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Programma scolastico (Stati Uniti)

Matematica — classe 11ª

Matematica per l'11° anno secondo i Common Core State Standards, solitamente Algebra II: divisione tra polinomi, espressioni ed equazioni razionali, numeri complessi, teorema binomiale, misura in radianti e funzioni periodiche. Ogni argomento include schede didattiche stampabili.

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Cosa imparano gli studenti in matematica all'11° anno?

Nell'11ª classe gli studenti dividono polinomi, semplificano espressioni razionali e risolvono equazioni razionali. Eseguono calcoli con i numeri complessi e risolvono equazioni di secondo grado con radici complesse, sviluppano potenze con il teorema binomiale e trasformano grafici di funzioni. La misura in radianti e le funzioni periodiche preparano alla trigonometria del precalcolo.

Informazioni sugli standard: gli standard del Common Core per la scuola secondaria di secondo grado sono organizzati per categoria concettuale (Numero e Quantità, Algebra, Funzioni, Geometria, Statistica e Probabilità), non per classe. L'assegnazione di un argomento a una determinata classe è una nostra scelta, che segue la consueta sequenza di corsi: Algebra I, Geometria, Algebra II e Precalcolo. Gli standard contrassegnati con (+) vanno oltre le competenze essenziali per la preparazione universitaria e professionale.

Stato della pagina: gli argomenti di questo anno scolastico sono pronti sotto forma di semplici esercizi (consegna e formula); i problemi con diagrammi e i problemi a parole verranno aggiunti in seguito.

Ambito del programma

  1. Punto del programma HSN-CN · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Il sistema dei numeri complessi

    nostra traduzione · testo originale (EN): The Complex Number System

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Complex Number System (HSN-CN)

  2. Punto del programma HSN-CN.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Eseguire operazioni aritmetiche con i numeri complessi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Perform arithmetic operations with complex numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster A

  3. Punto del programma HSN-CN.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare i numeri complessi nelle identità polinomiali e nelle equazioni.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use complex numbers in polynomial identities and equations.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster C

  4. Punto del programma HSN-CN.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Sapere che esiste un numero complesso i tale che i2 = –1, e ogni numero complesso ha la forma a + bi con a e b reali.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Know there is a complex number i such that i2 = –1, and every complex number has the form a + bi with a and b real.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.1

    Sommare, moltiplicare e lavorare con i numeri complessi (da noi in classe 11)

  5. Punto del programma HSN-CN.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare la relazione i2 = –1 e le proprietà commutativa, associativa e distributiva per addizionare, sottrarre e moltiplicare numeri complessi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use the relation i2 = –1 and the commutative, associative, and distributive properties to add, subtract, and multiply complex numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.2

    Sommare, moltiplicare e lavorare con i numeri complessi (da noi in classe 11)

  6. Punto del programma HSN-CN.C.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Risolvere equazioni di secondo grado a coefficienti reali che hanno soluzioni complesse.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Solve quadratic equations with real coefficients that have complex solutions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.7

    Risoluzione di equazioni di secondo grado con radici complesse (da noi in classe 11)

  7. Punto del programma HSN-CN.C.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Estendere le identità polinomiali ai numeri complessi. Ad esempio, riscrivere x2 + 4 come (x + 2i)(x – 2i).

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Extend polynomial identities to the complex numbers. For example, rewrite x2 + 4 as (x + 2i)(x – 2i).

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.8

    Risoluzione di equazioni di secondo grado con radici complesse (da noi in classe 11)

  8. Punto del programma HSN-CN.C.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Conoscere il teorema fondamentale dell'algebra; mostrare che è vero per i polinomi di secondo grado.

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Know the Fundamental Theorem of Algebra; show that it is true for quadratic polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.9

  9. Punto del programma HSA-SSE · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Vedere la struttura nelle espressioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Seeing Structure in Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)

  10. Punto del programma HSA-SSE.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare la struttura delle espressioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret the structure of expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A

  11. Punto del programma HSA-SSE.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Scrivere espressioni in forme equivalenti per risolvere problemi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B

  12. Punto del programma HSA-SSE.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare espressioni che rappresentano una quantità in termini del suo contesto.★ a. Interpretare parti di un'espressione, come termini, fattori e coefficienti. b. Interpretare espressioni complicate considerando una o più delle loro parti come una singola entità. Per esempio, interpretare P(1+r)n come il prodotto di P e di un fattore non dipendente da P.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1

  13. Punto del programma HSA-SSE.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare la struttura di un'espressione per individuare modi per riscriverla. Per esempio, vedere x4 – y4 come (x2)2 – ( y2)2, riconoscendola così come una differenza di quadrati che può essere scomposta in fattori come (x2 – y2)(x2 + y2).

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

    Utilizzo delle formule dei prodotti notevoli (da noi in classe 9-11) · Scomposizione di polinomi con raccoglimento e cubi (da noi in classe 9-11)

  14. Punto del programma HSA-SSE.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Ricavare la formula per la somma di una serie geometrica finita (quando la ragione non è 1) e utilizzare la formula per risolvere problemi. Ad esempio, calcolare le rate del mutuo.★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Derive the formula for the sum of a finite geometric series (when the common ratio is not 1), and use the formula to solve problems. For example, calculate mortgage payments.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.B.4

    Determinare l'n-esimo termine e la somma di una progressione geometrica (da noi in classe 9-11)

  15. Punto del programma HSA-APR · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Aritmetica con polinomi ed espressioni razionali

    nostra traduzione · testo originale (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)

  16. Punto del programma HSA-APR.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Eseguire operazioni aritmetiche sui polinomi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A

  17. Punto del programma HSA-APR.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere la relazione tra zeri e fattori dei polinomi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand the relationship between zeros and factors of polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster B

  18. Punto del programma HSA-APR.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare le identità polinomiali per risolvere problemi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use polynomial identities to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster C

  19. Punto del programma HSA-APR.D · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Riscrivere espressioni razionali

    nostra traduzione · testo originale (EN): Rewrite rational expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster D

  20. Punto del programma HSA-APR.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere che i polinomi formano un sistema analogo a quello dei numeri interi, ossia che sono chiusi rispetto alle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione; addizionare, sottrarre e moltiplicare polinomi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1

  21. Punto del programma HSA-APR.B.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Conoscere e applicare il teorema del resto: per un polinomio p(x) e un numero a, il resto della divisione per x – a è p(a), quindi p(a) = 0 se e solo se (x – a) è un fattore di p(x).

    nostra traduzione · testo originale (EN): Know and apply the Remainder Theorem: For a polynomial p(x) and a number a, the remainder on division by x – a is p(a), so p(a) = 0 if and only if (x – a) is a factor of p(x).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.B.2

    Divisione tra polinomi e il teorema del resto (da noi in classe 11)

  22. Punto del programma HSA-APR.B.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Identificare gli zeri dei polinomi quando sono disponibili opportune fattorizzazioni, e utilizzare gli zeri per costruire un grafico approssimativo della funzione definita dal polinomio.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Identify zeros of polynomials when suitable factorizations are available, and use the zeros to construct a rough graph of the function defined by the polynomial.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.B.3

  23. Punto del programma HSA-APR.C.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dimostrare identità polinomiali e utilizzarle per descrivere relazioni numeriche. Ad esempio, l'identità polinomiale (x2 + y2)2 = ( x2 – y2)2 + (2xy)2 può essere utilizzata per generare terne pitagoriche.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Prove polynomial identities and use them to describe numerical relationships. For example, the polynomial identity (x2 + y2)2 = ( x2 – y2)2 + (2xy)2 can be used to generate Pythagorean triples.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.C.4

  24. Punto del programma HSA-APR.C.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Conoscere e applicare il teorema del binomio per lo sviluppo di (x + y)n in potenze di x e y per un intero positivo n, dove x e y sono numeri qualsiasi, con coefficienti determinati ad esempio dal triangolo di Pascal.

