Programma scolastico (Stati Uniti)

Matematica — classe 12ª

Matematica per il 12° anno secondo i Common Core State Standards, solitamente Precalcolo: numeri complessi in forma polare, vettori, matrici e sistemi di equazioni, valori trigonometrici, valore atteso e probabilità binomiale. Ogni argomento include schede didattiche stampabili.

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Cosa imparano gli studenti in matematica al 12° anno?

Nel 12° anno gli studenti scrivono numeri complessi in forma polare e ne determinano il modulo e il coniugato, sommano e scalano vettori e calcolano prodotti scalari, e moltiplicano e invertono matrici 2×2 per risolvere sistemi di equazioni. Determinano valori trigonometrici esatti e calcolano valori attesi e probabilità binomiali. La maggior parte di questi sono standard (+) rivolti agli studenti indirizzati allo studio del calcolo infinitesimale.

Informazioni sugli standard: gli standard Common Core per la scuola superiore sono organizzati per categoria concettuale (Numero e Quantità, Algebra, Funzioni, Geometria, Statistica e Probabilità), non per anno di corso. L'assegnazione di un argomento a un determinato anno è una nostra scelta, che segue la consueta sequenza didattica di Algebra I, Geometria, Algebra II e Precalcolo. Gli standard contrassegnati con (+) vanno oltre il nucleo fondamentale di preparazione per l'università e il lavoro.

Stato della pagina: gli argomenti di questo anno scolastico sono disponibili come esercizi semplici (istruzioni e formule); i problemi con diagrammi e i problemi applicativi saranno aggiunti a breve.

Ambito del programma

Punto del programma HSN-CN · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Il sistema dei numeri complessi

nostra traduzione · testo originale (EN): The Complex Number System

CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Complex Number System (HSN-CN)
Punto del programma HSN-CN.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Eseguire operazioni aritmetiche con i numeri complessi.

nostra traduzione · testo originale (EN): Perform arithmetic operations with complex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster A
Punto del programma HSN-CN.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Rappresentare i numeri complessi e le loro operazioni nel piano complesso.

nostra traduzione · testo originale (EN): Represent complex numbers and their operations on the complex plane.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster B
Punto del programma HSN-CN.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Trovare il coniugato di un numero complesso; usare i coniugati per trovare moduli e quozienti di numeri complessi.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Find the conjugate of a complex number; use conjugates to find moduli and quotients of c omplex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.3

Complessi coniugati, modulo e divisione (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-CN.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Rappresentare i numeri complessi sul piano complesso in forma rettangolare e polare (inclusi i numeri reali e immaginari) e spiegare perché le forme rettangolare e polare di un dato numero complesso rappresentano lo stesso numero.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Represent complex numbers on the complex plane in rectangular and polar f orm (including real and imaginary numbers), and explain why the rectangular and polar forms of a given complex number represent the same number.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.4

Forma polare e rettangolare dei numeri complessi (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-CN.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Rappresentare geometricamente sul piano complesso l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la coniugazione dei numeri complessi; usare le proprietà di questa rappresentazione per il calcolo. Ad esempio, (–1 + √3 i)3 = 8 perché (–1 + √3 i) ha modulo 2 e argomento 120°.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Represent addition, subtraction, multiplication, and conjugation of c omplex numbers geometrically on the complex plane; use properties of this representation for computation. For example, (–1 + √3 i)3 = 8 because (–1 + √3 i) has modulus 2 and argument 120°.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.5
Punto del programma HSN-CN.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Calcolare la distanza tra numeri nel piano complesso come modulo della differenza, e il punto medio di un segmento come media dei numeri ai suoi estremi.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Calculate the distance between numbers in the complex plane as the modulus of the diff erence, and the midpoint of a segment as the average of the numbers at its endpoints.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.6

Complessi coniugati, modulo e divisione (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Quantità vettoriali e matriciali

nostra traduzione · testo originale (EN): Vector and Matrix Quantities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Vector and Matrix Quantities (HSN-VM)
Punto del programma HSN-VM.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Rappresentare e modellizzare con grandezze vettoriali.

nostra traduzione · testo originale (EN): Represent and model with vector quantities.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster A
Punto del programma HSN-VM.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Eseguire operazioni sui vettori.

nostra traduzione · testo originale (EN): Perform operations on vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster B
Punto del programma HSN-VM.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Eseguire operazioni sulle matrici e utilizzare le matrici nelle applicazioni.

nostra traduzione · testo originale (EN): Perform operations on matrices and use matrices in applications.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster C
Punto del programma HSN-VM.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Riconoscere che le grandezze vettoriali hanno sia modulo sia direzione. Rappresentare le grandezze vettoriali mediante segmenti orientati e utilizzare simboli appropriati per i vettori e i loro moduli (ad es. v, |v|, ||v||, v).

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Recognize vector quantities as having both magnitude and direction. R epresent vector quantities by directed line segments, and use appropriate symbols for vectors and their magnitudes (e.g., v, |v|, ||v||, v).

