Lehrplan (Polen)

Mathematik — Klasse 10

Mathematik in der 2. Klasse von Gymnasium und Technikum: quadratische Funktion, quadratische Gleichungen und Ungleichungen, Polynome, Exponentialfunktion, Trigonometrie und Planimetrie — Winkel am Kreis, Ähnlichkeit, Sinus- und Kosinussatz. Zu jedem Thema fertige Aufgaben zum Ausdrucken.

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Was lernt ein Schüler in Mathematik in der 2. Klasse des Gymnasiums?

In der 2. Klasse steht die quadratische Funktion im Mittelpunkt: Scheitelpunktform, Scheitelpunkt, größter und kleinster Wert in einem Intervall, quadratische Gleichungen und Ungleichungen sowie die Sätze von Vieta. Die Lernenden führen Polynomdivisionen durch, lösen Polynom- und Bruchgleichungen und lernen die Exponentialfunktion sowie Transformationen von Graphen kennen. In der Trigonometrie berechnen sie Funktionswerte im rechtwinkligen Dreieck und wenden trigonometrische Identitäten an; in der Planimetrie nutzen sie den Satz des Thales, Umfangs- und Mittelpunktswinkel, Ähnlichkeit sowie den Sinus- und Kosinussatz.

Wichtiges zum Lehrplan: Der Lehrplan für das Lyzeum und das Technikum ist blockweise strukturiert – er beschreibt, was die Lernenden am Ende der Sekundarstufe können, getrennt nach grundlegendem und erweitertem Niveau. Die Zuordnung eines Themas zu einer Klassenstufe ist unsere Entscheidung auf Basis eines typischen Stoffverteilungsplans; im Abschnitt „Lehrplanumfang“ sehen Sie die Lehrplanpunkte im Wortlaut.

Status der Seite: Die Aufgaben für diese Klassenstufe stehen in reiner Form ohne Textbezug bereit (nur Aufgabenstellung und Formel); Aufgaben mit Abbildungen, Beweise und Sachaufgaben folgen in weiteren Schritten.

Lehrplanumfang

Lehrplanpunkt MAT.LO.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Liczby rzeczywiste

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wykonuje działania (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie, potęgowanie, pierwiastkowanie, logarytmowanie) w zbiorze liczb rzeczywistych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

przeprowadza proste dowody dotyczące podzielności liczb całkowitych i reszt z dzielenia, np.:

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje własności pierwiastków dowolnego stopnia, w tym pierwiastków stopnia nieparzystego z liczb ujemnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje związek pierwiastkowania z potęgowaniem oraz prawa działań na potęgach i pierwiastkach

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje monotoniczność potęgowania, w szczególności własności: jeśli x < y oraz a > 1, to ax < ay, zaś gdy x < y i 0 < a < 1, to ax > ay

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

posługuje się pojęciem przedziału liczbowego, zaznacza przedziały na osi liczbowej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 7

Gleichungen und Ungleichungen mit Betrag (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wykorzystuje własności potęgowania i pierwiastkowania w sytuacjach praktycznych, w tym do obliczania procentów składanych, zysków z lokat i kosztów kredytów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 8
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje związek logarytmowania z potęgowaniem, posługuje się wzorami na logarytm iloczynu, logarytm ilorazu i logarytm potęgi.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 9
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.2.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

dowód podzielności przez 24 iloczynu czterech kolejnych liczb naturalnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.2.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

dowód własności: jeśli liczba przy dzieleniu przez 4 daje resztę 3, to nie jest kwadratem liczby całkowitej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 1, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.LO.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wyrażenia algebraiczne

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje wzory skróconego mnożenia na: (a + b)2, (a − b)2, a2 − b2

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.2.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

mnoży i dzieli wyrażenia wymierne.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 2, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Równania i nierówności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.1 · Lerninhalte

przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 1

Lösen von rationalen Gleichungen und Wurzelgleichungen (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretuje równania i nierówności liniowe sprzeczne oraz tożsamościowe

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozwiązuje nierówności liniowe z jedną niewiadomą

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 4

Lösen quadratischer Ungleichungen (bei uns in Klasse 10) · Lösen quadratischer Gleichungen (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 3, zakres podstawowy, pkt 5

Lösen von Polynomgleichungen (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Układy równań

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.4.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozwiązuje układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi, podaje interpretację geometryczną układów oznaczonych, nieoznaczonych i sprzecznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.4.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje układy równań do rozwiązywania zadań tekstowych.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 4, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funkcje

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

określa funkcje jako jednoznaczne przyporządkowanie za pomocą opisu słownego, tabeli, wykresu, wzoru (także różnymi wzorami na różnych przedziałach)

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 2

Berechnung von Funktionswerten einer quadratischen Funktion (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

odczytuje i interpretuje wartości funkcji określonych za pomocą tabel, wykresów, wzorów itp., również w sytuacjach wielokrotnego użycia tego samego źródła informacji lub kilku źródeł jednocześnie

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

odczytuje z wykresu funkcji: dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości większe (nie mniejsze) lub mniejsze (nie większe) od danej liczby, największe i najmniejsze wartości funkcji (o ile istnieją) w danym przedziale domkniętym oraz argumenty, dla których wartości największe i najmniejsze są przez funkcję przyjmowane

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji liniowej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wyznacza wzór funkcji liniowej na podstawie informacji o jej wykresie lub o jej własnościach

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

szkicuje wykres funkcji kwadratowej zadanej wzorem

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 8

Scheitelpunkt der Parabel und Scheitelpunktform der Funktion (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wyznacza wzór funkcji kwadratowej na podstawie informacji o tej funkcji lub o jej wykresie

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 9
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 10

Kleinster und größter Wert einer Funktion in einem Intervall (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 11

Optimierungsaufgaben: maximaler Flächeninhalt (bei uns in Klasse 10) · Kleinster und größter Wert einer Funktion in einem Intervall (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.12 · Lerninhalte

na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 12

Verschiebung des Funktionsgraphen (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.13 · Lerninhalte

posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 13

Graph und Eigenschaften der Funktion f(x) = a/x (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.14 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 5, zakres podstawowy, pkt 14

Berechnen von Werten der Exponentialfunktion (bei uns in Klasse 10) · Lösen von Exponentialgleichungen mit gleicher Basis (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Ciągi

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

oblicza wyrazy ciągu określonego wzorem ogólnym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

oblicza początkowe wyrazy ciągów określonych rekurencyjnie

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

w prostych przypadkach bada, czy ciąg jest rosnący, czy malejący

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

sprawdza, czy dany ciąg jest arytmetyczny lub geometryczny

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje wzór na n-ty wyraz i na sumę n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.6.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wykorzystuje własności ciągów, w tym arytmetycznych i geometrycznych, do rozwiązywania zadań, również osadzonych w kontekście praktycznym.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 6, zakres podstawowy, pkt 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Trygonometria

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 7
Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 1

Exakte Werte der trigonometrischen Funktionen (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.2 · Lerninhalte

korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 2

Berechnung von Kosinus und Tangens aus dem bekannten Sinus (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.3 · Lerninhalte

stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 3

Sinus- und Kosinussatz sowie der Flächeninhalt des Dreiecks (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 7, zakres podstawowy, pkt 4

Erkennen der Katheten bezüglich eines Winkels (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Planimetria

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 8
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 1

Berechnung der Länge der Sehne und des Tangentenabschnitts (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 2

Determining the type of triangle from side lengths (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozpoznaje wielokąty foremne i korzysta z ich podstawowych własności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

korzysta z własności kątów i przekątnych w prostokątach, równoległobokach, rombach i trapezach

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 5

Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel im Kreis (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 6

Fläche des Kreissektors und Bogenlänge (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje twierdzenie Talesa

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 7

Berechnung von Streckenlängen mit dem Satz des Thales (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

korzysta z cech podobieństwa trójkątów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 8
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 9

Flächeninhalte und Umfänge ähnlicher Figuren (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 10

Inkreis und Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

przeprowadza dowody geometryczne

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 11
Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 8, zakres podstawowy, pkt 12

Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms mithilfe des Sinus (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geometria analityczna na płaszczyźnie kartezjańskiej

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 9
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozpoznaje wzajemne położenie prostych na płaszczyźnie na podstawie ich równań, w tym znajduje wspólny punkt dwóch prostych, jeśli taki istnieje

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

posługuje się równaniami prostych na płaszczyźnie, w postaci kierunkowej i ogólnej, w tym wyznacza równanie prostej o zadanych własnościach (takich, jak np. przechodzenie przez dwa dane punkty, znany współczynnik kierunkowy, równoległość do innej prostej)

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

oblicza odległość dwóch punktów w układzie współrzędnych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.4 · Lerninhalte

posługuje się równaniem okręgu (x − a)² + (y − b)² = r²

eigene Zusammenfassung des Punktes · Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.9.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wyznacza obrazy okręgów i wielokątów w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, symetrii środkowej (o środku w początku układu współrzędnych).

