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Programme scolaire (Pologne)

Mathématiques — 10e année

Mathématiques en 2e année de lycée et lycée technique : fonction du second degré, équations et inéquations du second degré, polynômes, fonction exponentielle, trigonométrie et géométrie plane — angles dans le cercle, similitude, théorèmes des sinus et des cosinus. Pour chaque sujet, des exercices prêts à imprimer.

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Qu'apprend un élève en mathématiques en 2e année de lycée ?

En 2e année, le cœur du programme est la fonction du second degré : forme canonique, sommet, valeurs maximale et minimale sur un intervalle, équations et inéquations du second degré ainsi que formules de Viète. L'élève effectue la division de polynômes et résout des équations polynomiales et rationnelles, découvre la fonction exponentielle et les transformations de courbes. En trigonométrie, il calcule les valeurs des fonctions dans le triangle rectangle et utilise les identités trigonométriques, et en géométrie plane, il applique le théorème de Thalès, les angles inscrits et au centre, la similitude ainsi que les théorèmes des sinus et du cosinus.

Remarque importante sur le programme scolaire : le programme du lycée général et technique est formulé par blocs — il décrit ce que l'élève maîtrise à la fin du lycée, séparément pour le niveau standard et le niveau approfondi. L'attribution d'un thème à un niveau spécifique relève de notre choix selon une progression pédagogique typique ; dans la section « Programme scolaire », vous trouverez les points officiels du programme cités textuellement.

État de la page : les exercices de ce niveau sont prêts sous forme directe (uniquement la consigne et la formule) ; les exercices avec figures, les démonstrations et les problèmes contextualisés seront ajoutés lors des prochaines étapes.

Programme officiel

  1. Point du programme MAT.LO.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Point du programme MAT.LO.1.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

  3. Point du programme MAT.LO.1.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Point du programme MAT.LO.1.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

  5. Point du programme MAT.LO.1.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

  6. Point du programme MAT.LO.1.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Point du programme MAT.LO.1.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Point du programme MAT.LO.1.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

    Équations et inéquations avec valeur absolue (chez nous en classe 10)

  9. Point du programme MAT.LO.1.P.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

  10. Point du programme MAT.LO.1.P.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

  11. Point du programme MAT.LO.1.P.2.a · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Point du programme MAT.LO.1.P.2.b · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Point du programme MAT.LO.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Point du programme MAT.LO.2.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

  15. Point du programme MAT.LO.2.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

  16. Point du programme MAT.LO.2.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

  17. Point du programme MAT.LO.2.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

  18. Point du programme MAT.LO.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Point du programme MAT.LO.3.P.1 · Contenus d'enseignement

    przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

    Résolution d'équations rationnelles et avec radicaux (chez nous en classe 10)

  20. Point du programme MAT.LO.3.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

  21. Point du programme MAT.LO.3.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

  22. Point du programme MAT.LO.3.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

    Résolution des inéquations du second degré (chez nous en classe 10) · Résolution d'équations du second degré (chez nous en classe 10)

  23. Point du programme MAT.LO.3.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

    Résolution d'équations polynomiales (chez nous en classe 10)

  24. Point du programme MAT.LO.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Point du programme MAT.LO.4.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

  26. Point du programme MAT.LO.4.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Point du programme MAT.LO.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Point du programme MAT.LO.5.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Point du programme MAT.LO.5.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

    Calcul de la valeur d'une fonction quadratique (chez nous en classe 10)

  30. Point du programme MAT.LO.5.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Point du programme MAT.LO.5.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Point du programme MAT.LO.5.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Point du programme MAT.LO.5.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

  34. Point du programme MAT.LO.5.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Point du programme MAT.LO.5.P.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

    Sommet de la parabole et forme canonique de la fonction (chez nous en classe 10)

  36. Point du programme MAT.LO.5.P.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Point du programme MAT.LO.5.P.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

    Valeur minimale et maximale d'une fonction sur un intervalle (chez nous en classe 10)

  38. Point du programme MAT.LO.5.P.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

    Problèmes d'optimisation : aire maximale (chez nous en classe 10) · Valeur minimale et maximale d'une fonction sur un intervalle (chez nous en classe 10)

  39. Point du programme MAT.LO.5.P.12 · Contenus d'enseignement

    na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

    Translation du graphique d'une fonction (chez nous en classe 10)

  40. Point du programme MAT.LO.5.P.13 · Contenus d'enseignement

    posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

    Graphique et propriétés de la fonction f(x) = a/x (chez nous en classe 10)

  41. Point du programme MAT.LO.5.P.14 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

    Calcul des valeurs d'une fonction exponentielle (chez nous en classe 10) · Résolution d'équations exponentielles de même base (chez nous en classe 10)

  42. Point du programme MAT.LO.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Point du programme MAT.LO.6.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Point du programme MAT.LO.6.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Point du programme MAT.LO.6.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Point du programme MAT.LO.6.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Point du programme MAT.LO.6.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Point du programme MAT.LO.6.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Point du programme MAT.LO.6.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Point du programme MAT.LO.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Point du programme MAT.LO.7.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

    Valeurs exactes des fonctions trigonométriques (chez nous en classe 10)

  52. Point du programme MAT.LO.7.P.2 · Contenus d'enseignement

    korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

    Calcul du cosinus et de la tangente à partir d'un sinus connu (chez nous en classe 10)

  53. Point du programme MAT.LO.7.P.3 · Contenus d'enseignement

    stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

    Théorèmes des sinus et des cosinus et aire d'un triangle (chez nous en classe 10)

  54. Point du programme MAT.LO.7.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

    Identifier les côtés de l'angle droit par rapport à un angle (chez nous en classe 10)

  55. Point du programme MAT.LO.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Point du programme MAT.LO.8.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

    Calcul de la longueur d'une corde et d'un segment de tangente (chez nous en classe 10)

  57. Point du programme MAT.LO.8.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

    Déterminer la nature d'un triangle à partir de la longueur de ses côtés (chez nous en classe 10)

  58. Point du programme MAT.LO.8.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Point du programme MAT.LO.8.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Point du programme MAT.LO.8.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

    Angle inscrit et angle au centre dans un cercle (chez nous en classe 10)

  61. Point du programme MAT.LO.8.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

    Aire d'un secteur circulaire et longueur d'arc (chez nous en classe 10)

  62. Point du programme MAT.LO.8.P.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

    Calcul de longueurs de segments à l'aide du théorème de Thalès (chez nous en classe 10)

  63. Point du programme MAT.LO.8.P.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Point du programme MAT.LO.8.P.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