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Know and apply the Binomial Theorem for the expansion of (x + y)n in powers of x and y for a positive integer n, where x and y are any numbers, with coefficients determined for example by Pascal’s Triangle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.C.5

    Trovare i coefficienti negli sviluppi binomiali (da noi in classe 11)

  25. Punto del programma HSA-APR.D.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Riscrivere semplici espressioni razionali in forme diverse; scrivere a(x)/b(x) nella forma q(x) + r(x)/b(x), dove a(x), b(x), q(x) e r(x) sono polinomi con il grado di r(x) minore del grado di b(x), mediante ispezione, divisione lunga o, per gli esempi più complessi, un sistema di algebra computazionale.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Rewrite simple rational expressions in different forms; write a(x)/b(x) in the form q(x) + r(x)/b(x), where a(x), b(x), q(x), and r(x) are polynomials with the degree of r(x) less than the degree of b(x), using inspection, long division, or, for the more complicated examples, a computer algebra system.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.D.6

    Divisione tra polinomi e il teorema del resto (da noi in classe 11) · Moltiplicazione e sottrazione di espressioni razionali (da noi in classe 11)

  26. Punto del programma HSA-APR.D.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Comprendere che le espressioni razionali formano un sistema analogo ai numeri razionali, chiuso rispetto ad addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione per un'espressione razionale diversa da zero; sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere espressioni razionali.

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Understand that rational expressions form a system analogous to the rational numbers, closed under addition, subtraction, multiplication, and division by a nonzero rational expression; add, subtract, multiply, and divide rational expressions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.D.7

  27. Punto del programma HSA-CED · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Creare equazioni★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Creating Equations★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)

  28. Punto del programma HSA-CED.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Creare equazioni che descrivono numeri o relazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Create equations that describe numbers or relationships

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A

  29. Punto del programma HSA-CED.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Creare equazioni e disequazioni in una variabile e utilizzarle per risolvere problemi. Includere equazioni derivanti da funzioni lineari e quadratiche, e semplici funzioni razionali ed esponenziali.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1

  30. Punto del programma HSA-CED.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Creare equazioni in due o più variabili per rappresentare relazioni tra grandezze; rappresentare graficamente equazioni su assi coordinati con etichette e scale.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2

  31. Punto del programma HSA-CED.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rappresentare vincoli mediante equazioni o disequazioni, e mediante sistemi di equazioni e/o disequazioni, e interpretare le soluzioni come opzioni praticabili o non praticabili in un contesto di modellizzazione. Per esempio, rappresentare disequazioni che descrivono vincoli nutrizionali e di costo su combinazioni di alimenti diversi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3

  32. Punto del programma HSA-CED.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Riorganizzare formule per evidenziare una grandezza di interesse, utilizzando lo stesso ragionamento impiegato nella risoluzione delle equazioni. Per esempio, riorganizzare la legge di Ohm V = IR per evidenziare la resistenza R.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4

  33. Punto del programma HSA-REI · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Ragionamento con equazioni e disequazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)

  34. Punto del programma HSA-REI.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere la risoluzione di equazioni come un processo di ragionamento e spiegare il ragionamento

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A

  35. Punto del programma HSA-REI.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Risolvere sistemi di equazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Solve systems of equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C

  36. Punto del programma HSA-REI.D · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rappresentare e risolvere equazioni e disequazioni graficamente

    nostra traduzione · testo originale (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D

  37. Punto del programma HSA-REI.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Risolvere semplici equazioni fratte e irrazionali in una variabile e fornire esempi che mostrino come possano presentarsi soluzioni estranee.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Solve simple rational and radical equations in one variable, and give examples showing how extraneous solutions may arise.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.A.2

    Risolvere equazioni razionali e irrazionali (da noi in classe 11)

  38. Punto del programma HSA-REI.D.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Spiegare perché le coordinate x dei punti in cui i grafici delle equazioni y = f(x) e y = g(x) si intersecano sono le soluzioni dell'equazione f(x) = g(x); trovare le soluzioni approssimativamente, ad es. utilizzando la tecnologia per rappresentare graficamente le funzioni, creare tabelle di valori o trovare approssimazioni successive. Includere casi in cui f(x) e/o g(x) sono funzioni lineari, polinomiali, razionali, con valore assoluto, esponenziali e logaritmiche.★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11

  39. Punto del programma HSF-IF · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare funzioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpreting Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)

  40. Punto del programma HSF-IF.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare funzioni che si presentano nelle applicazioni in termini del contesto

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B

  41. Punto del programma HSF-IF.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Analizzare funzioni utilizzando diverse rappresentazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Analyze functions using different representations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C

  42. Punto del programma HSF-IF.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Per una funzione che modella una relazione tra due grandezze, interpretare le caratteristiche chiave di grafici e tabelle in termini delle grandezze, e tracciare grafici che mostrino le caratteristiche chiave data una descrizione verbale della relazione. Le caratteristiche chiave includono: intercette; intervalli in cui la funzione è crescente, decrescente, positiva o negativa; massimi e minimi relativi; simmetrie; comportamento all'infinito; e periodicità .★

    nostra traduzione · testo originale (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4

  43. Punto del programma HSF-IF.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Mettere in relazione il dominio di una funzione con il suo grafico e, ove applicabile, con la relazione quantitativa che descrive. Per esempio, se la funzione h(n) fornisce il numero di ore-persona necessarie per assemblare n motori in una fabbrica, allora gli interi positivi sarebbero un dominio appropriato per la funzione. ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5

  44. Punto del programma HSF-IF.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Calcolare e interpretare il tasso medio di variazione di una funzione (presentata simbolicamente o come tabella) in un intervallo specificato. Stimare il tasso di variazione da un grafico. ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

    Calcolare il tasso medio di variazione (da noi in classe 9-11)

  45. Punto del programma HSF-IF.C.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rappresentare graficamente funzioni espresse simbolicamente e mostrare le caratteristiche fondamentali del grafico, a mano nei casi semplici e utilizzando la tecnologia per i casi più complessi. ★ a. Rappresentare graficamente funzioni lineari e quadratiche e mostrare intercette, massimi e minimi. b. Rappresentare graficamente funzioni radice quadrata, radice cubica e definite a tratti, incluse le funzioni a gradino e le funzioni valore assoluto. c. Rappresentare graficamente funzioni polinomiali, identificando gli zeri quando sono disponibili opportune fattorizzazioni e mostrando il comportamento all'infinito. d. (+) Rappresentare graficamente funzioni razionali, identificando gli zeri e gli asintoti quando sono disponibili opportune fattorizzazioni e mostrando il comportamento all'infinito. e. Rappresentare graficamente funzioni esponenziali e logaritmiche, mostrando intercette e comportamento all'infinito, e funzioni trigonometriche, mostrando periodo, linea mediana e ampiezza.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7

