Lehrplan (Vereinigte Staaten)

Mathematik — Klasse 12

Mathematik der 12. Klasse nach den Common Core State Standards, üblicherweise Precalculus: komplexe Zahlen in Polarform, Vektoren, Matrizen und Gleichungssysteme, trigonometrische Werte, Erwartungswert und Binomialwahrscheinlichkeit. Zu jedem Thema gibt es druckbare Arbeitsblätter.

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Was lernen Schüler in der 12. Klasse in Mathematik?

In der 12. Klasse stellen die Schülerinnen und Schüler komplexe Zahlen in Polarform dar, bestimmen deren Betrag und konjugiert komplexe Zahl, addieren und skalieren Vektoren, berechnen Skalarprodukte und multiplizieren sowie invertieren 2×2-Matrizen, um Gleichungssysteme zu lösen. Sie ermitteln exakte trigonometrische Werte und berechnen Erwartungswerte sowie Binomialwahrscheinlichkeiten. Die meisten davon sind (+)-Standards für Schülerinnen und Schüler auf dem Weg zur Analysis.

Über die Standards: Die High-School-Standards des Common Core sind nach konzeptionellen Kategorien gegliedert (Zahlen und Größen, Algebra, Funktionen, Geometrie, Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung), nicht nach Klassenstufen. Die Zuordnung eines Themas zu einer Klassenstufe ist unsere Entscheidung und folgt der üblichen Kursabfolge von Algebra I, Geometrie, Algebra II und Precalculus. Mit (+) gekennzeichnete Standards gehen über den Kernbereich für Studien- und Berufsbefähigung hinaus.

Seitenstatus: Die Themen dieser Klassenstufe stehen als einfache Übungen (Aufgabenstellung und Formel) bereit; Aufgaben mit Diagrammen und Textaufgaben werden als Nächstes ergänzt.

Lehrplanumfang

Lehrplanpunkt HSN-CN · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Das System der komplexen Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): The Complex Number System

CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Complex Number System (HSN-CN)
Lehrplanpunkt HSN-CN.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Arithmetische Operationen mit komplexen Zahlen durchführen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Perform arithmetic operations with complex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster A
Lehrplanpunkt HSN-CN.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Komplexe Zahlen und ihre Operationen in der komplexen Zahlenebene darstellen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Represent complex numbers and their operations on the complex plane.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster B
Lehrplanpunkt HSN-CN.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Die Konjugierte einer komplexen Zahl bestimmen; Konjugierte verwenden, um Beträge und Quotienten komplexer Zahlen zu bestimmen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Find the conjugate of a complex number; use conjugates to find moduli and quotients of c omplex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.3

Komplex konjugierte Zahlen, Betrag und Division (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-CN.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Komplexe Zahlen in der komplexen Zahlenebene in kartesischer Form und Polarform darstellen (einschließlich reeller und imaginärer Zahlen) und erklären, warum die kartesische Form und die Polarform einer gegebenen komplexen Zahl dieselbe Zahl darstellen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Represent complex numbers on the complex plane in rectangular and polar f orm (including real and imaginary numbers), and explain why the rectangular and polar forms of a given complex number represent the same number.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.4

Polar- und kartesische Form komplexer Zahlen (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-CN.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Addition, Subtraktion, Multiplikation und Konjugation komplexer Zahlen geometrisch in der komplexen Zahlenebene darstellen; Eigenschaften dieser Darstellung für Berechnungen nutzen. Zum Beispiel ist (–1 + √3 i)3 = 8, weil (–1 + √3 i) den Betrag 2 und das Argument 120° hat.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Represent addition, subtraction, multiplication, and conjugation of c omplex numbers geometrically on the complex plane; use properties of this representation for computation. For example, (–1 + √3 i)3 = 8 because (–1 + √3 i) has modulus 2 and argument 120°.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.5
Lehrplanpunkt HSN-CN.B.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Den Abstand zwischen Zahlen in der komplexen Zahlenebene als Betrag der Differenz und den Mittelpunkt einer Strecke als Mittelwert der Zahlen an ihren Endpunkten berechnen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Calculate the distance between numbers in the complex plane as the modulus of the diff erence, and the midpoint of a segment as the average of the numbers at its endpoints.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.6

Komplex konjugierte Zahlen, Betrag und Division (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Vektor- und Matrixgrößen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Vector and Matrix Quantities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Vector and Matrix Quantities (HSN-VM)
Lehrplanpunkt HSN-VM.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Mit vektoriellen Größen darstellen und modellieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Represent and model with vector quantities.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster A
Lehrplanpunkt HSN-VM.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Operationen mit Vektoren durchführen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Perform operations on vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster B
Lehrplanpunkt HSN-VM.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Operationen mit Matrizen durchführen und Matrizen in Anwendungen verwenden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Perform operations on matrices and use matrices in applications.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster C
Lehrplanpunkt HSN-VM.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Vektorielle Größen als Größen erkennen, die sowohl einen Betrag als auch eine Richtung haben. Vektorielle Größen durch gerichtete Strecken darstellen und geeignete Symbole für Vektoren und ihre Beträge verwenden (z. B. v, |v|, ||v||, v).

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Recognize vector quantities as having both magnitude and direction. R epresent vector quantities by directed line segments, and use appropriate symbols for vectors and their magnitudes (e.g., v, |v|, ||v||, v).

