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Programma scolastico (Polonia)

Matematica — classe 10ª

Matematica per la classe 2 di licei e istituti tecnici: funzione quadratica, equazioni e disequazioni di secondo grado, polinomi, funzione esponenziale, trigonometria e geometria piana — angoli nella circonferenza, similitudine, teoremi dei seni e del coseno. Per ogni argomento, esercizi pronti da stampare.

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Cosa impara uno studente in matematica al secondo anno di liceo?

Nel secondo anno il nucleo centrale del programma è la funzione quadratica: forma canonica, vertice, valore massimo e minimo in un intervallo, equazioni e disequazioni di secondo grado e formule di Viète. Lo studente impara a dividere i polinomi e a risolvere equazioni polinomiali e razionali, approfondisce la funzione esponenziale e le trasformazioni dei grafici. In trigonometria calcola i valori delle funzioni nel triangolo rettangolo e utilizza le identità fondamentali, mentre in geometria piana applica il teorema di Talete, gli angoli alla circonferenza e al centro, la similitudine nonché i teoremi dei seni e del coseno.

Nota importante sui programmi ministeriali: le linee guida per i licei e gli istituti tecnici sono formulate a blocchi — descrivono ciò che lo studente deve sapere al termine della scuola secondaria superiore, separatamente per il livello base e avanzato. L'assegnazione dei singoli argomenti a una determinata classe è una nostra scelta basata sulla tipica programmazione didattica; nella sezione «Ambito del programma» sono riportati i punti del programma ministeriale con le relative citazioni.

Stato della pagina: gli esercizi per questa classe sono pronti in forma essenziale (solo consegna e formula); gli esercizi con figure, le dimostrazioni e i problemi applicativi verranno integrati nei passaggi successivi.

Ambito del programma

  1. Punto del programma MAT.LO.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Punto del programma MAT.LO.1.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

  3. Punto del programma MAT.LO.1.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Punto del programma MAT.LO.1.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

  5. Punto del programma MAT.LO.1.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

  6. Punto del programma MAT.LO.1.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Punto del programma MAT.LO.1.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Punto del programma MAT.LO.1.P.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

    Equazioni e disequazioni con valore assoluto (da noi in classe 10)

  9. Punto del programma MAT.LO.1.P.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

  10. Punto del programma MAT.LO.1.P.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

  11. Punto del programma MAT.LO.1.P.2.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Punto del programma MAT.LO.1.P.2.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Punto del programma MAT.LO.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Punto del programma MAT.LO.2.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

  15. Punto del programma MAT.LO.2.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

  16. Punto del programma MAT.LO.2.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

  17. Punto del programma MAT.LO.2.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

  18. Punto del programma MAT.LO.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Punto del programma MAT.LO.3.P.1 · Contenuti di insegnamento

    przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

    Risoluzione di equazioni razionali e con radicali (da noi in classe 10)

  20. Punto del programma MAT.LO.3.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

  21. Punto del programma MAT.LO.3.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

  22. Punto del programma MAT.LO.3.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

    Risoluzione delle disequazioni di secondo grado (da noi in classe 10) · Risoluzione delle equazioni di secondo grado (da noi in classe 10)

  23. Punto del programma MAT.LO.3.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

    Risoluzione di equazioni polinomiali (da noi in classe 10)

  24. Punto del programma MAT.LO.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Punto del programma MAT.LO.4.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

  26. Punto del programma MAT.LO.4.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Punto del programma MAT.LO.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Punto del programma MAT.LO.5.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Punto del programma MAT.LO.5.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

    Calcolo del valore di una funzione quadratica (da noi in classe 10)

  30. Punto del programma MAT.LO.5.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Punto del programma MAT.LO.5.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Punto del programma MAT.LO.5.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Punto del programma MAT.LO.5.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

  34. Punto del programma MAT.LO.5.P.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Punto del programma MAT.LO.5.P.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

    Vertice della parabola e forma canonica della funzione (da noi in classe 10)

  36. Punto del programma MAT.LO.5.P.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Punto del programma MAT.LO.5.P.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

    Valore minimo e massimo di una funzione in un intervallo (da noi in classe 10)

  38. Punto del programma MAT.LO.5.P.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

    Problemi di ottimizzazione: area massima (da noi in classe 10) · Valore minimo e massimo di una funzione in un intervallo (da noi in classe 10)

  39. Punto del programma MAT.LO.5.P.12 · Contenuti di insegnamento

    na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

    Traslazione del grafico di una funzione (da noi in classe 10)

  40. Punto del programma MAT.LO.5.P.13 · Contenuti di insegnamento

    posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

    Grafico e proprietà della funzione f(x) = a/x (da noi in classe 10)

  41. Punto del programma MAT.LO.5.P.14 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

    Calcolo del valore della funzione esponenziale (da noi in classe 10) · Risoluzione di equazioni esponenziali con la stessa base (da noi in classe 10)

  42. Punto del programma MAT.LO.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Punto del programma MAT.LO.6.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Punto del programma MAT.LO.6.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Punto del programma MAT.LO.6.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Punto del programma MAT.LO.6.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Punto del programma MAT.LO.6.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Punto del programma MAT.LO.6.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Punto del programma MAT.LO.6.P.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Punto del programma MAT.LO.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Punto del programma MAT.LO.7.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

    Valori esatti delle funzioni trigonometriche (da noi in classe 10)

  52. Punto del programma MAT.LO.7.P.2 · Contenuti di insegnamento

    korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

    Calcolo del coseno e della tangente a partire dal seno noto (da noi in classe 10)

  53. Punto del programma MAT.LO.7.P.3 · Contenuti di insegnamento

    stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

    Teoremi dei seni e del coseno e area del triangolo (da noi in classe 10)

  54. Punto del programma MAT.LO.7.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

    Riconoscimento dei cateti rispetto all'angolo (da noi in classe 10)

  55. Punto del programma MAT.LO.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Punto del programma MAT.LO.8.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

    Calcolo della lunghezza della corda e del segmento di tangente (da noi in classe 10)

  57. Punto del programma MAT.LO.8.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

    Determining the type of triangle from side lengths (da noi in classe 10)

  58. Punto del programma MAT.LO.8.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Punto del programma MAT.LO.8.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Punto del programma MAT.LO.8.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

    Angolo alla circonferenza e angolo al centro in una circonferenza (da noi in classe 10)

  61. Punto del programma MAT.LO.8.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

    Area del settore circolare e lunghezza dell'arco (da noi in classe 10)

  62. Punto del programma MAT.LO.8.P.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

    Calcolo della lunghezza dei segmenti con il teorema di Talete (da noi in classe 10)

  63. Punto del programma MAT.LO.8.P.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Punto del programma MAT.LO.8.P.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

