Polski
Program nauczania (Polska)

Matematyka — klasa 2 liceum i technikum

Matematyka w klasie 2 liceum i technikum: funkcja kwadratowa, równania i nierówności kwadratowe, wielomiany, funkcja wykładnicza, trygonometria i planimetria — kąty w okręgu, podobieństwo, twierdzenia sinusów i cosinusów. Do każdego tematu gotowe zadania do druku.

Wygeneruj arkusz z tego zakresu

Czego uczy się uczeń z matematyki w klasie 2 liceum?

W klasie 2 centrum materiału to funkcja kwadratowa: postać kanoniczna, wierzchołek, wartość największa i najmniejsza w przedziale, równania i nierówności kwadratowe oraz wzory Viète'a. Uczeń dzieli wielomiany i rozwiązuje równania wielomianowe i wymierne, poznaje funkcję wykładniczą i przekształcenia wykresów. W trygonometrii liczy wartości funkcji w trójkącie prostokątnym i korzysta z tożsamości, a w planimetrii stosuje twierdzenie Talesa, kąty wpisane i środkowe, podobieństwo oraz twierdzenia sinusów i cosinusów.

Ważne o podstawie programowej: podstawa dla liceum i technikum jest sformułowana blokowo — opisuje, co uczeń umie na koniec szkoły średniej, osobno w zakresie podstawowym i rozszerzonym. Przypisanie tematu do klasy to nasza decyzja według typowego rozkładu materiału; w sekcji „Zakres programowy” widzisz punkty podstawy z cytatami.

Stan strony: zadania tej klasy są gotowe w postaci bez fabuły (samo polecenie i wzór); zadania z rysunkiem, dowody i fabuły dochodzą w kolejnych krokach.

Zakres programowy

  1. Punkt podstawy MAT.LO.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

  3. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

  5. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

  6. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

    Równania i nierówności z wartością bezwzględną (u nas w klasie 10)

  9. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

  10. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

  11. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.2.a · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Punkt podstawy MAT.LO.1.P.2.b · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Punkt podstawy MAT.LO.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Punkt podstawy MAT.LO.2.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

  15. Punkt podstawy MAT.LO.2.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

  16. Punkt podstawy MAT.LO.2.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

  17. Punkt podstawy MAT.LO.2.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

  18. Punkt podstawy MAT.LO.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.1 · Treści nauczania

    przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

    Rozwiązywanie równań wymiernych i z pierwiastkiem (u nas w klasie 10)

  20. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

  21. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

  22. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

    Rozwiązywanie nierówności kwadratowych (u nas w klasie 10) · Rozwiązywanie równań kwadratowych (u nas w klasie 10)

  23. Punkt podstawy MAT.LO.3.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

    Rozwiązywanie równań wielomianowych (u nas w klasie 10)

  24. Punkt podstawy MAT.LO.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Punkt podstawy MAT.LO.4.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

  26. Punkt podstawy MAT.LO.4.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Punkt podstawy MAT.LO.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

    Obliczanie wartości funkcji kwadratowej (u nas w klasie 10)

  30. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

  34. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

    Wierzchołek paraboli i postać kanoniczna funkcji (u nas w klasie 10)

  36. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

    Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale (u nas w klasie 10)

  38. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

    Zadania optymalizacyjne: największe pole (u nas w klasie 10) · Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale (u nas w klasie 10)

  39. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.12 · Treści nauczania

    na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

    Przesunięcie wykresu funkcji (u nas w klasie 10)

  40. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.13 · Treści nauczania

    posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

    Wykres i własności funkcji f(x) = a/x (u nas w klasie 10)

  41. Punkt podstawy MAT.LO.5.P.14 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

    Obliczanie wartości funkcji wykładniczej (u nas w klasie 10) · Rozwiązywanie równań wykładniczych o tej samej podstawie (u nas w klasie 10)

  42. Punkt podstawy MAT.LO.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Punkt podstawy MAT.LO.6.P.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Punkt podstawy MAT.LO.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Punkt podstawy MAT.LO.7.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

    Dokładne wartości funkcji trygonometrycznych (u nas w klasie 10)

  52. Punkt podstawy MAT.LO.7.P.2 · Treści nauczania

    korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

    Obliczanie cosinusa i tangensa ze znanego sinusa (u nas w klasie 10)

  53. Punkt podstawy MAT.LO.7.P.3 · Treści nauczania

    stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

    Twierdzenia sinusów i cosinusów oraz pole trójkąta (u nas w klasie 10)

  54. Punkt podstawy MAT.LO.7.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

    Rozpoznawanie przyprostokątnych względem kąta (u nas w klasie 10)

  55. Punkt podstawy MAT.LO.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

    Obliczanie długości cięciwy i odcinka stycznej (u nas w klasie 10)

  57. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

    Określanie rodzaju trójkąta z długości boków (u nas w klasie 10)

  58. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

    Kąt wpisany i środkowy w okręgu (u nas w klasie 10)

  61. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

    Pole wycinka koła i długość łuku (u nas w klasie 10)

  62. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

    Obliczanie długości odcinków z twierdzenia Talesa (u nas w klasie 10)

  63. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

    Pola i obwody figur podobnych (u nas w klasie 10)

  65. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

    Okrąg wpisany i opisany na trójkącie prostokątnym (u nas w klasie 10)

  66. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Punkt podstawy MAT.LO.8.P.12 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

    Obliczanie pola równoległoboku za pomocą sinusa (u nas w klasie 10)

  68. Punkt podstawy MAT.LO.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.4 · Treści nauczania

    posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    opracowanie własne na podstawie aktu · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Punkt podstawy MAT.LO.9.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Punkt podstawy MAT.LO.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Punkt podstawy MAT.LO.10.P.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Punkt podstawy MAT.LO.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Punkt podstawy MAT.LO.11.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Punkt podstawy MAT.LO.11.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Punkt podstawy MAT.LO.11.P.2.a · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Punkt podstawy MAT.LO.11.P.2.b · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Punkt podstawy MAT.LO.12 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Punkt podstawy MAT.LO.12.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Punkt podstawy MAT.LO.12.P.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Punkt podstawy MAT.LO.13 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Punkt podstawy MAT.LO.13.P.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

    Zadania optymalizacyjne: największe pole (u nas w klasie 10)

  91. Punkt podstawy MAT.LO.WO.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Punkt podstawy MAT.LO.WO.1.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Punkt podstawy MAT.LO.WO.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Punkt podstawy MAT.LO.WO.2.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Punkt podstawy MAT.LO.WO.2.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3.3 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Punkt podstawy MAT.LO.WO.3.4 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4.1 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4.2 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4.3 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Punkt podstawy MAT.LO.WO.4.4 · Cele ogólne · cytat sprawdzony z aktem

    Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Umiejętności krok po kroku

Wzory Viète’a: suma i iloczyn pierwiastków

Uczeń wyznacza sumę, iloczyn oraz sumę odwrotności pierwiastków równania kwadratowego bezpośrednio ze współczynników, bez konieczności obliczania delty i samych rozwiązań.

