Polski
Program nauczania (Stany Zjednoczone)

Matematyka — klasa 3 liceum i technikum

Matematyka dla 11. klasy zgodnie ze standardami Common Core State Standards, zazwyczaj Algebra II: dzielenie wielomianów, wyrażenia i równania wymierne, liczby zespolone, dwumian Newtona, miara łukowa i funkcje okresowe. Do każdego tematu dołączone są arkusze ćwiczeń do wydrukowania.

Wygeneruj arkusz z tego zakresu

Czego uczniowie uczą się na matematyce w 11. klasie?

W 11. klasie uczniowie dzielą wielomiany, upraszczają wyrażenia wymierne i rozwiązują równania wymierne. Wykonują obliczenia na liczbach zespolonych i rozwiązują równania kwadratowe o pierwiastkach zespolonych, rozwijają potęgi za pomocą dwumianu Newtona oraz przekształcają wykresy funkcji. Miara łukowa kąta i funkcje okresowe stanowią przygotowanie do trygonometrii w ramach precalculus.

O standardach: standardy Common Core dla szkół średnich są zorganizowane według kategorii pojęciowych (Liczby i wielkości, Algebra, Funkcje, Geometria, Statystyka i prawdopodobieństwo), a nie według klas. Przypisanie tematu do danej klasy jest naszą decyzją, wynikającą z powszechnej sekwencji kursów: Algebra I, Geometria, Algebra II i Precalculus. Standardy oznaczone symbolem (+) wykraczają poza podstawowy zakres przygotowania do studiów i kariery zawodowej.

Status strony: tematy z tej klasy są gotowe w postaci prostych ćwiczeń (polecenie i wzór); zadania z diagramami oraz zadania z treścią będą dodawane w następnej kolejności.

Zakres programowy

  1. Punkt podstawy HSN-CN · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Układ liczb zespolonych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): The Complex Number System

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Complex Number System (HSN-CN)

  2. Punkt podstawy HSN-CN.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykonywać działania arytmetyczne na liczbach zespolonych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Perform arithmetic operations with complex numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster A

  3. Punkt podstawy HSN-CN.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować liczby zespolone w tożsamościach i równaniach wielomianowych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use complex numbers in polynomial identities and equations.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster C

  4. Punkt podstawy HSN-CN.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wiedzieć, że istnieje liczba zespolona i taka, że i2 = –1, oraz że każda liczba zespolona ma postać a + bi, gdzie a i b są rzeczywiste.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Know there is a complex number i such that i2 = –1, and every complex number has the form a + bi with a and b real.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.1

    Dodawanie, mnożenie i praca z liczbami zespolonymi (u nas w klasie 11)

  5. Punkt podstawy HSN-CN.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować zależność i2 = –1 oraz własności przemienności, łączności i rozdzielności do dodawania, odejmowania i mnożenia liczb zespolonych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use the relation i2 = –1 and the commutative, associative, and distributive properties to add, subtract, and multiply complex numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.2

    Dodawanie, mnożenie i praca z liczbami zespolonymi (u nas w klasie 11)

  6. Punkt podstawy HSN-CN.C.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozwiązywać równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych, które mają rozwiązania zespolone.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Solve quadratic equations with real coefficients that have complex solutions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.7

    Rozwiązywanie równań kwadratowych z pierwiastkami zespolonymi (u nas w klasie 11)

  7. Punkt podstawy HSN-CN.C.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    (+) Rozszerzać tożsamości wielomianowe na liczby zespolone. Na przykład zapisać x2 + 4 jako (x + 2i)(x – 2i).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Extend polynomial identities to the complex numbers. For example, rewrite x2 + 4 as (x + 2i)(x – 2i).

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.8

    Rozwiązywanie równań kwadratowych z pierwiastkami zespolonymi (u nas w klasie 11)

  8. Punkt podstawy HSN-CN.C.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    (+) Znać zasadnicze twierdzenie algebry; wykazać, że jest prawdziwe dla wielomianów kwadratowych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Know the Fundamental Theorem of Algebra; show that it is true for quadratic polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.9

  9. Punkt podstawy HSA-SSE · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dostrzeganie struktury w wyrażeniach

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Seeing Structure in Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)

  10. Punkt podstawy HSA-SSE.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować strukturę wyrażeń

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret the structure of expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A

  11. Punkt podstawy HSA-SSE.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Zapisywać wyrażenia w postaciach równoważnych, aby rozwiązywać problemy

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B

  12. Punkt podstawy HSA-SSE.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować wyrażenia reprezentujące wielkość w odniesieniu do jej kontekstu.★ a. Interpretować części wyrażenia, takie jak wyrazy, czynniki i współczynniki. b. Interpretować złożone wyrażenia, traktując jedną lub więcej ich części jako pojedynczą całość. Na przykład interpretować P(1+r)n jako iloczyn P oraz czynnika niezależącego od P.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1

  13. Punkt podstawy HSA-SSE.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystaj strukturę wyrażenia do zidentyfikowania sposobów jego przekształcenia. Na przykład dostrzeż x4 – y4 jako (x2)2 – ( y2)2, rozpoznając je w ten sposób jako różnicę kwadratów, którą można rozłożyć na czynniki jako (x2 – y2)(x2 + y2).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

    Stosowanie wzorów skróconego mnożenia (u nas w klasie 9-11) · Rozkładanie wielomianów na czynniki metodą grupowania i wzorami na sześciany (u nas w klasie 9-11)

  14. Punkt podstawy HSA-SSE.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyprowadzać wzór na sumę skończonego szeregu geometrycznego (gdy iloraz nie jest równy 1) i stosować ten wzór do rozwiązywania problemów. Na przykład obliczać raty kredytu hipotecznego.★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Derive the formula for the sum of a finite geometric series (when the common ratio is not 1), and use the formula to solve problems. For example, calculate mortgage payments.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.B.4

    Wyznaczanie n-tego wyrazu i sumy ciągu geometrycznego (u nas w klasie 9-11)

  15. Punkt podstawy HSA-APR · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Działania na wielomianach i wyrażeniach wymiernych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)

  16. Punkt podstawy HSA-APR.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykonywać działania arytmetyczne na wielomianach

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A

  17. Punkt podstawy HSA-APR.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć związek między miejscami zerowymi a czynnikami wielomianów

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand the relationship between zeros and factors of polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster B

  18. Punkt podstawy HSA-APR.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować tożsamości wielomianowe do rozwiązywania problemów

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use polynomial identities to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster C

  19. Punkt podstawy HSA-APR.D · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przekształcać wyrażenia wymierne

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Rewrite rational expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster D

  20. Punkt podstawy HSA-APR.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć, że wielomiany tworzą układ analogiczny do liczb całkowitych, mianowicie są zamknięte ze względu na działania dodawania, odejmowania i mnożenia; dodawać, odejmować i mnożyć wielomiany.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1

  21. Punkt podstawy HSA-APR.B.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Znać i stosować twierdzenie o reszcie: dla wielomianu p(x) i liczby a reszta z dzielenia przez x – a wynosi p(a), zatem p(a) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (x – a) jest czynnikiem p(x).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Know and apply the Remainder Theorem: For a polynomial p(x) and a number a, the remainder on division by x – a is p(a), so p(a) = 0 if and only if (x – a) is a factor of p(x).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.B.2

    Dzielenie wielomianów i twierdzenie o reszcie (u nas w klasie 11)

  22. Punkt podstawy HSA-APR.B.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyznaczać miejsca zerowe wielomianów, gdy dostępne są odpowiednie rozkłady na czynniki, i wykorzystywać te miejsca zerowe do sporządzenia szkicu wykresu funkcji określonej przez ten wielomian.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Identify zeros of polynomials when suitable factorizations are available, and use the zeros to construct a rough graph of the function defined by the polynomial.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.B.3

  23. Punkt podstawy HSA-APR.C.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dowodzić tożsamości wielomianowych i wykorzystywać je do opisywania zależności liczbowych. Na przykład tożsamość wielomianowa (x2 + y2)2 = ( x2 – y2)2 + (2xy)2 może być wykorzystana do generowania trójek pitagorejskich.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Prove polynomial identities and use them to describe numerical relationships. For example, the polynomial identity (x2 + y2)2 = ( x2 – y2)2 + (2xy)2 can be used to generate Pythagorean triples.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.C.4