    Aires et périmètres des figures semblables (chez nous en classe 10)

  65. Point du programme MAT.LO.8.P.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

    Cercle inscrit et circonscrit à un triangle rectangle (chez nous en classe 10)

  66. Point du programme MAT.LO.8.P.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Point du programme MAT.LO.8.P.12 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

    Calcul de l'aire d'un parallélogramme à l'aide du sinus (chez nous en classe 10)

  68. Point du programme MAT.LO.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Point du programme MAT.LO.9.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Point du programme MAT.LO.9.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Point du programme MAT.LO.9.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Point du programme MAT.LO.9.P.4 · Contenus d'enseignement

    posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    reformulation de notre part · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Point du programme MAT.LO.9.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Point du programme MAT.LO.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Point du programme MAT.LO.10.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Point du programme MAT.LO.10.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Point du programme MAT.LO.10.P.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Point du programme MAT.LO.10.P.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Point du programme MAT.LO.10.P.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Point du programme MAT.LO.10.P.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Point du programme MAT.LO.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Point du programme MAT.LO.11.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Point du programme MAT.LO.11.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Point du programme MAT.LO.11.P.2.a · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Point du programme MAT.LO.11.P.2.b · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Point du programme MAT.LO.12 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Point du programme MAT.LO.12.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Point du programme MAT.LO.12.P.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Point du programme MAT.LO.13 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Point du programme MAT.LO.13.P.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

    rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

    Problèmes d'optimisation : aire maximale (chez nous en classe 10)

  91. Point du programme MAT.LO.WO.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Point du programme MAT.LO.WO.1.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Point du programme MAT.LO.WO.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Point du programme MAT.LO.WO.2.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Point du programme MAT.LO.WO.2.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Point du programme MAT.LO.WO.3 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Point du programme MAT.LO.WO.3.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Point du programme MAT.LO.WO.3.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Point du programme MAT.LO.WO.3.3 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Point du programme MAT.LO.WO.3.4 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Point du programme MAT.LO.WO.4 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Point du programme MAT.LO.WO.4.1 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Point du programme MAT.LO.WO.4.2 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Point du programme MAT.LO.WO.4.3 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Point du programme MAT.LO.WO.4.4 · Objectifs généraux · vérifié avec le texte officiel

    Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Compétences étape par étape

Formules de Viète : somme et produit des racines

L'élève détermine la somme, le produit ainsi que la somme des inverses des racines d'une équation du second degré directement à partir des coefficients, sans avoir à calculer le discriminant ni les solutions elles-mêmes.

En deuxième année de lycée, l'élève détermine la somme et le produit des racines d'un trinôme du second degré directement à partir de ses coefficients numériques. À ce stade, il apprend également à transformer des relations algébriques, en ramenant par exemple la somme des inverses des racines sous la forme d'une fraction composée de leur somme et de leur produit.

Une erreur fréquente consiste à oublier le signe moins dans la formule de la somme des racines (en confondant l'expression -b/a avec b/a). Les élèves oublient également souvent de diviser par le coefficient a lorsque le terme de plus haut degré a un coefficient différent de 1, ce qui fausse complètement le résultat.

Les exercices de cette section comprennent des calculs concrets :

  • Somme des racines à l'aide des relations de Viète et produit des racines à l'aide des relations de Viète – lecture directe et calcul des valeurs à partir des coefficients de l'équation du second degré,
  • Somme des inverses des racines – réduction de l'expression au même dénominateur et application simultanée des deux formules.
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Types d’exercices: Produit des racines (Viète) · Somme des inverses des racines · Somme des racines (Viète)

Théorèmes des sinus et des cosinus et aire d'un triangle

L'élève calcule les côtés et les angles inconnus dans un triangle quelconque à l'aide de la loi des sinus et de la loi des cosinus, et détermine l'aire d'un triangle en utilisant le sinus d'un angle.

Point du programme MAT.LO.7.P.3 stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

En deuxième année de lycée (général et technologique), l'élève résout des triangles quelconques, qui ne sont pas nécessairement rectangles. Il applique le théorème des sinus ainsi que le théorème des cosinus pour déterminer les longueurs de côtés ou les mesures d'angles manquantes à partir des données fournies. Il sait également calculer efficacement l'aire d'un triangle en utilisant la formule reliant les longueurs de deux côtés au sinus de l'angle compris entre eux.

Une difficulté fréquente lors de l'application du théorème des cosinus est l'erreur de calcul dans la priorité des opérations ou l'oubli du signe négatif du cosinus pour un angle obtus. De leur côté, lors du calcul de l'aire d'un triangle, les élèves choisissent souvent un angle au hasard sur la figure au lieu de celui qui est précisément compris entre les deux côtés connus.

Les exercices à imprimer dans ce domaine couvrent trois groupes d'exercices spécifiques :

  • Théorème des cosinus — calcul de la longueur du troisième côté à partir de deux côtés et de l'angle compris entre eux, ou détermination du cosinus d'un angle lorsque les trois côtés sont connus,
  • Théorème des sinus — calcul des côtés et des angles manquants à partir du rapport de proportionnalité entre un côté et le sinus de l'angle opposé,
  • Aire du triangle avec le sinus — calcul de l'aire de la figure sans avoir besoin de déterminer préalablement sa hauteur.
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Types d’exercices: Aire du triangle avec le sinus · Loi des cosinus · Loi des sinus

Calcul des valeurs d'une fonction exponentielle

L'élève calcule les valeurs d'une fonction exponentielle pour des arguments donnés et reconnaît quand une telle fonction est décroissante.

Point du programme MAT.LO.5.P.14 posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

En deuxième année de lycée général et technique, l'élève détermine les valeurs d'une fonction exponentielle pour des arguments donnés. Il comprend le lien entre la base de la puissance et le comportement de la fonction, ce qui lui permet d'indiquer quand la fonction exponentielle est décroissante et quand elle est croissante.

Les difficultés les plus fréquentes apparaissent avec les puissances à exposants négatifs ou fractionnaires, en particulier lorsque la base de la fonction est une fraction. Les élèves confondent parfois l'inverse d'un nombre avec son opposé ou évaluent mal la monotonie, oubliant qu'une base appartenant à l'intervalle de zéro à un correspond à une fonction décroissante.

Les exercices du modèle Valeur d'une fonction exponentielle nécessitent de remplacer la variable par le nombre donné et d'effectuer les calculs appropriés sur les puissances. De leur côté, les exercices du modèle Fonction exponentielle décroissante consistent à analyser la base de la puissance dans l'expression et à déterminer si la fonction décroît lorsque les arguments augmentent.