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.1
Punto del programma HSN-VM.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Trovare le componenti di un vettore sottraendo le coordinate di un punto iniziale dalle coordinate di un punto terminale.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Find the components of a vector by subtracting the coordinates of an initial point fr om the coordinates of a terminal point.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.2

Lunghezze dei vettori e combinazioni lineari (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Risolvere problemi che coinvolgono la velocità e altre grandezze che possono essere rappresentate da vettori.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Solve problems involving velocity and other quantities that can be r epresented by vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.3
Punto del programma HSN-VM.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Sommare e sottrarre vettori. a. Sommare vettori con il metodo punta-coda, per componenti e con la regola del parallelogramma. Comprendere che il modulo della somma di due vettori in genere non è la somma dei moduli. b. Dati due vettori in forma di modulo e direzione, determinare il modulo e la direzione della loro somma. c. Comprendere la sottrazione di vettori v – w come v + (–w), dove –w è l'inverso additivo di w, con lo stesso modulo di w e che punta nella direzione opposta. Rappresentare graficamente la sottrazione di vettori collegando le punte nell'ordine appropriato ed eseguire la sottrazione di vettori per componenti.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Add and subtract vectors. a. Add vectors end-to-end, component-wise, and by the parallelogram rule. Understand that the magnitude of a sum of two vectors is typically not the sum of the magnitudes. b. Given two vectors in magnitude and direction form, determine the magnitude and direction of their sum. c. Understand vector subtraction v – w as v + (–w), where –w is the additive inverse of w, with the same magnitude as w and pointing in the opposite direction. Represent vector subtraction graphically by connecting the tips in the appropriate order, and perform vector subtraction component-wise.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.B.4

Lunghezze dei vettori e combinazioni lineari (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Moltiplicare un vettore per uno scalare. a. Rappresentare graficamente la moltiplicazione per uno scalare scalando i vettori ed eventualmente invertendone la direzione; eseguire la moltiplicazione per uno scalare componente per componente, ad es. come c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Calcolare il modulo di un multiplo scalare cv utilizzando ||cv|| = |c|v. Calcolare la direzione di cv sapendo che quando |c|v ≠ 0, la direzione di cv è o lungo v (per c > 0) o contraria a v (per c < 0).

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Multiply a vector by a scalar. a. Represent scalar multiplication graphically by scaling vectors and possibly reversing their direction; perform scalar multiplication component-wise, e.g., as c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Compute the magnitude of a scalar multiple cv using ||cv|| = |c|v. Compute the direction of cv knowing that when |c|v ≠ 0, the direction of cv is either along v (for c > 0) or against v (for c < 0).

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.B.5

Lunghezze dei vettori e combinazioni lineari (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM.C.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Utilizzare le matrici per rappresentare e manipolare dati, ad es. per rappresentare payoff o relazioni di incidenza in una rete.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Use matrices to represent and manipulate data, e.g., to represent payoffs or incidenc e relationships in a network.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.6
Punto del programma HSN-VM.C.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Moltiplicare matrici per scalari per produrre nuove matrici, ad es., come quando tutti i payoff in un gioco vengono raddoppiati.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Multiply matrices by scalars to produce new matrices, e.g., as when all of the pa yoffs in a game are doubled.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.7

Operazioni con le matrici e moltiplicazione di vettori (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM.C.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Addizionare, sottrarre e moltiplicare matrici di dimensioni appropriate.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Add, subtract, and multiply matrices of appropriate dimensions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.8

Operazioni con le matrici e moltiplicazione di vettori (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM.C.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Comprendere che, a differenza della moltiplicazione di numeri, la moltiplicazione tra matrici per matrici quadrate non è un'operazione commutativa, ma soddisfa comunque le proprietà associativa e distributiva.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Understand that, unlike multiplication of numbers, matrix multiplication for squar e matrices is not a commutative operation, but still satisfies the associative and distributive properties.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.9

Operazioni con le matrici e moltiplicazione di vettori (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM.C.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Comprendere che la matrice nulla e la matrice identità svolgono nell'addizione e nella moltiplicazione tra matrici un ruolo simile al ruolo di 0 e 1 nei numeri reali. Il determinante di una matrice quadrata è diverso da zero se e solo se la matrice ha un inverso moltiplicativo.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Understand that the zero and identity matrices play a role in matrix addition and multiplica tion similar to the role of 0 and 1 in the real numbers. The determinant of a square matrix is nonzero if and only if the matrix has a multiplicative inverse.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.10

Calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice 2×2 (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM.C.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Moltiplicare un vettore (considerato come una matrice con una colonna) per una matrice di dimensioni opportune per produrre un altro vettore. Lavorare con le matrici come trasformazioni di vettori.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Multiply a vector (regarded as a matrix with one column) by a matrix of suitable dimensions t o produce another vector. Work with matrices as transformations of vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.11

Operazioni con le matrici e moltiplicazione di vettori (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM.C.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Lavorare con matrici 2 × 2 come trasformazioni del piano, e interpretare il valore assoluto del determinante in termini di area.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Work with 2 × 2 matrices as transformations of the plane, and interpret the absolut e value of the determinant in terms of area.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.12

Calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice 2×2 (da noi in classe 12)
Punto del programma HSA-REI · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Ragionamento con equazioni e disequazioni

nostra traduzione · testo originale (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)
Punto del programma HSA-REI.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Risolvere sistemi di equazioni

nostra traduzione · testo originale (EN): Solve systems of equations

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C
Punto del programma HSA-REI.C.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Rappresentare un sistema di equazioni lineari come una singola equazione matriciale in una variabile vettoriale.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Represent a system of linear equations as a single matrix equation in a vector variable.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.8

Risoluzione di sistemi di equazioni con le matrici (da noi in classe 12)
Punto del programma HSA-REI.C.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Trovare l'inversa di una matrice se esiste e utilizzarla per risolvere sistemi di equazioni lineari (utilizzando la tecnologia per matrici di dimensione 3 × 3 o superiore).

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Find the inverse of a matrix if it exists and use it to solve systems of linear equations (using technology for matrices of dimension 3 × 3 or greater).

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.9

Risoluzione di sistemi di equazioni con le matrici (da noi in classe 12) · Calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice 2×2 (da noi in classe 12)
Punto del programma HSF-BF · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Costruire funzioni

nostra traduzione · testo originale (EN): Building Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)
Punto del programma HSF-BF.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Costruire nuove funzioni a partire da funzioni esistenti

nostra traduzione · testo originale (EN): Build new functions from existing functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B
Punto del programma HSF-BF.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Comprendere la relazione inversa tra esponenti e logaritmi e utilizzare questa relazione per risolvere problemi che coinvolgono logaritmi ed esponenti.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Understand the inverse relationship between exponents and logarithms and use this relationship to solve problems involving logarithms and exponents.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.5
Punto del programma HSF-TF · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Funzioni trigonometriche

nostra traduzione · testo originale (EN): Trigonometric Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Trigonometric Functions (HSF-TF)
Punto del programma HSF-TF.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Estendere il dominio delle funzioni trigonometriche utilizzando la circonferenza goniometrica

nostra traduzione · testo originale (EN): Extend the domain of trigonometric functions using the unit circle

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster A
Punto del programma HSF-TF.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Modellizzare fenomeni periodici con funzioni trigonometriche

nostra traduzione · testo originale (EN): Model periodic phenomena with trigonometric functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster B
Punto del programma HSF-TF.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Utilizzare triangoli speciali per determinare geometricamente i valori di seno, coseno, tangente per π/3, π/4 e π/6, e utilizzare la circonferenza goniometrica per esprimere i valori di seno, coseno e tangente per π–x, π+x e 2π–x in termini dei loro valori per x, dove x è un qualsiasi numero reale.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Use special triangles to determine geometrically the values of sine, cosine, tangent f or π/3, π/4 and π/6, and use the unit circle to express the values of sine, cosine, and tangent for π–x, π+x, and 2π–x in terms of their values for x, where x is any real number.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.3

Valori esatti di seno, coseno e tangente (da noi in classe 12)
Punto del programma HSF-TF.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Utilizzare la circonferenza goniometrica per spiegare la simmetria (pari e dispari) e la periodicità delle funzioni trigonometriche.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Use the unit circle to explain symmetry (odd and even) and periodicity of trigonometric functions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.4
Punto del programma HSF-TF.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Comprendere che restringere una funzione trigonometrica a un dominio in cui è sempre crescente o sempre decrescente permette di costruirne l'inversa.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Understand that restricting a trigonometric function to a domain on which it is alw ays increasing or always decreasing allows its inverse to be constructed.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.6
Punto del programma HSF-TF.B.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Utilizzare le funzioni inverse per risolvere equazioni trigonometriche che si presentano in contesti di modellizzazione; valutare le soluzioni mediante la tecnologia e interpretarle in termini del contesto.★

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Use inverse functions to solve trigonometric equations that arise in modeling c ontexts; evaluate the solutions using technology, and interpret them in terms of the context.★

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.7
Punto del programma HSG-GPE · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Esprimere proprietà geometriche con equazioni

nostra traduzione · testo originale (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)
Punto del programma HSG-GPE.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Tradurre tra la descrizione geometrica e l'equazione di una sezione conica

nostra traduzione · testo originale (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A
Punto del programma HSG-GPE.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Ricavare le equazioni di ellissi e iperboli dati i fuochi, utilizzando il fatto che la somma o la differenza delle distanze dai fuochi è costante.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Derive the equations of ellipses and hyperbolas given the foci, using the fact tha t the sum or difference of distances from the foci is constant.

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.3
Punto del programma HSG-GMD · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Misura geometrica e dimensione

nostra traduzione · testo originale (EN): Geometric Measurement and Dimension

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)
Punto del programma HSG-GMD.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Spiegare le formule del volume e utilizzarle per risolvere problemi

nostra traduzione · testo originale (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A
Punto del programma HSG-GMD.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Fornire un'argomentazione informale utilizzando il principio di Cavalieri per le formule del volume di una sfera e di altre figure solide.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Give an informal argument using Cavalieri’s principle for the formulas for the v olume of a sphere and other solid figures.