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.1
Lehrplanpunkt HSN-VM.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Die Komponenten eines Vektors durch Subtrahieren der Koordinaten eines Anfangspunkts von den Koordinaten eines Endpunkts bestimmen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Find the components of a vector by subtracting the coordinates of an initial point fr om the coordinates of a terminal point.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.2

Vektorlängen und Linearkombinationen (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Probleme lösen, die Geschwindigkeit und andere Größen beinhalten, die durch Vektoren dargestellt werden können.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Solve problems involving velocity and other quantities that can be r epresented by vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.3
Lehrplanpunkt HSN-VM.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Vektoren addieren und subtrahieren. a. Vektoren aneinanderhängend, komponentenweise und nach der Parallelogrammregel addieren. Verstehen, dass der Betrag einer Summe zweier Vektoren typischerweise nicht die Summe der Beträge ist. b. Sind zwei Vektoren in Form von Betrag und Richtung gegeben, den Betrag und die Richtung ihrer Summe bestimmen. c. Die Vektorsubtraktion v – w als v + (–w) verstehen, wobei –w das additive Inverse von w ist, mit demselben Betrag wie w und in die entgegengesetzte Richtung zeigend. Die Vektorsubtraktion grafisch darstellen, indem die Spitzen in der entsprechenden Reihenfolge verbunden werden, und die Vektorsubtraktion komponentenweise durchführen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Add and subtract vectors. a. Add vectors end-to-end, component-wise, and by the parallelogram rule. Understand that the magnitude of a sum of two vectors is typically not the sum of the magnitudes. b. Given two vectors in magnitude and direction form, determine the magnitude and direction of their sum. c. Understand vector subtraction v – w as v + (–w), where –w is the additive inverse of w, with the same magnitude as w and pointing in the opposite direction. Represent vector subtraction graphically by connecting the tips in the appropriate order, and perform vector subtraction component-wise.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.B.4

Vektorlängen und Linearkombinationen (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren. a. Die Skalarmultiplikation grafisch durch Skalieren von Vektoren und gegebenenfalls Umkehren ihrer Richtung darstellen; die Skalarmultiplikation komponentenweise durchführen, z. B. als c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Den Betrag eines skalaren Vielfachen cv unter Verwendung von ||cv|| = |c|v berechnen. Die Richtung von cv berechnen in dem Wissen, dass wenn |c|v ≠ 0, die Richtung von cv entweder entlang v (für c > 0) oder gegen v (für c < 0) verläuft.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Multiply a vector by a scalar. a. Represent scalar multiplication graphically by scaling vectors and possibly reversing their direction; perform scalar multiplication component-wise, e.g., as c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Compute the magnitude of a scalar multiple cv using ||cv|| = |c|v. Compute the direction of cv knowing that when |c|v ≠ 0, the direction of cv is either along v (for c > 0) or against v (for c < 0).

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.B.5

Vektorlängen und Linearkombinationen (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Matrizen verwenden, um Daten darzustellen und zu manipulieren, z. B. um Auszahlungen oder Inzidenzbeziehungen in einem Netzwerk darzustellen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Use matrices to represent and manipulate data, e.g., to represent payoffs or incidenc e relationships in a network.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.6
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Matrizen mit Skalaren multiplizieren, um neue Matrizen zu erzeugen, z. B. wenn alle Auszahlungen in einem Spiel verdoppelt werden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Multiply matrices by scalars to produce new matrices, e.g., as when all of the pa yoffs in a game are doubled.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.7

Matrixoperationen und Multiplikation von Vektoren (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Matrizen geeigneter Dimensionen addieren, subtrahieren und multiplizieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Add, subtract, and multiply matrices of appropriate dimensions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.8

Matrixoperationen und Multiplikation von Vektoren (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Verstehen, dass die Matrizenmultiplikation für quadratische Matrizen im Gegensatz zur Multiplikation von Zahlen keine kommutative Operation ist, aber dennoch die Assoziativ- und Distributiveigenschaften erfüllt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Understand that, unlike multiplication of numbers, matrix multiplication for squar e matrices is not a commutative operation, but still satisfies the associative and distributive properties.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.9

Matrixoperationen und Multiplikation von Vektoren (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Verstehen, dass die Null- und Einheitsmatrizen bei der Matrizenaddition und -multiplikation eine ähnliche Rolle spielen wie 0 und 1 bei den reellen Zahlen. Die Determinante einer quadratischen Matrix ist genau dann ungleich null, wenn die Matrix ein multiplikatives Inverses besitzt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Understand that the zero and identity matrices play a role in matrix addition and multiplica tion similar to the role of 0 and 1 in the real numbers. The determinant of a square matrix is nonzero if and only if the matrix has a multiplicative inverse.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.10

Berechnung der Determinante und der Inversen einer 2×2-Matrix (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Einen Vektor (aufgefasst als Matrix mit einer Spalte) mit einer Matrix geeigneter Dimensionen multiplizieren, um einen weiteren Vektor zu erzeugen. Mit Matrizen als Transformationen von Vektoren arbeiten.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Multiply a vector (regarded as a matrix with one column) by a matrix of suitable dimensions t o produce another vector. Work with matrices as transformations of vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.11

Matrixoperationen und Multiplikation von Vektoren (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Mit 2 × 2-Matrizen als Transformationen der Ebene arbeiten und den Betrag der Determinante als Flächeninhalt interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Work with 2 × 2 matrices as transformations of the plane, and interpret the absolut e value of the determinant in terms of area.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.12

