinning coin falls heads up with probability 0.5. Would a result of 5 tails in a row cause you to question the model?

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.A.2

  78. Punto del currículo HSS-IC.B.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reconocer los propósitos y las diferencias entre las encuestas por muestreo, los experimentos y los estudios observacionales; explicar cómo la aleatorización se relaciona con cada uno.

    nuestra traducción · texto original (EN): Recognize the purposes of and differences among sample surveys, experiments, and observational studies; explain how randomization relates to each.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.3

  79. Punto del currículo HSS-IC.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar datos de una encuesta por muestreo para estimar una media o proporción poblacional; desarrollar un margen de error mediante el uso de modelos de simulación para el muestreo aleatorio.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use data from a sample survey to estimate a population mean or proportion; develop a margin of error through the use of simulation models for random sampling.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.4

  80. Punto del currículo HSS-IC.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar datos de un experimento aleatorizado para comparar dos tratamientos; usar simulaciones para decidir si las diferencias entre parámetros son significativas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use data from a randomized experiment to compare two treatments; use simulations to decide if differences between parameters are significant.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.5

  81. Punto del currículo HSS-IC.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Evaluar informes basados en datos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Evaluate reports based on data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.6

  82. Punto del currículo HSS-MD · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Uso de la probabilidad para tomar decisiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Using Probability to Make Decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)

  83. Punto del currículo HSS-MD.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar la probabilidad para evaluar los resultados de decisiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B

  84. Punto del currículo HSS-MD.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Usar probabilidades para tomar decisiones justas (por ejemplo, hacer un sorteo, usar un generador de números aleatorios).

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Use probabilities to make fair decisions (e.g., drawing by lots, using a random number gener ator).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.6

  85. Punto del currículo HSS-MD.B.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Analizar decisiones y estrategias utilizando conceptos de probabilidad (por ejemplo, pruebas de productos, pruebas médicas, retirar al portero de hockey al final de un partido).

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Analyze decisions and strategies using probability concepts (e.g., product t esting, medical testing, pulling a hockey goalie at the end of a game).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.7

Competencias paso a paso

Factorización de polinomios por agrupación y cubos

Los estudiantes aprenden a descomponer expresiones algebraicas complejas extrayendo factores comunes, agrupando términos y utilizando patrones para la suma y diferencia de cubos.

Punto del currículo HSA-SSE.A.2 Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2). (nuestra traducción)

En 11.º grado, los estudiantes usan la estructura de una expresión algebraica para descomponerla en factores más simples. En lugar de depender únicamente de métodos cuadráticos básicos, los estudiantes examinan expresiones de varios términos para hallar el máximo factor común, agrupar términos con características compartidas y reconocer expresiones formadas por dos cubos perfectos.

Un error común ocurre con los signos negativos al factorizar por agrupación o al usar patrones de cubos. Al agrupar cuatro términos, los estudiantes a menudo olvidan extraer un signo negativo del segundo par, lo que deja binomios que no coinciden y les impide terminar el problema. Con la suma y diferencia de cubos, los estudiantes suelen confundir con frecuencia los signos positivos y negativos en las partes lineal y cuadrática de la forma factorizada.

Las actividades de las hojas de trabajo refuerzan estas habilidades a través de tres formatos principales:

  • Factorizar extrayendo un monomio: identificar y extraer el máximo factor común que comparten todos los términos de una expresión.
  • Factorización por agrupación: dividir polinomios de cuatro términos en pares para revelar y extraer un factor binomial común.
  • Suma y diferencia de cubos: identificar términos elevados al cubo y aplicar la fórmula de cubos adecuada para reescribir la expresión.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Sacar factor común un monomio · Factorización por agrupación · Suma y diferencia de cubos

Sumar, multiplicar y trabajar con números complejos

Los estudiantes aprenden a sumar, restar y multiplicar números complejos de la forma a + bi y a simplificar potencias de i utilizando la regla de que i² es igual a –1.

