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Programa escolar (Polonia)

Matemáticas — 10.º curso

Matemáticas para 2.º de bachillerato y escuela técnica: función cuadrática, ecuaciones e inecuaciones cuadráticas, polinomios, función exponencial, trigonometría y planimetría — ángulos en la circunferencia, semejanza, teoremas del seno y del coseno. Para cada tema, ejercicios listos para imprimir.

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¿Qué aprende un alumno de matemáticas en 2.º de bachillerato?

En 2.º curso, el núcleo del temario es la función cuadrática: forma canónica, vértice, valor máximo y mínimo en un intervalo, ecuaciones e inecuaciones cuadráticas y fórmulas de Viète. El alumno divide polinomios y resuelve ecuaciones polinómicas y racionales, aprende la función exponencial y las transformaciones de gráficas. En trigonometría calcula los valores de las funciones en el triángulo rectángulo y utiliza identidades, mientras que en geometría plana aplica el teorema de Tales, ángulos inscritos y centrales, semejanza y los teoremas del seno y del coseno.

Información importante sobre el currículo: el currículo para el instituto y la escuela técnica está formulado por bloques: describe lo que el estudiante sabe al finalizar la educación secundaria, de forma separada para el nivel básico y el avanzado. La asignación de cada tema a un curso es nuestra decisión según la distribución típica de la materia; en la sección «Alcance curricular» se muestran los puntos del currículo con citas textuales.

Estado de la página: los ejercicios de este curso están disponibles en formato directo (solo el enunciado y la fórmula); los ejercicios con figuras, demostraciones y problemas contextualizados se irán incorporando en las siguientes fases.

Alcance del currículo

  1. Punto del currículo MAT.LO.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Punto del currículo MAT.LO.1.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

  3. Punto del currículo MAT.LO.1.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Punto del currículo MAT.LO.1.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

  5. Punto del currículo MAT.LO.1.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

  6. Punto del currículo MAT.LO.1.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Punto del currículo MAT.LO.1.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Punto del currículo MAT.LO.1.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

    Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto (en nuestro curso 10)

  9. Punto del currículo MAT.LO.1.P.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

  10. Punto del currículo MAT.LO.1.P.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

  11. Punto del currículo MAT.LO.1.P.2.a · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Punto del currículo MAT.LO.1.P.2.b · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Punto del currículo MAT.LO.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Punto del currículo MAT.LO.2.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

  15. Punto del currículo MAT.LO.2.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

  16. Punto del currículo MAT.LO.2.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

  17. Punto del currículo MAT.LO.2.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

  18. Punto del currículo MAT.LO.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Punto del currículo MAT.LO.3.P.1 · Contenidos de enseñanza

    przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

    Resolución de ecuaciones racionales y con radicales (en nuestro curso 10)

  20. Punto del currículo MAT.LO.3.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

  21. Punto del currículo MAT.LO.3.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

  22. Punto del currículo MAT.LO.3.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

    Resolución de inecuaciones cuadráticas (en nuestro curso 10) · Resolución de ecuaciones cuadráticas (en nuestro curso 10)

  23. Punto del currículo MAT.LO.3.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

    Resolución de ecuaciones polinómicas (en nuestro curso 10)

  24. Punto del currículo MAT.LO.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Punto del currículo MAT.LO.4.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

  26. Punto del currículo MAT.LO.4.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Punto del currículo MAT.LO.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Punto del currículo MAT.LO.5.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Punto del currículo MAT.LO.5.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

    Cálculo del valor de la función cuadrática (en nuestro curso 10)

  30. Punto del currículo MAT.LO.5.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Punto del currículo MAT.LO.5.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Punto del currículo MAT.LO.5.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Punto del currículo MAT.LO.5.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

  34. Punto del currículo MAT.LO.5.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Punto del currículo MAT.LO.5.P.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

    Vértice de la parábola y forma canónica de la función (en nuestro curso 10)

  36. Punto del currículo MAT.LO.5.P.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Punto del currículo MAT.LO.5.P.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

    Valor mínimo y máximo de una función en un intervalo (en nuestro curso 10)

  38. Punto del currículo MAT.LO.5.P.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

    Problemas de optimización: área máxima (en nuestro curso 10) · Valor mínimo y máximo de una función en un intervalo (en nuestro curso 10)

  39. Punto del currículo MAT.LO.5.P.12 · Contenidos de enseñanza

    na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

    Traslación de la gráfica de una función (en nuestro curso 10)

  40. Punto del currículo MAT.LO.5.P.13 · Contenidos de enseñanza

    posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

    Gráfica y propiedades de la función f(x) = a/x (en nuestro curso 10)

  41. Punto del currículo MAT.LO.5.P.14 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

    Cálculo del valor de la función exponencial (en nuestro curso 10) · Resolución de ecuaciones exponenciales con la misma base (en nuestro curso 10)

  42. Punto del currículo MAT.LO.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Punto del currículo MAT.LO.6.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Punto del currículo MAT.LO.6.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Punto del currículo MAT.LO.6.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Punto del currículo MAT.LO.6.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Punto del currículo MAT.LO.6.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Punto del currículo MAT.LO.6.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Punto del currículo MAT.LO.6.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Punto del currículo MAT.LO.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Punto del currículo MAT.LO.7.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

    Valores exactos de las funciones trigonométricas (en nuestro curso 10)

  52. Punto del currículo MAT.LO.7.P.2 · Contenidos de enseñanza

    korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

    Cálculo del coseno y la tangente a partir del seno conocido (en nuestro curso 10)

  53. Punto del currículo MAT.LO.7.P.3 · Contenidos de enseñanza

    stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

    Teoremas del seno y del coseno y área del triángulo (en nuestro curso 10)

  54. Punto del currículo MAT.LO.7.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

    Identificación de los catetos respecto a un ángulo (en nuestro curso 10)

  55. Punto del currículo MAT.LO.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Punto del currículo MAT.LO.8.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

    Cálculo de la longitud de la cuerda y del segmento tangente (en nuestro curso 10)

  57. Punto del currículo MAT.LO.8.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

    Determinación del tipo de triángulo a partir de las longitudes de los lados (en nuestro curso 10)

  58. Punto del currículo MAT.LO.8.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Punto del currículo MAT.LO.8.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Punto del currículo MAT.LO.8.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

    Ángulo inscrito y central en una circunferencia (en nuestro curso 10)

  61. Punto del currículo MAT.LO.8.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

    Área del sector circular y longitud del arco (en nuestro curso 10)