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 9, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Stereometria

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 10
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozpoznaje wzajemne położenie prostych w przestrzeni, w szczególności proste prostopadłe nieprzecinające się

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

posługuje się pojęciem kąta między prostą a płaszczyzną oraz pojęciem kąta dwuściennego między półpłaszczyznami

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozpoznaje w graniastosłupach i ostrosłupach kąty między odcinkami (np. krawędziami, krawędziami i przekątnymi) oraz kąty między ścianami, oblicza miary tych kątów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozpoznaje w walcach i w stożkach kąt między odcinkami oraz kąt między odcinkami i płaszczyznami (np. kąt rozwarcia stożka, kąt między tworzącą a podstawą), oblicza miary tych kątów

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

oblicza objętości i pola powierzchni graniastosłupów, ostrosłupów, walca, stożka i kuli, również z wykorzystaniem trygonometrii

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 5
Lehrplanpunkt MAT.LO.10.P.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

wykorzystuje zależność między objętościami brył podobnych.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 10, zakres podstawowy, pkt 6
Lehrplanpunkt MAT.LO.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Kombinatoryka

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 11
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zlicza obiekty w prostych sytuacjach kombinatorycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

zlicza obiekty, stosując reguły mnożenia i dodawania (także łącznie) dla dowolnej liczby czynności, np.:

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2.a · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

obliczenie, ile jest czterocyfrowych nieparzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 1 i dokładnie jedna cyfra 2

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. a
Lehrplanpunkt MAT.LO.11.P.2.b · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

obliczenie, ile jest czterocyfrowych parzystych liczb całkowitych dodatnich takich, że w ich zapisie dziesiętnym występuje dokładnie jedna cyfra 0 i dokładnie jedna cyfra 1.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 11, zakres podstawowy, pkt 2 lit. b
Lehrplanpunkt MAT.LO.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 12
Lehrplanpunkt MAT.LO.12.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.12.P.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

oblicza średnią arytmetyczną i średnią ważoną, znajduje medianę i dominantę.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 12, zakres podstawowy, pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.13 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Optymalizacja i rachunek różniczkowy

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, treści nauczania, dział 13
Lehrplanpunkt MAT.LO.13.P.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, dział 13, zakres podstawowy, pkt 1

Optimierungsaufgaben: maximaler Flächeninhalt (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Sprawność rachunkowa

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, I
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.1.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wykonywanie obliczeń na liczbach rzeczywistych, także przy użyciu kalkulatora, stosowanie praw działań matematycznych przy przekształcaniu wyrażeń algebraicznych oraz wykorzystywanie tych umiejętności przy rozwiązywaniu problemów w kontekstach rzeczywistych i teoretycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, I
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wykorzystanie i tworzenie informacji

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, II
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.2.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Interpretowanie i operowanie informacjami przedstawionymi w tekście, zarówno matematycznym, jak i popularnonaukowym, a także w formie wykresów, diagramów, tabel

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.2.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Używanie języka matematycznego do tworzenia tekstów matematycznych, w tym do opisu prowadzonych rozumowań i uzasadniania wniosków, a także do przedstawiania danych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, II pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, III
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Stosowanie obiektów matematycznych i operowanie nimi, interpretowanie pojęć matematycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.3.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wskazywanie konieczności lub możliwości modyfikacji modelu matematycznego w przypadkach wymagających specjalnych zastrzeżeń, dodatkowych założeń, rozważenia szczególnych uwarunkowań

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, III pkt 4
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Rozumowanie i argumentacja

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele kształcenia, IV
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.1 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 1
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.2 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Dostrzeganie regularności, podobieństw oraz analogii, formułowanie wniosków na ich podstawie i uzasadnianie ich poprawności

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 2
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.3 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Dobieranie argumentów do uzasadnienia poprawności rozwiązywania problemów, tworzenie ciągu argumentów gwarantujących poprawność rozwiązania i skuteczność w poszukiwaniu rozwiązań zagadnienia

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 3
Lehrplanpunkt MAT.LO.WO.4.4 · Allgemeine Ziele · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych

Dz.U. 2018 poz. 467 w brzmieniu Dz.U. 2024 poz. 1019, matematyka, cele, IV pkt 4

Kompetenzen Schritt für Schritt

Satz von Vieta: Summe und Produkt der Nullstellen

Der Schüler bestimmt die Summe, das Produkt sowie die Summe der Kehrwerte der Lösungen einer quadratischen Gleichung direkt aus den Koeffizienten, ohne die Diskriminante und die Lösungen selbst berechnen zu müssen.

In der 10. Klasse bestimmt der Schüler die Summe sowie das Produkt der Lösungen eines quadratischen Terms direkt anhand seiner Koeffizienten. Auf dieser Stufe lernt er auch, algebraische Beziehungen umzuformen, indem er beispielsweise die Summe der Kehrwerte der Lösungen in die Form eines Bruchs überführt, der aus deren Summe und Produkt besteht.

Ein typisches Problem ist das Vergessen des Minuszeichens in der Formel für die Summe der Lösungen (Verwechslung des Ausdrucks -b/a mit b/a). Häufig vergessen Schüler auch, durch den Koeffizienten a zu teilen, wenn vor der höchsten Potenz eine andere Zahl als 1 steht, was das Ergebnis völlig verfälscht.

Die Übungen in diesem Abschnitt umfassen konkrete Rechenaufgaben:

Summe der Lösungen mit dem Satz von Vieta sowie Produkt der Lösungen mit dem Satz von Vieta – direktes Ablesen und Berechnen der Werte anhand der Koeffizienten der quadratischen Gleichung,
Summe der Kehrwerte der Lösungen – Bringen des Ausdrucks auf einen gemeinsamen Nenner und gleichzeitige Anwendung beider Formeln.

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Aufgabentypen: Produkt der Lösungen (Vieta) · Summe der Kehrwerte der Lösungen · Summe der Lösungen (Vieta)

Sinus- und Kosinussatz sowie der Flächeninhalt des Dreiecks

Der Schüler berechnet unbekannte Seiten und Winkel in einem beliebigen Dreieck mithilfe des Sinus- und des Kosinussatzes und bestimmt den Flächeninhalt des Dreiecks unter Verwendung des Sinus eines Winkels.

Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.3 stosuje twierdzenie cosinusów oraz wzór na pole trójkąta P = ½ · a · b · sin γ

In der 2. Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule lösen Schülerinnen und Schüler beliebige Dreiecke, die nicht rechtwinklig sein müssen. Sie wenden den Sinussatz sowie den Kosinussatz an, um fehlende Seitenlängen oder Winkelmaße anhand der gegebenen Daten zu bestimmen. Zudem können sie den Flächeninhalt des Dreiecks mithilfe der Formel sicher berechnen, die zwei Seitenlängen mit dem Sinus des dazwischenliegenden Winkels verknüpft.