Punto del currículo HSN-CN.A.1 Saber que existe un número complejo i tal que i2 = –1, y que todo número complejo tiene la forma a + bi con a y b reales. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-CN.A.2 Utilizar la relación i2 = –1 y las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva para sumar, restar y multiplicar números complejos. (nuestra traducción)

En 11.º grado, los estudiantes trabajan con números complejos escritos en la forma estándar a + bi, donde a y b son números reales. Al aplicar reglas algebraicas conocidas —incluidas las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva— junto con la definición fundamental de que i² = –1, los estudiantes aprenden a sumar, restar y multiplicar números complejos, así como a evaluar potencias positivas de i.

Un error frecuente ocurre durante la multiplicación cuando los estudiantes tratan a i simplemente como una variable común como x. A menudo olvidan sustituir i² por –1, lo que causa un error de signo en la parte real final del número. Otro error común ocurre durante la resta, donde los estudiantes olvidan distribuir el signo negativo tanto en la parte real como en la imaginaria del segundo número.

Las tareas de práctica abarcan tres formatos claros basados en estas habilidades. En suma y resta de números complejos, los estudiantes combinan términos reales con términos reales y términos imaginarios con términos imaginarios. En multiplicación de números complejos, los estudiantes desarrollan expresiones como (3 + 2i)(1 – 4i) y simplifican el resultado a la forma estándar a + bi. Por último, las tareas sobre potencias de i requieren que los estudiantes simplifiquen exponentes mayores a 1, –1, i o –i aplicando la regla de que i² = –1.

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Tipos de ejercicios: Potencias de i · Suma y resta de números complejos · Multiplicación de números complejos

Cómo hallar el enésimo término y la suma de una sucesión geométrica

Los estudiantes aprenden a escribir fórmulas para hallar cualquier término de una sucesión geométrica y a usar la fórmula de la suma para calcular el total de una serie finita.

Punto del currículo HSA-SSE.B.4 Deducir la fórmula para la suma de una serie geométrica finita (cuando la razón común no es 1), y usar la fórmula para resolver problemas. Por ejemplo, calcular los pagos de una hipoteca.★ (nuestra traducción)
Punto del currículo HSF-BF.A.2 Escribir sucesiones aritméticas y geométricas tanto de forma recursiva como con una fórmula explícita, utilizarlas para modelar situaciones y traducir entre las dos formas. ★ (nuestra traducción)
Punto del currículo HSF-LE.A.2 Construir funciones lineales y exponenciales, incluidas las sucesiones aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos a partir de una tabla). (nuestra traducción)

En 11.º grado, los estudiantes trabajan con sucesiones geométricas donde cada valor se multiplica por una razón común constante (distinta de 1). Los estudiantes escriben reglas explícitas para calcular cualquier término específico —conocido como el término n-ésimo— y utilizan la fórmula de la serie geométrica finita para sumar rápidamente un número determinado de términos.

Un error frecuente ocurre al evaluar exponentes y signos. Al hallar el término n-ésimo, los estudiantes a menudo multiplican por error el primer término por la razón común antes de aplicar la potencia, o se olvidan de usar n − 1 en el exponente. Al calcular sumas, las razones comunes negativas suelen provocar errores de signo en el denominador, donde restar un valor negativo debería dar como resultado una suma.

La práctica en las hojas de trabajo se centra en dos tipos principales de ejercicios:

  • Sucesión geométrica — término n-ésimo: Los estudiantes identifican el primer término y la razón común a partir de una lista o tabla para calcular un término posterior específico, como el 8.º o el 12.º término.
  • Sucesión geométrica — suma de términos: Los estudiantes aplican la fórmula de la suma para hallar el total de los primeros n términos de una sucesión sin necesidad de sumar cada valor a mano.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Progresión geométrica — suma · Progresión geométrica — término n-ésimo

Uso de fórmulas de productos notables

Los estudiantes aprenden a usar patrones algebraicos para desarrollar rápidamente el cuadrado de una suma o diferencia y el producto de una suma y una diferencia.

