Nederlands
Leerplan (Polen)

Wiskunde — klas 10

Wiskunde in klas 2 van het lyceum en technicum: kwadratische functies, kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden, veeltermen, exponentiële functies, goniometrie en planimetrie — hoeken in een cirkel, gelijkvormigheid, de sinus- en cosinusregel. Bij elk onderwerp kant-en-klare opgaven om te printen.

Werkblad maken voor dit leerplan

Wat leert een leerling bij wiskunde in klas 2 van het lyceum?

In klas 2 staat de tweedegraadsfunctie centraal: de topvorm, de top, maximale en minimale waarden op een interval, tweedegraadsvergelijkingen en -ongelijkheden, en de formules van Viète. De leerling deelt veeltermen en lost veelterm- en rationale vergelijkingen op, leert over de exponentiële functie en transformaties van grafieken. Bij goniometrie berekent de leerling goniometrische verhoudingen in een rechthoekige driehoek en gebruikt identiteiten, en bij vlakke meetkunde past men de stelling van Thales, omtrekshoeken en middelpuntshoeken, gelijkvormigheid en de sinus- en cosinusregel toe.

Belangrijk over het leerplan: het curriculum voor het voortgezet onderwijs is bloksgewijs geformuleerd — het beschrijft wat een leerling kent en kan aan het einde van de middelbare school, afzonderlijk voor het basis- en uitgebreide niveau. De toewijzing van een onderwerp aan een specifiek leerjaar is onze beslissing op basis van een gangbare leerstofplanning; in het gedeelte „Leerplankader” ziet u de specifieke eindtermen met citaten.

Status van de pagina: de opgaven voor dit leerjaar zijn gereed in een kale opzet (alleen de opdracht en formule); opgaven met figuren, bewijzen en contextuele vraagstukken worden in volgende stappen toegevoegd.

Leerplanbereik

  1. Leerplanpunt MAT.LO.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Liczby rzeczywiste

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1

  2. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1

  3. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2

  4. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3

  5. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4

  6. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5

  7. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6

  8. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

    Vergelijkingen en ongelijkheden met absolute waarde (bij ons in groep 10)

  9. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8

  10. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9

  11. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.2.a · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  12. Leerplanpunt MAT.LO.1.P.2.b · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  13. Leerplanpunt MAT.LO.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Wyrażenia algebraiczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2

  14. Leerplanpunt MAT.LO.2.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1

  15. Leerplanpunt MAT.LO.2.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2

  16. Leerplanpunt MAT.LO.2.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3

  17. Leerplanpunt MAT.LO.2.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4

  18. Leerplanpunt MAT.LO.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Równania i nierówności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3

  19. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.1 · Leerinhouden

    przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

    Oplossen van rationale vergelijkingen en wortelvergelijkingen (bij ons in groep 10)

  20. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2

  21. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3

  22. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

    Kwadratische ongelijkheden oplossen (bij ons in groep 10) · Kwadratische vergelijkingen oplossen (bij ons in groep 10)

  23. Leerplanpunt MAT.LO.3.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

    Oplossen van veeltermvergelijkingen (bij ons in groep 10)

  24. Leerplanpunt MAT.LO.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Układy równań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4

  25. Leerplanpunt MAT.LO.4.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1

  26. Leerplanpunt MAT.LO.4.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2

  27. Leerplanpunt MAT.LO.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Funkcje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5

  28. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1

  29. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

    Berekenen van de waarde van een kwadratische functie (bij ons in groep 10)

  30. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3

  31. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4

  32. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5

  33. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6

  34. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7

  35. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

    Top van de parabool en topvorm van de functie (bij ons in groep 10)

  36. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9

  37. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.10 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

    Kleinste en grootste waarde van een functie op een interval (bij ons in groep 10)

  38. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.11 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

    Optimalisatievraagstukken: maximale oppervlakte (bij ons in groep 10) · Kleinste en grootste waarde van een functie op een interval (bij ons in groep 10)

  39. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.12 · Leerinhouden

    na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

    Verschuiving van de grafiek van een functie (bij ons in groep 10)

  40. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.13 · Leerinhouden

    posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

    Grafiek en eigenschappen van de functie f(x) = a/x (bij ons in groep 10)

  41. Leerplanpunt MAT.LO.5.P.14 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

    Berekenen van de waarde van een exponentiële functie (bij ons in groep 10) · Oplossen van exponentiële vergelijkingen met hetzelfde grondtal (bij ons in groep 10)

  42. Leerplanpunt MAT.LO.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Ciągi

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6

  43. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1

  44. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2

  45. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3

  46. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4

  47. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5

  48. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6

  49. Leerplanpunt MAT.LO.6.P.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7

  50. Leerplanpunt MAT.LO.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Trygonometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7

  51. Leerplanpunt MAT.LO.7.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

    Exacte waarden van goniometrische functies (bij ons in groep 10)

  52. Leerplanpunt MAT.LO.7.P.2 · Leerinhouden

    korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

    Cosinus en tangens berekenen uit een bekende sinus (bij ons in groep 10)

  53. Leerplanpunt MAT.LO.7.P.3 · Leerinhouden

    stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

    Sinus- en cosinusregel en de oppervlakte van een driehoek (bij ons in groep 10)

  54. Leerplanpunt MAT.LO.7.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

    Rechthoekszijden herkennen ten opzichte van een hoek (bij ons in groep 10)

  55. Leerplanpunt MAT.LO.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Planimetria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8

  56. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

    Berekenen van de lengte van een koorde en een raaklijnstuk (bij ons in groep 10)

  57. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

    Determining the type of triangle from side lengths (bij ons in groep 10)

  58. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3

  59. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4

  60. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

    Omtrekshoek en middelpuntshoek in een cirkel (bij ons in groep 10)

  61. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

    Oppervlakte van een cirkelsector en booglengte (bij ons in groep 10)

  62. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.7 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje twierdzenie Talesa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

    Lengtes van lijnstukken berekenen met de stelling van Thales (bij ons in groep 10)

  63. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.8 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    korzysta z cech podobieństwa trójkątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8

  64. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

    Oppervlakten en omtrekken van gelijkvormige figuren (bij ons in groep 10)

  65. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.10 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

    Ingeschreven en omgeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek (bij ons in groep 10)

  66. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.11 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    przeprowadza dowody geometryczne

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11

  67. Leerplanpunt MAT.LO.8.P.12 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

    Oppervlakte van een parallellogram berekenen met behulp van de sinus (bij ons in groep 10)

  68. Leerplanpunt MAT.LO.9 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9

  69. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1

  70. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2

  71. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3

  72. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.4 · Leerinhouden

    posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

    eigen samenvatting van het punt · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4

  73. Leerplanpunt MAT.LO.9.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5

  74. Leerplanpunt MAT.LO.10 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Stereometria

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10

  75. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1

  76. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2

  77. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.3 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3

  78. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.4 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4

  79. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.5 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5

  80. Leerplanpunt MAT.LO.10.P.6 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6

  81. Leerplanpunt MAT.LO.11 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Kombinatoryka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11