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Types d’exercices: Fonction exponentielle décroissante · Valeur d'une fonction exponentielle

Division d'un polynôme par le binôme x − a

L'élève effectue la division d'un polynôme par un binôme de la forme x − a et détermine le quotient et le reste de cette division.

En 2e année de lycée d'enseignement général et technique, l'élève divise des polynômes par un binôme linéaire de la forme x − a. Au cours des calculs, il détermine le polynôme quotient et établit la valeur du reste, vérifiant si le polynôme est exactement divisible ou s'il présente un reste numérique.

Le problème le plus fréquent lors de la division posée est l'erreur de signe lors de la soustraction des termes successifs, en particulier lorsque le terme soustrait a un coefficient négatif. Les élèves se trompent également souvent lorsque le polynôme dividende ne comporte pas toutes les puissances consécutives : oublier d'inscrire un zéro à la place du degré manquant entraîne un mauvais alignement des termes semblables.

En pratique, l'élève est confronté à deux types d'exercices :

  • Division d'un polynôme par un binôme — consiste à effectuer la division complète étape par étape et à écrire le résultat sous la forme d'un quotient et d'un reste ;
  • Reste de la division d'un polynôme — nécessite de déterminer uniquement le reste de la division par x − a pour le polynôme donné.
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Types d’exercices: Reste de la division d'un polynôme · Division d'un polynôme par un binôme

Résolution des inéquations du second degré

L'élève résout des inéquations du second degré écrites sous forme générale ainsi que sous forme factorisée et détermine correctement l'ensemble des solutions sous forme d'intervalles numériques.

Point du programme MAT.LO.3.P.4 rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

En classe de première, l'élève apprend à déterminer l'ensemble des solutions d'inéquations du second degré. Il calcule de manière autonome les racines de la fonction polynôme du second degré correspondante ou les déduit de sa forme factorisée, puis esquisse l'allure de la parabole en tenant compte de l'orientation de ses branches afin d'en déduire correctement l'intervalle où elle est positive ou négative.

Une difficulté fréquente à ce stade est l'erreur d'orientation des branches de la parabole lorsque le coefficient du terme de plus haut degré est négatif, ce qui conduit à une mauvaise lecture de l'intervalle. Les élèves confondent également les crochets fermés et ouverts, en omettant de vérifier si l'inéquation est stricte (symboles <, >) ou large (symboles ≤, ≥).

Les exercices d'entraînement couvrent deux formats principaux :

  • Inéquation du second degré sous forme factorisée — l'élève identifie directement les racines à partir des facteurs, par exemple à partir de l'expression (x - 3)(x + 2) ≥ 0, et détermine l'intervalle sur la droite graduée ;
  • Inéquation du second degré — un exemple sous forme développée, par exemple x² - 4x + 3 < 0, nécessitant d'abord de transformer l'expression ou de calculer le discriminant delta afin de trouver les points d'intersection avec l'axe des abscisses.
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Types d’exercices: Inéquation du second degré · Inéquation du second degré factorisée

Équations et inéquations avec valeur absolue

L'élève apprend à déterminer les nombres vérifiant des équations ainsi que les intervalles de solutions d'inéquations comportant une valeur absolue.

Point du programme MAT.LO.1.P.7 stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

En 2e année de lycée général et technique, l'élève résout des exercices algébriques dans lesquels une expression contenant une inconnue se trouve sous le symbole de la valeur absolue. Il décompose efficacement le problème en plusieurs cas ou utilise une interprétation géométrique sur la droite numérique, en déterminant les nombres spécifiques vérifiant la condition ou en donnant l'ensemble des solutions sous la forme d'un intervalle.

Un problème classique réside dans la confusion des connecteurs logiques lors de l'écriture des inéquations. Les élèves utilisent souvent la réunion d'intervalles au lieu de leur intersection (ou inversement), ce qui découle d'une confusion entre les conditions pour les relations d'infériorité et de supériorité. Une erreur fréquente consiste également à oublier de changer le sens de l'inégalité lors du traitement du cas avec un nombre négatif.

Le travail sur ce thème comprend les modèles Équation avec valeur absolue et Inéquation avec valeur absolue. Dans les exercices, l'élève transforme l'expression algébrique donnée, élimine le symbole de la valeur absolue et écrit la solution finale sous la forme d'un ensemble de nombres ou d'intervalles numériques.

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Types d’exercices: Équation avec valeur absolue · Inéquation avec valeur absolue

Résolution d'équations polynomiales

L'élève résout des équations polynomiales écrites sous forme factorisée ainsi que des équations bicarrées à l'aide d'une variable auxiliaire.

Point du programme MAT.LO.3.P.5 rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

En deuxième année de lycée général et technique, l'élève apprend à déterminer les solutions d'équations polynomiales de degré supérieur à deux dans des configurations spécifiques et accessibles. Il travaille avec des expressions écrites sous forme factorisée (produit de facteurs), en utilisant le fait qu'un produit est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul. Il résout également des équations bicarrées (de degré quatre avec uniquement des puissances paires), en les ramenant à des équations du second degré à l'aide d'un changement de variable posé pour le carré de l'inconnue.

L'erreur la plus fréquente avec les équations bicarrées consiste à arrêter les calculs à l'étape de la détermination des valeurs de la variable auxiliaire et à oublier de revenir à l'inconnue initiale. Il arrive aussi que les élèves tentent de calculer la racine carrée de valeurs négatives de la variable auxiliaire dans l'ensemble des nombres réels. De leur côté, pour les équations sous forme factorisée, les élèves ont souvent le réflexe de développer les parenthèses, ce qui complique inutilement le problème, au lieu d'égaler immédiatement chaque facteur à zéro.

Les exercices évaluant cette compétence reposent sur deux schémas :

  • Équation polynomiale sous forme factorisée — nécessite de décomposer le produit de plusieurs parenthèses en équations plus simples du premier ou du second degré et de donner l'ensemble complet des solutions.
  • Équation bicarrée — nécessite un changement de variable, le calcul du discriminant de l'équation du second degré (delta), puis la détermination des valeurs finales de l'inconnue.
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Types d’exercices: Équation polynomiale factorisée · Équation bicarrée

Résolution d'équations rationnelles et avec radicaux

L'élève apprend à déterminer l'ensemble de définition et à résoudre correctement des équations contenant une inconnue au dénominateur d'une fraction ou sous un radical.

Point du programme MAT.LO.3.P.1 przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

En deuxième année de lycée et de lycée technique, l'élève résout des équations algébriques dans lesquelles l'inconnue apparaît sous un radical ou au dénominateur d'une expression fractionnaire. L'élément clé à ce stade est la détermination de l'ensemble de définition, c'est-à-dire l'identification des nombres pour lesquels l'écriture a un sens mathématique — en particulier l'exclusion des valeurs annulant le dénominateur ainsi que la prise en compte des conditions d'existence des radicaux.