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.2
Punto del programma HSS-MD · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare la probabilità per prendere decisioni

nostra traduzione · testo originale (EN): Using Probability to Make Decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)
Punto del programma HSS-MD.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Calcolare valori attesi e utilizzarli per risolvere problemi

nostra traduzione · testo originale (EN): Calculate expected values and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster A
Punto del programma HSS-MD.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare la probabilità per valutare gli esiti delle decisioni

nostra traduzione · testo originale (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B
Punto del programma HSS-MD.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Definire una variabile aleatoria per una quantità di interesse assegnando un valore numerico a ciascun evento in uno spazio campionario; rappresentare graficamente la corrispondente distribuzione di probabilità utilizzando le stesse rappresentazioni grafiche usate per le distribuzioni di dati.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Define a random variable for a quantity of interest by assigning a numerical value to each event in a sample space; graph the corresponding probability distribution using the same graphical displays as for data distributions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.1
Punto del programma HSS-MD.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Calcolare il valore atteso di una variabile casuale; interpretarlo come la media della distribuzione di probabilità.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Calculate the expected value of a random variable; interpret it as the mean of the probability distribution.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.2

Calcolare il valore atteso da una tabella di probabilità (da noi in classe 10-12)
Punto del programma HSS-MD.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Sviluppare una distribuzione di probabilità per una variabile aleatoria definita per uno spazio campionario in cui è possibile calcolare le probabilità teoriche; trovare il valore atteso. Per esempio, trovare la distribuzione di probabilità teorica per il numero di risposte corrette ottenute tirando a indovinare su tutte e cinque le domande di un test a risposta multipla in cui ogni domanda ha quattro opzioni, e trovare il voto atteso in base a diversi schemi di valutazione.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample spac e in which theoretical probabilities can be calculated; find the expected value. For example, find the theoretical probability distribution for the number of correct answers obtained by guessing on all five questions of a multiple-choice test where each question has four choices, and find the expected grade under various grading schemes.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.3

Calcolare il valore atteso da una tabella di probabilità (da noi in classe 10-12) · Distribuzioni binomiali e valore atteso (da noi in classe 12)
Punto del programma HSS-MD.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Sviluppare una distribuzione di probabilità per una variabile casuale definita per uno spazio campionario in cui le probabilità sono assegnate empiricamente; trovare il valore atteso. Per esempio, trovare una distribuzione attuale di dati sul numero di apparecchi televisivi per nucleo familiare negli Stati Uniti e calcolare il numero atteso di apparecchi per nucleo familiare. Quanti apparecchi televisivi ci si aspetterebbe di trovare in 100 nuclei familiari selezionati casualmente?

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample spac e in which probabilities are assigned empirically; find the expected value. For example, find a current data distribution on the number of TV sets per household in the United States, and calculate the expected number of sets per household. How many TV sets would you expect to find in 100 randomly selected households?

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.4

Calcolare il valore atteso da una tabella di probabilità (da noi in classe 10-12)
Punto del programma HSS-MD.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Ponderare i possibili esiti di una decisione assegnando probabilità ai valori di payoff e calcolando i valori attesi. a. Calcolare il payoff atteso per un gioco d'azzardo. Per esempio, calcolare la vincita attesa da un biglietto della lotteria statale o da un gioco in un fast-food. b. Valutare e confrontare strategie sulla base dei valori attesi. Per esempio, confrontare una polizza assicurativa per autoveicoli ad alta franchigia rispetto a una a bassa franchigia utilizzando probabilità diverse, ma ragionevoli, di avere un incidente lieve o grave.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Weigh the possible outcomes of a decision by assigning probabilities to pa yoff values and finding expected values. a. Find the expected payoff for a game of chance. For example, find the expected winnings from a state lottery ticket or a game at a fast-food restaurant. b. Evaluate and compare strategies on the basis of expected values. For example, compare a high-deductible versus a low-deductible automobile insurance policy using various, but reasonable, chances of having a minor or a major accident.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.5

Calcolare il valore atteso da una tabella di probabilità (da noi in classe 10-12)

Competenze passo dopo passo

Complessi coniugati, modulo e divisione

Gli studenti imparano a trovare i complessi coniugati, a calcolare il modulo e la distanza geometrica e a usare i coniugati per dividere i numeri complessi.

Punto del programma HSN-CN.A.3 (+) Trovare il coniugato di un numero complesso; usare i coniugati per trovare moduli e quozienti di numeri complessi. (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-CN.B.6 (+) Calcolare la distanza tra numeri nel piano complesso come modulo della differenza, e il punto medio di un segmento come media dei numeri ai suoi estremi. (nostra traduzione)

A questo livello, gli studenti lavorano con i numeri complessi scritti in forma standard con parte reale e immaginaria. Imparano a determinare il complesso coniugato invertendo il segno del termine immaginario e utilizzano questo valore per calcolare il modulo di un numero, ossia il suo valore assoluto o la sua distanza dallo zero. Gli studenti utilizzano inoltre i coniugati per dividere i numeri complessi, eliminando l'unità immaginaria dal denominatore, e trovano la distanza geometrica tra due punti nel piano complesso calcolando il modulo della loro differenza.

