Program nauczania (Stany Zjednoczone)

Matematyka — klasa 4 liceum i technikum

Matematyka dla 12. klasy według standardów Common Core State Standards, zazwyczaj Precalculus: liczby zespolone w postaci trygonometrycznej, wektory, macierze i układy równań, wartości funkcji trygonometrycznych, wartość oczekiwana oraz prawdopodobieństwo dwumianowe. Każdy temat zawiera arkusze ćwiczeń do druku.

Wygeneruj arkusz z tego zakresu

Czego uczniowie uczą się na matematyce w 12. klasie?

W 12. klasie uczniowie zapisują liczby zespolone w postaci biegunowej oraz wyznaczają ich moduł i sprzężenie, dodają i skalują wektory oraz obliczają iloczyny skalarne, a także mnożą i odwracają macierze 2×2 w celu rozwiązywania układów równań. Wyznaczają dokładne wartości funkcji trygonometrycznych oraz obliczają wartości oczekiwane i prawdopodobieństwa w rozkładzie dwumianowym. Większość z nich to standardy oznaczone (+), przeznaczone dla uczniów przygotowujących się do analizy matematycznej.

O standardach: standardy Common Core dla szkół średnich są zorganizowane według kategorii pojęciowych (Liczby i wielkości, Algebra, Funkcje, Geometria, Statystyka i prawdopodobieństwo), a nie według klas. Przypisanie tematu do danej klasy jest naszą decyzją, zgodną z powszechną sekwencją kursów: Algebra I, Geometria, Algebra II i Precalculus. Standardy oznaczone symbolem (+) wykraczają poza podstawowy zakres przygotowania do studiów i kariery zawodowej.

Status strony: tematy dla tej klasy są gotowe w postaci prostych ćwiczeń (instrukcja i wzór); zadania z diagramami oraz zadania z treścią są dodawane w następnej kolejności.

Zakres programowy

Punkt podstawy HSN-CN · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Układ liczb zespolonych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): The Complex Number System

CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Complex Number System (HSN-CN)
Punkt podstawy HSN-CN.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Wykonywać działania arytmetyczne na liczbach zespolonych.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Perform arithmetic operations with complex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster A
Punkt podstawy HSN-CN.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Przedstawiać liczby zespolone i działania na nich na płaszczyźnie zespolonej.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Represent complex numbers and their operations on the complex plane.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster B
Punkt podstawy HSN-CN.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Wyznaczać sprzężenie liczby zespolonej; używać sprzężeń do wyznaczania modułów i ilorazów liczb zespolonych.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Find the conjugate of a complex number; use conjugates to find moduli and quotients of c omplex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.3

Sprzężenie zespolone, moduł i dzielenie (u nas w klasie 12)
Punkt podstawy HSN-CN.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Przedstawiać liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej w postaci prostokątnej i biegunowej (w tym liczby rzeczywiste i urojone) oraz wyjaśniać, dlaczego postać prostokątna i biegunowa danej liczby zespolonej reprezentują tę samą liczbę.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Represent complex numbers on the complex plane in rectangular and polar f orm (including real and imaginary numbers), and explain why the rectangular and polar forms of a given complex number represent the same number.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.4

Postać biegunowa i algebraiczna liczb zespolonych (u nas w klasie 12)
Punkt podstawy HSN-CN.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Przedstawiać geometrycznie dodawanie, odejmowanie, mnożenie i sprzężenie liczb zespolonych na płaszczyźnie zespolonej; wykorzystywać własności tej reprezentacji do obliczeń. Na przykład (–1 + √3 i)3 = 8, ponieważ (–1 + √3 i) ma moduł 2 i argument 120°.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Represent addition, subtraction, multiplication, and conjugation of c omplex numbers geometrically on the complex plane; use properties of this representation for computation. For example, (–1 + √3 i)3 = 8 because (–1 + √3 i) has modulus 2 and argument 120°.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.5
Punkt podstawy HSN-CN.B.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Obliczać odległość między liczbami na płaszczyźnie zespolonej jako moduł różnicy, a środek odcinka jako średnią liczb w jego punktach końcowych.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Calculate the distance between numbers in the complex plane as the modulus of the diff erence, and the midpoint of a segment as the average of the numbers at its endpoints.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.6

Sprzężenie zespolone, moduł i dzielenie (u nas w klasie 12)
Punkt podstawy HSN-VM · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Wielkości wektorowe i macierzowe

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Vector and Matrix Quantities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Vector and Matrix Quantities (HSN-VM)
Punkt podstawy HSN-VM.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Przedstawiać i modelować za pomocą wielkości wektorowych.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Represent and model with vector quantities.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster A
Punkt podstawy HSN-VM.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Wykonywać działania na wektorach.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Perform operations on vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster B
Punkt podstawy HSN-VM.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Wykonywać działania na macierzach i wykorzystywać macierze w zastosowaniach.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Perform operations on matrices and use matrices in applications.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster C
Punkt podstawy HSN-VM.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Rozpoznawać wielkości wektorowe jako mające zarówno wartość, jak i kierunek. Przedstawiać wielkości wektorowe za pomocą odcinków skierowanych i używać odpowiednich symboli dla wektorów oraz ich wartości (np. v, |v|, ||v||, v).

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Recognize vector quantities as having both magnitude and direction. R epresent vector quantities by directed line segments, and use appropriate symbols for vectors and their magnitudes (e.g., v, |v|, ||v||, v).