  62. Punto del currículo MAT.LO.8.P.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

    Cálculo de la longitud de segmentos mediante el teorema de Tales (en nuestro curso 10)

  63. Punto del currículo MAT.LO.8.P.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Punto del currículo MAT.LO.8.P.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

    Áreas y perímetros de figuras semejantes (en nuestro curso 10)

  65. Punto del currículo MAT.LO.8.P.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

    Circunferencia inscrita y circunscrita en un triángulo rectángulo (en nuestro curso 10)

  66. Punto del currículo MAT.LO.8.P.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Punto del currículo MAT.LO.8.P.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

    Cálculo del área de un paralelogramo mediante el seno (en nuestro curso 10)

  68. Punto del currículo MAT.LO.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Punto del currículo MAT.LO.9.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Punto del currículo MAT.LO.9.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Punto del currículo MAT.LO.9.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Punto del currículo MAT.LO.9.P.4 · Contenidos de enseñanza

    posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    resumen propio del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Punto del currículo MAT.LO.9.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Punto del currículo MAT.LO.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Punto del currículo MAT.LO.10.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Punto del currículo MAT.LO.10.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Punto del currículo MAT.LO.10.P.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Punto del currículo MAT.LO.10.P.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Punto del currículo MAT.LO.10.P.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Punto del currículo MAT.LO.10.P.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Punto del currículo MAT.LO.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Punto del currículo MAT.LO.11.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Punto del currículo MAT.LO.11.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Punto del currículo MAT.LO.11.P.2.a · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Punto del currículo MAT.LO.11.P.2.b · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Punto del currículo MAT.LO.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Punto del currículo MAT.LO.12.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Punto del currículo MAT.LO.12.P.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Punto del currículo MAT.LO.13 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Punto del currículo MAT.LO.13.P.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

    Problemas de optimización: área máxima (en nuestro curso 10)

  91. Punto del currículo MAT.LO.WO.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Punto del currículo MAT.LO.WO.1.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Punto del currículo MAT.LO.WO.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Punto del currículo MAT.LO.WO.2.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Punto del currículo MAT.LO.WO.2.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Punto del currículo MAT.LO.WO.3 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.3 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Punto del currículo MAT.LO.WO.3.4 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Punto del currículo MAT.LO.WO.4 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.1 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.2 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.3 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Punto del currículo MAT.LO.WO.4.4 · Objetivos generales · verificado con el texto oficial

    Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Competencias paso a paso

Fórmulas de Vieta: suma y producto de las raíces

El estudiante determina la suma, el producto y la suma de los inversos de las raíces de una ecuación cuadrática directamente a partir de los coeficientes, sin necesidad de calcular delta ni las propias soluciones.

En el segundo curso de bachillerato y educación secundaria técnica, el estudiante determina la suma y el producto de las raíces de un trinomio cuadrático directamente a partir de sus coeficientes numéricos. En esta etapa, también aprende a transformar relaciones algebraicas, llevando, por ejemplo, la suma de los inversos de las raíces a la forma de una fracción compuesta por su suma y su producto.

Un error habitual es olvidar el signo menos en la fórmula de la suma de las raíces (confundir la expresión -b/a con b/a). Los estudiantes también suelen olvidar dividir por el coeficiente a cuando el término de mayor grado tiene un número distinto de 1, lo que altera por completo el resultado.

Los ejercicios de esta sección incluyen tareas de cálculo específicas:

  • Suma de raíces mediante las fórmulas de Vieta y producto de raíces mediante las fórmulas de Vieta: lectura directa y cálculo del valor a partir de los coeficientes de la ecuación cuadrática,
  • Suma de los inversos de las raíces: reducción de la expresión a un común denominador y aplicación de ambas fórmulas a la vez.
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Tipos de ejercicios: Producto de raíces (Vieta) · Suma de inversos de las raíces · Suma de raíces (Vieta)

Teoremas del seno y del coseno y área del triángulo

El estudiante calcula los lados y ángulos desconocidos en un triángulo cualquiera mediante los teoremas del seno y del coseno, y determina el área del triángulo utilizando el seno del ángulo.

Punto del currículo MAT.LO.7.P.3 stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

En el segundo curso de educación secundaria y técnica, el alumno resuelve triángulos cualesquiera, que no tienen por qué ser rectángulos. Aplica el teorema del seno y el teorema del coseno para determinar las longitudes de los lados o las medidas de los ángulos desconocidos a partir de los datos proporcionados. También es capaz de calcular con soltura el área de un triángulo utilizando la fórmula que relaciona las longitudes de dos lados con el seno del ángulo comprendido entre ellos.

Una dificultad habitual al aplicar el teorema del coseno es cometer errores de cálculo en la jerarquía de las operaciones o no tener en cuenta el signo negativo del coseno para un ángulo obtuso. Por su parte, al calcular el área del triángulo, los estudiantes suelen elegir un ángulo al azar de la figura en lugar del que está exactamente comprendido entre los dos lados conocidos.

Las actividades para imprimir de este bloque comprenden tres grupos específicos de ejercicios:

  • Teorema del coseno — cálculo de la longitud del tercer lado a partir de dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, o determinación del coseno de un ángulo a partir de los tres lados conocidos,
  • Teorema del seno — cálculo de lados y ángulos desconocidos mediante la proporción entre un lado y el seno de su ángulo opuesto,
  • Área del triángulo con el seno — cálculo del área de la figura sin necesidad de hallar previamente su altura.
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Tipos de ejercicios: Área del triángulo con el seno · Teorema del coseno · Teorema del seno

Cálculo del valor de la función exponencial

El estudiante calcula los valores de la función exponencial para los argumentos dados y reconoce cuándo dicha función es decreciente.

Punto del currículo MAT.LO.5.P.14 posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

En 2.º de bachillerato y formación profesional técnica, el alumno determina los valores de la función exponencial para argumentos concretos. Comprende la relación entre la base de la potencia y el comportamiento de la función, lo que le permite identificar cuándo una función exponencial es decreciente y cuándo es creciente.

Las dificultades más frecuentes surgen con las potencias de exponentes negativos o fraccionarios, especialmente cuando la base de la función es una fracción. A veces, los alumnos confunden invertir un número con cambiar su signo por el opuesto o evalúan de forma errónea la monotonía, olvidando que una base perteneciente al intervalo de cero a uno corresponde a una función decreciente.