  24. Punkt podstawy HSA-APR.C.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    (+) Znać i stosować twierdzenie o dwumianie Newtona do rozwinięcia (x + y)n według potęg x i y dla dodatniej liczby całkowitej n, gdzie x i y są dowolnymi liczbami, ze współczynnikami wyznaczanymi na przykład za pomocą trójkąta Pascala.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Know and apply the Binomial Theorem for the expansion of (x + y)n in powers of x and y for a positive integer n, where x and y are any numbers, with coefficients determined for example by Pascal’s Triangle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.C.5

    Wyznaczanie współczynników w rozwinięciu dwumianowym (u nas w klasie 11)

  25. Punkt podstawy HSA-APR.D.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Zapisywać proste wyrażenia wymierne w różnych postaciach; zapisywać a(x)/b(x) w postaci q(x) + r(x)/b(x), gdzie a(x), b(x), q(x) i r(x) są wielomianami, przy czym stopień r(x) jest mniejszy od stopnia b(x), za pomocą obserwacji, dzielenia pisemnego lub, w przypadku bardziej skomplikowanych przykładów, systemu algebry komputerowej.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Rewrite simple rational expressions in different forms; write a(x)/b(x) in the form q(x) + r(x)/b(x), where a(x), b(x), q(x), and r(x) are polynomials with the degree of r(x) less than the degree of b(x), using inspection, long division, or, for the more complicated examples, a computer algebra system.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.D.6

    Dzielenie wielomianów i twierdzenie o reszcie (u nas w klasie 11) · Mnożenie i odejmowanie wyrażeń wymiernych (u nas w klasie 11)

  26. Punkt podstawy HSA-APR.D.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    (+) Rozumieć, że wyrażenia wymierne tworzą system analogiczny do liczb wymiernych, zamknięty ze względu na dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie przez niezerowe wyrażenie wymierne; dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić wyrażenia wymierne.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Understand that rational expressions form a system analogous to the rational numbers, closed under addition, subtraction, multiplication, and division by a nonzero rational expression; add, subtract, multiply, and divide rational expressions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.D.7

  27. Punkt podstawy HSA-CED · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzenie równań★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Creating Equations★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)

  28. Punkt podstawy HSA-CED.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzyć równania opisujące liczby lub zależności

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Create equations that describe numbers or relationships

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A

  29. Punkt podstawy HSA-CED.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzyć równania i nierówności z jedną zmienną i używać ich do rozwiązywania problemów. Uwzględniać równania wynikające z funkcji liniowych i kwadratowych oraz prostych funkcji wymiernych i wykładniczych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1

  30. Punkt podstawy HSA-CED.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzyć równania z dwiema lub więcej zmiennymi, aby przedstawić zależności między wielkościami; sporządzać wykresy równań na osiach współrzędnych z oznaczeniami i skalami.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2

  31. Punkt podstawy HSA-CED.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przedstawiać ograniczenia za pomocą równań lub nierówności oraz za pomocą układów równań i/lub nierówności i interpretować rozwiązania jako opcje dopuszczalne lub niedopuszczalne w kontekście modelowania. Na przykład przedstawiać nierówności opisujące ograniczenia żywieniowe i kosztowe dotyczące kombinacji różnych produktów spożywczych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3

  32. Punkt podstawy HSA-CED.A.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przekształcać wzory, aby wyznaczyć wskazaną wielkość, stosując to samo rozumowanie, co przy rozwiązywaniu równań. Na przykład przekształcić prawo Ohma V = IR, aby wyznaczyć opór R.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4

  33. Punkt podstawy HSA-REI · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumowanie z wykorzystaniem równań i nierówności

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)

  34. Punkt podstawy HSA-REI.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć rozwiązywanie równań jako proces rozumowania i wyjaśniać to rozumowanie

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A

  35. Punkt podstawy HSA-REI.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozwiązywać układy równań

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Solve systems of equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C

  36. Punkt podstawy HSA-REI.D · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przedstawiać i rozwiązywać równania i nierówności graficznie

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D

  37. Punkt podstawy HSA-REI.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozwiązywać proste równania wymierne i pierwiastkowe z jedną niewiadomą oraz podawać przykłady pokazujące, jak mogą powstawać rozwiązania obce.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Solve simple rational and radical equations in one variable, and give examples showing how extraneous solutions may arise.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.A.2

    Rozwiązywanie równań wymiernych i pierwiastkowych (u nas w klasie 11)

  38. Punkt podstawy HSA-REI.D.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyjaśnij, dlaczego współrzędne x punktów przecięcia wykresów równań y = f(x) i y = g(x) są rozwiązaniami równania f(x) = g(x); znajdź rozwiązania w przybliżeniu, np. wykorzystując technologię do sporządzania wykresów funkcji, tworzenia tabel wartości lub znajdowania kolejnych przybliżeń. Uwzględnij przypadki, w których f(x) i/lub g(x) są funkcjami liniowymi, wielomianowymi, wymiernymi, z wartością bezwzględną, wykładniczymi i logarytmicznymi.★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11

  39. Punkt podstawy HSF-IF · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretowanie funkcji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpreting Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)

  40. Punkt podstawy HSF-IF.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować funkcje pojawiające się w zastosowaniach w odniesieniu do kontekstu

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B

  41. Punkt podstawy HSF-IF.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Analizować funkcje za pomocą różnych reprezentacji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Analyze functions using different representations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C

  42. Punkt podstawy HSF-IF.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dla funkcji modelującej zależność między dwiema wielkościami interpretować kluczowe własności wykresów i tabel w odniesieniu do tych wielkości oraz szkicować wykresy przedstawiające kluczowe własności na podstawie słownego opisu zależności. Kluczowe własności obejmują: punkty przecięcia z osiami; przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca, dodatnia lub ujemna; maksima i minima lokalne; symetrie; zachowanie na krańcach; oraz okresowość.★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4

  43. Punkt podstawy HSF-IF.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Powiązać dziedzinę funkcji z jej wykresem oraz, tam gdzie ma to zastosowanie, z zależnością ilościową, którą opisuje. Na przykład, jeśli funkcja h(n) podaje liczbę roboczogodzin potrzebnych do zmontowania n silników w fabryce, wówczas dodatnie liczby całkowite byłyby odpowiednią dziedziną tej funkcji. ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5

  44. Punkt podstawy HSF-IF.B.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Obliczać i interpretować średnią szybkość zmian funkcji (przedstawionej symbolicznie lub w postaci tabeli) w określonym przedziale. Szacować szybkość zmian na podstawie wykresu. ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

    Wyznaczanie średniego tempa zmian (u nas w klasie 9-11)

  45. Punkt podstawy HSF-IF.C.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Sporządzać wykresy funkcji wyrażonych symbolicznie i przedstawiać kluczowe cechy wykresu, ręcznie w prostych przypadkach oraz z użyciem technologii w przypadkach bardziej złożonych. ★ a. Sporządzać wykresy funkcji liniowych i kwadratowych oraz wskazywać punkty przecięcia z osiami, maksima i minima. b. Sporządzać wykresy funkcji pierwiastka kwadratowego, pierwiastka sześciennego oraz funkcji określonych przedziałami, w tym funkcji schodkowych i funkcji wartości bezwzględnej. c. Sporządzać wykresy funkcji wielomianowych, wyznaczając miejsca zerowe, gdy dostępny jest odpowiedni rozkład na czynniki, oraz wskazując zachowanie na krańcach dziedziny. d. (+) Sporządzać wykresy funkcji wymiernych, wyznaczając miejsca zerowe i asymptoty, gdy dostępny jest odpowiedni rozkład na czynniki, oraz wskazując zachowanie na krańcach dziedziny. e. Sporządzać wykresy funkcji wykładniczych i logarytmicznych, wskazując punkty przecięcia z osiami i zachowanie na krańcach dziedziny, oraz funkcji trygonometrycznych, wskazując okres, linię środkową i amplitudę.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7