  46. Punto del programma HSF-IF.C.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Scrivere una funzione definita da un'espressione in forme diverse ma equivalenti per rivelare e spiegare diverse proprietà della funzione. a. Utilizzare il processo di scomposizione in fattori e di completamento del quadrato in una funzione quadratica per mostrare gli zeri, i valori estremi e la simmetria del grafico, e interpretarli rispetto a un contesto. b. Utilizzare le proprietà degli esponenti per interpretare espressioni di funzioni esponenziali. Ad esempio, individuare il tasso percentuale di variazione in funzioni come y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, e classificarle come rappresentanti una crescita o un decadimento esponenziale.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

    Trovare il vertice e usare la forma vertice (da noi in classe 9-11)

  47. Punto del programma HSF-IF.C.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Confrontare le proprietà di due funzioni ciascuna rappresentata in modo diverso (algebricamente, graficamente, numericamente in tabelle o mediante descrizioni verbali). Ad esempio, dato il grafico di una funzione quadratica e l'espressione algebrica di un'altra, dire quale ha il massimo maggiore.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9

  48. Punto del programma HSF-BF · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire funzioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Building Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)

  49. Punto del programma HSF-BF.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire una funzione che modelli una relazione tra due grandezze

    nostra traduzione · testo originale (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A

  50. Punto del programma HSF-BF.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire nuove funzioni a partire da funzioni esistenti

    nostra traduzione · testo originale (EN): Build new functions from existing functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B

  51. Punto del programma HSF-BF.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Scrivere una funzione che descrive una relazione tra due grandezze.★ a. Determinare un'espressione esplicita, un processo ricorsivo o passaggi di calcolo a partire da un contesto. b. Combinare tipi standard di funzioni utilizzando le operazioni aritmetiche. Per esempio, costruire una funzione che modella la temperatura di un corpo in raffreddamento sommando una funzione costante a un esponenziale decrescente, e mettere in relazione queste funzioni con il modello. c. (+) Comporre funzioni. Per esempio, se T(y) è la temperatura nell'atmosfera in funzione dell'altezza, e h(t) è l'altezza di un pallone meteorologico in funzione del tempo, allora T(h(t)) è la temperatura nella posizione del pallone meteorologico in funzione del tempo.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

    Scrivere le equazioni di rette e rette parallele (da noi in classe 9-11) · Combinare le funzioni per composizione (da noi in classe 9-11)

  52. Punto del programma HSF-BF.B.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Identificare l'effetto sul grafico della sostituzione di f(x) con f(x) + k, k f(x), f(kx) e f(x + k) per valori specifici di k (sia positivi sia negativi); trovare il valore di k dati i grafici. Sperimentare con diversi casi e illustrare una spiegazione degli effetti sul grafico mediante l'uso della tecnologia. Includere il riconoscimento di funzioni pari e dispari a partire dai loro grafici e dalle loro espressioni algebriche.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

    Traslazione orizzontale e verticale dei grafici (da noi in classe 9-11)

  53. Punto del programma HSF-BF.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Trovare funzioni inverse. a. Risolvere un'equazione della forma f(x) = c per una funzione semplice f che ha un'inversa e scrivere un'espressione per l'inversa. Per esempio, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) per x ≠ 1. b. (+) Verificare mediante composizione che una funzione è l'inversa di un'altra. c. (+) Leggere i valori di una funzione inversa da un grafico o da una tabella, dato che la funzione ha un'inversa. d. (+) Produrre una funzione invertibile da una funzione non invertibile restringendo il dominio.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

    Trovare l'inversa di una funzione lineare (da noi in classe 9-11)

  54. Punto del programma HSF-LE · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Modelli lineari, quadratici ed esponenziali★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)

  55. Punto del programma HSF-LE.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire e confrontare modelli lineari, quadratici ed esponenziali e risolvere problemi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A

  56. Punto del programma HSF-LE.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Per i modelli esponenziali, esprimere come logaritmo la soluzione di abct = d dove a, c e d sono numeri e la base b è 2, 10 o e; calcolare il logaritmo utilizzando la tecnologia.

    nostra traduzione · testo originale (EN): For exponential models, express as a logarithm the solution to abct = d where a, c, and d are numbers and the base b is 2, 10, or e; evaluate the logarithm using technology.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.4

  57. Punto del programma HSF-TF · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Funzioni trigonometriche

    nostra traduzione · testo originale (EN): Trigonometric Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Trigonometric Functions (HSF-TF)

  58. Punto del programma HSF-TF.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Estendere il dominio delle funzioni trigonometriche utilizzando la circonferenza goniometrica

    nostra traduzione · testo originale (EN): Extend the domain of trigonometric functions using the unit circle

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster A

  59. Punto del programma HSF-TF.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Modellizzare fenomeni periodici con funzioni trigonometriche

    nostra traduzione · testo originale (EN): Model periodic phenomena with trigonometric functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster B

  60. Punto del programma HSF-TF.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dimostrare e applicare identità trigonometriche

    nostra traduzione · testo originale (EN): Prove and apply trigonometric identities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster C

  61. Punto del programma HSF-TF.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere la misura in radianti di un angolo come la lunghezza dell'arco sulla circonferenza unitaria sotteso dall'angolo.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand radian measure of an angle as the length of the arc on the unit circle subtended by the angle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.1

    Conversione tra gradi e radianti (da noi in classe 11)

  62. Punto del programma HSF-TF.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Spiegare come la circonferenza goniometrica nel piano cartesiano consenta l'estensione delle funzioni trigonometriche a tutti i numeri reali, interpretati come misure in radianti di angoli percorsi in senso antiorario attorno alla circonferenza goniometrica.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Explain how the unit circle in the coordinate plane enables the extension of trigonometric functions to all real numbers, interpreted as radian measures of angles traversed counterclockwise around the unit circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.2

  63. Punto del programma HSF-TF.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Scegliere funzioni trigonometriche per modellizzare fenomeni periodici con ampiezza, frequenza e linea mediana specificate. ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Choose trigonometric functions to model periodic phenomena with specified amplitude, frequency, and midline. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.5

    Determinare il periodo e l'ampiezza di una curva sinusoidale (da noi in classe 11)

  64. Punto del programma HSF-TF.C.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dimostrare l'identità pitagorica sin2(θ) + cos2(θ) = 1 e usarla per trovare sin(θ), cos(θ) o tan(θ) dati sin(θ), cos(θ) o tan(θ) e il quadrante dell'angolo.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Prove the Pythagorean identity sin2(θ) + cos2(θ) = 1 and use it to find sin(θ), cos(θ), or tan(θ) given sin(θ), cos(θ), or tan(θ) and the quadrant of the angle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.C.8

  65. Punto del programma HSF-TF.C.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Dimostrare le formule di addizione e sottrazione per seno, coseno e tangente e utilizzarle per risolvere problemi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Prove the addition and subtraction formulas for sine, cosine, and tangent and use them t o solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.C.9

  66. Punto del programma HSG-GPE · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Esprimere proprietà geometriche con equazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)

  67. Punto del programma HSG-GPE.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Tradurre tra la descrizione geometrica e l'equazione di una sezione conica

    nostra traduzione · testo originale (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A

  68. Punto del programma HSG-GMD · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Misura geometrica e dimensione

    nostra traduzione · testo originale (EN): Geometric Measurement and Dimension

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)

  69. Punto del programma HSG-GMD.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Spiegare le formule del volume e utilizzarle per risolvere problemi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A

  70. Punto del programma HSS-ID · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare dati categorici e quantitativi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)

  71. Punto del programma HSS-ID.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Sintetizzare, rappresentare e interpretare dati relativi a una singola variabile di conteggio o di misura

    nostra traduzione · testo originale (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A