    Aree e perimetri di figure simili (da noi in classe 10)

  65. Punto del programma MAT.LO.8.P.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

    Circonferenza inscritta e circoscritta a un triangolo rettangolo (da noi in classe 10)

  66. Punto del programma MAT.LO.8.P.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Punto del programma MAT.LO.8.P.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

    Calcolo dell'area del parallelogramma tramite il seno (da noi in classe 10)

  68. Punto del programma MAT.LO.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Punto del programma MAT.LO.9.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Punto del programma MAT.LO.9.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Punto del programma MAT.LO.9.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Punto del programma MAT.LO.9.P.4 · Contenuti di insegnamento

    posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    nostra sintesi del punto · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Punto del programma MAT.LO.9.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Punto del programma MAT.LO.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Punto del programma MAT.LO.10.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Punto del programma MAT.LO.10.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Punto del programma MAT.LO.10.P.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Punto del programma MAT.LO.10.P.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Punto del programma MAT.LO.10.P.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Punto del programma MAT.LO.10.P.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Punto del programma MAT.LO.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Punto del programma MAT.LO.11.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Punto del programma MAT.LO.11.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Punto del programma MAT.LO.11.P.2.a · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Punto del programma MAT.LO.11.P.2.b · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Punto del programma MAT.LO.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Punto del programma MAT.LO.12.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Punto del programma MAT.LO.12.P.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Punto del programma MAT.LO.13 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Punto del programma MAT.LO.13.P.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

    Problemi di ottimizzazione: area massima (da noi in classe 10)

  91. Punto del programma MAT.LO.WO.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Punto del programma MAT.LO.WO.1.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Punto del programma MAT.LO.WO.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Punto del programma MAT.LO.WO.2.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Punto del programma MAT.LO.WO.2.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Punto del programma MAT.LO.WO.3 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Punto del programma MAT.LO.WO.3.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Punto del programma MAT.LO.WO.3.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Punto del programma MAT.LO.WO.3.3 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Punto del programma MAT.LO.WO.3.4 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Punto del programma MAT.LO.WO.4 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Punto del programma MAT.LO.WO.4.1 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Punto del programma MAT.LO.WO.4.2 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Punto del programma MAT.LO.WO.4.3 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Punto del programma MAT.LO.WO.4.4 · Obiettivi generali · verificato con il testo ufficiale

    Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Competenze passo dopo passo

Formule di Viète: somma e prodotto delle radici

Lo studente determina la somma, il prodotto e la somma dei reciproci delle radici di un'equazione di secondo grado direttamente dai coefficienti, senza la necessità di calcolare il delta e le soluzioni stesse.

Nel secondo anno della scuola secondaria di secondo grado, lo studente determina la somma e il prodotto delle radici di un trinomio di secondo grado direttamente a partire dai suoi coefficienti numerici. In questa fase impara anche a trasformare le relazioni algebriche, riconducendo ad esempio la somma dei reciproci delle radici alla forma di una frazione composta dalla loro somma e dal loro prodotto.

Un errore tipico è la perdita del segno meno nella formula della somma delle radici (confondendo l'espressione -b/a con b/a). Spesso gli studenti dimenticano anche di dividere per il coefficiente a quando davanti al termine di grado massimo c'è un numero diverso da 1, il che altera completamente il risultato.

Gli esercizi di questa sezione comprendono compiti di calcolo specifici:

  • Somma delle radici con le formule di Viète e prodotto delle radici con le formule di Viète – lettura diretta e calcolo dei valori a partire dai coefficienti dell'equazione di secondo grado,
  • Somma dei reciproci delle radici – riduzione dell'espressione a un denominatore comune e applicazione simultanea di entrambe le formule.
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Tipi di esercizi: Prodotto delle radici (Viète) · Somma dei reciproci delle radici · Somma delle radici (Viète)

Teoremi dei seni e del coseno e area del triangolo

Lo studente calcola lati e angoli incogniti in un triangolo qualsiasi mediante il teorema dei seni e il teorema del coseno e determina l'area di un triangolo utilizzando il seno di un angolo.

Punto del programma MAT.LO.7.P.3 stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

Al secondo anno delle scuole superiori lo studente risolve triangoli qualsiasi, non necessariamente rettangoli. Applica il teorema dei seni e il teorema del coseno per determinare le lunghezze dei lati o le ampiezze degli angoli mancanti in base ai dati forniti. È inoltre in grado di calcolare agevolmente l'area di un triangolo utilizzando la formula che combina le lunghezze di due lati con il seno dell'angolo compreso tra essi.

Una difficoltà tipica nell'applicazione del teorema del coseno è l'errore di calcolo nell'ordine delle operazioni o il mancato riconoscimento del segno negativo del coseno per un angolo ottuso. D'altra parte, nel calcolo dell'area del triangolo, gli studenti scelgono spesso un angolo casuale dalla figura anziché quello compreso esattamente tra i due lati noti.

Le schede da stampare in questo ambito comprendono tre gruppi specifici di esercizi:

  • Teorema del coseno — calcolo della lunghezza del terzo lato conoscendo due lati e l'angolo compreso tra essi, oppure determinazione del coseno di un angolo noti i tre lati,
  • Teorema dei seni — calcolo dei lati e degli angoli mancanti in base alla proporzione tra un lato e il seno dell'angolo opposto,
  • Area del triangolo con il seno — calcolo dell'area della figura senza la necessità di determinare preventivamente la sua altezza.
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Tipi di esercizi: Area del triangolo con il seno · Teorema dei seni · Teorema del coseno

Calcolo del valore della funzione esponenziale

Lo studente calcola i valori della funzione esponenziale per gli argomenti dati e riconosce quando tale funzione è decrescente.

Punto del programma MAT.LO.5.P.14 posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

Nel secondo anno della scuola secondaria di secondo grado, lo studente calcola i valori della funzione esponenziale per argomenti specifici. Comprende la relazione tra la base della potenza e il comportamento della funzione, riuscendo così a indicare quando una funzione esponenziale è decrescente e quando è crescente.

Le difficoltà più frequenti sorgono con le potenze a esponente negativo o frazionario, specialmente quando la base della funzione è una frazione. A volte gli studenti confondono il reciproco di un numero con il cambiamento del suo segno, oppure valutano in modo errato la monotonia, dimenticando che una base appartenente all'intervallo tra zero e uno corrisponde a una funzione decrescente.

Gli esercizi del modello Valore della funzione esponenziale richiedono di sostituire il numero dato al posto della variabile e svolgere le opportune operazioni con le potenze. D'altra parte, gli esercizi del modello Funzione esponenziale decrescente consistono nell'analizzare la base della potenza nella formula e valutare se la funzione decresce all'aumentare degli argomenti.

