Programa escolar (Estados Unidos)

Matemáticas — 12.º curso

Matemáticas de 12.º grado según los Estándares Estatales Comunes, generalmente Precálculo: números complejos en forma polar, vectores, matrices y sistemas de ecuaciones, valores trigonométricos, valor esperado y probabilidad binomial. Cada tema incluye hojas de ejercicios imprimibles.

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¿Qué aprenden los estudiantes en matemáticas de 12.° grado?

En 12.º grado, los estudiantes escriben números complejos en forma polar y hallan su módulo y conjugado, suman y escalan vectores y calculan productos escalares, y multiplican e invierten matrices de 2×2 para resolver sistemas de ecuaciones. Hallan valores trigonométricos exactos y calculan valores esperados y probabilidades binomiales. La mayoría de estos son estándares (+) para estudiantes que se preparan para cálculo.

Acerca de los estándares: los estándares de secundaria de Common Core están organizados por categoría conceptual (Número y cantidad, Álgebra, Funciones, Geometría, Estadística y probabilidad), no por grado. La asignación de un tema a un grado es decisión nuestra, siguiendo la secuencia habitual de cursos: Álgebra I, Geometría, Álgebra II y Precálculo. Los estándares marcados con (+) van más allá del núcleo de preparación para la universidad y la carrera profesional.

Estado de la página: los temas de este grado están listos como ejercicios simples (instrucción y fórmula); a continuación se agregarán problemas con diagramas y problemas verbales.

Alcance del currículo

Punto del currículo HSN-CN · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

El sistema de los números complejos

nuestra traducción · texto original (EN): The Complex Number System

CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Complex Number System (HSN-CN)
Punto del currículo HSN-CN.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Realizar operaciones aritméticas con números complejos.

nuestra traducción · texto original (EN): Perform arithmetic operations with complex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster A
Punto del currículo HSN-CN.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Representar números complejos y sus operaciones en el plano complejo.

nuestra traducción · texto original (EN): Represent complex numbers and their operations on the complex plane.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster B
Punto del currículo HSN-CN.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Hallar el conjugado de un número complejo; usar conjugados para hallar módulos y cocientes de números complejos.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Find the conjugate of a complex number; use conjugates to find moduli and quotients of c omplex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.3

Conjugados complejos, módulo y división (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-CN.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Representar números complejos en el plano complejo en forma rectangular y polar (incluyendo números reales e imaginarios), y explicar por qué las formas rectangular y polar de un número complejo dado representan el mismo número.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Represent complex numbers on the complex plane in rectangular and polar f orm (including real and imaginary numbers), and explain why the rectangular and polar forms of a given complex number represent the same number.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.4

Formas polar y rectangular de números complejos (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-CN.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Representar la suma, la resta, la multiplicación y la conjugación de números complejos geométricamente en el plano complejo; usar las propiedades de esta representación para el cálculo. Por ejemplo, (–1 + √3 i)3 = 8 porque (–1 + √3 i) tiene módulo 2 y argumento 120°.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Represent addition, subtraction, multiplication, and conjugation of c omplex numbers geometrically on the complex plane; use properties of this representation for computation. For example, (–1 + √3 i)3 = 8 because (–1 + √3 i) has modulus 2 and argument 120°.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.5
Punto del currículo HSN-CN.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Calcular la distancia entre números en el plano complejo como el módulo de la diferencia, y el punto medio de un segmento como el promedio de los números en sus extremos.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Calculate the distance between numbers in the complex plane as the modulus of the diff erence, and the midpoint of a segment as the average of the numbers at its endpoints.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.6

Conjugados complejos, módulo y división (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Cantidades vectoriales y matriciales

nuestra traducción · texto original (EN): Vector and Matrix Quantities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Vector and Matrix Quantities (HSN-VM)
Punto del currículo HSN-VM.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Representar y modelar con cantidades vectoriales.

nuestra traducción · texto original (EN): Represent and model with vector quantities.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster A
Punto del currículo HSN-VM.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Realizar operaciones con vectores.

nuestra traducción · texto original (EN): Perform operations on vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster B
Punto del currículo HSN-VM.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Realizar operaciones con matrices y usar matrices en aplicaciones.

nuestra traducción · texto original (EN): Perform operations on matrices and use matrices in applications.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster C
Punto del currículo HSN-VM.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Reconocer que las cantidades vectoriales tienen tanto magnitud como dirección. Representar cantidades vectoriales mediante segmentos de recta dirigidos y usar símbolos apropiados para los vectores y sus magnitudes (p. ej., v, |v|, ||v||, v).

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Recognize vector quantities as having both magnitude and direction. R epresent vector quantities by directed line segments, and use appropriate symbols for vectors and their magnitudes (e.g., v, |v|, ||v||, v).