  72. Punto del programma HSS-ID.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare la media e la deviazione standard di un insieme di dati per adattarlo a una distribuzione normale e per stimare le percentuali della popolazione. Riconoscere che vi sono insiemi di dati per i quali tale procedura non è appropriata. Utilizzare calcolatrici, fogli di calcolo e tabelle per stimare le aree sotto la curva normale.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use the mean and standard deviation of a data set to fit it to a normal distribution and to estimate population percentages. Recognize that there are data sets for which such a procedure is not appropriate. Use calculators, spreadsheets, and tables to estimate areas under the normal curve.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.4

  73. Punto del programma HSS-IC · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Trarre inferenze e giustificare conclusioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Making Inferences and Justifying Conclusions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Making Inferences and Justifying Conclusions (HSS-IC)

  74. Punto del programma HSS-IC.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere e valutare i processi casuali alla base di esperimenti statistici

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand and evaluate random processes underlying statistical experiments

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, cluster A

  75. Punto del programma HSS-IC.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Trarre inferenze e giustificare conclusioni da indagini campionarie, esperimenti e studi osservazionali

    nostra traduzione · testo originale (EN): Make inferences and justify conclusions from sample surveys, experiments, and observational studies

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, cluster B

  76. Punto del programma HSS-IC.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere la statistica come un processo per trarre inferenze sui parametri di una popolazione sulla base di un campione casuale estratto da tale popolazione.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand statistics as a process for making inferences about population parameters based on a random sample from that population.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.A.1

  77. Punto del programma HSS-IC.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Decidere se un modello specificato è coerente con i risultati di un dato processo di generazione dei dati, ad es. utilizzando una simulazione. Ad esempio, un modello afferma che una moneta che gira cade a testa in su con probabilità 0.5. Un risultato di 5 croci di seguito ti porterebbe a mettere in discussione il modello?

    nostra traduzione · testo originale (EN): Decide if a specified model is consistent with results from a given data-generating process, e.g., using simulation. For example, a model says a spinning coin falls heads up with probability 0.5. Would a result of 5 tails in a row cause you to question the model?

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.A.2

  78. Punto del programma HSS-IC.B.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Riconoscere gli scopi e le differenze tra indagini campionarie, esperimenti e studi osservazionali; spiegare come la randomizzazione si collega a ciascuno di essi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Recognize the purposes of and differences among sample surveys, experiments, and observational studies; explain how randomization relates to each.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.3

  79. Punto del programma HSS-IC.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare i dati di un'indagine campionaria per stimare la media o la proporzione di una popolazione; sviluppare un margine di errore attraverso l'uso di modelli di simulazione per il campionamento casuale.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use data from a sample survey to estimate a population mean or proportion; develop a margin of error through the use of simulation models for random sampling.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.4

  80. Punto del programma HSS-IC.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare i dati di un esperimento randomizzato per confrontare due trattamenti; utilizzare simulazioni per decidere se le differenze tra parametri sono significative.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use data from a randomized experiment to compare two treatments; use simulations to decide if differences between parameters are significant.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.5

  81. Punto del programma HSS-IC.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Valutare resoconti basati su dati.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Evaluate reports based on data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.6

  82. Punto del programma HSS-MD · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare la probabilità per prendere decisioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Using Probability to Make Decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)

  83. Punto del programma HSS-MD.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare la probabilità per valutare gli esiti delle decisioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B

  84. Punto del programma HSS-MD.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Utilizzare le probabilità per prendere decisioni eque (ad es., estrazione a sorte, utilizzo di un generatore di numeri casuali).

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Use probabilities to make fair decisions (e.g., drawing by lots, using a random number gener ator).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.6

  85. Punto del programma HSS-MD.B.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Analizzare decisioni e strategie utilizzando concetti di probabilità (ad es., test di prodotto, test medici, togliere il portiere nell'hockey alla fine di una partita).

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Analyze decisions and strategies using probability concepts (e.g., product t esting, medical testing, pulling a hockey goalie at the end of a game).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.7

Competenze passo dopo passo

Scomposizione di polinomi con raccoglimento e cubi

Gli studenti imparano a scomporre espressioni algebriche complesse raccogliendo i fattori comuni, raggruppando i termini e utilizzando le formule per la somma e la differenza di cubi.

Punto del programma HSA-SSE.A.2 Utilizzare la struttura di un'espressione per individuare modi per riscriverla. Per esempio, vedere x4 – y4 come (x2)2 – ( y2)2, riconoscendola così come una differenza di quadrati che può essere scomposta in fattori come (x2 – y2)(x2 + y2). (nostra traduzione)

In quarta superiore, gli studenti utilizzano la struttura di un'espressione algebrica per scomporla in fattori più semplici. Invece di fare affidamento esclusivamente sui metodi di base per i polinomi di secondo grado, gli studenti esaminano espressioni a più termini per individuare il massimo comune divisore, raggruppare termini con caratteristiche comuni e riconoscere espressioni formate da due cubi perfetti.

Un errore comune si verifica con i segni negativi durante il raccoglimento parziale o l'uso delle formule relative ai cubi. Nel raggruppare quattro termini, gli studenti spesso dimenticano di mettere in evidenza il segno negativo nella seconda coppia, ottenendo binomi non corrispondenti che impediscono di completare l'esercizio. Con la somma e la differenza di cubi, gli studenti confondono frequentemente i segni positivi e negativi nella parte lineare e in quella quadratica della forma scomposta.

Le attività delle schede didattiche rafforzano queste competenze attraverso tre formati principali:

  • Raccoglimento a fattor comune di un monomio: identificare ed estrarre il massimo comune divisore condiviso da tutti i termini di un'espressione.
  • Raccoglimento parziale: suddividere polinomi a quattro termini in coppie per individuare e raccogliere un fattore binomiale comune.
  • Somma e differenza di cubi: identificare i termini elevati al cubo e applicare la formula del cubo appropriata per riscrivere l'espressione.
Crea una scheda di questa abilità

Tipi di esercizi: Raccoglimento di un monomio · Scomposizione per raggruppamento · Somma e differenza di cubi

Sommare, moltiplicare e lavorare con i numeri complessi

Gli studenti imparano a sommare, sottrarre e moltiplicare numeri complessi nella forma a + bi e a semplificare le potenze di i utilizzando la regola secondo cui i² è uguale a –1.

Punto del programma HSN-CN.A.1 Sapere che esiste un numero complesso i tale che i2 = –1, e ogni numero complesso ha la forma a + bi con a e b reali. (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-CN.A.2 Utilizzare la relazione i2 = –1 e le proprietà commutativa, associativa e distributiva per addizionare, sottrarre e moltiplicare numeri complessi. (nostra traduzione)

Nel Grade 11, gli studenti lavorano con i numeri complessi scritti nella forma standard a + bi, dove a e b sono numeri reali. Applicando le note regole algebriche—comprese le proprietà commutativa, associativa e distributiva—insieme alla definizione fondamentale che i² = –1, gli studenti imparano a sommare, sottrarre e moltiplicare i numeri complessi, nonché a calcolare le potenze positive di i.

Un errore frequente si verifica durante la moltiplicazione, quando gli studenti trattano i semplicemente come una normale variabile come x. Spesso dimenticano di sostituire –1 a i², il che provoca un errore di segno nella parte reale finale del numero. Un altro errore comune avviene durante la sottrazione, quando gli studenti dimenticano di distribuire il segno meno sia alla parte reale sia alla parte immaginaria del secondo numero.