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.1
Punkt podstawy HSN-VM.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Wyznaczać współrzędne wektora, odejmując współrzędne punktu początkowego od współrzędnych punktu końcowego.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Find the components of a vector by subtracting the coordinates of an initial point fr om the coordinates of a terminal point.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.2

Długości wektorów i kombinacje liniowe (u nas w klasie 12)
Punkt podstawy HSN-VM.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Rozwiązywać zadania dotyczące prędkości i innych wielkości, które mogą być reprezentowane przez wektory.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Solve problems involving velocity and other quantities that can be r epresented by vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.3
Punkt podstawy HSN-VM.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Dodawać i odejmować wektory. a. Dodawać wektory metodą łączenia końca z początkiem, według współrzędnych oraz za pomocą reguły równoległoboku. Rozumieć, że długość sumy dwóch wektorów zazwyczaj nie jest sumą ich długości. b. Mając dane dwa wektory w postaci długości i kierunku, wyznaczać długość i kierunek ich sumy. c. Rozumieć odejmowanie wektorów v – w jako v + (–w), gdzie –w jest elementem przeciwnym względem dodawania do w, o tej samej długości co w i o przeciwnym zwrocie. Przedstawiać graficznie odejmowanie wektorów poprzez łączenie końców w odpowiedniej kolejności oraz wykonywać odejmowanie wektorów według współrzędnych.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Add and subtract vectors. a. Add vectors end-to-end, component-wise, and by the parallelogram rule. Understand that the magnitude of a sum of two vectors is typically not the sum of the magnitudes. b. Given two vectors in magnitude and direction form, determine the magnitude and direction of their sum. c. Understand vector subtraction v – w as v + (–w), where –w is the additive inverse of w, with the same magnitude as w and pointing in the opposite direction. Represent vector subtraction graphically by connecting the tips in the appropriate order, and perform vector subtraction component-wise.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.B.4

Długości wektorów i kombinacje liniowe (u nas w klasie 12)
Punkt podstawy HSN-VM.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Mnożyć wektor przez skalar. a. Przedstawiać mnożenie przez skalar graficznie poprzez skalowanie wektorów i ewentualne odwracanie ich zwrotu; wykonywać mnożenie przez skalar po współrzędnych, np. jako c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Obliczać długość iloczynu przez skalar cv za pomocą ||cv|| = |c|v. Wyznaczać zwrot cv, wiedząc, że gdy |c|v ≠ 0, zwrot cv jest albo zgodny z v (dla c > 0), albo przeciwny do v (dla c < 0).

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Multiply a vector by a scalar. a. Represent scalar multiplication graphically by scaling vectors and possibly reversing their direction; perform scalar multiplication component-wise, e.g., as c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Compute the magnitude of a scalar multiple cv using ||cv|| = |c|v. Compute the direction of cv knowing that when |c|v ≠ 0, the direction of cv is either along v (for c > 0) or against v (for c < 0).

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.B.5

Długości wektorów i kombinacje liniowe (u nas w klasie 12)
Punkt podstawy HSN-VM.C.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Używać macierzy do reprezentowania i przekształcania danych, np. do reprezentowania wypłat lub relacji incydencji w sieci.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Use matrices to represent and manipulate data, e.g., to represent payoffs or incidenc e relationships in a network.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.6
Punkt podstawy HSN-VM.C.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Mnożyć macierze przez skalary, aby otrzymać nowe macierze, np. tak jak wtedy, gdy wszystkie wypłaty w grze są podwajane.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Multiply matrices by scalars to produce new matrices, e.g., as when all of the pa yoffs in a game are doubled.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.7

Operacje na macierzach i mnożenie wektorów (u nas w klasie 12)
Punkt podstawy HSN-VM.C.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Dodawać, odejmować i mnożyć macierze o odpowiednich wymiarach.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Add, subtract, and multiply matrices of appropriate dimensions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.8

Operacje na macierzach i mnożenie wektorów (u nas w klasie 12)
Punkt podstawy HSN-VM.C.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Rozumieć, że w przeciwieństwie do mnożenia liczb, mnożenie macierzy dla macierzy kwadratowych nie jest działaniem przemiennym, ale nadal spełnia własności łączności i rozdzielności.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Understand that, unlike multiplication of numbers, matrix multiplication for squar e matrices is not a commutative operation, but still satisfies the associative and distributive properties.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.9

Operacje na macierzach i mnożenie wektorów (u nas w klasie 12)
Punkt podstawy HSN-VM.C.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Rozumieć, że macierz zerowa i macierz jednostkowa odgrywają w dodawaniu i mnożeniu macierzy rolę podobną do roli 0 i 1 w liczbach rzeczywistych. Wyznacznik macierzy kwadratowej jest różny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy macierz ma element odwrotny względem mnożenia.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Understand that the zero and identity matrices play a role in matrix addition and multiplica tion similar to the role of 0 and 1 in the real numbers. The determinant of a square matrix is nonzero if and only if the matrix has a multiplicative inverse.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.10

Wyznaczanie wyznacznika i macierzy odwrotnej macierzy 2×2 (u nas w klasie 12)
Punkt podstawy HSN-VM.C.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Mnożyć wektor (traktowany jako macierz o jednej kolumnie) przez macierz o odpowiednich wymiarach, aby otrzymać inny wektor. Pracować z macierzami jako przekształceniami wektorów.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Multiply a vector (regarded as a matrix with one column) by a matrix of suitable dimensions t o produce another vector. Work with matrices as transformations of vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.11

Operacje na macierzach i mnożenie wektorów (u nas w klasie 12)
Punkt podstawy HSN-VM.C.12 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Posługiwać się macierzami 2 × 2 jako przekształceniami płaszczyzny i interpretować wartość bezwzględną wyznacznika w kontekście pola powierzchni.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Work with 2 × 2 matrices as transformations of the plane, and interpret the absolut e value of the determinant in terms of area.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.12