W klasie 2 liceum i technikum uczeń wyznacza sumę oraz iloczyn pierwiastków trójmianu kwadratowego bezpośrednio na podstawie jego współczynników liczbowych. Na tym etapie uczy się również przekształcać zależności algebraiczne, doprowadzając na przykład sumę odwrotności pierwiastków do postaci ułamka złożonego z ich sumy i iloczynu.

Typowym problemem jest gubienie znaku minus we wzorze na sumę pierwiastków (mylenie wyrażenia -b/a z b/a). Uczniowie często zapominają także o dzieleniu przez współczynnik a, gdy przy najwyższej potędze stoi liczba inna niż 1, co całkowicie zniekształca wynik.

Ćwiczenia w tym dziale obejmują konkretne zadania rachunkowe:

  • Suma pierwiastków ze wzorów Viète’a oraz iloczyn pierwiastków ze wzorów Viète’a – bezpośrednie odczytanie i obliczenie wartości ze współczynników równania kwadratowego,
  • Suma odwrotności pierwiastków – sprowadzenie wyrażenia do wspólnego mianownika i zastosowanie obu wzorów naraz.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Iloczyn pierwiastków ze wzorów Viète’a · Suma odwrotności pierwiastków · Suma pierwiastków ze wzorów Viète’a

Twierdzenia sinusów i cosinusów oraz pole trójkąta

Uczeń oblicza nieznane boki i kąty w dowolnym trójkącie za pomocą twierdzenia sinusów i cosinusów oraz wyznacza pole trójkąta z użyciem sinusa kąta.

Punkt podstawy MAT.LO.7.P.3 stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

W klasie 2 liceum i technikum uczeń rozwiązuje dowolne trójkąty, które nie muszą być prostokątne. Stosuje twierdzenie sinusów oraz twierdzenie cosinusów do wyznaczania brakujących długości boków lub miar kątów na podstawie podanych danych. Potrafi także sprawnie obliczyć pole powierzchni trójkąta, korzystając ze wzoru łączącego długości dwóch boków z sinusem kąta leżącego między nimi.

Typową trudnością przy stosowaniu twierdzenia cosinusów jest błąd rachunkowy w kolejności działań lub nieuwzględnienie ujemnego znaku cosinusa dla kąta rozwartego. Z kolei przy obliczaniu pola trójkąta uczniowie często wybierają losowy kąt z rysunku zamiast tego, który jest dokładnie zawarty pomiędzy dwoma znanymi bokami.

Zadania do druku w tym obszarze obejmują trzy konkretne grupy ćwiczeń:

  • Twierdzenie cosinusów — obliczanie długości trzeciego boku ze znajomości dwóch boków i kąta między nimi lub wyznaczanie cosinusa kąta przy danych trzech bokach,
  • Twierdzenie sinusów — wyliczanie brakujących boków i kątów na podstawie proporcji między bokiem a sinusem kąta naprzeciwko,
  • Pole trójkąta z sinusem — obliczanie pola figury bez konieczności wcześniejszego wyznaczania jej wysokości.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Pole trójkąta z sinusem · Twierdzenie cosinusów · Twierdzenie sinusów

Obliczanie wartości funkcji wykładniczej

Uczeń oblicza wartości funkcji wykładniczej dla podanych argumentów oraz rozpoznaje, kiedy taka funkcja jest malejąca.

Punkt podstawy MAT.LO.5.P.14 posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

W klasie 2 liceum i technikum uczeń wyznacza wartości funkcji wykładniczej dla konkretnych argumentów. Rozumie zależność między podstawą potęgi a zachowaniem funkcji, dzięki czemu potrafi wskazać, kiedy funkcja wykładnicza jest malejąca, a kiedy rosnąca.

Najczęstsze trudności pojawiają się przy potęgach o wykładnikach ujemnych lub ułamkowych, zwłaszcza gdy podstawa funkcji jest ułamkiem. Uczniowie mylą niekiedy odwracanie liczby ze zmianą jej znaku na przeciwny albo błędnie oceniają monotoniczność, zapominając, że podstawa należąca do przedziału od zera do jednego oznacza funkcję malejącą.

Zadania z szablonu Wartość funkcji wykładniczej wymagają podstawienia podanej liczby w miejsce zmiennej i wykonania odpowiednich działań na potęgach. Z kolei ćwiczenia z szablonu Funkcja wykładnicza malejąca polegają na analizie podstawy potęgi we wzorze i ocenie, czy funkcja maleje wraz ze wzrostem argumentów.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Funkcja wykładnicza malejąca · Wartość funkcji wykładniczej

Dzielenie wielomianu przez dwumian x − a

Uczeń wykonuje dzielenie wielomianu przez dwumian postaci x − a oraz wyznacza iloraz i resztę z takiego dzielenia.

W klasie 2 liceum i technikum uczeń dzieli wielomiany przez dwumian liniowy postaci x − a. W trakcie obliczeń wyznacza wielomian będący ilorazem oraz ustala wartość reszty, sprawdzając, czy wielomian dzieli się całkowicie, czy z resztą liczbową.

Najczęstszym problemem przy dzieleniu pisemnym jest gubienie znaków podczas odejmowania kolejnych wyrazów, zwłaszcza gdy odejmowany składnik ma współczynnik ujemny. Uczniowie często mylą się również wtedy, gdy dzielony wielomian nie ma wszystkich kolejnych potęg — zapomnienie o wpisaniu zera w miejscu brakującego stopnia prowadzi do błędnego dopasowania wyrazów podobnych.

W praktyce uczeń spotyka się z dwoma typami zadań:

  • Dzielenie wielomianu przez dwumian — polega na wykonaniu pełnego dzielenia krok po kroku i zapisaniu wyniku w postaci ilorazu oraz reszty;
  • Reszta z dzielenia wielomianu — wymaga wyznaczenia samej reszty z dzielenia przez x − a dla wskazanego wielomianu.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Reszta z dzielenia wielomianu · Dzielenie wielomianu przez dwumian

Rozwiązywanie nierówności kwadratowych

Uczeń rozwiązuje nierówności kwadratowe zapisane w postaci ogólnej oraz iloczynowej i poprawnie wyznacza zbiór rozwiązań w postaci przedziałów liczbowych.