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.1
Punto del currículo HSN-VM.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Hallar las componentes de un vector restando las coordenadas de un punto inicial de las coordenadas de un punto terminal.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Find the components of a vector by subtracting the coordinates of an initial point fr om the coordinates of a terminal point.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.2

Longitudes de vectores y combinaciones lineales (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Resolver problemas que involucran la velocidad y otras cantidades que se pueden representar mediante vectores.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Solve problems involving velocity and other quantities that can be r epresented by vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.3
Punto del currículo HSN-VM.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Sumar y restar vectores. a. Sumar vectores extremo a extremo, por componentes y mediante la regla del paralelogramo. Comprender que la magnitud de una suma de dos vectores típicamente no es la suma de las magnitudes. b. Dados dos vectores en forma de magnitud y dirección, determinar la magnitud y dirección de su suma. c. Comprender la resta de vectores v – w como v + (–w), donde –w es el inverso aditivo de w, con la misma magnitud que w y apuntando en la dirección opuesta. Representar gráficamente la resta de vectores conectando los extremos en el orden apropiado, y realizar la resta de vectores por componentes.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Add and subtract vectors. a. Add vectors end-to-end, component-wise, and by the parallelogram rule. Understand that the magnitude of a sum of two vectors is typically not the sum of the magnitudes. b. Given two vectors in magnitude and direction form, determine the magnitude and direction of their sum. c. Understand vector subtraction v – w as v + (–w), where –w is the additive inverse of w, with the same magnitude as w and pointing in the opposite direction. Represent vector subtraction graphically by connecting the tips in the appropriate order, and perform vector subtraction component-wise.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.B.4

Longitudes de vectores y combinaciones lineales (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Multiplicar un vector por un escalar. a. Representar gráficamente la multiplicación por un escalar escalando vectores y posiblemente invirtiendo su dirección; realizar la multiplicación por un escalar por componentes, p. ej., como c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Calcular la magnitud de un múltiplo escalar cv usando ||cv|| = |c|v. Calcular la dirección de cv sabiendo que cuando |c|v ≠ 0, la dirección de cv es en el sentido de v (para c > 0) o en sentido opuesto a v (para c < 0).

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Multiply a vector by a scalar. a. Represent scalar multiplication graphically by scaling vectors and possibly reversing their direction; perform scalar multiplication component-wise, e.g., as c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Compute the magnitude of a scalar multiple cv using ||cv|| = |c|v. Compute the direction of cv knowing that when |c|v ≠ 0, the direction of cv is either along v (for c > 0) or against v (for c < 0).

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.B.5

Longitudes de vectores y combinaciones lineales (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM.C.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Usar matrices para representar y manipular datos, p. ej., para representar pagos o relaciones de incidencia en una red.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Use matrices to represent and manipulate data, e.g., to represent payoffs or incidenc e relationships in a network.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.6
Punto del currículo HSN-VM.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Multiplicar matrices por escalares para producir nuevas matrices, p. ej., como cuando se duplican todas las ganancias en un juego.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Multiply matrices by scalars to produce new matrices, e.g., as when all of the pa yoffs in a game are doubled.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.7

Operaciones con matrices y multiplicación de vectores (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Sumar, restar y multiplicar matrices de dimensiones adecuadas.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Add, subtract, and multiply matrices of appropriate dimensions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.8

Operaciones con matrices y multiplicación de vectores (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Comprender que, a diferencia de la multiplicación de números, la multiplicación de matrices para matrices cuadradas no es una operación conmutativa, pero aun así satisface las propiedades asociativa y distributiva.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Understand that, unlike multiplication of numbers, matrix multiplication for squar e matrices is not a commutative operation, but still satisfies the associative and distributive properties.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.9

Operaciones con matrices y multiplicación de vectores (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM.C.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Comprender que las matrices cero e identidad desempeñan un papel en la suma y multiplicación de matrices similar al papel de 0 y 1 en los números reales. El determinante de una matriz cuadrada es distinto de cero si y solo si la matriz tiene un inverso multiplicativo.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Understand that the zero and identity matrices play a role in matrix addition and multiplica tion similar to the role of 0 and 1 in the real numbers. The determinant of a square matrix is nonzero if and only if the matrix has a multiplicative inverse.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.10

Cómo hallar el determinante y la inversa de una matriz de 2×2 (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM.C.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Multiplicar un vector (considerado como una matriz de una columna) por una matriz de dimensiones adecuadas para producir otro vector. Trabajar con matrices como transformaciones de vectores.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Multiply a vector (regarded as a matrix with one column) by a matrix of suitable dimensions t o produce another vector. Work with matrices as transformations of vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.11

Operaciones con matrices y multiplicación de vectores (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM.C.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Trabajar con matrices de 2 × 2 como transformaciones del plano, e interpretar el valor absoluto del determinante en términos de área.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Work with 2 × 2 matrices as transformations of the plane, and interpret the absolut e value of the determinant in terms of area.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.12