Wyznaczanie wyznacznika i macierzy odwrotnej macierzy 2×2 (u nas w klasie 12)
Punkt podstawy HSA-REI · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Rozumowanie z wykorzystaniem równań i nierówności

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)
Punkt podstawy HSA-REI.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Rozwiązywać układy równań

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Solve systems of equations

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C
Punkt podstawy HSA-REI.C.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Przedstawiać układ równań liniowych jako pojedyncze równanie macierzowe ze zmienną wektorową.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Represent a system of linear equations as a single matrix equation in a vector variable.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.8

Rozwiązywanie układów równań za pomocą macierzy (u nas w klasie 12)
Punkt podstawy HSA-REI.C.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Wyznaczyć macierz odwrotną, jeśli istnieje, i użyć jej do rozwiązywania układów równań liniowych (z wykorzystaniem technologii dla macierzy o wymiarze 3 × 3 lub większym).

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Find the inverse of a matrix if it exists and use it to solve systems of linear equations (using technology for matrices of dimension 3 × 3 or greater).

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.9

Rozwiązywanie układów równań za pomocą macierzy (u nas w klasie 12) · Wyznaczanie wyznacznika i macierzy odwrotnej macierzy 2×2 (u nas w klasie 12)
Punkt podstawy HSF-BF · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Budowanie funkcji

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Building Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)
Punkt podstawy HSF-BF.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Tworzyć nowe funkcje z istniejących funkcji

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Build new functions from existing functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B
Punkt podstawy HSF-BF.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Rozumieć odwrotną zależność między potęgami a logarytmami i wykorzystywać tę zależność do rozwiązywania zadań dotyczących logarytmów i potęg.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Understand the inverse relationship between exponents and logarithms and use this relationship to solve problems involving logarithms and exponents.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.5
Punkt podstawy HSF-TF · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Funkcje trygonometryczne

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Trigonometric Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Trigonometric Functions (HSF-TF)
Punkt podstawy HSF-TF.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Rozszerzać dziedzinę funkcji trygonometrycznych za pomocą okręgu jednostkowego

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Extend the domain of trigonometric functions using the unit circle

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster A
Punkt podstawy HSF-TF.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Modelować zjawiska okresowe za pomocą funkcji trygonometrycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Model periodic phenomena with trigonometric functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster B
Punkt podstawy HSF-TF.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Wykorzystywać trójkąty szczególne do geometrycznego wyznaczenia wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla π/3, π/4 i π/6 oraz wykorzystywać okrąg jednostkowy do wyrażenia wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla π–x, π+x i 2π–x za pomocą ich wartości dla x, gdzie x jest dowolną liczbą rzeczywistą.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Use special triangles to determine geometrically the values of sine, cosine, tangent f or π/3, π/4 and π/6, and use the unit circle to express the values of sine, cosine, and tangent for π–x, π+x, and 2π–x in terms of their values for x, where x is any real number.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.3

Dokładne wartości sinusa, cosinusa i tangensa (u nas w klasie 12)
Punkt podstawy HSF-TF.A.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Wykorzystywać okrąg jednostkowy do wyjaśnienia symetrii (nieparzystości i parzystości) oraz okresowości funkcji trygonometrycznych.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Use the unit circle to explain symmetry (odd and even) and periodicity of trigonometric functions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.4
Punkt podstawy HSF-TF.B.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Rozumieć, że ograniczenie funkcji trygonometrycznej do dziedziny, na której jest ona zawsze rosnąca lub zawsze malejąca, pozwala na skonstruowanie funkcji do niej odwrotnej.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Understand that restricting a trigonometric function to a domain on which it is alw ays increasing or always decreasing allows its inverse to be constructed.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.6
Punkt podstawy HSF-TF.B.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Stosować funkcje odwrotne do rozwiązywania równań trygonometrycznych pojawiających się w kontekstach modelowania; wyznaczać rozwiązania przy użyciu technologii i interpretować je w odniesieniu do kontekstu.★

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Use inverse functions to solve trigonometric equations that arise in modeling c ontexts; evaluate the solutions using technology, and interpret them in terms of the context.★

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.7
Punkt podstawy HSG-GPE · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Wyrażanie własności geometrycznych za pomocą równań

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)
Punkt podstawy HSG-GPE.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Przechodzić między opisem geometrycznym a równaniem krzywej stożkowej

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A
Punkt podstawy HSG-GPE.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Wyprowadzać równania elips i hiperbol o danych ogniskach, korzystając z faktu, że suma lub różnica odległości od ognisk jest stała.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Derive the equations of ellipses and hyperbolas given the foci, using the fact tha t the sum or difference of distances from the foci is constant.

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.3
Punkt podstawy HSG-GMD · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Pomiar geometryczny i wymiar

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Geometric Measurement and Dimension

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)
Punkt podstawy HSG-GMD.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Wyjaśniać wzory na objętość i stosować je do rozwiązywania zadań

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A
Punkt podstawy HSG-GMD.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Podaje nieformalne uzasadnienie wzorów na objętość kuli i innych brył z wykorzystaniem zasady Cavalieriego.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Give an informal argument using Cavalieri’s principle for the formulas for the v olume of a sphere and other solid figures.