Un tipico ostacolo si presenta quando si determina il coniugato: gli studenti spesso cambiano erroneamente il segno della parte reale anziché di quella immaginaria, trasformando 3 + 4i in -3 + 4i invece di 3 - 4i. Nelle divisioni, capita spesso che gli studenti commettano errori di segno quando moltiplicano termini contenenti l'unità immaginaria, dimenticando che i moltiplicato per i è uguale a -1.

Le attività pratiche invitano gli studenti a risolvere esercizi diretti suddivisi in quattro tipologie principali:

Complesso coniugato: scrivere il coniugato di un dato valore complesso.
Modulo di un numero complesso: calcolare il valore assoluto di un'espressione.
Divisione di numeri complessi: moltiplicare numeratore e denominatore per il coniugato per semplificare una frazione in forma standard.
Distanza nel piano complesso: trovare la distanza tra due coordinate complesse calcolando il modulo della loro differenza.

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Tipi di esercizi: Modulo di un numero complesso · Coniugato di un numero complesso · Distanza nel piano complesso · Divisione di numeri complessi

Operazioni con le matrici e moltiplicazione di vettori

Gli studenti imparano a scalare, sommare, sottrarre e moltiplicare matrici, e a moltiplicare matrici per vettori colonna per modellare trasformazioni.

Punto del programma HSN-VM.C.11 (+) Moltiplicare un vettore (considerato come una matrice con una colonna) per una matrice di dimensioni opportune per produrre un altro vettore. Lavorare con le matrici come trasformazioni di vettori. (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-VM.C.7 (+) Moltiplicare matrici per scalari per produrre nuove matrici, ad es., come quando tutti i payoff in un gioco vengono raddoppiati. (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-VM.C.8 (+) Addizionare, sottrarre e moltiplicare matrici di dimensioni appropriate. (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-VM.C.9 (+) Comprendere che, a differenza della moltiplicazione di numeri, la moltiplicazione tra matrici per matrici quadrate non è un'operazione commutativa, ma soddisfa comunque le proprietà associativa e distributiva. (nostra traduzione)

Gli studenti eseguono calcoli con matrici e vettori di dimensioni appropriate. Eseguono la moltiplicazione per uno scalare moltiplicando ogni elemento, combinano matrici tramite addizione e sottrazione e moltiplicano matrici tra loro. Moltiplicano inoltre una matrice per un vettore colonna per ottenere un nuovo vettore, riconoscendo che la moltiplicazione tra matrici è associativa e distributiva, ma non commutativa.

Un errore frequente si verifica durante la moltiplicazione tra matrici quando gli studenti cercano di moltiplicare direttamente gli elementi corrispondenti, invece di moltiplicare gli elementi di ciascuna riga per gli elementi di una colonna e sommare i risultati. Inoltre, gli studenti trattano comunemente la moltiplicazione tra matrici come una normale moltiplicazione tra numeri, presumendo erroneamente che cambiare l'ordine delle matrici dia esattamente lo stesso risultato o dimenticando di verificare se le dimensioni interne coincidano.

Nella pratica, gli studenti risolvono problemi in tre formati specifici:

Combinazione lineare di matrici, in cui moltiplicano matrici per fattori numerici e sommano o sottraggono le matrici risultanti;
Prodotto di matrici, in cui verificano che il numero di colonne della prima matrice corrisponda al numero di righe della seconda prima di calcolare gli elementi finali;
Matrice per vettore, in cui applicano una matrice di trasformazione a un singolo vettore colonna per generare il vettore di output risultante.

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Tipi di esercizi: Combinazione di matrici · Matrice per vettore · Prodotto di matrici

Distribuzioni binomiali e valore atteso

Gli studenti calcolano le probabilità teoriche per eventi ripetuti di successo o insuccesso e determinano il valore atteso o il risultato medio di tali prove.

Punto del programma HSS-MD.A.3 (+) Sviluppare una distribuzione di probabilità per una variabile aleatoria definita per uno spazio campionario in cui è possibile calcolare le probabilità teoriche; trovare il valore atteso. Per esempio, trovare la distribuzione di probabilità teorica per il numero di risposte corrette ottenute tirando a indovinare su tutte e cinque le domande di un test a risposta multipla in cui ogni domanda ha quattro opzioni, e trovare il voto atteso in base a diversi schemi di valutazione. (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a modellizzare scenari che coinvolgono eventi indipendenti ripetuti con due possibili esiti, noti come prove di Bernoulli. Utilizzando situazioni come rispondere a caso a un test a risposta multipla di cinque domande con quattro opzioni per domanda, gli studenti costruiscono distribuzioni di probabilità per il numero totale di successi e calcolano il valore atteso in base a diversi sistemi di punteggio.

Un errore tipico si verifica quando gli studenti calcolano la probabilità di un esito specifico, come rispondere correttamente a due domande su cinque. Spesso moltiplicano tra loro le probabilità di successo e di fallimento, ma dimenticano di considerare il numero di ordini diversi in cui tali successi possono verificarsi, tralasciando il coefficiente binomiale.