Cómo hallar el determinante y la inversa de una matriz de 2×2 (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSA-REI · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Razonamiento con ecuaciones y desigualdades

nuestra traducción · texto original (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)
Punto del currículo HSA-REI.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Resolver sistemas de ecuaciones

nuestra traducción · texto original (EN): Solve systems of equations

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C
Punto del currículo HSA-REI.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Representar un sistema de ecuaciones lineales como una sola ecuación matricial en una variable vectorial.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Represent a system of linear equations as a single matrix equation in a vector variable.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.8

Resolución de sistemas de ecuaciones con matrices (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSA-REI.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Hallar la inversa de una matriz si existe y usarla para resolver sistemas de ecuaciones lineales (usando tecnología para matrices de dimensión 3 × 3 o mayor).

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Find the inverse of a matrix if it exists and use it to solve systems of linear equations (using technology for matrices of dimension 3 × 3 or greater).

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.9

Resolución de sistemas de ecuaciones con matrices (en nuestro curso 12) · Cómo hallar el determinante y la inversa de una matriz de 2×2 (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSF-BF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Construcción de funciones

nuestra traducción · texto original (EN): Building Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)
Punto del currículo HSF-BF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes

nuestra traducción · texto original (EN): Build new functions from existing functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B
Punto del currículo HSF-BF.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Comprender la relación inversa entre exponentes y logaritmos y usar esta relación para resolver problemas que involucran logaritmos y exponentes.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Understand the inverse relationship between exponents and logarithms and use this relationship to solve problems involving logarithms and exponents.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.5
Punto del currículo HSF-TF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Funciones trigonométricas

nuestra traducción · texto original (EN): Trigonometric Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Trigonometric Functions (HSF-TF)
Punto del currículo HSF-TF.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Extender el dominio de las funciones trigonométricas utilizando el círculo unitario

nuestra traducción · texto original (EN): Extend the domain of trigonometric functions using the unit circle

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster A
Punto del currículo HSF-TF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Modelar fenómenos periódicos con funciones trigonométricas

nuestra traducción · texto original (EN): Model periodic phenomena with trigonometric functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster B
Punto del currículo HSF-TF.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Usar triángulos especiales para determinar geométricamente los valores de seno, coseno, tangente para π/3, π/4 y π/6, y usar el círculo unitario para expresar los valores de seno, coseno y tangente para π–x, π+x y 2π–x en términos de sus valores para x, donde x es cualquier número real.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Use special triangles to determine geometrically the values of sine, cosine, tangent f or π/3, π/4 and π/6, and use the unit circle to express the values of sine, cosine, and tangent for π–x, π+x, and 2π–x in terms of their values for x, where x is any real number.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.3

Valores exactos de seno, coseno y tangente (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSF-TF.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Usar el círculo unitario para explicar la simetría (impar y par) y la periodicidad de las funciones trigonométricas.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Use the unit circle to explain symmetry (odd and even) and periodicity of trigonometric functions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.4
Punto del currículo HSF-TF.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Comprender que restringir una función trigonométrica a un dominio en el que siempre sea creciente o siempre decreciente permite construir su inversa.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Understand that restricting a trigonometric function to a domain on which it is alw ays increasing or always decreasing allows its inverse to be constructed.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.6
Punto del currículo HSF-TF.B.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Usar funciones inversas para resolver ecuaciones trigonométricas que surgen en contextos de modelado; evaluar las soluciones utilizando tecnología, e interpretarlas en términos del contexto.★

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Use inverse functions to solve trigonometric equations that arise in modeling c ontexts; evaluate the solutions using technology, and interpret them in terms of the context.★

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.7
Punto del currículo HSG-GPE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Expresar propiedades geométricas con ecuaciones

nuestra traducción · texto original (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)
Punto del currículo HSG-GPE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Traducir entre la descripción geométrica y la ecuación de una sección cónica

nuestra traducción · texto original (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A
Punto del currículo HSG-GPE.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Deducir las ecuaciones de elipses e hipérbolas dados los focos, utilizando el hecho de que la suma o la diferencia de las distancias a los focos es constante.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Derive the equations of ellipses and hyperbolas given the foci, using the fact tha t the sum or difference of distances from the foci is constant.

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.3
Punto del currículo HSG-GMD · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Medición geométrica y dimensión

nuestra traducción · texto original (EN): Geometric Measurement and Dimension

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)
Punto del currículo HSG-GMD.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Explicar las fórmulas de volumen y usarlas para resolver problemas

nuestra traducción · texto original (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A
Punto del currículo HSG-GMD.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Dar un argumento informal utilizando el principio de Cavalieri para las fórmulas del volumen de una esfera y otras figuras sólidas.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Give an informal argument using Cavalieri’s principle for the formulas for the v olume of a sphere and other solid figures.