  82. Leerplanpunt MAT.LO.11.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1

  83. Leerplanpunt MAT.LO.11.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2

  84. Leerplanpunt MAT.LO.11.P.2.a · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a

  85. Leerplanpunt MAT.LO.11.P.2.b · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b

  86. Leerplanpunt MAT.LO.12 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12

  87. Leerplanpunt MAT.LO.12.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1

  88. Leerplanpunt MAT.LO.12.P.2 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2

  89. Leerplanpunt MAT.LO.13 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    Optymalizacja i rachunek różniczkowy

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13

  90. Leerplanpunt MAT.LO.13.P.1 · Leerinhouden · geverifieerd met de wettekst

    rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

    Optimalisatievraagstukken: maximale oppervlakte (bij ons in groep 10)

  91. Leerplanpunt MAT.LO.WO.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Sprawność rachunkowa

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I

  92. Leerplanpunt MAT.LO.WO.1.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I

  93. Leerplanpunt MAT.LO.WO.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Wykorzystanie i tworzenie informacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II

  94. Leerplanpunt MAT.LO.WO.2.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1

  95. Leerplanpunt MAT.LO.WO.2.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2

  96. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III

  97. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1

  98. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2

  99. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3.3 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3

  100. Leerplanpunt MAT.LO.WO.3.4 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4

  101. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Rozumowanie i argumentacja

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV

  102. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4.1 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1

  103. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4.2 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2

  104. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4.3 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3

  105. Leerplanpunt MAT.LO.WO.4.4 · Algemene doelen · geverifieerd met de wettekst

    Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

    Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Vaardigheden stap voor stap

Formules van Viète: som en product van de wortels

De leerling bepaalt de som, het product en de som van de omgekeerden van de wortels van een tweedegraadsvergelijking rechtstreeks uit de coëfficiënten, zonder de discriminant en de oplossingen zelf te hoeven berekenen.

In klas 2 van het lyceum en technicum bepaalt de leerling de som en het product van de wortels van een kwadratische drieterm direct op basis van de numerieke coëfficiënten. In deze fase leert men ook algebraïsche verbanden te herleiden, waarbij bijvoorbeeld de som van de omgekeerden van de wortels wordt omgezet in een breuk bestaande uit hun som en product.

Een veelvoorkomend probleem is het vergeten van het minteken in de formule voor de som van de wortels (het verwarren van de uitdrukking -b/a met b/a). Leerlingen vergeten vaak ook te delen door de coëfficiënt a wanneer er bij de hoogste macht een ander getal dan 1 staat, wat de uitkomst volledig vertekent.

De oefeningen in dit onderdeel bevatten concrete rekenopgaven:

  • Som van de wortels met de formules van Viète en product van de wortels met de formules van Viète – het direct aflezen en berekenen van waarden uit de coëfficiënten van de vierkantsvergelijking,
  • Som van de omgekeerden van de wortels – het gelijknamig maken van de uitdrukking en het gelijktijdig toepassen van beide formules.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Product van de oplossingen (Viète) · Som van de omgekeerden van de oplossingen · Som van de oplossingen (Viète)

Sinus- en cosinusregel en de oppervlakte van een driehoek

De leerling berekent onbekende zijden en hoeken in een willekeurige driehoek met behulp van de sinus- en cosinusregel en bepaalt de oppervlakte van een driehoek met behulp van de sinus van een hoek.

Leerplanpunt MAT.LO.7.P.3 stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

In de tweede klas van de bovenbouw lost de leerling willekeurige driehoeken op die niet rechthoekig hoeven te zijn. De leerling past de sinusregel en de cosinusregel toe om ontbrekende zijdelengten of hoekgroottes te bepalen op basis van de gegeven waarden. Ook kan de leerling vlot de oppervlakte van een driehoek berekenen met behulp van de formule die de lengten van twee zijden combineert met de sinus van de ingesloten hoek.

Een typische valkuil bij het toepassen van de cosinusregel is een rekenfout in de volgorde van bewerkingen of het over het hoofd zien van het negatieve teken van de cosinus bij een stompe hoek. Bij het berekenen van de oppervlakte van een driehoek kiezen leerlingen daarentegen vaak een willekeurige hoek uit de figuur in plaats van de hoek die precies tussen de twee bekende zijden ligt.

De printbare opdrachten binnen dit onderwerp omvatten drie specifieke groepen oefeningen:

  • Cosinusregel — het berekenen van de lengte van de derde zijde bij twee bekende zijden en de ingesloten hoek, of het bepalen van de cosinus van een hoek wanneer alle drie de zijden gegeven zijn,
  • Sinusregel — het berekenen van ontbrekende zijden en hoeken op basis van de verhouding tussen een zijde en de sinus van de tegenoverliggende hoek,
  • Oppervlakte van een driehoek met sinus — het berekenen van de oppervlakte van een figuur zonder eerst de bijbehorende hoogte te hoeven bepalen.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Oppervlakte van een driehoek met sinus · Cosinusregel · Sinusregel

Berekenen van de waarde van een exponentiële functie

De leerling berekent de waarden van een exponentiële functie voor gegeven argumenten en herkent wanneer een dergelijke functie dalend is.

Leerplanpunt MAT.LO.5.P.14 posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

In klas 2 van de bovenbouw bepaalt de leerling de waarden van de exponentiële functie voor specifieke argumenten. De leerling begrijpt het verband tussen het grondtal van de macht en het gedrag van de functie, en kan daardoor aangeven wanneer een exponentiële functie dalend is en wanneer stijgend.

De meeste moeilijkheden ontstaan bij machten met negatieve of gebroken exponenten, vooral wanneer het grondtal van de functie een breuk is. Leerlingen verwarren soms het nemen van het omgekeerde van een getal met het veranderen van het teken, of ze beoordelen de monotoniciteit verkeerd doordat ze vergeten dat een grondtal tussen nul en één een dalende functie betekent.

Opgaven uit het sjabloon Waarde van de exponentiële functie vereisen dat het gegeven getal wordt ingevuld voor de variabele en dat de bijbehorende rekenbewerkingen met machten worden uitgevoerd. Oefeningen uit het sjabloon Dalende exponentiële functie bestaan daarentegen uit het analyseren van het grondtal van de macht in de formule en het beoordelen of de functie daalt naarmate de argumenten toenemen.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Dalende exponentiële functie · Waarde van een exponentiële functie

Deling van een veelterm door een tweeterm x − a

De leerling voert de deling van een veelterm door een tweeterm van de vorm x − a uit en bepaalt het quotiënt en de rest van een dergelijke deling.

In de 2e klas van de bovenbouw deelt de leerling veeltermen door een lineaire tweeterm van de vorm x − a. Tijdens de berekeningen bepaalt de leerling het quotiënt en stelt de waarde van de rest vast, waarbij wordt gecontroleerd of de veelterm opgaat of een numerieke rest oplevert.

Het meest voorkomende probleem bij de staartdeling is het maken van tekenfouten tijdens het aftrekken van opeenvolgende termen, vooral wanneer de af te trekken term een negatieve coëfficiënt heeft. Leerlingen maken ook vaak fouten wanneer de te delen veelterm niet alle opeenvolgende machten bevat — het vergeten van een nul op de plaats van de ontbrekende graad leidt tot het verkeerd uitlijnen van gelijksoortige termen.

