Lehrplan (Vereinigte Staaten)

Mathematik — Klasse 11

Mathematik der 11. Klasse nach den Common Core State Standards, üblicherweise Algebra II: Polynomdivision, rationale Ausdrücke und Gleichungen, komplexe Zahlen, der binomische Lehrsatz, Bogenmaß und periodische Funktionen. Zu jedem Thema gibt es ausdruckbare Arbeitsblätter.

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Was lernen Schüler in der 11. Klasse in Mathematik?

In der 11. Klasse dividieren Schülerinnen und Schüler Polynome, vereinfachen rationale Ausdrücke und lösen rationale Gleichungen. Sie rechnen mit komplexen Zahlen, lösen quadratische Gleichungen mit komplexen Lösungen, wenden den binomischen Lehrsatz auf Potenzen an und transformieren Funktionsgraphen. Das Bogenmaß und periodische Funktionen bereiten auf die Trigonometrie in Precalculus vor.

Über die Standards: Die Common Core High-School-Standards sind nach konzeptionellen Kategorien (Zahlen und Größen, Algebra, Funktionen, Geometrie, Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung) gegliedert, nicht nach Klassenstufen. Die Zuordnung eines Themas zu einer Klassenstufe ist unsere Entscheidung und folgt der üblichen Kursabfolge Algebra I, Geometrie, Algebra II und Precalculus. Standards, die mit (+) markiert sind, gehen über die Kernanforderungen zur Studien- und Berufsvorbereitung hinaus.

Seitenstatus: Die Themen dieser Klassenstufe stehen als reine Text- und Formelaufgaben (Anweisung und Formel) bereit; Aufgaben mit Diagrammen und Textaufgaben werden als Nächstes ergänzt.

Lehrplanumfang

Lehrplanpunkt HSN-CN · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Das System der komplexen Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): The Complex Number System

CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Complex Number System (HSN-CN)
Lehrplanpunkt HSN-CN.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Arithmetische Operationen mit komplexen Zahlen durchführen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Perform arithmetic operations with complex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster A
Lehrplanpunkt HSN-CN.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Komplexe Zahlen in Polynomidentitäten und Gleichungen verwenden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use complex numbers in polynomial identities and equations.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster C
Lehrplanpunkt HSN-CN.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wissen, dass es eine komplexe Zahl i gibt, sodass i2 = –1 gilt, und jede komplexe Zahl die Form a + bi mit a und b reell hat.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Know there is a complex number i such that i2 = –1, and every complex number has the form a + bi with a and b real.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.1

Addieren, Multiplizieren und Arbeiten mit komplexen Zahlen (bei uns in Klasse 11)
Lehrplanpunkt HSN-CN.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Beziehung i2 = –1 sowie die Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze anwenden, um komplexe Zahlen zu addieren, zu subtrahieren und zu multiplizieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use the relation i2 = –1 and the commutative, associative, and distributive properties to add, subtract, and multiply complex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.2

Addieren, Multiplizieren und Arbeiten mit komplexen Zahlen (bei uns in Klasse 11)
Lehrplanpunkt HSN-CN.C.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Quadratische Gleichungen mit reellen Koeffizienten, die komplexe Lösungen haben, lösen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Solve quadratic equations with real coefficients that have complex solutions.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.7

Lösen quadratischer Gleichungen mit komplexen Wurzeln (bei uns in Klasse 11)
Lehrplanpunkt HSN-CN.C.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Polynomidentitäten auf die komplexen Zahlen erweitern. Zum Beispiel x2 + 4 als (x + 2i)(x – 2i) umschreiben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Extend polynomial identities to the complex numbers. For example, rewrite x2 + 4 as (x + 2i)(x – 2i).

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.8

Lösen quadratischer Gleichungen mit komplexen Wurzeln (bei uns in Klasse 11)
Lehrplanpunkt HSN-CN.C.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Den Fundamentalsatz der Algebra kennen; zeigen, dass er für quadratische Polynome gilt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Know the Fundamental Theorem of Algebra; show that it is true for quadratic polynomials.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.9
Lehrplanpunkt HSA-SSE · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Strukturen in Termen erkennen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Seeing Structure in Expressions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)
Lehrplanpunkt HSA-SSE.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Struktur von Termen interpretieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpret the structure of expressions

CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A
Lehrplanpunkt HSA-SSE.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Terme in äquivalenten Formen schreiben, um Probleme zu lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B
Lehrplanpunkt HSA-SSE.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Ausdrücke, die eine Größe darstellen, im Kontext interpretieren.★ a. Teile eines Ausdrucks wie Terme, Faktoren und Koeffizienten interpretieren. b. Komplizierte Ausdrücke interpretieren, indem ein oder mehrere ihrer Teile als eine Einheit betrachtet werden. Zum Beispiel P(1+r)n als das Produkt von P und einem nicht von P abhängigen Faktor interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1
Lehrplanpunkt HSA-SSE.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Struktur eines Terms nutzen, um Möglichkeiten zu dessen Umformung zu erkennen. Zum Beispiel x4 – y4 als (x2)2 – ( y2)2 ansehen und ihn dadurch als Differenz von Quadraten erkennen, die als (x2 – y2)(x2 + y2) faktorisiert werden kann.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

Anwendung spezieller Produktformeln (bei uns in Klasse 9-11) · Faktorisieren von Polynomen durch Gruppieren und Kubikformeln (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSA-SSE.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Formel für die Summe einer endlichen geometrischen Reihe herleiten (wenn der Quotient nicht 1 ist) und die Formel verwenden, um Probleme zu lösen. Zum Beispiel Hypothekenzahlungen berechnen.★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Derive the formula for the sum of a finite geometric series (when the common ratio is not 1), and use the formula to solve problems. For example, calculate mortgage payments.★

CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.B.4

Bestimmung des n-ten Glieds und der Summe einer geometrischen Folge (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSA-APR · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Arithmetik mit Polynomen und rationalen Ausdrücken

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)
Lehrplanpunkt HSA-APR.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Arithmetische Operationen mit Polynomen durchführen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A
Lehrplanpunkt HSA-APR.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Zusammenhang zwischen Nullstellen und Faktoren von Polynomen verstehen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand the relationship between zeros and factors of polynomials

CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster B
Lehrplanpunkt HSA-APR.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Polynomidentitäten verwenden, um Probleme zu lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use polynomial identities to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster C
Lehrplanpunkt HSA-APR.D · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Rationale Terme umformen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Rewrite rational expressions

CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster D
Lehrplanpunkt HSA-APR.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verstehen, dass Polynome ein System analog zu den ganzen Zahlen bilden, nämlich dass sie bezüglich der Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation abgeschlossen sind; Polynome addieren, subtrahieren und multiplizieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1
Lehrplanpunkt HSA-APR.B.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Restsatz kennen und anwenden: Für ein Polynom p(x) und eine Zahl a ist der Rest bei der Division durch x – a gleich p(a), sodass p(a) = 0 genau dann gilt, wenn (x – a) ein Faktor von p(x) ist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Know and apply the Remainder Theorem: For a polynomial p(x) and a number a, the remainder on division by x – a is p(a), so p(a) = 0 if and only if (x – a) is a factor of p(x).

CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.B.2

Polynomdivision und der Restsatz (bei uns in Klasse 11)
Lehrplanpunkt HSA-APR.B.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Nullstellen von Polynomen bestimmen, wenn geeignete Faktorisierungen verfügbar sind, und die Nullstellen verwenden, um einen groben Graphen der durch das Polynom definierten Funktion zu konstruieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Identify zeros of polynomials when suitable factorizations are available, and use the zeros to construct a rough graph of the function defined by the polynomial.

CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.B.3
Lehrplanpunkt HSA-APR.C.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Polynomidentitäten beweisen und sie verwenden, um numerische Beziehungen zu beschreiben. Zum Beispiel kann die Polynomidentität (x2 + y2)2 = ( x2 – y2)2 + (2xy)2 verwendet werden, um pythagoreische Tripel zu erzeugen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Prove polynomial identities and use them to describe numerical relationships. For example, the polynomial identity (x2 + y2)2 = ( x2 – y2)2 + (2xy)2 can be used to generate Pythagorean triples.

CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.C.4
Lehrplanpunkt HSA-APR.C.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Den binomischen Lehrsatz für die Entwicklung von (x + y)n nach Potenzen von x und y für eine positive ganze Zahl n kennen und anwenden, wobei x und y beliebige Zahlen sind, mit Koeffizienten, die beispielsweise durch das Pascalsche Dreieck bestimmt werden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Know and apply the Binomial Theorem for the expansion of (x + y)n in powers of x and y for a positive integer n, where x and y are any numbers, with coefficients determined for example by Pascal’s Triangle.

CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.C.5

Bestimmung von Koeffizienten in Binomialentwicklungen (bei uns in Klasse 11)
Lehrplanpunkt HSA-APR.D.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Einfache rationale Ausdrücke in verschiedenen Formen umschreiben; a(x)/b(x) in der Form q(x) + r(x)/b(x) schreiben, wobei a(x), b(x), q(x) und r(x) Polynome sind, bei denen der Grad von r(x) kleiner als der Grad von b(x) ist, unter Verwendung von Hinsehen, Polynomdivision oder, für die komplizierteren Beispiele, einem Computeralgebrasystem.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Rewrite simple rational expressions in different forms; write a(x)/b(x) in the form q(x) + r(x)/b(x), where a(x), b(x), q(x), and r(x) are polynomials with the degree of r(x) less than the degree of b(x), using inspection, long division, or, for the more complicated examples, a computer algebra system.

CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.D.6

Polynomdivision und der Restsatz (bei uns in Klasse 11) · Multiplizieren und Subtrahieren rationaler Ausdrücke (bei uns in Klasse 11)
Lehrplanpunkt HSA-APR.D.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Verstehen, dass rationale Ausdrücke ein den rationalen Zahlen analoges System bilden, das bezüglich Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division durch einen rationalen Ausdruck ungleich null abgeschlossen ist; rationale Ausdrücke addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Understand that rational expressions form a system analogous to the rational numbers, closed under addition, subtraction, multiplication, and division by a nonzero rational expression; add, subtract, multiply, and divide rational expressions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.D.7
Lehrplanpunkt HSA-CED · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen aufstellen★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Creating Equations★

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)
Lehrplanpunkt HSA-CED.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen aufstellen, die Zahlen oder Beziehungen beschreiben

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Create equations that describe numbers or relationships

CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A
Lehrplanpunkt HSA-CED.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen aufstellen und diese zum Lösen von Problemen verwenden. Gleichungen einbeziehen, die sich aus linearen und quadratischen Funktionen sowie einfachen rationalen Funktionen und Exponentialfunktionen ergeben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1
Lehrplanpunkt HSA-CED.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen mit zwei oder mehr Variablen aufstellen, um Beziehungen zwischen Größen darzustellen; Gleichungen auf Koordinatenachsen mit Beschriftungen und Skalierungen grafisch darstellen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2
Lehrplanpunkt HSA-CED.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Nebenbedingungen durch Gleichungen oder Ungleichungen sowie durch Systeme von Gleichungen und/oder Ungleichungen darstellen und Lösungen in einem Modellierungskontext als realisierbare oder nicht realisierbare Optionen interpretieren. Zum Beispiel Ungleichungen darstellen, die ernährungs- und kostenbezogene Nebenbedingungen bei Kombinationen verschiedener Lebensmittel beschreiben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3
Lehrplanpunkt HSA-CED.A.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Formeln umstellen, um eine gesuchte Größe hervorzuheben, unter Verwendung derselben Überlegungen wie beim Lösen von Gleichungen. Zum Beispiel das ohmsche Gesetz V = IR umstellen, um den Widerstand R hervorzuheben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4
Lehrplanpunkt HSA-REI · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Argumentieren mit Gleichungen und Ungleichungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)
Lehrplanpunkt HSA-REI.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Das Lösen von Gleichungen als Argumentationsprozess verstehen und die Argumentation erklären

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A
Lehrplanpunkt HSA-REI.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungssysteme lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Solve systems of equations

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C
Lehrplanpunkt HSA-REI.D · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen und Ungleichungen grafisch darstellen und lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D
Lehrplanpunkt HSA-REI.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Einfache rationale Gleichungen und Wurzelgleichungen mit einer Variablen lösen und Beispiele angeben, die zeigen, wie Scheinlösungen entstehen können.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Solve simple rational and radical equations in one variable, and give examples showing how extraneous solutions may arise.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.A.2

Lösen von Bruch- und Wurzelgleichungen (bei uns in Klasse 11)
Lehrplanpunkt HSA-REI.D.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Erklären, warum die x-Koordinaten der Punkte, an denen sich die Graphen der Gleichungen y = f(x) und y = g(x) schneiden, die Lösungen der Gleichung f(x) = g(x) sind; die Lösungen näherungsweise bestimmen, z. B. unter Verwendung von Technologie, um die Funktionen grafisch darzustellen, Wertetabellen zu erstellen oder schrittweise Näherungen zu finden. Fälle einbeziehen, in denen f(x) und/oder g(x) lineare, polynomielle, rationale, Betrags-, Exponential- und logarithmische Funktionen sind.★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11
Lehrplanpunkt HSF-IF · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen interpretieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpreting Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)
Lehrplanpunkt HSF-IF.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen, die in Anwendungen auftreten, im Kontext interpretieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B
Lehrplanpunkt HSF-IF.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen mithilfe verschiedener Darstellungen analysieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Analyze functions using different representations

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C
Lehrplanpunkt HSF-IF.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Für eine Funktion, die eine Beziehung zwischen zwei Größen modelliert, wesentliche Merkmale von Graphen und Tabellen bezogen auf die Größen interpretieren und bei gegebener verbaler Beschreibung der Beziehung Graphen skizzieren, die wesentliche Merkmale zeigen. Zu den wesentlichen Merkmalen gehören: Achsenabschnitte; Intervalle, in denen die Funktion steigend, fallend, positiv oder negativ ist; relative Maxima und Minima; Symmetrien; Verhalten im Unendlichen; und Periodizität.★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4
Lehrplanpunkt HSF-IF.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Definitionsbereich einer Funktion zu ihrem Graphen und, falls zutreffend, zu der quantitativen Beziehung, die sie beschreibt, in Beziehung setzen. Wenn zum Beispiel die Funktion h(n) die Anzahl der Personenstunden angibt, die für die Montage von n Motoren in einer Fabrik benötigt werden, dann wären die positiven ganzen Zahlen ein geeigneter Definitionsbereich für die Funktion. ★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5
Lehrplanpunkt HSF-IF.B.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion (symbolisch oder als Tabelle dargestellt) über einem vorgegebenen Intervall berechnen und interpretieren. Die Änderungsrate anhand eines Graphen schätzen. ★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

Bestimmen der durchschnittlichen Änderungsrate (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-IF.C.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen, die symbolisch angegeben sind, grafisch darstellen und wesentliche Merkmale des Graphen aufzeigen, in einfachen Fällen von Hand und bei komplizierteren Fällen unter Einsatz von Technologie. ★ a. Lineare und quadratische Funktionen grafisch darstellen und Achsenabschnitte, Maxima und Minima aufzeigen. b. Quadratwurzel-, Kubikwurzel- und abschnittsweise definierte Funktionen grafisch darstellen, einschließlich Treppenfunktionen und Betragsfunktionen. c. Polynomfunktionen grafisch darstellen, Nullstellen bestimmen, wenn geeignete Faktorisierungen vorliegen, und das Verhalten im Unendlichen aufzeigen. d. (+) Rationale Funktionen grafisch darstellen, Nullstellen und Asymptoten bestimmen, wenn geeignete Faktorisierungen vorliegen, und das Verhalten im Unendlichen aufzeigen. e. Exponential- und Logarithmusfunktionen grafisch darstellen und dabei Achsenabschnitte und das Verhalten im Unendlichen aufzeigen sowie trigonometrische Funktionen grafisch darstellen und dabei Periode, Mittellinie und Amplitude aufzeigen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7
Lehrplanpunkt HSF-IF.C.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Eine durch einen Term definierte Funktion in verschiedenen, aber äquivalenten Formen schreiben, um verschiedene Eigenschaften der Funktion aufzuzeigen und zu erklären. a. Das Verfahren des Faktorisierens und der quadratischen Ergänzung bei einer quadratischen Funktion anwenden, um Nullstellen, Extremwerte und die Symmetrie des Graphen aufzuzeigen, und diese im Sachzusammenhang interpretieren. b. Die Eigenschaften von Potenzen anwenden, um Terme für Exponentialfunktionen zu interpretieren. Zum Beispiel die prozentuale Änderungsrate bei Funktionen wie y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10 bestimmen und diese als exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall klassifizieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