Las tareas de la plantilla Valor de la función exponencial requieren sustituir el número dado en el lugar de la variable y realizar las operaciones correspondientes con potencias. Por su parte, los ejercicios de la plantilla Función exponencial decreciente consisten en analizar la base de la potencia en la fórmula y determinar si la función decrece a medida que aumentan los argumentos.

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Tipos de ejercicios: Función exponencial decreciente · Valor de una función exponencial

División de un polinomio entre un binomio x − a

El alumno realiza la división de un polinomio entre un binomio de la forma x − a y determina el cociente y el resto de dicha división.

En 2.º curso de bachillerato y formación profesional, el alumno divide polinomios entre un binomio lineal de la forma x − a. Durante los cálculos, determina el polinomio cociente y halla el valor del resto, comprobando si el polinomio es divisible exactamente o si deja un resto numérico.

El error más común en la división larga es equivocarse con los signos al restar los términos sucesivos, especialmente cuando el término a restar tiene un coeficiente negativo. Los alumnos también suelen cometer errores cuando el polinomio dividendo no contiene todas las potencias consecutivas: olvidar colocar un cero en el lugar del grado faltante conduce a una alineación incorrecta de los términos semejantes.

En la práctica, el alumno se encuentra con dos tipos de ejercicios:

  • División de un polinomio entre un binomio — consiste en realizar la división completa paso a paso y expresar el resultado en forma de cociente y resto;
  • Resto de la división de un polinomio — requiere hallar únicamente el resto de la división entre x − a para el polinomio indicado.
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Tipos de ejercicios: Resto de la división de un polinomio · División de un polinomio entre un binomio

Resolución de inecuaciones cuadráticas

El alumno resuelve inecuaciones cuadráticas expresadas en forma general y factorizada y determina correctamente el conjunto de soluciones en forma de intervalos numéricos.

Punto del currículo MAT.LO.3.P.4 rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

En el 2.º curso de educación secundaria y técnica, el alumno aprende a determinar los conjuntos de números que satisfacen inecuaciones cuadráticas. Calcula de forma independiente las raíces de la función cuadrática correspondiente o las deduce a partir de su forma factorizada y, a continuación, esboza una gráfica auxiliar de la parábola, teniendo en cuenta hacia dónde se abren sus ramas, para interpretar correctamente el intervalo de valores positivos o negativos.

Un problema habitual en esta etapa suele ser determinar incorrectamente el sentido de las ramas de la parábola cuando el coeficiente del término de mayor grado es negativo, lo que lleva a identificar un intervalo erróneo. Los alumnos también suelen confundir los intervalos cerrados con los abiertos, sin prestar atención a si la inecuación es estricta (signos <, >) o no estricta (signos ≤, ≥).

Los ejercicios prácticos abarcan dos formatos principales:

  • Inecuación cuadrática en forma factorizada — el alumno identifica directamente las raíces a partir de los paréntesis, por ejemplo, en la forma (x - 3)(x + 2) ≥ 0, y determina el intervalo en la recta numérica;
  • Inecuación cuadrática — un ejemplo en forma general, por ejemplo, x² - 4x + 3 < 0, que requiere en primer lugar transformar la expresión o calcular el discriminante (delta) para hallar los puntos de corte con el eje.
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Tipos de ejercicios: Inecuación cuadrática · Inecuación cuadrática factorizada

Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto

El estudiante aprende a determinar los números que satisfacen ecuaciones y los intervalos de solución de inecuaciones en las que interviene el valor absoluto.

Punto del currículo MAT.LO.1.P.7 stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

En el 2.º curso de educación secundaria y formación profesional, el alumno resuelve problemas algebraicos en los que la expresión con una incógnita se encuentra bajo el signo de valor absoluto. Descompone con soltura el problema en casos o utiliza la interpretación geométrica en la recta numérica, determinando los números concretos que satisfacen la condición o indicando el conjunto de soluciones en forma de intervalo.

Un problema habitual es la confusión de los conectores lógicos al plantear las inecuaciones. Los alumnos suelen aplicar la unión de intervalos en lugar de su intersección (o viceversa), lo cual se debe a la confusión entre las condiciones para los sentidos de «menor que» y «mayor que». Otro error frecuente consiste en omitir el cambio de sentido de la desigualdad al tratar el caso con un número negativo.

El trabajo con este tema incluye las plantillas Ecuación con valor absoluto e Inecuación con valor absoluto. En las actividades, el alumno transforma la expresión algebraica dada, elimina el símbolo de valor absoluto y escribe la solución final como un conjunto de números o de intervalos numéricos.

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Tipos de ejercicios: Ecuación con valor absoluto · Inecuación con valor absoluto

Resolución de ecuaciones polinómicas

El alumno resuelve ecuaciones polinómicas expresadas en forma factorizada y ecuaciones bicuadradas utilizando una variable auxiliar.

Punto del currículo MAT.LO.3.P.5 rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

En el 2.º curso de educación secundaria y técnica, el alumno domina la resolución de ecuaciones polinómicas de grado superior a dos en casos concretos y accesibles. Trabaja con expresiones escritas en forma factorizada, donde aprovecha el hecho de que un producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es cero. También resuelve ecuaciones bicuadradas (de cuarto grado con potencias pares), reduciéndolas a ecuaciones de segundo grado mediante la sustitución de una nueva variable por el cuadrado de la incógnita.

El error más común en las ecuaciones bicuadradas consiste en finalizar los cálculos tras hallar los valores de la variable auxiliar y olvidar deshacer el cambio para volver a la incógnita original. También suele ocurrir que se intentan calcular raíces cuadradas de valores negativos de la variable auxiliar en el conjunto de los números reales. Por otro lado, en las ecuaciones en forma factorizada, los alumnos tienden instintivamente a multiplicar los paréntesis, lo que complica innecesariamente el problema, en lugar de igualar directamente cada factor a cero.

Los ejercicios que evalúan esta habilidad se basan en dos esquemas:

  • Ecuación polinómica en forma factorizada — requiere descomponer el producto de varios paréntesis en ecuaciones lineales o cuadráticas más sencillas y proporcionar el conjunto completo de soluciones.
  • Ecuación bicuadrada — requiere realizar un cambio de variable, calcular el discriminante de la ecuación de segundo grado (delta) y, a continuación, determinar los valores finales de la incógnita.
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Tipos de ejercicios: Ecuación polinómica factorizada · Ecuación bicuadrada

Resolución de ecuaciones racionales y con radicales

El estudiante aprende a determinar el dominio y a resolver correctamente ecuaciones que contienen una incógnita en el denominador de una fracción o bajo el signo radical.