Gli esercizi pratici coprono tre formati ben precisi basati su queste competenze. Nell'addizione e sottrazione di numeri complessi, gli studenti combinano i termini reali tra loro e i termini immaginari tra loro. Nella moltiplicazione di numeri complessi, gli studenti sviluppano espressioni come (3 + 2i)(1 – 4i) e semplificano il risultato nella forma standard a + bi. Infine, le attività sulle potenze di i richiedono agli studenti di semplificare gli esponenti più elevati riconducendoli a 1, –1, i o –i applicando la regola che i² = –1.

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Tipi di esercizi: Addizione e sottrazione di numeri complessi · Potenze di i · Moltiplicazione di numeri complessi

Determinare l'n-esimo termine e la somma di una progressione geometrica

Gli studenti imparano a scrivere formule per trovare qualsiasi termine in una successione geometrica e a usare la formula della somma per calcolare il totale di una serie finita.

Punto del programma HSA-SSE.B.4 Ricavare la formula per la somma di una serie geometrica finita (quando la ragione non è 1) e utilizzare la formula per risolvere problemi. Ad esempio, calcolare le rate del mutuo.★ (nostra traduzione)
Punto del programma HSF-BF.A.2 Scrivere successioni aritmetiche e geometriche sia ricorsivamente sia con una formula esplicita, utilizzarle per modellizzare situazioni e passare da una forma all'altra. ★ (nostra traduzione)
Punto del programma HSF-LE.A.2 Costruire funzioni lineari ed esponenziali, comprese le successioni aritmetiche e geometriche, dato un grafico, una descrizione di una relazione o due coppie input-output (inclusa la loro lettura da una tabella). (nostra traduzione)

In Grade 11, gli studenti lavorano con le successioni geometriche in cui ogni valore viene moltiplicato per una ragione costante (diversa da 1). Gli studenti scrivono formule esplicite per calcolare un termine specifico qualsiasi, noto come n-esimo termine, e utilizzano la formula della serie geometrica finita per sommare rapidamente un numero determinato di termini.

Un errore frequente si verifica nel calcolo di esponenti e segni. Nel determinare l'n-esimo termine, gli studenti spesso moltiplicano erroneamente il primo termine per la ragione prima di elevare a potenza, oppure dimenticano di usare n − 1 all'esponente. Nel calcolo delle somme, ragioni negative portano spesso a errori di segno al denominatore, dove la sottrazione di un valore negativo dovrebbe tradursi in un'addizione.

La pratica sulle schede didattiche si concentra su due tipologie principali di esercizi:

  • Successione geometrica — n-esimo termine: gli studenti individuano il primo termine e la ragione a partire da un elenco o da una tabella per calcolare un termine successivo specifico, come l'8º o il 12º termine.
  • Successione geometrica — somma dei termini: gli studenti applicano la formula della somma per calcolare il totale dei primi n termini di una successione senza dover sommare ciascun valore a mano.
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Tipi di esercizi: Progressione geometrica — somma · Progressione geometrica — termine n-esimo

Utilizzo delle formule dei prodotti notevoli

Gli studenti imparano a usare schemi algebrici per sviluppare rapidamente il quadrato di una somma o di una differenza e il prodotto di una somma per una differenza.

Punto del programma HSA-SSE.A.2 Utilizzare la struttura di un'espressione per individuare modi per riscriverla. Per esempio, vedere x4 – y4 come (x2)2 – ( y2)2, riconoscendola così come una differenza di quadrati che può essere scomposta in fattori come (x2 – y2)(x2 + y2). (nostra traduzione)

A questo livello, gli studenti imparano a riconoscere la struttura di un'espressione algebrica anziché moltiplicare ogni termine manualmente. Identificano le espressioni che corrispondono a schemi standard e applicano formule abbreviate per ricavare direttamente la forma sviluppata, lavorando con somme e differenze di termini contenenti variabili e costanti.

Un errore molto comune si verifica quando gli studenti calcolano il quadrato di un binomio. Molti dimenticano completamente il termine intermedio, presumendo erroneamente che elevare al quadrato una somma significhi semplicemente elevare al quadrato ciascun singolo termine. Ciò accade perché cercano di distribuire l'esponente rispetto all'addizione o alla sottrazione invece di applicare lo schema di moltiplicazione completo.

Le attività di pratica per questa competenza si concentrano tipicamente su due schemi:

  • Prodotto di una somma per una differenza, in cui gli studenti moltiplicano coppie di binomi coniugati, come (x + 5)(x – 5), per arrivare direttamente a una differenza di quadrati.
  • Quadrato di una somma o di una differenza, in cui gli studenti sviluppano espressioni come (x + 3) al quadrato o (2x – 7) al quadrato includendo il termine intermedio raddoppiato accanto ai quadrati dei termini estremi.
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Tipi di esercizi: Prodotto di una somma per una differenza · Quadrato di una somma o differenza

Divisione tra polinomi e il teorema del resto

Gli studenti imparano a dividere i polinomi per fattori lineari come x − a e a trovare direttamente il resto usando il teorema del resto.

Punto del programma HSA-APR.B.2 Conoscere e applicare il teorema del resto: per un polinomio p(x) e un numero a, il resto della divisione per x – a è p(a), quindi p(a) = 0 se e solo se (x – a) è un fattore di p(x). (nostra traduzione)
Punto del programma HSA-APR.D.6 Riscrivere semplici espressioni razionali in forme diverse; scrivere a(x)/b(x) nella forma q(x) + r(x)/b(x), dove a(x), b(x), q(x) e r(x) sono polinomi con il grado di r(x) minore del grado di b(x), mediante ispezione, divisione lunga o, per gli esempi più complessi, un sistema di algebra computazionale. (nostra traduzione)

Nel terzo anno delle scuole superiori, gli studenti imparano a dividere un polinomio per un binomio di primo grado della forma x − a mediante la divisione in colonna. Scrivono le loro risposte nella forma q(x) + r/(x − a), dove q(x) è il quoziente e r è il resto costante. Oltre alla divisione, gli studenti utilizzano il Teorema del resto per trovare rapidamente questo resto: calcolando p(a), possono determinare il resto senza dover eseguire l'intera divisione, verificando che x − a sia un fattore esatto ogni volta che p(a) = 0.

Un errore frequente è confondere il segno di a. Quando dividono per un binomio come x − 3, gli studenti spesso calcolano p(−3) invece di p(3) perché riportano il segno meno nel calcolo. Nella divisione tra polinomi in colonna, gli studenti tendono anche a commettere errori di segno quando sottraggono le righe, specialmente quando sottraggono termini che hanno già coefficienti negativi.

Le schede di esercizi per questa competenza si concentrano su due formati principali. In Divisione di un polinomio per un binomio, gli studenti eseguono la divisione polinomiale passo dopo passo per trovare il quoziente e l'eventuale resto rimanente. In Resto della divisione tra polinomi, gli studenti utilizzano il Teorema del resto per calcolare rapidamente il resto o verificare se un dato binomio divide esattamente il polinomio.

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Tipi di esercizi: Resto della divisione di un polinomio · Divisione di un polinomio per un binomio

Moltiplicazione e sottrazione di espressioni razionali

Gli studenti imparano a moltiplicare e sottrarre espressioni razionali formate da polinomi, semplificando i risultati in un'unica frazione algebrica.