L'erreur la plus fréquente consiste à transformer mécaniquement l'écriture sans vérifier les conditions initiales. Les élèves oublient souvent l'ensemble de définition ou le fait que l'élévation des deux membres d'une équation au carré peut faire apparaître des solutions parasites, ce qui les conduit à donner comme réponse correcte un nombre qui ne vérifie pas l'équation de départ.

En pratique, les exercices reposent sur les modèles Équation rationnelle et Équation avec radical. L'élève y rencontre des problèmes consistant à simplifier des expressions fractionnaires, à effectuer un produit en croix ou à isoler le radical d'un côté de l'équation, puis à vérifier la validité des résultats obtenus par rapport à l'ensemble de définition.

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Types d’exercices: Équation avec racine · Équation rationnelle

Sommet de la parabole et forme canonique de la fonction

L'élève apprend à déterminer les coordonnées du sommet d'une parabole ainsi qu'à écrire et lire l'expression d'une fonction du second degré sous forme canonique.

Point du programme MAT.LO.5.P.8 interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

L'élève de deuxième année de lycée maîtrise la détermination des coordonnées du sommet de la parabole et le travail avec la forme canonique de la fonction quadratique. Il sait lire avec aisance les coordonnées du sommet à partir de la formule sous la forme y = a(x - p)² + q et transformer la forme générale de la fonction en forme canonique.

La difficulté la plus fréquente réside dans la lecture correcte de la première coordonnée du sommet en raison du signe moins dans la formule. Les élèves confondent le signe du nombre entre parenthèses : avec l'écriture (x - 4)², ils indiquent -4 au lieu de 4 pour la première coordonnée, et avec l'expression (x + 3)², ils oublient que cette coordonnée vaut -3.

En pratique, les exercices issus des modèles Sommet de la parabole et Forme canonique de la fonction quadratique consistent à lire directement les coordonnées du sommet à partir d'une formule donnée, à les calculer à partir de la forme générale ou à établir soi-même l'expression de la fonction admettant un sommet déterminé.

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Types d’exercices: Sommet d'une parabole · Forme canonique

Valeur minimale et maximale d'une fonction sur un intervalle

L'élève apprend à déterminer la valeur maximale et la valeur minimale d'une fonction du second degré sur un intervalle fermé donné, en vérifiant le sommet de la parabole et ses extrémités.

Point du programme MAT.LO.5.P.10 wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
Point du programme MAT.LO.5.P.11 wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

En 2e année de lycée et de lycée technique, l'élève apprend à déterminer la valeur minimale et maximale d'une fonction du second degré sur un intervalle fermé donné. Il analyse l'expression de la fonction, calcule l'abscisse du sommet de la parabole et vérifie si elle se trouve à l'intérieur de l'intervalle indiqué, puis compare les valeurs atteintes à ses bornes et au sommet.

L'erreur la plus fréquente consiste à calculer mécaniquement la valeur de la fonction uniquement aux bornes de l'intervalle, en omettant le sommet de la parabole où la fonction peut atteindre son extremum réel. L'erreur inverse se produit également : l'élève indique automatiquement la valeur au sommet en oubliant de vérifier si son abscisse se situe bien dans l'intervalle donné.

Les exercices de ce domaine correspondent aux modèles Valeur maximale sur un intervalle et Valeur minimale sur un intervalle. L'élève reçoit l'expression d'une fonction du second degré ainsi qu'un intervalle numérique donné, et son objectif est d'indiquer un nombre unique représentant la valeur minimale ou maximale de la fonction dans ces limites.

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Types d’exercices: Plus grande valeur sur un intervalle · Plus petite valeur sur un intervalle

Identifier les côtés de l'angle droit par rapport à un angle

L'élève identifie le côté opposé à un angle aigu donné et le côté adjacent à cet angle dans un triangle rectangle.

Point du programme MAT.LO.7.P.4 oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

En classe de seconde (lycée général et technique), l'élève apprend à identifier correctement les côtés d'un triangle rectangle par rapport à un angle aigu donné. Il distingue avec précision quel côté de l'angle droit forme l'angle en question (côté adjacent) et lequel se trouve à son opposé (côté opposé), ce qui constitue une étape indispensable pour définir les fonctions trigonométriques.

Une erreur classique consiste à confondre le côté adjacent à l'angle avec le côté opposé à celui-ci. Cette difficulté s'accentue particulièrement lorsque le triangle est représenté dans une orientation inhabituelle (tourné) et que l'élève tente d'évaluer les côtés selon leur disposition verticale ou horizontale sur la page, plutôt que d'examiner leur position par rapport au sommet de l'angle.

Les exercices de ce chapitre se présentent sous forme graphique et reposent sur l'analyse de la figure d'un triangle rectangle avec un angle repéré. L'élève s'exerce sur des tâches du type :

  • Côté adjacent à l'angle — repérer et nommer le côté adjacent à l'angle indiqué,
  • Côté opposé à l'angle — identifier le côté situé en face de l'angle aigu donné.
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Types d’exercices: Côté adjacent · Côté opposé

Calcul du cosinus et de la tangente à partir d'un sinus connu

L'élève détermine la valeur du cosinus et de la tangente d'un angle en utilisant la connaissance du sinus et les identités trigonométriques.

Point du programme MAT.LO.7.P.2 korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

En deuxième année de lycée général et technologique, l'élève applique les identités trigonométriques fondamentales : la relation sin²α + cos²α = 1 (l'identité trigonométrique fondamentale) ainsi que la définition de la tangente comme quotient tan α = sin α / cos α. À partir de la valeur numérique du sinus d'un angle (souvent donnée sous la forme d'une fraction), il est capable de calculer efficacement la valeur correspondante du cosinus, puis d'en déduire la tangente.

Les erreurs courantes sont souvent d'ordre calculatoire lors de la transformation de l'équation : élévation incorrecte d'une fraction au carré (par exemple, oubli d'élever le dénominateur au carré) ou difficultés à réduire et à extraire la racine carrée du résultat obtenu. Pour déterminer la tangente, les élèves commettent également des erreurs lors de la division par une fraction, en oubliant de multiplier par son inverse.