Berechnung der Determinante und der Inversen einer 2×2-Matrix (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSA-REI · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Argumentieren mit Gleichungen und Ungleichungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)
Lehrplanpunkt HSA-REI.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungssysteme lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Solve systems of equations

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C
Lehrplanpunkt HSA-REI.C.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Ein lineares Gleichungssystem als eine einzelne Matrixgleichung in einer Vektorvariablen darstellen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Represent a system of linear equations as a single matrix equation in a vector variable.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.8

Lösen von Gleichungssystemen mit Matrizen (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSA-REI.C.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Die Inverse einer Matrix bestimmen, falls sie existiert, und sie zum Lösen linearer Gleichungssysteme verwenden (unter Verwendung von Technologie für Matrizen der Dimension 3 × 3 oder größer).

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Find the inverse of a matrix if it exists and use it to solve systems of linear equations (using technology for matrices of dimension 3 × 3 or greater).

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.9

Lösen von Gleichungssystemen mit Matrizen (bei uns in Klasse 12) · Berechnung der Determinante und der Inversen einer 2×2-Matrix (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSF-BF · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen bilden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Building Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)
Lehrplanpunkt HSF-BF.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Neue Funktionen aus bestehenden Funktionen bilden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Build new functions from existing functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B
Lehrplanpunkt HSF-BF.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Die Umkehrbeziehung zwischen Exponenten und Logarithmen verstehen und diese Beziehung nutzen, um Probleme mit Logarithmen und Exponenten zu lösen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Understand the inverse relationship between exponents and logarithms and use this relationship to solve problems involving logarithms and exponents.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.5
Lehrplanpunkt HSF-TF · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Trigonometrische Funktionen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Trigonometric Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Trigonometric Functions (HSF-TF)
Lehrplanpunkt HSF-TF.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Definitionsbereich trigonometrischer Funktionen mithilfe des Einheitskreises erweitern

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Extend the domain of trigonometric functions using the unit circle

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster A
Lehrplanpunkt HSF-TF.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Periodische Phänomene mit trigonometrischen Funktionen modellieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Model periodic phenomena with trigonometric functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster B
Lehrplanpunkt HSF-TF.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Besondere Dreiecke verwenden, um die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens für π/3, π/4 und π/6 geometrisch zu bestimmen, und den Einheitskreis verwenden, um die Werte von Sinus, Kosinus und Tangens für π–x, π+x und 2π–x durch ihre Werte für x auszudrücken, wobei x eine beliebige reelle Zahl ist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Use special triangles to determine geometrically the values of sine, cosine, tangent f or π/3, π/4 and π/6, and use the unit circle to express the values of sine, cosine, and tangent for π–x, π+x, and 2π–x in terms of their values for x, where x is any real number.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.3

Exakte Werte von Sinus, Kosinus und Tangens (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSF-TF.A.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Den Einheitskreis nutzen, um die Symmetrie (ungerade und gerade) und Periodizität trigonometrischer Funktionen zu erklären.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Use the unit circle to explain symmetry (odd and even) and periodicity of trigonometric functions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.4
Lehrplanpunkt HSF-TF.B.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Verstehen, dass die Einschränkung einer trigonometrischen Funktion auf einen Definitionsbereich, auf dem sie stets wachsend oder stets fallend ist, die Konstruktion ihrer Umkehrfunktion ermöglicht.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Understand that restricting a trigonometric function to a domain on which it is alw ays increasing or always decreasing allows its inverse to be constructed.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.6
Lehrplanpunkt HSF-TF.B.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Umkehrfunktionen verwenden, um trigonometrische Gleichungen zu lösen, die in Modellierungskontexten auftreten; die Lösungen mithilfe von Technologie auswerten und im Hinblick auf den Kontext interpretieren.★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Use inverse functions to solve trigonometric equations that arise in modeling c ontexts; evaluate the solutions using technology, and interpret them in terms of the context.★

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.7
Lehrplanpunkt HSG-GPE · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geometrische Eigenschaften mit Gleichungen ausdrücken

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)
Lehrplanpunkt HSG-GPE.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Zwischen der geometrischen Beschreibung und der Gleichung eines Kegelschnitts übersetzen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A
Lehrplanpunkt HSG-GPE.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Die Gleichungen von Ellipsen und Hyperbeln bei gegebenen Brennpunkten herleiten unter Verwendung der Tatsache, dass die Summe oder Differenz der Abstände von den Brennpunkten konstant ist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Derive the equations of ellipses and hyperbolas given the foci, using the fact tha t the sum or difference of distances from the foci is constant.

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.3
Lehrplanpunkt HSG-GMD · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geometrisches Messen und Dimension

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Geometric Measurement and Dimension

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)
Lehrplanpunkt HSG-GMD.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Volumenformeln erklären und sie zum Lösen von Problemen verwenden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A
Lehrplanpunkt HSG-GMD.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Eine informelle Begründung unter Verwendung des Prinzips von Cavalieri für die Formeln für das Volumen einer Kugel und anderer Körper angeben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Give an informal argument using Cavalieri’s principle for the formulas for the v olume of a sphere and other solid figures.