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Tipi di esercizi: Funzione esponenziale decrescente · Valore di una funzione esponenziale

Divisione di un polinomio per un binomio x − a

Lo studente esegue la divisione di un polinomio per un binomio della forma x − a e determina il quoziente e il resto di tale divisione.

Al secondo anno delle scuole superiori, lo studente divide i polinomi per un binomio lineare della forma x − a. Durante i calcoli, determina il polinomio quoziente e stabilisce il valore del resto, verificando se il polinomio è divisibile esattamente o con un resto numerico.

Il problema più frequente nella divisione in colonna è l'errore di segno durante la sottrazione dei singoli termini, soprattutto quando il termine sottratto ha un coefficiente negativo. Spesso gli studenti commettono errori anche quando il polinomio dividendo non presenta tutte le potenze successive: dimenticare di inserire uno zero al posto del grado mancante porta a un errato allineamento dei termini simili.

Nella pratica, lo studente incontra due tipi di esercizi:

  • Divisione di un polinomio per un binomio — consiste nell'eseguire la divisione completa passaggio per passaggio e nello scrivere il risultato sotto forma di quoziente e resto;
  • Resto della divisione di un polinomio — richiede di determinare soltanto il resto della divisione per x − a per il polinomio dato.
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Tipi di esercizi: Resto della divisione di un polinomio · Divisione di un polinomio per un binomio

Risoluzione delle disequazioni di secondo grado

Lo studente risolve disequazioni di secondo grado scritte in forma generale e fattorizzata e determina correttamente l'insieme delle soluzioni sotto forma di intervalli numerici.

Punto del programma MAT.LO.3.P.4 rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

Nel secondo anno delle scuole superiori, lo studente impara a determinare l'insieme delle soluzioni delle disequazioni di secondo grado. Calcola autonomamente gli zeri della corrispondente funzione quadratica o li deduce dalla forma fattorizzata, quindi traccia un grafico indicativo della parabola, tenendo conto della sua concavità, per individuare correttamente l'intervallo dei valori positivi o negativi.

Un errore frequente in questa fase è l'errata determinazione della concavità della parabola quando il coefficiente del termine di grado massimo è negativo, il che porta a individuare l'intervallo errato. Gli studenti confondono spesso anche le parentesi chiuse con quelle aperte, non prestando attenzione al fatto che la disequazione sia stretta (segni <, >) o non stretta (segni ≤, ≥).

Gli esercizi pratici comprendono due formati principali:

  • Disequazione di secondo grado in forma fattorizzata — lo studente ricava immediatamente le radici dalle parentesi, ad es. dalla forma (x - 3)(x + 2) ≥ 0, e individua l'intervallo sulla retta numerica;
  • Disequazione di secondo grado — un esempio in forma generale, ad es. x² - 4x + 3 < 0, che richiede innanzitutto la trasformazione dell'espressione o il calcolo del discriminante delta per trovare i punti di intersezione con l'asse.
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Tipi di esercizi: Disequazione di secondo grado · Disequazione di secondo grado in forma fattorizzata

Equazioni e disequazioni con valore assoluto

Lo studente impara a determinare i numeri che soddisfano le equazioni e gli intervalli di soluzioni delle disequazioni in cui compare il valore assoluto.

Punto del programma MAT.LO.1.P.7 stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

Nel secondo anno di liceo e istituto tecnico, lo studente risolve problemi algebrici in cui l'espressione con l'incognita si trova sotto il segno di valore assoluto. Scompone con sicurezza il problema in casi oppure utilizza l'interpretazione geometrica sulla retta numerica, determinando i singoli numeri che soddisfano la condizione o indicando l'insieme delle soluzioni sotto forma di intervallo.

Un problema tipico è confondere i connettivi logici durante la scrittura delle disequazioni. Gli studenti utilizzano spesso l'unione di intervalli al posto della loro intersezione (o viceversa), a causa della confusione tra le condizioni per i versi di minore e maggiore. Un errore frequente è anche l'omissione del cambio del verso della disequazione quando si esamina il caso con un numero negativo.

Il lavoro su questo argomento include i modelli Equazione con valore assoluto e Disequazione con valore assoluto. Negli esercizi, lo studente trasforma l'espressione algebrica assegnata, elimina il simbolo di valore assoluto e scrive la soluzione finale sotto forma di insieme di numeri o di intervalli numerici.

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Tipi di esercizi: Equazione con valore assoluto · Disequazione con valore assoluto

Risoluzione di equazioni polinomiali

Lo studente risolve equazioni polinomiali scritte in forma fattorizzata ed equazioni biquadratiche utilizzando una variabile ausiliaria.

Punto del programma MAT.LO.3.P.5 rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

Nel secondo anno di scuola superiore, lo studente impara a determinare le soluzioni di equazioni polinomiali di grado superiore al secondo in casi specifici e accessibili. Lavora con espressioni in forma fattorizzata, sfruttando il principio secondo cui un prodotto è uguale a zero quando almeno uno dei fattori è uguale a zero. Risolve anche equazioni biquadratiche (di quarto grado con potenze pari), riconducendole a equazioni di secondo grado tramite la sostituzione di una nuova variabile al posto del quadrato dell'incognita.

L'errore più comune nelle equazioni biquadratiche consiste nel terminare i calcoli dopo aver trovato il valore della variabile ausiliaria, dimenticando di tornare all'incognita originaria. Capita anche di tentare di estrarre la radice quadrata di valori negativi della variabile ausiliaria nell'insieme dei numeri reali. Nelle equazioni in forma fattorizzata, invece, gli studenti tendono a moltiplicare istintivamente i termini tra parentesi, complicando inutilmente il problema invece di porre subito ciascun fattore uguale a zero.

Gli esercizi che verificano questa abilità si basano su due schemi:

  • Equazione polinomiale in forma fattorizzata — richiede di scomporre il prodotto di più fattori tra parentesi in equazioni lineari o di secondo grado più semplici e di determinare l'insieme completo delle soluzioni.
  • Equazione biquadratica — richiede un cambio di variabile, il calcolo del discriminante dell'equazione di secondo grado (delta) e infine la determinazione dei valori finali dell'incognita.
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Tipi di esercizi: Equazione polinomiale fattorizzata · Equazione biquadratica

Risoluzione di equazioni razionali e con radicali

Lo studente impara a determinare il dominio e a risolvere correttamente le equazioni contenenti l'incognita al denominatore di una frazione o sotto il segno di radice.