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.2
Punto del currículo HSS-MD · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Uso de la probabilidad para tomar decisiones

nuestra traducción · texto original (EN): Using Probability to Make Decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)
Punto del currículo HSS-MD.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Calcular valores esperados y utilizarlos para resolver problemas

nuestra traducción · texto original (EN): Calculate expected values and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster A
Punto del currículo HSS-MD.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Usar la probabilidad para evaluar los resultados de decisiones

nuestra traducción · texto original (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B
Punto del currículo HSS-MD.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Definir una variable aleatoria para una cantidad de interés asignando un valor numérico a cada evento en un espacio muestral; graficar la distribución de probabilidad correspondiente utilizando las mismas representaciones gráficas que para las distribuciones de datos.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Define a random variable for a quantity of interest by assigning a numerical value to each event in a sample space; graph the corresponding probability distribution using the same graphical displays as for data distributions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.1
Punto del currículo HSS-MD.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Calcular el valor esperado de una variable aleatoria; interpretarlo como la media de la distribución de probabilidad.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Calculate the expected value of a random variable; interpret it as the mean of the probability distribution.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.2

Hallar el valor esperado a partir de una tabla de probabilidad (en nuestro curso 10-12)
Punto del currículo HSS-MD.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Desarrollar una distribución de probabilidad para una variable aleatoria definida para un espacio muestral en el cual se puedan calcular probabilidades teóricas; hallar el valor esperado. Por ejemplo, hallar la distribución de probabilidad teórica para la cantidad de respuestas correctas obtenidas al adivinar en las cinco preguntas de un examen de opción múltiple donde cada pregunta tiene cuatro opciones, y hallar la calificación esperada bajo diversos esquemas de calificación.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample spac e in which theoretical probabilities can be calculated; find the expected value. For example, find the theoretical probability distribution for the number of correct answers obtained by guessing on all five questions of a multiple-choice test where each question has four choices, and find the expected grade under various grading schemes.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.3

Hallar el valor esperado a partir de una tabla de probabilidad (en nuestro curso 10-12) · Distribuciones binomiales y valor esperado (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSS-MD.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Desarrollar una distribución de probabilidad para una variable aleatoria definida para un espacio muestral en el que las probabilidades se asignan empíricamente; hallar el valor esperado. Por ejemplo, hallar una distribución de datos actual sobre el número de televisores por hogar en los Estados Unidos y calcular el número esperado de televisores por hogar. ¿Cuántos televisores esperaría encontrar en 100 hogares seleccionados al azar?

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample spac e in which probabilities are assigned empirically; find the expected value. For example, find a current data distribution on the number of TV sets per household in the United States, and calculate the expected number of sets per household. How many TV sets would you expect to find in 100 randomly selected households?

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.4

Hallar el valor esperado a partir de una tabla de probabilidad (en nuestro curso 10-12)
Punto del currículo HSS-MD.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Ponderar los posibles resultados de una decisión asignando probabilidades a los valores de pago y hallando los valores esperados. a. Hallar el pago esperado para un juego de azar. Por ejemplo, hallar las ganancias esperadas de un boleto de lotería estatal o de un juego en un restaurante de comida rápida. b. Evaluar y comparar estrategias sobre la base de los valores esperados. Por ejemplo, comparar una póliza de seguro de automóvil con deducible alto frente a una con deducible bajo utilizando diversas, pero razonables, probabilidades de tener un accidente menor o mayor.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Weigh the possible outcomes of a decision by assigning probabilities to pa yoff values and finding expected values. a. Find the expected payoff for a game of chance. For example, find the expected winnings from a state lottery ticket or a game at a fast-food restaurant. b. Evaluate and compare strategies on the basis of expected values. For example, compare a high-deductible versus a low-deductible automobile insurance policy using various, but reasonable, chances of having a minor or a major accident.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.5

Hallar el valor esperado a partir de una tabla de probabilidad (en nuestro curso 10-12)

Competencias paso a paso

Conjugados complejos, módulo y división

Los estudiantes aprenden a encontrar conjugados complejos, calcular el módulo y la distancia geométrica, y utilizar conjugados para dividir números complejos.

Punto del currículo HSN-CN.A.3 (+) Hallar el conjugado de un número complejo; usar conjugados para hallar módulos y cocientes de números complejos. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-CN.B.6 (+) Calcular la distancia entre números en el plano complejo como el módulo de la diferencia, y el punto medio de un segmento como el promedio de los números en sus extremos. (nuestra traducción)

En este nivel, los estudiantes trabajan con números complejos escritos en forma estándar con partes reales e imaginarias. Aprenden a determinar el conjugado complejo cambiando el signo del término imaginario y utilizan este valor para calcular el módulo de un número: su valor absoluto o distancia desde el cero. Los estudiantes también usan conjugados para dividir números complejos, eliminando la unidad imaginaria del denominador, y hallan la distancia geométrica entre dos puntos en el plano complejo calculando el módulo de su diferencia.