  46. Punkt podstawy HSF-IF.C.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Zapisywać funkcję określoną za pomocą wyrażenia w różnych, lecz równoważnych postaciach, aby ujawnić i wyjaśnić różne własności funkcji. a. Stosować rozkład na czynniki i dopełnianie do kwadratu w funkcji kwadratowej, aby pokazać miejsca zerowe, wartości ekstremalne oraz symetrię wykresu, i interpretować je w kontekście. b. Stosować własności potęg do interpretacji wyrażeń opisujących funkcje wykładnicze. Na przykład określać procentową stopę zmiany w funkcjach takich jak y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10 i klasyfikować je jako reprezentujące wzrost lub zanik wykładniczy.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

    Wyznaczanie wierzchołka i korzystanie z postaci kanonicznej (u nas w klasie 9-11)

  47. Punkt podstawy HSF-IF.C.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Porównaj własności dwóch funkcji, z których każda jest przedstawiona w inny sposób (algebraicznie, graficznie, liczbowo w tabelach lub za pomocą opisów słownych). Na przykład, mając dany wykres jednej funkcji kwadratowej i wyrażenie algebraiczne drugiej, określ, która ma większe maksimum.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9

  48. Punkt podstawy HSF-BF · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Budowanie funkcji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Building Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)

  49. Punkt podstawy HSF-BF.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Budować funkcję, która modeluje zależność między dwiema wielkościami

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A

  50. Punkt podstawy HSF-BF.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzyć nowe funkcje z istniejących funkcji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Build new functions from existing functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B

  51. Punkt podstawy HSF-BF.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Zapisać funkcję opisującą zależność między dwiema wielkościami.★ a. Wyznaczyć wyrażenie w postaci jawnej, proces rekurencyjny lub kroki obliczeń na podstawie kontekstu. b. Łączyć standardowe typy funkcji za pomocą działań arytmetycznych. Na przykład zbudować funkcję modelującą temperaturę stygnącego ciała poprzez dodanie funkcji stałej do malejącej funkcji wykładniczej oraz powiązać te funkcje z modelem. c. (+) Składać funkcje. Na przykład, jeśli T(y) jest temperaturą w atmosferze w zależności od wysokości, a h(t) jest wysokością balonu meteorologicznego w zależności od czasu, to T(h(t)) jest temperaturą w miejscu balonu meteorologicznego w zależności od czasu.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

    Wyznaczanie równań prostych i prostych równoległych (u nas w klasie 9-11) · Łączenie funkcji przez składanie (u nas w klasie 9-11)

  52. Punkt podstawy HSF-BF.B.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Identyfikować wpływ na wykres zastąpienia f(x) przez f(x) + k, k f(x), f(kx) oraz f(x + k) dla określonych wartości k (zarówno dodatnich, jak i ujemnych); wyznaczać wartość k na podstawie wykresów. Eksperymentować z przypadkami i ilustrować wyjaśnienie wpływu na wykres z wykorzystaniem technologii. Uwzględniać rozpoznawanie funkcji parzystych i nieparzystych na podstawie ich wykresów oraz opisujących je wyrażeń algebraicznych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

    Przesunięcia wykresów w poziomie i w pionie (u nas w klasie 9-11)

  53. Punkt podstawy HSF-BF.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyznacz funkcje odwrotne. a. Rozwiąż równanie postaci f(x) = c dla prostej funkcji f, która ma funkcję odwrotną, i zapisz wyrażenie dla funkcji odwrotnej. Na przykład f(x) =2 x3 lub f(x) = (x+1)/(x–1) dla x ≠ 1. b. (+) Sprawdź za pomocą składania, że jedna funkcja jest funkcją odwrotną do drugiej. c. (+) Odczytaj wartości funkcji odwrotnej z wykresu lub tabeli, przy założeniu, że funkcja ma funkcję odwrotną. d. (+) Utwórz funkcję odwracalną z funkcji nieodwracalnej poprzez ograniczenie dziedziny.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

    Wyznaczanie funkcji odwrotnej do funkcji liniowej (u nas w klasie 9-11)

  54. Punkt podstawy HSF-LE · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Modele liniowe, kwadratowe i wykładnicze★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)

  55. Punkt podstawy HSF-LE.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Konstruować i porównywać modele liniowe, kwadratowe i wykładnicze oraz rozwiązywać zadania

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A

  56. Punkt podstawy HSF-LE.A.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dla modeli wykładniczych wyrażać w postaci logarytmu rozwiązanie abct = d, gdzie a, c i d są liczbami, a podstawą b jest 2, 10 lub e; obliczać wartość logarytmu przy użyciu technologii.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): For exponential models, express as a logarithm the solution to abct = d where a, c, and d are numbers and the base b is 2, 10, or e; evaluate the logarithm using technology.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.4

  57. Punkt podstawy HSF-TF · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Funkcje trygonometryczne

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Trigonometric Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Trigonometric Functions (HSF-TF)

  58. Punkt podstawy HSF-TF.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozszerzać dziedzinę funkcji trygonometrycznych za pomocą okręgu jednostkowego

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Extend the domain of trigonometric functions using the unit circle

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster A

  59. Punkt podstawy HSF-TF.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Modelować zjawiska okresowe za pomocą funkcji trygonometrycznych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Model periodic phenomena with trigonometric functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster B

  60. Punkt podstawy HSF-TF.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Udowadniać i stosować tożsamości trygonometryczne

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Prove and apply trigonometric identities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster C

  61. Punkt podstawy HSF-TF.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć miarę łukową kąta jako długość łuku na okręgu jednostkowym wyznaczonego przez ten kąt.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand radian measure of an angle as the length of the arc on the unit circle subtended by the angle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.1

    Przeliczanie między stopniami a radianami (u nas w klasie 11)

  62. Punkt podstawy HSF-TF.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyjaśniać, jak okrąg jednostkowy w układzie współrzędnych umożliwia rozszerzenie funkcji trygonometrycznych na wszystkie liczby rzeczywiste, interpretowane jako miary łukowe kątów zakreślanych w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara wokół okręgu jednostkowego.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Explain how the unit circle in the coordinate plane enables the extension of trigonometric functions to all real numbers, interpreted as radian measures of angles traversed counterclockwise around the unit circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.2

  63. Punkt podstawy HSF-TF.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dobierać funkcje trygonometryczne do modelowania zjawisk okresowych o określonej amplitudzie, częstotliwości i linii środkowej. ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Choose trigonometric functions to model periodic phenomena with specified amplitude, frequency, and midline. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.5

    Wyznaczanie okresu i amplitudy sinusoidy (u nas w klasie 11)

  64. Punkt podstawy HSF-TF.C.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dowodzi tożsamość trygonometryczną sin2(θ) + cos2(θ) = 1 i stosuje ją do wyznaczania sin(θ), cos(θ) lub tan(θ), mając dane sin(θ), cos(θ) lub tan(θ) oraz ćwiartkę, w której leży kąt.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Prove the Pythagorean identity sin2(θ) + cos2(θ) = 1 and use it to find sin(θ), cos(θ), or tan(θ) given sin(θ), cos(θ), or tan(θ) and the quadrant of the angle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.C.8

  65. Punkt podstawy HSF-TF.C.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    (+) Dowodzić wzorów na sumę i różnicę dla sinusa, cosinusa i tangensa oraz stosować je do rozwiązywania zadań.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Prove the addition and subtraction formulas for sine, cosine, and tangent and use them t o solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.C.9

  66. Punkt podstawy HSG-GPE · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyrażanie własności geometrycznych za pomocą równań

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)

  67. Punkt podstawy HSG-GPE.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przechodzić między opisem geometrycznym a równaniem krzywej stożkowej

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A

  68. Punkt podstawy HSG-GMD · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Pomiar geometryczny i wymiar

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Geometric Measurement and Dimension

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)

  69. Punkt podstawy HSG-GMD.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyjaśniać wzory na objętość i stosować je do rozwiązywania zadań

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A

  70. Punkt podstawy HSS-ID · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretowanie danych jakościowych i ilościowych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)

  71. Punkt podstawy HSS-ID.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Podsumowywać, przedstawiać i interpretować dane dotyczące pojedynczej zmiennej zliczeniowej lub pomiarowej

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A

  72. Punkt podstawy HSS-ID.A.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Używać średniej i odchylenia standardowego zestawu danych do dopasowania go do rozkładu normalnego i do szacowania odsetków populacji. Rozpoznawać, że istnieją zestawy danych, dla których taka procedura nie jest właściwa. Używać kalkulatorów, arkuszy kalkulacyjnych i tablic do szacowania pól pod krzywą normalną.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use the mean and standard deviation of a data set to fit it to a normal distribution and to estimate population percentages. Recognize that there are data sets for which such a procedure is not appropriate. Use calculators, spreadsheets, and tables to estimate areas under the normal curve.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.4