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.2
Lehrplanpunkt HSS-MD · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wahrscheinlichkeiten nutzen, um Entscheidungen zu treffen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Using Probability to Make Decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)
Lehrplanpunkt HSS-MD.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Erwartungswerte berechnen und sie zur Lösung von Problemen nutzen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Calculate expected values and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster A
Lehrplanpunkt HSS-MD.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wahrscheinlichkeit nutzen, um Ergebnisse von Entscheidungen zu bewerten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B
Lehrplanpunkt HSS-MD.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Eine Zufallsvariable für eine interessierende Größe definieren, indem jedem Ereignis in einem Ergebnisraum ein numerischer Wert zugeordnet wird; die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung unter Verwendung derselben grafischen Darstellungen wie für Datenverteilungen grafisch darstellen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Define a random variable for a quantity of interest by assigning a numerical value to each event in a sample space; graph the corresponding probability distribution using the same graphical displays as for data distributions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.1
Lehrplanpunkt HSS-MD.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Den Erwartungswert einer Zufallsvariablen berechnen; ihn als Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Calculate the expected value of a random variable; interpret it as the mean of the probability distribution.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.2

Erwartungswert aus einer Wahrscheinlichkeitstabelle berechnen (bei uns in Klasse 10-12)
Lehrplanpunkt HSS-MD.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable entwickeln, die für einen Ergebnisraum definiert ist, in dem theoretische Wahrscheinlichkeiten berechnet werden können; den Erwartungswert ermitteln. Zum Beispiel die theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der richtigen Antworten ermitteln, die durch Raten bei allen fünf Fragen eines Multiple-Choice-Tests erzielt werden, bei dem jede Frage vier Auswahlmöglichkeiten hat, und die erwartete Note unter verschiedenen Bewertungsschemata ermitteln.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample spac e in which theoretical probabilities can be calculated; find the expected value. For example, find the theoretical probability distribution for the number of correct answers obtained by guessing on all five questions of a multiple-choice test where each question has four choices, and find the expected grade under various grading schemes.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.3

Erwartungswert aus einer Wahrscheinlichkeitstabelle berechnen (bei uns in Klasse 10-12) · Binomialverteilungen und Erwartungswert (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSS-MD.A.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable entwickeln, die für einen Ergebnisraum definiert ist, in dem Wahrscheinlichkeiten empirisch zugeordnet werden; den Erwartungswert bestimmen. Zum Beispiel eine aktuelle Datenverteilung über die Anzahl der Fernsehgeräte pro Haushalt in den Vereinigten Staaten ermitteln und die erwartete Anzahl an Geräten pro Haushalt berechnen. Wie viele Fernsehgeräte würde man in 100 zufällig ausgewählten Haushalten erwarten?

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample spac e in which probabilities are assigned empirically; find the expected value. For example, find a current data distribution on the number of TV sets per household in the United States, and calculate the expected number of sets per household. How many TV sets would you expect to find in 100 randomly selected households?

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.4

Erwartungswert aus einer Wahrscheinlichkeitstabelle berechnen (bei uns in Klasse 10-12)
Lehrplanpunkt HSS-MD.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Die möglichen Ergebnisse einer Entscheidung abwägen, indem Auszahlungswerten Wahrscheinlichkeiten zugeordnet und Erwartungswerte bestimmt werden. a. Die erwartete Auszahlung für ein Glücksspiel bestimmen. Zum Beispiel den erwarteten Gewinn aus einem staatlichen Lotterielos oder einem Spiel in einem Fast-Food-Restaurant bestimmen. b. Strategien auf der Grundlage von Erwartungswerten bewerten und vergleichen. Zum Beispiel eine Kfz-Versicherung mit hoher Selbstbeteiligung mit einer mit geringer Selbstbeteiligung anhand verschiedener, aber realistischer Wahrscheinlichkeiten für einen leichten oder schweren Unfall vergleichen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Weigh the possible outcomes of a decision by assigning probabilities to pa yoff values and finding expected values. a. Find the expected payoff for a game of chance. For example, find the expected winnings from a state lottery ticket or a game at a fast-food restaurant. b. Evaluate and compare strategies on the basis of expected values. For example, compare a high-deductible versus a low-deductible automobile insurance policy using various, but reasonable, chances of having a minor or a major accident.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.5

Erwartungswert aus einer Wahrscheinlichkeitstabelle berechnen (bei uns in Klasse 10-12)

Kompetenzen Schritt für Schritt

Komplex konjugierte Zahlen, Betrag und Division

Schülerinnen und Schüler lernen, komplex konjugierte Zahlen zu bestimmen, den Betrag und den geometrischen Abstand zu berechnen und Konjugierte zur Division komplexer Zahlen zu verwenden.

Lehrplanpunkt HSN-CN.A.3 (+) Die Konjugierte einer komplexen Zahl bestimmen; Konjugierte verwenden, um Beträge und Quotienten komplexer Zahlen zu bestimmen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSN-CN.B.6 (+) Den Abstand zwischen Zahlen in der komplexen Zahlenebene als Betrag der Differenz und den Mittelpunkt einer Strecke als Mittelwert der Zahlen an ihren Endpunkten berechnen. (unsere Übersetzung)

Auf dieser Stufe arbeiten die Schülerinnen und Schüler mit komplexen Zahlen, die in Standardform mit Real- und Imaginärteil angegeben sind. Sie lernen, die komplex Konjugierte zu bestimmen, indem sie das Vorzeichen des Imaginärteils umkehren, und verwenden diesen Wert, um den Betrag einer Zahl zu berechnen – ihren absoluten Wert bzw. ihren Abstand vom Nullpunkt. Die Schülerinnen und Schüler nutzen Konjugierte außerdem, um komplexe Zahlen zu dividieren, wodurch die imaginäre Einheit aus dem Nenner entfernt wird, und bestimmen den geometrischen Abstand zwischen zwei Punkten in der komplexen Zahlenebene, indem sie den Betrag ihrer Differenz berechnen.