Punto del programma HSA-APR.D.6 Riscrivere semplici espressioni razionali in forme diverse; scrivere a(x)/b(x) nella forma q(x) + r(x)/b(x), dove a(x), b(x), q(x) e r(x) sono polinomi con il grado di r(x) minore del grado di b(x), mediante ispezione, divisione lunga o, per gli esempi più complessi, un sistema di algebra computazionale. (nostra traduzione)

In classe 11, gli studenti lavorano con le espressioni razionali — frazioni in cui sia il numeratore sia il denominatore sono polinomi. Gli studenti riscrivono e combinano queste frazioni algebriche mediante la moltiplicazione e la sottrazione per ottenere un'unica espressione razionale semplificata.

Un errore comune durante la sottrazione consiste nel dimenticare di distribuire il segno meno a ciascun termine del numeratore della seconda frazione dopo aver trovato un denominatore comune. Durante la moltiplicazione, gli studenti tentano spesso di semplificare singoli termini separati da segni di addizione o sottrazione, anziché scomporre prima i polinomi in fattori per elidere i fattori comuni.

Le attività pratiche si concentrano su due tipologie principali: la moltiplicazione di espressioni razionali e la sottrazione di espressioni razionali. Nei problemi di sottrazione, gli studenti individuano un denominatore polinomiale comune e combinano i termini simili al numeratore. Nei problemi di moltiplicazione, gli studenti scompongono completamente in fattori numeratori e denominatori polinomiali per ridurre il prodotto finale alla sua forma più semplice.

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Tipi di esercizi: Moltiplicazione di espressioni razionali · Sottrazione di espressioni razionali

Risolvere equazioni razionali e irrazionali

Gli studenti imparano a risolvere semplici equazioni razionali e irrazionali in una variabile e a identificare le soluzioni estranee che non soddisfano l'equazione originale.

Punto del programma HSA-REI.A.2 Risolvere semplici equazioni fratte e irrazionali in una variabile e fornire esempi che mostrino come possano presentarsi soluzioni estranee. (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a risolvere semplici equazioni a un'incognita che contengono espressioni razionali (frazioni con l'incognita al denominatore) o espressioni radicali (radici contenenti l'incognita). Applicano tecniche algebriche come l'eliminazione dei denominatori moltiplicando per un termine comune o l'eliminazione dei radicali elevando entrambi i membri dell'equazione a una potenza opportuna.

Un ostacolo frequente è l'identificazione delle soluzioni estranee. Poiché passaggi algebrici come elevare al quadrato entrambi i membri o moltiplicare per un'espressione contenente l'incognita possono introdurre valori che non soddisfano il problema di partenza, gli studenti spesso dimenticano di verificare i propri risultati. Questo porta ad accettare risposte non valide, come valori che annullano un denominatore o che richiedono che una radice quadrata principale sia uguale a un numero negativo.

Le schede operative e le attività pratiche si concentrano su due formati:

  • Equazione irrazionale: esercizi in cui gli studenti isolano un radicale, lo eliminano elevando a potenza entrambi i membri, ricavano l'incognita e verificano la validità delle soluzioni trovate.
  • Equazione razionale: esercizi in cui gli studenti eliminano i denominatori, risolvono la risultante equazione lineare o polinomiale e verificano che nessuna soluzione provochi una divisione per zero.
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Tipi di esercizi: Equazione irrazionale · Equazione fratta

Scrivere le equazioni di rette e rette parallele

Gli studenti imparano a determinare funzioni lineari esplicite dati due punti o un singolo punto e una retta parallela.

Punto del programma HSF-BF.A.1 Scrivere una funzione che descrive una relazione tra due grandezze.★ a. Determinare un'espressione esplicita, un processo ricorsivo o passaggi di calcolo a partire da un contesto. b. Combinare tipi standard di funzioni utilizzando le operazioni aritmetiche. Per esempio, costruire una funzione che modella la temperatura di un corpo in raffreddamento sommando una funzione costante a un esponenziale decrescente, e mettere in relazione queste funzioni con il modello. c. (+) Comporre funzioni. Per esempio, se T(y) è la temperatura nell'atmosfera in funzione dell'altezza, e h(t) è l'altezza di un pallone meteorologico in funzione del tempo, allora T(h(t)) è la temperatura nella posizione del pallone meteorologico in funzione del tempo. (nostra traduzione)

Gli studenti scrivono funzioni lineari in forma esplicita per descrivere la relazione tra due quantità. Determinano la pendenza tra due coordinate date o individuano la pendenza corrispondente necessaria per scrivere l'equazione di una retta parallela passante per un punto dato.

Un errore frequente si verifica quando si lavora con le rette parallele: gli studenti a volte modificano la pendenza—ad esempio invertendola o cambiandone il segno—invece di mantenerla identica. Un altro errore comune si presenta durante il calcolo stesso della pendenza, quando gli studenti invertono il rapporto ponendo la variazione di x fratto la variazione di y, oppure scambiano i valori delle coordinate durante la sostituzione nell'equazione.

Le attività di esercitazione includono Retta parallela passante per un punto, in cui gli studenti utilizzano un'equazione lineare esistente e una coordinata data per scrivere una nuova retta parallela, e Funzione lineare passante per due punti, in cui trovano il tasso di variazione tra due coordinate per costruire l'equazione lineare completa.

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Tipi di esercizi: Funzione lineare per due punti · Retta parallela per un punto

Trovare il vertice e usare la forma vertice

Gli studenti imparano a riscrivere le equazioni quadratiche nella forma del vertice per identificare il vertice, l'asse di simmetria e i valori massimi o minimi di una parabola.

Punto del programma HSF-IF.C.8 Scrivere una funzione definita da un'espressione in forme diverse ma equivalenti per rivelare e spiegare diverse proprietà della funzione. a. Utilizzare il processo di scomposizione in fattori e di completamento del quadrato in una funzione quadratica per mostrare gli zeri, i valori estremi e la simmetria del grafico, e interpretarli rispetto a un contesto. b. Utilizzare le proprietà degli esponenti per interpretare espressioni di funzioni esponenziali. Ad esempio, individuare il tasso percentuale di variazione in funzioni come y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, e classificarle come rappresentanti una crescita o un decadimento esponenziale. (nostra traduzione)

In classe 11, gli studenti usano metodi algebrici come il completamento del quadrato per riscrivere le funzioni quadratiche nella forma del vertice, y = a(x − h)2 + k. La conversione in questa forma consente loro di individuare direttamente il vertice della parabola in (h, k), determinare l'asse di simmetria e stabilire i valori estremi della funzione (se il grafico ha la concavità rivolta verso l'alto con un minimo o verso il basso con un massimo).

Un errore frequente riguarda la traslazione orizzontale all'interno del termine al quadrato. Poiché la formula include un segno di sottrazione, gli studenti spesso interpretano male i segni e identificano il vertice di y = (x − 4)2 + 3 come (−4, 3) invece di (4, 3). Si verificano errori anche quando il coefficiente principale a non è 1, situazione in cui gli studenti dimenticano di raccoglierlo a fattor comune prima di completare il quadrato o non riescono a bilanciare correttamente l'equazione.

Le attività delle schede didattiche si concentrano sulla Forma del vertice di una funzione quadratica e sull'individuazione del Vertice di una parabola. Gli studenti si esercitano a convertire passo dopo passo le equazioni dalla forma normale alla forma del vertice, a ricavare le coordinate del vertice e a interpretare ciò che tale punto di svolta rappresenta.