Den Scheitelpunkt bestimmen und die Scheitelpunktform verwenden (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-IF.C.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Eigenschaften zweier Funktionen vergleichen, die jeweils auf unterschiedliche Weise dargestellt sind (algebraisch, grafisch, numerisch in Tabellen oder durch verbale Beschreibungen). Zum Beispiel bei einem gegebenen Graphen einer quadratischen Funktion und einem algebraischen Ausdruck für eine andere angeben, welche das größere Maximum hat.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9
Lehrplanpunkt HSF-BF · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen bilden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Building Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)
Lehrplanpunkt HSF-BF.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Eine Funktion aufstellen, die eine Beziehung zwischen zwei Größen modelliert

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A
Lehrplanpunkt HSF-BF.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Neue Funktionen aus bestehenden Funktionen bilden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Build new functions from existing functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B
Lehrplanpunkt HSF-BF.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Eine Funktion aufstellen, die eine Beziehung zwischen zwei Größen beschreibt.★ a. Einen expliziten Ausdruck, einen rekursiven Prozess oder Rechenschritte aus einem Kontext bestimmen. b. Standardfunktionstypen unter Verwendung arithmetischer Operationen verknüpfen. Zum Beispiel eine Funktion aufstellen, die die Temperatur eines abkühlenden Körpers modelliert, indem eine konstante Funktion zu einer abklingenden Exponentialfunktion addiert wird, und diese Funktionen mit dem Modell in Beziehung setzen. c. (+) Funktionen verketten. Wenn zum Beispiel T(y) die Temperatur in der Atmosphäre als Funktion der Höhe ist und h(t) die Höhe eines Wetterballons als Funktion der Zeit, dann ist T(h(t)) die Temperatur am Ort des Wetterballons als Funktion der Zeit.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

Aufstellen von Geradengleichungen und parallelen Geraden (bei uns in Klasse 9-11) · Kombinieren von Funktionen durch Komposition (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-BF.B.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Auswirkung auf den Graphen beim Ersetzen von f(x) durch f(x) + k, k f(x), f(kx) und f(x + k) für bestimmte Werte von k (sowohl positive als auch negative) bestimmen; den Wert von k anhand der Graphen ermitteln. Mit Fällen experimentieren und eine Erklärung der Auswirkungen auf den Graphen mithilfe von Technologie veranschaulichen. Das Erkennen gerader und ungerader Funktionen anhand ihrer Graphen und algebraischer Ausdrücke für diese einbeziehen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

Horizontale und vertikale Verschiebung von Graphen (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-BF.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Umkehrfunktionen bestimmen. a. Eine Gleichung der Form f(x) = c für eine einfache Funktion f, die eine Umkehrfunktion besitzt, lösen und einen Term für die Umkehrfunktion angeben. Zum Beispiel f(x) =2 x3 oder f(x) = (x+1)/(x–1) für x ≠ 1. b. (+) Durch Verkettung nachweisen, dass eine Funktion die Umkehrfunktion einer anderen ist. c. (+) Werte einer Umkehrfunktion aus einem Graphen oder einer Tabelle ablesen, vorausgesetzt, dass die Funktion eine Umkehrfunktion besitzt. d. (+) Durch Einschränken des Definitionsbereichs aus einer nicht umkehrbaren Funktion eine umkehrbare Funktion bilden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

Bestimmen der Umkehrfunktion einer linearen Funktion (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-LE · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Lineare, quadratische und exponentielle Modelle★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)
Lehrplanpunkt HSF-LE.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Lineare, quadratische und exponentielle Modelle konstruieren und vergleichen und Probleme lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A
Lehrplanpunkt HSF-LE.A.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Für Exponentialmodelle die Lösung von abct = d, wobei a, c und d Zahlen sind und die Basis b 2, 10 oder e ist, als Logarithmus ausdrücken; den Logarithmus mithilfe von Technologie berechnen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): For exponential models, express as a logarithm the solution to abct = d where a, c, and d are numbers and the base b is 2, 10, or e; evaluate the logarithm using technology.

CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.4
Lehrplanpunkt HSF-TF · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Trigonometrische Funktionen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Trigonometric Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Trigonometric Functions (HSF-TF)
Lehrplanpunkt HSF-TF.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Definitionsbereich trigonometrischer Funktionen mithilfe des Einheitskreises erweitern

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Extend the domain of trigonometric functions using the unit circle

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster A
Lehrplanpunkt HSF-TF.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Periodische Phänomene mit trigonometrischen Funktionen modellieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Model periodic phenomena with trigonometric functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster B
Lehrplanpunkt HSF-TF.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Trigonometrische Identitäten beweisen und anwenden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Prove and apply trigonometric identities

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster C
Lehrplanpunkt HSF-TF.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Das Bogenmaß eines Winkels als die Länge des Bogens auf dem Einheitskreis verstehen, der von dem Winkel eingeschlossen wird.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand radian measure of an angle as the length of the arc on the unit circle subtended by the angle.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.1

Umrechnung zwischen Grad und Radiant (bei uns in Klasse 11)
Lehrplanpunkt HSF-TF.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Erklären, wie der Einheitskreis in der Koordinatenebene die Erweiterung trigonometrischer Funktionen auf alle reellen Zahlen ermöglicht, interpretiert als Bogenmaße von Winkeln, die gegen den Uhrzeigersinn um den Einheitskreis durchlaufen werden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Explain how the unit circle in the coordinate plane enables the extension of trigonometric functions to all real numbers, interpreted as radian measures of angles traversed counterclockwise around the unit circle.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.2
Lehrplanpunkt HSF-TF.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Trigonometrische Funktionen auswählen, um periodische Phänomene mit vorgegebener Amplitude, Frequenz und Mittellinie zu modellieren. ★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Choose trigonometric functions to model periodic phenomena with specified amplitude, frequency, and midline. ★

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.5

Bestimmung der Periode und Amplitude einer Sinuskurve (bei uns in Klasse 11)
Lehrplanpunkt HSF-TF.C.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den trigonometrischen Pythagoras sin2(θ) + cos2(θ) = 1 beweisen und ihn verwenden, um sin(θ), cos(θ) oder tan(θ) zu bestimmen, wenn sin(θ), cos(θ) oder tan(θ) sowie der Quadrant des Winkels gegeben sind.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Prove the Pythagorean identity sin2(θ) + cos2(θ) = 1 and use it to find sin(θ), cos(θ), or tan(θ) given sin(θ), cos(θ), or tan(θ) and the quadrant of the angle.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.C.8
Lehrplanpunkt HSF-TF.C.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Die Additions- und Subtraktionsformeln für Sinus, Kosinus und Tangens beweisen und sie zum Lösen von Problemen verwenden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Prove the addition and subtraction formulas for sine, cosine, and tangent and use them t o solve problems.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.C.9
Lehrplanpunkt HSG-GPE · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geometrische Eigenschaften mit Gleichungen ausdrücken

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)
Lehrplanpunkt HSG-GPE.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Zwischen der geometrischen Beschreibung und der Gleichung eines Kegelschnitts übersetzen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A
Lehrplanpunkt HSG-GMD · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geometrisches Messen und Dimension

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Geometric Measurement and Dimension

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)
Lehrplanpunkt HSG-GMD.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Volumenformeln erklären und sie zum Lösen von Problemen verwenden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A
Lehrplanpunkt HSS-ID · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Interpretieren kategorialer und quantitativer Daten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)
Lehrplanpunkt HSS-ID.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Daten zu einer einzelnen Zähl- oder Messvariable zusammenfassen, darstellen und interpretieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A
Lehrplanpunkt HSS-ID.A.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Mittelwert und die Standardabweichung eines Datensatzes verwenden, um ihn an eine Normalverteilung anzupassen und Prozentanteile der Grundgesamtheit zu schätzen. Erkennen, dass es Datensätze gibt, für die ein solches Verfahren nicht geeignet ist. Taschenrechner, Tabellenkalkulationen und Tabellen verwenden, um Flächeninhalte unter der Normalkurve zu schätzen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use the mean and standard deviation of a data set to fit it to a normal distribution and to estimate population percentages. Recognize that there are data sets for which such a procedure is not appropriate. Use calculators, spreadsheets, and tables to estimate areas under the normal curve.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.4
Lehrplanpunkt HSS-IC · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Schlussfolgerungen ziehen und Ergebnisse begründen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Making Inferences and Justifying Conclusions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Making Inferences and Justifying Conclusions (HSS-IC)
Lehrplanpunkt HSS-IC.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Zufallsprozesse, die statistischen Experimenten zugrunde liegen, verstehen und bewerten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand and evaluate random processes underlying statistical experiments

CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, cluster A
Lehrplanpunkt HSS-IC.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Aus Stichprobenerhebungen, Experimenten und Beobachtungsstudien Rückschlüsse ziehen und Schlussfolgerungen begründen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Make inferences and justify conclusions from sample surveys, experiments, and observational studies

CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, cluster B
Lehrplanpunkt HSS-IC.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Statistik als einen Prozess verstehen, um auf der Grundlage einer Zufallsstichprobe aus einer Grundgesamtheit Rückschlüsse auf Parameter dieser Grundgesamtheit zu ziehen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand statistics as a process for making inferences about population parameters based on a random sample from that population.

CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.A.1
Lehrplanpunkt HSS-IC.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Entscheiden, ob ein vorgegebenes Modell mit den Ergebnissen aus einem gegebenen datengenerierenden Prozess übereinstimmt, z. B. mithilfe von Simulationen. Ein Modell besagt beispielsweise, dass eine sich drehende Münze mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 auf Kopf fällt. Würde ein Ergebnis von 5-mal Zahl hintereinander dazu führen, das Modell infrage zu stellen?

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Decide if a specified model is consistent with results from a given data-generating process, e.g., using simulation. For example, a model says a spinning coin falls heads up with probability 0.5. Would a result of 5 tails in a row cause you to question the model?

CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.A.2
Lehrplanpunkt HSS-IC.B.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Zwecke von und Unterschiede zwischen Stichprobenerhebungen, Experimenten und Beobachtungsstudien erkennen; erklären, wie Randomisierung mit jedem dieser Verfahren zusammenhängt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Recognize the purposes of and differences among sample surveys, experiments, and observational studies; explain how randomization relates to each.

CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.3
Lehrplanpunkt HSS-IC.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Daten aus einer Stichprobenerhebung verwenden, um einen Mittelwert oder Anteilswert einer Grundgesamtheit zu schätzen; eine Fehlerspanne durch die Verwendung von Simulationsmodellen für Zufallsstichproben entwickeln.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use data from a sample survey to estimate a population mean or proportion; develop a margin of error through the use of simulation models for random sampling.

CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.4
Lehrplanpunkt HSS-IC.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Daten aus einem randomisierten Experiment verwenden, um zwei Behandlungen zu vergleichen; Simulationen verwenden, um zu entscheiden, ob Unterschiede zwischen Parametern signifikant sind.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use data from a randomized experiment to compare two treatments; use simulations to decide if differences between parameters are significant.

CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.5
Lehrplanpunkt HSS-IC.B.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Berichte auf der Grundlage von Daten beurteilen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Evaluate reports based on data.

CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.6
Lehrplanpunkt HSS-MD · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wahrscheinlichkeiten nutzen, um Entscheidungen zu treffen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Using Probability to Make Decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)
Lehrplanpunkt HSS-MD.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wahrscheinlichkeit nutzen, um Ergebnisse von Entscheidungen zu bewerten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B
Lehrplanpunkt HSS-MD.B.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Wahrscheinlichkeiten nutzen, um faire Entscheidungen zu treffen (z. B. Auslosen, Verwenden eines Zufallszahlengenerators).

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Use probabilities to make fair decisions (e.g., drawing by lots, using a random number gener ator).

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.6
Lehrplanpunkt HSS-MD.B.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Entscheidungen und Strategien unter Verwendung von Wahrscheinlichkeitskonzepten analysieren (z. B. Produkttests, medizinische Tests, das Herausnehmen des Eishockeytorwarts am Ende eines Spiels).

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Analyze decisions and strategies using probability concepts (e.g., product t esting, medical testing, pulling a hockey goalie at the end of a game).

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.7

Kompetenzen Schritt für Schritt

Faktorisieren von Polynomen durch Gruppieren und Kubikformeln

Schülerinnen und Schüler lernen, komplexe algebraische Ausdrücke zu zerlegen, indem sie gemeinsame Faktoren ausklammern, Terme gruppieren und Muster für die Summe und Differenz von Kuben anwenden.

Lehrplanpunkt HSA-SSE.A.2 Die Struktur eines Terms nutzen, um Möglichkeiten zu dessen Umformung zu erkennen. Zum Beispiel x4 – y4 als (x2)2 – ( y2)2 ansehen und ihn dadurch als Differenz von Quadraten erkennen, die als (x2 – y2)(x2 + y2) faktorisiert werden kann. (unsere Übersetzung)

In der 11. Klasse nutzen Schülerinnen und Schüler die Struktur eines algebraischen Ausdrucks, um ihn in einfachere Faktoren zu zerlegen. Anstatt sich ausschließlich auf grundlegende Methoden für quadratische Gleichungen zu verlassen, untersuchen sie mehrgliedrige Ausdrücke, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden, Terme mit gemeinsamen Eigenschaften zu gruppieren und Ausdrücke zu erkennen, die aus zwei perfekten Kubiktermen bestehen.

Ein häufiger Fehler tritt bei negativen Vorzeichen beim Faktorisieren durch Gruppieren oder bei der Anwendung von Kubikformeln auf. Beim Gruppieren von vier Termen wird oft vergessen, ein negatives Vorzeichen aus dem zweiten Paar auszuklammern, wodurch nicht übereinstimmende Binome entstehen, die das vollständige Lösen der Aufgabe verhindern. Bei der Summe und Differenz von Kubiktermen werden zudem häufig die positiven und negativen Vorzeichen im linearen und quadratischen Teil der faktorisierten Form verwechselt.

Die Aufgaben auf den Arbeitsblättern festigen diese Fertigkeiten anhand von drei Hauptformaten:

Ausklammern eines Monoms: Bestimmen und Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers aller Terme eines Ausdrucks.
Faktorisieren durch Gruppieren: Aufteilen viergliedriger Polynome in Paare, um einen gemeinsamen binomialen Faktor aufzudecken und auszuklammern.
Summe und Differenz von Kubiktermen: Erkennen dritter Potenzen und Anwenden der passenden Kubikformel, um den Ausdruck umzuschreiben.

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Aufgabentypen: Monom ausklammern · Faktorisieren durch Gruppieren · Summe und Differenz von Kuben

Addieren, Multiplizieren und Arbeiten mit komplexen Zahlen

Schülerinnen und Schüler lernen, komplexe Zahlen in der Form a + bi zu addieren, zu subtrahieren und zu multiplizieren sowie Potenzen von i mithilfe der Regel zu vereinfachen, dass i² gleich –1 ist.

Lehrplanpunkt HSN-CN.A.1 Wissen, dass es eine komplexe Zahl i gibt, sodass i2 = –1 gilt, und jede komplexe Zahl die Form a + bi mit a und b reell hat. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSN-CN.A.2 Die Beziehung i2 = –1 sowie die Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetze anwenden, um komplexe Zahlen zu addieren, zu subtrahieren und zu multiplizieren. (unsere Übersetzung)

In der 11. Klasse arbeiten Schülerinnen und Schüler mit komplexen Zahlen in der Standardform a + bi, wobei a und b reelle Zahlen sind. Durch die Anwendung bekannter algebraischer Regeln – einschließlich des Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetzes – sowie der grundlegenden Definition, dass i² = –1 ist, lernen die Schülerinnen und Schüler, komplexe Zahlen zu addieren, zu subtrahieren und zu multiplizieren sowie positive Potenzen von i zu berechnen.

Ein häufiger Fehler tritt bei der Multiplikation auf, wenn Schülerinnen und Schüler i einfach wie eine gewöhnliche Variable wie x behandeln. Sie vergessen oft, i² durch –1 zu ersetzen, was zu einem Vorzeichenfehler im abschließenden Realteil der Zahl führt. Ein weiterer typischer Fehler geschieht bei der Subtraktion, wenn Schülerinnen und Schüler vergessen, das Minuszeichen sowohl auf den Real- als auch auf den Imaginärteil der zweiten Zahl anzuwenden.

Die Übungsaufgaben decken basierend auf diesen Fertigkeiten drei klare Formate ab. Beim Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen fassen die Schülerinnen und Schüler reelle Terme mit reellen Termen und imaginäre Terme mit imaginären Termen zusammen. Beim Multiplizieren komplexer Zahlen multiplizieren sie Ausdrücke wie (3 + 2i)(1 – 4i) aus und vereinfachen das Ergebnis in die Standardform a + bi. Schließlich verlangen Aufgaben zu Potenzen von i, höhere Exponenten unter Anwendung der Regel i² = –1 zu 1, –1, i oder –i zu vereinfachen.

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Aufgabentypen: Addition und Subtraktion komplexer Zahlen · Potenzen von i · Multiplikation komplexer Zahlen

Bestimmung des n-ten Glieds und der Summe einer geometrischen Folge

Schülerinnen und Schüler lernen, Formeln zur Bestimmung beliebiger Glieder einer geometrischen Folge aufzustellen und mithilfe der Summenformel die Summe einer endlichen Reihe zu berechnen.