Punto del currículo MAT.LO.3.P.1 przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

En 2.º curso de educación secundaria y formación profesional, el alumno resuelve ecuaciones algebraicas en las que la incógnita aparece bajo el signo de una raíz o en el denominador de una expresión fraccionaria. Un elemento clave en esta etapa es determinar el dominio, es decir, indicar los números para los cuales la expresión tiene sentido matemático; en particular, excluir los valores que anulan el denominador y tener en cuenta las condiciones para las raíces.

El error más común es transformar la expresión de forma mecánica sin comprobar las condiciones iniciales. Los alumnos a menudo se olvidan del dominio o de que elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación puede dar lugar a soluciones extrañas, por lo que dan como respuesta correcta un número que en realidad no satisface la ecuación original.

En la práctica, los ejercicios se basan en las plantillas Ecuación racional y Ecuación con radicales. El alumno encuentra en ellas tareas que consisten en simplificar expresiones fraccionarias, multiplicar en cruz o aislar la raíz en un miembro de la ecuación, para luego verificar los resultados obtenidos con el dominio.

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Tipos de ejercicios: Ecuación irracional · Ecuación racional

Vértice de la parábola y forma canónica de la función

El estudiante aprende a determinar las coordenadas del vértice de la parábola y a escribir y leer la fórmula de la función cuadrática en forma canónica.

Punto del currículo MAT.LO.5.P.8 interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

El estudiante de 2.º de bachillerato y formación técnica domina la determinación de las coordenadas del vértice de una parábola y el trabajo con la forma canónica de la función cuadrática. Es capaz de identificar con soltura las coordenadas del vértice a partir de la expresión en la forma y = a(x - p)² + q, así como de transformar la forma general de la función a su forma canónica.

La dificultad más común reside en interpretar correctamente la primera coordenada del vértice debido al signo menos de la fórmula. Los alumnos suelen equivocarse con el signo del número dentro del paréntesis: ante una expresión como (x - 4)² indican que la primera coordenada es -4 en lugar de 4, y ante una como (x + 3)² olvidan que dicha coordenada es -3.

En la práctica, los ejercicios de las plantillas Vértice de la parábola y Forma canónica de la función cuadrática consisten en deducir directamente las coordenadas del vértice a partir de una fórmula dada, calcularlas a partir de la forma general o formular por sí mismos la expresión de una función con un vértice determinado.

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Tipos de ejercicios: Vértice de una parábola · Forma canónica de la función cuadrática

Valor mínimo y máximo de una función en un intervalo

El estudiante aprende a determinar el valor máximo y mínimo de una función cuadrática en un intervalo cerrado dado, comprobando el vértice de la parábola y sus extremos.

Punto del currículo MAT.LO.5.P.10 wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
Punto del currículo MAT.LO.5.P.11 wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

En el segundo curso de educación secundaria el alumno aprende a determinar el valor mínimo y máximo de una función cuadrática en un intervalo cerrado dado. Analiza la expresión de la función, calcula la coordenada del vértice de la parábola y comprueba si se encuentra dentro del intervalo indicado, para luego comparar los valores alcanzados en sus extremos y en el vértice.

El error más común es calcular mecánicamente el valor de la función únicamente en los extremos del intervalo, pasando por alto el vértice de la parábola, donde la función puede alcanzar su verdadero extremo. También ocurre el error contrario: el alumno indica automáticamente el valor en el vértice, olvidando comprobar si su coordenada se encuentra dentro del intervalo dado.

Los ejercicios de este tema corresponden a las plantillas Valor máximo en un intervalo y Valor mínimo en un intervalo. El alumno recibe la fórmula de una función cuadrática y un intervalo numérico determinado, y su objetivo es indicar un único número que represente el valor mínimo o máximo de la función dentro de esos límites.

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Tipos de ejercicios: Valor máximo en un intervalo · Valor mínimo en un intervalo

Identificación de los catetos respecto a un ángulo

El alumno identifica el cateto opuesto a un ángulo agudo dado y el cateto adyacente a dicho ángulo en un triángulo rectángulo.

Punto del currículo MAT.LO.7.P.4 oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

En 2.º curso de bachillerato, el estudiante domina la identificación correcta de los lados de un triángulo rectángulo con respecto a un ángulo agudo seleccionado. Distingue con precisión qué cateto forma dicho ángulo (se encuentra junto a él) y cuál está en su lado opuesto, lo cual es un paso indispensable para definir las razones trigonométricas.

Un error común es confundir el cateto adyacente al ángulo con el cateto opuesto a este. Esta dificultad se intensifica especialmente cuando el triángulo está dibujado en una posición poco habitual (girado) y el alumno intenta clasificar los lados según su disposición vertical u horizontal en el papel, en lugar de comprobar su posición con respecto al vértice del ángulo.

Las tareas de esta sección tienen un formato gráfico y consisten en analizar el dibujo de un triángulo rectángulo con un ángulo marcado. El alumno resuelve ejercicios del tipo:

  • Cateto adyacente al ángulo — localizar y nombrar el lado contiguo al ángulo indicado,
  • Cateto opuesto al ángulo — identificar el lado situado enfrente del ángulo agudo dado.
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Tipos de ejercicios: Cateto contiguo · Cateto opuesto

Cálculo del coseno y la tangente a partir del seno conocido

El estudiante determina el valor del coseno y de la tangente de un ángulo utilizando el conocimiento del seno y las identidades trigonométricas.

Punto del currículo MAT.LO.7.P.2 korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

En 2.º curso de secundaria y técnica, el alumno aplica las identidades trigonométricas fundamentales: la relación sin²α + cos²α = 1 (identidad fundamental de la trigonometría) y la definición de la tangente como cociente tg α = sin α / cos α. A partir del valor numérico del seno de un ángulo (a menudo expresado en forma de fracción común), es capaz de calcular eficazmente el valor correspondiente del coseno y, a continuación, obtener la tangente.

Un problema habitual suelen ser los errores de cálculo al transformar la ecuación: elevar incorrectamente una fracción al cuadrado (por ejemplo, olvidarse de elevar el denominador) o tener dificultades al simplificar y calcular la raíz cuadrada del resultado obtenido. Al determinar la tangente, los alumnos también cometen errores al dividir entre una fracción, olvidando multiplicar por su recíproco.