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.2
Punkt podstawy HSS-MD · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Wykorzystanie prawdopodobieństwa do podejmowania decyzji

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Using Probability to Make Decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)
Punkt podstawy HSS-MD.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Obliczać wartości oczekiwane i wykorzystywać je do rozwiązywania problemów

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Calculate expected values and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster A
Punkt podstawy HSS-MD.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Wykorzystywać prawdopodobieństwo do oceny skutków decyzji

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B
Punkt podstawy HSS-MD.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Definiować zmienną losową dla badanej wielkości, przypisując wartość liczbową każdemu zdarzeniu w przestrzeni zdarzeń elementarnych; sporządzać wykres odpowiedniego rozkładu prawdopodobieństwa, używając takich samych przedstawień graficznych, jak dla rozkładów danych.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Define a random variable for a quantity of interest by assigning a numerical value to each event in a sample space; graph the corresponding probability distribution using the same graphical displays as for data distributions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.1
Punkt podstawy HSS-MD.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Obliczać wartość oczekiwaną zmiennej losowej; interpretować ją jako średnią rozkładu prawdopodobieństwa.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Calculate the expected value of a random variable; interpret it as the mean of the probability distribution.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.2

Wyznaczanie wartości oczekiwanej na podstawie tabeli prawdopodobieństwa (u nas w klasie 10-12)
Punkt podstawy HSS-MD.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej określonej na przestrzeni zdarzeń elementarnych, w której można obliczyć prawdopodobieństwa teoretyczne; obliczyć wartość oczekiwaną. Na przykład wyznaczyć teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa liczby poprawnych odpowiedzi uzyskanych drogą zgadywania we wszystkich pięciu pytaniach testu wielokrotnego wyboru, w którym każde pytanie ma cztery warianty odpowiedzi, oraz obliczyć oczekiwaną ocenę przy różnych systemach oceniania.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample spac e in which theoretical probabilities can be calculated; find the expected value. For example, find the theoretical probability distribution for the number of correct answers obtained by guessing on all five questions of a multiple-choice test where each question has four choices, and find the expected grade under various grading schemes.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.3

Wyznaczanie wartości oczekiwanej na podstawie tabeli prawdopodobieństwa (u nas w klasie 10-12) · Rozkłady dwumianowe i wartość oczekiwana (u nas w klasie 12)
Punkt podstawy HSS-MD.A.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej określonej na przestrzeni zdarzeń elementarnych, w której prawdopodobieństwa przypisuje się empirycznie; obliczyć wartość oczekiwaną. Na przykład znaleźć aktualny rozkład danych dotyczących liczby odbiorników telewizyjnych przypadających na gospodarstwo domowe w Stanach Zjednoczonych i obliczyć oczekiwaną liczbę odbiorników przypadających na gospodarstwo domowe. Ilu odbiorników telewizyjnych należałoby się spodziewać w 100 losowo wybranych gospodarstwach domowych?

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample spac e in which probabilities are assigned empirically; find the expected value. For example, find a current data distribution on the number of TV sets per household in the United States, and calculate the expected number of sets per household. How many TV sets would you expect to find in 100 randomly selected households?

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.4

Wyznaczanie wartości oczekiwanej na podstawie tabeli prawdopodobieństwa (u nas w klasie 10-12)
Punkt podstawy HSS-MD.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

(+) Rozważać możliwe wyniki decyzji poprzez przypisywanie prawdopodobieństw wartościom wypłat i wyznaczanie wartości oczekiwanych. a. Znajdować oczekiwaną wypłatę dla gry losowej. Na przykład znajdować oczekiwaną wygraną z losu loterii państwowej lub gry w restauracji fast food. b. Oceniać i porównywać strategie na podstawie wartości oczekiwanych. Na przykład porównywać polisę ubezpieczenia samochodu z wysokim udziałem własnym z polisą z niskim udziałem własnym, przyjmując różne, lecz rozsądne szanse na drobny lub poważny wypadek.

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): (+) Weigh the possible outcomes of a decision by assigning probabilities to pa yoff values and finding expected values. a. Find the expected payoff for a game of chance. For example, find the expected winnings from a state lottery ticket or a game at a fast-food restaurant. b. Evaluate and compare strategies on the basis of expected values. For example, compare a high-deductible versus a low-deductible automobile insurance policy using various, but reasonable, chances of having a minor or a major accident.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.5

Wyznaczanie wartości oczekiwanej na podstawie tabeli prawdopodobieństwa (u nas w klasie 10-12)

Umiejętności krok po kroku

Sprzężenie zespolone, moduł i dzielenie

Uczniowie uczą się wyznaczać sprzężenia liczb zespolonych, obliczać moduł i odległość geometryczną oraz wykorzystywać sprzężenia do dzielenia liczb zespolonych.

Punkt podstawy HSN-CN.A.3 (+) Wyznaczać sprzężenie liczby zespolonej; używać sprzężeń do wyznaczania modułów i ilorazów liczb zespolonych. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSN-CN.B.6 (+) Obliczać odległość między liczbami na płaszczyźnie zespolonej jako moduł różnicy, a środek odcinka jako średnią liczb w jego punktach końcowych. (nasze tłumaczenie)

Na tym poziomie uczniowie pracują z liczbami zespolonymi zapisanymi w postaci standardowej z częścią rzeczywistą i urojoną. Uczą się wyznaczać liczbę sprzężoną poprzez zmianę znaku części urojonej i wykorzystują tę wartość do obliczania modułu liczby — jej wartości bezwzględnej lub odległości od zera. Uczniowie używają również sprzężenia do dzielenia liczb zespolonych, usuwając jednostkę urojoną z mianownika, oraz wyznaczają odległość geometryczną między dwoma punktami na płaszczyźnie zespolonej, obliczając moduł ich różnicy.

Częstą trudnością przy wyznaczaniu liczby sprzężonej jest błędna zmiana znaku części rzeczywistej zamiast urojonej, co prowadzi do przekształcenia 3 + 4i w -3 + 4i zamiast w 3 - 4i. Podczas dzielenia uczniowie często popełniają również błędy w znakach przy mnożeniu wyrazów zawierających jednostkę urojoną, zapominając, że i pomnożone przez i daje -1.