Eine typische Schwierigkeit bei der Anwendung des Kosinussatzes ist ein Rechenfehler bei der Reihenfolge der Rechenoperationen oder das Nichtberücksichtigen des negativen Vorzeichens des Kosinus bei einem stumpfen Winkel. Bei der Berechnung des Flächeninhalts wählen Schülerinnen und Schüler wiederum häufig einen beliebigen Winkel aus der Skizze anstelle desjenigen, der genau von den beiden bekannten Seiten eingeschlossen wird.

Die druckbaren Übungen in diesem Bereich umfassen drei konkrete Aufgabengruppen:

Kosinussatz — Berechnung der Länge der dritten Seite aus zwei bekannten Seiten und dem eingeschlossenen Winkel oder Bestimmung des Kosinus eines Winkels bei drei gegebenen Seiten,
Sinussatz — Berechnung fehlender Seiten und Winkel anhand des Verhältnisses zwischen einer Seite und dem Sinus des gegenüberliegenden Winkels,
Flächeninhalt des Dreiecks mit Sinus — Berechnung des Flächeninhalts der Figur, ohne vorher deren Höhe bestimmen zu müssen.

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Aufgabentypen: Dreiecksfläche mit Sinus · Kosinussatz · Sinussatz

Berechnen von Werten der Exponentialfunktion

Der Schüler berechnet Werte der Exponentialfunktion für gegebene Argumente und erkennt, wann eine solche Funktion fallend ist.

Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.14 posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

In der 2. Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule bestimmen die Schülerinnen und Schüler Werte von Exponentialfunktionen für konkrete Argumente. Sie verstehen den Zusammenhang zwischen der Basis der Potenz und dem Verhalten der Funktion, wodurch sie angeben können, wann eine Exponentialfunktion fallend und wann wachsend ist.

Die häufigsten Schwierigkeiten treten bei Potenzen mit negativen oder gebrochenen Exponenten auf, insbesondere wenn die Basis der Funktion ein Bruch ist. Schülerinnen und Schüler verwechseln manchmal das Bilden des Kehrwerts mit dem Vorzeichenwechsel oder beurteilen das Monotonieverhalten falsch, da sie vergessen, dass eine Basis im Intervall von null bis eins eine fallende Funktion bedeutet.

Die Aufgaben der Vorlage Wert einer Exponentialfunktion erfordern das Einsetzen der gegebenen Zahl für die Variable und das Durchführen entsprechender Potenzrechnungen. Die Übungen der Vorlage Fallende Exponentialfunktion wiederum bestehen in der Analyse der Basis der Potenz im Funktionsterm und der Beurteilung, ob die Funktion mit wachsenden Argumenten fällt.

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Aufgabentypen: Fallende Exponentialfunktion · Wert einer Exponentialfunktion

Division eines Polynoms durch ein Binom x − a

Der Schüler führt die Division eines Polynoms durch ein Binom der Form x − a durch und bestimmt den Quotienten und den Rest einer solchen Division.

In der 2. Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule dividieren Schüler Polynome durch ein lineares Binom der Form x − a. Im Verlauf der Berechnungen bestimmen sie das Quotientpolynom sowie den Wert des Rests und prüfen, ob das Polynom ohne Rest oder mit einem Zahlenrest teilbar ist.

Das häufigste Problem bei der schriftlichen Division ist das Vertauschen oder Verlieren von Vorzeichen beim Subtrahieren aufeinanderfolgender Terme, insbesondere wenn der zu subtrahierende Term einen negativen Koeffizienten hat. Schüler machen auch oft Fehler, wenn das zu dividierende Polynom nicht alle aufeinanderfolgenden Potenzen enthält – das Vergessen, an der Stelle des fehlenden Grades eine Null einzufügen, führt zu einer falschen Zuordnung gleichartiger Terme.

In der Praxis begegnen Schülern zwei Arten von Aufgaben:

Polynomdivision durch ein Binom — besteht darin, die Division Schritt für Schritt vollständig durchzuführen und das Ergebnis in Form von Quotient und Rest anzugeben;
Rest der Polynomdivision — erfordert die Bestimmung lediglich des Rests bei der Division durch x − a für das angegebene Polynom.

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Aufgabentypen: Rest der Polynomdivision · Polynomdivision durch Linearfaktor

Lösen quadratischer Ungleichungen

Der Schüler löst quadratische Ungleichungen in allgemeiner Form sowie in Produktform und bestimmt die Lösungsmenge korrekt in Form von Zahlenintervallen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.4 rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

In der 10. Klasse lernen die Schülerinnen und Schüler, die Lösungsmengen quadratischer Ungleichungen zu bestimmen. Sie berechnen selbstständig die Nullstellen der entsprechenden quadratischen Funktion oder lesen diese aus der faktorisierten Form ab und skizzieren anschließend den Verlauf der Parabel unter Berücksichtigung ihrer Öffnungsrichtung, um das Intervall der positiven bzw. negativen Werte korrekt abzulesen.

Ein häufiges Problem auf dieser Stufe ist die falsche Bestimmung der Öffnungsrichtung der Parabel, wenn der Koeffizient vor der höchsten Potenz negativ ist, was zum Ablesen des falschen Intervalls führt. Die Lernenden verwechseln zudem häufig geschlossene und offene Klammern, da sie nicht darauf achten, ob es sich um eine strikte Ungleichung (Zeichen <, >) oder eine nicht-strikte Ungleichung (Zeichen ≤, ≥) handelt.

Die Übungsaufgaben umfassen zwei grundlegende Formate:

Quadratische Ungleichung in faktorisierter Form — die Lernenden lesen die Nullstellen direkt aus den Klammern ab, z. B. aus der Form (x - 3)(x + 2) ≥ 0, und bestimmen das Intervall auf der Zahlengeraden;
Quadratische Ungleichung — ein Beispiel in allgemeiner Form, z. B. x² - 4x + 3 < 0, das zunächst eine Umformung des Ausdrucks oder die Berechnung der Diskriminante erfordert, um die Schnittpunkte mit der Achse zu finden.

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Aufgabentypen: Quadratische Ungleichung · Quadratische Ungleichung in Produktform

Gleichungen und Ungleichungen mit Betrag

Der Schüler lernt, Zahlen zu bestimmen, die Gleichungen erfüllen, sowie Lösungsintervalle von Ungleichungen, in denen ein Betrag vorkommt.

Lehrplanpunkt MAT.LO.1.P.7 stosuje interpretację geometryczną i algebraiczną wartości bezwzględnej, rozwiązuje równania typu: |x + 4| = 5

In der 2. Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule löst der Schüler algebraische Aufgaben, bei denen sich ein Ausdruck mit einer Unbekannten unter dem Betragszeichen befindet. Er zerlegt das Problem sicher in Fallunterscheidungen oder nutzt die geometrische Interpretation auf der Zahlengeraden, um konkrete Zahlen zu bestimmen, die die Bedingung erfüllen, oder die Lösungsmenge in Form eines Intervalls anzugeben.

Ein typisches Problem ist das Verwechseln logischer Verknüpfungen beim Aufschreiben von Ungleichungen. Schüler verwenden häufig die Vereinigung von Intervallen anstelle ihrer Schnittmenge (oder umgekehrt), was auf eine Verwechslung der Bedingungen für Kleiner- und Größer-Relationen zurückzuführen ist. Ein häufiger Fehler ist auch das Vergessen der Umkehrung des Ungleichheitszeichens bei der Betrachtung des Falls mit einer negativen Zahl.

Die Arbeit an diesem Thema umfasst die Vorlagen Betragsgleichung und Betragsungleichung. In den Aufgaben formt der Schüler den angegebenen algebraischen Ausdruck um, beseitigt das Betragszeichen und gibt die endgültige Lösung in Form einer Zahlenmenge oder als Zahlenintervall an.

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Aufgabentypen: Betragsgleichung · Betragsungleichung

Lösen von Polynomgleichungen

Der Schüler löst Polynomgleichungen in Produktform sowie biquadratische Gleichungen unter Verwendung einer Hilfsvariablen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.5 rozwiązuje równania wielomianowe postaci W(x) = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej.