Un obstáculo frecuente surge al hallar el conjugado: a menudo, los estudiantes cambian por error el signo de la parte real en lugar de la parte imaginaria, convirtiendo 3 + 4i en -3 + 4i en vez de 3 - 4i. Al dividir, los estudiantes también suelen cometer errores de signo al multiplicar términos que contienen la unidad imaginaria, olvidando que i multiplicado por i es igual a -1.

Las tareas de práctica plantean a los estudiantes resolver ejercicios directos en cuatro formatos principales:

Conjugado complejo: escribir el conjugado de un valor complejo dado.
Módulo de un número complejo: calcular el valor absoluto de una expresión.
División de números complejos: multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado para simplificar una fracción a su forma estándar.
Distancia en el plano complejo: hallar la distancia entre dos coordenadas complejas calculando el módulo de su diferencia.

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Tipos de ejercicios: Módulo de un número complejo · Conjugado de un número complejo · Distancia en el plano complejo · División de números complejos

Operaciones con matrices y multiplicación de vectores

Los estudiantes aprenden a escalar, sumar, restar y multiplicar matrices, y a multiplicar matrices por vectores columna para modelar transformaciones.

Punto del currículo HSN-VM.C.11 (+) Multiplicar un vector (considerado como una matriz de una columna) por una matriz de dimensiones adecuadas para producir otro vector. Trabajar con matrices como transformaciones de vectores. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-VM.C.7 (+) Multiplicar matrices por escalares para producir nuevas matrices, p. ej., como cuando se duplican todas las ganancias en un juego. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-VM.C.8 (+) Sumar, restar y multiplicar matrices de dimensiones adecuadas. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-VM.C.9 (+) Comprender que, a diferencia de la multiplicación de números, la multiplicación de matrices para matrices cuadradas no es una operación conmutativa, pero aun así satisface las propiedades asociativa y distributiva. (nuestra traducción)

Los estudiantes realizan operaciones con matrices y vectores de dimensiones adecuadas. Realizan la multiplicación por un escalar escalando cada elemento, combinan matrices mediante la suma y la resta, y multiplican matrices entre sí. También multiplican una matriz por un vector columna para obtener un nuevo vector, a la vez que reconocen que la multiplicación de matrices es asociativa y distributiva, pero no conmutativa.

Un error frecuente ocurre durante la multiplicación de matrices cuando los estudiantes intentan multiplicar directamente los elementos correspondientes, en lugar de multiplicar los elementos de cada fila por los de una columna y sumar los resultados. Los estudiantes también suelen tratar la multiplicación de matrices como una multiplicación numérica común, asumiendo erróneamente que cambiar el orden de las matrices dará exactamente el mismo resultado o sin comprobar si las dimensiones internas coinciden.

En la práctica, los estudiantes resuelven problemas en tres formatos específicos:

Combinación lineal de matrices, donde multiplican matrices por factores numéricos y suman o restan las matrices resultantes;
Producto de matrices, donde comprueban que el número de columnas de la primera matriz coincida con el número de filas de la segunda antes de calcular los elementos finales;
Matriz por vector, donde aplican una matriz de transformación a un vector columna para obtener el vector resultante.

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Tipos de ejercicios: Combinación de matrices · Matriz por vector · Producto de matrices

Distribuciones binomiales y valor esperado

Los estudiantes calculan probabilidades teóricas para eventos repetidos de éxito o fracaso y determinan el valor esperado o el resultado medio a lo largo de esos ensayos.

Punto del currículo HSS-MD.A.3 (+) Desarrollar una distribución de probabilidad para una variable aleatoria definida para un espacio muestral en el cual se puedan calcular probabilidades teóricas; hallar el valor esperado. Por ejemplo, hallar la distribución de probabilidad teórica para la cantidad de respuestas correctas obtenidas al adivinar en las cinco preguntas de un examen de opción múltiple donde cada pregunta tiene cuatro opciones, y hallar la calificación esperada bajo diversos esquemas de calificación. (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a modelar escenarios que involucran eventos independientes repetidos con dos resultados posibles, conocidos como ensayos de Bernoulli. A partir de situaciones como responder al azar en un examen de opción múltiple de cinco preguntas con cuatro opciones por pregunta, los estudiantes construyen distribuciones de probabilidad para el número total de aciertos y hallan el valor esperado bajo diferentes reglas de puntuación.

Un error típico ocurre cuando los estudiantes calculan la probabilidad de un resultado específico, como acertar dos preguntas de cinco. Con frecuencia multiplican las probabilidades de éxito y fracaso entre sí, pero olvidan tener en cuenta el número de ordenamientos diferentes en los que pueden ocurrir esos éxitos, omitiendo el factor combinatorio.