Punto del programma MAT.LO.3.P.1 przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

Nel secondo anno della scuola secondaria di secondo grado lo studente risolve equazioni algebriche in cui l'incognita compare sotto il segno di radice o al denominatore di un'espressione frazionaria. Un elemento fondamentale in questa fase è la determinazione del dominio, ovvero l'individuazione dei numeri per i quali l'espressione ha senso matematico — in particolare escludendo i valori che annullano il denominatore e tenendo conto delle condizioni di esistenza dei radicali.

L'errore più comune consiste nel trasformare meccanicamente l'equazione senza verificare le condizioni iniziali. Gli studenti spesso dimenticano il dominio o il fatto che elevare al quadrato entrambi i membri di un'equazione può introdurre soluzioni estranee, finendo per considerare corretta una soluzione che in realtà non soddisfa l'equazione di partenza.

Nella pratica, gli esercizi si basano sui modelli Equazione fratta ed Equazione irrazionale. Lo studente affronta quesiti che richiedono di semplificare espressioni frazionarie, moltiplicare "a croce" o isolare la radice da una parte dell'equazione, per poi verificare la compatibilità dei risultati ottenuti con il dominio.

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Tipi di esercizi: Equazione irrazionale · Equazione fratta

Vertice della parabola e forma canonica della funzione

Lo studente impara a determinare le coordinate del vertice della parabola e a scrivere e leggere la formula della funzione quadratica in forma canonica.

Punto del programma MAT.LO.5.P.8 interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

Uno studente del secondo anno di scuola secondaria di secondo grado impara a determinare le coordinate del vertice della parabola e a lavorare con la forma canonica della funzione quadratica. È in grado di ricavare con disinvoltura il vertice dalla formula nella forma y = a(x - p)² + q, nonché di convertire la forma generale della funzione nella forma canonica.

La difficoltà più comune consiste nell'individuare correttamente la prima coordinata del vertice a causa del segno meno nella formula. Gli studenti confondono spesso il segno del numero tra parentesi: con la scrittura (x - 4)² indicano come prima coordinata -4 anziché 4, mentre con l'espressione (x + 3)² dimenticano che tale coordinata è -3.

In pratica, gli esercizi dei modelli Vertice della parabola e Forma canonica della funzione quadratica consistono nel ricavare direttamente le coordinate del vertice dalla formula data, nel calcolarle a partire dalla forma generale o nello scrivere autonomamente l'equazione della funzione con un vertice assegnato.

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Tipi di esercizi: Vertice di una parabola · Forma canonica della funzione quadratica

Valore minimo e massimo di una funzione in un intervallo

Lo studente impara a determinare il valore massimo e minimo di una funzione quadratica in un intervallo chiuso dato, verificando il vertice della parabola e i suoi estremi.

Punto del programma MAT.LO.5.P.10 wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
Punto del programma MAT.LO.5.P.11 wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

Nel secondo anno del liceo e dell'istituto tecnico, lo studente impara a determinare il valore minimo e massimo di una funzione quadratica in un dato intervallo chiuso. Analizza l'espressione della funzione, calcola la coordinata del vertice della parabola e verifica se essa si trova all'interno dell'intervallo indicato, per poi confrontare i valori assunti agli estremi e nel vertice.

L'errore più comune consiste nel calcolare meccanicamente i valori della funzione esclusivamente agli estremi dell'intervallo, tralasciando il vertice della parabola, nel quale la funzione può raggiungere il suo effettivo estremo. Si verifica anche l'errore opposto: lo studente indica automaticamente il valore nel vertice, dimenticando di verificare se la sua coordinata rientri effettivamente nell'intervallo assegnato.

I quesiti di questo tipo corrispondono ai modelli Valore massimo in un intervallo e Valore minimo in un intervallo. Lo studente riceve l'equazione di una funzione quadratica e un determinato intervallo numerico, e il suo obiettivo è indicare un singolo numero che sia il valore minimo o massimo della funzione entro tali limiti.

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Tipi di esercizi: Valore massimo in un intervallo · Valore minimo in un intervallo

Riconoscimento dei cateti rispetto all'angolo

Lo studente individua il cateto opposto a un dato angolo acuto e il cateto adiacente a tale angolo in un triangolo rettangolo.

Punto del programma MAT.LO.7.P.4 oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

Nel secondo anno della scuola secondaria di secondo grado, lo studente impara a individuare correttamente i lati di un triangolo rettangolo in relazione a un determinato angolo acuto. Distingue con precisione quale cateto forma l'angolo dato (è adiacente ad esso) e quale si trova sul lato opposto, passaggio fondamentale per definire le funzioni trigonometriche.

Un errore tipico consiste nel confondere il cateto adiacente all'angolo con il cateto opposto. Questa difficoltà si accentua soprattutto quando il triangolo è disegnato in una posizione insolita (ruotato) e lo studente tenta di valutare i lati in base alla loro disposizione verticale o orizzontale sul foglio, anziché verificare la loro posizione rispetto al vertice dell'angolo.

I problemi di questa sezione hanno una forma grafica e consistono nell'analizzare il disegno di un triangolo rettangolo con un angolo evidenziato. Lo studente risolve esercizi del tipo:

  • Cateto adiacente all'angolo — individuare e nominare il lato adiacente all'angolo indicato,
  • Cateto opposto all'angolo — identificare il lato situato di fronte all'angolo acuto assegnato.
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Tipi di esercizi: Cateto adiacente · Cateto opposto

Calcolo del coseno e della tangente a partire dal seno noto

Lo studente determina il valore del coseno e della tangente di un angolo, utilizzando la conoscenza del seno e delle identità trigonometriche.

Punto del programma MAT.LO.7.P.2 korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

Nel secondo anno di scuola superiore, lo studente applica le identità trigonometriche fondamentali: la relazione sin²α + cos²α = 1 (prima relazione fondamentale della trigonometria) e la definizione di tangente come rapporto tg α = sin α / cos α. Conoscendo il valore numerico del seno di un angolo (spesso espresso sotto forma di frazione), è in grado di ricavare agevolmente il corrispondente valore del coseno e, successivamente, calcolare la tangente.

Un problema tipico è rappresentato dagli errori di calcolo nella manipolazione dell'equazione: un'elevazione al quadrato errata della frazione (ad esempio, dimenticare di elevare al quadrato il denominatore) o difficoltà nella semplificazione e nell'estrazione della radice quadrata del risultato ottenuto. Nel determinare la tangente, gli studenti commettono errori anche nella divisione per una frazione, dimenticando di moltiplicare per il suo reciproco.