Zadania praktyczne wymagają od uczniów rozwiązywania bezpośrednich ćwiczeń w czterech podstawowych formatach:

Liczba sprzężona: wyznaczanie liczby sprzężonej dla podanej liczby zespolonej.
Moduł liczby zespolonej: obliczanie wartości bezwzględnej wyrażenia.
Dzielenie liczb zespolonych: mnożenie licznika i mianownika przez sprzężenie w celu uproszczenia ułamka do postaci standardowej.
Odległość na płaszczyźnie zespolonej: wyznaczanie odległości między dwoma współrzędnymi zespolonymi poprzez obliczenie modułu ich różnicy.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Moduł liczby zespolonej · Odległość liczb na płaszczyźnie zespolonej · Sprzężenie liczby zespolonej · Dzielenie liczb zespolonych

Operacje na macierzach i mnożenie wektorów

Uczniowie uczą się skalować, dodawać, odejmować i mnożyć macierze oraz mnożyć macierze przez wektory kolumnowe, aby modelować przekształcenia.

Punkt podstawy HSN-VM.C.11 (+) Mnożyć wektor (traktowany jako macierz o jednej kolumnie) przez macierz o odpowiednich wymiarach, aby otrzymać inny wektor. Pracować z macierzami jako przekształceniami wektorów. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSN-VM.C.7 (+) Mnożyć macierze przez skalary, aby otrzymać nowe macierze, np. tak jak wtedy, gdy wszystkie wypłaty w grze są podwajane. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSN-VM.C.8 (+) Dodawać, odejmować i mnożyć macierze o odpowiednich wymiarach. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSN-VM.C.9 (+) Rozumieć, że w przeciwieństwie do mnożenia liczb, mnożenie macierzy dla macierzy kwadratowych nie jest działaniem przemiennym, ale nadal spełnia własności łączności i rozdzielności. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie wykonują obliczenia na macierzach i wektorach o odpowiednich wymiarach. Wykonują mnożenie przez skalar poprzez skalowanie każdego elementu, łączą macierze poprzez dodawanie i odejmowanie oraz mnożą macierze przez siebie. Mnożą również macierz przez wektor jednokolumnowy, aby otrzymać nowy wektor, pamiętając, że mnożenie macierzy jest łączne i rozdzielne, ale nie jest przemienne.

Częstym błędem podczas mnożenia macierzy jest próba bezpośredniego mnożenia odpowiadających sobie elementów, zamiast mnożenia elementów każdego wiersza przez elementy kolumny i sumowania wyników. Uczniowie często traktują również mnożenie macierzy jak zwykłe mnożenie liczb, błędnie zakładając, że zmiana kolejności macierzy da dokładnie ten sam wynik, lub zapominając o sprawdzeniu, czy wewnętrzne wymiary są zgodne.

W praktyce uczniowie rozwiązują zadania w trzech określonych formatach:

Kombinacja liniowa macierzy, gdzie mnożą macierze przez współczynniki liczbowe oraz dodają lub odejmują powstałe tablice;
Iloczyn macierzy, gdzie przed obliczeniem elementów wynikowych sprawdzają, czy liczba kolumn pierwszej macierzy odpowiada liczbie wierszy drugiej macierzy;
Macierz razy wektor, gdzie stosują macierz przekształcenia do pojedynczego wektora kolumnowego, aby uzyskać wynikowy wektor wyjściowy.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Kombinacja macierzy · Macierz razy wektor · Iloczyn macierzy

Rozkłady dwumianowe i wartość oczekiwana

Uczniowie obliczają prawdopodobieństwa teoretyczne dla powtarzających się zdarzeń typu sukces-porażka i wyznaczają wartość oczekiwaną lub średni wynik w tych próbach.

Punkt podstawy HSS-MD.A.3 (+) Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej określonej na przestrzeni zdarzeń elementarnych, w której można obliczyć prawdopodobieństwa teoretyczne; obliczyć wartość oczekiwaną. Na przykład wyznaczyć teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa liczby poprawnych odpowiedzi uzyskanych drogą zgadywania we wszystkich pięciu pytaniach testu wielokrotnego wyboru, w którym każde pytanie ma cztery warianty odpowiedzi, oraz obliczyć oczekiwaną ocenę przy różnych systemach oceniania. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie uczą się modelować scenariusze obejmujące powtarzające się niezależne zdarzenia o dwóch możliwych wynikach, znane jako próby Bernoulliego. Na przykładzie sytuacji takich jak zgadywanie odpowiedzi w teście wyboru składającym się z pięciu pytań z czterema opcjami każde, uczniowie tworzą rozkłady prawdopodobieństwa dla łącznej liczby sukcesów i wyznaczają wartość oczekiwaną przy różnych zasadach punktacji.

Typowy błąd pojawia się, gdy uczniowie obliczają prawdopodobieństwo określonego wyniku, na przykład udzielenia poprawnej odpowiedzi na dwa z pięciu pytań. Często mnożą oni przez siebie prawdopodobieństwa sukcesu i porażki, zapominając jednak o uwzględnieniu liczby różnych kolejności, w jakich te sukcesy mogą wystąpić, i pomijając liczbę kombinacji.