Nella pratica, gli esercizi si basano su due modelli principali. In Prove di Bernoulli, gli studenti individuano le probabilità della singola prova e calcolano la probabilità esatta di ottenere un numero specifico di successi in prove ripetute. In Media di una distribuzione binomiale, gli studenti utilizzano il numero di prove e le probabilità di successo per calcolare il risultato medio atteso o il punteggio atteso nel tempo.

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Tipi di esercizi: Valore atteso della binomiale · Schema di Bernoulli

Lunghezze dei vettori e combinazioni lineari

Gli studenti imparano a determinare il modulo di un vettore e a combinare i vettori algebricamente mediante la moltiplicazione per uno scalare, l'addizione e la sottrazione.

Punto del programma HSN-VM.A.2 (+) Trovare le componenti di un vettore sottraendo le coordinate di un punto iniziale dalle coordinate di un punto terminale. (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-VM.B.4 (+) Sommare e sottrarre vettori. a. Sommare vettori con il metodo punta-coda, per componenti e con la regola del parallelogramma. Comprendere che il modulo della somma di due vettori in genere non è la somma dei moduli. b. Dati due vettori in forma di modulo e direzione, determinare il modulo e la direzione della loro somma. c. Comprendere la sottrazione di vettori v – w come v + (–w), dove –w è l'inverso additivo di w, con lo stesso modulo di w e che punta nella direzione opposta. Rappresentare graficamente la sottrazione di vettori collegando le punte nell'ordine appropriato ed eseguire la sottrazione di vettori per componenti. (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-VM.B.5 (+) Moltiplicare un vettore per uno scalare. a. Rappresentare graficamente la moltiplicazione per uno scalare scalando i vettori ed eventualmente invertendone la direzione; eseguire la moltiplicazione per uno scalare componente per componente, ad es. come c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Calcolare il modulo di un multiplo scalare cv utilizzando ||cv|| = |c|v. Calcolare la direzione di cv sapendo che quando |c|v ≠ 0, la direzione di cv è o lungo v (per c > 0) o contraria a v (per c < 0). (nostra traduzione)

In questa fase, gli studenti lavorano con vettori bidimensionali espressi sotto forma di componenti. Calcolano la lunghezza (modulo) di un vettore e creano combinazioni lineari riscalando i vettori—moltiplicando le componenti per un fattore scalare c per ottenere (cv_x, cv_y)—e combinandoli mediante addizione e sottrazione componente per componente.

Un errore concettuale comune si verifica quando si calcola il modulo di un vettore combinato: gli studenti spesso presumono che la lunghezza di una somma sia uguale alla somma delle singole lunghezze, il che in genere non è vero. Un altro errore frequente riguarda gli scalari negativi. Quando moltiplicano per un numero negativo, a volte gli studenti tralasciano i segni negativi durante la sottrazione delle componenti o dimenticano che il modulo deve rimanere positivo, riscalato dal valore assoluto dello scalare.

Le attività della scheda di lavoro consolidano queste competenze attraverso due formati specifici:

Lunghezza di un vettore: Gli studenti determinano il valore numerico del modulo a partire dalle componenti fornite del vettore.
Combinazione lineare di vettori: Dati due o più vettori, gli studenti devono riscalarli e combinarli per determinare le componenti del vettore risultante.

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Tipi di esercizi: Combinazione di vettori · Modulo di un vettore

Forma polare e rettangolare dei numeri complessi

Gli studenti imparano a trovare l'argomento di un numero complesso e a convertire tra la forma polare e quella rettangolare utilizzando gli angoli notevoli sul piano complesso.

Punto del programma HSN-CN.B.4 (+) Rappresentare i numeri complessi sul piano complesso in forma rettangolare e polare (inclusi i numeri reali e immaginari) e spiegare perché le forme rettangolare e polare di un dato numero complesso rappresentano lo stesso numero. (nostra traduzione)

In questa fase, gli studenti imparano a rappresentare i numeri complessi — inclusi i numeri reali e puramente immaginari — sul piano complesso sia in forma cartesiana che in forma polare. Collegano le coordinate nella forma standard a + bi con la distanza dall'origine e l'angolo di rotazione, utilizzando gli angoli trigonometrici notevoli per trovare valori esatti senza ricorrere ad approssimazioni.

Un errore comune si verifica nel determinare l'angolo, o argomento, di un numero complesso situato al di fuori del primo quadrante. Gli studenti spesso individuano il corretto angolo di riferimento utilizzando i rapporti trigonometrici, ma non tengono conto dei segni negativi della parte reale o immaginaria, posizionando l'angolo risultante nel quadrante sbagliato del piano complesso.

Le attività pratiche mirano a consolidare questa competenza attraverso due esercizi principali:

Argomento di un numero complesso: gli studenti identificano l'angolo di direzione esatto per un dato valore complesso rappresentato sul piano complesso.
Dalla forma polare alla forma cartesiana: gli studenti utilizzano i valori esatti degli angoli notevoli per riconvertire le espressioni polari nelle coordinate cartesiane standard.