Lehrplanpunkt HSA-SSE.B.4 Die Formel für die Summe einer endlichen geometrischen Reihe herleiten (wenn der Quotient nicht 1 ist) und die Formel verwenden, um Probleme zu lösen. Zum Beispiel Hypothekenzahlungen berechnen.★ (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSF-BF.A.2 Arithmetische und geometrische Folgen sowohl rekursiv als auch mit einer expliziten Formel aufstellen, sie zur Modellierung von Situationen verwenden und zwischen den beiden Formen übersetzen. ★ (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSF-LE.A.2 Lineare und exponentielle Funktionen, einschließlich arithmetischer und geometrischer Folgen, anhand eines Graphen, einer Beschreibung eines Zusammenhangs oder zweier Eingabe-Ausgabe-Paare aufstellen (einschließlich des Ablesens dieser aus einer Tabelle). (unsere Übersetzung)

In der 11. Klasse beschäftigen sich die Schülerinnen und Schüler mit geometrischen Folgen, bei denen jeder Wert mit einem konstanten Quotienten (ungleich 1) multipliziert wird. Die Lernenden stellen explizite Bildungsgesetze auf, um ein bestimmtes Glied – das sogenannte n-te Glied – zu berechnen, und nutzen die Formel für endliche geometrische Reihen, um eine festgelegte Anzahl von Gliedern schnell zu addieren.

Ein häufiger Fehler tritt bei der Berechnung von Potenzen und Vorzeichen auf. Bei der Bestimmung des n-ten Glieds multiplizieren Lernende oft fälschlicherweise das erste Glied mit dem Quotienten, bevor sie potenzieren, oder sie vergessen, n − 1 im Exponenten zu verwenden. Bei der Berechnung von Summen führen negative Quotienten im Nenner oft zu Vorzeichenfehlern, da das Subtrahieren eines negativen Werts zu einer Addition führen sollte.

Die Übungen auf den Arbeitsblättern konzentrieren sich auf zwei zentrale Aufgabentypen:

Geometrische Folge – n-tes Glied: Die Lernenden bestimmen das Anfangsglied und den Quotienten aus einer Liste oder Tabelle, um ein bestimmtes nachfolgendes Glied, wie etwa das 8. oder 12. Glied, zu berechnen.
Geometrische Folge – Summe von Gliedern: Die Lernenden wenden die Summenformel an, um die Gesamtsumme der ersten n Glieder einer Folge zu ermitteln, ohne jeden Wert einzeln von Hand addieren zu müssen.

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Aufgabentypen: Geometrische Folge — Summe · Geometrische Folge — n-tes Glied

Anwendung spezieller Produktformeln

Schülerinnen und Schüler lernen, algebraische Muster zu nutzen, um das Quadrat einer Summe oder Differenz sowie das Produkt einer Summe und einer Differenz schnell auszumultiplizieren.

Auf dieser Stufe lernen die Schülerinnen und Schüler, die Struktur eines algebraischen Ausdrucks zu erkennen, anstatt jeden Term von Hand auszumultiplizieren. Sie identifizieren Ausdrücke, die Standardmustern entsprechen, und wenden Abkürzungsformeln an, um direkt die ausmultiplizierte Form zu ermitteln, wobei sie mit Summen und Differenzen von Termen arbeiten, die Variablen und Konstanten enthalten.

Ein sehr häufiger Fehler tritt auf, wenn Schülerinnen und Schüler ein Binom quadrieren. Viele vergessen den mittleren Term vollständig und nehmen fälschlicherweise an, dass das Quadrieren einer Summe einfach bedeutet, jeden einzelnen Term zu quadrieren. Dies geschieht, weil sie versuchen, den Exponenten auf die Addition oder Subtraktion zu verteilen, anstatt das vollständige Multiplikationsmuster anzuwenden.

Übungsaufgaben zu dieser Fertigkeit konzentrieren sich typischerweise auf zwei Formate:

Produkt aus einer Summe und einer Differenz, bei dem Schülerinnen und Schüler konjugierte Paare wie (x + 5)(x – 5) multiplizieren, um direkt zu einer Differenz von Quadraten zu gelangen.
Quadrat einer Summe oder Differenz, bei dem Schülerinnen und Schüler Ausdrücke wie (x + 3) zum Quadrat oder (2x – 7) zum Quadrat auflösen, indem sie neben den quadrierten äußeren Termen auch den verdoppelten mittleren Term berücksichtigen.

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Aufgabentypen: Produkt aus Summe und Differenz · Quadrat einer Summe oder Differenz

Polynomdivision und der Restsatz

Schüler lernen, Polynome durch Linearfaktoren wie x − a zu dividieren und den Rest direkt mithilfe des Restsatzes zu bestimmen.

Lehrplanpunkt HSA-APR.B.2 Den Restsatz kennen und anwenden: Für ein Polynom p(x) und eine Zahl a ist der Rest bei der Division durch x – a gleich p(a), sodass p(a) = 0 genau dann gilt, wenn (x – a) ein Faktor von p(x) ist. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSA-APR.D.6 Einfache rationale Ausdrücke in verschiedenen Formen umschreiben; a(x)/b(x) in der Form q(x) + r(x)/b(x) schreiben, wobei a(x), b(x), q(x) und r(x) Polynome sind, bei denen der Grad von r(x) kleiner als der Grad von b(x) ist, unter Verwendung von Hinsehen, Polynomdivision oder, für die komplizierteren Beispiele, einem Computeralgebrasystem. (unsere Übersetzung)

In der 11. Klasse lernen die Schülerinnen und Schüler, ein Polynom mithilfe der Polynomdivision durch ein lineares Binom der Form x − a zu teilen. Sie geben ihre Ergebnisse in der Form q(x) + r/(x − a) an, wobei q(x) der Quotient und r der konstante Rest ist. Neben der Division nutzen die Schülerinnen und Schüler den Restsatz, um diesen Rest schnell zu bestimmen: Durch Berechnen von p(a) können sie den Rest ermitteln, ohne die vollständige Division durchzuführen, und bestätigen, dass x − a genau dann ein Teiler ist, wenn p(a) = 0 gilt.

Ein häufiger Fehler ist das Verwechseln des Vorzeichens von a. Bei der Division durch ein Binom wie x − 3 berechnen Schülerinnen und Schüler oft fälschlicherweise p(−3) statt p(3), weil sie das Minuszeichen in die Berechnung übernehmen. Bei der schriftlichen Polynomdivision neigen Schülerinnen und Schüler zudem beim Subtrahieren von Zeilen zu Vorzeichenfehlern, insbesondere beim Subtrahieren von Termen, die bereits negative Koeffizienten aufweisen.

Die Arbeitsblattaufgaben zu dieser Fertigkeit konzentrieren sich auf zwei Hauptformate. In Polynom durch ein Binom dividieren führen die Schülerinnen und Schüler die Polynomdivision Schritt für Schritt durch, um den Quotienten und einen eventuellen Rest zu ermitteln. In Rest bei der Polynomdivision wenden die Schülerinnen und Schüler den Restsatz an, um den Rest schnell zu berechnen oder zu überprüfen, ob ein gegebenes Binom das Polynom ohne Rest teilt.

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Aufgabentypen: Rest der Polynomdivision · Polynomdivision durch Linearfaktor

Multiplizieren und Subtrahieren rationaler Ausdrücke

Schüler lernen, aus Polynomen gebildete rationale Ausdrücke zu multiplizieren und zu subtrahieren und die Ergebnisse zu einem einzigen algebraischen Bruch zu vereinfachen.

Lehrplanpunkt HSA-APR.D.6 Einfache rationale Ausdrücke in verschiedenen Formen umschreiben; a(x)/b(x) in der Form q(x) + r(x)/b(x) schreiben, wobei a(x), b(x), q(x) und r(x) Polynome sind, bei denen der Grad von r(x) kleiner als der Grad von b(x) ist, unter Verwendung von Hinsehen, Polynomdivision oder, für die komplizierteren Beispiele, einem Computeralgebrasystem. (unsere Übersetzung)

In der 11. Klasse arbeiten Schülerinnen und Schüler mit rationalen Ausdrücken – Brüchen, bei denen sowohl der Zähler als auch der Nenner Polynome sind. Die Schülerinnen und Schüler formen diese algebraischen Brüche mithilfe von Multiplikation und Subtraktion um und fassen sie zusammen, um einen einzigen, vereinfachten rationalen Ausdruck zu erhalten.