W praktyce zadania opierają się na dwóch głównych schematach. W próbach Bernoulliego uczniowie określają prawdopodobieństwa dla pojedynczej próby i obliczają dokładne prawdopodobieństwo uzyskania określonej liczby sukcesów w powtarzanych próbach. W wartości oczekiwanej rozkładu dwumianowego uczniowie wykorzystują liczbę prób oraz prawdopodobieństwo sukcesu do obliczenia średniego oczekiwanego wyniku lub przewidywanej oceny.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wartość oczekiwana rozkładu dwumianowego · Schemat Bernoulliego

Długości wektorów i kombinacje liniowe

Uczniowie uczą się wyznaczać długość wektora oraz łączyć wektory algebraicznie za pomocą mnożenia przez skalar, dodawania i odejmowania.

Punkt podstawy HSN-VM.A.2 (+) Wyznaczać współrzędne wektora, odejmując współrzędne punktu początkowego od współrzędnych punktu końcowego. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSN-VM.B.4 (+) Dodawać i odejmować wektory. a. Dodawać wektory metodą łączenia końca z początkiem, według współrzędnych oraz za pomocą reguły równoległoboku. Rozumieć, że długość sumy dwóch wektorów zazwyczaj nie jest sumą ich długości. b. Mając dane dwa wektory w postaci długości i kierunku, wyznaczać długość i kierunek ich sumy. c. Rozumieć odejmowanie wektorów v – w jako v + (–w), gdzie –w jest elementem przeciwnym względem dodawania do w, o tej samej długości co w i o przeciwnym zwrocie. Przedstawiać graficznie odejmowanie wektorów poprzez łączenie końców w odpowiedniej kolejności oraz wykonywać odejmowanie wektorów według współrzędnych. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSN-VM.B.5 (+) Mnożyć wektor przez skalar. a. Przedstawiać mnożenie przez skalar graficznie poprzez skalowanie wektorów i ewentualne odwracanie ich zwrotu; wykonywać mnożenie przez skalar po współrzędnych, np. jako c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Obliczać długość iloczynu przez skalar cv za pomocą ||cv|| = |c|v. Wyznaczać zwrot cv, wiedząc, że gdy |c|v ≠ 0, zwrot cv jest albo zgodny z v (dla c > 0), albo przeciwny do v (dla c < 0). (nasze tłumaczenie)

Na tym etapie uczniowie pracują z wektorami dwuwymiarowymi zapisanymi w postaci współrzędnych. Obliczają długość (moduł) wektora i tworzą kombinacje liniowe poprzez skalowanie wektorów — mnożenie współrzędnych przez skalar c, aby otrzymać (cv_x, cv_y) — oraz łączenie ich poprzez dodawanie i odejmowanie poszczególnych współrzędnych.

Częste błędne przekonanie pojawia się podczas obliczania długości wektora wypadkowego: uczniowie często zakładają, że długość sumy jest równa sumie poszczególnych długości, co z reguły nie jest prawdą. Inny częsty błąd dotyczy ujemnych skalarów. Przy mnożeniu przez liczbę ujemną uczniowie czasami gubią znaki minus podczas odejmowania współrzędnych lub zapominają, że długość wektora musi pozostać dodatnia, przeskalowana przez wartość bezwzględną skalara.

Zadania na kartach pracy utrwalają te umiejętności w dwóch określonych formatach:

Długość wektora: Uczniowie wyznaczają wartość liczbową długości wektora na podstawie jego danych współrzędnych.
Kombinacja liniowa wektorów: Uczniowie otrzymują dwa lub więcej wektorów i muszą je przeskalować oraz połączyć, aby wyznaczyć współrzędne wektora wynikowego.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Długość wektora · Kombinacja wektorów

Postać biegunowa i algebraiczna liczb zespolonych

Uczniowie uczą się wyznaczać argument liczby zespolonej oraz przekształcać między postacią biegunową a prostokątną, wykorzystując kąty szczególne na płaszczyźnie zespolonej.

Punkt podstawy HSN-CN.B.4 (+) Przedstawiać liczby zespolone na płaszczyźnie zespolonej w postaci prostokątnej i biegunowej (w tym liczby rzeczywiste i urojone) oraz wyjaśniać, dlaczego postać prostokątna i biegunowa danej liczby zespolonej reprezentują tę samą liczbę. (nasze tłumaczenie)

Na tym etapie uczniowie uczą się przedstawiać liczby zespolone — w tym liczby rzeczywiste i czysto urojone — na płaszczyźnie zespolonej, zarówno w postaci algebraicznej, jak i biegunowej. Wiążą współrzędne w standardowej postaci a + bi z odległością od początku układu współrzędnych oraz kątem obrotu, wykorzystując charakterystyczne kąty trygonometryczne do wyznaczania dokładnych wartości bez polegania na przybliżeniach.

Częsty błąd pojawia się podczas wyznaczania kąta, czyli argumentu liczby zespolonej znajdującej się poza pierwszą ćwiartką. Uczniowie często znajdują poprawny kąt odniesienia za pomocą funkcji trygonometrycznych, ale nie uwzględniają znaków ujemnych w części rzeczywistej lub urojonej, przez co umieszczają wynikowy kąt w niewłaściwej ćwiartce płaszczyzny zespolonej.

Zadania praktyczne rozwijają tę umiejętność poprzez dwa główne ćwiczenia:

Argument liczby zespolonej: Uczniowie określają dokładny kąt skierowany dla danej wartości zespolonej zaznaczonej na płaszczyźnie zespolonej.
Z postaci biegunowej do postaci algebraicznej: Uczniowie wykorzystują dokładne wartości dla charakterystycznych kątów, aby przekształcić wyrażenia w postaci biegunowej z powrotem na standardowe współrzędne w postaci algebraicznej.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Argument liczby zespolonej · Postać trygonometryczna na algebraiczną

Wyznaczanie wyznacznika i macierzy odwrotnej macierzy 2×2

Uczniowie uczą się obliczać wyznacznik macierzy 2×2 i wykorzystywać go do znajdowania macierzy odwrotnej.