Gli esercizi di questa sezione si basano sui seguenti schemi:

  • Coseno dal seno — consiste nel sostituire il valore noto del seno nell'identità fondamentale della trigonometria, sottrarlo da uno ed estrarre la radice quadrata del risultato;
  • Tangente dal seno — lo studente prima determina il coseno e, nel passaggio successivo, calcola il valore della tangente dividendo il seno fornito per il coseno ricavato.
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Tipi di esercizi: Coseno dal seno · Tangente dal seno

Area del settore circolare e lunghezza dell'arco

Lo studente calcola la lunghezza di un arco di circonferenza e l'area di un settore circolare in base al raggio e all'ampiezza dell'angolo al centro assegnati.

Punto del programma MAT.LO.8.P.6 stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

Nel secondo anno della scuola secondaria di secondo grado lo studente determina le misure di parti di una circonferenza e di un cerchio. In base al raggio fornito e all'ampiezza dell'angolo al centro espressa in gradi, calcola quale frazione dell'intera circonferenza costituisce l'arco e quale frazione dell'intera area del cerchio occupa un dato settore circolare.

Un errore tipico in questa fase consiste nel confondere le formule: elevare il raggio al quadrato nel calcolo della lunghezza dell'arco (invece di usare la formula della circonferenza) oppure raddoppiare il raggio anziché elevarlo al quadrato nel calcolo dell'area del settore circolare. Gli studenti spesso dimenticano anche la costante π durante i passaggi o commettono errori di calcolo nella semplificazione della frazione tra l'ampiezza dell'angolo e 360 gradi.

Gli esercizi per sviluppare questa abilità si presentano in due forme:

  • Lunghezza dell'arco – lo studente calcola la lunghezza della porzione di circonferenza individuata a partire da un dato raggio e da un angolo al centro.
  • Area del settore circolare – l'esercizio consiste nel calcolare l'area di un settore circolare avente i parametri assegnati.
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Tipi di esercizi: Area di un settore circolare · Lunghezza dell'arco

Angolo alla circonferenza e angolo al centro in una circonferenza

Lo studente calcola l'ampiezza di un angolo alla circonferenza in base all'angolo al centro che insiste sullo stesso arco e determina l'ampiezza dell'angolo al centro quando conosce l'ampiezza del corrispondente angolo alla circonferenza.

Punto del programma MAT.LO.8.P.5 stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

Nel secondo anno della scuola secondaria di secondo grado lo studente applica una relazione fondamentale della geometria piana nella circonferenza: l'ampiezza dell'angolo al centro è il doppio dell'ampiezza dell'angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco. In pratica, ciò significa eseguire con sicurezza semplici calcoli: moltiplicare o dividere per 2 l'ampiezza dell'angolo data in gradi.

L'errore più comune consiste nel confondere il verso di questa relazione e dividere per due dove invece bisognava moltiplicare (o viceversa), portando a un risultato privo di senso in cui l'angolo alla circonferenza risulta maggiore dell'angolo al centro. Gli studenti hanno a volte difficoltà anche a verificare sulla figura se entrambi gli angoli insistano effettivamente sullo stesso arco di circonferenza.

I problemi di questo tipo si basano su due chiari schemi di calcolo:

  • Angolo al centro a partire dall'angolo alla circonferenza – lo studente, a partire dall'ampiezza nota dell'angolo alla circonferenza (ad es. 35°), determina l'ampiezza dell'angolo al centro moltiplicando il valore per 2;
  • Angolo alla circonferenza a partire dall'angolo al centro – lo studente riceve l'ampiezza dell'angolo al centro (ad es. 110°) e calcola il corrispondente angolo alla circonferenza dividendone il valore a metà.
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Tipi di esercizi: Angolo al centro dall'angolo alla circonferenza · Angolo alla circonferenza dall'angolo al centro

Calcolo della lunghezza della corda e del segmento di tangente

Lo studente calcola le lunghezze delle corde e dei segmenti tangenti alla circonferenza, utilizzando le proprietà del raggio, degli angoli e dei triangoli rettangoli.

Punto del programma MAT.LO.8.P.1 wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

Lo studente del secondo anno della scuola secondaria di secondo grado determina le lunghezze delle corde e dei segmenti di tangenza a una circonferenza. Nei calcoli geometrici combina i dati relativi al raggio della circonferenza e alle distanze dei punti, utilizzando i triangoli rettangoli che si formano nella configurazione geometrica tra circonferenza e rette.

Un errore comune consiste nel trascurare il fatto che il raggio condotto al punto di tangenza è sempre perpendicolare alla tangente, il che impedisce di impostare correttamente l'equazione con il teorema di Pitagora. Negli esercizi con le corde, gli studenti spesso sbagliano anche dimenticando che il segmento tracciato dal centro della circonferenza perpendicolarmente alla corda la divide in due parti uguali.

Gli esercizi si basano su due tipologie di problemi:

  • Lunghezza della corda — lo studente calcola la lunghezza della corda conoscendo il raggio della circonferenza e la sua distanza dal centro, oppure determina il raggio incognito conoscendo la corda,
  • Segmento di tangenza — il problema richiede di determinare la distanza da un punto esterno al punto di tangenza con la circonferenza, data la distanza dal centro della circonferenza e la misura del raggio.
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Tipi di esercizi: Lunghezza di una corda · Segmento di tangente

Circonferenza inscritta e circoscritta a un triangolo rettangolo

Lo studente calcola la lunghezza del raggio della circonferenza inscritta e di quella circoscritta a un triangolo rettangolo in base alle lunghezze dei suoi lati.

Punto del programma MAT.LO.8.P.10 wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

In seconda classe, lo studente utilizza le proprietà del triangolo rettangolo per determinare i raggi delle circonferenze a esso associate. Riconosce e applica una relazione geometrica fondamentale: l'ipotenusa di un triangolo rettangolo coincide con il diametro della circonferenza circoscritta, il che consente di determinare immediatamente il raggio come metà della sua lunghezza. Parallelamente, lo studente calcola il raggio della circonferenza inscritta collegando le lunghezze dei cateti e dell'ipotenusa mediante un'opportuna relazione algebrica o confrontando l'area del triangolo con il suo perimetro.

L'errore più comune consiste nel confondere meccanicamente le formule per il raggio della circonferenza circoscritta e di quella inscritta, oltre a fare confusione tra i cateti e l'ipotenusa. Una difficoltà aggiuntiva si presenta quando nel testo del problema vengono forniti solo due lati del triangolo: lo studente dimentica spesso la necessità di calcolare preventivamente il lato mancante utilizzando il teorema di Pitagora.

Gli esercizi che verificano questa competenza si presentano in due varianti ben definite: Raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo rettangolo e Raggio della circonferenza inscritta in un triangolo rettangolo. Nelle esercitazioni vengono fornite allo studente le lunghezze dei lati (o di due di essi) ed egli indica o calcola il valore esatto del raggio richiesto.