In der 2. Klasse von Gymnasium und Fachoberschule erlernen Schülerinnen und Schüler das Bestimmen von Lösungen von Polynomgleichungen höheren als zweiten Grades in konkreten, zugänglichen Fällen. Sie arbeiten mit Ausdrücken in faktorisierter Form (Produktform), wobei sie die Tatsache nutzen, dass ein Produkt gleich null ist, wenn mindestens einer der Faktoren null ist. Zudem lösen sie biquadratische Gleichungen (vierten Grades mit geraden Potenzen), indem sie diese durch Substitution einer neuen Variablen für das Quadrat der Unbekannten auf quadratische Gleichungen zurückführen.

Der häufigste Fehler bei biquadratischen Gleichungen besteht darin, die Rechnung nach dem Bestimmen der Werte der Hilfsvariablen zu beenden und die Rücksubstitution zur ursprünglichen Unbekannten zu vergessen. Gelegentlich wird auch versucht, im Bereich der reellen Zahlen die Quadratwurzel aus negativen Werten der Hilfsvariablen zu ziehen. Bei Gleichungen in Produktform wiederum multiplizieren Schülerinnen und Schüler oft reflexartig die Klammern aus, was die Aufgabe unnötig verkompliziert, anstatt jeden Faktor direkt gleich null zu setzen.

Aufgaben, die diese Fertigkeit überprüfen, basieren auf zwei Schemata:

Polynomgleichung in Produktform — erfordert das Zerlegen des Produkts mehrerer Klammern in einfachere lineare oder quadratische Gleichungen und das Angeben der vollständigen Lösungsmenge.
Biquadratische Gleichung — erfordert eine Variablensubstitution, die Berechnung der Diskriminante der quadratischen Gleichung und die anschließende Bestimmung der endgültigen Werte der Unbekannten.

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Aufgabentypen: Polynomgleichung in Produktform · Biquadratische Gleichung

Lösen von rationalen Gleichungen und Wurzelgleichungen

Der Schüler lernt, den Definitionsbereich zu bestimmen und Gleichungen, die eine Unbekannte im Nenner eines Bruchs oder unter einem Wurzelzeichen enthalten, korrekt zu lösen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.1 przekształca równania i nierówności w sposób równoważny, w tym np. przekształca równoważnie równanie wymierne (przykład w akcie)

In der 2. Klasse des Gymnasiums und Technikums lösen Schülerinnen und Schüler algebraische Gleichungen, bei denen die Unbekannte unter dem Wurzelzeichen oder im Nenner eines Bruchterms steht. Ein Schlüsselelement auf dieser Stufe ist die Bestimmung des Definitionsbereichs, also die Angabe der Zahlen, für die der Ausdruck mathematisch sinnvoll ist – insbesondere der Ausschluss von Werten, die den Nenner zu null machen, sowie die Berücksichtigung der Bedingungen für Wurzeln.

Der häufigste Fehler ist das mechanische Umformen des Ausdrucks, ohne die Anfangsbedingungen zu überprüfen. Die Lernenden vergessen oft den Definitionsbereich oder dass das Quadrieren beider Seiten einer Gleichung zu Scheinlösungen führen kann, weshalb sie als richtige Antwort eine Zahl angeben, die die Ausgangsgleichung in Wirklichkeit nicht erfüllt.

In der Praxis basieren die Übungen auf den Vorlagen Bruchgleichung sowie Wurzelgleichung. Die Schülerinnen und Schüler bearbeiten darin Aufgaben, die im Vereinfachen von Bruchtermen, dem Multiplizieren „über Kreuz“ oder dem Isolieren der Wurzel auf einer Seite der Gleichung bestehen, gefolgt vom Abgleich der erhaltenen Ergebnisse mit dem Definitionsbereich.

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Aufgabentypen: Wurzelgleichung · Bruchgleichung

Scheitelpunkt der Parabel und Scheitelpunktform der Funktion

Der Schüler lernt, die Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel zu bestimmen sowie die Funktionsgleichung einer quadratischen Funktion in Scheitelpunktform aufzustellen und abzulesen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.8 interpretuje współczynniki występujące we wzorze funkcji kwadratowej w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (jeśli istnieje)

Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe II beherrschen das Bestimmen der Scheitelpunktkoordinaten einer Parabel sowie das Arbeiten mit der Scheitelpunktform der quadratischen Funktion. Sie lesen den Scheitelpunkt sicher aus der Formel in der Form y = a(x - p)² + q ab und wandeln auch die allgemeine Form der Funktion in die Scheitelpunktform um.

Die häufigste Schwierigkeit besteht darin, die x-Koordinate des Scheitelpunkts aufgrund des Minuszeichens in der Formel korrekt abzulesen. Lernende verwechseln häufig das Vorzeichen der Zahl in der Klammer: Bei der Angabe (x - 4)² geben sie die x-Koordinate als -4 statt 4 an, und beim Ausdruck (x + 3)² vergessen sie, dass diese Koordinate -3 beträgt.

In der Praxis bestehen die Aufgaben aus den Vorlagen Scheitelpunkt einer Parabel und Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion darin, die Scheitelpunktkoordinaten direkt aus einer vorgegebenen Funktionsgleichung abzulesen, sie anhand der allgemeinen Form zu berechnen oder eigenständig die Funktionsgleichung einer Funktion mit einem bestimmten Scheitelpunkt aufzustellen.

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Aufgabentypen: Scheitelpunkt einer Parabel · Scheitelpunktform

Kleinster und größter Wert einer Funktion in einem Intervall

Der Schüler lernt, den größten sowie den kleinsten Wert einer quadratischen Funktion in einem gegebenen abgeschlossenen Intervall zu bestimmen, indem er den Scheitelpunkt der Parabel und die Intervallgrenzen überprüft.

Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.10 wyznacza największą i najmniejszą wartość funkcji kwadratowej w przedziale domkniętym
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.11 wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

In der 2. Klasse der weiterführenden Schule lernen die Schülerinnen und Schüler, den kleinsten und größten Wert einer quadratischen Funktion in einem vorgegebenen abgeschlossenen Intervall zu bestimmen. Sie analysieren den Funktionsterm, berechnen die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel und prüfen, ob dieser innerhalb des angegebenen Intervalls liegt, und vergleichen anschließend die an den Intervallgrenzen sowie im Scheitelpunkt angenommenen Werte.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Funktionswerte mechanisch nur an den Intervallgrenzen zu berechnen und dabei den Scheitelpunkt der Parabel zu übergehen, an dem die Funktion ihr tatsächliches Extremum annehmen kann. Es kommt auch der umgekehrte Fehler vor: Man gibt automatisch den Wert im Scheitelpunkt an und vergisst zu prüfen, ob dessen x-Koordinate überhaupt im vorgegebenen Intervall liegt.

Aufgaben aus diesem Bereich entsprechen den Vorlagen Größter Wert im Intervall sowie Kleinster Wert im Intervall. Die Schülerinnen und Schüler erhalten den Funktionsterm einer quadratischen Funktion sowie ein bestimmtes Zahlenintervall; ihr Ziel ist es, eine einzelne Zahl anzugeben, die den kleinsten oder größten Wert der Funktion innerhalb dieser Grenzen darstellt.

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Aufgabentypen: Größter Wert im Intervall · Kleinster Wert im Intervall

Erkennen der Katheten bezüglich eines Winkels

Der Schüler bestimmt die dem gegebenen spitzen Winkel gegenüberliegende Kathete sowie die an diesem Winkel anliegende Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck.

Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.4 oblicza kąty trójkąta prostokątnego i długości jego boków przy odpowiednich danych (rozwiązuje trójkąty prostokątne, w tym z wykorzystaniem funkcji trygonometrycznych).

In der 2. Klasse der weiterführenden Schule erlernen die Schülerinnen und Schüler das korrekte Bestimmen der Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck in Bezug auf einen ausgewählten spitzen Winkel. Sie unterscheiden präzise, welche Kathete den jeweiligen Winkel bildet (an ihm anliegt) und welche sich auf seiner gegenüberliegenden Seite befindet, was ein unverzichtbarer Schritt für die Definition der trigonometrischen Funktionen ist.