Punkt podstawy MAT.LO.3.P.4 rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

W klasie 2 liceum i technikum uczeń uczy się wyznaczać zbiory liczb spełniających nierówności kwadratowe. Samodzielnie oblicza miejsca zerowe odpowiedniej funkcji kwadratowej lub odczytuje je z zapisu iloczynowego, a następnie szkicuje pomocniczy wykres paraboli, uwzględniając zwrot jej ramion, aby poprawnie odczytać przedział liczb dodatnich bądź ujemnych.

Częstym problemem na tym etapie bywa błędne określenie kierunku ramion paraboli, gdy współczynnik przy najwyższej potędze jest ujemny, co prowadzi do odczytania złego przedziału. Uczniowie mylą także nawiasy domknięte z otwartymi, nie zwracając uwagi na to, czy nierówność jest ostra (znaki <, >), czy nieostra (znaki ≤, ≥).

Zadania ćwiczeniowe obejmują dwa podstawowe formaty:

  • Nierówność kwadratowa w postaci iloczynowej — uczeń od razu odczytuje pierwiastki z nawiasów, np. z postaci (x - 3)(x + 2) ≥ 0, i wyznacza przedział na osi liczbowej;
  • Nierówność kwadratowa — przykład w postaci ogólnej, np. x² - 4x + 3 < 0, wymagający w pierwszej kolejności przekształcenia wyrażenia lub obliczenia wyróżnika delta, by znaleźć punkty przecięcia z osią.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Nierówność kwadratowa · Nierówność kwadratowa w postaci iloczynowej

Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Uczeń uczy się wyznaczać liczby spełniające równania oraz przedziały rozwiązań nierówności, w których występuje wartość bezwzględna.

Punkt podstawy MAT.LO.1.P.7 stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

W klasie 2 liceum i technikum uczeń rozwiązuje zadania algebraiczne, w których wyrażenie z niewiadomą znajduje się pod znakiem wartości bezwzględnej. Sprawnie rozbija problem na przypadki lub korzysta z interpretacji geometrycznej na osi liczbowej, wyznaczając konkretne liczby spełniające warunek bądź podając zbiór rozwiązań w postaci przedziału.

Typowym problemem jest mylenie spójników logicznych przy zapisywaniu nierówności. Uczniowie często stosują sumę przedziałów zamiast ich części wspólnej (bądź odwrotnie), co wynika z pomylenia warunków dla zwrotów mniejszości i większości. Częstym błędem bywa również pominięcie zmiany zwrotu nierówności przy rozpatrywaniu przypadku z liczbą ujemną.

Praca z tym tematem obejmuje szablony Równanie z wartością bezwzględną oraz Nierówność z wartością bezwzględną. W zadaniach uczeń przekształca podany zapis algebraiczny, pozbywa się symbolu wartości bezwzględnej i zapisuje końcowe rozwiązanie w postaci zbioru liczb lub przedziałów liczbowych.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Równanie z wartością bezwzględną · Nierówność z wartością bezwzględną

Rozwiązywanie równań wielomianowych

Uczeń rozwiązuje równania wielomianowe zapisane w postaci iloczynowej oraz równania dwukwadratowe z wykorzystaniem pomocniczej zmiennej.

Punkt podstawy MAT.LO.3.P.5 rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

W klasie 2 liceum i technikum uczeń opanowuje wyznaczanie rozwiązań równań wielomianowych stopnia wyższego niż drugi w konkretnych, przystępnych układach. Pracuje z wyrażeniami zapisanymi w postaci iloczynowej, gdzie korzysta z faktu, że iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników wynosi zero. Rozwiązuje także równania dwukwadratowe (stopnia czwartego z potęgami parzystymi), sprowadzając je do równań kwadratowych za pomocą podstawienia nowej zmiennej za kwadrat niewiadomej.

Najczęstszym błędem przy równaniach dwukwadratowych jest zakończenie obliczeń na etapie wyznaczenia wartości zmiennej pomocniczej i zapomnienie o powrocie do pierwotnej niewiadomej. Zdarza się też próba pierwiastkowania ujemnych wyników zmiennej pomocniczej w zbiorze liczb rzeczywistych. Z kolei przy równaniach w postaci iloczynowej uczniowie odruchowo wymnażają nawiasy, co niepotrzebnie utrudnia zadanie, zamiast od razu przyrównać każdy z czynników do zera.

Zadania sprawdzające tę umiejętność opierają się na dwóch schematach:

  • Równanie wielomianowe w postaci iloczynowej — wymaga rozbicia iloczynu kilku nawiasów na prostsze równania liniowe lub kwadratowe i podania pełnego zbioru rozwiązań.
  • Równanie dwukwadratowe — wymaga zamiany zmiennych, obliczenia wyróżnika równania kwadratowego (delty), a następnie wyznaczenia końcowych wartości niewiadomej.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Równanie wielomianowe w postaci iloczynowej · Równanie dwukwadratowe

Rozwiązywanie równań wymiernych i z pierwiastkiem

Uczeń uczy się wyznaczać dziedzinę oraz poprawnie rozwiązywać równania zawierające niewiadomą w mianowniku ułamka lub pod znakiem pierwiastka.

Punkt podstawy MAT.LO.3.P.1 przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

W klasie 2 liceum i technikum uczeń rozwiązuje równania algebraiczne, w których niewiadoma pojawia się pod znakiem pierwiastka lub w mianowniku wyrażenia ułamkowego. Kluczowym elementem na tym etapie jest wyznaczenie dziedziny, czyli wskazanie liczb, dla których zapis ma sens matematyczny — w szczególności wykluczenie wartości zerujących mianownik oraz uwzględnienie warunków dla pierwiastków.

Najczęstszym błędem jest mechaniczne przekształcanie zapisu bez sprawdzenia warunków początkowych. Uczniowie często zapominają o dziedzinie lub o tym, że podnoszenie obu stron równania do kwadratu może prowadzić do powstania rozwiązań obcych, przez co podają jako poprawną odpowiedź liczbę, która w rzeczywistości nie spełnia wyjściowego równania.

W praktyce ćwiczenia opierają się na szablonach Równanie wymierne oraz Równanie z pierwiastkiem. Uczeń spotyka w nich zadania polegające na uproszczeniu wyrażeń ułamkowych, mnożeniu „na krzyż” lub izolowaniu pierwiastka po jednej stronie równania, a następnie weryfikacji otrzymanych wyników z dziedziną.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Równanie z pierwiastkiem · Równanie wymierne

Wierzchołek paraboli i postać kanoniczna funkcji

Uczeń uczy się wyznaczać współrzędne wierzchołka paraboli oraz zapisywać i odczytywać wzór funkcji kwadratowej w postaci kanonicznej.