  73. Punkt podstawy HSS-IC · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wnioskowanie i uzasadnianie wniosków

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Making Inferences and Justifying Conclusions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Making Inferences and Justifying Conclusions (HSS-IC)

  74. Punkt podstawy HSS-IC.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć i oceniać procesy losowe leżące u podstaw eksperymentów statystycznych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand and evaluate random processes underlying statistical experiments

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, cluster A

  75. Punkt podstawy HSS-IC.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyciągać wnioski i uzasadniać konkluzje na podstawie badań reprezentacyjnych, eksperymentów i badań obserwacyjnych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Make inferences and justify conclusions from sample surveys, experiments, and observational studies

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, cluster B

  76. Punkt podstawy HSS-IC.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć statystykę jako proces wnioskowania o parametrach populacji na podstawie próby losowej z tej populacji.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand statistics as a process for making inferences about population parameters based on a random sample from that population.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.A.1

  77. Punkt podstawy HSS-IC.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozstrzygać, czy określony model jest zgodny z wynikami danego procesu generowania danych, np. z wykorzystaniem symulacji. Na przykład model mówi, że wirująca moneta upada orłem do góry z prawdopodobieństwem 0.5. Czy wynik 5 reszek z rzędu skłoniłby cię do zakwestionowania modelu?

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Decide if a specified model is consistent with results from a given data-generating process, e.g., using simulation. For example, a model says a spinning coin falls heads up with probability 0.5. Would a result of 5 tails in a row cause you to question the model?

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.A.2

  78. Punkt podstawy HSS-IC.B.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozpoznawać cele badań reprezentacyjnych, eksperymentów i badań obserwacyjnych oraz różnice między nimi; wyjaśniać, jak randomizacja odnosi się do każdego z nich.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Recognize the purposes of and differences among sample surveys, experiments, and observational studies; explain how randomization relates to each.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.3

  79. Punkt podstawy HSS-IC.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystywać dane z badania sondażowego do szacowania średniej lub proporcji w populacji; wyznaczać margines błędu poprzez zastosowanie modeli symulacyjnych dla losowego doboru próby.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use data from a sample survey to estimate a population mean or proportion; develop a margin of error through the use of simulation models for random sampling.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.4

  80. Punkt podstawy HSS-IC.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystywać dane z eksperymentu randomizowanego do porównania dwóch oddziaływań; wykorzystywać symulacje do rozstrzygnięcia, czy różnice między parametrami są istotne.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use data from a randomized experiment to compare two treatments; use simulations to decide if differences between parameters are significant.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.5

  81. Punkt podstawy HSS-IC.B.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Oceniać raporty oparte na danych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Evaluate reports based on data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.6

  82. Punkt podstawy HSS-MD · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystanie prawdopodobieństwa do podejmowania decyzji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Using Probability to Make Decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)

  83. Punkt podstawy HSS-MD.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystywać prawdopodobieństwo do oceny skutków decyzji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B

  84. Punkt podstawy HSS-MD.B.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    (+) Stosować prawdopodobieństwo do podejmowania sprawiedliwych decyzji (np. losowanie, korzystanie z generatora liczb losowych).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Use probabilities to make fair decisions (e.g., drawing by lots, using a random number gener ator).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.6

  85. Punkt podstawy HSS-MD.B.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    (+) Analizować decyzje i strategie z wykorzystaniem pojęć rachunku prawdopodobieństwa (np. testowanie produktów, testy medyczne, wycofanie bramkarza pod koniec meczu hokejowego).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Analyze decisions and strategies using probability concepts (e.g., product t esting, medical testing, pulling a hockey goalie at the end of a game).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.7

Umiejętności krok po kroku

Rozkładanie wielomianów na czynniki metodą grupowania i wzorami na sześciany

Uczniowie uczą się rozkładać złożone wyrażenia algebraiczne poprzez wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias, grupowanie wyrazów oraz stosowanie wzorów na sumę i różnicę sześcianów.

Punkt podstawy HSA-SSE.A.2 Wykorzystaj strukturę wyrażenia do zidentyfikowania sposobów jego przekształcenia. Na przykład dostrzeż x4 – y4 jako (x2)2 – ( y2)2, rozpoznając je w ten sposób jako różnicę kwadratów, którą można rozłożyć na czynniki jako (x2 – y2)(x2 + y2). (nasze tłumaczenie)

W 11. klasie uczniowie wykorzystują strukturę wyrażenia algebraicznego, aby rozłożyć je na prostsze czynniki. Zamiast polegać wyłącznie na podstawowych metodach dotyczących wyrażeń kwadratowych, uczniowie analizują wyrażenia wielowyrazowe, aby znaleźć największy wspólny czynnik, grupować wyrazy o wspólnych cechach oraz rozpoznawać wyrażenia będące sumą lub różnicą sześcianów.

Częsty błąd wiąże się ze znakami ujemnymi podczas rozkładania na czynniki metodą grupowania lub przy stosowaniu wzorów skróconego mnożenia dla sześcianów. Podczas grupowania czterech wyrazów uczniowie często zapominają o wyłączeniu znaku minus z drugiej pary, przez co otrzymują niedopasowane dwumiany, co uniemożliwia dokończenie zadania. W przypadku sumy i różnicy sześcianów uczniowie często mylą znaki dodatnie i ujemne w liniowej oraz kwadratowej części postaci iloczynowej.

Zadania na kartach pracy utrwalają te umiejętności w trzech głównych formatach:

  • Wyłączanie jednomianu przed nawias: identyfikowanie i wyłączanie największego wspólnego czynnika wspólnego dla wszystkich wyrazów w wyrażeniu.
  • Rozkład na czynniki przez grupowanie: dzielenie czterowyrazowych wielomianów na pary w celu wyodrębnienia i wyłączenia wspólnego czynnika dwumianowego.
  • Suma i różnica sześcianów: identyfikowanie wyrazów w trzeciej potędze i stosowanie odpowiedniego wzoru na sześciany w celu przekształcenia wyrażenia.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wyłączanie jednomianu przed nawias · Rozkład przez grupowanie · Suma i różnica sześcianów

Dodawanie, mnożenie i praca z liczbami zespolonymi

Uczniowie uczą się dodawać, odejmować i mnożyć liczby zespolone w postaci a + bi oraz upraszczać potęgi i, korzystając z reguły, że i² jest równe –1.

Punkt podstawy HSN-CN.A.1 Wiedzieć, że istnieje liczba zespolona i taka, że i2 = –1, oraz że każda liczba zespolona ma postać a + bi, gdzie a i b są rzeczywiste. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSN-CN.A.2 Stosować zależność i2 = –1 oraz własności przemienności, łączności i rozdzielności do dodawania, odejmowania i mnożenia liczb zespolonych. (nasze tłumaczenie)

W klasie 11 uczniowie pracują z liczbami zespolonymi zapisanymi w standardowej postaci a + bi, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. Stosując znane reguły algebraiczne — w tym właściwości przemienności, łączności i rozdzielności — wraz z podstawową definicją, że i² = –1, uczniowie uczą się dodawać, odejmować i mnożyć liczby zespolone, a także obliczać dodatnie potęgi i.

Częsty błąd pojawia się podczas mnożenia, gdy uczniowie traktują i po prostu jak zwykłą zmienną, taką jak x. Często zapominają o podstawieniu –1 w miejsce i², co prowadzi do błędu znaku w ostatecznej części rzeczywistej liczby. Inny powszechny błąd występuje podczas odejmowania, gdy uczniowie zapominają o uwzględnieniu znaku minus przy obu częściach — rzeczywistej i urojonej — drugiej liczby.