Ein typischer Fehler ist die Verwechslung der Ankathete mit der Gegenkathete des jeweiligen Winkels. Diese Schwierigkeit verstärkt sich insbesondere dann, wenn das Dreieck in einer ungewohnten Lage (gedreht) gezeichnet ist und der Lernende versucht, die Seiten anhand ihrer vertikalen oder horizontalen Ausrichtung auf dem Papier zu beurteilen, anstatt ihre Lage bezüglich des Scheitelpunkts des Winkels zu überprüfen.

Die Aufgaben in diesem Bereich sind grafisch aufgebaut und bestehen in der Analyse der Abbildung eines rechtwinkligen Dreiecks mit markiertem Winkel. Die Schülerinnen und Schüler lösen Übungen wie:

Ankathete — Auffinden und Benennen der dem angegebenen Winkel anliegenden Seite,
Gegenkathete — Bestimmen der dem vorgegebenen spitzen Winkel gegenüberliegenden Seite.

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Aufgabentypen: Ankathete · Gegenkathete

Berechnung von Kosinus und Tangens aus dem bekannten Sinus

Der Schüler bestimmt den Wert des Kosinus sowie des Tangens eines Winkels unter Verwendung des Sinus und trigonometrischer Identitäten.

Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.2 korzysta z wzorów sin²α + cos²α = 1, tg α = sin α / cos α

In der 2. Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule wenden Schüler grundlegende trigonometrische Identitäten an: die Beziehung sin²α + cos²α = 1 (den trigonometrischen Pythagoras) sowie die Definition des Tangens als Quotient tan α = sin α / cos α. Wenn der numerische Wert des Sinus eines Winkels gegeben ist (oft als gewöhnlicher Bruch dargestellt), können sie den entsprechenden Kosinuswert sicher berechnen und anschließend den Tangens bestimmen.

Ein typisches Problem sind Rechenfehler beim Umformen der Gleichung: fehlerhaftes Quadrieren von Brüchen (beispielsweise das Vergessen, den Nenner zu quadrieren) oder Schwierigkeiten beim Vereinfachen und Ziehen der Wurzel aus dem erhaltenen Ergebnis. Bei der Bestimmung des Tangens machen Schüler zudem Fehler bei der Division durch einen Bruch, indem sie vergessen, mit dessen Kehrwert zu multiplizieren.

Die Übungen in diesem Bereich basieren auf folgenden Schemata:

Kosinus aus Sinus — besteht darin, den bekannten Sinuswert in den trigonometrischen Pythagoras einzusetzen, ihn von eins zu subtrahieren und aus dem Ergebnis die Wurzel zu ziehen;
Tangens aus Sinus — der Schüler bestimmt zuerst den Kosinus und berechnet im nächsten Schritt den Wert des Tangens, indem er den gegebenen Sinus durch den berechneten Kosinus dividiert.

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Aufgabentypen: Kosinus aus dem Sinus · Tangens aus dem Sinus

Fläche des Kreissektors und Bogenlänge

Der Schüler berechnet die Länge des Kreisbogens und den Flächeninhalt des Kreissektors anhand des gegebenen Radius und der Größe des Mittelpunktswinkels.

Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.6 stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu

In der 2. Klasse von Gymnasium und Fachoberschule bestimmen die Schülerinnen und Schüler Maße von Teilen eines Kreises und einer Kreislinie. Anhand des angegebenen Radius und des in Grad ausgedrückten Mittelpunktswinkels berechnen sie, welchen Teil des gesamten Umfangs der Bogen ausmacht und welchen Teil der gesamten Kreisfläche der jeweilige Kreisausschnitt einnimmt.

Ein typischer Fehler auf dieser Stufe ist das Verwechseln der Formeln: das Quadrieren des Radius bei der Berechnung der Bogenlänge (anstelle der Umfangsformel) oder die Verwendung des doppelten Radius statt des Quadrats bei der Berechnung des Flächeninhalts des Kreisausschnitts. Zudem wird bei den Umformungen oft die Konstante π vergessen oder es entstehen Rechenfehler beim Kürzen des Bruchs mit dem Winkelmaß durch 360 Grad.

Aufgaben zur Vertiefung dieser Fähigkeit gibt es in zwei Formen:

Bogenlänge – die Schülerinnen und Schüler berechnen die Länge des vorgegebenen Kreisbogens für einen gegebenen Radius und Mittelpunktswinkel.
Flächeninhalt des Kreisausschnitts – die Übung besteht darin, den Flächeninhalt eines Kreissektors mit den angegebenen Parametern zu berechnen.

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Aufgabentypen: Bogenlänge · Fläche eines Kreisausschnitts

Umfangswinkel und Mittelpunktswinkel im Kreis

Der Schüler berechnet das Maß des Umfangswinkels anhand des Mittelpunktswinkels über demselben Bogen und bestimmt das Maß des Mittelpunktswinkels, wenn das Maß des entsprechenden Umfangswinkels bekannt ist.

Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.5 stosuje własności kątów wpisanych i środkowych

In der 2. Klasse der Sekundarstufe II nutzen Schülerinnen und Schüler eine grundlegende planimetrische Beziehung am Kreis: Das Maß des Mittelpunktswinkels ist doppelt so groß wie das Maß des Umfangswinkels über demselben Bogen. In der Praxis bedeutet dies das sichere Durchführen einfacher Rechnungen – das Multiplizieren oder Dividieren eines gegebenen Winkelmaßes in Grad mit bzw. durch 2.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Richtung dieser Beziehung zu verwechseln und durch zwei zu teilen, wo multipliziert werden müsste (oder umgekehrt), was zu einem unlogischen Ergebnis führt, bei dem der Umfangswinkel größer als der Mittelpunktswinkel wird. Schülerinnen und Schüler haben manchmal auch Schwierigkeiten, anhand der Zeichnung sicherzugehen, ob beide Winkel tatsächlich über genau demselben Kreisbogen liegen.

Aufgaben aus diesem Bereich basieren auf zwei klaren Rechenschemata:

Mittelpunktswinkel aus dem Umfangswinkel – Auf der Grundlage des gegebenen Maßes des Umfangswinkels (z. B. 35°) bestimmt man das Maß des Mittelpunktswinkels durch Multiplikation des Wertes mit 2;
Umfangswinkel aus dem Mittelpunktswinkel – Man erhält das Maß des Mittelpunktswinkels (z. B. 110°) und berechnet den zugehörigen Umfangswinkel, indem man diesen Wert halbiert.

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Aufgabentypen: Mittelpunktswinkel aus dem Umfangswinkel · Umfangswinkel aus dem Mittelpunktswinkel

Berechnung der Länge der Sehne und des Tangentenabschnitts

Der Schüler berechnet die Längen von Sehnen und Tangentenabschnitten an einen Kreis unter Verwendung der Eigenschaften des Radius, von Winkeln und rechtwinkligen Dreiecken.

Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.1 wyznacza promienie i średnice okręgów, długości cięciw okręgów oraz odcinków stycznych, w tym z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa

Schülerinnen und Schüler der 2. Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule bestimmen Längen von Sehnen und Tangentenabschnitten an einen Kreis. Bei geometrischen Berechnungen verknüpfen sie Angaben zum Kreisradius und zu Punktabständen, indem sie rechtwinklige Dreiecke nutzen, die sich aus der Anordnung von Kreis und Geraden ergeben.

Ein häufiges Problem ist das Übersehen der Tatsache, dass der Radius zum Berührpunkt immer senkrecht auf der Tangente steht, was das korrekte Aufstellen einer Gleichung mit dem Satz des Pythagoras verhindert. Bei Aufgaben zu Sehnen machen Schülerinnen und Schüler zudem Fehler, weil sie vergessen, dass eine vom Kreismittelpunkt senkrecht auf die Sehne gefällte Strecke diese in zwei gleiche Teile teilt.