Ein häufiger Fehler bei der Subtraktion besteht darin, nach dem Finden eines gemeinsamen Nenners zu vergessen, das Minuszeichen auf jeden Term im Zähler des zweiten Bruchs anzuwenden. Beim Multiplizieren versuchen Schülerinnen und Schüler oft, einzelne Terme zu kürzen, die durch Additions- oder Subtraktionszeichen getrennt sind, anstatt die Polynome zuerst zu faktorisieren, um gemeinsame Faktoren herauszukürzen.

Die Übungsaufgaben konzentrieren sich auf zwei Hauptbereiche: das Multiplizieren rationaler Ausdrücke und das Subtrahieren rationaler Ausdrücke. Bei Subtraktionsaufgaben ermitteln Schülerinnen und Schüler einen gemeinsamen Polynomnenner und fassen gleichartige Terme im Zähler zusammen. Bei Multiplikationsaufgaben faktorisieren Schülerinnen und Schüler Zähler und Nenner der Polynome vollständig, um das Endprodukt auf seine einfachste Form zu kürzen.

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Aufgabentypen: Bruchterme multiplizieren · Bruchterme subtrahieren

Lösen von Bruch- und Wurzelgleichungen

Schülerinnen und Schüler lernen, einfache Bruch- und Wurzelgleichungen mit einer Variablen zu lösen und Scheinlösungen zu identifizieren, die in der ursprünglichen Gleichung nicht funktionieren.

Lehrplanpunkt HSA-REI.A.2 Einfache rationale Gleichungen und Wurzelgleichungen mit einer Variablen lösen und Beispiele angeben, die zeigen, wie Scheinlösungen entstehen können. (unsere Übersetzung)

Schülerinnen und Schüler lernen, einfache Gleichungen mit einer Variablen zu lösen, die rationale Ausdrücke (Brüche mit Variablen im Nenner) oder Wurzelterme (Wurzeln, die Variablen enthalten) enthalten. Sie wenden algebraische Verfahren an, wie das Beseitigen von Nennern durch Multiplikation mit einem gemeinsamen Term oder das Beseitigen von Wurzeln durch Potenzieren beider Seiten der Gleichung mit einem geeigneten Exponenten.

Ein häufiger Stolperstein ist das Erkennen von Scheinlösungen. Da algebraische Schritte wie das Quadrieren beider Seiten oder das Multiplizieren mit einem Term, der die Variable enthält, Werte erzeugen können, die die ursprüngliche Aufgabe nicht erfüllen, vergessen Lernende oft, ihre Ergebnisse zu überprüfen. Dies führt dazu, dass ungültige Lösungen akzeptiert werden, wie etwa Werte, die einen Nenner gleich null werden lassen oder erfordern, dass eine Hauptquadratwurzel gleich einer negativen Zahl ist.

Arbeitsblätter und Übungsaufgaben konzentrieren sich auf zwei Formate:

Wurzelgleichung: Aufgaben, bei denen Lernende eine Wurzel isolieren, sie durch Potenzieren beider Seiten beseitigen, nach der Variablen auflösen und auf gültige Lösungen prüfen.
Bruchgleichung: Aufgaben, bei denen Lernende Nenner beseitigen, die verbleibende lineare oder polynomielle Gleichung lösen und sicherstellen, dass keine Lösung zu einer Division durch null führt.

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Aufgabentypen: Wurzelgleichung · Bruchgleichung

Aufstellen von Geradengleichungen und parallelen Geraden

Schülerinnen und Schüler lernen, explizite lineare Funktionen anhand von zwei Koordinatenpunkten oder einem einzelnen Punkt und einer parallelen Geraden zu bestimmen.

Lehrplanpunkt HSF-BF.A.1 Eine Funktion aufstellen, die eine Beziehung zwischen zwei Größen beschreibt.★ a. Einen expliziten Ausdruck, einen rekursiven Prozess oder Rechenschritte aus einem Kontext bestimmen. b. Standardfunktionstypen unter Verwendung arithmetischer Operationen verknüpfen. Zum Beispiel eine Funktion aufstellen, die die Temperatur eines abkühlenden Körpers modelliert, indem eine konstante Funktion zu einer abklingenden Exponentialfunktion addiert wird, und diese Funktionen mit dem Modell in Beziehung setzen. c. (+) Funktionen verketten. Wenn zum Beispiel T(y) die Temperatur in der Atmosphäre als Funktion der Höhe ist und h(t) die Höhe eines Wetterballons als Funktion der Zeit, dann ist T(h(t)) die Temperatur am Ort des Wetterballons als Funktion der Zeit. (unsere Übersetzung)

Schülerinnen und Schüler stellen explizite lineare Funktionen auf, um die Beziehung zwischen zwei Größen zu beschreiben. Sie bestimmen die Steigung zwischen zwei gegebenen Koordinaten oder ermitteln die passende Steigung, die benötigt wird, um die Gleichung einer parallelen Geraden durch einen vorgegebenen Punkt aufzustellen.

Ein häufiger Fehler tritt bei der Arbeit mit parallelen Geraden auf: Schülerinnen und Schüler verändern manchmal die Steigung – beispielsweise durch Invertieren oder Negieren –, anstatt sie unverändert beizubehalten. Ein weiterer häufiger Fehler unterläuft bei der Steigungsberechnung selbst, wenn das Verhältnis umgekehrt wird, indem die Änderungen von x über die Änderungen von y gesetzt werden, oder wenn die Koordinatenwerte beim Einsetzen in die Gleichung vertauscht werden.

Zu den Übungsaufgaben gehören Parallele Gerade durch einen Punkt, bei der eine bestehende lineare Gleichung und eine gegebene Koordinate genutzt werden, um eine neue parallele Gerade aufzustellen, sowie Lineare Funktion durch zwei Punkte, bei der die Änderungsrate zwischen zwei Koordinaten ermittelt wird, um die vollständige lineare Gleichung aufzustellen.

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Aufgabentypen: Lineare Funktion durch zwei Punkte · Parallele Gerade durch einen Punkt

Den Scheitelpunkt bestimmen und die Scheitelpunktform verwenden

Schülerinnen und Schüler lernen, quadratische Gleichungen in die Scheitelpunktform umzuformen, um den Scheitelpunkt, die Symmetrieachse sowie Maximal- oder Minimalwerte einer Parabel zu bestimmen.

Lehrplanpunkt HSF-IF.C.8 Eine durch einen Term definierte Funktion in verschiedenen, aber äquivalenten Formen schreiben, um verschiedene Eigenschaften der Funktion aufzuzeigen und zu erklären. a. Das Verfahren des Faktorisierens und der quadratischen Ergänzung bei einer quadratischen Funktion anwenden, um Nullstellen, Extremwerte und die Symmetrie des Graphen aufzuzeigen, und diese im Sachzusammenhang interpretieren. b. Die Eigenschaften von Potenzen anwenden, um Terme für Exponentialfunktionen zu interpretieren. Zum Beispiel die prozentuale Änderungsrate bei Funktionen wie y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10 bestimmen und diese als exponentielles Wachstum oder exponentiellen Zerfall klassifizieren. (unsere Übersetzung)

In der 11. Klasse nutzen Schülerinnen und Schüler algebraische Methoden wie die quadratische Ergänzung, um quadratische Funktionen in die Scheitelpunktform y = a(x − h)² + k umzuformen. Die Umwandlung in diese Form ermöglicht es ihnen, den Scheitelpunkt der Parabel bei (h, k) direkt zu bestimmen, die Symmetrieachse zu ermitteln und die Extremwerte der Funktion anzugeben (ob die Parabel nach oben geöffnet ist und ein Minimum besitzt oder nach unten geöffnet ist und ein Maximum besitzt).

Ein häufiger Fehler tritt bei der horizontalen Verschiebung innerhalb des quadrierten Terms auf. Da die Formel ein Minuszeichen enthält, lesen Lernende die Vorzeichen oft falsch ab und bestimmen den Scheitelpunkt von y = (x − 4)² + 3 fälschlicherweise als (−4, 3) statt als (4, 3). Fehler passieren auch, wenn der Leitkoeffizient a ungleich 1 ist und vergessen wird, diesen vor der quadratischen Ergänzung auszuklammern, oder die Gleichung nicht korrekt ausgeglichen wird.

Die Aufgaben auf den Arbeitsblättern konzentrieren sich auf die Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion und das Bestimmen des Scheitelpunkts einer Parabel. Die Schülerinnen und Schüler üben, Gleichungen Schritt für Schritt von der allgemeinen Form in die Scheitelpunktform umzuformen, die Koordinaten des Scheitelpunkts abzulesen und zu interpretieren, was dieser Extrempunkt darstellt.