Zadania ćwiczeniowe obejmują trzy przejrzyste formaty oparte na tych umiejętnościach. W dodawaniu i odejmowaniu liczb zespolonych uczniowie łączą części rzeczywiste z rzeczywistymi, a części urojone z urojonymi. W mnożeniu liczb zespolonych uczniowie wymnażają wyrażenia takie jak (3 + 2i)(1 – 4i) i upraszczają wynik do standardowej postaci a + bi. Wreszcie zadania dotyczące potęg i wymagają upraszczania wyższych potęg do postaci 1, –1, i lub –i poprzez zastosowanie zasady, że i² = –1.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych · Potęga jednostki urojonej · Mnożenie liczb zespolonych

Wyznaczanie n-tego wyrazu i sumy ciągu geometrycznego

Uczniowie uczą się zapisywać wzory na dowolny wyraz ciągu geometrycznego oraz stosować wzór na sumę, aby obliczyć sumę skończonego szeregu.

Punkt podstawy HSA-SSE.B.4 Wyprowadzać wzór na sumę skończonego szeregu geometrycznego (gdy iloraz nie jest równy 1) i stosować ten wzór do rozwiązywania problemów. Na przykład obliczać raty kredytu hipotecznego.★ (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSF-BF.A.2 Zapisywać ciągi arytmetyczne i geometryczne zarówno rekurencyjnie, jak i za pomocą wzoru jawnego, wykorzystywać je do modelowania sytuacji oraz przechodzić między tymi dwiema postaciami. ★ (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSF-LE.A.2 Konstruować funkcje liniowe i wykładnicze, w tym ciągi arytmetyczne i geometryczne, na podstawie wykresu, opisu zależności lub dwóch par wartości wejściowych i wyjściowych (w tym odczytywanie ich z tabeli). (nasze tłumaczenie)

W klasie 11 uczniowie pracują z ciągami geometrycznymi, w których każda wartość jest mnożona przez stały iloraz (różny od 1). Uczniowie zapisują wzory ogólne, aby obliczyć dowolny określony wyraz — znany jako n-ty wyraz — oraz stosują wzór na sumę skończonego ciągu geometrycznego, aby szybko zsumować określoną liczbę wyrazów.

Częsty błąd pojawia się podczas obliczania potęg i ustalania znaków. Przy wyznaczaniu n-tego wyrazu uczniowie często omyłkowo mnożą pierwszy wyraz przez iloraz przed podniesieniem do potęgi lub zapominają o użyciu n − 1 w wykładniku. Podczas obliczania sum ujemne ilorazy często prowadzą do błędów ze znakami w mianowniku, gdzie odejmowanie wartości ujemnej powinno dać dodawanie.

Ćwiczenia na kartach pracy koncentrują się na dwóch głównych typach zadań:

  • Ciąg geometryczny — n-ty wyraz: Uczniowie wyznaczają pierwszy wyraz oraz iloraz z listy lub tabeli, aby obliczyć konkretny dalszy wyraz, na przykład 8. lub 12. wyraz.
  • Ciąg geometryczny — suma wyrazów: Uczniowie stosują wzór na sumę, aby znaleźć sumę pierwszych n wyrazów ciągu bez ręcznego dodawania każdej wartości.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Ciąg geometryczny — n-ty wyraz · Ciąg geometryczny — suma wyrazów

Stosowanie wzorów skróconego mnożenia

Uczniowie uczą się wykorzystywać wzory algebraiczne do szybkiego rozwijania kwadratu sumy lub różnicy oraz iloczynu sumy i różnicy.

Punkt podstawy HSA-SSE.A.2 Wykorzystaj strukturę wyrażenia do zidentyfikowania sposobów jego przekształcenia. Na przykład dostrzeż x4 – y4 jako (x2)2 – ( y2)2, rozpoznając je w ten sposób jako różnicę kwadratów, którą można rozłożyć na czynniki jako (x2 – y2)(x2 + y2). (nasze tłumaczenie)

Na tym poziomie uczniowie uczą się rozpoznawać strukturę wyrażenia algebraicznego zamiast wymnażać każdy wyraz ręcznie. Rozpoznają wyrażenia pasujące do standardowych schematów i stosują wzory skróconego mnożenia, aby bezpośrednio uzyskać postać rozwiniętą, pracując z sumami i różnicami wyrazów zawierających zmienne oraz stałe.

Bardzo powszechny błąd pojawia się podczas podnoszenia dwumianu do kwadratu. Wielu uczniów całkowicie zapomina o środkowym wyrazie, błędnie zakładając, że podniesienie sumy do kwadratu oznacza po prostu podniesienie każdego wyrazu z osobna do kwadratu. Dzieje się tak, ponieważ próbują rozdzielić wykładnik na dodawanie lub odejmowanie, zamiast zastosować pełny wzór mnożenia.

Zadania ćwiczeniowe rozwijające tę umiejętność zazwyczaj skupiają się na dwóch typach:

  • Iloczyn sumy i różnicy, gdzie uczniowie mnożą pary sprzężone, takie jak (x + 5)(x – 5), aby bezpośrednio otrzymać różnicę kwadratów.
  • Kwadrat sumy lub różnicy, gdzie uczniowie przekształcają wyrażenia takie jak (x + 3) do kwadratu lub (2x – 7) do kwadratu, uwzględniając podwojony wyraz środkowy obok podniesionych do kwadratu wyrazów skrajnych.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Iloczyn sumy i różnicy · Kwadrat sumy i różnicy

Dzielenie wielomianów i twierdzenie o reszcie

Uczniowie uczą się dzielić wielomiany przez czynniki liniowe, takie jak x − a, oraz wyznaczać resztę bezpośrednio za pomocą twierdzenia o reszcie.

Punkt podstawy HSA-APR.B.2 Znać i stosować twierdzenie o reszcie: dla wielomianu p(x) i liczby a reszta z dzielenia przez x – a wynosi p(a), zatem p(a) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (x – a) jest czynnikiem p(x). (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSA-APR.D.6 Zapisywać proste wyrażenia wymierne w różnych postaciach; zapisywać a(x)/b(x) w postaci q(x) + r(x)/b(x), gdzie a(x), b(x), q(x) i r(x) są wielomianami, przy czym stopień r(x) jest mniejszy od stopnia b(x), za pomocą obserwacji, dzielenia pisemnego lub, w przypadku bardziej skomplikowanych przykładów, systemu algebry komputerowej. (nasze tłumaczenie)

W klasie 11 uczniowie uczą się dzielić wielomian przez dwumian liniowy postaci x − a za pomocą dzielenia pisemnego. Zapisują odpowiedzi w postaci q(x) + r/(x − a), gdzie q(x) to iloraz, a r to stała reszta. Oprócz dzielenia uczniowie stosują twierdzenie o reszcie, aby szybko znaleźć tę resztę: obliczając p(a), mogą wyznaczyć resztę bez wykonywania pełnego dzielenia, potwierdzając, że x − a jest dzielnikiem wielomianu zawsze wtedy, gdy p(a) = 0.

Częstym błędem jest mylenie znaku a. Przy dzieleniu przez dwumian taki jak x − 3 uczniowie często obliczają p(−3) zamiast p(3), ponieważ przenoszą znak minus do obliczeń. Podczas pisemnego dzielenia wielomianów uczniowie mają również tendencję do popełniania błędów w znakach przy odejmowaniu kolejnych wierszy, zwłaszcza przy odejmowaniu wyrazów, które mają już ujemne współczynniki.

Zadania na kartach pracy dotyczące tej umiejętności skupiają się na dwóch głównych formatach. W części Dzielenie wielomianu przez dwumian uczniowie wykonują dzielenie wielomianu krok po kroku, aby znaleźć iloraz i ewentualną resztę. W części Reszta z dzielenia wielomianu uczniowie korzystają z twierdzenia o reszcie, aby szybko obliczyć resztę lub sprawdzić, czy dany dwumian dzieli wielomian bez reszty.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Reszta z dzielenia wielomianu · Dzielenie wielomianu przez dwumian

Mnożenie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Uczniowie uczą się mnożyć i odejmować wyrażenia wymierne złożone z wielomianów, upraszczając wyniki do postaci pojedynczego ułamka algebraicznego.

Punkt podstawy HSA-APR.D.6 Zapisywać proste wyrażenia wymierne w różnych postaciach; zapisywać a(x)/b(x) w postaci q(x) + r(x)/b(x), gdzie a(x), b(x), q(x) i r(x) są wielomianami, przy czym stopień r(x) jest mniejszy od stopnia b(x), za pomocą obserwacji, dzielenia pisemnego lub, w przypadku bardziej skomplikowanych przykładów, systemu algebry komputerowej. (nasze tłumaczenie)

W 11. klasie uczniowie pracują z wyrażeniami wymiernymi — ułamkami, w których zarówno licznik, jak i mianownik są wielomianami. Uczniowie przekształcają i łączą te ułamki algebraiczne za pomocą mnożenia i odejmowania, aby uzyskać pojedyncze, uproszczone wyrażenie wymierne.