Die Übungen basieren auf zwei Arten von Aufgaben:

Sehnenlänge — Die Schülerinnen und Schüler berechnen die Sehnenlänge anhand des Kreisradius und ihres Abstands zum Mittelpunkt oder bestimmen den fehlenden Radius bei gegebener Sehne,
Tangentenabschnitt — Die Aufgabe verlangt die Bestimmung des Abstands von einem äußeren Punkt zum Berührpunkt am Kreis bei gegebenem Abstand zum Kreismittelpunkt und bekanntem Radius.

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Aufgabentypen: Länge des Tangentenabschnitts · Länge einer Sehne

Inkreis und Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks

Der Schüler berechnet den Radius des Inkreises und des Umkreises eines rechtwinkligen Dreiecks anhand der Längen seiner Seiten.

Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.10 wskazuje podstawowe punkty szczególne w trójkącie: środek okręgu wpisanego w trójkąt, środek okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości oraz korzysta z ich własności

In der 2. Klasse nutzt der Schüler die Eigenschaften des rechtwinkligen Dreiecks, um die Radien der dazugehörigen Kreise zu bestimmen. Er erkennt und verwendet eine grundlegende geometrische Beziehung: Die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleichzeitig der Durchmesser seines Umkreises, wodurch sich der Radius unmittelbar als die Hälfte ihrer Länge bestimmen lässt. Gleichzeitig berechnet der Schüler den Inkreisradius, indem er die Längen der Katheten und der Hypotenuse durch eine entsprechende algebraische Beziehung verknüpft oder den Flächeninhalt des Dreiecks mit seinem Umfang in Beziehung setzt.

Das häufigste Problem ist das mechanische Verwechseln der Formeln für den Umkreis- und den Inkreisradius sowie Fehler bei der Unterscheidung von Katheten und Hypotenuse. Schwierigkeiten bereiten auch Situationen, in denen in der Aufgabenstellung nur zwei Dreiecksseiten gegeben sind – der Schüler vergisst dann oft, dass die fehlende Seite zuvor mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden muss.

Aufgaben, die diese Fähigkeit überprüfen, treten in zwei klaren Varianten auf: Umkreisradius eines rechtwinkligen Dreiecks und Inkreisradius eines rechtwinkligen Dreiecks. In den Übungen sind dem Schüler die Seitenlängen (oder zwei davon) vorgegeben, und er bestimmt oder berechnet den genauen Wert des gesuchten Radius.

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Aufgabentypen: Inkreisradius im rechtwinkligen Dreieck · Umkreisradius im rechtwinkligen Dreieck

Optimierungsaufgaben: maximaler Flächeninhalt

Der Schüler lernt, die Abmessungen eines Rechtecks oder Geheges zu bestimmen, die den größtmöglichen Flächeninhalt ergeben, indem er die Eigenschaften des Scheitelpunkts einer Parabel bei einer quadratischen Funktion nutzt.

Lehrplanpunkt MAT.LO.13.P.1 rozwiązuje zadania optymalizacyjne w sytuacjach dających się opisać funkcją kwadratową.
Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.11 wykorzystuje własności funkcji liniowej i kwadratowej do interpretacji zagadnień geometrycznych, fizycznych itp., także osadzonych w kontekście praktycznym

In der 10. Klasse kann der Schüler ein geometrisches Problem mithilfe einer quadratischen Funktion beschreiben und deren Maximalwert bestimmen. Auf dieser Stufe wandelt er die Aufgabenstellung in eine Gleichung um, die den Flächeninhalt der Figur in Abhängigkeit von der Länge einer der Seiten beschreibt, und bestimmt anschließend – mithilfe der Scheitelpunktkoordinaten der Parabel – die optimalen Maße.

Ein häufiger Fehler besteht darin, die Rahmenbedingungen der Aufgabe nicht zu berücksichtigen, beispielsweise wenn das Grundstück an eine Mauer grenzt und nicht an allen Seiten eingezäunt werden muss. Die Schüler wenden dann reflexartig die Standardformel für den Umfang eines Rechtecks mit vier Seiten an, anstatt nur die drei einzuzäunenden Abschnitte zu addieren, wodurch sie einen falschen Funktionsterm aufstellen und zu einem fehlerhaften Endergebnis gelangen.

In der Praxis begegnen den Schülern Textaufgaben mit praktischem Anwendungsbezug wie zum Beispiel:

Rechteck mit maximalem Flächeninhalt – Bestimmung der Seitenlängen eines Grundstücks bei vorgegebener Gesamtlänge des Maschendrahtzauns;
Gehege an einer Mauer mit maximalem Flächeninhalt – Planung einer rechteckigen Fläche unter Nutzung einer bestehenden Gebäudewand, bei der die Umzäunung nur an drei Seiten errichtet wird.

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Aufgabentypen: Gehege an der Mauer mit größter Fläche · Rechteck mit größtem Flächeninhalt

Lösen von Exponentialgleichungen mit gleicher Basis

Der Schüler kann beide Seiten einer Exponentialgleichung auf dieselbe Basis bringen und ihre Exponenten gleichsetzen, um die Unbekannte zu bestimmen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.14 posługuje się funkcjami wykładniczą i logarytmiczną, w tym ich wykresami, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z zastosowaniami praktycznymi.

In der 2. Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule lernen Schülerinnen und Schüler die Methode zum Lösen von Gleichungen kennen, bei denen die Unbekannte im Exponenten einer Potenz steht. Diese Fertigkeit besteht darin, beide Seiten der Gleichung so umzuformen, dass Potenzen mit derselben Basis entstehen (z. B. das Darstellen von Zahlen als Potenzen zur Basis 2, 3 oder als Brüche). Wenn die Basen identisch sind, vergleicht man die Exponenten und bestimmt den Wert der gesuchten Variablen.

Ein häufiges Problem auf dieser Stufe sind Fehler bei der Anwendung der Potenzgesetze – insbesondere das Verwechseln der Multiplikation von Potenzen mit dem Potenzieren einer Potenz (z. B. das Addieren von Exponenten anstelle ihrer Multiplikation). Schülerinnen und Schüler versuchen mitunter auch, die Basen voreilig „wegzulassen“, bevor sie beide Seiten der Gleichung auf die Form einzelner Potenzen mit exakt derselben Basis gebracht haben.

In der Praxis erfordern die Aufgaben aus der Vorlage Exponentialgleichung das Lösen einer Gleichung, bei der auf beiden Seiten Potenzterme stehen. Die Lernenden bringen die Zahlen auf eine gemeinsame Basis, stellen aus den erhaltenen Exponenten eine einfache lineare Gleichung auf und berechnen das Endergebnis.

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Koeffizienten in der Binomialentwicklung

Der Schüler lernt, konkrete numerische Koeffizienten bei Potenzen der Variablen in der Entwicklung einer Binomialpotenz mithilfe des binomischen Lehrsatzes zu bestimmen.

Der Schüler wendet den binomischen Lehrsatz an, um bestimmte numerische Koeffizienten in der Entwicklung einer Binomialpotenz zu ermitteln. Anstatt die Klammern mehrfach miteinander zu multiplizieren, kann er den numerischen Wert bei einer ausgewählten Potenz der Variablen mithilfe des Binomialkoeffizienten direkt bestimmen und berechnen.

Ein häufiger Fehler besteht darin, die Koeffizienten vor der Variablen innerhalb der Klammer nicht zu berücksichtigen. Die Schüler konzentrieren sich oft auf die Berechnung des Binomialkoeffizienten und vergessen dabei, dass der gesamte Term potenziert werden muss – wird beispielsweise der Ausdruck 2x potenziert, müssen sowohl die Zahl 2 als auch die Unbekannte potenziert werden. Eine Schwierigkeit bereitet auch die korrekte Berücksichtigung der Minuszeichen bei der Subtraktion von Termen in der Klammer.

In den Aufgaben der Vorlage Koeffizient in der Binomialentwicklung erhält der Schüler eine Binomialpotenz und bestimmt den Koeffizienten vor der angegebenen Potenz der Variablen, ohne alle übrigen Terme ausschreiben zu müssen.