Punkt podstawy MAT.LO.5.P.8 interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

Uczeń w klasie 2 liceum i technikum opanowuje wyznaczanie współrzędnych wierzchołka paraboli oraz pracę z postacią kanoniczną funkcji kwadratowej. Sprawnie odczytuje punkt wierzchołka ze wzoru w postaci y = a(x - p)² + q, a także przekształca postać ogólną funkcji do postaci kanonicznej.

Najczęstszą trudnością jest prawidłowe odczytanie pierwszej współrzędnej wierzchołka ze względu na znak minus we wzorze. Uczniowie mylą znak liczby w nawiasie: przy zapisie (x - 4)² podają pierwszą współrzędną jako -4 zamiast 4, a przy wyrażeniu (x + 3)² zapominają, że współrzędna ta wynosi -3.

W praktyce zadania z szablonów Wierzchołek paraboli oraz Postać kanoniczna funkcji kwadratowej polegają na bezpośrednim odczytaniu współrzędnych wierzchołka z gotowego wzoru, obliczeniu ich na podstawie postaci ogólnej lub samodzielnym ułożeniu wzoru funkcji o określonym wierzchołku.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wierzchołek paraboli · Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale

Uczeń uczy się wyznaczać największą oraz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w zadanym przedziale domkniętym, sprawdzając wierzchołek paraboli i jej końce.

Punkt podstawy MAT.LO.5.P.10 wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
Punkt podstawy MAT.LO.5.P.11 wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

W klasie 2 liceum i technikum uczeń uczy się wyznaczać najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w zadanym przedziale domkniętym. Analizuje wzór funkcji, oblicza współrzędną wierzchołka paraboli i sprawdza, czy leży ona wewnątrz wskazanego przedziału, a następnie porównuje wartości osiągane na jego krańcach oraz w wierzchołku.

Najczęstszym błędem jest mechaniczne liczenie wartości funkcji wyłącznie na końcach przedziału z pominięciem wierzchołka paraboli, w którym funkcja może osiągać swoje rzeczywiste ekstremum. Zdarza się także pomyłka odwrotna: uczeń automatycznie wskazuje wartość w wierzchołku, zapominając sprawdzić, czy jego współrzędna w ogóle mieści się w zadanym przedziale.

Zadania z tego zakresu odpowiadają szablonom Największa wartość w przedziale oraz Najmniejsza wartość w przedziale. Uczeń otrzymuje wzór funkcji kwadratowej oraz określony przedział liczbowy, a jego celem jest wskazanie pojedynczej liczby będącej najmniejszą lub największą wartością funkcji w tych granicach.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Najmniejsza wartość w przedziale · Największa wartość w przedziale

Rozpoznawanie przyprostokątnych względem kąta

Uczeń wskazuje przyprostokątną leżącą naprzeciw danego kąta ostrego oraz przyprostokątną leżącą przy tym kącie w trójkącie prostokątnym.

Punkt podstawy MAT.LO.7.P.4 oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

W klasie 2 liceum i technikum uczeń opanowuje poprawne wskazywanie boków w trójkącie prostokątnym w odniesieniu do wybranego kąta ostrego. Precyzyjnie rozróżnia, która przyprostokątna tworzy dany kąt (leży przy nim), a która znajduje się po jego przeciwnej stronie, co jest niezbędnym krokiem do definiowania funkcji trygonometrycznych.

Typowym błędem jest mylenie przyprostokątnej leżącej przy kącie z przyprostokątną leżącą naprzeciwko niego. Trudność ta nasila się zwłaszcza wtedy, gdy trójkąt jest narysowany w nietypowym położeniu (obrócony) i uczeń próbuje oceniać boki według ich pionowego lub poziomego układu na kartce, zamiast sprawdzać ich położenie względem wierzchołka kąta.

Zadania w tym dziale mają formę graficzną i polegają na analizie rysunku trójkąta prostokątnego z zaznaczonym kątem. Uczeń rozwiązuje ćwiczenia typu:

  • Przyprostokątna przy kącie — odszukanie i nazwanie boku przyległego do wskazanego kąta,
  • Przyprostokątna naprzeciw kąta — zidentyfikowanie boku leżącego naprzeciwko zadanego kąta ostrego.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Przyprostokątna naprzeciw kąta · Przyprostokątna przy kącie

Obliczanie cosinusa i tangensa ze znanego sinusa

Uczeń wyznacza wartość cosinusa oraz tangensa kąta, korzystając ze znajomości sinusa oraz tożsamości trygonometrycznych.

Punkt podstawy MAT.LO.7.P.2 korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

W klasie 2 liceum i technikum uczeń stosuje podstawowe tożsamości trygonometryczne: zależność sin²α + cos²α = 1 (jedynkę trygonometryczną) oraz definicję tangensa jako ilorazu tg α = sin α / cos α. Mając daną liczbową wartość sinusa kąta (często zapisaną w postaci ułamka zwykłego), potrafi sprawnie wyliczyć odpowiadającą jej wartość cosinusa, a następnie obliczyć tangens.

Typowym problemem bywają błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania: niepoprawne podnoszenie ułamka do kwadratu (na przykład zapomnienie o podniesieniu mianownika) lub trudności z redukcją i pierwiastkowaniem otrzymanego wyniku. Przy wyznaczaniu tangensa uczniowie mylą się także podczas dzielenia przez ułamek, zapominając o mnożeniu przez jego odwrotność.

Ćwiczenia w tym dziale bazują na schematach:

  • Cosinus z sinusa — polega na podstawieniu znanej wartości sinusa do jedynki trygonometrycznej, odjęciu jej od jedynki i spierwiastkowaniu wyniku;
  • Tangens z sinusa — uczeń najpierw wyznacza cosinus, a w kolejnym kroku oblicza wartość tangensa, dzieląc podany sinus przez wyliczony cosinus.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Cosinus z sinusa · Tangens z sinusa

Pole wycinka koła i długość łuku

Uczeń oblicza długość łuku okręgu oraz pole wycinka koła na podstawie danego promienia i miary kąta środkowego.

Punkt podstawy MAT.LO.8.P.6 stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

W klasie 2 liceum i technikum uczeń wyznacza miary fragmentów koła i okręgu. Na podstawie podanego promienia oraz miary kąta środkowego wyrażonej w stopniach oblicza, jaką część całego obwodu stanowi łuk oraz jaką część całego pola koła zajmuje dany wycinek.