Częstym błędem podczas odejmowania jest zapominanie o uwzględnieniu znaku minus przy każdym wyrazie w liczniku drugiego ułamka po sprowadzeniu do wspólnego mianownika. Podczas mnożenia uczniowie często próbują skracać pojedyncze wyrazy rozdzielone znakami dodawania lub odejmowania, zamiast najpierw rozłożyć wielomiany na czynniki, aby skrócić wspólne czynniki.

Zadania ćwiczeniowe skupiają się na dwóch głównych typach: mnożeniu wyrażeń wymiernych i odejmowaniu wyrażeń wymiernych. W zadaniach na odejmowanie uczniowie znajdują wspólny mianownik wielomianowy i redukują wyrazy podobne w liczniku. W zadaniach na mnożenie uczniowie w pełni rozkładają wielomiany w licznikach i mianownikach na czynniki, aby sprowadzić ostateczny iloczyn do najprostszej postaci.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Mnożenie wyrażeń wymiernych · Odejmowanie wyrażeń wymiernych

Rozwiązywanie równań wymiernych i pierwiastkowych

Uczniowie uczą się rozwiązywać proste równania wymierne i pierwiastkowe z jedną niewiadomą oraz identyfikować rozwiązania obce, które nie spełniają wyjściowego równania.

Punkt podstawy HSA-REI.A.2 Rozwiązywać proste równania wymierne i pierwiastkowe z jedną niewiadomą oraz podawać przykłady pokazujące, jak mogą powstawać rozwiązania obce. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie uczą się rozwiązywać proste równania z jedną niewiadomą, które zawierają wyrażenia wymierne (ułamki ze zmiennymi w mianowniku) lub wyrażenia pierwiastkowe (pierwiastki zawierające zmienne). Stosują techniki algebraiczne, takie jak pozbywanie się mianowników poprzez mnożenie przez wspólne wyrażenie lub eliminowanie pierwiastków poprzez podnoszenie obu stron równania do odpowiedniej potęgi.

Częstą trudnością jest identyfikowanie rozwiązań obcych. Ponieważ operacje algebraiczne, takie jak podnoszenie obu stron do kwadratu lub mnożenie przez wyrażenie zawierające zmienną, mogą prowadzić do powstania wartości niespełniających wyjściowego równania, uczniowie często zapominają o sprawdzeniu swoich wyników. Prowadzi to do przyjmowania niepoprawnych odpowiedzi, takich jak wartości powodujące zerowanie się mianownika lub wymagające, aby pierwiastek arytmetyczny był równy liczbie ujemnej.

Karty pracy i zadania ćwiczeniowe koncentrują się na dwóch typach równań:

  • Równanie pierwiastkowe: Zadania, w których uczniowie izolują pierwiastek, eliminują go poprzez podniesienie obu stron do potęgi, wyznaczają niewiadomą i sprawdzają poprawność uzyskanych rozwiązań.
  • Równanie wymierne: Zadania, w których uczniowie pozbywają się mianowników, rozwiązują powstałe równanie liniowe lub wielomianowe oraz sprawdzają, czy żadne z rozwiązań nie prowadzi do dzielenia przez zero.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Równanie z pierwiastkiem · Równanie wymierne

Wyznaczanie równań prostych i prostych równoległych

Uczniowie uczą się wyznaczać funkcje liniowe w postaci jawnej na podstawie dwóch punktów lub jednego punktu i prostej równoległej.

Punkt podstawy HSF-BF.A.1 Zapisać funkcję opisującą zależność między dwiema wielkościami.★ a. Wyznaczyć wyrażenie w postaci jawnej, proces rekurencyjny lub kroki obliczeń na podstawie kontekstu. b. Łączyć standardowe typy funkcji za pomocą działań arytmetycznych. Na przykład zbudować funkcję modelującą temperaturę stygnącego ciała poprzez dodanie funkcji stałej do malejącej funkcji wykładniczej oraz powiązać te funkcje z modelem. c. (+) Składać funkcje. Na przykład, jeśli T(y) jest temperaturą w atmosferze w zależności od wysokości, a h(t) jest wysokością balonu meteorologicznego w zależności od czasu, to T(h(t)) jest temperaturą w miejscu balonu meteorologicznego w zależności od czasu. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie zapisują funkcje liniowe w postaci jawnej, aby opisać zależność między dwiema wielkościami. Wyznaczają współczynnik kierunkowy między dwoma danymi punktami lub identyfikują odpowiedni współczynnik kierunkowy potrzebny do zapisania równania prostej równoległej przechodzącej przez zadany punkt.

Częsty błąd pojawia się podczas pracy z prostymi równoległymi: uczniowie czasami modyfikują współczynnik kierunkowy — na przykład odwracając go lub zmieniając jego znak — zamiast zachować go bez zmian. Inny powszechny błąd pojawia się podczas samego obliczania współczynnika kierunkowego, gdy uczniowie odwracają iloraz, dzieląc zmianę wartości x przez zmianę wartości y, lub zamieniają miejscami współrzędne podczas podstawiania ich do równania.

Zadania ćwiczeniowe obejmują Prosta równoległa przechodząca przez punkt, gdzie uczniowie wykorzystują istniejące równanie liniowe oraz dany punkt do wyznaczenia nowej prostej równoległej, oraz Funkcja liniowa przechodząca przez dwa punkty, gdzie obliczają tempo zmian między dwoma punktami, aby skonstruować pełne równanie liniowe.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Prosta równoległa przez punkt · Wzór funkcji liniowej z dwóch punktów

Wyznaczanie wierzchołka i korzystanie z postaci kanonicznej

Uczniowie uczą się przekształcać równania kwadratowe do postaci kanonicznej, aby wyznaczyć wierzchołek paraboli, oś symetrii oraz wartości maksymalne lub minimalne.

Punkt podstawy HSF-IF.C.8 Zapisywać funkcję określoną za pomocą wyrażenia w różnych, lecz równoważnych postaciach, aby ujawnić i wyjaśnić różne własności funkcji. a. Stosować rozkład na czynniki i dopełnianie do kwadratu w funkcji kwadratowej, aby pokazać miejsca zerowe, wartości ekstremalne oraz symetrię wykresu, i interpretować je w kontekście. b. Stosować własności potęg do interpretacji wyrażeń opisujących funkcje wykładnicze. Na przykład określać procentową stopę zmiany w funkcjach takich jak y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10 i klasyfikować je jako reprezentujące wzrost lub zanik wykładniczy. (nasze tłumaczenie)

W klasie 11 uczniowie stosują metody algebraiczne, takie jak dopełnianie do kwadratu, aby przekształcić funkcje kwadratowe do postaci kanonicznej, y = a(x − h)2 + k. Przejście do tej postaci pozwala bezpośrednio wyznaczyć wierzchołek paraboli w punkcie (h, k), określić oś symetrii oraz podać ekstrema funkcji (w zależności od tego, czy ramiona wykresu są skierowane w górę z minimum, czy w dół z maksimum).

Częsty błąd pojawia się przy przesunięciu poziomym wewnątrz wyrażenia podniesionego do kwadratu. Ponieważ we wzorze występuje znak odejmowania, uczniowie często mylą znaki i określają wierzchołek paraboli y = (x − 4)2 + 3 jako (−4, 3) zamiast (4, 3). Błędy zdarzają się także wtedy, gdy współczynnik kierunkowy a jest różny od 1 — uczniowie zapominają wtedy wyłączyć go przed nawias przed dopełnieniem do kwadratu lub nie bilansują poprawnie równania.

Zadania na kartach pracy skupiają się na postaci kanonicznej funkcji kwadratowej oraz wyznaczaniu wierzchołka paraboli. Uczniowie ćwiczą przekształcanie równań krok po kroku z postaci ogólnej do postaci kanonicznej, odczytywanie współrzędnych wierzchołka oraz interpretowanie, co oznacza ten punkt zwrotny.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wierzchołek paraboli · Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Przeliczanie między stopniami a radianami

Uczniowie uczą się rozumieć radiany jako długości łuków na okręgu jednostkowym oraz przeliczać miary kątów między stopniami a radianami.