In de praktijk komt de leerling twee soorten opgaven tegen:

  • Deling van een veelterm door een tweeterm — bestaat uit het stap voor stap uitvoeren van de volledige deling en het noteren van het resultaat als quotiënt en rest;
  • Rest bij deling van een veelterm — vereist alleen het bepalen van de rest bij de deling door x − a voor de gegeven veelterm.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Rest bij deling van een veelterm · Veelterm delen door een tweeterm

Kwadratische ongelijkheden oplossen

De leerling lost kwadratische ongelijkheden op die zijn geschreven in de algemene vorm en de productvorm, en bepaalt correct de oplossingsverzameling in de vorm van getallenintervallen.

Leerplanpunt MAT.LO.3.P.4 rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

In het tweede leerjaar van de bovenbouw leert de leerling de verzamelingen van getallen te bepalen die voldoen aan tweedegraads ongelijkheden. De leerling berekent zelfstandig de nulpunten van de bijbehorende kwadratische functie of leest deze af uit de ontbonden vorm, en schetst vervolgens een hulpgrafiek van de parabool, rekening houdend met de richting van de takken, om het interval van positieve of negatieve getallen correct af te lezen.

Een veelvoorkomend probleem in deze fase is het verkeerd bepalen van de richting van de takken van de parabool wanneer de coëfficiënt van de hoogste macht negatief is, wat leidt tot het aflezen van het verkeerde interval. Leerlingen halen ook gesloten en open haken door elkaar doordat ze er niet op letten of de ongelijkheid strikt (de tekens <, >) of niet-strikt (de tekens ≤, ≥) is.

De oefenopgaven omvatten twee basisvormen:

  • Tweedegraadsongelijkheid in ontbonden vorm — de leerling leest de nulpunten direct af uit de haakjes, bijv. uit de vorm (x - 3)(x + 2) ≥ 0, en bepaalt het interval op de getallenlijn;
  • Tweedegraadsongelijkheid — een voorbeeld in de algemene vorm, bijv. x² - 4x + 3 < 0, waarbij eerst de uitdrukking moet worden herleid of de discriminant moet worden berekend om de snijpunten met de as te vinden.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Kwadratische ongelijkheid · Kwadratische ongelijkheid in productvorm

Vergelijkingen en ongelijkheden met absolute waarde

De leerling leert getallen te bepalen die voldoen aan vergelijkingen en oplossingsintervallen van ongelijkheden waarin een absolute waarde voorkomt.

Leerplanpunt MAT.LO.1.P.7 stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

In de tweede klas van het voortgezet onderwijs lost de leerling algebraïsche opgaven op waarin een uitdrukking met een onbekende binnen absolute-waardestrepen staat. De leerling splitst het probleem vlot op in gevallen of maakt gebruik van een meetkundige interpretatie op de getallenlijn, waarbij concrete getallen worden bepaald die aan de voorwaarde voldoen of de oplossingsverzameling als interval wordt gegeven.

Een typisch probleem is het verwarren van logische voegwoorden bij het noteren van ongelijkheden. Leerlingen gebruiken vaak de vereniging van intervallen in plaats van hun doorsnede (of omgekeerd), wat voortkomt uit verwarring over de voorwaarden voor 'kleiner dan'- en 'groter dan'-tekens. Een veelgemaakte fout is ook het vergeten om te klappen van het ongelijkheidsteken bij het beschouwen van het geval met een negatief getal.

Het werken met dit onderwerp omvat de sjablonen Vergelijking met absolute waarde en Ongelijkheid met absolute waarde. In de opgaven herleidt de leerling de gegeven algebraïsche notatie, werkt de absolute-waardetekens weg en noteert de uiteindelijke oplossing als een verzameling getallen of getallenintervallen.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Vergelijking met absolute waarde · Ongelijkheid met absolute waarde

Oplossen van veeltermvergelijkingen

De leerling lost veeltermvergelijkingen in productvorm en bikwadratische vergelijkingen met behulp van een hulpvariabele op.

Leerplanpunt MAT.LO.3.P.5 rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

In het tweede leerjaar van de bovenbouw leert de leerling oplossingen te bepalen van veeltermvergelijkingen van een graad hoger dan twee in specifieke, toegankelijke vormen. De leerling werkt met uitdrukkingen in ontbonden vorm (productvorm), waarbij gebruik wordt gemaakt van het feit dat een product gelijk is aan nul wanneer ten minste één van de factoren nul is. Daarnaast worden bikwadratische vergelijkingen opgelost (vierdegraads met even machten) door deze te herleiden tot kwadratische vergelijkingen met behulp van substitutie van een nieuwe variabele voor het kwadraat van de onbekende.

De meest voorkomende fout bij bikwadratische vergelijkingen is het beëindigen van de berekening zodra de waarde van de hulpvariabele is bepaald, waarbij wordt vergeten terug te keren naar de oorspronkelijke onbekende. Ook komt het voor dat geprobeerd wordt de wortel te trekken uit negatieve uitkomsten van de hulpvariabele binnen de reële getallen. Bij vergelijkingen in ontbonden vorm werken leerlingen daarentegen vaak instinctief de haakjes uit, wat de opgave onnodig ingewikkeld maakt, in plaats van direct elke factor gelijk aan nul te stellen.

Opgaven die deze vaardigheid toetsen, zijn gebaseerd op twee schema's:

  • Veeltermvergelijking in ontbonden vorm — vereist het opsplitsen van het product van meerdere factoren tussen haakjes in eenvoudigere lineaire of kwadratische vergelijkingen en het geven van de volledige oplossingsverzameling.
  • Bikwadratische vergelijking — vereist een substitutie van variabelen, het berekenen van de discriminant van de kwadratische vergelijking (delta) en vervolgens het bepalen van de uiteindelijke waarden van de onbekende.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Veeltermvergelijking in productvorm · Bikwadratische vergelijking

Oplossen van rationale vergelijkingen en wortelvergelijkingen

De leerling leert het domein te bepalen en vergelijkingen correct op te lossen die een onbekende in de noemer van een breuk of onder een wortelteken bevatten.

Leerplanpunt MAT.LO.3.P.1 przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

In klas 2 van het lyceum en het technisch onderwijs lost de leerling algebraïsche vergelijkingen op waarin de onbekende onder een wortelteken of in de noemer van een gebroken vorm staat. Een cruciaal onderdeel in deze fase is het bepalen van het domein, oftewel het vaststellen van de getallen waarvoor de uitdrukking wiskundig zinvol is — in het bijzonder het uitsluiten van waarden die de noemer nul maken en het in acht nemen van de voorwaarden voor wortels.

De meest voorkomende fout is het mechanisch omschrijven van de vergelijking zonder de beginvoorwaarden te controleren. Leerlingen vergeten vaak het domein of het feit dat het kwadrateren van beide zijden van een vergelijking tot oneigenlijke oplossingen kan leiden, waardoor ze een getal als correct antwoord geven dat in werkelijkheid niet aan de oorspronkelijke vergelijking voldoet.