Ein häufiger Stolperstein tritt beim Bestimmen der Konjugierten auf: Lernende ändern oft fälschlicherweise das Vorzeichen des Realteils statt des Imaginärteils und machen so aus 3 + 4i die Zahl -3 + 4i statt 3 - 4i. Beim Dividieren machen Schülerinnen und Schüler zudem häufig Vorzeichenfehler beim Multiplizieren von Termen mit der imaginären Einheit, da sie vergessen, dass i multipliziert mit i gleich -1 ist.

Übungsaufgaben fordern die Schülerinnen und Schüler auf, direkte Aufgaben in vier Kernformaten zu lösen:

Komplex Konjugierte: Bestimmen der Konjugierten für einen gegebenen komplexen Wert.
Betrag einer komplexen Zahl: Berechnen des Betrags eines Ausdrucks.
Dividieren komplexer Zahlen: Multiplizieren von Zähler und Nenner mit der Konjugierten, um einen Bruch in die Standardform zu vereinfachen.
Abstand in der komplexen Zahlenebene: Bestimmen des Abstands zwischen zwei komplexen Koordinaten durch Berechnen des Betrags ihrer Differenz.

Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen

Aufgabentypen: Betrag einer komplexen Zahl · Abstand in der komplexen Ebene · Konjugiert komplexe Zahl · Division komplexer Zahlen

Matrixoperationen und Multiplikation von Vektoren

Schülerinnen und Schüler lernen, Matrizen zu skalieren, zu addieren, zu subtrahieren und zu multiplizieren sowie Matrizen mit Spaltenvektoren zu multiplizieren, um Transformationen zu modellieren.

Lehrplanpunkt HSN-VM.C.11 (+) Einen Vektor (aufgefasst als Matrix mit einer Spalte) mit einer Matrix geeigneter Dimensionen multiplizieren, um einen weiteren Vektor zu erzeugen. Mit Matrizen als Transformationen von Vektoren arbeiten. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.7 (+) Matrizen mit Skalaren multiplizieren, um neue Matrizen zu erzeugen, z. B. wenn alle Auszahlungen in einem Spiel verdoppelt werden. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.8 (+) Matrizen geeigneter Dimensionen addieren, subtrahieren und multiplizieren. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.9 (+) Verstehen, dass die Matrizenmultiplikation für quadratische Matrizen im Gegensatz zur Multiplikation von Zahlen keine kommutative Operation ist, aber dennoch die Assoziativ- und Distributiveigenschaften erfüllt. (unsere Übersetzung)

Schülerinnen und Schüler rechnen mit Matrizen und Vektoren passender Dimensionen. Sie führen skalare Multiplikationen durch, indem sie jeden Eintrag skalieren, kombinieren Matrizen durch Addition und Subtraktion und multiplizieren Matrizen miteinander. Sie multiplizieren außerdem eine Matrix mit einem Spaltenvektor, um einen neuen Vektor zu erzeugen, und erkennen dabei, dass die Matrizenmultiplikation assoziativ und distributiv, aber nicht kommutativ ist.

Ein häufiger Fehler tritt bei der Matrizenmultiplikation auf, wenn Schülerinnen und Schüler versuchen, entsprechende Einträge direkt miteinander zu multiplizieren, anstatt die Einträge jeder Zeile mit den Einträgen einer Spalte zu multiplizieren und die Ergebnisse zu addieren. Häufig behandeln Schülerinnen und Schüler die Matrizenmultiplikation auch wie die gewöhnliche Multiplikation von Zahlen, indem sie fälschlicherweise annehmen, dass eine Änderung der Reihenfolge der Matrizen genau dasselbe Ergebnis liefert, oder indem sie nicht überprüfen, ob die inneren Dimensionen übereinstimmen.

In der Praxis lösen Schülerinnen und Schüler Aufgaben in drei spezifischen Formaten:

Linearkombination von Matrizen, bei der sie Matrizen mit numerischen Faktoren multiplizieren und die resultierenden Anordnungen addieren oder subtrahieren;
Produkt von Matrizen, bei dem sie überprüfen, ob die Spaltenanzahl der ersten Matrix mit der Zeilenanzahl der zweiten Matrix übereinstimmt, bevor sie die endgültigen Einträge berechnen;
Matrix mal Vektor, bei dem sie eine Transformationsmatrix auf einen einzelnen Spaltenvektor anwenden, um den resultierenden Ausgabevektor zu erzeugen.

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Aufgabentypen: Linearkombination von Matrizen · Matrix mal Vektor · Produkt von Matrizen

Binomialverteilungen und Erwartungswert

Schülerinnen und Schüler berechnen theoretische Wahrscheinlichkeiten für wiederholte Erfolgs- oder Misserfolgsereignisse und bestimmen den Erwartungswert oder das durchschnittliche Ergebnis über diese Versuche hinweg.