Les exercices de ce chapitre reposent sur les démarches suivantes :

  • Cosinus à partir du sinus — consiste à remplacer la valeur connue du sinus dans l'identité trigonométrique fondamentale, à la soustraire de 1 et à prendre la racine carrée du résultat ;
  • Tangente à partir du sinus — l'élève détermine d'abord le cosinus, puis calcule dans un second temps la valeur de la tangente en divisant le sinus donné par le cosinus obtenu.
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Types d’exercices: Cosinus à partir du sinus · Tangente à partir du sinus

Aire d'un secteur circulaire et longueur d'arc

L'élève calcule la longueur d'un arc de cercle et l'aire d'un secteur circulaire à partir du rayon donné et de la mesure de l'angle au centre.

Point du programme MAT.LO.8.P.6 stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

Au lycée, l'élève apprend à déterminer les mesures de portions de cercle et de disque. À partir d'un rayon donné et de la mesure de l'angle au centre exprimée en degrés, il calcule quelle fraction de la circonférence totale représente l'arc et quelle fraction de l'aire totale du disque occupe le secteur circulaire donné.

Une erreur classique à ce stade consiste à confondre les formules : utiliser le rayon au carré pour calculer la longueur d'un arc (au lieu de la formule du périmètre) ou utiliser le double du rayon au lieu de son carré pour calculer l'aire du secteur. Les élèves oublient également souvent la constante π lors des transformations ou commettent des erreurs de calcul en simplifiant la fraction formée par la mesure de l'angle sur 360 degrés.

Les exercices permettant de travailler cette compétence se présentent sous deux formes :

  • Longueur d'un arc – l'élève calcule la longueur d'une portion de cercle pour un rayon et un angle au centre donnés.
  • Aire d'un secteur circulaire – l'exercice consiste à calculer la surface d'un secteur de disque à partir des paramètres fournis.
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Types d’exercices: Aire d'un secteur · Longueur d'un arc

Angle inscrit et angle au centre dans un cercle

L'élève calcule la mesure d'un angle inscrit à partir de l'angle au centre interceptant le même arc et détermine la mesure de l'angle au centre lorsqu'il connaît la mesure de l'angle inscrit correspondant.

Point du programme MAT.LO.8.P.5 stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

En deuxième année de lycée, l'élève utilise une relation géométrique fondamentale dans le cercle : la mesure de l'angle au centre est deux fois plus grande que celle de l'angle inscrit interceptant le même arc. En pratique, cela se traduit par la réalisation aisée de calculs simples — multiplier ou diviser par 2 la mesure d'angle donnée en degrés.

L'erreur la plus fréquente consiste à inverser cette relation et à diviser par deux au lieu de multiplier (ou inversement), ce qui aboutit à un résultat illogique où l'angle inscrit devient plus grand que l'angle au centre. Les élèves ont également parfois des difficultés à vérifier sur la figure si les deux angles interceptent bien exactement le même arc de cercle.

Les exercices de ce domaine reposent sur deux schémas de calcul clairs :

  • Angle au centre à partir de l'angle inscrit – à partir de la mesure donnée d'un angle inscrit (par ex. 35°), l'élève détermine la mesure de l'angle au centre en multipliant cette valeur par 2 ;
  • Angle inscrit à partir de l'angle au centre – l'élève reçoit la mesure d'un angle au centre (par ex. 110°) et calcule l'angle inscrit correspondant en divisant cette valeur par deux.
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Types d’exercices: Angle au centre à partir de l'angle inscrit · Angle inscrit à partir de l'angle au centre

Calcul de la longueur d'une corde et d'un segment de tangente

L'élève calcule les longueurs des cordes et des segments tangents au cercle, en utilisant les propriétés du rayon, des angles et des triangles rectangles.

Point du programme MAT.LO.8.P.1 wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

L'élève de deuxième année de lycée général et technologique détermine les longueurs des cordes et des segments tangents à un cercle. Dans les calculs géométriques, il combine les données relatives au rayon du cercle et aux distances des points, en utilisant des triangles rectangles formés par la configuration du cercle et des droites.

Une erreur fréquente consiste à négliger le fait que le rayon issu du point de tangence est toujours perpendiculaire à la tangente, ce qui empêche d'établir correctement l'égalité issue du théorème de Pythagore. Dans les exercices impliquant une corde, les élèves se trompent également en oubliant que le segment tracé depuis le centre du cercle perpendiculairement à la corde la coupe en deux parties égales.

Les exercices reposent sur deux types d'énoncés :

  • Longueur d'une corde — l'élève calcule la longueur de la corde en connaissant le rayon du cercle et sa distance au centre, ou détermine le rayon manquant pour une corde donnée,
  • Segment de tangente — l'exercice consiste à déterminer la distance entre un point extérieur et le point de tangence au cercle, connaissant la distance par rapport au centre du cercle et son rayon.
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Types d’exercices: Longueur d'une corde · Segment de tangente

Cercle inscrit et circonscrit à un triangle rectangle

L'élève calcule la longueur du rayon du cercle inscrit et du cercle circonscrit à un triangle rectangle à partir des longueurs de ses côtés.

Point du programme MAT.LO.8.P.10 wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

En 2e année, l'élève utilise les propriétés du triangle rectangle pour déterminer les rayons des cercles qui lui sont associés. Il remarque et applique une relation géométrique clé : l'hypoténuse d'un triangle rectangle est également le diamètre de son cercle circonscrit, ce qui permet de déterminer immédiatement le rayon comme étant la moitié de sa longueur. Parallèlement, l'élève calcule le rayon du cercle inscrit en reliant les longueurs des côtés de l'angle droit et de l'hypoténuse par une relation algébrique appropriée, ou en mettant en relation l'aire du triangle avec son périmètre.

Le problème le plus fréquent est la confusion mécanique entre les formules du rayon du cercle circonscrit et du cercle inscrit, ainsi que les erreurs de distinction entre les côtés de l'angle droit et l'hypoténuse. Une difficulté apparaît également lorsque seules deux longueurs de côtés sont données dans l'énoncé de l'exercice : l'élève oublie alors la nécessité de calculer au préalable le côté manquant à l'aide du théorème de Pythagore.

Les exercices évaluant cette compétence se présentent sous deux variantes distinctes : Rayon du cercle circonscrit à un triangle rectangle et Rayon du cercle inscrit dans un triangle rectangle. Dans les exercices, l'élève dispose des longueurs des côtés (ou de deux d'entre elles) et indique ou calcule la valeur exacte du rayon recherché.

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Types d’exercices: Rayon du cercle circonscrit au triangle rectangle · Rayon du cercle inscrit dans le triangle rectangle

Problèmes d'optimisation : aire maximale

L'élève apprend à déterminer les dimensions d'un rectangle ou d'un enclos donnant la plus grande aire possible, en utilisant les propriétés du sommet de la parabole d'une fonction du second degré.