Typowym błędem na tym etapie jest mylenie wzorów: stosowanie promienia do kwadratu przy liczeniu długości łuku (zamiast wzoru na obwód) lub używanie podwojonego promienia zamiast kwadratu przy wyliczaniu pola wycinka. Uczniowie często zapominają także o stałej π w trakcie przekształceń lub popełniają błędy rachunkowe przy skracaniu ułamka z miarą kąta przez 360 stopni.

Zadania ćwiczące tę umiejętność występują w dwóch formach:

  • Długość łuku – uczeń oblicza długość wyznaczonej części okręgu dla zadanego promienia i kąta środkowego.
  • Pole wycinka koła – ćwiczenie polega na obliczeniu powierzchni wycinka kołowego o podanych parametrach.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Długość łuku · Pole wycinka koła

Kąt wpisany i środkowy w okręgu

Uczeń oblicza miarę kąta wpisanego na podstawie kąta środkowego opartego na tym samym łuku oraz wyznacza miarę kąta środkowego, gdy zna miarę odpowiadającego mu kąta wpisanego.

Punkt podstawy MAT.LO.8.P.5 stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

W klasie 2 liceum i technikum uczeń wykorzystuje podstawową zależność planimetryczną w okręgu: miara kąta środkowego jest dwa razy większa od miary kąta wpisanego opartego na tym samym łuku. W praktyce oznacza to sprawne wykonywanie prostych rachunków – mnożenia lub dzielenia danej miary kąta w stopniach przez 2.

Najczęstszym błędem jest mylenie kierunku tej zależności i dzielenie przez dwa tam, gdzie należało pomnożyć (lub odwrotnie), co prowadzi do nielogicznego wyniku, w którym kąt wpisany staje się większy od środkowego. Uczniowie miewają też trudność z upewnieniem się na rysunku, czy oba kąty na pewno opierają się na dokładnie tym samym łuku okręgu.

Zadania z tego zakresu opierają się na dwóch czytelnych schematach obliczeniowych:

  • Kąt środkowy z kąta wpisanego – uczeń na podstawie podanej miary kąta wpisanego (np. 35°) wyznacza miarę kąta środkowego poprzez pomnożenie wartości przez 2;
  • Kąt wpisany z kąta środkowego – uczeń otrzymuje miarę kąta środkowego (np. 110°) i oblicza odpowiadający mu kąt wpisany, dzieląc tę wartość na pół.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Kąt wpisany z kąta środkowego · Kąt środkowy z kąta wpisanego

Obliczanie długości cięciwy i odcinka stycznej

Uczeń oblicza długości cięciw oraz odcinków stycznych do okręgu, wykorzystując własności promienia, kątów i trójkątów prostokątnych.

Punkt podstawy MAT.LO.8.P.1 wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

Uczeń w klasie 2 liceum i technikum wyznacza długości cięciw oraz odcinków stycznych do okręgu. W obliczeniach geometrycznych łączy dane o promieniu okręgu i odległościach punktów, wykorzystując trójkąty prostokątne wpisane w układ okręgu i prostych.

Częstym problemem bywa pomijanie faktu, że promień poprowadzony do punktu styczności jest zawsze prostopadły do stycznej, co uniemożliwia poprawne ułożenie równania z twierdzenia Pitagorasa. Przy zadaniach z cięciwą uczniowie mylą się również, zapominając, że odcinek poprowadzony ze środka okręgu prostopadle do cięciwy dzieli ją na dwie równe części.

Ćwiczenia opierają się na dwóch rodzajach zadań:

  • Długość cięciwy — uczeń oblicza długość cięciwy, znając promień okręgu oraz jej odległość od środka, lub wyznacza brakujący promień przy danej cięciwie,
  • Odcinek stycznej — zadanie wymaga wyznaczenia odległości od punktu zewnętrznego do punktu styczności z okręgiem przy znanej odległości od środka okręgu i jego promieniu.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Długość cięciwy · Odcinek stycznej

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie prostokątnym

Uczeń oblicza długość promienia okręgu wpisanego oraz opisanego na trójkącie prostokątnym na podstawie długości jego boków.

Punkt podstawy MAT.LO.8.P.10 wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

W klasie 2 uczeń wykorzystuje własności trójkąta prostokątnego do wyznaczania promieni związanych z nim okręgów. Zauważa i stosuje kluczową zależność geometryczną: przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego jest jednocześnie średnicą okręgu na nim opisanego, co pozwala natychmiast wyznaczyć promień jako połowę jej długości. Równolegle uczeń wylicza promień okręgu wpisanego, łącząc długości przyprostokątnych i przeciwprostokątnej odpowiednim związkiem algebraicznym lub zestawiając pole trójkąta z jego obwodem.

Najczęstszym problemem bywa mechaniczne mylenie wzorów na promień okręgu opisanego i wpisanego oraz pomyłki przy odróżnianiu przyprostokątnych od przeciwprostokątnej. Trudność sprawia także sytuacja, gdy w treści zadania podane są tylko dwa boki trójkąta – uczeń zapomina wówczas o konieczności wcześniejszego obliczenia brakującego boku za pomocą twierdzenia Pitagorasa.

Zadania sprawdzające tę umiejętność występują w dwóch czytelnych wariantach: Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym oraz Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny. W ćwiczeniach uczeń ma podane długości boków (lub dwie z nich) i wskazuje bądź oblicza dokładną wartość szukanego promienia.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym · Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny

Zadania optymalizacyjne: największe pole

Uczeń uczy się wyznaczać wymiary prostokąta lub wybiegu dające największe możliwe pole powierzchni, wykorzystując własności wierzchołka paraboli w funkcji kwadratowej.

Punkt podstawy MAT.LO.13.P.1 rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
Punkt podstawy MAT.LO.5.P.11 wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

W klasie 2 liceum i technikum uczeń potrafi opisać problem geometryczny za pomocą wzoru funkcji kwadratowej i wyznaczyć jej wartość największą. Na tym etapie zamienia treść zadania na równanie opisujące pole figury w zależności od długości jednego z boków, a następnie – korzystając ze współrzędnych wierzchołka paraboli – wskazuje optymalne wymiary.

Częstym błędem jest nieuwzględnienie warunków konstrukcyjnych zadania, na przykład gdy teren przylega do ściany i nie wymaga ogrodzenia ze wszystkich stron. Uczniowie odruchowo stosują wtedy wzór na standardowy obwód prostokąta z czterema bokami zamiast zsumować tylko trzy grodzone odcinki, przez co tworzą niewłaściwy wzór funkcji i otrzymują błędny wynik końcowy.