In de praktijk zijn de oefeningen gebaseerd op de sjablonen Rationale vergelijking en Wortelvergelijking. De leerling krijgt daarin opdrachten voorgelegd zoals het vereenvoudigen van gebroken uitdrukkingen, kruislings vermenigvuldigen of het isoleren van de wortel aan één zijde van de vergelijking, gevolgd door de controle van de verkregen resultaten aan de hand van het domein.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Wortelvergelijking · Gebroken vergelijking

Top van de parabool en topvorm van de functie

De leerling leert de coördinaten van de top van een parabool te bepalen en de formule van een kwadratische functie in de topvorm te noteren en af te lezen.

Leerplanpunt MAT.LO.5.P.8 interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

Een leerling in klas 2 van het voortgezet onderwijs leert de coördinaten van de top van een parabool te bepalen en te werken met de topvorm van een kwadratische functie. De leerling leest de top vlot af uit de formule in de vorm y = a(x - p)² + q en zet de algemene vorm van de functie tevens om naar de topvorm.

De meest voorkomende moeilijkheid is het correct aflezen van de eerste coördinaat van de top vanwege het minteken in de formule. Leerlingen verwarren het teken van het getal tussen haakjes: bij de notatie (x - 4)² geven ze als eerste coördinaat -4 in plaats van 4 aan, en bij de uitdrukking (x + 3)² vergeten ze dat deze coördinaat -3 is.

In de praktijk bestaan opgaven uit de sjablonen Top van een parabool en Topvorm van een kwadratische functie uit het direct aflezen van de coördinaten van de top uit een gegeven formule, het berekenen ervan op basis van de algemene vorm of het zelf opstellen van het functievoorschrift met een gegeven top.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Top van een parabool · Topvorm van een kwadratische functie

Kleinste en grootste waarde van een functie op een interval

De leerling leert de grootste en kleinste waarde van een kwadratische functie op een gegeven gesloten interval te bepalen door de top van de parabool en de eindpunten ervan te controleren.

Leerplanpunt MAT.LO.5.P.10 wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
Leerplanpunt MAT.LO.5.P.11 wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

In de tweede klas van het voortgezet onderwijs leert de leerling de kleinste en grootste waarde van een tweedegraadsfunctie te bepalen op een gegeven gesloten interval. De leerling analyseert het functievoorschrift, berekent de coördinaat van de top van de parabool en controleert of deze binnen het aangegeven interval ligt, en vergelijkt vervolgens de waarden die op de randen en in de top worden bereikt.

De meest voorkomende fout is het mechanisch berekenen van de functiewaarden uitsluitend op de eindpunten van het interval, waarbij de top van de parabool wordt overgeslagen, waarin de functie haar werkelijke extremum kan bereiken. De omgekeerde fout komt ook voor: de leerling geeft automatisch de waarde in de top aan, zonder te controleren of de coördinaat daarvan überhaupt binnen het gegeven interval valt.

Opgaven binnen dit onderwerp komen overeen met de sjablonen Grootste waarde op een interval en Kleinste waarde op een interval. De leerling krijgt het functievoorschrift van een tweedegraadsfunctie en een bepaald getalleninterval, en het doel is het aangeven van een enkel getal dat de kleinste of grootste waarde van de functie binnen die grenzen is.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Grootste waarde op een interval · Kleinste waarde op een interval

Rechthoekszijden herkennen ten opzichte van een hoek

De leerling wijst de rechthoekszijde tegenover een gegeven scherpe hoek en de aanliggende rechthoekszijde bij die hoek aan in een rechthoekige driehoek.

Leerplanpunt MAT.LO.7.P.4 oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

In klas 2 van de middelbare school leert de leerling de zijden in een rechthoekige driehoek correct aan te wijzen ten opzichte van een gekozen scherpe hoek. De leerling maakt een nauwkeurig onderscheid tussen de rechthoekszijde die de hoek vormt (eraan grenst) en de rechthoekszijde die ertegenover ligt, wat een essentiële stap is voor het definiëren van goniometrische functies.

Een veelvoorkomende fout is het verwisselen van de aanliggende rechthoekszijde met de overstaande rechthoekszijde. Deze moeilijkheid doet zich vooral voor wanneer de driehoek in een ongebruikelijke stand is getekend (gedraaid) en de leerling de zijden probeert te beoordelen op basis van hun verticale of horizontale ligging op het papier, in plaats van te kijken naar hun ligging ten opzichte van het hoekpunt van de hoek.

De opgaven in dit hoofdstuk hebben een visuele vorm en bestaan uit het analyseren van een tekening van een rechthoekige driehoek met een gemarkeerde hoek. De leerling maakt oefeningen van het type:

  • Aanliggende rechthoekszijde — het vinden en benoemen van de zijde die grenst aan de aangegeven hoek,
  • Overstaande rechthoekszijde — het identificeren van de zijde die tegenover de gegeven scherpe hoek ligt.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Aanliggende rechthoekszijde · Overstaande rechthoekszijde

Cosinus en tangens berekenen uit een bekende sinus

De leerling bepaalt de waarde van de cosinus en tangens van een hoek met behulp van de sinus en goniometrische identiteiten.

Leerplanpunt MAT.LO.7.P.2 korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

In de 2e klas van de bovenbouw van de middelbare school past de leerling elementaire goniometrische identiteiten toe: het verband sin²α + cos²α = 1 (de grondformule van de goniometrie) en de definitie van tangens als het quotiënt tan α = sin α / cos α. Met een gegeven numerieke waarde voor de sinus van een hoek (vaak geschreven als een gewone breuk) kan de leerling vlot de bijbehorende waarde van de cosinus berekenen en vervolgens de tangens bepalen.

Een typisch probleem vormen rekenfouten bij het omschrijven van de vergelijking: het verkeerd kwadrateren van een breuk (bijvoorbeeld vergeten de noemer te kwadrateren) of moeite met vereenvoudigen en het trekken van de wortel uit de uitkomst. Bij het bepalen van de tangens maken leerlingen ook fouten bij het delen door een breuk, waarbij ze vergeten te vermenigvuldigen met het omgekeerde.

De opgaven in dit hoofdstuk zijn gebaseerd op de volgende stappenplannen:

  • Cosinus uit sinus — bestaat uit het invullen van de bekende sinuswaarde in de grondformule van de goniometrie, deze van 1 aftrekken en de wortel trekken uit het resultaat;
  • Tangens uit sinus — de leerling bepaalt eerst de cosinus en berekent in de volgende stap de waarde van de tangens door de gegeven sinus te delen door de berekende cosinus.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Cosinus uit de sinus · Tangens uit de sinus

Oppervlakte van een cirkelsector en booglengte

De leerling berekent de booglengte van een cirkel en de oppervlakte van een cirkelsector aan de hand van een gegeven straal en de grootte van de middelpuntshoek.

Leerplanpunt MAT.LO.8.P.6 stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

In klas 2 van de bovenbouw bepaalt de leerling afmetingen van delen van een cirkel en cirkelomtrek. Op basis van de gegeven straal en de grootte van de middelpuntshoek in graden berekent de leerling welk deel van de totale omtrek de boog vormt en welk deel van de totale oppervlakte van de cirkel wordt ingenomen door de gegeven cirkelsector.