Punkt podstawy HSF-TF.A.1 Rozumieć miarę łukową kąta jako długość łuku na okręgu jednostkowym wyznaczonego przez ten kąt. (nasze tłumaczenie)

W 11. klasie uczniowie dowiadują się, że miara kąta w radianach to długość łuku, jaki ten kąt wycina na okręgu jednostkowym. Korzystając z tej definicji, łączą swoją wcześniejszą wiedzę na temat miary stopniowej z nowym układem pomiaru i uczą się przeliczać miary kątów ze stopni na radiany i odwrotnie.

Typowy błąd pojawia się, gdy uczniowie odwracają ułamek przeliczeniowy, mnożąc przez π/180°, podczas gdy powinni pomnożyć przez 180°/π. Uczący się często zakładają także, że miara kąta jest wyrażona w radianach tylko wtedy, gdy zawiera symbol π, co prowadzi do błędnego rozumienia tego, czym radiany w rzeczywistości są na okręgu.

Zadania dotyczące tej umiejętności koncentrują się na dwóch różnych szablonach kart pracy: Stopnie na radiany, gdzie uczniowie zapisują kąty podane w stopniach jako dokładne miary w radianach, oraz Radiany na stopnie, gdzie przeliczają miary w radianach z powrotem na wartości w stopniach.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Radiany na stopnie · Stopnie na radiany

Wyznaczanie okresu i amplitudy sinusoidy

Uczniowie uczą się wyznaczać okres oraz znajdować maksimum lub amplitudę sinusoidy, aby modelować wzorce okresowe.

Punkt podstawy HSF-TF.B.5 Dobierać funkcje trygonometryczne do modelowania zjawisk okresowych o określonej amplitudzie, częstotliwości i linii środkowej. ★ (nasze tłumaczenie)

W 11. klasie uczniowie analizują wykresy funkcji okresowych, aby modelować powtarzające się cykle. Rozpoznają kluczowe cechy geometryczne sinusoidy, wyznaczając jej okres — poziomą długość jednego pełnego cyklu — oraz znajdując wartość maksymalną krzywej w celu określenia jej amplitudy.

Częstym błędem jest mylenie całkowitej wysokości pionowej fali z jej amplitudą. Uczniowie często mierzą odległość od najniższej doliny aż do grzbietu, zapominając, że amplitudę mierzy się od linii środkowej do wierzchołka. Inna częsta pomyłka pojawia się przy wyznaczaniu okresu: uczniowie często biorą odległość między dwoma kolejnymi miejscami zerowymi, co odpowiada jedynie połowie fali, a nie pełnemu cyklowi.

Zadania na kartach pracy skupiają się bezpośrednio na tych cechach wizualnych. W sekcji Maksimum sinusoidy uczniowie odczytują z wykresu fali najwyższą wartość osiąganą wzdłuż osi pionowej. W sekcji Okres sinusoidy analizują oś poziomą, aby zmierzyć dokładną odległość od jednego grzbietu fali do następnego.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Największa wartość sinusoidy · Okres sinusoidy

Wyznaczanie współczynników w rozwinięciu dwumianowym

Uczniowie uczą się wyznaczać określone współczynniki w wyrażeniach postaci (x + c)ⁿ dla dodatnich potęg całkowitych za pomocą twierdzenia o dwumianie Newtona lub trójkąta Pascala.

Punkt podstawy HSA-APR.C.5 (+) Znać i stosować twierdzenie o dwumianie Newtona do rozwinięcia (x + y)n według potęg x i y dla dodatniej liczby całkowitej n, gdzie x i y są dowolnymi liczbami, ze współczynnikami wyznaczanymi na przykład za pomocą trójkąta Pascala. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie uczą się wyznaczać wyrazy w wyrażeniach postaci (x + c)n, gdzie n jest dodatnią liczbą całkowitą, a c jest stałą. Korzystając z dwumianu Newtona lub wierszy trójkąta Pascala, znajdują współczynnik liczbowy przy dowolnej wskazanej potędze x bez konieczności wielokrotnego, ręcznego wymnażania dwumianu.

Częsty błąd pojawia się, gdy uczniowie pomijają wartość stałej c. Często poprawnie wyznaczają współczynnik z trójkąta Pascala, ale zapominają o podniesieniu c do odpowiedniej potęgi lub mylą się przy znakach ujemnych, gdy c jest liczbą ujemną, co prowadzi do niepoprawnego wyniku końcowego dla danego współczynnika.

Zadania na kartach pracy skupiają się bezpośrednio na wyznaczaniu pojedynczego współczynnika w rozwinięciu dwumianowym. Na przykład uczeń może otrzymać wyrażenie takie jak (x + 3)5 z poleceniem obliczenia współczynnika przy wyrazie x2.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Przesunięcia wykresów w poziomie i w pionie

Uczniowie uczą się przesuwać wykresy funkcji w górę, w dół, w lewo i w prawo poprzez zmianę równania oraz wyznaczać wartość przesunięcia na podstawie wykresu.

Punkt podstawy HSF-BF.B.3 Identyfikować wpływ na wykres zastąpienia f(x) przez f(x) + k, k f(x), f(kx) oraz f(x + k) dla określonych wartości k (zarówno dodatnich, jak i ujemnych); wyznaczać wartość k na podstawie wykresów. Eksperymentować z przypadkami i ilustrować wyjaśnienie wpływu na wykres z wykorzystaniem technologii. Uwzględniać rozpoznawanie funkcji parzystych i nieparzystych na podstawie ich wykresów oraz opisujących je wyrażeń algebraicznych. (nasze tłumaczenie)

W 11. klasie uczniowie łączą zmiany w równaniu z przesunięciami jego wykresu w układzie współrzędnych. Pracując z konkretnymi dodatnimi i ujemnymi wartościami k, dowiadują się, że zastąpienie f(x) przez f(x) + k przesuwa krzywą pionowo w górę lub w dół, podczas gdy zastąpienie go przez f(x + k) przesuwa krzywą poziomo w lewo lub w prawo. Analizują także wykresy, aby wyznaczyć dokładną wartość liczbową k.

Częsty błąd pojawia się przy przesunięciach poziomych. Uczniowie rutynowo zakładają, że f(x + 3) przesuwa wykres o trzy jednostki w prawo w stronę liczb dodatnich, zamiast o trzy jednostki w lewo. Mylą również operacje wykonywane na argumencie funkcji, takie jak f(x + k), z operacjami wykonywanymi na całej wartości funkcji, takimi jak f(x) + k.

Ćwiczenia z kartami pracy Przesunięcie wykresu przedstawiają uczniom krzywą bazową wraz z krzywą przesuniętą. Uczniowie odliczają jednostki przesunięcia wzdłuż osi x lub y, aby wyznaczyć wartość k i zapisać nowy wzór funkcji, albo na podstawie podanego wzoru szkicują powstałe przesunięcie.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Wyznaczanie średniego tempa zmian

Uczniowie uczą się obliczać i interpretować średnie tempo zmian funkcji na podstawie równania lub tabeli w danym przedziale oraz szacować je na podstawie wykresu.

Punkt podstawy HSF-IF.B.6 Obliczać i interpretować średnią szybkość zmian funkcji (przedstawionej symbolicznie lub w postaci tabeli) w określonym przedziale. Szacować szybkość zmian na podstawie wykresu. ★ (nasze tłumaczenie)

W klasie 11 uczniowie określają, jak szybko funkcja rośnie lub maleje w danym przedziale. Obliczają średnie tempo zmian funkcji podanych w postaci wzorów algebraicznych (symbolicznie) lub tabel wartości, a także szacują to tempo wzrokowo, odczytując punkty z wykresu. Uczą się również interpretować, co oznacza to tempo zmian w kontekstach z życia codziennego.

Częsty błąd pojawia się, gdy uczniowie odwracają obliczenia, dzieląc zmianę argumentów przez zmianę wartości, zamiast dzielić zmianę wartości funkcji przez długość przedziału. Innym powszechnym problemem jest wyznaczanie jedynie całkowitej zmiany między dwoma punktami krańcowymi i pomijanie dzielenia przez różnicę wartości argumentów.