W praktyce uczeń spotyka się z zadaniami tekstowymi osadzonymi w kontekście praktycznym, takimi jak:

  • Prostokąt o największym polu – wyznaczenie boków działki przy określonej z góry długości całej siatki;
  • Wybieg przy murze o największym polu – zaplanowanie prostokątnej przestrzeni z wykorzystaniem istniejącej ściany budynku, gdzie ogrodzenie tworzy się tylko z trzech stron.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Prostokąt o największym polu · Wybieg przy murze o największym polu

Rozwiązywanie równań wykładniczych o tej samej podstawie

Uczeń potrafi sprowadzić obie strony równania wykładniczego do tej samej podstawy i przyrównać ich wykładniki, aby wyznaczyć niewiadomą.

Punkt podstawy MAT.LO.5.P.14 posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

W klasie 2 liceum i technikum uczeń poznaje metodę rozwiązywania równań, w których niewiadoma znajduje się w wykładniku potęgi. Umiejętność ta polega na przekształceniu obu stron równania tak, aby uzyskać potęgi o jednakowej podstawie (np. zapisanie liczb za pomocą potęg dwójki, trójki czy ułamków). Gdy podstawy są identyczne, uczeń porównuje same wykładniki i wyznacza wartość szukanej zmiennej.

Częstym problemem na tym etapie są błędy w stosowaniu praw działań na potęgach — zwłaszcza mylenie mnożenia potęg z potęgowaniem potęgi (np. dodawanie wykładników zamiast ich mnożenia). Uczniowie próbują też niekiedy przedwcześnie „opuszczać” podstawy, zanim doprowadzą obie strony równania do postaci pojedynczych potęg o dokładnie tej samej bazie.

W praktyce zadania z szablonu Równanie wykładnicze wymagają rozwiązania równości, w której po obu stronach występują wyrażenia potęgowe. Uczeń sprowadza liczby do wspólnej podstawy, układa z otrzymanych wykładników proste równanie liniowe i oblicza ostateczny wynik.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Współczynniki w rozwinięciu dwumianu Newtona

Uczeń uczy się wyznaczać konkretne współczynniki liczbowe przy potęgach zmiennej w rozwinięciu potęgi dwumianu za pomocą wzoru Newtona.

Uczeń stosuje wzór dwumianowy Newtona do wyznaczania określonych współczynników liczbowych w rozwinięciu potęgi dwumianu. Zamiast wielokrotnego wymnażania całych nawiasów przez siebie, potrafi bezpośrednio wskazać i obliczyć wartość liczbową stojącą przy wybranej potędze zmiennej z użyciem symbolu Newtona.

Częstym błędem jest nieuwzględnianie współczynników stojących przy samej zmiennej wewnątrz nawiasu. Uczniowie skupiają się na obliczeniu wartości symbolu Newtona, zapominając, że potęgowaniu podlega cały wyraz — na przykład podnosząc wyrażenie 2x do potęgi, należy podnieść do niej zarówno liczbę 2, jak i niewiadomą. Trudność sprawia także poprawne uwzględnienie znaków minus przy odejmowaniu składników w nawiasie.

W zadaniach z szablonu Współczynnik w rozwinięciu dwumianu uczeń otrzymuje potęgę dwumianu i wyznacza współczynnik stojący przy podanej potędze zmiennej bez konieczności rozpisywania wszystkich pozostałych wyrazów.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Rozwiązywanie nierówności wielomianowych

Uczeń rozwiązuje nierówności wielomianowe, wyznaczając ich miejsca zerowe i odczytując odpowiednie przedziały liczbowe z osi liczbowej.

W klasie 2 liceum i technikum uczeń przechodzi od nierówności kwadratowych do nierówności wielomianowych wyższych stopni. Rozkłada wielomian na czynniki, wyznacza jego miejsca zerowe, a następnie zaznacza je na osi liczbowej i szkicuje uproszczony wykres, aby ustalić, dla jakich liczb wyrażenie przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne.

Najczęstszym błędem jest nieuwzględnienie krotności pierwiastków podczas szkicowania wykresu na osi. Uczniowie mają tendencję do mechanicznego przecinania osi w każdym punkcie zerowym, zapominając, że przy pierwiastkach o parzystej krotności wykres „odbija się” od osi, a znak wielomianu w tym miejscu się nie zmienia.

Typowe zadanie z szablonu Nierówność wielomianowa polega na znalezieniu wszystkich liczb spełniających podaną nierówność (często zapisaną od razu w postaci iloczynowej lub wymagającej prostego pogrupowania wyrazów) i poprawnym zapisaniu wyniku za pomocą przedziału lub sumy przedziałów.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Rozwiązywanie równań kwadratowych

Uczeń uczy się wyznaczać rozwiązania równań kwadratowych, korzystając ze wzorów na pierwiastki i wyróżnik delta lub z rozkładu wyrażenia na czynniki.

Punkt podstawy MAT.LO.3.P.4 rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

W klasie 2 liceum i technikum uczeń rozwiązuje równania kwadratowe w postaci ogólnej oraz niezupełnej. Na podstawie współczynników liczbowych oblicza wyróżnik równania (deltę), określa liczbę pierwiastków rzeczywistych, a następnie precyzyjnie wyznacza ich wartości za pomocą standardowych wzorów lub przekształceń algebraicznych.

Najczęstszym błędem są pomyłki w znakach podczas obliczania delty, szczególnie gdy współczynnik c lub b jest liczbą ujemną. W równaniach niezupełnych uczniowie często dzielą obie strony przez niewiadomą, co prowadzi do bezpowrotnej utraty jednego z rozwiązań (zazwyczaj zera), zamiast wyłączyć wspólny czynnik przed nawias.

Zadania z szablonu Równanie kwadratowe polegają na doprowadzeniu podanego zapisu do postaci uporządkowanej i wyznaczeniu wszystkich rozwiązań należących do zbioru liczb rzeczywistych bądź poprawnym uzasadnieniu, że takie rozwiązania nie istnieją.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Przesunięcie wykresu funkcji

Uczeń uczy się szkicować wykresy funkcji powstałe przez przesunięcie wzdłuż osi układu współrzędnych oraz wyznaczać ich nowe wzory.

Punkt podstawy MAT.LO.5.P.12 na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

W klasie 2 liceum i technikum uczeń opanowuje przekształcanie wykresów funkcji poprzez ich przesunięcie równoległe wzdłuż osi układu współrzędnych. Potrafi przesunąć wykres funkcji bazowej w pionie (o zadane jednostki w górę lub w dół) oraz w poziomie (w lewo lub w prawo), a także powiązać ten ruch ze zmianą we wzorze funkcji.