Punto del currículo HSA-SSE.A.2 Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2). (nuestra traducción)

En este nivel, los estudiantes aprenden a reconocer la estructura de una expresión algebraica en lugar de multiplicar cada término a mano. Identifican expresiones que se ajustan a patrones estándar y aplican fórmulas directas para hallar la forma desarrollada de manera inmediata, trabajando con sumas y diferencias de términos que contienen variables y constantes.

Un error muy común ocurre cuando los estudiantes elevan un binomio al cuadrado. Muchos olvidan por completo el término intermedio, asumiendo incorrectamente que elevar una suma al cuadrado significa simplemente elevar al cuadrado cada término individual. Esto sucede porque intentan distribuir el exponente sobre la suma o la resta en lugar de aplicar el patrón de multiplicación completo.

Las tareas de práctica para esta habilidad suelen centrarse en dos formatos:

  • Producto de una suma por una diferencia, donde los estudiantes multiplican pares conjugados, como (x + 5)(x – 5), para llegar directamente a una diferencia de cuadrados.
  • Cuadrado de una suma o diferencia, donde los estudiantes desarrollan expresiones como (x + 3) al cuadrado o (2x – 7) al cuadrado al incluir el doble del término intermedio junto con los términos extremos elevados al cuadrado.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Cuadrado de una suma o diferencia · Suma por diferencia

División de polinomios y el teorema del resto

Los estudiantes aprenden a dividir polinomios entre factores lineales como x − a y a hallar el resto directamente utilizando el teorema del resto.

Punto del currículo HSA-APR.B.2 Conocer y aplicar el teorema del resto: para un polinomio p(x) y un número a, el resto de la división por x – a es p(a), por lo que p(a) = 0 si y solo si (x – a) es un factor de p(x). (nuestra traducción)
Punto del currículo HSA-APR.D.6 Reescribir expresiones racionales simples en diferentes formas; escribir a(x)/b(x) en la forma q(x) + r(x)/b(x), donde a(x), b(x), q(x) y r(x) son polinomios con el grado de r(x) menor que el grado de b(x), usando inspección, división larga o, para los ejemplos más complicados, un sistema de álgebra computacional. (nuestra traducción)

En 11.º grado, los estudiantes aprenden a dividir un polinomio entre un binomio lineal de la forma x − a utilizando la división larga. Escriben sus respuestas en la forma q(x) + r/(x − a), donde q(x) es el cociente y r es el resto constante. Junto con la división, los estudiantes utilizan el teorema del resto para hallar este resto rápidamente: al calcular p(a), pueden determinar el resto sin realizar toda la división, lo que confirma que x − a es un factor exacto siempre que p(a) = 0.

Un error frecuente es confundir el signo de a. Al dividir entre un binomio como x − 3, los estudiantes suelen evaluar p(−3) en lugar de p(3) porque arrastran el signo menos al cálculo. En la división larga de polinomios, los estudiantes también tienden a cometer errores de signo al restar filas, especialmente al restar términos que ya tienen coeficientes negativos.

Las tareas de las fichas de trabajo para esta habilidad se centran en dos formatos principales. En División de un polinomio entre un binomio, los estudiantes resuelven la división de polinomios paso a paso para hallar el cociente y cualquier resto sobrante. En Resto de la división de polinomios, los estudiantes utilizan el teorema del resto para calcular rápidamente el resto o comprobar si un binomio dado divide de forma exacta al polinomio.

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Tipos de ejercicios: Resto de la división de un polinomio · División de un polinomio entre un binomio

Multiplicación y resta de expresiones racionales

Los estudiantes aprenden a multiplicar y restar expresiones racionales formadas por polinomios, simplificando los resultados en una sola fracción algebraica.