Een veelvoorkomende fout in deze fase is het verwisselen van formules: het kwadrateren van de straal bij het berekenen van de booglengte (in plaats van de formule voor de omtrek te gebruiken) of het verdubbelen van de straal in plaats van kwadrateren bij het berekenen van de oppervlakte van de cirkelsector. Leerlingen vergeten tijdens herleidingen ook vaak de constante π of maken rekenfouten bij het vereenvoudigen van de breuk van de hoek gedeeld door 360 graden.

Opgaven om deze vaardigheid te oefenen komen voor in twee vormen:

  • Booglengte – de leerling berekent de lengte van het aangeduide deel van de cirkelomtrek voor een gegeven straal en middelpuntshoek.
  • Oppervlakte van een cirkelsector – de oefening bestaat uit het berekenen van de oppervlakte van een cirkelsector met de gegeven parameters.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Booglengte · Oppervlakte van een cirkelsector

Omtrekshoek en middelpuntshoek in een cirkel

De leerling berekent de grootte van een omtrekshoek op basis van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat en bepaalt de grootte van de middelpuntshoek wanneer de grootte van de bijbehorende omtrekshoek bekend is.

Leerplanpunt MAT.LO.8.P.5 stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

In de tweede klas van het voortgezet onderwijs gebruikt de leerling een fundamenteel meetkundig verband in een cirkel: de middelpuntshoek is twee keer zo groot als de omtrekshoek die op dezelfde boog staat. In de praktijk betekent dit het vlot uitvoeren van eenvoudige berekeningen – het vermenigvuldigen of delen van de gegeven hoekmaat in graden door 2.

De meest voorkomende fout is het verwisselen van de richting van dit verband: delen door twee waar vermenigvuldigd had moeten worden (of omgekeerd), wat leidt tot een onlogische uitkomst waarbij de omtrekshoek groter wordt dan de middelpuntshoek. Leerlingen hebben er soms ook moeite mee om op een figuur te controleren of beide hoeken wel daadwerkelijk op exact dezelfde cirkelboog staan.

Opgaven over dit onderwerp zijn gebaseerd op twee duidelijke rekenschema's:

  • Middelpuntshoek vanuit de omtrekshoek – de leerling berekent op basis van de gegeven omtrekshoek (bijv. 35°) de middelpuntshoek door de waarde met 2 te vermenigvuldigen;
  • Omtrekshoek vanuit de middelpuntshoek – de leerling krijgt de maat van de middelpuntshoek (bijv. 110°) en berekent de bijbehorende omtrekshoek door deze waarde door twee te delen.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Middelpuntshoek uit de omtrekshoek · Omtrekshoek uit de middelpuntshoek

Berekenen van de lengte van een koorde en een raaklijnstuk

De leerling berekent de lengtes van koorden en raaklijnstukken aan een cirkel met behulp van eigenschappen van de straal, hoeken en rechthoekige driehoeken.

Leerplanpunt MAT.LO.8.P.1 wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

De leerling in het 2e leerjaar van het voortgezet onderwijs bepaalt de lengtes van koorden en raaklijnstukken aan een cirkel. Bij meetkundige berekeningen combineert de leerling gegevens over de straal van de cirkel en de afstanden van punten, gebruikmakend van rechthoekige driehoeken die gevormd worden door de cirkel en de lijnen.

Een veelvoorkomend probleem is het over het hoofd zien van het feit dat de straal naar het raakpunt altijd loodrecht op de raaklijn staat, waardoor het niet mogelijk is om de stelling van Pythagoras correct toe te passen. Bij opgaven met een koorde maken leerlingen ook fouten doordat ze vergeten dat het lijnstuk vanuit het middelpunt van de cirkel dat loodrecht op de koorde staat, deze in twee gelijke delen verdeelt.

De oefeningen zijn gebaseerd op twee soorten opgaven:

  • Lengte van een koorde — de leerling berekent de lengte van de koorde op basis van de straal van de cirkel en de afstand tot het middelpunt, of bepaalt de ontbrekende straal bij een gegeven koorde,
  • Raaklijnstuk — de opgave vereist het bepalen van de afstand van een extern punt tot het raakpunt met de cirkel, uitgaande van de bekende afstand tot het middelpunt van de cirkel en de straal ervan.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Lengte van een koorde · Lengte van het raaklijnstuk

Ingeschreven en omgeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek

De leerling berekent de lengte van de straal van de ingeschreven en omgeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek op basis van de lengten van de zijden.

Leerplanpunt MAT.LO.8.P.10 wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

In klas 2 gebruikt de leerling de eigenschappen van een rechthoekige driehoek om de stralen van de bijbehorende cirkels te bepalen. De leerling herkent en past een belangrijk meetkundig verband toe: de schuine zijde van een rechthoekige driehoek is tevens de middellijn van de omgeschreven cirkel, waardoor de straal direct kan worden bepaald als de helft van de lengte ervan. Tegelijkertijd berekent de leerling de straal van de ingeschreven cirkel door de lengtes van de rechthoekszijden en de schuine zijde te combineren via het juiste algebraïsche verband of door de oppervlakte van de driehoek te relateren aan de omtrek ervan.

Het meest voorkomende probleem is het mechanisch door elkaar halen van de formules voor de straal van de omgeschreven en de ingeschreven cirkel, evenals vergissingen bij het onderscheiden van de rechthoekszijden van de schuine zijde. Ook levert de situatie waarin in de opgave slechts twee zijden van de driehoek zijn gegeven problemen op – de leerling vergeet dan nog weleens dat de ontbrekende zijde eerst berekend moet worden met behulp van de stelling van Pythagoras.

Opgaven die deze vaardigheid toetsen, komen voor in twee duidelijke varianten: Straal van de omgeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek en Straal van de ingeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek. In de oefeningen krijgt de leerling de lengtes van de zijden (of twee daarvan) en wijst deze de exacte waarde van de gezochte straal aan of berekent deze.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Straal ingeschreven cirkel rechthoekige driehoek · Straal omgeschreven cirkel rechthoekige driehoek

Optimalisatievraagstukken: maximale oppervlakte

De leerling leert de afmetingen van een rechthoek of omheining te bepalen die de grootst mogelijke oppervlakte opleveren, gebruikmakend van de eigenschappen van de top van een parabool bij een kwadratische functie.

Leerplanpunt MAT.LO.13.P.1 rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
Leerplanpunt MAT.LO.5.P.11 wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

In het tweede leerjaar van het voortgezet onderwijs kan de leerling een meetkundig probleem beschrijven aan de hand van het voorschrift van een kwadratische functie en de maximale waarde ervan bepalen. In deze fase vertaalt de leerling de opgavetekst naar een vergelijking die de oppervlakte van de figuur beschrijft in functie van de lengte van een van de zijden, om vervolgens – met behulp van de coördinaten van de top van de parabool – de optimale afmetingen aan te wijzen.