Point du programme MAT.LO.13.P.1 rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
Point du programme MAT.LO.5.P.11 wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

En deuxième année de lycée, l'élève sait modéliser un problème géométrique à l'aide d'une fonction du second degré et déterminer sa valeur maximale. À ce stade, il traduit l'énoncé du problème en une équation exprimant l'aire d'une figure en fonction de la longueur de l'un de ses côtés, puis, en s'appuyant sur les coordonnées du sommet de la parabole, il détermine les dimensions optimales.

Une erreur fréquente consiste à négliger les contraintes de configuration de l'exercice, par exemple lorsqu'un terrain est adjacent à un mur et ne nécessite pas de clôture sur tous ses côtés. Les élèves appliquent alors par réflexe la formule standard du périmètre d'un rectangle à quatre côtés au lieu d'additionner uniquement les trois côtés à clôturer, ce qui conduit à une formule de fonction erronée et à un résultat final inexact.

En pratique, l'élève est confronté à des problèmes concrets formulés sous forme d'énoncés, tels que :

  • Le rectangle d'aire maximale – déterminer les côtés d'une parcelle pour une longueur totale de grillage définie à l'avance ;
  • L'enclos d'aire maximale adossé à un mur – concevoir un espace rectangulaire en utilisant le mur existant d'un bâtiment, où la clôture n'est posée que sur trois côtés.
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Types d’exercices: Enclos contre un mur d'aire maximale · Rectangle d'aire maximale

Résolution d'équations exponentielles de même base

L'élève est capable de ramener les deux membres d'une équation exponentielle à la même base et d'égaliser leurs exposants pour déterminer l'inconnue.

Point du programme MAT.LO.5.P.14 posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

En classe de deuxième année de lycée, l'élève découvre la méthode de résolution des équations dans lesquelles l'inconnue se trouve dans l'exposant d'une puissance. Cette compétence consiste à transformer les deux membres de l'équation de manière à obtenir des puissances de même base (par exemple en écrivant les nombres sous forme de puissances de deux, de trois ou de fractions). Lorsque les bases sont identiques, l'élève compare les exposants et détermine la valeur de la variable recherchée.

À ce stade, les erreurs les plus courantes proviennent de l'application des règles de calcul sur les puissances — notamment la confusion entre le produit de puissances et la puissance d'une puissance (par exemple, additionner les exposants au lieu de les multiplier). Les élèves essaient parfois aussi d'« éliminer » les bases prématurément, avant d'avoir ramené les deux membres de l'équation sous la forme d'une puissance unique de même base.

En pratique, les exercices du modèle Équation exponentielle nécessitent de résoudre une égalité où des expressions de puissances figurent des deux côtés. L'élève ramène les nombres à une base commune, établit une équation linéaire simple à partir des exposants obtenus et calcule le résultat final.

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Coefficients dans le développement du binôme de Newton

L'élève apprend à déterminer des coefficients numériques particuliers associés aux puissances de la variable dans le développement d'une puissance de binôme à l'aide de la formule du binôme de Newton.

L'élève utilise la formule du binôme de Newton pour déterminer des coefficients numériques spécifiques dans le développement d'une puissance d'un binôme. Au lieu de multiplier successivement les parenthèses entre elles, il est capable d'identifier et de calculer directement la valeur numérique associée à une puissance donnée de la variable en utilisant les coefficients binomiaux.

Une erreur fréquente consiste à ne pas prendre en compte les coefficients associés à la variable elle-même à l'intérieur de la parenthèse. Les élèves se concentrent sur le calcul du coefficient binomial en oubliant que la puissance s'applique à l'ensemble du terme — par exemple, pour élever l'expression 2x à une puissance, il faut y élever aussi bien le nombre 2 que l'inconnue. La gestion correcte des signes moins lors de la soustraction de termes dans la parenthèse pose également difficulté.

Dans les exercices du modèle Coefficient dans le développement du binôme, l'élève reçoit une puissance d'un binôme et détermine le coefficient associé à la puissance donnée de la variable sans avoir à développer tous les autres termes.

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Résolution des inéquations polynomiales

L'élève résout des inéquations polynomiales en déterminant leurs racines et en lisant les intervalles numériques correspondants sur la droite numérique.

En deuxième année de lycée général et technologique, l'élève passe des inéquations du second degré aux inéquations polynomiales de degrés supérieurs. Il factorise le polynôme, détermine ses racines, puis les place sur un axe gradué et esquisse une courbe simplifiée afin de déterminer pour quelles valeurs l'expression est positive ou négative.

L'erreur la plus fréquente consiste à ne pas tenir compte de la multiplicité des racines lors du tracé du graphique sur l'axe. Les élèves ont tendance à traverser mécaniquement l'axe à chaque racine, en oubliant que pour les racines de multiplicité paire, la courbe « rebondit » sur l'axe et que le signe du polynôme ne change pas à cet endroit.

Un exercice type du modèle Inéquation polynomiale consiste à trouver tous les nombres qui vérifient l'inéquation donnée (souvent déjà écrite sous forme factorisée ou nécessitant un simple regroupement de termes) et à exprimer correctement le résultat sous la forme d'un intervalle ou d'une réunion d'intervalles.

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Résolution d'équations du second degré

L'élève apprend à déterminer les solutions d'équations du second degré en utilisant les formules des racines et le discriminant delta ou la factorisation de l'expression.

Point du programme MAT.LO.3.P.4 rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

En 2e année de lycée et de lycée technique, l'élève résout des équations du second degré sous forme générale et incomplète. À partir des coefficients numériques, il calcule le discriminant de l'équation (delta), détermine le nombre de racines réelles, puis calcule précisément leurs valeurs à l'aide des formules usuelles ou de transformations algébriques.

L'erreur la plus courante concerne les fautes de signe lors du calcul de delta, en particulier lorsque le coefficient c ou b est un nombre négatif. Dans les équations incomplètes, les élèves ont souvent tendance à diviser les deux membres par l'inconnue, ce qui entraîne la perte irrémédiable de l'une des solutions (généralement zéro), au lieu de factoriser par un facteur commun.

Les exercices du modèle Équation du second degré consistent à mettre l'expression donnée sous forme réduite et ordonnée, puis à déterminer toutes les solutions appartenant à l'ensemble des nombres réels ou à justifier correctement que de telles solutions n'existent pas.

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Translation du graphique d'une fonction

L'élève apprend à esquisser les courbes représentatives de fonctions obtenues par translation le long des axes du repère et à déterminer leurs nouvelles expressions.