Punto del currículo HSA-APR.D.6 Reescribir expresiones racionales simples en diferentes formas; escribir a(x)/b(x) en la forma q(x) + r(x)/b(x), donde a(x), b(x), q(x) y r(x) son polinomios con el grado de r(x) menor que el grado de b(x), usando inspección, división larga o, para los ejemplos más complicados, un sistema de álgebra computacional. (nuestra traducción)

En 11.º grado, los estudiantes trabajan con expresiones racionales: fracciones donde tanto el numerador como el denominador son polinomios. Los estudiantes reescriben y combinan estas fracciones algebraicas mediante la multiplicación y la resta para obtener una única expresión racional simplificada.

Un error común durante la resta es olvidar distribuir el signo negativo entre cada término del numerador de la segunda fracción después de encontrar un común denominador. Al multiplicar, los estudiantes a menudo intentan cancelar términos individuales separados por signos de suma o resta en lugar de factorizar primero los polinomios para simplificar los factores comunes.

Las tareas de práctica se centran en dos formatos principales: multiplicación de expresiones racionales y resta de expresiones racionales. En los problemas de resta, los estudiantes identifican un denominador polinómico común y combinan términos semejantes en el numerador. En los problemas de multiplicación, los estudiantes factorizan completamente los numeradores y denominadores polinómicos para reducir el producto final a su forma más simple.

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Tipos de ejercicios: Multiplicación de expresiones racionales · Resta de expresiones racionales

Resolución de ecuaciones racionales y radicales

Los estudiantes aprenden a resolver ecuaciones racionales y radicales simples de una variable e identificar soluciones extrañas que no funcionan en la ecuación original.

Punto del currículo HSA-REI.A.2 Resolver ecuaciones racionales y radicales simples de una variable, y dar ejemplos que muestren cómo pueden surgir soluciones extrañas. (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a resolver ecuaciones simples de una variable que contienen expresiones racionales (fracciones con variables en el denominador) o expresiones radicales (raíces que contienen variables). Aplican técnicas algebraicas como eliminar denominadores multiplicando por un término común o eliminar raíces elevando ambos lados de la ecuación a una potencia adecuada.

Un obstáculo común es identificar las soluciones extrañas. Dado que los pasos algebraicos como elevar al cuadrado ambos lados o multiplicar por una expresión que contiene la variable pueden generar valores que no satisfacen el problema original, los estudiantes a menudo olvidan comprobar sus resultados. Esto lleva a aceptar respuestas no válidas, como valores que hacen que un denominador sea igual a cero o que requieren que una raíz cuadrada principal sea igual a un número negativo.

Las hojas de ejercicios y las tareas de práctica se centran en dos formatos:

  • Ecuación radical: Tareas en las que los estudiantes aíslan una raíz, la eliminan elevando ambos lados a una potencia, despejan la variable y comprueban si las respuestas son válidas.
  • Ecuación racional: Tareas en las que los estudiantes eliminan denominadores, resuelven la ecuación lineal o polinómica resultante y verifican que ninguna solución cause una división por cero.
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Tipos de ejercicios: Ecuación irracional · Ecuación racional

Escribir ecuaciones de rectas y rectas paralelas

Los estudiantes aprenden a determinar funciones lineales explícitas dados dos puntos de coordenadas o un solo punto y una recta paralela.

Punto del currículo HSF-BF.A.1 Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo. (nuestra traducción)

Los estudiantes escriben funciones lineales explícitas para describir la relación entre dos cantidades. Determinan la pendiente entre dos coordenadas dadas o identifican la pendiente correspondiente necesaria para escribir la ecuación de una recta paralela que pasa por un punto determinado.

Un error frecuente ocurre al trabajar con rectas paralelas: los estudiantes a veces modifican la pendiente —como invertirla o cambiarle el signo— en lugar de mantenerla idéntica. Otro error común surge durante el propio cálculo de la pendiente, donde los estudiantes invierten la razón colocando los cambios en x sobre los cambios en y, o intercambian los valores de las coordenadas al sustituirlos en la ecuación.