Punkt podstawy HSA-REI.C.9 (+) Wyznaczyć macierz odwrotną, jeśli istnieje, i użyć jej do rozwiązywania układów równań liniowych (z wykorzystaniem technologii dla macierzy o wymiarze 3 × 3 lub większym). (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSN-VM.C.10 (+) Rozumieć, że macierz zerowa i macierz jednostkowa odgrywają w dodawaniu i mnożeniu macierzy rolę podobną do roli 0 i 1 w liczbach rzeczywistych. Wyznacznik macierzy kwadratowej jest różny od zera wtedy i tylko wtedy, gdy macierz ma element odwrotny względem mnożenia. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSN-VM.C.12 (+) Posługiwać się macierzami 2 × 2 jako przekształceniami płaszczyzny i interpretować wartość bezwzględną wyznacznika w kontekście pola powierzchni. (nasze tłumaczenie)

Uczniowie pracują ręcznie z macierzami kwadratowymi 2×2, aby obliczać ich wyznaczniki i ustalać, czy istnieje macierz odwrotna. Dowiadują się, że macierz posiada macierz odwrotną tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Gdy wyznacznik jest niezerowy, uczniowie używają go wraz z odpowiednio przekształconymi elementami macierzy do obliczenia dokładnej macierzy odwrotnej.

Częsty błąd wiąże się ze znakami ujemnymi podczas obliczania wyznacznika, kiedy uczniowie dodają iloczyny elementów na przekątnych zamiast odejmować iloczyn elementów na przekątnej bocznej od iloczynu na przekątnej głównej. Uczniowie często mylą także znaki lub zamieniają niewłaściwe pary elementów podczas wyznaczania macierzy odwrotnej, bądź próbują obliczyć macierz odwrotną dla macierzy, której wyznacznik wynosi zero.

Zadania ćwiczeniowe występują w dwóch standardowych formatach kart pracy: Wyznacznik macierzy, gdzie uczniowie obliczają wartość liczbową dla siatki liczb 2×2, oraz Macierz odwrotna, gdzie uczniowie najpierw sprawdzają, czy odwrócenie macierzy jest możliwe, a następnie zapisują powstałą macierz odwrotną.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wyznacznik macierzy · Macierz odwrotna

Wyznaczanie wartości oczekiwanej na podstawie tabeli prawdopodobieństwa

Uczniowie uczą się obliczać wartość oczekiwaną dyskretnej zmiennej losowej przy użyciu tabeli prawdopodobieństwa i interpretować ją jako średni wynik na przestrzeni czasu.

Punkt podstawy HSS-MD.A.2 (+) Obliczać wartość oczekiwaną zmiennej losowej; interpretować ją jako średnią rozkładu prawdopodobieństwa. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSS-MD.A.3 (+) Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej określonej na przestrzeni zdarzeń elementarnych, w której można obliczyć prawdopodobieństwa teoretyczne; obliczyć wartość oczekiwaną. Na przykład wyznaczyć teoretyczny rozkład prawdopodobieństwa liczby poprawnych odpowiedzi uzyskanych drogą zgadywania we wszystkich pięciu pytaniach testu wielokrotnego wyboru, w którym każde pytanie ma cztery warianty odpowiedzi, oraz obliczyć oczekiwaną ocenę przy różnych systemach oceniania. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSS-MD.A.4 (+) Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa dla zmiennej losowej określonej na przestrzeni zdarzeń elementarnych, w której prawdopodobieństwa przypisuje się empirycznie; obliczyć wartość oczekiwaną. Na przykład znaleźć aktualny rozkład danych dotyczących liczby odbiorników telewizyjnych przypadających na gospodarstwo domowe w Stanach Zjednoczonych i obliczyć oczekiwaną liczbę odbiorników przypadających na gospodarstwo domowe. Ilu odbiorników telewizyjnych należałoby się spodziewać w 100 losowo wybranych gospodarstwach domowych? (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSS-MD.B.5 (+) Rozważać możliwe wyniki decyzji poprzez przypisywanie prawdopodobieństw wartościom wypłat i wyznaczanie wartości oczekiwanych. a. Znajdować oczekiwaną wypłatę dla gry losowej. Na przykład znajdować oczekiwaną wygraną z losu loterii państwowej lub gry w restauracji fast food. b. Oceniać i porównywać strategie na podstawie wartości oczekiwanych. Na przykład porównywać polisę ubezpieczenia samochodu z wysokim udziałem własnym z polisą z niskim udziałem własnym, przyjmując różne, lecz rozsądne szanse na drobny lub poważny wypadek. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSS-MD.B.6 (+) Stosować prawdopodobieństwo do podejmowania sprawiedliwych decyzji (np. losowanie, korzystanie z generatora liczb losowych). (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSS-MD.B.7 (+) Analizować decyzje i strategie z wykorzystaniem pojęć rachunku prawdopodobieństwa (np. testowanie produktów, testy medyczne, wycofanie bramkarza pod koniec meczu hokejowego). (nasze tłumaczenie)

W klasie 12 uczniowie pracują z dyskretnymi zmiennymi losowymi przedstawionymi w tabelach rozkładu prawdopodobieństwa. Obliczają wartość oczekiwaną, mnożąc każdy możliwy wynik liczbowy przez odpowiadające mu prawdopodobieństwo i sumując wszystkie iloczyny. Dzięki temu procesowi uczą się interpretować otrzymaną liczbę jako średnią lub ważony środek rozkładu prawdopodobieństwa.