Lehrplanpunkt HSS-MD.A.3 (+) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable entwickeln, die für einen Ergebnisraum definiert ist, in dem theoretische Wahrscheinlichkeiten berechnet werden können; den Erwartungswert ermitteln. Zum Beispiel die theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der richtigen Antworten ermitteln, die durch Raten bei allen fünf Fragen eines Multiple-Choice-Tests erzielt werden, bei dem jede Frage vier Auswahlmöglichkeiten hat, und die erwartete Note unter verschiedenen Bewertungsschemata ermitteln. (unsere Übersetzung)

Schülerinnen und Schüler lernen, Szenarien mit wiederholten unabhängigen Ereignissen mit zwei Ausgängen zu modellieren, die als Bernoulli-Versuche bekannt sind. Anhand von Situationen wie dem Raten bei einem Multiple-Choice-Test mit fünf Fragen und vier Antwortmöglichkeiten pro Frage erstellen die Lernenden Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Gesamtzahl der Erfolge und ermitteln den Erwartungswert unter verschiedenen Bewertungsschemata.

Ein typischer Fehler tritt auf, wenn Schülerinnen und Schüler die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ergebnisses berechnen, beispielsweise zwei von fünf Fragen richtig zu beantworten. Oft multiplizieren sie die Erfolgs- und Misserfolgswahrscheinlichkeiten miteinander, vergessen jedoch, die Anzahl der verschiedenen Reihenfolgen zu berücksichtigen, in denen diese Erfolge auftreten können, und lassen dabei den Binomialkoeffizienten aus.

In der Praxis greifen die Aufgaben auf zwei Hauptvorlagen zurück. Bei Bernoulli-Versuche bestimmen die Lernenden die Wahrscheinlichkeiten für Einzelversuche und berechnen die exakte Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Anzahl von Erfolgen bei wiederholten Durchführungen. Bei Erwartungswert einer Binomialverteilung nutzen die Lernenden die Anzahl der Versuche und die Erfolgswahrscheinlichkeiten, um das durchschnittlich zu erwartende Ergebnis oder die erwartete Note auf lange Sicht zu berechnen.

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Aufgabentypen: Erwartungswert der Binomialverteilung · Bernoulli-Kette

Vektorlängen und Linearkombinationen

Schülerinnen und Schüler lernen, den Betrag eines Vektors zu bestimmen und Vektoren durch Skalarmultiplikation, Addition und Subtraktion algebraisch zu verknüpfen.

Lehrplanpunkt HSN-VM.A.2 (+) Die Komponenten eines Vektors durch Subtrahieren der Koordinaten eines Anfangspunkts von den Koordinaten eines Endpunkts bestimmen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSN-VM.B.4 (+) Vektoren addieren und subtrahieren. a. Vektoren aneinanderhängend, komponentenweise und nach der Parallelogrammregel addieren. Verstehen, dass der Betrag einer Summe zweier Vektoren typischerweise nicht die Summe der Beträge ist. b. Sind zwei Vektoren in Form von Betrag und Richtung gegeben, den Betrag und die Richtung ihrer Summe bestimmen. c. Die Vektorsubtraktion v – w als v + (–w) verstehen, wobei –w das additive Inverse von w ist, mit demselben Betrag wie w und in die entgegengesetzte Richtung zeigend. Die Vektorsubtraktion grafisch darstellen, indem die Spitzen in der entsprechenden Reihenfolge verbunden werden, und die Vektorsubtraktion komponentenweise durchführen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSN-VM.B.5 (+) Einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren. a. Die Skalarmultiplikation grafisch durch Skalieren von Vektoren und gegebenenfalls Umkehren ihrer Richtung darstellen; die Skalarmultiplikation komponentenweise durchführen, z. B. als c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Den Betrag eines skalaren Vielfachen cv unter Verwendung von ||cv|| = |c|v berechnen. Die Richtung von cv berechnen in dem Wissen, dass wenn |c|v ≠ 0, die Richtung von cv entweder entlang v (für c > 0) oder gegen v (für c < 0) verläuft. (unsere Übersetzung)

Auf dieser Stufe arbeiten die Schülerinnen und Schüler mit zweidimensionalen Vektoren in Komponentenschreibweise. Sie berechnen die Länge (den Betrag) eines Vektors und bilden Linearkombinationen durch das Skalieren von Vektoren – Multiplikation der Komponenten mit einem Skalarfaktor c, um (cv_x, cv_y) zu erhalten – sowie durch deren Kombination mittels komponentenweiser Addition und Subtraktion.

Ein häufiges Missverständnis tritt bei der Bestimmung des Betrags eines kombinierten Vektors auf: Schülerinnen und Schüler nehmen oft fälschlicherweise an, dass die Länge einer Summe gleich der Summe der einzelnen Längen ist, was in der Regel nicht zutrifft. Ein weiterer häufiger Fehler betrifft negative Skalare. Bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl lassen Lernende bei der komponentenweisen Subtraktion bisweilen Minuszeichen weg oder vergessen, dass der Betrag stets positiv bleiben muss und mit dem absoluten Betrag des Skalars skaliert wird.

Die Aufgaben auf den Arbeitsblättern festigen diese Fertigkeiten anhand von zwei spezifischen Formaten:

Länge eines Vektors: Die Lernenden bestimmen den numerischen Betrag aus den gegebenen Koordinatenkomponenten eines Vektors.
Linearkombination von Vektoren: Die Lernenden erhalten zwei oder mehr Vektoren und müssen diese skalieren und kombinieren, um die resultierenden Vektorkomponenten zu ermitteln.