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Tipi di esercizi: Argomento di un numero complesso · Dalla forma trigonometrica alla forma algebrica

Calcolo del determinante e dell'inversa di una matrice 2×2

Gli studenti imparano a calcolare il determinante di una matrice 2×2 e a usarlo per trovare l'inversa moltiplicativa della matrice.

Punto del programma HSA-REI.C.9 (+) Trovare l'inversa di una matrice se esiste e utilizzarla per risolvere sistemi di equazioni lineari (utilizzando la tecnologia per matrici di dimensione 3 × 3 o superiore). (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-VM.C.10 (+) Comprendere che la matrice nulla e la matrice identità svolgono nell'addizione e nella moltiplicazione tra matrici un ruolo simile al ruolo di 0 e 1 nei numeri reali. Il determinante di una matrice quadrata è diverso da zero se e solo se la matrice ha un inverso moltiplicativo. (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-VM.C.12 (+) Lavorare con matrici 2 × 2 come trasformazioni del piano, e interpretare il valore assoluto del determinante in termini di area. (nostra traduzione)

Gli studenti lavorano manualmente con matrici quadrate 2×2 per calcolarne i determinanti e stabilire se esiste un'inversa. Imparano che una matrice possiede un'inversa moltiplicativa solo quando il suo determinante è diverso da zero. Quando il determinante è diverso da zero, gli studenti lo utilizzano insieme agli elementi riorganizzati della matrice per calcolare l'esatta matrice inversa.

Un errore comune riguarda i segni negativi durante il calcolo del determinante, in cui gli studenti sommano i prodotti delle diagonali invece di sottrarre il prodotto della diagonale secondaria da quello della diagonale principale. Inoltre, gli studenti invertono frequentemente i segni o scambiano le coppie errate di elementi quando scrivono la matrice inversa, oppure tentano di calcolare l'inversa di una matrice il cui determinante è pari a zero.

Le attività pratiche si presentano in due formati standard di schede didattiche: Determinante di una matrice, in cui gli studenti calcolano il valore numerico di una griglia di numeri 2×2, e Matrice inversa, in cui gli studenti verificano prima se l'inversione è possibile e poi scrivono la matrice inversa risultante.

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Tipi di esercizi: Determinante di una matrice · Matrice inversa

Calcolare il valore atteso da una tabella di probabilità

Gli studenti imparano a calcolare il valore atteso di una variabile aleatoria discreta utilizzando una tabella di probabilità e a interpretarlo come il risultato medio nel tempo.

Punto del programma HSS-MD.A.2 (+) Calcolare il valore atteso di una variabile casuale; interpretarlo come la media della distribuzione di probabilità. (nostra traduzione)
Punto del programma HSS-MD.A.3 (+) Sviluppare una distribuzione di probabilità per una variabile aleatoria definita per uno spazio campionario in cui è possibile calcolare le probabilità teoriche; trovare il valore atteso. Per esempio, trovare la distribuzione di probabilità teorica per il numero di risposte corrette ottenute tirando a indovinare su tutte e cinque le domande di un test a risposta multipla in cui ogni domanda ha quattro opzioni, e trovare il voto atteso in base a diversi schemi di valutazione. (nostra traduzione)
Punto del programma HSS-MD.A.4 (+) Sviluppare una distribuzione di probabilità per una variabile casuale definita per uno spazio campionario in cui le probabilità sono assegnate empiricamente; trovare il valore atteso. Per esempio, trovare una distribuzione attuale di dati sul numero di apparecchi televisivi per nucleo familiare negli Stati Uniti e calcolare il numero atteso di apparecchi per nucleo familiare. Quanti apparecchi televisivi ci si aspetterebbe di trovare in 100 nuclei familiari selezionati casualmente? (nostra traduzione)
Punto del programma HSS-MD.B.5 (+) Ponderare i possibili esiti di una decisione assegnando probabilità ai valori di payoff e calcolando i valori attesi. a. Calcolare il payoff atteso per un gioco d'azzardo. Per esempio, calcolare la vincita attesa da un biglietto della lotteria statale o da un gioco in un fast-food. b. Valutare e confrontare strategie sulla base dei valori attesi. Per esempio, confrontare una polizza assicurativa per autoveicoli ad alta franchigia rispetto a una a bassa franchigia utilizzando probabilità diverse, ma ragionevoli, di avere un incidente lieve o grave. (nostra traduzione)
Punto del programma HSS-MD.B.6 (+) Utilizzare le probabilità per prendere decisioni eque (ad es., estrazione a sorte, utilizzo di un generatore di numeri casuali). (nostra traduzione)
Punto del programma HSS-MD.B.7 (+) Analizzare decisioni e strategie utilizzando concetti di probabilità (ad es., test di prodotto, test medici, togliere il portiere nell'hockey alla fine di una partita). (nostra traduzione)

Al 12° anno, gli studenti lavorano con variabili casuali discrete presentate in tabelle di distribuzione di probabilità. Calcolano il valore atteso moltiplicando ciascun possibile esito numerico per la probabilità corrispondente e sommando tutti i prodotti ottenuti. Attraverso questo processo, imparano a interpretare il numero risultante come la media o il centro ponderato della distribuzione di probabilità.