Częsty błąd pojawia się wtedy, gdy uczniowie traktują wszystkie wyniki jednakowo. Zamiast obliczać sumę ważoną z wykorzystaniem podanych prawdopodobieństw, mogą po prostu dodać możliwe wartości wyników i podzielić je przez liczbę wyników, myląc zwykłą średnią arytmetyczną z wartością oczekiwaną. Inną częstą pomyłką jest przypadkowe mnożenie prawdopodobieństw przez siebie, zamiast łączenia każdego wyniku w parę z odpowiadającym mu prawdopodobieństwem.

Zadania na kartach pracy przedstawiają wypełnioną tabelę rozkładu zawierającą wiersz lub kolumnę wyników liczbowych wraz z odpowiadającymi im prawdopodobieństwami w postaci ułamków zwykłych lub dziesiętnych. Uczniowie obliczają iloczyn dla każdej pary, sumują te wartości i podają wartość oczekiwaną zmiennej losowej.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Czy gra jest sprawiedliwa? · Wartość oczekiwana z tabeli rozkładu

Dokładne wartości sinusa, cosinusa i tangensa

Uczniowie znajdują dokładne wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kluczowych kątów, takich jak π/6, π/4 i π/3, oraz wykorzystują okrąg jednostkowy do wyznaczania wartości dla powiązanych kątów w różnych ćwiartkach.

Punkt podstawy HSF-TF.A.3 (+) Wykorzystywać trójkąty szczególne do geometrycznego wyznaczenia wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla π/3, π/4 i π/6 oraz wykorzystywać okrąg jednostkowy do wyrażenia wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla π–x, π+x i 2π–x za pomocą ich wartości dla x, gdzie x jest dowolną liczbą rzeczywistą. (nasze tłumaczenie)

W klasie 12 uczniowie wyznaczają dokładne wartości funkcji sinus, cosinus i tangens bez użycia kalkulatora. Korzystają z własności trójkątów prostokątnych o kątach szczególnych, aby znaleźć geometryczne wartości dla kątów bazowych — zwłaszcza π/6, π/4 oraz π/3 radiana. Następnie wykorzystują geometrię okręgu jednostkowego, aby odnieść te wartości do innych ćwiartek, zapisując wyrażenia postaci π – x, π + x oraz 2π – x w zależności od kąta x.

Częstą trudnością jest pomyłka w znaku wartości funkcji. Uczniowie nierzadko poprawnie wyznaczają wartość liczbową z kąta odniesienia, ale zapominają sprawdzić, w której ćwiartce leży cały kąt, przez co błędnie podają dodatnią wartość dla cosinusa w drugiej ćwiartce lub dla sinusa w trzeciej ćwiartce.

Zadania z kart pracy poświęcone zagadnieniu Dokładna wartość funkcji trygonometrycznej stawiają przed uczniami konkretne polecenia, takie jak wyznaczenie dokładnej wartości cos(5π/6) lub tan(4π/3). Uczniowie rozpoznają odpowiedni trójkąt szczególny, stosują wzory redukcyjne, aby zlokalizować kąt na okręgu jednostkowym, a ostateczny wynik zapisują w postaci uproszczonego ułamka lub pierwiastka, zamiast zaokrąglonej liczby dziesiętnej.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Rozwiązywanie układów równań za pomocą macierzy

Uczniowie uczą się zapisywać układy równań liniowych w postaci równań macierzowych i rozwiązywać je za pomocą macierzy odwrotnych, wykorzystując technologię w przypadku układów o rozmiarze 3 × 3 lub większych.

Punkt podstawy HSA-REI.C.8 (+) Przedstawiać układ równań liniowych jako pojedyncze równanie macierzowe ze zmienną wektorową. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSA-REI.C.9 (+) Wyznaczyć macierz odwrotną, jeśli istnieje, i użyć jej do rozwiązywania układów równań liniowych (z wykorzystaniem technologii dla macierzy o wymiarze 3 × 3 lub większym). (nasze tłumaczenie)

Uczniowie uczą się przekształcać układ równań liniowych w jedno równanie macierzowe postaci Ax = b, gdzie A jest macierzą współczynników, a x wektorem zmiennych. Określają, czy macierz współczynników posiada macierz odwrotną, i mnożą przez nią, aby wyznaczyć niewiadome. O ile uczniowie potrafią ręcznie obliczać macierze odwrotne dla prostych układów, o tyle w przypadku macierzy o wymiarach 3 × 3 lub większych korzystają z technologii do znajdowania macierzy odwrotnych i rozwiązywania układów.

Częstym błędem jest nieprawidłowa kolejność mnożenia macierzy. Ponieważ mnożenie macierzy nie jest przemienne, pomnożenie wyrazów wolnych przez macierz odwrotną w złej kolejności — obliczenie bA^-1 zamiast A^-1b — prowadzi do niezgodności wymiarów lub błędnych wyników. Uczniowie często pomijają także brakujące zmienne w równaniu, zapominając o wpisaniu 0 w odpowiednim miejscu macierzy współczynników.

W praktyce zadania takie jak Rozwiązywanie układu równań za pomocą macierzy stawiają przed uczniami dwa lub więcej równań. Uczniowie najpierw zapisują równania w postaci macierzowej, znajdują macierz odwrotną do macierzy współczynników — algebraicznie lub za pomocą kalkulatora graficznego — a następnie wykonują mnożenie, aby wyznaczyć dokładne współrzędne lub wartości zmiennych spełniające cały układ.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Szablony zadań do druku

Wszystkie typy zadań, pogrupowane według umiejętności. Kliknięcie otwiera generator z wybranym już typem.

Dokładna wartość funkcji trygonometrycznej

Rozwiązywanie układów równań za pomocą macierzy

Układ równań w postaci macierzowej

Pozostałe typy zadań

Wygeneruj arkusz z tego zakresu