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Aufgabentypen: Linearkombination von Vektoren · Länge eines Vektors

Polar- und kartesische Form komplexer Zahlen

Die Schüler lernen, das Argument einer komplexen Zahl zu bestimmen und mithilfe spezieller Winkel in der komplexen Zahlenebene zwischen Polar- und kartesischer Form umzurechnen.

Lehrplanpunkt HSN-CN.B.4 (+) Komplexe Zahlen in der komplexen Zahlenebene in kartesischer Form und Polarform darstellen (einschließlich reeller und imaginärer Zahlen) und erklären, warum die kartesische Form und die Polarform einer gegebenen komplexen Zahl dieselbe Zahl darstellen. (unsere Übersetzung)

Auf dieser Stufe lernen die Schülerinnen und Schüler, komplexe Zahlen – einschließlich reeller und rein imaginärer Zahlen – sowohl in kartesischer Form als auch in Polarform in der komplexen Zahlenebene darzustellen. Sie verknüpfen Koordinaten in der Standardform a + bi mit dem Abstand zum Ursprung und dem Drehwinkel, wobei sie spezielle trigonometrische Winkel nutzen, um exakte Werte zu ermitteln, ohne sich auf gerundete Näherungswerte zu stützen.

Ein häufiger Fehler tritt bei der Bestimmung des Winkels bzw. Arguments einer komplexen Zahl außerhalb des ersten Quadranten auf. Schülerinnen und Schüler ermitteln häufig den richtigen Referenzwinkel mithilfe trigonometrischer Verhältnisse, berücksichtigen dabei jedoch nicht die negativen Vorzeichen im Real- oder Imaginärteil, wodurch der resultierende Winkel im falschen Quadranten der komplexen Zahlenebene landet.

Übungsaufgaben festigen diese Fertigkeit anhand von zwei Hauptübungen:

Argument einer komplexen Zahl: Die Schülerinnen und Schüler bestimmen den exakten Richtungswinkel für eine gegebene komplexe Zahl, die in der komplexen Zahlenebene dargestellt ist.
Polarform in kartesische Form: Die Schülerinnen und Schüler nutzen exakte Werte für spezielle Winkel, um Polarausdrücke wieder in kartesische Standardkoordinaten umzurechnen.

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Aufgabentypen: Argument einer komplexen Zahl · Polarform in Normalform

Berechnung der Determinante und der Inversen einer 2×2-Matrix

Schülerinnen und Schüler lernen, die Determinante einer 2×2-Matrix zu berechnen und diese zu nutzen, um die multiplikative Inverse der Matrix zu bestimmen.

Lehrplanpunkt HSA-REI.C.9 (+) Die Inverse einer Matrix bestimmen, falls sie existiert, und sie zum Lösen linearer Gleichungssysteme verwenden (unter Verwendung von Technologie für Matrizen der Dimension 3 × 3 oder größer). (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.10 (+) Verstehen, dass die Null- und Einheitsmatrizen bei der Matrizenaddition und -multiplikation eine ähnliche Rolle spielen wie 0 und 1 bei den reellen Zahlen. Die Determinante einer quadratischen Matrix ist genau dann ungleich null, wenn die Matrix ein multiplikatives Inverses besitzt. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.12 (+) Mit 2 × 2-Matrizen als Transformationen der Ebene arbeiten und den Betrag der Determinante als Flächeninhalt interpretieren. (unsere Übersetzung)

Die Schülerinnen und Schüler berechnen von Hand die Determinanten von quadratischen 2×2-Matrizen und ermitteln, ob eine Inverse existiert. Sie lernen, dass eine Matrix nur dann eine multiplikative Inverse besitzt, wenn ihre Determinante ungleich null ist. Ist die Determinante ungleich null, nutzen sie diese zusammen mit den umgestellten Matrixelementen, um die exakte inverse Matrix zu berechnen.

Ein häufiger Fehler tritt bei negativen Vorzeichen bei der Berechnung der Determinante auf, wenn Lernende die Produkte der Diagonalen addieren, anstatt das Produkt der Nebendiagonalen vom Produkt der Hauptdiagonalen zu subtrahieren. Häufig werden beim Aufstellen der inversen Matrix auch Vorzeichen falsch gesetzt, die falschen Paare von Einträgen vertauscht oder es wird versucht, die Inverse einer Matrix zu berechnen, deren Determinante gleich null ist.

Übungsaufgaben gibt es in zwei Standard-Arbeitsblattformaten: Determinante einer Matrix, bei dem die Schülerinnen und Schüler den numerischen Wert eines 2×2-Zahlenfeldes berechnen, und Inverse Matrix, bei dem sie zunächst prüfen, ob eine Inverse möglich ist, und anschließend die resultierende inverse Matrix angeben.

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Aufgabentypen: Determinante einer Matrix · Inverse Matrix

Erwartungswert aus einer Wahrscheinlichkeitstabelle berechnen

Schülerinnen und Schüler lernen, den Erwartungswert einer diskreten Zufallsvariablen mithilfe einer Wahrscheinlichkeitstabelle zu berechnen und ihn als durchschnittliches Ergebnis im Zeitverlauf zu interpretieren.