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Tipi di esercizi: Vertice di una parabola · Forma canonica della funzione quadratica

Conversione tra gradi e radianti

Gli studenti imparano a comprendere i radianti come lunghezze d'arco su una circonferenza unitaria e a convertire le misure degli angoli tra gradi e radianti.

Punto del programma HSF-TF.A.1 Comprendere la misura in radianti di un angolo come la lunghezza dell'arco sulla circonferenza unitaria sotteso dall'angolo. (nostra traduzione)

All'undicesimo anno, gli studenti imparano che la misura in radianti di un angolo è la lunghezza dell'arco che esso intercetta su una circonferenza unitaria. Utilizzando questa definizione, collegano le loro conoscenze pregresse sulle ampiezze in gradi a questo nuovo sistema di misura e imparano a convertire gli angoli da gradi a radianti e viceversa.

Un errore tipico si verifica quando gli studenti invertono la frazione di conversione, moltiplicando per π/180° quando invece dovrebbero moltiplicare per 180°/π. Inoltre, gli studenti presumono spesso che un angolo sia espresso in radianti solo se include il simbolo π, il che genera confusione su ciò che i radianti rappresentano effettivamente sulla circonferenza.

Le attività per questa competenza si concentrano su due modelli di schede distinti: Da gradi a radianti, in cui gli studenti riscrivono gli angoli espressi in gradi come misure esatte in radianti, e Da radianti a gradi, in cui convertono le misure in radianti nei corrispondenti valori in gradi.

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Tipi di esercizi: Gradi in radianti · Radianti in gradi

Determinare il periodo e l'ampiezza di una curva sinusoidale

Gli studenti imparano a identificare il periodo e a trovare il massimo o l'ampiezza di una curva sinusoidale per modellare andamenti periodici.

Punto del programma HSF-TF.B.5 Scegliere funzioni trigonometriche per modellizzare fenomeni periodici con ampiezza, frequenza e linea mediana specificate. ★ (nostra traduzione)

Al penultimo anno della scuola secondaria, gli studenti esaminano i grafici delle funzioni periodiche per modellare cicli che si ripetono. Identificano le caratteristiche geometriche fondamentali di una curva sinusoidale, determinandone il periodo — la lunghezza orizzontale di un ciclo completo — e individuando il valore massimo della curva per determinarne l'ampiezza.

Un errore comune consiste nel confondere l'altezza verticale complessiva dell'onda con la sua ampiezza. Spesso gli studenti misurano dal punto più basso fino alla cresta, dimenticando che l'ampiezza si misura dalla linea mediana centrale fino al picco. Un'altra svista frequente si verifica durante la misurazione del periodo: gli studenti considerano spesso la distanza tra due passaggi per lo zero consecutivi, rilevando solo metà dell'onda anziché un ciclo completo.

Le attività delle schede didattiche si concentrano direttamente su queste caratteristiche visive. In Massimo di una curva sinusoidale, gli studenti leggono il grafico di un'onda per trovare il valore più alto raggiunto lungo l'asse verticale. In Periodo di una curva sinusoidale, gli studenti esaminano l'asse orizzontale per misurare l'esatta distanza tra un picco dell'onda e il successivo.

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Tipi di esercizi: Massimo di una sinusoide · Periodo di una sinusoide

Trovare i coefficienti negli sviluppi binomiali

Gli studenti imparano a trovare coefficienti specifici in espressioni della forma (x + c)ⁿ per potenze intere positive utilizzando il teorema binomiale o il triangolo di Tartaglia.

Punto del programma HSA-APR.C.5 (+) Conoscere e applicare il teorema del binomio per lo sviluppo di (x + y)n in potenze di x e y per un intero positivo n, dove x e y sono numeri qualsiasi, con coefficienti determinati ad esempio dal triangolo di Pascal. (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a determinare i termini nelle espressioni della forma (x + c)n, dove n è un numero intero positivo e c è un numero costante. Utilizzando il teorema binomiale o le righe del triangolo di Pascal, trovano il coefficiente numerico di una qualsiasi potenza indicata di x senza dover moltiplicare ripetutamente il binomio a mano.

Un errore comune si verifica quando gli studenti trascurano il valore costante c. Spesso identificano correttamente il coefficiente binomiale dal triangolo di Pascal, ma dimenticano di elevare c alla potenza corrispondente, oppure gestiscono in modo errato i segni negativi quando c è negativo, ottenendo un prodotto finale errato per il coefficiente.

Gli esercizi delle schede si concentrano direttamente sull'individuazione di un singolo coefficiente nello sviluppo di un binomio. Ad esempio, a uno studente può essere data un'espressione come (x + 3)5 con la richiesta di calcolare il coefficiente del termine in x2.

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Traslazione orizzontale e verticale dei grafici

Gli studenti imparano a traslare i grafici di funzioni verso l'alto, verso il basso, a sinistra e a destra modificando l'equazione, e a determinare il valore della traslazione dato un grafico.

Punto del programma HSF-BF.B.3 Identificare l'effetto sul grafico della sostituzione di f(x) con f(x) + k, k f(x), f(kx) e f(x + k) per valori specifici di k (sia positivi sia negativi); trovare il valore di k dati i grafici. Sperimentare con diversi casi e illustrare una spiegazione degli effetti sul grafico mediante l'uso della tecnologia. Includere il riconoscimento di funzioni pari e dispari a partire dai loro grafici e dalle loro espressioni algebriche. (nostra traduzione)

All'undicesimo anno, gli studenti collegano le variazioni in un'equazione ai movimenti del relativo grafico sul piano cartesiano. Lavorando con specifici valori positivi e negativi di k, imparano che sostituire f(x) con f(x) + k trasla la curva verticalmente verso l'alto o verso il basso, mentre sostituirla con f(x + k) trasla la curva orizzontalmente verso sinistra o verso destra. Inoltre, analizzano i grafici per determinare l'esatto valore numerico di k.

Un errore frequente riguarda le traslazioni orizzontali. Gli studenti tendono abitualmente a presumere che f(x + 3) sposti il grafico di tre unità verso destra, verso i numeri positivi, anziché di tre unità verso sinistra. Inoltre, gli studenti confondono le operazioni applicate all'interno dell'argomento della funzione, come f(x + k), con le operazioni applicate all'intero output, come f(x) + k.

Le schede didattiche di esercitazione su Traslare un grafico presentano agli studenti una curva di base insieme a una curva traslata. Gli studenti contano le unità di spostamento lungo l'asse x o y per individuare il valore di k e scrivere la nuova formula della funzione, oppure partono da una formula data e disegnano la traslazione risultante.

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Calcolare il tasso medio di variazione

Gli studenti imparano a calcolare e interpretare il tasso medio di variazione di una funzione a partire da un'equazione o da una tabella in un dato intervallo, e a stimarlo da un grafico.

Punto del programma HSF-IF.B.6 Calcolare e interpretare il tasso medio di variazione di una funzione (presentata simbolicamente o come tabella) in un intervallo specificato. Stimare il tasso di variazione da un grafico. ★ (nostra traduzione)

In classe 11, gli studenti scoprono con quale rapidità una funzione cresce o decresce in un intervallo specifico. Calcolano il tasso medio di variazione utilizzando funzioni fornite come formule algebriche (in forma simbolica) o come tabelle di valori, e stimano questo tasso visivamente leggendo i punti da un grafico. Imparano inoltre a interpretare il significato di questo tasso di variazione in contesti reali.

Un errore frequente si verifica quando gli studenti invertono il calcolo dividendo la variazione dei valori di input per la variazione dei valori di output, invece di dividere la variazione dei valori della funzione per l'ampiezza dell'intervallo. Un altro problema comune consiste nel calcolare solo la variazione totale tra i due estremi, dimenticando di dividere per la differenza tra i valori di input.