Los ejercicios de esta sección se basan en los siguientes esquemas:

  • Coseno a partir del seno — consiste en sustituir el valor conocido del seno en la identidad fundamental de la trigonometría, restarlo de uno y extraer la raíz cuadrada del resultado;
  • Tangente a partir del seno — el alumno primero determina el coseno y, en el paso siguiente, calcula el valor de la tangente dividiendo el seno dado entre el coseno hallado.
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Tipos de ejercicios: Coseno a partir del seno · Tangente a partir del seno

Área del sector circular y longitud del arco

El alumno calcula la longitud de un arco de circunferencia y el área de un sector circular a partir del radio dado y de la medida del ángulo central.

Punto del currículo MAT.LO.8.P.6 stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

En 2.º curso de educación secundaria y técnica, el alumno determina las medidas de partes del círculo y de la circunferencia. A partir del radio dado y de la amplitud del ángulo central expresada en grados, calcula qué fracción del perímetro total representa el arco y qué fracción del área total del círculo ocupa dicho sector circular.

Un error típico en esta etapa es confundir las fórmulas: aplicar el radio al cuadrado al calcular la longitud del arco (en lugar de la fórmula del perímetro) o utilizar el doble del radio en vez del cuadrado al calcular el área del sector circular. Los alumnos también suelen olvidar la constante π durante las transformaciones o cometer errores de cálculo al simplificar la fracción del ángulo entre 360 grados.

Los ejercicios para practicar esta habilidad se presentan en dos formas:

  • Longitud del arco – el alumno calcula la longitud de la parte indicada de la circunferencia a partir de un radio y un ángulo central dados.
  • Área del sector circular – el ejercicio consiste en calcular la superficie del sector circular con los parámetros dados.
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Tipos de ejercicios: Longitud de un arco · Área de un sector circular

Ángulo inscrito y central en una circunferencia

El estudiante calcula la medida del ángulo inscrito a partir del ángulo central que abarca el mismo arco y determina la medida del ángulo central cuando conoce la medida del ángulo inscrito correspondiente.

Punto del currículo MAT.LO.8.P.5 stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

En el 2.º curso de bachillerato y formación técnica, el alumno utiliza la relación planimétrica básica en la circunferencia: la medida del ángulo central es el doble de la medida del ángulo inscrito que abarca el mismo arco. En la práctica, esto supone realizar con soltura cálculos sencillos: multiplicar o dividir entre 2 la medida del ángulo dada en grados.

El error más común consiste en confundir el sentido de esta relación y dividir entre dos donde correspondía multiplicar (o viceversa), lo que conduce a un resultado ilógico en el que el ángulo inscrito resulta mayor que el central. Los alumnos también suelen tener dificultades para comprobar en el dibujo si ambos ángulos abarcan con certeza exactamente el mismo arco de la circunferencia.

Los ejercicios de este ámbito se basan en dos esquemas de cálculo claros:

  • Ángulo central a partir del ángulo inscrito: a partir de la medida dada de un ángulo inscrito (por ejemplo, 35°), el alumno determina la medida del ángulo central multiplicando dicho valor por 2;
  • Ángulo inscrito a partir del ángulo central: el alumno recibe la medida del ángulo central (por ejemplo, 110°) y calcula el ángulo inscrito correspondiente dividiendo dicho valor por la mitad.
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Tipos de ejercicios: Ángulo central a partir del inscrito · Ángulo inscrito a partir del central

Cálculo de la longitud de la cuerda y del segmento tangente

El alumno calcula las longitudes de cuerdas y segmentos tangentes a una circunferencia, utilizando las propiedades del radio, los ángulos y los triángulos rectángulos.

Punto del currículo MAT.LO.8.P.1 wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

El alumno determina las longitudes de cuerdas y segmentos tangentes a una circunferencia. En los cálculos geométricos, combina datos sobre el radio de la circunferencia y las distancias entre puntos, utilizando triángulos rectángulos formados por la circunferencia y las rectas.

Un error frecuente consiste en pasar por alto que el radio trazado hasta el punto de tangencia es siempre perpendicular a la tangente, lo que impide plantear correctamente la ecuación del teorema de Pitágoras. En los ejercicios con cuerdas, los alumnos también suelen equivocarse al olvidar que el segmento trazado desde el centro de la circunferencia perpendicular a la cuerda la divide en dos partes iguales.

Los ejercicios se basan en dos tipos de problemas:

  • Longitud de la cuerda — el alumno calcula la longitud de una cuerda conociendo el radio de la circunferencia y su distancia al centro, o determina el radio desconocido a partir de una cuerda dada,
  • Segmento tangente — la tarea requiere determinar la distancia desde un punto exterior hasta el punto de tangencia con la circunferencia, conociendo la distancia al centro de la circunferencia y su radio.
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Tipos de ejercicios: Longitud de una cuerda · Segmento tangente

Circunferencia inscrita y circunscrita en un triángulo rectángulo

El alumno calcula la longitud del radio de la circunferencia inscrita y circunscrita a un triángulo rectángulo a partir de la longitud de sus lados.

Punto del currículo MAT.LO.8.P.10 wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

En 2.º curso, el alumno utiliza las propiedades del triángulo rectángulo para determinar los radios de las circunferencias asociadas a él. Observa y aplica una relación geométrica clave: la hipotenusa de un triángulo rectángulo es a la vez el diámetro de la circunferencia circunscrita a él, lo que permite determinar de inmediato el radio como la mitad de su longitud. Al mismo tiempo, el alumno calcula el radio de la circunferencia inscrita relacionando las longitudes de los catetos y de la hipotenusa mediante la fórmula algebraica correspondiente o vinculando el área del triángulo con su perímetro.

El problema más común suele ser la confusión mecánica entre las fórmulas del radio de la circunferencia circunscrita y de la inscrita, así como los errores al distinguir los catetos de la hipotenusa. También supone una dificultad cuando en el enunciado del problema solo se dan dos lados del triángulo: el alumno olvida entonces la necesidad de calcular previamente el lado que falta mediante el teorema de Pitágoras.

Las tareas que evalúan esta habilidad se presentan en dos variantes claras: Radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo rectángulo y Radio de la circunferencia inscrita en un triángulo rectángulo. En los ejercicios, el alumno dispone de las longitudes de los lados (o de dos de ellas) e indica o calcula el valor exacto del radio buscado.

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Tipos de ejercicios: Radio circunscrito del triángulo rectángulo · Radio inscrito del triángulo rectángulo

Problemas de optimización: área máxima

El alumno aprende a determinar las dimensiones de un rectángulo o cercado que proporcionan la mayor área posible, utilizando las propiedades del vértice de la parábola en una función cuadrática.