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Tipi di esercizi: Raggio circoscritto al triangolo rettangolo · Raggio inscritto nel triangolo rettangolo

Problemi di ottimizzazione: area massima

Lo studente impara a determinare le dimensioni di un rettangolo o di un recinto che forniscono la massima area possibile, utilizzando le proprietà del vertice della parabola di una funzione quadratica.

Punto del programma MAT.LO.13.P.1 rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
Punto del programma MAT.LO.5.P.11 wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

Nel secondo anno della scuola secondaria di secondo grado, lo studente è in grado di descrivere un problema geometrico mediante l'espressione di una funzione quadratica e determinarne il valore massimo. In questa fase, traduce il testo del problema in un'equazione che descrive l'area della figura in funzione della lunghezza di uno dei lati, per poi individuare le dimensioni ottimali utilizzando le coordinate del vertice della parabola.

Un errore frequente consiste nel trascurare i vincoli costruttivi del problema, ad esempio quando il terreno confina con un muro e non richiede una recinzione su tutti i lati. Gli studenti applicano spesso in modo automatico la formula del perimetro standard del rettangolo con quattro lati invece di sommare solo i tre lati da recintare; di conseguenza, impostano una funzione errata e ottengono un risultato finale sbagliato.

Nella pratica, lo studente affronta problemi con testo ambientati in contesti reali, quali:

  • Rettangolo di area massima – determinazione delle dimensioni dei lati di un terreno data a priori la lunghezza complessiva della rete;
  • Recinto adiacente a un muro di area massima – progettazione di uno spazio rettangolare sfruttando una parete esistente dell'edificio, dove la recinzione viene posata solo su tre lati.
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Tipi di esercizi: Recinto contro il muro di area massima · Rettangolo di area massima

Risoluzione di equazioni esponenziali con la stessa base

Lo studente è in grado di ricondurre entrambi i membri di un'equazione esponenziale alla stessa base e uguagliare i loro esponenti per determinare l'incognita.

Punto del programma MAT.LO.5.P.14 posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

Nel secondo anno delle scuole superiori, lo studente impara il metodo per risolvere le equazioni in cui l'incognita si trova all'esponente della potenza. Questa abilità consiste nel trasformare entrambi i membri dell'equazione in modo da ottenere potenze con la stessa base (ad es. scrivendo i numeri come potenze di due, di tre o frazioni). Quando le basi sono identiche, lo studente confronta direttamente gli esponenti e determina il valore della variabile cercata.

Un problema frequente in questa fase sono gli errori nell'applicazione delle proprietà delle potenze, in particolare la confusione tra la moltiplicazione di potenze e la potenza di potenza (ad es. sommare gli esponenti anziché moltiplicarli). A volte gli studenti tentano anche di "eliminare" prematuramente le basi, prima di aver ricondotto entrambi i membri dell'equazione alla forma di singole potenze con esattamente la stessa base.

In pratica, gli esercizi del modello Equazione esponenziale richiedono di risolvere un'uguaglianza in cui compaiono espressioni esponenziali su entrambi i lati. Lo studente riconduce i numeri a una base comune, imposta una semplice equazione lineare a partire dagli esponenti ottenuti e calcola il risultato finale.

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Coefficienti nello sviluppo del binomio di Newton

Lo studente impara a determinare specifici coefficienti numerici delle potenze della variabile nello sviluppo della potenza di un binomio mediante la formula di Newton.

Lo studente applica la formula del binomio di Newton per determinare specifici coefficienti numerici nello sviluppo della potenza di un binomio. Invece di moltiplicare ripetutamente le parentesi tra loro, è in grado di individuare e calcolare direttamente il valore numerico associato a una determinata potenza della variabile utilizzando il coefficiente binomiale.

Un errore comune è non considerare i coefficienti associati alla variabile all'interno della parentesi. Gli studenti si concentrano sul calcolo del coefficiente binomiale, dimenticando che l'elevamento a potenza si applica all'intero termine — ad esempio, elevando a potenza l'espressione 2x, occorre elevare sia il numero 2 sia l'incognita. Risulta difficile anche considerare correttamente i segni meno in caso di sottrazione tra i termini all'interno della parentesi.

Negli esercizi del modello Coefficiente nello sviluppo del binomio, lo studente riceve la potenza di un binomio e determina il coefficiente associato alla potenza indicata della variabile, senza dover sviluppare tutti gli altri termini.

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Risoluzione delle disequazioni polinomiali

Lo studente risolve disequazioni polinomiali determinandone gli zeri e leggendo i corrispondenti intervalli numerici sulla retta numerica.

Al secondo anno delle scuole superiori, gli studenti passano dalle disequazioni di secondo grado alle disequazioni polinomiali di grado superiore. Scompongono il polinomio in fattori, ne determinano gli zeri, per poi segnarli sulla retta dei numeri e tracciare un grafico qualitativo (schema dei segni) al fine di stabilire per quali valori l'espressione assume valori positivi o negativi.

L'errore più comune consiste nel non tenere conto della molteplicità delle radici durante il tracciamento del grafico sull'asse. Gli studenti tendono ad attraversare meccanicamente l'asse in ogni zero, dimenticando che in corrispondenza delle radici con molteplicità pari il grafico "rimbalza" sull'asse e il segno del polinomio in quel punto non cambia.

Un tipico esercizio del modello Disequazione polinomiale consiste nel trovare tutti i numeri che soddisfano la disequazione data (spesso già scritta in forma fattorizzata o che richiede un semplice raccoglimento a fattor comune) e nello scrivere correttamente il risultato sotto forma di intervallo o unione di intervalli.

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Risoluzione delle equazioni di secondo grado

Lo studente impara a determinare le soluzioni delle equazioni di secondo grado, utilizzando le formule per le radici e il discriminante delta oppure la scomposizione dell'espressione in fattori.

Punto del programma MAT.LO.3.P.4 rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

Nel secondo anno delle scuole superiori, lo studente risolve equazioni di secondo grado in forma normale e incompleta. Sulla base dei coefficienti numerici, calcola il discriminante dell'equazione (delta), determina il numero di soluzioni reali e successivamente ne ricava con precisione i valori mediante le formule standard o manipolazioni algebriche.

L'errore più comune riguarda gli scambi di segno durante il calcolo del delta, in particolare quando il coefficiente c o b è un numero negativo. Nelle equazioni incomplete, gli studenti spesso dividono entrambi i membri per l'incognita, il che porta alla perdita irrimediabile di una delle soluzioni (generalmente lo zero), invece di raccogliere a fattor comune.

Gli esercizi del modello Equazione di secondo grado consistono nel ricondurre l'espressione data alla forma normale e nel determinare tutte le soluzioni appartenenti all'insieme dei numeri reali, oppure nel dimostrare correttamente che tali soluzioni non esistono.