Las tareas de práctica incluyen Recta paralela que pasa por un punto, donde los estudiantes utilizan una ecuación lineal existente y una coordenada dada para escribir una nueva recta paralela, y Función lineal que pasa por dos puntos, donde hallan la tasa de cambio entre dos coordenadas para construir la ecuación lineal completa.

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Tipos de ejercicios: Función lineal por dos puntos · Recta paralela por un punto

Encontrar el vértice y usar la forma canónica

Los estudiantes aprenden a reescribir ecuaciones cuadráticas en la forma de vértice para identificar el vértice de una parábola, el eje de simetría y los valores máximos o mínimos.

Punto del currículo HSF-IF.C.8 Escribir una función definida por una expresión en formas diferentes pero equivalentes para revelar y explicar diferentes propiedades de la función. a. Usar el proceso de factorización y de completar el cuadrado en una función cuadrática para mostrar los ceros, los valores extremos y la simetría de la gráfica, e interpretarlos en términos de un contexto. b. Usar las propiedades de los exponentes para interpretar expresiones de funciones exponenciales. Por ejemplo, identificar la tasa porcentual de cambio en funciones tales como y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, y clasificarlas según representen crecimiento o decaimiento exponencial. (nuestra traducción)

En 11.º grado, los estudiantes utilizan métodos algebraicos como completar el cuadrado para reescribir funciones cuadráticas en la forma de vértice, y = a(x − h)2 + k. Convertir a esta forma les permite identificar directamente el vértice de la parábola en (h, k), determinar el eje de simetría e indicar los valores extremos de la función (si la gráfica se abre hacia arriba alcanzando un mínimo o hacia abajo alcanzando un máximo).

Un error frecuente ocurre con el desplazamiento horizontal dentro del término al cuadrado. Debido a que la fórmula contiene un signo de resta, los estudiantes a menudo interpretan mal los signos e identifican el vértice de y = (x − 4)2 + 3 como (−4, 3) en lugar de (4, 3). También ocurren errores cuando el coeficiente principal a no es 1, caso en el que los estudiantes olvidan sacarlo como factor común antes de completar el cuadrado o no equilibran la ecuación adecuadamente.

Las actividades de las hojas de trabajo se centran en la Forma de vértice de una función cuadrática y en hallar el Vértice de una parábola. Los estudiantes practican la conversión de ecuaciones de la forma estándar a la forma de vértice paso a paso, extrayendo las coordenadas del vértice e interpretando qué representa ese punto de retorno.

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Tipos de ejercicios: Vértice de una parábola · Forma canónica de la función cuadrática

Conversión entre grados y radianes

Los estudiantes aprenden a comprender los radianes como longitudes de arco en un círculo unitario y a convertir medidas de ángulos entre grados y radianes.

Punto del currículo HSF-TF.A.1 Comprender la medida en radianes de un ángulo como la longitud del arco en el círculo unitario subtendido por el ángulo. (nuestra traducción)

En 11.º grado, los estudiantes aprenden que la medida en radianes de un ángulo es la longitud del arco que intercepta en un círculo unitario. Usando esta definición, conectan sus conocimientos previos sobre giros en grados con este nuevo sistema de medición y aprenden a convertir amplitudes de ángulos entre grados y radianes en ambos sentidos.

Un error típico ocurre cuando los estudiantes invierten la fracción de conversión, multiplicando por π/180° cuando necesitan multiplicar por 180°/π. Los alumnos también suelen asumir con frecuencia que un ángulo solo está en radianes si incluye el símbolo π, lo que genera confusión sobre lo que realmente representan los radianes en la circunferencia.

Las tareas para esta habilidad se centran en dos plantillas de hojas de trabajo distintas: De grados a radianes, donde los estudiantes reescriben ángulos dados en grados como medidas exactas en radianes, y De radianes a grados, donde convierten medidas en radianes a valores en grados.