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Aufgabentypen: Scheitelpunkt einer Parabel · Scheitelpunktform

Umrechnung zwischen Grad und Radiant

Schülerinnen und Schüler lernen, das Bogenmaß als Bogenlänge an einem Einheitskreis zu verstehen und Winkelmaße zwischen Grad und Bogenmaß umzurechnen.

Lehrplanpunkt HSF-TF.A.1 Das Bogenmaß eines Winkels als die Länge des Bogens auf dem Einheitskreis verstehen, der von dem Winkel eingeschlossen wird. (unsere Übersetzung)

In der 11. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler, dass das Bogenmaß eines Winkels der Länge des Kreisbogens entspricht, den er auf einem Einheitskreis ausschneidet. Anhand dieser Definition verknüpfen sie ihr Vorwissen über Winkelmaße in Grad mit diesem neuen Maßsystem und lernen, Winkelgrößen zwischen Grad und Bogenmaß hin und her umzurechnen.

Ein typischer Fehler tritt auf, wenn Lernende den Umrechnungsbruch vertauschen und mit π/180° multiplizieren, anstatt mit 180°/π zu multiplizieren. Zudem nehmen Schülerinnen und Schüler häufig fälschlicherweise an, dass ein Winkel nur dann im Bogenmaß angegeben ist, wenn er das Symbol π enthält, was zu Missverständnissen darüber führt, was das Bogenmaß auf dem Kreis tatsächlich darstellt.

Die Aufgaben zu dieser Kompetenz konzentrieren sich auf zwei verschiedene Arbeitsblattvorlagen: Grad in Bogenmaß, bei der in Grad angegebene Winkel in exakte Bogenmaße umgeschrieben werden, und Bogenmaß in Grad, bei der Bogenmaße wieder in Gradwerte umgerechnet werden.

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Aufgabentypen: Bogenmaß in Grad · Grad ins Bogenmaß

Bestimmung der Periode und Amplitude einer Sinuskurve

Schülerinnen und Schüler lernen, die Periode zu bestimmen und das Maximum oder die Amplitude einer Sinuskurve zu ermitteln, um periodische Muster zu modellieren.

Lehrplanpunkt HSF-TF.B.5 Trigonometrische Funktionen auswählen, um periodische Phänomene mit vorgegebener Amplitude, Frequenz und Mittellinie zu modellieren. ★ (unsere Übersetzung)

In der 11. Klasse untersuchen Schülerinnen und Schüler die Graphen periodischer Funktionen, um sich wiederholende Zyklen zu modellieren. Sie bestimmen die wesentlichen geometrischen Merkmale einer Sinuskurve, indem sie deren Periode – die horizontale Länge eines vollständigen Zyklus – ermitteln und den Maximalwert der Kurve bestimmen, um ihre Amplitude festzulegen.

Ein häufiger Fehler besteht darin, die gesamte vertikale Höhe der Welle mit ihrer Amplitude zu verwechseln. Schülerinnen und Schüler messen oft vom tiefsten Wellental bis zum Wellenberg und vergessen dabei, dass die Amplitude von der Mittellinie bis zum Hochpunkt gemessen wird. Ein weiteres häufiges Versehen passiert beim Messen der Periode: Oft wird der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Nullstellen genommen, was jedoch nur eine halbe Welle anstelle eines vollständigen Zyklus erfasst.

Die Aufgaben der Arbeitsblätter konzentrieren sich direkt auf diese visuellen Merkmale. Unter Maximum einer Sinuskurve lesen die Schülerinnen und Schüler eine grafisch dargestellte Welle ab, um den höchsten Wert zu ermitteln, den sie entlang der vertikalen Achse erreicht. Bei Periode einer Sinuskurve untersuchen sie die horizontale Achse, um den genauen Abstand von einem Wellenberg zum nächsten zu messen.

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Aufgabentypen: Maximum einer Sinuskurve · Periode einer Sinuskurve

Bestimmung von Koeffizienten in Binomialentwicklungen

Schülerinnen und Schüler lernen, mithilfe des binomischen Lehrsatzes oder des Pascalschen Dreiecks bestimmte Koeffizienten in Ausdrücken der Form (x + c)ⁿ für positive ganzzahlige Potenzen zu bestimmen.

Lehrplanpunkt HSA-APR.C.5 (+) Den binomischen Lehrsatz für die Entwicklung von (x + y)n nach Potenzen von x und y für eine positive ganze Zahl n kennen und anwenden, wobei x und y beliebige Zahlen sind, mit Koeffizienten, die beispielsweise durch das Pascalsche Dreieck bestimmt werden. (unsere Übersetzung)

Schülerinnen und Schüler lernen, Terme in Ausdrücken der Form (x + c)ⁿ zu bestimmen, wobei n eine positive ganze Zahl und c eine konstante Zahl ist. Mithilfe des Binomischen Lehrsatzes oder der Zeilen des Pascalschen Dreiecks bestimmen sie den numerischen Koeffizienten jeder vorgegebenen Potenz von x, ohne das Binom wiederholt von Hand ausmultiplizieren zu müssen.

Ein häufiger Fehler unterläuft Schülerinnen und Schülern, wenn sie den konstanten Wert c übersehen. Oft bestimmen sie die kombinatorische Zahl aus dem Pascalschen Dreieck korrekt, vergessen jedoch, c mit der entsprechenden Potenz zu potenzieren, oder machen Fehler bei negativen Vorzeichen, wenn c negativ ist, was zu einem falschen Endergebnis für den Koeffizienten führt.

Die Aufgaben auf den Arbeitsblättern konzentrieren sich direkt auf das Bestimmen eines einzelnen Koeffizienten in einer binomischen Entwicklung. Beispielsweise erhalten Schülerinnen und Schüler einen Ausdruck wie (x + 3)⁵ und werden aufgefordert, den Koeffizienten des x²-Terms zu berechnen.

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Horizontale und vertikale Verschiebung von Graphen

Schülerinnen und Schüler lernen, Funktionsgraphen durch Änderung der Gleichung nach oben, unten, links und rechts zu verschieben und den Verschiebungswert anhand eines Graphen zu bestimmen.

Lehrplanpunkt HSF-BF.B.3 Die Auswirkung auf den Graphen beim Ersetzen von f(x) durch f(x) + k, k f(x), f(kx) und f(x + k) für bestimmte Werte von k (sowohl positive als auch negative) bestimmen; den Wert von k anhand der Graphen ermitteln. Mit Fällen experimentieren und eine Erklärung der Auswirkungen auf den Graphen mithilfe von Technologie veranschaulichen. Das Erkennen gerader und ungerader Funktionen anhand ihrer Graphen und algebraischer Ausdrücke für diese einbeziehen. (unsere Übersetzung)

In der 11. Klasse verknüpfen Schülerinnen und Schüler Änderungen in einer Gleichung mit den entsprechenden Verschiebungen ihres Graphen im Koordinatensystem. Durch die Arbeit mit bestimmten positiven und negativen Werten von k lernen sie, dass das Ersetzen von f(x) durch f(x) + k die Kurve vertikal nach oben oder unten verschiebt, während das Ersetzen durch f(x + k) die Kurve horizontal nach links oder rechts verschiebt. Sie analysieren auch Graphen, um den genauen numerischen Wert von k zu bestimmen.

Ein häufiger Fehler tritt bei horizontalen Verschiebungen auf. Schülerinnen und Schüler nehmen oft fälschlicherweise an, dass f(x + 3) einen Graphen um drei Einheiten nach rechts zu den positiven Zahlen hin verschiebt, anstatt um drei Einheiten nach links. Schülerinnen und Schüler verwechseln außerdem Operationen, die innerhalb des Funktionsarguments angewendet werden, wie f(x + k), mit Operationen, die auf die gesamte Funktionsausgabe angewendet werden, wie f(x) + k.

Das Üben mit Arbeitsblättern zum Verschieben eines Graphen zeigt den Schülerinnen und Schülern eine Ausgangskurve zusammen mit einer verschobenen Kurve. Die Schülerinnen und Schüler zählen die entlang der x- oder y-Achse verschobenen Einheiten, um den Wert von k zu bestimmen und den neuen Funktionsterm aufzustellen, oder sie zeichnen ausgehend von einer gegebenen Funktionsgleichung die resultierende Verschiebung.

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Bestimmen der durchschnittlichen Änderungsrate

Die Schülerinnen und Schüler lernen, die mittlere Änderungsrate einer Funktion aus einer Gleichung oder Tabelle über einem gegebenen Intervall zu berechnen und zu interpretieren sowie anhand eines Graphen abzuschätzen.