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Traslazione del grafico di una funzione

Lo studente impara a tracciare i grafici di funzioni ottenute mediante traslazione lungo gli assi del sistema di coordinate e a determinare le loro nuove formule.

Punto del programma MAT.LO.5.P.12 na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

Nel secondo anno della scuola secondaria di secondo grado, lo studente impara a trasformare i grafici delle funzioni tramite traslazione lungo gli assi del sistema di coordinate. È in grado di traslare il grafico di una funzione di base in verticale (di un dato numero di unità verso l'alto o verso il basso) e in orizzontale (a sinistra o a destra), nonché di collegare questo spostamento alla variazione nella formula della funzione.

La difficoltà più comune consiste nella corretta interpretazione della traslazione orizzontale. Gli studenti confondono frequentemente le direzioni lungo l'asse orizzontale e traslano il grafico della funzione f(x - p) verso sinistra anziché verso destra, associando istintivamente il segno meno al verso negativo dell'asse.

Gli esercizi del modello Traslazione del grafico di una funzione consistono nel tracciare il grafico trasformato a partire dalla formula data oppure nell'individuare dal disegno di quante unità e in quale direzione è stato traslato il grafico iniziale, per poi scrivere la nuova formula ottenuta.

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Ricerca dei punti di intersezione tra una retta e una parabola

Lo studente impara a determinare i punti di intersezione tra una retta e una parabola attraverso la risoluzione algebrica di un sistema di equazioni lineare e quadratica.

Nel secondo anno, lo studente collega la geometria analitica con l'algebra, risolvendo sistemi composti da un'equazione lineare e una di secondo grado. Ricava autonomamente una variabile dall'equazione della retta e la sostituisce nell'equazione della parabola, riconducendo il problema a un'equazione di secondo grado in una sola incognita, che risolve mediante il discriminante (delta).

Un errore tipico in questa fase è fermarsi dopo aver determinato l'incognita x. Gli studenti trovano correttamente le soluzioni dell'equazione di secondo grado, ma dimenticano di calcolare i corrispondenti valori di y, non fornendo così le coordinate complete del punto. Spesso si verificano anche errori di segno nel portare tutti i termini da un lato dell'equazione.

Gli esercizi del modello Punti di intersezione tra parabola e retta consistono nel determinare algebricamente le coppie di numeri (coordinate dei punti) in cui si intersecano i grafici delle funzioni date. Lo studente verifica se la retta interseca la parabola in due punti, se la tocca in un unico punto di tangenza, oppure se i grafici non hanno punti in comune.

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Calcolo del valore di una funzione quadratica

Lo studente impara a calcolare il valore di una funzione quadratica per un dato argomento, sostituendo correttamente i numeri nella formula ed eseguendo le operazioni.

Punto del programma MAT.LO.5.P.2 oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

A questo livello, lo studente è in grado di calcolare il valore di una funzione quadratica espressa in forma generale per un determinato argomento. Il compito richiede di sostituire il numero dato al posto della variabile x, elevarlo al quadrato, eseguire la moltiplicazione per i coefficienti e infine sommare e sottrarre i termini ottenuti.

L'errore più comune consiste nel confondere l'ordine delle operazioni e nell'elevare a potenza in modo errato i numeri negativi. Spesso gli studenti dimenticano le parentesi in presenza di un argomento negativo e scrivono, ad esempio, -32 = 9 invece di (-3)2 = 9. Capita anche che prima moltiplichino l'argomento per il coefficiente del termine di grado massimo e solo dopo elevino il prodotto al quadrato.

Negli esercizi del modello Valore di una funzione quadratica lo studente riceve l'espressione della funzione e un numero specifico, e ha il compito di calcolare il risultato, ad esempio determinare il valore della funzione f(x) = 2x2 - 5x + 1 per x = -2.

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Grafico e proprietà della funzione f(x) = a/x

Lo studente traccia il grafico della funzione f(x) = a/x, ne determina il dominio e individua le proprietà fondamentali dell'iperbole in base al segno del coefficiente a.

Punto del programma MAT.LO.5.P.13 posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

In questa fase, lo studente lavora con la forma base della proporzionalità inversa, ossia la funzione f(x) = a/x per un dato numero a ≠ 0. È in grado di determinare il dominio della funzione (tenendo conto della condizione x ≠ 0), compilare una tabella di valori per numeri positivi e negativi scelti e successivamente tracciare il grafico — un'iperbole. In base all'espressione analitica o al grafico, determina l'insieme immagine, la monotonia nei singoli intervalli e individua i quadranti del piano cartesiano in cui si trovano i rami del grafico.

Un errore tipico consiste nell'unire meccanicamente i due rami dell'iperbole in un'unica linea continua che interseca l'asse Y, ignorando il fatto che lo zero non appartiene al dominio della funzione. Gli studenti incontrano difficoltà anche nel determinare correttamente la monotonia: descrivono erroneamente la funzione come decrescente nell'intero dominio anziché in due intervalli distinti, e confondono la posizione dei rami del grafico quando il coefficiente a è negativo.

Negli esercizi del modello Funzione f(x) = a/x, lo studente per lo più completa una tabella e traccia il grafico per un parametro numerico specifico, determina l'equazione della funzione a partire dalle coordinate di un punto appartenente all'iperbole oppure ricava dal grafico i valori di x per i quali la funzione assume determinati valori.

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Valori esatti delle funzioni trigonometriche

Lo studente determina i valori esatti delle funzioni trigonometriche per angoli notevoli, utilizzando le formule di riduzione e le proprietà delle funzioni nei singoli quadranti.

Punto del programma MAT.LO.7.P.1 wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

Al secondo anno delle scuole superiori, lo studente impara a determinare i valori esatti di seno, coseno o tangente per angoli ottusi e maggiori di 90°. Utilizzando le formule di riduzione, riconduce i calcoli per tali angoli ai valori noti degli angoli acuti (in particolare 30°, 45° e 60°).

Il problema più frequente in questi calcoli è determinare il segno corretto del risultato (più o meno). Gli studenti confondono spesso il quadrante in cui si trova l'angolo dato, oppure determinano il segno in base alla funzione ottenuta dopo la riduzione anziché a quella iniziale.

Un tipico esercizio del modello Valore esatto della funzione trigonometrica consiste nel fornire il valore esatto (scritto sotto forma di frazione o di radice, senza approssimazioni decimali) per un dato angolo, come ad esempio 120°, 225° o 300°.

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Calcolo dell'area del parallelogramma tramite il seno

Lo studente calcola l'area di un parallelogramma utilizzando le lunghezze di due lati adiacenti e il seno dell'angolo compreso tra di essi.