Le attività delle schede didattiche del modello Tasso medio di variazione presentano agli studenti un intervallo specificato insieme all'equazione di una funzione, a una tabella di dati o alla curva di un grafico. Gli studenti determinano i valori della funzione agli estremi dell'intervallo, dividono la variazione verticale per la variazione orizzontale e scrivono il tasso finale come valore semplificato o come tasso con le relative unità di misura.

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Combinare le funzioni per composizione

Gli studenti imparano a valutare e scrivere funzioni composte utilizzando l'output di una funzione come input per un'altra.

Punto del programma HSF-BF.A.1 Scrivere una funzione che descrive una relazione tra due grandezze.★ a. Determinare un'espressione esplicita, un processo ricorsivo o passaggi di calcolo a partire da un contesto. b. Combinare tipi standard di funzioni utilizzando le operazioni aritmetiche. Per esempio, costruire una funzione che modella la temperatura di un corpo in raffreddamento sommando una funzione costante a un esponenziale decrescente, e mettere in relazione queste funzioni con il modello. c. (+) Comporre funzioni. Per esempio, se T(y) è la temperatura nell'atmosfera in funzione dell'altezza, e h(t) è l'altezza di un pallone meteorologico in funzione del tempo, allora T(h(t)) è la temperatura nella posizione del pallone meteorologico in funzione del tempo. (nostra traduzione)

Al quarto anno delle scuole superiori, gli studenti imparano a combinare due regole matematiche in modo che l'output di una funzione funga da input per quella successiva, scrittura indicata come f(g(x)). Costruiscono espressioni esplicite per queste funzioni composte e le interpretano all'interno di modelli pratici, come collegare il tempo alla temperatura attraverso la variazione di un'altezza.

Una difficoltà comune consiste nell'invertire la sequenza: gli studenti valutano frequentemente la funzione esterna per prima, calcolando g(f(x)) invece di f(g(x)), oppure confondono la composizione di funzioni con la moltiplicazione trattando (f ∘ g)(x) come f(x) · g(x). Quando sostituiscono un'espressione algebrica nella formula esterna, capita spesso che dimentichino di racchiudere l'espressione interna tra parentesi, causando errori di segno e di esponente.

I quesiti generati dal modello Composizione di funzioni propongono coppie di formule, come equazioni lineari, quadratiche o razionali, e richiedono agli studenti di determinare l'espressione composta f(g(x)) o di valutare la funzione composta in corrispondenza di uno specifico valore numerico.

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Trovare l'inversa di una funzione lineare

Gli studenti imparano a trovare l'inversa algebrica di una funzione lineare invertendo le sue operazioni e risolvendo rispetto alla variabile di input.

Punto del programma HSF-BF.B.4 Trovare funzioni inverse. a. Risolvere un'equazione della forma f(x) = c per una funzione semplice f che ha un'inversa e scrivere un'espressione per l'inversa. Per esempio, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) per x ≠ 1. b. (+) Verificare mediante composizione che una funzione è l'inversa di un'altra. c. (+) Leggere i valori di una funzione inversa da un grafico o da una tabella, dato che la funzione ha un'inversa. d. (+) Produrre una funzione invertibile da una funzione non invertibile restringendo il dominio. (nostra traduzione)

Gli studenti lavorano con equazioni lineari scritte in notazione funzionale, come f(x) = 3x + 4 o f(x) = -2x - 7. In questa fase, imparano a invertire le operazioni applicate alla variabile di input ponendo la funzione uguale a un valore di output e risolvendo rispetto a x. Ciò consente loro di scrivere una formula chiara per la funzione inversa, tipicamente espressa come f⁻¹(x).

Un errore comune è confondere una funzione inversa con il suo reciproco, portando gli studenti a considerare erroneamente f⁻¹(x) come 1/f(x). Un altro errore frequente si verifica durante i passaggi algebrici di isolamento della variabile: quando dividono per il coefficiente angolare, gli studenti spesso dividono un solo termine anziché l'intero membro dell'equazione, scrivendo x/3 + 4 invece di (x - 4)/3.

Nelle schede didattiche stampabili del modello Inversa di una funzione lineare, gli esercizi presentano una regola lineare con coefficienti interi o frazionari e chiedono agli studenti di trovare la corrispondente equazione inversa. Gli studenti si esercitano a scambiare i ruoli delle variabili di input e output e a isolare la nuova variabile dipendente utilizzando le operazioni inverse.

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Risoluzione di equazioni di secondo grado con radici complesse

Gli studenti imparano a risolvere equazioni di secondo grado con coefficienti reali che hanno soluzioni complesse utilizzando l'unità immaginaria.

Punto del programma HSN-CN.C.7 Risolvere equazioni di secondo grado a coefficienti reali che hanno soluzioni complesse. (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-CN.C.8 (+) Estendere le identità polinomiali ai numeri complessi. Ad esempio, riscrivere x2 + 4 come (x + 2i)(x – 2i). (nostra traduzione)

Nella scuola secondaria di secondo grado, gli studenti risolvono equazioni di secondo grado a coefficienti reali le cui soluzioni non sono numeri reali. Quando lavorano con equazioni come x2 + 4 = 0 o utilizzano la formula risolutiva per equazioni con discriminante negativo, esprimono le radici quadrate di numeri negativi usando l'unità immaginaria i. Possono anche usare i numeri complessi per scomporre in fattori espressioni che non sono fattorizzabili nei numeri reali, riscrivendo forme come x2 + 4 come (x + 2i)(x – 2i).

Un errore frequente si verifica nella semplificazione della radice quadrata di un valore negativo sotto il radicale. Spesso gli studenti tralasciano del tutto il segno meno o lo trattano come un normale risultato negativo, ad esempio scrivendo la radice quadrata di –16 come –4 invece di 4i. Un'altra difficoltà comune consiste nel dimenticare che le radici complesse si presentano sempre in coppie coniugate quando si risolvono equazioni di secondo grado a coefficienti reali.

Gli esercizi delle schede didattiche del modello Equazione di secondo grado con radici complesse propongono agli studenti equazioni come x2 + 2x + 5 = 0. Gli studenti applicano metodi algebrici come la formula risolutiva o il completamento del quadrato per trovare entrambe le soluzioni complesse, scrivendo le risposte finali nella forma standard a ± bi.

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Modelli di esercizi da stampare

Tutti i tipi di esercizi, raggruppati per abilità. Un clic apre il generatore con il tipo già scelto.

Scomposizione di polinomi con raccoglimento e cubi

Sommare, moltiplicare e lavorare con i numeri complessi

Determinare l'n-esimo termine e la somma di una progressione geometrica

Utilizzo delle formule dei prodotti notevoli

Divisione tra polinomi e il teorema del resto

Moltiplicazione e sottrazione di espressioni razionali

Risolvere equazioni razionali e irrazionali

Scrivere le equazioni di rette e rette parallele

Trovare il vertice e usare la forma vertice

Conversione tra gradi e radianti

Determinare il periodo e l'ampiezza di una curva sinusoidale

Trovare i coefficienti negli sviluppi binomiali

Traslazione orizzontale e verticale dei grafici

Calcolare il tasso medio di variazione

Combinare le funzioni per composizione

Trovare l'inversa di una funzione lineare

Risoluzione di equazioni di secondo grado con radici complesse

Altri tipi di esercizi

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