Punto del currículo MAT.LO.13.P.1 rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
Punto del currículo MAT.LO.5.P.11 wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

En 2.º de bachillerato y formación técnica, el alumno es capaz de describir un problema geométrico mediante la fórmula de una función cuadrática y determinar su valor máximo. En esta etapa, transforma el enunciado del problema en una ecuación que describe el área de la figura en función de la longitud de uno de los lados y, a continuación, utilizando las coordenadas del vértice de la parábola, determina las dimensiones óptimas.

Un error común es no tener en cuenta las condiciones geométricas del problema, por ejemplo, cuando el terreno linda con una pared y no requiere vallado por todos sus lados. Los alumnos aplican entonces por reflejo la fórmula del perímetro estándar de un rectángulo con cuatro lados en lugar de sumar solo los tres tramos vallados, por lo que plantean una fórmula incorrecta de la función y obtienen un resultado final erróneo.

En la práctica, el alumno se encuentra con problemas verbales contextualizados en situaciones reales, tales como:

  • Rectángulo de área máxima – determinación de los lados de una parcela a partir de una longitud total de valla establecida de antemano;
  • Recinto junto a un muro de área máxima – diseño de un espacio rectangular aprovechando una pared existente del edificio, donde el cercado solo se coloca en tres lados.
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Tipos de ejercicios: Corral junto a un muro de área máxima · Rectángulo de área máxima

Resolución de ecuaciones exponenciales con la misma base

El estudiante es capaz de reducir ambos miembros de una ecuación exponencial a la misma base e igualar sus exponentes para hallar la incógnita.

Punto del currículo MAT.LO.5.P.14 posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

En el 2.º curso de educación secundaria y formación técnica, el alumno aprende el método para resolver ecuaciones en las que la incógnita se encuentra en el exponente de una potencia. Esta habilidad consiste en transformar ambos miembros de la ecuación para obtener potencias con la misma base (por ejemplo, expresar los números como potencias de dos, de tres o fracciones). Cuando las bases son idénticas, el alumno iguala los exponentes y determina el valor de la variable buscada.

Un problema frecuente en esta etapa son los errores al aplicar las propiedades de las potencias, especialmente al confundir la multiplicación de potencias con la potencia de una potencia (por ejemplo, sumar exponentes en lugar de multiplicarlos). Los alumnos también intentan a veces «eliminar» las bases de forma prematura, antes de haber reducido ambos lados de la ecuación a potencias únicas con exactamente la misma base.

En la práctica, los ejercicios de la plantilla Ecuación exponencial requieren resolver una igualdad en la que aparecen expresiones exponenciales en ambos miembros. El alumno reduce los números a una base común, plantea una ecuación lineal sencilla a partir de los exponentes obtenidos y calcula el resultado final.

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Coeficientes en el desarrollo del binomio de Newton

El estudiante aprende a determinar coeficientes numéricos específicos de las potencias de la variable en el desarrollo de la potencia de un binomio mediante la fórmula de Newton.

El estudiante aplica el teorema del binomio de Newton para determinar coeficientes numéricos específicos en el desarrollo de la potencia de un binomio. En lugar de multiplicar repetidamente los paréntesis entre sí, es capaz de identificar y calcular directamente el valor numérico que acompaña a una potencia seleccionada de la variable mediante el coeficiente binomial.

Un error común es no tener en cuenta los coeficientes que acompañan a la propia variable dentro del paréntesis. Los estudiantes se centran en calcular el valor del coeficiente binomial, olvidando que la potenciación se aplica a todo el término; por ejemplo, al elevar la expresión 2x a una potencia, se debe elevar tanto el número 2 como la incógnita. También suele suponer una dificultad considerar correctamente los signos menos al restar términos dentro del paréntesis.

En los ejercicios de la plantilla Coeficiente en el desarrollo binomial, el estudiante recibe una potencia de un binomio y determina el coeficiente que acompaña a una potencia dada de la variable sin necesidad de desarrollar todos los términos restantes.

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Resolución de inecuaciones polinómicas

El estudiante resuelve inecuaciones polinómicas determinando sus raíces y leyendo los intervalos numéricos correspondientes en la recta numérica.

En el 2.º curso de educación secundaria y bachillerato, el estudiante pasa de las inecuaciones de segundo grado a las inecuaciones polinómicas de grado superior. Descompone el polinomio en factores, determina sus raíces, las sitúa en la recta numérica y esboza una gráfica simplificada para determinar para qué números la expresión toma valores positivos o negativos.

El error más común es no tener en cuenta la multiplicidad de las raíces al esbozar la gráfica sobre la recta numérica. Los estudiantes tienden a cruzar mecánicamente el eje en cada raíz, olvidando que en las raíces de multiplicidad par la gráfica «rebota» en el eje y el signo del polinomio no cambia en ese punto.

Un ejercicio típico de la plantilla Inecuación polinómica consiste en encontrar todos los números que satisfacen la inecuación dada (a menudo expresada directamente en forma factorizada o requiriendo una simple agrupación de términos) y escribir correctamente el resultado mediante un intervalo o una unión de intervalos.

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Resolución de ecuaciones cuadráticas

El estudiante aprende a determinar las soluciones de ecuaciones cuadráticas utilizando las fórmulas para las raíces y el discriminante delta, o mediante la factorización de la expresión.

Punto del currículo MAT.LO.3.P.4 rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

En el segundo curso de secundaria y bachillerato, el alumno resuelve ecuaciones de segundo grado en su forma general e incompleta. A partir de los coeficientes numéricos, calcula el discriminante de la ecuación (delta), determina el número de raíces reales y, a continuación, halla con precisión sus valores mediante las fórmulas estándar o transformaciones algebraicas.

El error más común son los fallos de signo al calcular el discriminante, especialmente cuando el coeficiente c o b es un número negativo. En las ecuaciones incompletas, los alumnos suelen dividir ambos miembros entre la incógnita, lo que provoca la pérdida irremediable de una de las soluciones (generalmente el cero), en lugar de sacar factor común.

Los ejercicios de la plantilla Ecuación de segundo grado consisten en transformar la expresión dada a su forma general y hallar todas las soluciones pertenecientes al conjunto de los números reales, o bien justificar de forma adecuada que dichas soluciones no existen.

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Traslación de la gráfica de una función

El estudiante aprende a esbozar gráficas de funciones obtenidas mediante traslaciones a lo largo de los ejes del sistema de coordenadas y a determinar sus nuevas fórmulas.