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Tipos de ejercicios: Grados a radianes · Radianes a grados

Hallar el período y la amplitud de una curva senoidal

Los estudiantes aprenden a identificar el período y a encontrar el máximo o la amplitud de una curva senoidal para modelar patrones periódicos.

Punto del currículo HSF-TF.B.5 Elegir funciones trigonométricas para modelar fenómenos periódicos con amplitud, frecuencia y línea media especificadas. ★ (nuestra traducción)

En 11.º grado, los estudiantes examinan las gráficas de funciones periódicas para modelar ciclos que se repiten. Identifican las características geométricas clave de una curva sinusoidal, determinando su período —la longitud horizontal de un ciclo completo— y ubicando el valor máximo de la curva para determinar su amplitud.

Un error común es confundir la altura vertical total de la onda con su amplitud. Con frecuencia, los estudiantes miden desde el punto más bajo (valle) hasta la cresta, olvidando que la amplitud se mide desde la línea media central hasta el pico. Otro desliz frecuente ocurre al medir el período: los estudiantes suelen tomar la distancia entre dos cruces por cero consecutivos, lo que abarca solo media onda en lugar de un ciclo completo.

Las actividades de las hojas de trabajo se centran directamente en estas características visuales. En Máximo de una curva sinusoidal, los estudiantes analizan una onda representada gráficamente para encontrar el valor más alto que alcanza en el eje vertical. En Período de una curva sinusoidal, los estudiantes inspeccionan el eje horizontal para medir la distancia exacta de un pico de la onda al siguiente.

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Tipos de ejercicios: Máximo de una sinusoide · Periodo de una sinusoide

Cálculo de coeficientes en expansiones binomiales

Los estudiantes aprenden a hallar coeficientes específicos en expresiones de la forma (x + c)ⁿ para potencias enteras positivas utilizando el teorema del binomio o el triángulo de Pascal.

Punto del currículo HSA-APR.C.5 (+) Conocer y aplicar el teorema del binomio para el desarrollo de (x + y)n en potencias de x e y para un número entero positivo n, donde x e y son números cualesquiera, con coeficientes determinados, por ejemplo, por el triángulo de Pascal. (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a determinar términos en expresiones de la forma (x + c)n, donde n es un entero positivo y c es un número constante. Utilizando el teorema del binomio o las filas del triángulo de Pascal, encuentran el coeficiente numérico de cualquier potencia designada de x sin necesidad de multiplicar el binomio repetidamente a mano.

Un error común ocurre cuando los estudiantes pasan por alto el valor constante c. A menudo identifican correctamente el número combinatorio del triángulo de Pascal, pero olvidan elevar c a su potencia correspondiente, o manejan de forma incorrecta los signos negativos cuando c es negativo, lo que da lugar a un producto final incorrecto para el coeficiente.

Las actividades de las fichas de trabajo se centran directamente en encontrar un único coeficiente en una expansión binomial. Por ejemplo, se le puede dar a un estudiante una expresión como (x + 3)5 y pedirle que calcule el coeficiente del término x2.

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Desplazamiento horizontal y vertical de gráficas

Los estudiantes aprenden a desplazar gráficas de funciones hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda y hacia la derecha modificando la ecuación, y a hallar el valor del desplazamiento a partir de una gráfica.

Punto del currículo HSF-BF.B.3 Identificar el efecto en la gráfica al reemplazar f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y de sus expresiones algebraicas. (nuestra traducción)

En 11.º grado, los estudiantes relacionan los cambios en una ecuación con desplazamientos físicos de su gráfica en el plano cartesiano. Al trabajar con valores específicos positivos y negativos de k, aprenden que sustituir f(x) por f(x) + k desplaza la curva verticalmente hacia arriba o hacia abajo, mientras que sustituirla por f(x + k) desplaza la curva horizontalmente hacia la izquierda o hacia la derecha. También analizan gráficas para determinar el valor numérico exacto de k.