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Lösen von Polynomungleichungen

Der Schüler löst Polynomungleichungen, indem er deren Nullstellen bestimmt und die entsprechenden Zahlenintervalle von der Zahlengeraden abliest.

In der 2. Klasse der gymnasialen Oberstufe und Fachoberschule geht der Schüler von quadratischen Ungleichungen zu Polynomungleichungen höheren Grades über. Er zerlegt das Polynom in Faktoren, bestimmt dessen Nullstellen, trägt diese auf der Zahlengerade ein und skizziert einen vereinfachten Graphen, um festzustellen, für welche Zahlen der Ausdruck positive oder negative Werte annimmt.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Vielfachheit der Nullstellen beim Skizzieren des Graphen auf der Achse nicht zu berücksichtigen. Schüler neigen dazu, die Achse an jeder Nullstelle mechanisch zu schneiden, und vergessen dabei, dass der Graph bei Nullstellen gerader Vielfachheit an der Achse „abprallt“ und sich das Vorzeichen des Polynoms an dieser Stelle nicht ändert.

Eine typische Aufgabe aus der Vorlage Polynomungleichung besteht darin, alle Zahlen zu finden, die die gegebene Ungleichung erfüllen (häufig direkt in faktorisierter Form angegeben oder ein einfaches Gruppieren von Termen erfordernd), und das Ergebnis korrekt in Form eines Intervalls oder einer Vereinigung von Intervallen anzugeben.

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Lösen quadratischer Gleichungen

Der Schüler lernt, die Lösungen quadratischer Gleichungen mithilfe der Lösungsformeln und der Diskriminante Delta oder durch Faktorisierung des Ausdrucks zu bestimmen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.3.P.4 rozwiązuje równania i nierówności kwadratowe

In der 2. Klasse des Gymnasiums und Technikums löst der Schüler quadratische Gleichungen in allgemeiner sowie unvollständiger Form. Auf der Grundlage der numerischen Koeffizienten berechnet er die Diskriminante der Gleichung (Delta), bestimmt die Anzahl der reellen Lösungen und ermittelt deren Werte anschließend präzise mithilfe von Standardformeln oder algebraischen Umformungen.

Der häufigste Fehler sind Vorzeichenfehler bei der Berechnung von Delta, insbesondere wenn der Koeffizient c oder b eine negative Zahl ist. Bei unvollständigen Gleichungen teilen Schüler häufig beide Seiten durch die Unbekannte, was zum unwiderruflichen Verlust einer der Lösungen (meist der Null) führt, anstatt einen gemeinsamen Faktor auszuklammern.

Die Aufgaben aus der Vorlage Quadratische Gleichung bestehen darin, den gegebenen Ausdruck in eine geordnete Form zu bringen und alle Lösungen aus der Menge der reellen Zahlen zu bestimmen oder korrekt zu begründen, dass keine solchen Lösungen existieren.

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Verschiebung des Funktionsgraphen

Der Schüler lernt, Funktionsgraphen zu skizzieren, die durch Verschiebung entlang der Achsen des Koordinatensystems entstehen, und deren neue Funktionsgleichungen zu bestimmen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.12 na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x − a), y = f(x) + b

In der 2. Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule beherrscht der Schüler die Transformation von Funktionsgraphen durch deren Parallelverschiebung entlang der Achsen des Koordinatensystems. Er kann den Graphen einer Grundfunktion vertikal (um eine vorgegebene Anzahl an Einheiten nach oben oder unten) sowie horizontal (nach links oder rechts) verschieben und diese Bewegung mit der Veränderung des Funktionsterms verknüpfen.

Die häufigste Schwierigkeit besteht in der korrekten Interpretation der horizontalen Verschiebung. Schüler verwechseln häufig die Richtungen entlang der horizontalen Achse und verschieben den Graphen der Funktion f(x - p) nach links statt nach rechts, da sie das Minuszeichen instinktiv mit der negativen Achsenrichtung assoziieren.

Die Aufgaben aus der Vorlage Verschiebung des Funktionsgraphen bestehen darin, den transformierten Graphen anhand eines vorgegebenen Funktionsterms zu skizzieren oder aus der Abbildung abzulesen, um wie viele Einheiten und in welche Richtung der Ausgangsgraph verschoben wurde, und anschließend die neu entstandene Funktionsgleichung aufzustellen.

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Bestimmung der Schnittpunkte einer Geraden und einer Parabel

Der Schüler lernt, die Schnittpunkte einer Geraden und einer Parabel durch algebraisches Lösen eines Systems aus einer linearen und einer quadratischen Gleichung zu bestimmen.

In der 2. Klasse verknüpft der Schüler die analytische Geometrie mit der Algebra, indem er Systeme aus einer linearen und einer quadratischen Gleichung löst. Er stellt selbstständig eine Variable aus der Geradengleichung um und setzt sie in die Parabelgleichung ein, wodurch das Problem auf eine quadratische Gleichung mit einer Unbekannten zurückgeführt wird, die er mithilfe der Diskriminante (Delta) löst.

Ein typischer Fehler auf dieser Stufe besteht darin, nach der Bestimmung der Unbekannten x aufzuhören. Die Schüler finden zwar die Lösungen der quadratischen Gleichung korrekt, vergessen jedoch, die entsprechenden y-Werte zu berechnen, wodurch sie nicht die vollständigen Koordinaten des Punktes angeben. Häufig treten auch Vorzeichenfehler beim Übertragen aller Terme auf eine Seite der Gleichung auf.

Die Aufgaben der Vorlage Schnittpunkte von Parabel und Gerade bestehen darin, Zahlenpaare (Punktkoordinaten), in denen sich die Graphen der gegebenen Funktionen schneiden, algebraisch zu bestimmen. Der Schüler überprüft, ob die Gerade die Parabel in zwei Punkten schneidet, sie in einem Berührpunkt berührt oder ob die Graphen keine gemeinsamen Punkte haben.

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Berechnung von Funktionswerten einer quadratischen Funktion

Der Schüler lernt, den Wert einer quadratischen Funktion für ein gegebenes Argument zu berechnen, indem er Zahlen korrekt in die Formel einsetzt und die Rechnungen ausführt.

Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.2 oblicza wartość funkcji zadanej wzorem algebraicznym

Auf dieser Stufe kann der Schüler den Funktionswert einer in der allgemeinen Form gegebenen quadratischen Funktion für ein bestimmtes Argument bestimmen. Die Aufgabe erfordert das Einsetzen der angegebenen Zahl anstelle der Variablen x, das Quadrieren dieser Zahl, die Multiplikation mit den Koeffizienten sowie die Addition und Subtraktion der erhaltenen Terme.

Der häufigste Fehler ist das Verwechseln der Rechenreihenfolge sowie das falsche Potenzieren negativer Zahlen. Schüler vergessen oft die Klammern bei einem negativen Argument und schreiben beispielsweise -3² = 9 statt (-3)² = 9. Es kommt auch vor, dass sie das Argument zuerst mit dem Koeffizienten vor der höchsten Potenz multiplizieren und erst danach das Produkt quadrieren.

Bei den Aufgaben aus der Vorlage Wert einer quadratischen Funktion erhält der Schüler die Funktionsgleichung sowie eine konkrete Zahl und soll das Ergebnis berechnen, zum Beispiel den Funktionswert von f(x) = 2x² - 5x + 1 für x = -2 bestimmen.

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Graph und Eigenschaften der Funktion f(x) = a/x

Der Schüler zeichnet den Graphen der Funktion f(x) = a/x, bestimmt ihren Definitionsbereich und liest grundlegende Eigenschaften der Hyperbel in Abhängigkeit vom Vorzeichen des Koeffizienten a ab.