Zadania na kartach pracy z szablonu Średnie tempo zmian przedstawiają uczniom określony przedział wraz ze wzorem funkcji, tabelą danych lub wykresem krzywej. Uczniowie wyznaczają wartości funkcji na krańcach przedziału, dzielą zmianę pionową przez zmianę poziomą i zapisują końcowy wynik jako uproszczoną wartość lub wielkość z jednostkami.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Łączenie funkcji przez składanie

Uczniowie uczą się obliczać wartości i wyznaczać funkcje złożone, wykorzystując wynik jednej funkcji jako argument wejściowy drugiej.

Punkt podstawy HSF-BF.A.1 Zapisać funkcję opisującą zależność między dwiema wielkościami.★ a. Wyznaczyć wyrażenie w postaci jawnej, proces rekurencyjny lub kroki obliczeń na podstawie kontekstu. b. Łączyć standardowe typy funkcji za pomocą działań arytmetycznych. Na przykład zbudować funkcję modelującą temperaturę stygnącego ciała poprzez dodanie funkcji stałej do malejącej funkcji wykładniczej oraz powiązać te funkcje z modelem. c. (+) Składać funkcje. Na przykład, jeśli T(y) jest temperaturą w atmosferze w zależności od wysokości, a h(t) jest wysokością balonu meteorologicznego w zależności od czasu, to T(h(t)) jest temperaturą w miejscu balonu meteorologicznego w zależności od czasu. (nasze tłumaczenie)

W 11. klasie uczniowie uczą się łączyć dwie reguły matematyczne w taki sposób, że wynik jednej funkcji staje się argumentem kolejnej, co zapisuje się jako f(g(x)). Tworzą jawne wyrażenia dla takich złożeń funkcji i interpretują je w modelach praktycznych, na przykład łącząc czas z temperaturą za pośrednictwem zmieniającej się wysokości.

Częstą trudnością jest odwrócenie kolejności: uczniowie często najpierw obliczają funkcję zewnętrzną, wyznaczając g(f(x)) zamiast f(g(x)), lub mylą składanie funkcji z mnożeniem, traktując (f ∘ g)(x) jako f(x) · g(x). Podczas podstawiania wyrażenia algebraicznego do wzoru zewnętrznego uczniowie często zapominają również o ujęciu wyrażenia wewnętrznego w nawiasy, co prowadzi do błędów w znakach i potęgach.

Zadania generowane z szablonu Składanie funkcji zawierają pary wzorów — takich jak równania liniowe, kwadratowe lub wymierne — i wymagają od uczniów wyznaczenia złożonego wyrażenia f(g(x)) lub obliczenia wartości funkcji złożonej dla określonej wartości liczbowej.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Wyznaczanie funkcji odwrotnej do funkcji liniowej

Uczniowie uczą się wyznaczać algebraiczną funkcję odwrotną do funkcji liniowej poprzez odwracanie jej operacji i wyznaczanie zmiennej wejściowej.

Punkt podstawy HSF-BF.B.4 Wyznacz funkcje odwrotne. a. Rozwiąż równanie postaci f(x) = c dla prostej funkcji f, która ma funkcję odwrotną, i zapisz wyrażenie dla funkcji odwrotnej. Na przykład f(x) =2 x3 lub f(x) = (x+1)/(x–1) dla x ≠ 1. b. (+) Sprawdź za pomocą składania, że jedna funkcja jest funkcją odwrotną do drugiej. c. (+) Odczytaj wartości funkcji odwrotnej z wykresu lub tabeli, przy założeniu, że funkcja ma funkcję odwrotną. d. (+) Utwórz funkcję odwracalną z funkcji nieodwracalnej poprzez ograniczenie dziedziny. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie pracują z równaniami liniowymi zapisanymi w notacji funkcyjnej, takimi jak f(x) = 3x + 4 lub f(x) = -2x - 7. Na tym etapie uczą się odwracać operacje wykonywane na zmiennej wejściowej, przyrównując funkcję do wartości wyjściowej i wyznaczając x. Pozwala im to zapisać przejrzysty wzór funkcji odwrotnej, zazwyczaj oznaczanej jako f⁻¹(x).

Częstym błędem jest mylenie funkcji odwrotnej z odwrotnością wyrażenia, co prowadzi uczniów do błędnego traktowania f⁻¹(x) jako 1/f(x). Innym częstym potknięciem podczas wieloetapowego przekształcania algebraicznego jest dzielenie przez współczynnik kierunkowy tylko jednego wyrazu zamiast całej strony równania, co skutkuje zapisem x/3 + 4 zamiast (x - 4)/3.

W materiałach do druku dla szablonu Funkcja odwrotna do funkcji liniowej zadania przedstawiają regułę liniową o współczynnikach całkowitych lub ułamkowych i wymagają od uczniów wyznaczenia odpowiedniego równania funkcji odwrotnej. Uczniowie ćwiczą zamianę ról zmiennej wejściowej i wyjściowej oraz wyznaczanie nowej zmiennej zależnej za pomocą operacji odwrotnych.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Rozwiązywanie równań kwadratowych z pierwiastkami zespolonymi

Uczniowie uczą się rozwiązywać równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych, które mają rozwiązania zespolone, przy użyciu jednostki urojonej.

Punkt podstawy HSN-CN.C.7 Rozwiązywać równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych, które mają rozwiązania zespolone. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSN-CN.C.8 (+) Rozszerzać tożsamości wielomianowe na liczby zespolone. Na przykład zapisać x2 + 4 jako (x + 2i)(x – 2i). (nasze tłumaczenie)

W klasie 11 uczniowie rozwiązują równania kwadratowe o współczynnikach rzeczywistych, których rozwiązania nie są liczbami rzeczywistymi. Podczas pracy z równaniami takimi jak x2 + 4 = 0 lub korzystania ze wzoru na pierwiastki równania kwadratowego w przypadku ujemnego wyróżnika, wyrażają pierwiastki kwadratowe z liczb ujemnych za pomocą jednostki urojonej i. Mogą również używać liczb zespolonych do rozkładu na czynniki wyrażeń nierozkładalnych w zbiorze liczb rzeczywistych, przekształcając wyrażenia takie jak x2 + 4 do postaci (x + 2i)(x – 2i).

Częsty błąd pojawia się podczas upraszczania pierwiastka kwadratowego z ujemnej wartości podpierwiastkowej. Uczniowie często całkowicie pomijają znak minusa lub traktują go jak zwykły wynik ujemny — na przykład zapisując pierwiastek kwadratowy z –16 jako –4 zamiast 4i. Inną powszechną trudnością jest zapominanie o tym, że przy rozwiązywaniu równań kwadratowych o współczynnikach rzeczywistych pierwiastki zespolone zawsze występują w parach sprzężonych.

Zadania z szablonu kart pracy Równanie kwadratowe z pierwiastkami zespolonymi przedstawiają uczniom równania takie jak x2 + 2x + 5 = 0. Uczniowie stosują metody algebraiczne, takie jak wzór na pierwiastki równania kwadratowego czy dopełnianie do kwadratu, aby wyznaczyć oba rozwiązania zespolone, zapisując ostateczną odpowiedź w standardowej postaci a ± bi.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Szablony zadań do druku

Wszystkie typy zadań, pogrupowane według umiejętności. Kliknięcie otwiera generator z wybranym już typem.

Rozkładanie wielomianów na czynniki metodą grupowania i wzorami na sześciany

Dodawanie, mnożenie i praca z liczbami zespolonymi

Wyznaczanie n-tego wyrazu i sumy ciągu geometrycznego

Stosowanie wzorów skróconego mnożenia

Dzielenie wielomianów i twierdzenie o reszcie

Mnożenie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Rozwiązywanie równań wymiernych i pierwiastkowych

Wyznaczanie równań prostych i prostych równoległych

Wyznaczanie wierzchołka i korzystanie z postaci kanonicznej

Przeliczanie między stopniami a radianami

Wyznaczanie okresu i amplitudy sinusoidy

Wyznaczanie współczynników w rozwinięciu dwumianowym

Przesunięcia wykresów w poziomie i w pionie

Wyznaczanie średniego tempa zmian

Łączenie funkcji przez składanie

Wyznaczanie funkcji odwrotnej do funkcji liniowej

Rozwiązywanie równań kwadratowych z pierwiastkami zespolonymi

Pozostałe typy zadań

Wygeneruj arkusz z tego zakresu