Punto del currículo MAT.LO.5.P.12 na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

En 2.º curso de bachillerato y formación técnica, el alumno domina la transformación de gráficas de funciones mediante su traslación a lo largo de los ejes de coordenadas. Es capaz de trasladar la gráfica de una función base verticalmente (un número determinado de unidades hacia arriba o hacia abajo) y horizontalmente (hacia la izquierda o hacia la derecha), así como de relacionar este movimiento con el cambio en la expresión de la función.

La dificultad más habitual es la interpretación correcta de la traslación horizontal. Los alumnos suelen confundir las direcciones a lo largo del eje horizontal y trasladan la gráfica de la función f(x - p) hacia la izquierda en lugar de hacia la derecha, asociando por instinto el signo menos con el sentido negativo del eje.

Los ejercicios de la plantilla Traslación de la gráfica de una función consisten en representar la gráfica transformada a partir de una fórmula dada o en deducir a partir de una gráfica cuántas unidades y en qué dirección se ha trasladado la gráfica original, para luego escribir la nueva fórmula resultante.

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Búsqueda de los puntos comunes de una recta y una parábola

El estudiante aprende a determinar los puntos de intersección de una recta y una parábola mediante la resolución algebraica de un sistema de una ecuación lineal y una cuadrática.

En 2.º curso, el estudiante combina la geometría analítica con el álgebra, resolviendo sistemas formados por una ecuación lineal y una cuadrática. Despeja de manera autónoma una variable de la ecuación de la recta y la sustituye en la ecuación de la parábola, reduciendo el problema a una ecuación cuadrática con una incógnita, que resuelve mediante el discriminante (delta).

Un error típico en esta etapa es detenerse tras hallar la incógnita x. Los estudiantes encuentran correctamente las raíces de la ecuación cuadrática, pero se olvidan de calcular los valores correspondientes de y, por lo que no indican las coordenadas completas del punto. También suelen cometerse errores de signo al pasar todos los términos a un miembro de la ecuación.

Los ejercicios de la plantilla Puntos de intersección de una parábola y una recta consisten en determinar algebraicamente pares de números (coordenadas de puntos) en los que se cortan las gráficas de las funciones dadas. El estudiante comprueba si la recta corta a la parábola en dos puntos, si la toca en un único punto de tangencia o si las gráficas no tienen puntos en común.

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Cálculo del valor de la función cuadrática

El estudiante aprende a calcular el valor de una función cuadrática para un argumento dado, sustituyendo correctamente los números en la fórmula y realizando las operaciones.

Punto del currículo MAT.LO.5.P.2 oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

En esta etapa, el alumno es capaz de calcular el valor de una función cuadrática expresada en su forma general para un argumento determinado. La tarea requiere sustituir el número dado en el lugar de la variable x, elevarlo al cuadrado, realizar la multiplicación por los coeficientes y sumar y restar los términos obtenidos.

El error más común es confundir el orden de las operaciones y calcular de forma incorrecta las potencias de números negativos. Los alumnos a menudo olvidan los paréntesis cuando el argumento es negativo y escriben, por ejemplo, -32 = 9 en lugar de (-3)2 = 9. También ocurre que a veces multiplican primero el argumento por el coeficiente del término de mayor grado y solo después elevan el producto al cuadrado.

En las tareas de la plantilla Valor de una función cuadrática, el alumno recibe la fórmula de la función y un número concreto, y tiene como objetivo calcular el resultado, por ejemplo, hallar el valor de la función f(x) = 2x2 - 5x + 1 para x = -2.

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Gráfica y propiedades de la función f(x) = a/x

El estudiante representa gráficamente la función f(x) = a/x, determina su dominio e identifica las propiedades básicas de la hipérbola en función del signo del coeficiente a.

Punto del currículo MAT.LO.5.P.13 posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

En esta etapa, el alumno trabaja con la forma básica de la proporcionalidad inversa, es decir, la función f(x) = a/x para un número dado a ≠ 0. Es capaz de determinar el dominio de la función (teniendo en cuenta la condición x ≠ 0), preparar una tabla de valores para números positivos y negativos seleccionados y, a continuación, esbozar la gráfica: una hipérbola. A partir de la fórmula o de la gráfica, determina el recorrido, la monotonía en los intervalos e indica los cuadrantes del sistema de coordenadas en los que se encuentran las ramas de la gráfica.

Un error típico consiste en unir mecánicamente ambas ramas de la hipérbola en una sola línea continua que corta el eje Y, lo que se debe a ignorar el hecho de que el cero no pertenece al dominio de la función. Los alumnos también tienen dificultades para determinar correctamente la monotonía: describen erróneamente la función como decreciente en todo su dominio en lugar de en dos intervalos separados, y confunden la posición de las ramas de la gráfica cuando el coeficiente a es negativo.

En las tareas de la plantilla Función f(x) = a/x, el alumno suele completar una tabla y esbozar la gráfica para un parámetro numérico concreto, determinar la expresión de la función a partir de las coordenadas de un punto que pertenece a la hipérbola o leer en la gráfica los argumentos para los cuales la función toma determinados valores.

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Valores exactos de las funciones trigonométricas

El alumno determina los valores exactos de las funciones trigonométricas para ángulos típicos, utilizando las fórmulas de reducción y las propiedades de las funciones en los diferentes cuadrantes.

Punto del currículo MAT.LO.7.P.1 wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

En el 2.º curso de educación secundaria y técnica, el alumno aprende a determinar los valores exactos del seno, el coseno o la tangente para ángulos obtusos y mayores de 90°. Mediante las fórmulas de reducción, reduce los cálculos de dichos ángulos a los valores conocidos de ángulos agudos (principalmente 30°, 45° y 60°).

La dificultad más habitual en estos cálculos es determinar el signo correcto del resultado (más o menos). Los alumnos suelen confundir el cuadrante en el que se encuentra el ángulo dado o asignan el signo a partir de la función obtenida tras la reducción en lugar de la función original.

Un ejercicio típico de la plantilla Valor exacto de una función trigonométrica consiste en indicar el número exacto (expresado en forma de fracción o raíz, sin aproximaciones decimales) para un ángulo determinado, como por ejemplo 120°, 225° o 300°.

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Cálculo del área de un paralelogramo mediante el seno

El estudiante calcula el área de un paralelogramo utilizando las longitudes de dos lados adyacentes y el seno del ángulo entre ellos.