Najczęstszą trudnością jest prawidłowa interpretacja przesunięcia w poziomie. Uczniowie nagminnie mylą kierunki wzdłuż osi poziomej i przesuwają wykres funkcji f(x - p) w lewą stronę zamiast w prawą, odruchowo kojarząc znak minusa z ujemnym zwrotem osi.

Zadania z szablonu Przesunięcie wykresu funkcji polegają na naszkicowaniu przekształconego wykresu na podstawie podanego wzoru lub odczytaniu z rysunku, o ile jednostek i w którą stronę przesunięto wykres wyjściowy, a następnie zapisaniu nowo powstałego wzoru.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Szukanie punktów wspólnych prostej i paraboli

Uczeń uczy się wyznaczać punkty wspólne prostej i paraboli poprzez algebraiczne rozwiązywanie układu równania liniowego i kwadratowego.

W klasie 2 uczeń łączy geometrię analityczną z algebrą, rozwiązując układy złożone z równania liniowego i kwadratowego. Samodzielnie wyznacza jedną zmienną z równania prostej i wstawia ją do równania paraboli, sprowadzając problem do równania kwadratowego z jedną niewiadomą, które rozwiązuje za pomocą wyróżnika (delty).

Typowym błędem na tym etapie jest zatrzymanie się po wyznaczeniu niewiadomej x. Uczniowie poprawnie znajdują pierwiastki równania kwadratowego, ale zapominają obliczyć odpowiadające im wartości y, przez co nie podają pełnych współrzędnych punktu. Często pojawiają się również pomyłki w znakach przy przenoszeniu wszystkich wyrazów na jedną stronę równania.

Zadania z szablonu Punkty wspólne paraboli i prostej polegają na algebraicznym wyznaczeniu par liczb (współrzędnych punktów), w których przecinają się wykresy danych funkcji. Uczeń sprawdza, czy prosta przecina parabolę w dwóch punktach, dotyka jej w jednym punkcie styczności, czy też wykresy nie mają punktów wspólnych.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie wartości funkcji kwadratowej

Uczeń uczy się obliczać wartość funkcji kwadratowej dla zadanego argumentu, poprawnie podstawiając liczby do wzoru i wykonując działania.

Punkt podstawy MAT.LO.5.P.2 oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

Na tym etapie uczeń potrafi wyznaczyć wartość funkcji kwadratowej zapisanej wzorem ogólnym dla wskazanego argumentu. Zadanie wymaga wstawienia podanej liczby w miejsce zmiennej x, podniesienia jej do kwadratu, wykonania mnożenia przez współczynniki oraz dodania i odjęcia otrzymanych wyrazów.

Najczęstszym błędem jest mylenie kolejności wykonywania działań oraz niepoprawne potęgowanie liczb ujemnych. Uczniowie często zapominają o nawiasie przy ujemnym argumencie i zapisują na przykład -32 = 9 zamiast (-3)2 = 9. Zdarza się również, że najpierw mnożą argument przez współczynnik stojący przy najwyższej potędze, a dopiero potem podnoszą iloczyn do kwadratu.

W zadaniach z szablonu Wartość funkcji kwadratowej uczeń otrzymuje wzór funkcji oraz konkretną liczbę i ma za zadanie obliczyć wynik, na przykład wyznaczyć wartość funkcji f(x) = 2x2 - 5x + 1 dla x = -2.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Wykres i własności funkcji f(x) = a/x

Uczeń sporządza wykres funkcji f(x) = a/x, wyznacza jej dziedzinę oraz odczytuje podstawowe własności hiperboli w zależności od znaku współczynnika a.

Punkt podstawy MAT.LO.5.P.13 posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

Na tym etapie uczeń pracuje z podstawową postacią proporcjonalności odwrotnej, czyli funkcją f(x) = a/x dla ustalonej liczby a ≠ 0. Potrafi wyznaczyć dziedzinę funkcji (uwzględniając warunek x ≠ 0), przygotować tabelę wartości dla wybranych liczb dodatnich i ujemnych, a następnie naszkicować wykres — hiperbolę. Na podstawie wzoru lub wykresu określa zbiór wartości, monotoniczność w przedziałach oraz wskazuje ćwiartki układu współrzędnych, w których leżą ramiona wykresu.

Typowym błędem jest mechaniczne łączenie obu gałęzi hiperboli w jedną ciągłą linię przecinającą oś Y, co wynika z ignorowania faktu, że zero nie należy do dziedziny funkcji. Uczniowie mają również trudności z poprawnym ustaleniem monotoniczności: błędnie opisują funkcję jako malejącą w całej dziedzinie zamiast w dwóch oddzielnych przedziałach, a także mylą położenie gałęzi wykresu przy ujemnym współczynniku a.

W zadaniach z szablonu Funkcja f(x) = a/x uczeń najczęściej uzupełnia tabelę i szkicuje wykres dla konkretnego parametru liczbowego, wyznacza wzór funkcji na podstawie współrzędnych punktu leżącego na hiperboli lub odczytuje z wykresu argumenty, dla których funkcja przyjmuje określone wartości.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Dokładne wartości funkcji trygonometrycznych

Uczeń wyznacza dokładne wartości funkcji trygonometrycznych dla typowych kątów, korzystając ze wzorów redukcyjnych i własności funkcji w poszczególnych ćwiartkach.

Punkt podstawy MAT.LO.7.P.1 wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

W klasie 2 liceum i technikum uczeń uczy się wyznaczać dokładne wartości sinusa, cosinusa czy tangensa dla kątów rozwartych i większych od 90°. Za pomocą wzorów redukcyjnych sprowadza obliczenia dla takich kątów do znanych wartości kątów ostrych (przede wszystkim 30°, 45° oraz 60°).

Najczęstszym problemem przy tych obliczeniach jest ustalenie właściwego znaku wyniku (plus lub minus). Uczniowie często mylą ćwiartkę, w której leży dany kąt, albo określają znak na podstawie funkcji otrzymanej po redukcji zamiast funkcji wyjściowej.

Typowe ćwiczenie z szablonu Dokładna wartość funkcji trygonometrycznej polega na podaniu dokładnej liczby (zapisanej w postaci ułamka lub pierwiastka, bez przybliżeń dziesiętnych) dla zadanego kąta, takiego jak na przykład 120°, 225° czy 300°.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie pola równoległoboku za pomocą sinusa

Uczeń oblicza pole równoległoboku, wykorzystując długości dwóch sąsiednich boków oraz sinus kąta między nimi.