Un error frecuente ocurre con los desplazamientos horizontales. Los estudiantes suelen asumir que f(x + 3) desplaza una gráfica tres unidades hacia la derecha, hacia los números positivos, en lugar de tres unidades hacia la izquierda. Los estudiantes también confunden las operaciones aplicadas dentro del argumento de la función, como f(x + k), con las operaciones aplicadas a toda la salida, como f(x) + k.

La práctica con las fichas de trabajo de Traslación de una gráfica presenta a los estudiantes una curva base junto a una curva desplazada. Los estudiantes cuentan las unidades desplazadas a lo largo del eje x o y para identificar el valor de k y escribir la nueva fórmula de la función, o bien toman una fórmula dada y trazan el desplazamiento resultante.

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Hallar la tasa de cambio promedio

Los estudiantes aprenden a calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función a partir de una ecuación o tabla en un intervalo dado, y a estimarla a partir de una gráfica.

Punto del currículo HSF-IF.B.6 Calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. ★ (nuestra traducción)

En 11.º grado, los estudiantes determinan qué tan rápido aumenta o disminuye una función en un intervalo específico. Calculan la tasa de cambio promedio utilizando funciones dadas como fórmulas algebraicas (simbólicamente) o como tablas de valores, y estiman esta tasa visualmente leyendo puntos de una gráfica. También aprenden a interpretar qué representa esta tasa de cambio en contextos del mundo real.

Un error frecuente ocurre cuando los estudiantes invierten el cálculo al dividir el cambio en las entradas entre el cambio en las salidas, en lugar de dividir el cambio en los valores de la función entre la longitud del intervalo. Otro problema común es calcular únicamente el cambio total entre los dos extremos y olvidar dividir entre la diferencia de los valores de entrada.

Las actividades de las hojas de trabajo de la plantilla Tasa de cambio promedio presentan a los estudiantes un intervalo determinado junto con la ecuación de una función, una tabla de datos o una curva graficada. Los estudiantes determinan los valores de la función en los extremos del intervalo, dividen el cambio vertical entre el cambio horizontal y escriben la tasa final como un valor simplificado o una tasa con unidades.

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Combinación de funciones por composición

Los estudiantes aprenden a evaluar y escribir funciones compuestas utilizando la salida de una función como entrada para otra.

Punto del currículo HSF-BF.A.1 Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo. (nuestra traducción)

En 11.º grado, los estudiantes aprenden a combinar dos reglas matemáticas de modo que la salida de una función sirva como entrada para la siguiente, lo que se escribe como f(g(x)). Construyen expresiones explícitas para estas funciones combinadas y las interpretan en modelos prácticos, como vincular el tiempo con la temperatura a través de una altura variable.

Una dificultad común es invertir el orden de la secuencia: con frecuencia, los estudiantes evalúan primero la función externa, calculando g(f(x)) en lugar de f(g(x)), o confunden la composición de funciones con la multiplicación al tratar (f ∘ g)(x) como f(x) · g(x). Al sustituir una expresión algebraica en la fórmula externa, los alumnos también suelen olvidar encerrar la expresión interna entre paréntesis, lo que provoca errores de signos y exponentes.

Las tareas generadas a partir de la plantilla Composición de funciones proporcionan pares de fórmulas —como ecuaciones lineales, cuadráticas o racionales— y piden a los estudiantes hallar la expresión combinada f(g(x)) o evaluar la función compuesta en un valor numérico específico.

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Hallar la inversa de una función lineal

Los estudiantes aprenden a hallar la inversa algebraica de una función lineal invirtiendo sus operaciones y despejando la variable de entrada.

Punto del currículo HSF-BF.B.4 Hallar funciones inversas. a. Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tiene una inversa y escribir una expresión para la inversa. Por ejemplo, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) para x ≠ 1. b. (+) Verificar mediante composición que una función es la inversa de otra. c. (+) Leer valores de una función inversa a partir de una gráfica o una tabla, dado que la función tiene una inversa. d. (+) Producir una función invertible a partir de una función no invertible restringiendo el dominio. (nuestra traducción)

Los estudiantes trabajan con ecuaciones lineales escritas en notación de función, tales como f(x) = 3x + 4 o f(x) = -2x - 7. En esta etapa, aprenden a deshacer las operaciones aplicadas a la variable de entrada igualando la función a un valor de salida y despejando x. Esto les permite escribir una fórmula clara para la función inversa, expresada típicamente como f⁻¹(x).