Punto del currículo MAT.LO.8.P.12 stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

En 2.º curso de educación secundaria postobligatoria, el alumno combina los conocimientos sobre figuras planas con la trigonometría. Es capaz de hallar el área de un paralelogramo aplicando la fórmula basada en las longitudes de dos lados adyacentes y el seno del ángulo comprendido entre ellos: P = a · b · sin(α).

Un error típico en esta etapa consiste en sustituir la medida del ángulo directamente en la fórmula en lugar de calcular el valor de su seno (por ejemplo, multiplicar por 60 en vez de por sin 60°). Los alumnos también suelen tener dificultades con paralelogramos que tienen un ángulo obtuso, olvidando que el seno de un ángulo obtuso es igual al seno de su ángulo suplementario a 180°.

Los ejercicios del modelo Área de un paralelogramo con seno requieren calcular el área de la figura dadas las longitudes de los lados y la medida de un ángulo conocido (generalmente con valores habituales como 30°, 45°, 60° o 120°), o bien hallar el lado restante cuando se conoce el área del paralelogramo.

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Áreas y perímetros de figuras semejantes

El alumno aprende a determinar el área o el perímetro de una figura semejante, utilizando la escala de semejanza y su cuadrado.

Punto del currículo MAT.LO.8.P.9 wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

En 2.º curso de bachillerato y formación técnica, el alumno utiliza las relaciones entre figuras semejantes para calcular sus dimensiones. Maneja con soltura la razón de semejanza k, aplicando el principio de que la razón entre los perímetros de las figuras es igual a k, mientras que la razón entre sus áreas es k².

El error más común es multiplicar directamente el área de la figura por la razón k en lugar de por su cuadrado. Los alumnos a menudo aplican mecánicamente la regla relativa a la longitud de los lados y los perímetros al área de la superficie, lo que conduce a resultados erróneos.

En un ejercicio típico de la plantilla Área de una figura semejante, el alumno conoce el área de una de las figuras y la razón de semejanza (o las longitudes de los lados correspondientes) y, a partir de ello, determina el área de la otra figura, ampliada o reducida.

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Cálculo de la longitud de segmentos mediante el teorema de Tales

El alumno utiliza el teorema de Tales para calcular las longitudes que faltan de segmentos en rectas cortadas por rectas paralelas.

Punto del currículo MAT.LO.8.P.7 stosuje twierdzenie Talesa

En 2.º curso de secundaria y formación técnica, el alumno aplica el teorema de Tales en problemas de planimetría. A partir de las relaciones entre los segmentos determinados en las rectas por rectas paralelas, plantea las proporciones correspondientes y calcula las longitudes desconocidas.

El error más frecuente es plantear incorrectamente los segmentos en la proporción, especialmente cuando el problema involucra las longitudes de los segmentos situados sobre las rectas paralelas. En esos casos, los alumnos confunden los segmentos cortados en los lados del ángulo con los lados completos, comparando el fragmento comprendido entre las paralelas en lugar del segmento medido desde el vértice del ángulo.

Los ejercicios de la plantilla Teorema de Tales contienen una figura que representa un ángulo o rectas secantes cortadas por rectas paralelas. A partir de las longitudes numéricas dadas de algunos de los segmentos, el alumno plantea la ecuación de la proporción y calcula el valor que falta.

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Determinación del tipo de triángulo a partir de las longitudes de los lados

El alumno comprueba si con las longitudes de los lados dadas se puede construir un triángulo, y determina si es acutángulo, rectángulo u obtusángulo.

Punto del currículo MAT.LO.8.P.2 rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

A partir de tres números que describen las longitudes de los lados, el alumno es capaz de examinar la geometría de la figura: primero verifica la condición de existencia del triángulo y luego determina si el triángulo es acutángulo, rectángulo u obtusángulo. En el 2.º curso de bachillerato y formación profesional, esto se realiza comparando la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos con el cuadrado del lado más largo, utilizando la generalización del teorema de Pitágoras.

Un error común consiste en omitir el primer paso, es decir, la condición de existencia del triángulo (la suma de los dos lados más cortos debe ser mayor que el lado más largo). Los alumnos pasan directamente a elevar los números al cuadrado y extraen conclusiones erróneas para conjuntos de números con los que ni siquiera es posible formar un triángulo. También ocurre a menudo que se confunde el sentido de la desigualdad: considerar que cuando la suma de los cuadrados de los dos lados más cortos es menor que el cuadrado del lado más largo, el triángulo es acutángulo en lugar de obtusángulo.

En las tareas de la plantilla Tipo de triángulo a partir de las longitudes de los lados, el alumno recibe un conjunto de tres longitudes concretas (números enteros o con radicales, p. ej., 4, 6, 8) y debe clasificarlo en el tipo de triángulo correspondiente o demostrar que un triángulo con tales dimensiones no existe.

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Plantillas de ejercicios para imprimir

Todos los tipos de ejercicios, agrupados por habilidad. Un clic abre el generador con el tipo ya elegido.

Fórmulas de Vieta: suma y producto de las raíces

Teoremas del seno y del coseno y área del triángulo

Cálculo del valor de la función exponencial

División de un polinomio entre un binomio x − a

Resolución de inecuaciones cuadráticas

Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto

Resolución de ecuaciones polinómicas

Resolución de ecuaciones racionales y con radicales

Vértice de la parábola y forma canónica de la función

Valor mínimo y máximo de una función en un intervalo

Identificación de los catetos respecto a un ángulo

Cálculo del coseno y la tangente a partir del seno conocido

Área del sector circular y longitud del arco

Ángulo inscrito y central en una circunferencia

Cálculo de la longitud de la cuerda y del segmento tangente

Circunferencia inscrita y circunscrita en un triángulo rectángulo

Problemas de optimización: área máxima

Resolución de ecuaciones exponenciales con la misma base

Coeficientes en el desarrollo del binomio de Newton

Resolución de inecuaciones polinómicas

Resolución de ecuaciones cuadráticas

Traslación de la gráfica de una función

Búsqueda de los puntos comunes de una recta y una parábola

Cálculo del valor de la función cuadrática

Gráfica y propiedades de la función f(x) = a/x

Valores exactos de las funciones trigonométricas

Cálculo del área de un paralelogramo mediante el seno

Áreas y perímetros de figuras semejantes

Cálculo de la longitud de segmentos mediante el teorema de Tales

Determinación del tipo de triángulo a partir de las longitudes de los lados

Otros tipos de ejercicios

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