Point du programme MAT.LO.5.P.12 na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

En deuxième année de lycée d'enseignement général et technologique, l'élève maîtrise la transformation des courbes représentatives de fonctions par translation le long des axes du repère. Il est capable de translater la courbe d'une fonction de référence verticalement (d'un nombre donné d'unités vers le haut ou vers le bas) et horizontalement (vers la gauche ou vers la droite), ainsi que de relier ce déplacement à une modification de l'expression de la fonction.

La difficulté la plus fréquente réside dans l'interprétation correcte de la translation horizontale. Les élèves confondent fréquemment le sens du déplacement le long de l'axe horizontal et déplacent la courbe de la fonction f(x - p) vers la gauche au lieu de la droite, associant par réflexe le signe moins au sens négatif de l'axe.

Les exercices du modèle Translation de la courbe d'une fonction consistent à tracer l'allure de la courbe transformée à partir de l'expression donnée ou à déterminer graphiquement de combien d'unités et dans quel sens la courbe initiale a été translatée, pour ensuite écrire la nouvelle expression obtenue.

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Recherche des points d'intersection d'une droite et d'une parabole

L'élève apprend à déterminer les points d'intersection d'une droite et d'une parabole par la résolution algébrique d'un système d'équations linéaire et quadratique.

En classe de 2e, l'élève associe la géométrie analytique à l'algèbre en résolvant des systèmes composés d'une équation linéaire et d'une équation du second degré. Il isole lui-même une variable dans l'équation de la droite et la substitue dans l'équation de la parabole, ramenant le problème à une équation du second degré à une inconnue, qu'il résout à l'aide du discriminant (delta).

Une erreur classique à ce stade consiste à s'arrêter après avoir déterminé l'inconnue x. Les élèves trouvent correctement les racines de l'équation du second degré, mais oublient de calculer les valeurs de y correspondantes, ne donnant ainsi pas les coordonnées complètes du point. Des erreurs de signe apparaissent également fréquemment lors du regroupement de tous les termes d'un même côté de l'équation.

Les exercices du modèle Points d'intersection d'une parabole et d'une droite consistent à déterminer algébriquement les couples de nombres (coordonnées des points) en lesquels les courbes représentatives des fonctions données se coupent. L'élève vérifie si la droite coupe la parabole en deux points, lui est tangente en un unique point de contact ou si les courbes n'ont aucun point commun.

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Calcul de la valeur d'une fonction quadratique

L'élève apprend à calculer la valeur d'une fonction quadratique pour un argument donné, en remplaçant correctement les nombres dans la formule et en effectuant les calculs.

Point du programme MAT.LO.5.P.2 oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

À cette étape, l'élève sait déterminer la valeur d'une fonction du second degré écrite sous forme générale pour un antécédent donné. L'exercice consiste à remplacer la variable x par le nombre donné, à l'élever au carré, à effectuer les multiplications par les coefficients, puis à additionner et soustraire les termes obtenus.

L'erreur la plus fréquente consiste à confondre l'ordre des opérations et à élever incorrectement des nombres négatifs au carré. Les élèves oublient souvent les parenthèses autour d'un nombre négatif et écrivent par exemple -32 = 9 au lieu de (-3)2 = 9. Il arrive également qu'ils multiplient d'abord la valeur de x par le coefficient du terme de plus haut degré avant d'élever le produit au carré.

Dans les exercices du modèle Valeur d'une fonction du second degré, l'élève reçoit l'expression d'une fonction ainsi qu'un nombre précis et doit calculer le résultat, par exemple déterminer la valeur de la fonction f(x) = 2x2 - 5x + 1 pour x = -2.

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Graphique et propriétés de la fonction f(x) = a/x

L'élève trace la courbe représentative de la fonction f(x) = a/x, détermine son ensemble de définition et lit les propriétés fondamentales de l'hyperbole en fonction du signe du coefficient a.

Point du programme MAT.LO.5.P.13 posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

À ce stade, l'élève travaille avec la forme fondamentale de la proportionnalité inverse, c'est-à-dire la fonction f(x) = a/x pour un nombre fixé a ≠ 0. Il est capable de déterminer l'ensemble de définition de la fonction (en tenant compte de la condition x ≠ 0), de dresser un tableau de valeurs pour certains nombres positifs et négatifs, puis de tracer la courbe représentative — une hyperbole. À partir de l'expression algébrique ou du graphique, il détermine l'ensemble des valeurs (l'image), le sens de variation par intervalles et indique les quadrants du repère dans lesquels se situent les branches de la courbe.

Une erreur fréquente consiste à relier mécaniquement les deux branches de l'hyperbole en une seule ligne continue qui coupe l'axe des ordonnées, ce qui découle de l'oubli du fait que zéro n'appartient pas au domaine de définition de la fonction. Les élèves ont également des difficultés à déterminer correctement les variations : ils décrivent à tort la fonction comme étant décroissante sur tout son domaine de définition au lieu de deux intervalles distincts, et ils confondent aussi la disposition des branches de la courbe lorsque le coefficient a est négatif.

Dans les exercices du modèle Fonction f(x) = a/x, l'élève complète le plus souvent un tableau et esquisse le graphique pour une valeur numérique donnée du paramètre, détermine l'expression de la fonction à partir des coordonnées d'un point situé sur l'hyperbole ou lit sur le graphique les antécédents pour lesquels la fonction prend des valeurs déterminées.

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Valeurs exactes des fonctions trigonométriques

L'élève détermine les valeurs exactes des fonctions trigonométriques pour des angles usuels, en utilisant les formules de réduction et les propriétés des fonctions dans les différents quadrants.

Point du programme MAT.LO.7.P.1 wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

En classe de première de lycée, l'élève apprend à déterminer les valeurs exactes du sinus, du cosinus ou de la tangente pour des angles obtus et supérieurs à 90°. À l'aide des formules de réduction, il ramène les calculs de ces angles à des valeurs connues d'angles aigus (principalement 30°, 45° et 60°).

Le problème le plus fréquent lors de ces calculs est de déterminer le bon signe du résultat (plus ou moins). Les élèves confondent souvent le quadrant dans lequel se trouve l'angle donné, ou déterminent le signe à partir de la fonction obtenue après réduction plutôt qu'à partir de la fonction initiale.

Un exercice type du modèle Valeur exacte d'une fonction trigonométrique consiste à donner la valeur exacte (écrite sous la forme d'une fraction ou d'une racine, sans approximation décimale) pour un angle donné, tel que 120°, 225° ou 300° par exemple.