Un errore comune si verifica quando gli studenti trattano tutti gli esiti allo stesso modo. Invece di calcolare una somma ponderata utilizzando le probabilità fornite, potrebbero semplicemente sommare i valori dei possibili esiti e dividerli per il numero totale di esiti, confondendo una semplice media aritmetica con il valore atteso. Un altro errore frequente consiste nel moltiplicare accidentalmente le probabilità tra loro anziché associare ciascun esito alla relativa probabilità.

Gli esercizi delle schede didattiche presentano una tabella di distribuzione completa che mostra una riga o una colonna di esiti numerici insieme alle rispettive probabilità espresse come frazioni o numeri decimali. Gli studenti calcolano il prodotto per ciascuna coppia, sommano tali valori e indicano il valore atteso della variabile casuale.

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Tipi di esercizi: Il gioco è equo? · Valore atteso da una tabella

Valori esatti di seno, coseno e tangente

Gli studenti determinano i valori esatti di seno, coseno e tangente per gli angoli fondamentali come π/6, π/4 e π/3, e utilizzano la circonferenza goniometrica per calcolare gli angoli associati nei diversi quadranti.

Punto del programma HSF-TF.A.3 (+) Utilizzare triangoli speciali per determinare geometricamente i valori di seno, coseno, tangente per π/3, π/4 e π/6, e utilizzare la circonferenza goniometrica per esprimere i valori di seno, coseno e tangente per π–x, π+x e 2π–x in termini dei loro valori per x, dove x è un qualsiasi numero reale. (nostra traduzione)

Nel 12° anno, gli studenti determinano i valori esatti delle funzioni seno, coseno e tangente senza ricorrere alla calcolatrice. Utilizzano triangoli rettangoli speciali per trovare i valori geometrici degli angoli notevoli, nello specifico π/6, π/4 e π/3 radianti. Gli studenti utilizzano quindi la geometria della circonferenza goniometrica per associare questi valori agli altri quadranti, riscrivendo espressioni della forma π – x, π + x e 2π – x in funzione di un angolo x.

Un ostacolo frequente è sbagliare il segno positivo o negativo. Gli studenti spesso determinano il rapporto numerico corretto a partire dall'angolo di riferimento, ma dimenticano di verificare in quale quadrante si trovi l'angolo completo, scrivendo per errore un valore positivo per il coseno nel secondo quadrante o per il seno nel terzo quadrante.

Le attività delle schede didattiche incentrate sul Valore esatto di una funzione trigonometrica propongono agli studenti espressioni specifiche, come trovare il valore esatto di cos(5π/6) o tan(4π/3). Gli studenti individuano il triangolo speciale di riferimento, applicano la formula di riduzione per individuare l'angolo sulla circonferenza goniometrica e scrivono la soluzione finale sotto forma di frazione semplificata o di radicale anziché come numero decimale arrotondato.

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Risoluzione di sistemi di equazioni con le matrici

Gli studenti imparano a scrivere i sistemi lineari come equazioni matriciali e a risolverli utilizzando le matrici inverse, usando la tecnologia per sistemi di dimensione 3 × 3 o superiore.

Punto del programma HSA-REI.C.8 (+) Rappresentare un sistema di equazioni lineari come una singola equazione matriciale in una variabile vettoriale. (nostra traduzione)
Punto del programma HSA-REI.C.9 (+) Trovare l'inversa di una matrice se esiste e utilizzarla per risolvere sistemi di equazioni lineari (utilizzando la tecnologia per matrici di dimensione 3 × 3 o superiore). (nostra traduzione)

Gli studenti imparano a riscrivere un sistema di equazioni lineari come un'unica equazione matriciale nella forma Ax = b, dove A è la matrice dei coefficienti e x è il vettore delle incognite. Determinano se la matrice dei coefficienti è invertibile e moltiplicano per tale inversa per trovare i valori delle incognite. Sebbene gli studenti possano calcolare a mano le matrici inverse per sistemi semplici, utilizzano la tecnologia per calcolare le inverse e risolvere sistemi con matrici di dimensione 3 × 3 o superiore.

Un errore comune riguarda l'ordine della moltiplicazione tra matrici. Poiché la moltiplicazione tra matrici non è commutativa, moltiplicare i termini noti per l'inversa nell'ordine errato — calcolando bA^-1 invece di A^-1b — porta a incompatibilità tra le dimensioni o a risposte errate. Inoltre, gli studenti trascurano frequentemente le variabili mancanti in un'equazione, dimenticando di inserire uno 0 nella matrice dei coefficienti in quella posizione.

Nella pratica, attività come Risolvere un sistema con una matrice presentano agli studenti due o più equazioni. Gli studenti prima organizzano le equazioni in forma matriciale, trovano l'inversa della matrice dei coefficienti per via algebrica o usando una calcolatrice grafica, e poi moltiplicano per trovare le coordinate esatte o i valori delle variabili che soddisfano l'intero sistema.

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Modelli di esercizi da stampare

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Valore esatto di una funzione goniometrica

Risoluzione di sistemi di equazioni con le matrici

Sistema in forma matriciale

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