Een veelvoorkomende fout is het over het hoofd zien van de constructieve randvoorwaarden van de opgave, bijvoorbeeld wanneer het terrein aan een muur grenst en niet aan alle zijden omheind hoeft te worden. Leerlingen passen dan vaak automatisch de standaardformule toe voor de omtrek van een rechthoek met vier zijden in plaats van slechts de drie te omheinen stukken op te tellen. Hierdoor stellen ze een verkeerd functievoorschrift op en komen ze op een onjuist eindresultaat uit.

In de praktijk komt de leerling vraagstukken tegen die in een praktische context zijn geplaatst, zoals:

  • Rechthoek met de grootste oppervlakte – het bepalen van de zijden van een perceel bij een vooraf vastgestelde totale lengte van het gaas;
  • Ren tegen een muur met de grootste oppervlakte – het ontwerpen van een rechthoekige ruimte waarbij gebruik wordt gemaakt van een bestaande muur van een gebouw, zodat er slechts aan drie zijden een omheining hoeft te worden geplaatst.
Werkblad maken voor deze vaardigheid

Soorten opgaven: Rechthoek met grootste oppervlakte · Ren tegen een muur met grootste oppervlakte

Oplossen van exponentiële vergelijkingen met hetzelfde grondtal

De leerling kan beide zijden van een exponentiële vergelijking herleiden tot hetzelfde grondtal en de exponenten aan elkaar gelijkstellen om de onbekende te bepalen.

Leerplanpunt MAT.LO.5.P.14 posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

In het voortgezet onderwijs leert de leerling een methode om vergelijkingen op te lossen waarin de onbekende zich in de exponent van een macht bevindt. Deze vaardigheid bestaat uit het herleiden van beide zijden van de vergelijking, zodat er machten met hetzelfde grondtal ontstaan (bijv. het schrijven van getallen als machten van twee, drie of breuken). Zodra de grondtallen identiek zijn, stelt de leerling de exponenten aan elkaar gelijk en bepaalt de waarde van de gezochte variabele.

Een veelvoorkomend probleem in deze fase zijn fouten bij het toepassen van de rekenregels voor machten — met name het verwarren van het vermenigvuldigen van machten met het machtsverheffen van een macht (bijv. het optellen van exponenten in plaats van ze te vermenigvuldigen). Leerlingen proberen soms ook te vroeg de grondtallen 'weg te laten', voordat ze beide zijden van de vergelijking hebben herleid tot afzonderlijke machten met exact hetzelfde grondtal.

In de praktijk vereisen opgaven van het sjabloon Exponentiële vergelijking het oplossen van een vergelijking waarin aan weerszijden machtsuitdrukkingen staan. De leerling herleidt de getallen naar een gemeenschappelijk grondtal, stelt met de verkregen exponenten een eenvoudige lineaire vergelijking op en berekent het uiteindelijke resultaat.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Coëfficiënten in de ontwikkeling van het binomium van Newton

De leerling leert specifieke numerieke coëfficiënten bij machten van de variabele te bepalen in de binomiaalontwikkeling met behulp van het binomium van Newton.

De leerling past het binomium van Newton toe om specifieke numerieke coëfficiënten in de uitwerking van een macht van een tweeterm te bepalen. In plaats van herhaaldelijk de haakjes met elkaar te vermenigvuldigen, kan de leerling direct de numerieke waarde voor een gekozen macht van de variabele aanwijzen en berekenen met behulp van de binomiaalcoëfficiënt.

Een veelgemaakte fout is het niet meenemen van de coëfficiënten van de variabele binnen de haakjes. Leerlingen richten zich vaak op het berekenen van de binomiaalcoëfficiënt en vergeten daarbij dat de gehele term tot de macht wordt verheven — bijvoorbeeld bij het verheffen van de uitdrukking 2x tot een macht moeten zowel het getal 2 als de onbekende tot die macht worden verheven. Ook het correct verwerken van mintekens bij het aftrekken van termen binnen de haakjes levert vaak problemen op.

In opgaven van het sjabloon Coëfficiënt in een binomiaalontwikkeling krijgt de leerling een macht van een tweeterm en bepaalt de coëfficiënt van de gegeven macht van de variabele zonder alle overige termen te hoeven uitschrijven.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Oplossen van veelterminongelijkheden

De leerling lost veeltermongelijkheden op door de nulpunten ervan te bepalen en de bijbehorende getallenintervallen af te lezen van de getallenlijn.

In klas 2 van het lyceum en technicum gaat de leerling over van tweedegraadsongelijkheden naar veeltermongelijkheden van hogere graden. De leerling ontbindt de veelterm in factoren, bepaalt de nulpunten, zet deze vervolgens uit op een getallenlijn en schetst een vereenvoudigde grafiek om vast te stellen voor welke getallen de uitdrukking positieve of negatieve waarden aanneemt.

De meest gemaakte fout is het niet meenemen van de multipliciteit van de nulpunten bij het schetsen van de grafiek op de as. Leerlingen hebben de neiging om mechanisch bij elk nulpunt de as te snijden, waarbij ze vergeten dat de grafiek bij nulpunten met een even multipliciteit „afketst” op de as en het teken van de veelterm op dat punt niet verandert.

Een typische opgave uit het sjabloon Veeltermongelijkheid bestaat uit het vinden van alle getallen die aan de gegeven ongelijkheid voldoen (vaak direct geschreven in ontbonden vorm of waarbij eenvoudige ontbinding door groepering nodig is) en het correct noteren van de uitkomst met behulp van een interval of een vereniging van intervallen.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Kwadratische vergelijkingen oplossen

De leerling leert de oplossingen van kwadratische vergelijkingen te bepalen met behulp van de formules voor de wortels en de discriminant delta of door de uitdrukking te ontbinden in factoren.

Leerplanpunt MAT.LO.3.P.4 rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

In de tweede klas van het lyceum en technicum lost de leerling kwadratische vergelijkingen op in algemene en onvolledige vorm. Op basis van de numerieke coëfficiënten berekent de leerling de discriminant van de vergelijking (delta), bepaalt het aantal reële oplossingen en stelt vervolgens nauwkeurig hun waarden vast met behulp van standaardformules of algebraïsche herleidingen.

De meest voorkomende fouten zijn tekenfouten bij het berekenen van de discriminant, vooral wanneer coëfficiënt c of b een negatief getal is. Bij onvolledige vergelijkingen delen leerlingen vaak beide kanten door de onbekende, wat leidt tot het definitieve verlies van een van de oplossingen (meestal nul), in plaats van een gemeenschappelijke factor buiten haakjes te halen.

De opgaven uit het sjabloon Kwadratische vergelijking bestaan uit het herleiden van de gegeven vergelijking naar de standaardvorm en het bepalen van alle oplossingen die behoren tot de verzameling van de reële getallen, of het correct beargumenteren dat dergelijke oplossingen niet bestaan.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Verschuiving van de grafiek van een functie

De leerling leert grafieken van functies te schetsen die zijn ontstaan door een verschuiving langs de assen van het coördinatenstelsel en de nieuwe formules hiervan te bepalen.

Leerplanpunt MAT.LO.5.P.12 na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

In klas 2 van het voortgezet onderwijs leert de leerling grafieken van functies te transformeren door middel van een evenwijdige verschuiving langs de assen van het coördinatenstelsel. De leerling kan de grafiek van een basisfunctie verticaal verschuiven (een bepaald aantal eenheden omhoog of omlaag) en horizontaal (naar links of naar rechts), en deze beweging koppelen aan de verandering in het functievoorschrift.