Lehrplanpunkt HSF-IF.B.6 Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion (symbolisch oder als Tabelle dargestellt) über einem vorgegebenen Intervall berechnen und interpretieren. Die Änderungsrate anhand eines Graphen schätzen. ★ (unsere Übersetzung)

In der 11. Klasse bestimmen die Schülerinnen und Schüler, wie schnell eine Funktion über ein bestimmtes Intervall ansteigt oder abfällt. Sie berechnen die mittlere Änderungsrate anhand von Funktionen, die als algebraische Formeln (symbolisch) oder als Wertetabellen gegeben sind, und schätzen diese Rate visuell ab, indem sie Punkte aus einem Graphen ablesen. Zudem lernen sie zu interpretieren, was diese Änderungsrate in realen Kontexten bedeutet.

Ein häufiger Fehler tritt auf, wenn Schülerinnen und Schüler die Berechnung umkehren, indem sie die Änderung der Eingabewerte durch die Änderung der Ausgabewerte dividieren, anstatt die Änderung der Funktionswerte durch die Intervalllänge zu teilen. Ein weiteres häufiges Problem besteht darin, lediglich die Gesamtänderung zwischen den beiden Endpunkten zu ermitteln und zu vergessen, durch die Differenz der Eingabewerte zu dividieren.

Arbeitsblattaufgaben aus der Vorlage Mittlere Änderungsrate stellen den Schülerinnen und Schülern ein vorgegebenes Intervall zusammen mit einer Funktionsgleichung, einer Datentabelle oder einer grafisch dargestellten Kurve bereit. Die Schülerinnen und Schüler bestimmen die Funktionswerte an den Endpunkten des Intervalls, dividieren die vertikale Änderung durch die horizontale Änderung und geben die endgültige Rate als vereinfachten Wert oder als Rate mit Einheiten an.

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Kombinieren von Funktionen durch Komposition

Schülerinnen und Schüler lernen, verkettete Funktionen auszuwerten und aufzustellen, indem sie die Ausgabe einer Funktion als Eingabe für eine andere verwenden.

In der 11. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler, zwei mathematische Vorschriften so zu verknüpfen, dass der Ausgabewert einer Funktion als Eingabewert für die nächste dient, geschrieben als f(g(x)). Sie stellen explizite Terme für diese zusammengesetzten Funktionen auf und interpretieren sie in anwendungsbezogenen Modellen, wie beispielsweise der Verknüpfung von Zeit und Temperatur über eine sich verändernde Höhe.

Eine typische Schwierigkeit besteht darin, die Reihenfolge zu vertauschen: Lernende werten häufig die äußere Funktion zuerst aus und berechnen g(f(x)) statt f(g(x)), oder sie verwechseln die Funktionsverkettung mit der Multiplikation, indem sie (f ∘ g)(x) als f(x) · g(x) behandeln. Beim Einsetzen eines algebraischen Ausdrucks in die äußere Funktionsgleichung wird zudem oft vergessen, den inneren Ausdruck einzuklammern, was zu Vorzeichen- und Exponentenfehlern führt.

Aufgaben, die aus der Vorlage Verkettung von Funktionen generiert werden, geben Paare von Funktionsgleichungen vor – wie etwa lineare, quadratische oder rationale Funktionen – und fordern dazu auf, den verketteten Funktionsterm f(g(x)) zu bestimmen oder die verkettete Funktion für einen bestimmten Zahlenwert zu berechnen.

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Bestimmen der Umkehrfunktion einer linearen Funktion

Schülerinnen und Schüler lernen, die algebraische Umkehrfunktion einer linearen Funktion zu bestimmen, indem sie deren Rechenoperationen umkehren und nach der Eingangsvariable auflösen.

Lehrplanpunkt HSF-BF.B.4 Umkehrfunktionen bestimmen. a. Eine Gleichung der Form f(x) = c für eine einfache Funktion f, die eine Umkehrfunktion besitzt, lösen und einen Term für die Umkehrfunktion angeben. Zum Beispiel f(x) =2 x3 oder f(x) = (x+1)/(x–1) für x ≠ 1. b. (+) Durch Verkettung nachweisen, dass eine Funktion die Umkehrfunktion einer anderen ist. c. (+) Werte einer Umkehrfunktion aus einem Graphen oder einer Tabelle ablesen, vorausgesetzt, dass die Funktion eine Umkehrfunktion besitzt. d. (+) Durch Einschränken des Definitionsbereichs aus einer nicht umkehrbaren Funktion eine umkehrbare Funktion bilden. (unsere Übersetzung)

Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit linearen Gleichungen in Funktionsschreibweise, wie z. B. f(x) = 3x + 4 oder f(x) = -2x - 7. In dieser Phase lernen sie, die auf die Eingangsvariable angewendeten Operationen umzukehren, indem sie die Funktion gleich einem Ausgabewert setzen und nach x auflösen. Dadurch können sie eine eindeutige Formel für die Umkehrfunktion aufstellen, die typischerweise als f⁻¹(x) dargestellt wird.

Ein häufiger Fehler ist die Verwechslung einer Umkehrfunktion mit dem Kehrwert, was dazu führt, dass f⁻¹(x) fälschlicherweise als 1/f(x) interpretiert wird. Ein weiteres wiederkehrendes Versehen geschieht beim mehrschrittigen algebraischen Isolieren: Beim Dividieren durch den Steigungskoeffizienten teilen Schülerinnen und Schüler oft nur einen Term anstatt der gesamten Seite der Gleichung und schreiben x/3 + 4 statt (x - 4)/3.

Auf den druckbaren Arbeitsblättern zur Vorlage Umkehrfunktion einer linearen Funktion stellen die Aufgaben eine lineare Zuordnungsvorschrift mit ganzzahligen oder gebrochenen Koeffizienten dar und fordern dazu auf, die entsprechende Umkehrgleichung zu bestimmen. Die Schülerinnen und Schüler üben, die Rollen der Eingangs- und Ausgangsvariablen zu vertauschen und die neue abhängige Variable mithilfe von Umkehroperationen zu isolieren.

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Lösen quadratischer Gleichungen mit komplexen Wurzeln

Schülerinnen und Schüler lernen, quadratische Gleichungen mit reellen Koeffizienten, die komplexe Lösungen haben, mithilfe der imaginären Einheit zu lösen.

Lehrplanpunkt HSN-CN.C.7 Quadratische Gleichungen mit reellen Koeffizienten, die komplexe Lösungen haben, lösen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSN-CN.C.8 (+) Polynomidentitäten auf die komplexen Zahlen erweitern. Zum Beispiel x2 + 4 als (x + 2i)(x – 2i) umschreiben. (unsere Übersetzung)

In der 11. Klasse lösen Schülerinnen und Schüler quadratische Gleichungen mit reellen Koeffizienten, bei denen die Lösungen keine reellen Zahlen sind. Bei der Arbeit mit Gleichungen wie x² + 4 = 0 oder bei der Anwendung der Lösungsformel für quadratische Gleichungen mit negativer Diskriminante drücken sie die Quadratwurzeln negativer Zahlen mithilfe der imaginären Einheit i aus. Sie können komplexe Zahlen auch verwenden, um Ausdrücke zu faktorisieren, die über den reellen Zahlen nicht zerlegbar sind, indem sie Formen wie x² + 4 als (x + 2i)(x – 2i) umschreiben.

Ein häufiger Fehler unterläuft beim Vereinfachen der Quadratwurzel eines negativen Wertes unter dem Wurzelzeichen. Lernende lassen oft das Minuszeichen komplett weg oder behandeln es wie ein gewöhnliches negatives Ergebnis – beispielsweise, indem sie die Quadratwurzel aus –16 als –4 statt als 4i angeben. Eine weitere häufige Hürde besteht darin, zu vergessen, dass komplexe Lösungen beim Lösen quadratischer Gleichungen mit reellen Koeffizienten immer als konjugierte Paare auftreten.

Aufgaben aus der Vorlage Quadratische Gleichung mit komplexen Lösungen stellen Gleichungen wie x² + 2x + 5 = 0 bereit. Die Schülerinnen und Schüler wenden algebraische Methoden wie die Lösungsformel oder die quadratische Ergänzung an, um beide komplexen Lösungen zu ermitteln, und geben ihre Endergebnisse in der Standardform a ± bi an.

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Koeffizient in der binomischen Entwicklung

Mathematik — Klasse 11

Was lernen Schüler in der 11. Klasse in Mathematik?

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