En la práctica, las tareas se basan en dos modelos principales. En Ensayos de Bernoulli, los estudiantes identifican las probabilidades de un solo ensayo y calculan la probabilidad exacta de obtener un número específico de éxitos a lo largo de ensayos repetidos. En Media de una distribución binomial, los estudiantes utilizan el número de ensayos y las probabilidades de éxito para calcular el resultado promedio esperado o la calificación esperada a lo largo del tiempo.

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Tipos de ejercicios: Esperanza de la binomial · Esquema de Bernoulli

Longitudes de vectores y combinaciones lineales

Los estudiantes aprenden a hallar la magnitud de un vector y a combinar vectores algebraicamente mediante la multiplicación por un escalar, la suma y la resta.

Punto del currículo HSN-VM.A.2 (+) Hallar las componentes de un vector restando las coordenadas de un punto inicial de las coordenadas de un punto terminal. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-VM.B.4 (+) Sumar y restar vectores. a. Sumar vectores extremo a extremo, por componentes y mediante la regla del paralelogramo. Comprender que la magnitud de una suma de dos vectores típicamente no es la suma de las magnitudes. b. Dados dos vectores en forma de magnitud y dirección, determinar la magnitud y dirección de su suma. c. Comprender la resta de vectores v – w como v + (–w), donde –w es el inverso aditivo de w, con la misma magnitud que w y apuntando en la dirección opuesta. Representar gráficamente la resta de vectores conectando los extremos en el orden apropiado, y realizar la resta de vectores por componentes. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-VM.B.5 (+) Multiplicar un vector por un escalar. a. Representar gráficamente la multiplicación por un escalar escalando vectores y posiblemente invirtiendo su dirección; realizar la multiplicación por un escalar por componentes, p. ej., como c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Calcular la magnitud de un múltiplo escalar cv usando ||cv|| = |c|v. Calcular la dirección de cv sabiendo que cuando |c|v ≠ 0, la dirección de cv es en el sentido de v (para c > 0) o en sentido opuesto a v (para c < 0). (nuestra traducción)

En esta etapa, los estudiantes trabajan con vectores bidimensionales expresados en forma de componentes. Calculan la longitud (magnitud) de un vector y crean combinaciones lineales escalando vectores —multiplicando las componentes por un factor escalar c para obtener (cv_x, cv_y)— y combinándolos mediante la suma y resta componente a componente.

Un error conceptual común ocurre al calcular la magnitud de un vector combinado: los estudiantes a menudo asumen que la longitud de una suma es igual a la suma de las longitudes individuales, lo cual normalmente no es cierto. Otro error frecuente involucra escalares negativos. Al multiplicar por un número negativo, los estudiantes a veces omiten los signos negativos durante la resta de componentes u olvidan que la magnitud debe permanecer positiva, escalada por el valor absoluto del escalar.

Las actividades de las fichas de trabajo refuerzan estas habilidades a través de dos formatos específicos:

Longitud de un vector: Los estudiantes determinan la magnitud numérica a partir de las componentes de coordenadas dadas de un vector.
Combinación lineal de vectores: Se proporcionan dos o más vectores a los estudiantes, quienes deben escalarlos y combinarlos para hallar las componentes del vector resultante.

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Tipos de ejercicios: Combinación de vectores · Módulo de un vector

Formas polar y rectangular de números complejos

Los estudiantes aprenden a hallar el argumento de un número complejo y a convertir entre las formas polar y rectangular utilizando ángulos notables en el plano complejo.

Punto del currículo HSN-CN.B.4 (+) Representar números complejos en el plano complejo en forma rectangular y polar (incluyendo números reales e imaginarios), y explicar por qué las formas rectangular y polar de un número complejo dado representan el mismo número. (nuestra traducción)

En esta etapa, los estudiantes aprenden a representar números complejos —incluidos los números reales e imaginarios puros— en el plano complejo, tanto en forma rectangular como polar. Relacionan las coordenadas en la forma estándar a + bi con la distancia desde el origen y el ángulo de rotación, utilizando ángulos trigonométricos notables para hallar valores exactos sin depender de aproximaciones redondeadas.

Un error común ocurre al determinar el ángulo, o argumento, de un número complejo fuera del primer cuadrante. Con frecuencia, los estudiantes encuentran el ángulo de referencia correcto utilizando razones trigonométricas, pero no tienen en cuenta los signos negativos en la parte real o imaginaria, ubicando el ángulo resultante en el cuadrante incorrecto del plano complejo.

Las tareas de práctica abordan esta habilidad a través de dos ejercicios principales:

Argumento de un número complejo: Los estudiantes identifican el ángulo de dirección exacto para un valor complejo determinado representado en el plano complejo.
De forma polar a forma rectangular: Los estudiantes utilizan valores exactos de ángulos notables para convertir expresiones polares a coordenadas rectangulares estándar.