Punto del programma MAT.LO.8.P.12 stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

Nel secondo anno delle scuole superiori, lo studente combina le conoscenze sulle figure piane con la trigonometria. È in grado di determinare l'area di un parallelogramma applicando la formula basata sulle lunghezze di due lati adiacenti e sul seno dell'angolo compreso tra essi: A = a · b · sin(α).

Un errore comune in questa fase consiste nel sostituire l'ampiezza dell'angolo direttamente nella formula anziché calcolare il valore del suo seno (ad esempio moltiplicando per 60 invece che per sin 60°). Gli studenti tendono ad avere difficoltà anche con i parallelogrammi aventi un angolo ottuso, dimenticando che il seno di un angolo ottuso è uguale al seno dell'angolo acuto suo supplementare a 180°.

Gli esercizi del modello Area del parallelogramma con il seno richiedono di calcolare l'area della figura note le lunghezze dei lati e l'ampiezza dell'angolo (più frequentemente con valori tipici quali 30°, 45°, 60° o 120°) oppure di determinare la misura del lato mancante conoscendo l'area del parallelogramma.

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Aree e perimetri di figure simili

Lo studente impara a determinare l'area o il perimetro di una figura simile, utilizzando il rapporto di similitudine e il suo quadrato.

Punto del programma MAT.LO.8.P.9 wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

Nel secondo anno della scuola secondaria di secondo grado, lo studente utilizza le relazioni tra figure simili per calcolarne le dimensioni. Utilizza con disinvoltura il rapporto di similitudine k, applicando il principio secondo cui il rapporto tra i perimetri delle figure è uguale a k, mentre il rapporto tra le loro aree è pari a k².

L'errore più comune consiste nel moltiplicare direttamente l'area di una figura per il rapporto k anziché per il suo quadrato. Gli studenti tendono spesso ad applicare meccanicamente all'area la regola relativa alle lunghezze dei lati e ai perimetri, giungendo così a risultati errati.

In un tipico esercizio del modello Area di una figura simile, lo studente conosce l'area di una delle figure e il rapporto di similitudine (oppure le lunghezze dei lati corrispondenti) e, su questa base, determina l'area della seconda figura, ingrandita o rimpicciolita.

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Calcolo della lunghezza dei segmenti con il teorema di Talete

Lo studente utilizza il teorema di Talete per calcolare le lunghezze mancanti dei segmenti su rette tagliate da rette parallele.

Punto del programma MAT.LO.8.P.7 stosuje twierdzenie Talesa

Nel secondo anno di liceo e istituto tecnico lo studente applica il teorema di Talete nei problemi di geometria piana. Sulla base delle relazioni tra i segmenti individuati sulle rette da rette parallele, imposta le proporzioni adeguate e determina le lunghezze incognite.

L'errore più comune consiste nell'impostare in modo errato i segmenti nella proporzione, soprattutto quando il problema riguarda la lunghezza dei segmenti situati sulle rette parallele. Gli studenti confondono quindi i segmenti tagliati sui lati dell'angolo con i lati interi, confrontando la parte compresa tra le rette parallele invece del segmento misurato a partire dal vertice dell'angolo.

Gli esercizi del modello Teorema di Talete contengono una figura che rappresenta un angolo o rette incidenti tagliate da rette parallele. Avendo a disposizione le lunghezze numeriche di alcuni segmenti, lo studente scrive l'equazione della proporzione e calcola il valore mancante.

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Determining the type of triangle from side lengths

Lo studente verifica se con le lunghezze dei lati indicate è possibile costruire un triangolo e determina se è acutangolo, rettangolo o ottusangolo.

Punto del programma MAT.LO.8.P.2 rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

In base a tre numeri che descrivono le lunghezze dei lati, lo studente è in grado di analizzare la geometria della figura: prima verifica la condizione di esistenza del triangolo, poi determina se il triangolo è acutangolo, rettangolo o ottusangolo. Nel secondo anno della scuola secondaria di secondo grado, questo calcolo viene svolto confrontando la somma dei quadrati dei due lati più corti con il quadrato del lato più lungo, sfruttando la generalizzazione del teorema di Pitagora.

Un errore comune consiste nel saltare il primo passaggio, ovvero la condizione di esistenza del triangolo (la somma dei due lati più corti deve essere maggiore del lato più lungo). Gli studenti passano direttamente a elevare i numeri al quadrato e traggono conclusioni errate per terne di numeri con cui non è affatto possibile formare un triangolo. Accade spesso anche di confondere il verso della disuguaglianza, ritenendo che quando la somma dei quadrati dei due lati più corti è minore del quadrato del lato più lungo, il triangolo sia acutangolo anziché ottusangolo.

Negli esercizi del modello Tipo di triangolo dalle lunghezze dei lati, lo studente riceve una terna di lunghezze specifiche (numeri interi o con radici, ad es. 4, 6, 8) e ha il compito di associarla al tipo di triangolo corrispondente oppure di dimostrare che un triangolo con tali dimensioni non esiste.

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Modelli di esercizi da stampare

Tutti i tipi di esercizi, raggruppati per abilità. Un clic apre il generatore con il tipo già scelto.

Formule di Viète: somma e prodotto delle radici

Teoremi dei seni e del coseno e area del triangolo

Calcolo del valore della funzione esponenziale

Divisione di un polinomio per un binomio x − a

Risoluzione delle disequazioni di secondo grado

Equazioni e disequazioni con valore assoluto

Risoluzione di equazioni polinomiali

Risoluzione di equazioni razionali e con radicali

Vertice della parabola e forma canonica della funzione

Valore minimo e massimo di una funzione in un intervallo

Riconoscimento dei cateti rispetto all'angolo

Calcolo del coseno e della tangente a partire dal seno noto

Area del settore circolare e lunghezza dell'arco

Angolo alla circonferenza e angolo al centro in una circonferenza

Calcolo della lunghezza della corda e del segmento di tangente

Circonferenza inscritta e circoscritta a un triangolo rettangolo

Problemi di ottimizzazione: area massima

Risoluzione di equazioni esponenziali con la stessa base

Coefficienti nello sviluppo del binomio di Newton

Risoluzione delle disequazioni polinomiali

Risoluzione delle equazioni di secondo grado

Traslazione del grafico di una funzione

Ricerca dei punti di intersezione tra una retta e una parabola

Calcolo del valore di una funzione quadratica

Grafico e proprietà della funzione f(x) = a/x

Valori esatti delle funzioni trigonometriche

Calcolo dell'area del parallelogramma tramite il seno

Aree e perimetri di figure simili

Calcolo della lunghezza dei segmenti con il teorema di Talete

Determining the type of triangle from side lengths

Altri tipi di esercizi

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