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Calcul de l'aire d'un parallélogramme à l'aide du sinus

L'élève calcule l'aire d'un parallélogramme en utilisant les longueurs de deux côtés adjacents et le sinus de l'angle entre eux.

Point du programme MAT.LO.8.P.12 stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

En deuxième année de lycée, l'élève associe ses connaissances sur les figures planes à la trigonométrie. Il sait déterminer l'aire d'un parallélogramme en appliquant la formule basée sur les longueurs de deux côtés adjacents et le sinus de l'angle qu'ils forment : A = a · b · sin(α).

Une erreur classique à ce stade consiste à insérer directement la mesure de l'angle dans la formule au lieu d'utiliser la valeur de son sinus (par exemple, multiplier par 60 au lieu de multiplier par sin 60°). Les élèves ont également parfois des difficultés avec les parallélogrammes comportant un angle obtus, en oubliant que le sinus d'un angle obtus est égal au sinus de l'angle aigu qui en est le supplément à 180°.

Les exercices du modèle Aire d'un parallélogramme avec le sinus demandent de calculer l'aire de la figure à partir de la longueur des côtés et de la mesure connue de l'angle (le plus souvent avec des valeurs remarquables telles que 30°, 45°, 60° ou 120°), ou bien de déterminer la longueur d'un côté manquant lorsque l'aire du parallélogramme est connue.

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Aires et périmètres des figures semblables

L'élève apprend à déterminer l'aire ou le périmètre d'une figure semblable, en utilisant le rapport de similitude et son carré.

Point du programme MAT.LO.8.P.9 wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

En 2e année de lycée d'enseignement général et technique, l'élève utilise les relations entre figures semblables pour calculer leurs dimensions. Il manie avec aisance le rapport de similitude k, en appliquant la règle selon laquelle le rapport des périmètres des figures est égal à k et le rapport de leurs aires est égal à k².

L'erreur la plus fréquente consiste à multiplier directement l'aire de la figure par le rapport k au lieu de son carré. Les élèves appliquent souvent de manière mécanique la règle concernant la longueur des côtés et les périmètres à l'aire, ce qui conduit à des résultats erronés.

Dans un exercice type du modèle Aire d'une figure semblable, l'élève connaît l'aire de l'une des figures ainsi que le rapport de similitude (ou les longueurs des côtés homologues) et détermine à partir de là l'aire de la seconde figure, agrandie ou réduite.

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Calcul de longueurs de segments à l'aide du théorème de Thalès

L'élève utilise le théorème de Thalès pour calculer les longueurs manquantes de segments sur des droites coupées par des droites parallèles.

Point du programme MAT.LO.8.P.7 stosuje twierdzenie Talesa

En classe de 2e de lycée et de lycée technique, l'élève applique le théorème de Thalès dans des exercices de géométrie plane. À partir des relations entre les segments découpés sur des droites par des droites parallèles, il établit les proportions correspondantes et détermine les longueurs inconnues.

L'erreur la plus fréquente consiste à associer incorrectement les segments dans la proportion, en particulier lorsque l'exercice porte sur la longueur de segments situés sur les droites parallèles. Les élèves confondent alors les segments découpés sur les côtés de l'angle avec les côtés entiers, en comparant le segment situé entre les parallèles au lieu du segment mesuré à partir du sommet de l'angle.

Les exercices du modèle Théorème de Thalès comportent une figure représentant un angle ou des droites sécantes coupées par des droites parallèles. À partir des longueurs numériques fournies pour certains segments, l'élève écrit l'égalité de rapports et calcule la valeur manquante.

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Déterminer la nature d'un triangle à partir de la longueur de ses côtés

L'élève vérifie si l'on peut construire un triangle à partir des longueurs de côtés données et détermine s'il est acutangle, rectangle ou obtusangle.

Point du programme MAT.LO.8.P.2 rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

À partir de trois nombres décrivant les longueurs des côtés, l'élève est capable d'étudier la géométrie de la figure : il vérifie d'abord l'inégalité triangulaire, puis détermine si le triangle est acutangle, rectangle ou obtusangle. En deuxième année de lycée général et technique, il effectue cela en comparant la somme des carrés des deux côtés les plus courts avec le carré du côté le plus long, en utilisant une généralisation du théorème de Pythagore.

Une erreur fréquente consiste à omettre la première étape, à savoir la condition d'existence du triangle (la somme des deux côtés les plus courts doit être supérieure au côté le plus long). Les élèves passent directement à l'élévation des nombres au carré et tirent des conclusions erronées pour des séries de nombres qui ne permettent pas du tout de former un triangle. Il arrive également souvent de confondre le sens de l'inégalité — en considérant que lorsque la somme des carrés des deux plus courts côtés est inférieure au carré du plus long côté, le triangle est acutangle au lieu d'être obtusangle.

Dans les exercices du modèle Nature du triangle d'après la longueur des côtés, l'élève reçoit une série de trois longueurs données (nombres entiers ou comportant des radicaux, par exemple 4, 6, 8) et doit déterminer le type de triangle correspondant ou démontrer qu'un triangle possédant de telles dimensions n'existe pas.

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Modèles d'exercices à imprimer

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Formules de Viète : somme et produit des racines

Théorèmes des sinus et des cosinus et aire d'un triangle

Calcul des valeurs d'une fonction exponentielle

Division d'un polynôme par le binôme x − a

Résolution des inéquations du second degré

Équations et inéquations avec valeur absolue

Résolution d'équations polynomiales

Résolution d'équations rationnelles et avec radicaux

Sommet de la parabole et forme canonique de la fonction

Valeur minimale et maximale d'une fonction sur un intervalle

Identifier les côtés de l'angle droit par rapport à un angle

Calcul du cosinus et de la tangente à partir d'un sinus connu

Aire d'un secteur circulaire et longueur d'arc

Angle inscrit et angle au centre dans un cercle

Calcul de la longueur d'une corde et d'un segment de tangente

Cercle inscrit et circonscrit à un triangle rectangle

Problèmes d'optimisation : aire maximale

Résolution d'équations exponentielles de même base

Coefficients dans le développement du binôme de Newton

Résolution des inéquations polynomiales

Résolution d'équations du second degré

Translation du graphique d'une fonction

Recherche des points d'intersection d'une droite et d'une parabole

Calcul de la valeur d'une fonction quadratique

Graphique et propriétés de la fonction f(x) = a/x

Valeurs exactes des fonctions trigonométriques

Calcul de l'aire d'un parallélogramme à l'aide du sinus

Aires et périmètres des figures semblables

Calcul de longueurs de segments à l'aide du théorème de Thalès

Déterminer la nature d'un triangle à partir de la longueur de ses côtés

Autres types d’exercices

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