Un error común es confundir una función inversa con un recíproco, lo que lleva a los estudiantes a tratar erróneamente f⁻¹(x) como 1/f(x). Otro error frecuente ocurre durante el despeje algebraico de varios pasos: al dividir por el coeficiente de la pendiente, los estudiantes a menudo dividen solo un término en lugar de todo el lado de la ecuación, escribiendo x/3 + 4 en lugar de (x - 4)/3.

En las fichas de trabajo imprimibles de la plantilla Inversa de una función lineal, las actividades presentan una regla lineal con coeficientes enteros o fraccionarios y piden a los estudiantes que hallen la ecuación inversa correspondiente. Los estudiantes practican intercambiar los roles de las variables de entrada y salida y despejar la nueva variable dependiente utilizando operaciones inversas.

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Resolución de ecuaciones cuadráticas con raíces complejas

Los estudiantes aprenden a resolver ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales que tienen soluciones complejas utilizando la unidad imaginaria.

Punto del currículo HSN-CN.C.7 Resolver ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales que tienen soluciones complejas. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-CN.C.8 (+) Extender las identidades polinómicas a los números complejos. Por ejemplo, reescribir x2 + 4 como (x + 2i)(x – 2i). (nuestra traducción)

En 11.º grado, los estudiantes resuelven ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales cuyas soluciones no son números reales. Al trabajar con ecuaciones como x2 + 4 = 0 o al usar la fórmula cuadrática en ecuaciones con un discriminante negativo, expresan las raíces cuadradas de números negativos utilizando la unidad imaginaria i. También pueden usar números complejos para factorizar expresiones que no se factorizan sobre los números reales, reescribiendo formas como x2 + 4 como (x + 2i)(x – 2i).

Un error frecuente ocurre al simplificar la raíz cuadrada de un valor negativo bajo el radical. A menudo, los estudiantes omiten por completo el signo negativo o lo tratan como un resultado negativo común; por ejemplo, escribiendo la raíz cuadrada de –16 como –4 en lugar de 4i. Otro obstáculo común es olvidar que las raíces complejas siempre aparecen en pares conjugados al resolver ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales.

Las actividades de las hojas de trabajo de la plantilla Ecuación cuadrática con raíces complejas presentan a los estudiantes ecuaciones como x2 + 2x + 5 = 0. Los estudiantes aplican métodos algebraicos como la fórmula cuadrática o completar el cuadrado para hallar ambas soluciones complejas, escribiendo sus respuestas finales en la forma estándar a ± bi.

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Plantillas de ejercicios para imprimir

Todos los tipos de ejercicios, agrupados por habilidad. Un clic abre el generador con el tipo ya elegido.

Factorización de polinomios por agrupación y cubos

Sumar, multiplicar y trabajar con números complejos

Cómo hallar el enésimo término y la suma de una sucesión geométrica

Uso de fórmulas de productos notables

División de polinomios y el teorema del resto

Multiplicación y resta de expresiones racionales

Resolución de ecuaciones racionales y radicales

Escribir ecuaciones de rectas y rectas paralelas

Encontrar el vértice y usar la forma canónica

Conversión entre grados y radianes

Hallar el período y la amplitud de una curva senoidal

Cálculo de coeficientes en expansiones binomiales

Desplazamiento horizontal y vertical de gráficas

Hallar la tasa de cambio promedio

Combinación de funciones por composición

Hallar la inversa de una función lineal

Resolución de ecuaciones cuadráticas con raíces complejas

Otros tipos de ejercicios

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