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Tipos de ejercicios: Argumento de un número complejo · De forma polar a forma binómica

Cómo hallar el determinante y la inversa de una matriz de 2×2

Los estudiantes aprenden a calcular el determinante de una matriz de 2×2 y a usarlo para encontrar la inversa multiplicativa de la matriz.

Punto del currículo HSA-REI.C.9 (+) Hallar la inversa de una matriz si existe y usarla para resolver sistemas de ecuaciones lineales (usando tecnología para matrices de dimensión 3 × 3 o mayor). (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-VM.C.10 (+) Comprender que las matrices cero e identidad desempeñan un papel en la suma y multiplicación de matrices similar al papel de 0 y 1 en los números reales. El determinante de una matriz cuadrada es distinto de cero si y solo si la matriz tiene un inverso multiplicativo. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-VM.C.12 (+) Trabajar con matrices de 2 × 2 como transformaciones del plano, e interpretar el valor absoluto del determinante en términos de área. (nuestra traducción)

Los estudiantes trabajan a mano con matrices cuadradas de 2×2 para calcular sus determinantes y determinar si existe una inversa. Aprenden que una matriz tiene una inversa multiplicativa solo cuando su determinante no es cero. Cuando el determinante es distinto de cero, los estudiantes lo utilizan junto con los elementos reordenados de la matriz para calcular la matriz inversa exacta.

Un error común ocurre con los signos negativos al calcular el determinante, donde los estudiantes suman los productos de las diagonales en lugar de restar el producto de la diagonal secundaria del producto de la diagonal principal. Los estudiantes también suelen colocar mal los signos o intercambiar los pares incorrectos de elementos al escribir la matriz inversa, o intentan calcular la inversa de una matriz cuyo determinante es igual a cero.

Las tareas de práctica se presentan en dos formatos estándar de hojas de trabajo: Determinante de una matriz, donde los estudiantes calculan el valor numérico de una cuadrícula de números de 2×2, y Matriz inversa, donde los estudiantes primero comprueban si es posible obtener una inversa y luego escriben la matriz inversa resultante.

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Tipos de ejercicios: Determinante de una matriz · Matriz inversa

Hallar el valor esperado a partir de una tabla de probabilidad

Los estudiantes aprenden a calcular el valor esperado de una variable aleatoria discreta utilizando una tabla de probabilidad y a interpretarlo como el resultado promedio a lo largo del tiempo.

Punto del currículo HSS-MD.A.2 (+) Calcular el valor esperado de una variable aleatoria; interpretarlo como la media de la distribución de probabilidad. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSS-MD.A.3 (+) Desarrollar una distribución de probabilidad para una variable aleatoria definida para un espacio muestral en el cual se puedan calcular probabilidades teóricas; hallar el valor esperado. Por ejemplo, hallar la distribución de probabilidad teórica para la cantidad de respuestas correctas obtenidas al adivinar en las cinco preguntas de un examen de opción múltiple donde cada pregunta tiene cuatro opciones, y hallar la calificación esperada bajo diversos esquemas de calificación. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSS-MD.A.4 (+) Desarrollar una distribución de probabilidad para una variable aleatoria definida para un espacio muestral en el que las probabilidades se asignan empíricamente; hallar el valor esperado. Por ejemplo, hallar una distribución de datos actual sobre el número de televisores por hogar en los Estados Unidos y calcular el número esperado de televisores por hogar. ¿Cuántos televisores esperaría encontrar en 100 hogares seleccionados al azar? (nuestra traducción)
Punto del currículo HSS-MD.B.5 (+) Ponderar los posibles resultados de una decisión asignando probabilidades a los valores de pago y hallando los valores esperados. a. Hallar el pago esperado para un juego de azar. Por ejemplo, hallar las ganancias esperadas de un boleto de lotería estatal o de un juego en un restaurante de comida rápida. b. Evaluar y comparar estrategias sobre la base de los valores esperados. Por ejemplo, comparar una póliza de seguro de automóvil con deducible alto frente a una con deducible bajo utilizando diversas, pero razonables, probabilidades de tener un accidente menor o mayor. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSS-MD.B.6 (+) Usar probabilidades para tomar decisiones justas (por ejemplo, hacer un sorteo, usar un generador de números aleatorios). (nuestra traducción)
Punto del currículo HSS-MD.B.7 (+) Analizar decisiones y estrategias utilizando conceptos de probabilidad (por ejemplo, pruebas de productos, pruebas médicas, retirar al portero de hockey al final de un partido). (nuestra traducción)

En 12.º grado, los estudiantes trabajan con variables aleatorias discretas representadas en tablas de distribución de probabilidad. Calculan el valor esperado multiplicando cada posible resultado numérico por su probabilidad correspondiente y sumando todos los productos. A través de este proceso, aprenden a interpretar el número resultante como la media o el centro ponderado de la distribución de probabilidad.