De grootste moeilijkheid is de juiste interpretatie van de horizontale verschuiving. Leerlingen halen vaak de richtingen langs de horizontale as door elkaar en verschuiven de grafiek van de functie f(x - p) naar links in plaats van naar rechts, doordat ze het minteken instinctief associëren met de negatieve richting van de as.

De opgaven uit het sjabloon Verschuiving van een functiegrafiek bestaan uit het schetsen van de getransformeerde grafiek op basis van een gegeven functievoorschrift of het aflezen uit een figuur hoeveel eenheden en in welke richting de oorspronkelijke grafiek is verschoven, om vervolgens het nieuwe functievoorschrift op te stellen.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Gemeenschappelijke punten van een rechte en een parabool zoeken

De leerling leert de snijpunten van een lijn en een parabool te bepalen door een stelsel van een lineaire en een kwadratische vergelijking algebraïsch op te lossen.

In klas 2 combineert de leerling analytische meetkunde met algebra door stelsels op te lossen die bestaan uit een lineaire en een kwadratische vergelijking. De leerling drukt zelfstandig één variabele uit de vergelijking van de lijn uit en substitueert deze in de vergelijking van de parabool, waardoor het probleem wordt herleid tot een kwadratische vergelijking met één onbekende, die wordt opgelost met behulp van de discriminant (delta).

Een typische fout in deze fase is stoppen na het bepalen van de onbekende x. Leerlingen vinden de oplossingen van de kwadratische vergelijking correct, maar vergeten de bijbehorende waarden voor y te berekenen, waardoor ze niet de volledige coördinaten van het punt geven. Ook worden er vaak tekenfouten gemaakt bij het overbrengen van alle termen naar één kant van de vergelijking.

De opdrachten van het sjabloon Gemeenschappelijke punten van een parabool en een lijn bestaan uit het algebraïsch bepalen van getallenparen (coördinaten van punten) waarin de grafieken van de gegeven functies elkaar snijden. De leerling onderzoekt of de lijn de parabool in twee punten snijdt, deze raakt in één raakpunt, of dat de grafieken geen gemeenschappelijke punten hebben.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Berekenen van de waarde van een kwadratische functie

De leerling leert de waarde van een kwadratische functie voor een gegeven argument te berekenen door getallen correct in de formule in te vullen en de bewerkingen uit te voeren.

Leerplanpunt MAT.LO.5.P.2 oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

In deze fase kan de leerling de functiewaarde bepalen van een kwadratische functie in de algemene vorm voor een gegeven argument. De opgave vereist het invullen van het gegeven getal op de plaats van de variabele x, het kwadrateren ervan, het uitvoeren van de vermenigvuldiging met de coëfficiënten en het optellen en aftrekken van de verkregen termen.

De meest voorkomende fout is het verwarren van de volgorde van bewerkingen en het onjuist machtsverheffen van negatieve getallen. Leerlingen vergeten vaak de haakjes bij een negatief argument en noteren bijvoorbeeld -32 = 9 in plaats van (-3)2 = 9. Het komt ook voor dat ze het argument eerst vermenigvuldigen met de coëfficiënt van de hoogste macht en pas daarna het product kwadrateren.

In opgaven uit het sjabloon Waarde van een kwadratische functie krijgt de leerling het functievoorschrift en een specifiek getal en is het de bedoeling om de uitkomst te berekenen, bijvoorbeeld door de functiewaarde van f(x) = 2x2 - 5x + 1 voor x = -2 te bepalen.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Grafiek en eigenschappen van de functie f(x) = a/x

De leerling tekent de grafiek van de functie f(x) = a/x, bepaalt het domein ervan en leest de basiseigenschappen van de hyperbool af, afhankelijk van het teken van de coëfficiënt a.

Leerplanpunt MAT.LO.5.P.13 posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

In deze fase werkt de leerling met de basisvorm van omgekeerde evenredigheid, namelijk de functie f(x) = a/x voor een vast getal a ≠ 0. De leerling kan het domein van de functie bepalen (rekening houdend met de voorwaarde x ≠ 0), een tabel met waarden opstellen voor geselecteerde positieve en negatieve getallen en vervolgens de grafiek schetsen — een hyperbool. Op basis van de formule of de grafiek bepaalt de leerling het bereik en de monotoniciteit op intervallen, en wijst de kwadranten van het assenstelsel aan waarin de takken van de grafiek liggen.

Een typische fout is het mechanisch verbinden van beide takken van de hyperbool tot één doorlopende lijn die de y-as snijdt, wat voortkomt uit het negeren van het feit dat nul niet tot het domein van de functie behoort. Leerlingen hebben ook moeite met het correct bepalen van de monotoniciteit: ze beschrijven de functie ten onrechte als dalend op het gehele domein in plaats van op twee afzonderlijke intervallen, en halen ook de ligging van de takken van de grafiek door elkaar bij een negatieve coëfficiënt a.

In opdrachten van het sjabloon Functie f(x) = a/x vult de leerling meestal een tabel in en schetst de grafiek voor een specifieke numerieke parameter, stelt het functievoorschrift op aan de hand van de coördinaten van een punt op de hyperbool, of leest uit de grafiek de argumenten af waarvoor de functie bepaalde waarden aanneemt.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Exacte waarden van goniometrische functies

De leerling bepaalt de exacte waarden van goniometrische functies voor standaardhoeken met behulp van herleidingsformules en de eigenschappen van functies in de afzonderlijke kwadranten.

Leerplanpunt MAT.LO.7.P.1 wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

In de tweede klas van de middelbare school leert de leerling de exacte waarden van sinus, cosinus of tangens te bepalen voor stompe hoeken en hoeken groter dan 90°. Met behulp van herleidingsformules herleidt de leerling de berekeningen voor zulke hoeken tot bekende waarden van scherpe hoeken (met name 30°, 45° en 60°).

Het meest voorkomende probleem bij deze berekeningen is het bepalen van het juiste teken van de uitkomst (plus of min). Leerlingen vergissen zich vaak in het kwadrant waarin de gegeven hoek ligt, of bepalen het teken op basis van de functie die na herleiding is verkregen in plaats van de oorspronkelijke functie.

Een typische oefening uit het sjabloon Exacte waarde van een goniometrische functie bestaat uit het geven van een exact getal (geschreven als een breuk of wortelvorm, zonder decimale benaderingen) voor een gegeven hoek, zoals bijvoorbeeld 120°, 225° of 300°.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Oppervlakte van een parallellogram berekenen met behulp van de sinus

De leerling berekent de oppervlakte van een parallellogram met behulp van de lengtes van twee aanliggende zijden en de sinus van de hoek daartussen.

Leerplanpunt MAT.LO.8.P.12 stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

In het voortgezet onderwijs combineert de leerling kennis over vlakke figuren met goniometrie. Hij of zij kan de oppervlakte van een parallellogram berekenen met behulp van de formule gebaseerd op de lengtes van twee aanliggende zijden en de sinus van de ingesloten hoek: P = a · b · sin(α).