Lehrplanpunkt MAT.LO.5.P.13 posługuje się funkcją f(x) = a/x, w tym jej wykresem, do opisu i interpretacji zagadnień związanych z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi, również w zastosowaniach praktycznych

Auf dieser Stufe arbeitet der Schüler mit der Grundform der antiproportionalen Zuordnung, also der Funktion f(x) = a/x für eine feste Zahl a ≠ 0. Er kann den Definitionsbereich der Funktion bestimmen (unter Berücksichtigung der Bedingung x ≠ 0), eine Wertetabelle für ausgewählte positive und negative Zahlen erstellen und anschließend den Graphen – eine Hyperbel – skizzieren. Anhand der Funktionsgleichung oder des Graphen bestimmt er die Wertemenge sowie das Monotonieverhalten in den Intervallen und gibt die Quadranten des Koordinatensystems an, in denen die Äste des Graphen liegen.

Ein typischer Fehler ist das mechanische Verbinden beider Hyperbeläste zu einer durchgehenden Linie, die die y-Achse schneidet, was darauf zurückzuführen ist, dass die Null fälschlicherweise nicht aus dem Definitionsbereich der Funktion ausgeschlossen wird. Schüler haben auch Schwierigkeiten, das Monotonieverhalten korrekt zu bestimmen: Sie beschreiben die Funktion fälschlicherweise als im gesamten Definitionsbereich fallend anstatt in zwei getrennten Intervallen und verwechseln zudem die Lage der Graphenäste bei einem negativen Koeffizienten a.

In den Aufgaben der Vorlage Funktion f(x) = a/x vervollständigt der Schüler meist eine Wertetabelle und skizziert den Graphen für einen konkreten Zahlenparameter, bestimmt die Funktionsgleichung anhand der Koordinaten eines auf der Hyperbel liegenden Punktes oder liest aus dem Graphen die Argumente ab, für die die Funktion bestimmte Werte annimmt.

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Exakte Werte der trigonometrischen Funktionen

Der Schüler bestimmt die exakten Werte von trigonometrischen Funktionen für typische Winkel unter Verwendung von Reduktionsformeln und den Eigenschaften der Funktionen in den einzelnen Quadranten.

Lehrplanpunkt MAT.LO.7.P.1 wykorzystuje definicje funkcji: sinus, cosinus i tangens dla kątów od 0° do 180°, w szczególności wyznacza wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów 30°, 45°, 60°

In der 2. Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule lernen Schülerinnen und Schüler, die exakten Werte von Sinus, Kosinus oder Tangens für stumpfe Winkel und Winkel größer als 90° zu bestimmen. Mithilfe von Reduktionsformeln führen sie die Berechnungen für solche Winkel auf die bekannten Werte spitzer Winkel zurück (vor allem 30°, 45° sowie 60°).

Das häufigste Problem bei diesen Berechnungen ist die Bestimmung des richtigen Vorzeichens des Ergebnisses (Plus oder Minus). Schülerinnen und Schüler verwechseln oft den Quadranten, in dem der gegebene Winkel liegt, oder bestimmen das Vorzeichen anhand der nach der Reduktion erhaltenen Funktion statt der Ausgangsfunktion.

Eine typische Übung aus der Vorlage Exakter Wert der trigonometrischen Funktion besteht darin, den genauen Wert (angegeben als Bruch oder Wurzel, ohne Dezimalnäherungen) für einen vorgegebenen Winkel wie beispielsweise 120°, 225° oder 300° anzugeben.

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Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms mithilfe des Sinus

Der Schüler berechnet den Flächeninhalt eines Parallelogramms unter Verwendung der Längen zweier benachbarter Seiten und des Sinus des Winkels zwischen ihnen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.12 stosuje funkcje trygonometryczne do wyznaczania długości odcinków w figurach płaskich oraz obliczania pól figur.

In der 10. Klasse verknüpfen die Schülerinnen und Schüler ihr Wissen über ebene Figuren mit der Trigonometrie. Sie können den Flächeninhalt eines Parallelogramms mithilfe der Formel berechnen, die auf den Längen zweier benachbarter Seiten und dem Sinus des eingeschlossenen Winkels basiert: A = a · b · sin(α).

Ein typischer Fehler auf dieser Stufe ist das direkte Einsetzen des Winkelmaßes in die Formel, anstatt den Wert seines Sinus zu verwenden (beispielsweise die Multiplikation mit 60 statt mit sin 60°). Schülerinnen und Schüler haben mitunter auch Schwierigkeiten bei stumpfwinkligen Parallelogrammen, da sie vergessen, dass der Sinus eines stumpfen Winkels gleich dem Sinus seines Ergänzungswinkels zu 180° ist.

Die Aufgaben der Vorlage Flächeninhalt des Parallelogramms mit Sinus erfordern die Berechnung des Flächeninhalts der Figur bei gegebenen Seitenlängen und bekanntem Winkelmaß (meist mit typischen Werten wie 30°, 45°, 60° oder 120°) oder die Bestimmung einer fehlenden Seitenlänge, wenn der Flächeninhalt des Parallelogramms gegeben ist.

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Flächeninhalte und Umfänge ähnlicher Figuren

Der Schüler lernt, den Flächeninhalt oder den Umfang einer ähnlichen Figur mithilfe des Ähnlichkeitsfaktors und seines Quadrats zu bestimmen.

Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.9 wykorzystuje zależności między obwodami oraz między polami figur podobnych

In der 2. Klasse des Gymnasiums und der Fachoberschule nutzt der Schüler die Beziehungen zwischen ähnlichen Figuren, um deren Maße zu berechnen. Er wendet den Ähnlichkeitsfaktor k sicher an und nutzt dabei das Prinzip, dass das Verhältnis der Umfänge der Figuren gleich k ist und das Verhältnis ihrer Flächeninhalte k² beträgt.

Der häufigste Fehler besteht darin, den Flächeninhalt einer Figur direkt mit dem Faktor k statt mit dessen Quadrat zu multiplizieren. Schüler übertragen die Regel für Seitenlängen und Umfänge oft mechanisch auf den Flächeninhalt, was zu falschen Ergebnissen führt.

In einer typischen Aufgabe aus der Vorlage Flächeninhalt einer ähnlichen Figur kennt der Schüler den Flächeninhalt einer der Figuren sowie den Ähnlichkeitsfaktor (oder die Längen einander entsprechender Seiten) und bestimmt auf dieser Grundlage den Flächeninhalt der zweiten, vergrößerten oder verkleinerten Figur.

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Berechnung von Streckenlängen mit dem Satz des Thales

Der Schüler wendet den Strahlensatz an, um fehlende Streckenlängen auf Geraden zu berechnen, die von parallelen Geraden geschnitten werden.

Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.7 stosuje twierdzenie Talesa

In der 2. Klasse des Lyzeums und Technikums wendet der Schüler den Strahlensatz bei Aufgaben zur Planimetrie an. Auf der Grundlage der Verhältnisse zwischen den Strecken, die von parallelen Geraden auf den Geraden gebildet werden, stellt er entsprechende Proportionen auf und bestimmt unbekannte Längen.

Der häufigste Fehler ist das fehlerhafte Zuordnen der Strecken in der Proportion, insbesondere wenn die Aufgabe Längen von Strecken auf den parallelen Geraden betrifft. Die Schüler verwechseln dabei die auf den Schenkeln des Winkels liegenden Teilabschnitte mit den gesamten Schenkeln, indem sie den zwischen den Parallelen liegenden Abschnitt anstelle des vom Scheitelpunkt des Winkels aus gemessenen Abschnitts vergleichen.

Die Aufgaben aus der Vorlage Strahlensatz enthalten eine Zeichnung, die einen Winkel oder sich schneidende Geraden darstellt, die von parallelen Geraden geschnitten werden. Anhand der angegebenen Längen eines Teils der Strecken stellt der Schüler eine Verhältnisgleichung auf und berechnet den fehlenden Wert.

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Determining the type of triangle from side lengths

Lehrplanpunkt MAT.LO.8.P.2 rozpoznaje trójkąty ostrokątne, prostokątne i rozwartokątne przy danych długościach boków (m.in. stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów); stosuje twierdzenie: w trójkącie naprzeciw większego kąta wewnętrznego leży dłuższy bok

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Exponentialgleichung

Mathematik — Klasse 10

Was lernt ein Schüler in Mathematik in der 2. Klasse des Gymnasiums?

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