Un error común ocurre cuando los estudiantes tratan todos los resultados por igual. En lugar de calcular una suma ponderada utilizando las probabilidades dadas, pueden simplemente sumar los valores de los posibles resultados y dividirlos por el número de resultados, confundiendo una media aritmética básica con el valor esperado. Otro desliz frecuente es multiplicar accidentalmente las probabilidades entre sí en lugar de emparejar cada resultado con su probabilidad correspondiente.

Las actividades de las hojas de trabajo presentan una tabla de distribución completa que muestra una fila o columna de resultados numéricos junto con sus respectivas probabilidades en forma de fracciones o decimales. Los estudiantes calculan el producto de cada par, suman esos valores e indican el valor esperado de la variable aleatoria.

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Tipos de ejercicios: Esperanza a partir de una tabla · ¿Es justo el juego?

Valores exactos de seno, coseno y tangente

Los estudiantes hallan los valores exactos del seno, el coseno y la tangente para ángulos clave como π/6, π/4 y π/3, y utilizan el círculo unitario para evaluar ángulos relacionados en diferentes cuadrantes.

Punto del currículo HSF-TF.A.3 (+) Usar triángulos especiales para determinar geométricamente los valores de seno, coseno, tangente para π/3, π/4 y π/6, y usar el círculo unitario para expresar los valores de seno, coseno y tangente para π–x, π+x y 2π–x en términos de sus valores para x, donde x es cualquier número real. (nuestra traducción)

En 12.º grado, los estudiantes determinan los valores exactos de las funciones seno, coseno y tangente sin depender de una calculadora. Usan triángulos rectángulos notables para hallar valores geométricos de ángulos de referencia, específicamente π/6, π/4 y π/3 radianes. Luego, los estudiantes usan la geometría de la circunferencia unitaria para relacionar estos valores con otros cuadrantes, reescribiendo expresiones de la forma π – x, π + x y 2π – x en términos de un ángulo x.

Un obstáculo frecuente es equivocarse con el signo positivo o negativo. Los estudiantes a menudo determinan la razón numérica correcta a partir del ángulo de referencia, pero olvidan comprobar en qué cuadrante se encuentra el ángulo completo, escribiendo por error un valor positivo para el coseno en el segundo cuadrante o para el seno en el tercer cuadrante.

Las actividades de las fichas de trabajo centradas en el Valor exacto de una función trigonométrica presentan a los estudiantes expresiones específicas, como hallar el valor exacto de cos(5π/6) o tan(4π/3). Los estudiantes identifican el triángulo notable subyacente, aplican la fórmula de reducción para ubicar el ángulo en la circunferencia unitaria y escriben la solución final como una fracción o un radical simplificado en lugar de un decimal redondeado.

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Resolución de sistemas de ecuaciones con matrices

Los estudiantes aprenden a escribir sistemas lineales como ecuaciones matriciales y a resolverlos mediante matrices inversas, utilizando tecnología para sistemas de tamaño 3 × 3 o mayor.

Punto del currículo HSA-REI.C.8 (+) Representar un sistema de ecuaciones lineales como una sola ecuación matricial en una variable vectorial. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSA-REI.C.9 (+) Hallar la inversa de una matriz si existe y usarla para resolver sistemas de ecuaciones lineales (usando tecnología para matrices de dimensión 3 × 3 o mayor). (nuestra traducción)

Los estudiantes aprenden a reescribir un sistema de ecuaciones lineales como una única ecuación matricial de la forma Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes y x es el vector de variables. Determinan si la matriz de coeficientes tiene inversa y multiplican por esa inversa para resolver las incógnitas. Aunque los estudiantes pueden calcular a mano inversas para sistemas simples, utilizan la tecnología para hallar inversas y resolver sistemas con matrices de dimensión 3 × 3 o mayor.

Un error común está relacionado con el orden de la multiplicación de matrices. Debido a que la multiplicación de matrices no es conmutativa, multiplicar las constantes por la inversa en el orden incorrecto —calculando bA^-1 en lugar de A^-1b— conduce a incompatibilidades de dimensiones o respuestas incorrectas. Los estudiantes también suelen pasar por alto las variables que faltan en una ecuación, olvidando colocar un 0 en la matriz de coeficientes en esa posición.

En la práctica, actividades como Resolver un sistema con una matriz presentan a los estudiantes dos o más ecuaciones. Primero, los estudiantes organizan las ecuaciones en forma matricial, hallan la inversa de la matriz de coeficientes ya sea algebraicamente o usando una calculadora gráfica, y luego multiplican para encontrar las coordenadas exactas o los valores de las variables que satisfacen todo el sistema.

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Plantillas de ejercicios para imprimir

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Valor exacto de una función trigonométrica

Resolución de sistemas de ecuaciones con matrices

Sistema en forma matricial

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