Punkt podstawy MAT.LO.8.P.12 stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

W klasie 2 liceum i technikum uczeń łączy wiedzę o figurach płaskich z trygonometrią. Potrafi wyznaczyć pole równoległoboku, stosując wzór oparty na długościach dwóch sąsiednich boków oraz sinusie zawartego między nimi kąta: P = a · b · sin(α).

Typowym błędem na tym etapie jest podstawianie miary kąta wprost do wzoru zamiast odczytania wartości jego sinusa (na przykład mnożenie przez 60 zamiast przez sin 60°). Uczniowie miewają też kłopot z równoległobokami o kącie rozwartym, zapominając, że sinus kąta rozwartego jest równy sinusowi kąta ostrego będącego jego dopełnieniem do 180°.

Zadania z szablonu Pole równoległoboku z sinusem wymagają obliczenia pola figury przy danych długościach boków i znanej mierze kąta (najczęściej o typowych wartościach, takich jak 30°, 45°, 60° lub 120°) albo wyznaczenia brakującego boku, gdy znane jest pole równoległoboku.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Pola i obwody figur podobnych

Uczeń uczy się wyznaczać pole lub obwód figury podobnej, wykorzystując skalę podobieństwa oraz jej kwadrat.

Punkt podstawy MAT.LO.8.P.9 wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

W klasie 2 liceum i technikum uczeń wykorzystuje relacje między figurami podobnymi do obliczania ich wymiarów. Sprawnie posługuje się skalą podobieństwa k, stosując zasadę, że stosunek obwodów figur jest równy k, a stosunek ich pól wynosi k².

Najczęstszym błędem jest bezpośrednie mnożenie pola figury przez skalę k zamiast przez jej kwadrat. Uczniowie często mechanicznie przenoszą regułę dotyczącą długości boków i obwodów na pole powierzchni, co prowadzi do błędnych wyników.

W typowym zadaniu z szablonu Pole figury podobnej uczeń zna pole jednej z figur oraz skalę podobieństwa (lub długości odpowiadających sobie boków) i na tej podstawie wyznacza pole drugiej, powiększonej lub pomniejszonej figury.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Obliczanie długości odcinków z twierdzenia Talesa

Uczeń wykorzystuje twierdzenie Talesa do obliczania brakujących długości odcinków na prostych przeciętych prostymi równoległymi.

Punkt podstawy MAT.LO.8.P.7 stosuje twierdzenie Talesa

W klasie 2 liceum i technikum uczeń stosuje twierdzenie Talesa w zadaniach z planimetrii. Na podstawie relacji między odcinkami wyciętymi na prostych przez proste równoległe układa odpowiednie proporcje i wyznacza nieznane długości.

Najczęstszym błędem jest niepoprawne zestawienie odcinków w proporcji, szczególnie gdy zadanie dotyczy długości odcinków leżących na prostych równoległych. Uczniowie mylą wtedy odcinki odcięte na ramionach kąta z całymi ramionami, porównując fragment leżący między równoległymi zamiast odcinka liczonego od wierzchołka kąta.

Zadania z szablonu Twierdzenie Talesa zawierają rysunek przedstawiający kąt lub przecinające się proste przecięte prostymi równoległymi. Mając podane liczbowe długości części odcinków, uczeń zapisuje równanie proporcji i oblicza brakującą wartość.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Określanie rodzaju trójkąta z długości boków

Uczeń sprawdza, czy z podanych długości boków można zbudować trójkąt, oraz określa, czy jest on ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny.

Punkt podstawy MAT.LO.8.P.2 rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

Uczeń na podstawie trzech liczb opisujących długości boków potrafi zbadać geometrię figury: najpierw weryfikuje warunek trójkąta, a następnie ustala, czy trójkąt jest ostrokątny, prostokątny czy rozwartokątny. W klasie 2 liceum i technikum wykonuje to poprzez porównanie sumy kwadratów dwóch krótszych boków z kwadratem boku najdłuższego, korzystając z uogólnienia twierdzenia Pitagorasa.

Typowy błąd polega na pominięciu pierwszego kroku, czyli warunku istnienia trójkąta (suma dwóch krótszych boków musi być większa od boku najdłuższego). Uczniowie przechodzą od razu do podnoszenia liczb do kwadratu i wyciągają błędne wnioski dla zestawów liczb, z których trójkąta nie da się w ogóle ułożyć. Często zdarza się też mylenie kierunku nierówności — uznanie, że gdy suma kwadratów przyprostokątnych jest mniejsza od kwadratu najdłuższego boku, trójkąt jest ostrokątny zamiast rozwartokątnego.

W zadaniach z szablonu Rodzaj trójkąta z długości boków uczeń otrzymuje zestaw trzech konkretnych długości (liczb całkowitych lub z pierwiastkami, np. 4, 6, 8) i ma za zadanie przyporządkować go do odpowiedniego typu trójkąta albo wykazać, że trójkąt o takich wymiarach nie istnieje.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Szablony zadań do druku

Wszystkie typy zadań, pogrupowane według umiejętności. Kliknięcie otwiera generator z wybranym już typem.

Wzory Viète’a: suma i iloczyn pierwiastków

Twierdzenia sinusów i cosinusów oraz pole trójkąta

Obliczanie wartości funkcji wykładniczej

Dzielenie wielomianu przez dwumian x − a

Rozwiązywanie nierówności kwadratowych

Równania i nierówności z wartością bezwzględną

Rozwiązywanie równań wielomianowych

Rozwiązywanie równań wymiernych i z pierwiastkiem

Wierzchołek paraboli i postać kanoniczna funkcji

Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale

Rozpoznawanie przyprostokątnych względem kąta

Obliczanie cosinusa i tangensa ze znanego sinusa

Pole wycinka koła i długość łuku

Kąt wpisany i środkowy w okręgu

Obliczanie długości cięciwy i odcinka stycznej

Okrąg wpisany i opisany na trójkącie prostokątnym

Zadania optymalizacyjne: największe pole

Rozwiązywanie równań wykładniczych o tej samej podstawie

Współczynniki w rozwinięciu dwumianu Newtona

Rozwiązywanie nierówności wielomianowych

Rozwiązywanie równań kwadratowych

Przesunięcie wykresu funkcji

Szukanie punktów wspólnych prostej i paraboli

Obliczanie wartości funkcji kwadratowej

Wykres i własności funkcji f(x) = a/x

Dokładne wartości funkcji trygonometrycznych

Obliczanie pola równoległoboku za pomocą sinusa

Pola i obwody figur podobnych

Obliczanie długości odcinków z twierdzenia Talesa

Określanie rodzaju trójkąta z długości boków

Pozostałe typy zadań

Wygeneruj arkusz z tego zakresu