Een veelvoorkomende fout in deze fase is het direct invullen van de hoekgrootte in de formule in plaats van de sinuswaarde ervan te nemen (bijvoorbeeld vermenigvuldigen met 60 in plaats van met sin 60°). Leerlingen hebben soms ook moeite met parallellogrammen met een stompe hoek, waarbij ze vergeten dat de sinus van een stompe hoek gelijk is aan de sinus van de scherpe hoek die het supplement vormt tot 180°.

Opgaven uit het sjabloon Oppervlakte van een parallellogram met sinus vereisen het berekenen van de oppervlakte van de figuur bij gegeven zijdelengten en een bekende hoek (meestal met standaardwaarden zoals 30°, 45°, 60° of 120°), of het bepalen van een ontbrekende zijde wanneer de oppervlakte van het parallellogram bekend is.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Oppervlakten en omtrekken van gelijkvormige figuren

De leerling leert de oppervlakte of omtrek van een gelijkvormige figuur te bepalen met behulp van de gelijkvormigheidsfactor en het kwadraat daarvan.

Leerplanpunt MAT.LO.8.P.9 wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

In klas 2 van het lyceum en technicum gebruikt de leerling relaties tussen gelijkvormige figuren om hun afmetingen te berekenen. De leerling maakt vaardig gebruik van de gelijkvormigheidsfactor k en past het principe toe dat de verhouding van de omtrekken van de figuren gelijk is aan k en de verhouding van hun oppervlakten gelijk is aan k².

De meest voorkomende fout is het rechtstreeks vermenigvuldigen van de oppervlakte van de figuur met de factor k in plaats van met het kwadraat ervan. Leerlingen passen de regel voor de lengte van zijden en omtrekken vaak mechanisch toe op de oppervlakte, wat leidt tot onjuiste resultaten.

In een typische opgave uit het sjabloon Oppervlakte van een gelijkvormige figuur kent de leerling de oppervlakte van een van de figuren en de gelijkvormigheidsfactor (of de lengten van de overeenkomstige zijden) en berekent op basis daarvan de oppervlakte van de tweede, vergrote of verkleinde figuur.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Lengtes van lijnstukken berekenen met de stelling van Thales

De leerling gebruikt de stelling van Thales om ontbrekende lengtes van lijnstukken te berekenen op lijnen die worden gesneden door evenwijdige lijnen.

Leerplanpunt MAT.LO.8.P.7 stosuje twierdzenie Talesa

In de tweede klas van het voortgezet onderwijs past de leerling de stelling van Thales toe bij opgaven over planimetrie. Op basis van de relaties tussen de lijnstukken die door evenwijdige lijnen op rechten worden afgesneden, stelt de leerling de juiste verhoudingen op en bepaalt de onbekende lengtes.

De meest voorkomende fout is het onjuist combineren van de lijnstukken in de verhouding, vooral wanneer de opgave gaat over de lengte van lijnstukken op de evenwijdige lijnen. Leerlingen verwarren dan de afgesneden stukken op de benen van de hoek met de gehele benen, doordat ze het deel tussen de evenwijdigen vergelijken in plaats van het lijnstuk gerekend vanaf het hoekpunt.

Opgaven uit het sjabloon Stelling van Thales bevatten een tekening met een hoek of snijdende lijnen die worden doorsneden door evenwijdige lijnen. Met de gegeven getalsmatige lengtes van een aantal lijnstukken stelt de leerling een verhoudingsvergelijking op en berekent de ontbrekende waarde.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Determining the type of triangle from side lengths

De leerling controleert of met de gegeven zijdelengten een driehoek kan worden gevormd en bepaalt of deze scherphoekig, rechthoekig of stomphoekig is.

Leerplanpunt MAT.LO.8.P.2 rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

Aan de hand van drie getallen die de zijdelengten beschrijven, kan de leerling de meetkunde van de figuur onderzoeken: eerst verifieert deze de driehoeksongelijkheid en stelt vervolgens vast of de driehoek scherphoekig, rechthoekig of stomphoekig is. In klas 2 van het lyceum en technicum gebeurt dit door de som van de kwadraten van de twee kortere zijden te vergelijken met het kwadraat van de langste zijde, gebruikmakend van een veralgemening van de stelling van Pythagoras.

Een typische fout is het overslaan van de eerste stap, namelijk de bestaansvoorwaarde van een driehoek (de som van de twee kortere zijden moet groter zijn dan de langste zijde). Leerlingen gaan direct over tot het kwadrateren van de getallen en trekken verkeerde conclusies voor combinaties van getallen waarmee helemaal geen driehoek kan worden gevormd. Het komt ook vaak voor dat de richting van de ongelijkheid wordt omgedraaid — de veronderstelling dat wanneer de som van de kwadraten van de twee kortere zijden kleiner is dan het kwadraat van de langste zijde, de driehoek scherphoekig is in plaats van stomphoekig.

In opgaven van het sjabloon Soort driehoek op basis van zijdelengten krijgt de leerling een set van drie specifieke lengten (gehele getallen of wortels, bijv. 4, 6, 8) en is het de opdracht om deze in te delen bij het juiste type driehoek of aan te tonen dat een driehoek met dergelijke afmetingen niet bestaat.

Werkblad maken voor deze vaardigheid

Opgavensjablonen om af te drukken

Alle soorten opgaven, gegroepeerd per vaardigheid. Een klik opent de generator met het type al gekozen.

Formules van Viète: som en product van de wortels

Sinus- en cosinusregel en de oppervlakte van een driehoek

Berekenen van de waarde van een exponentiële functie

Deling van een veelterm door een tweeterm x − a

Kwadratische ongelijkheden oplossen

Vergelijkingen en ongelijkheden met absolute waarde

Oplossen van veeltermvergelijkingen

Oplossen van rationale vergelijkingen en wortelvergelijkingen

Top van de parabool en topvorm van de functie

Kleinste en grootste waarde van een functie op een interval

Rechthoekszijden herkennen ten opzichte van een hoek

Cosinus en tangens berekenen uit een bekende sinus

Oppervlakte van een cirkelsector en booglengte

Omtrekshoek en middelpuntshoek in een cirkel

Berekenen van de lengte van een koorde en een raaklijnstuk

Ingeschreven en omgeschreven cirkel van een rechthoekige driehoek

Optimalisatievraagstukken: maximale oppervlakte

Oplossen van exponentiële vergelijkingen met hetzelfde grondtal

Coëfficiënten in de ontwikkeling van het binomium van Newton

Oplossen van veelterminongelijkheden

Kwadratische vergelijkingen oplossen

Verschuiving van de grafiek van een functie

Gemeenschappelijke punten van een rechte en een parabool zoeken

Berekenen van de waarde van een kwadratische functie

Grafiek en eigenschappen van de functie f(x) = a/x

Exacte waarden van goniometrische functies

Oppervlakte van een parallellogram berekenen met behulp van de sinus

Oppervlakten en omtrekken van gelijkvormige figuren

Lengtes van lijnstukken berekenen met de stelling van Thales

Determining the type of triangle from side lengths

Andere soorten opgaven

Werkblad maken voor dit leerplan