Lehrplanpunkt HSS-MD.A.2 (+) Den Erwartungswert einer Zufallsvariablen berechnen; ihn als Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung interpretieren. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSS-MD.A.3 (+) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable entwickeln, die für einen Ergebnisraum definiert ist, in dem theoretische Wahrscheinlichkeiten berechnet werden können; den Erwartungswert ermitteln. Zum Beispiel die theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der richtigen Antworten ermitteln, die durch Raten bei allen fünf Fragen eines Multiple-Choice-Tests erzielt werden, bei dem jede Frage vier Auswahlmöglichkeiten hat, und die erwartete Note unter verschiedenen Bewertungsschemata ermitteln. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSS-MD.A.4 (+) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable entwickeln, die für einen Ergebnisraum definiert ist, in dem Wahrscheinlichkeiten empirisch zugeordnet werden; den Erwartungswert bestimmen. Zum Beispiel eine aktuelle Datenverteilung über die Anzahl der Fernsehgeräte pro Haushalt in den Vereinigten Staaten ermitteln und die erwartete Anzahl an Geräten pro Haushalt berechnen. Wie viele Fernsehgeräte würde man in 100 zufällig ausgewählten Haushalten erwarten? (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSS-MD.B.5 (+) Die möglichen Ergebnisse einer Entscheidung abwägen, indem Auszahlungswerten Wahrscheinlichkeiten zugeordnet und Erwartungswerte bestimmt werden. a. Die erwartete Auszahlung für ein Glücksspiel bestimmen. Zum Beispiel den erwarteten Gewinn aus einem staatlichen Lotterielos oder einem Spiel in einem Fast-Food-Restaurant bestimmen. b. Strategien auf der Grundlage von Erwartungswerten bewerten und vergleichen. Zum Beispiel eine Kfz-Versicherung mit hoher Selbstbeteiligung mit einer mit geringer Selbstbeteiligung anhand verschiedener, aber realistischer Wahrscheinlichkeiten für einen leichten oder schweren Unfall vergleichen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSS-MD.B.6 (+) Wahrscheinlichkeiten nutzen, um faire Entscheidungen zu treffen (z. B. Auslosen, Verwenden eines Zufallszahlengenerators). (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSS-MD.B.7 (+) Entscheidungen und Strategien unter Verwendung von Wahrscheinlichkeitskonzepten analysieren (z. B. Produkttests, medizinische Tests, das Herausnehmen des Eishockeytorwarts am Ende eines Spiels). (unsere Übersetzung)

In der 12. Klasse arbeiten Schülerinnen und Schüler mit diskreten Zufallsvariablen, die in Wahrscheinlichkeitsverteilungstabellen dargestellt sind. Sie berechnen den Erwartungswert, indem sie jedes mögliche numerische Ergebnis mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit multiplizieren und alle Produkte addieren. Durch diesen Prozess lernen sie, den resultierenden Wert als Mittelwert oder gewichtetes Zentrum der Wahrscheinlichkeitsverteilung zu interpretieren.

Ein häufiger Fehler tritt auf, wenn Schülerinnen und Schüler alle Ergebnisse gleich behandeln. Anstatt eine gewichtete Summe unter Verwendung der gegebenen Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, addieren sie mitunter einfach die Werte der möglichen Ergebnisse und teilen durch die Anzahl der Ergebnisse, wodurch sie das einfache arithmetische Mittel mit dem Erwartungswert verwechseln. Ein weiteres häufiges Versehen besteht darin, Wahrscheinlichkeiten versehentlich miteinander zu multiplizieren, anstatt jedes Ergebnis mit seiner entsprechenden Wahrscheinlichkeit zu verknüpfen.

Die Aufgaben auf den Arbeitsblättern enthalten eine vollständige Verteilungstabelle, die eine Zeile oder Spalte numerischer Ergebnisse zusammen mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten als Brüche oder Dezimalzahlen darstellt. Die Schülerinnen und Schüler berechnen das Produkt für jedes Paar, summieren diese Werte und geben den Erwartungswert der Zufallsvariablen an.

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Aufgabentypen: Erwartungswert aus einer Verteilungstabelle · Ist das Spiel fair?

Exakte Werte von Sinus, Kosinus und Tangens

Schülerinnen und Schüler bestimmen die exakten Werte von Sinus, Kosinus und Tangens für wichtige Winkel wie π/6, π/4 und π/3 und verwenden den Einheitskreis, um verwandte Winkel in verschiedenen Quadranten zu ermitteln.

Lehrplanpunkt HSF-TF.A.3 (+) Besondere Dreiecke verwenden, um die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens für π/3, π/4 und π/6 geometrisch zu bestimmen, und den Einheitskreis verwenden, um die Werte von Sinus, Kosinus und Tangens für π–x, π+x und 2π–x durch ihre Werte für x auszudrücken, wobei x eine beliebige reelle Zahl ist. (unsere Übersetzung)

In der 12. Klasse bestimmen die Schülerinnen und Schüler die exakten Werte der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktionen, ohne einen Taschenrechner zu verwenden. Sie nutzen spezielle rechtwinklige Dreiecke, um geometrische Werte für Referenzwinkel zu ermitteln – insbesondere für π/6, π/4 und π/3 Radiant. Anschließend verwenden die Schülerinnen und Schüler die Geometrie des Einheitskreises, um diese Werte auf andere Quadranten zu übertragen, und schreiben Ausdrücke der Form π – x, π + x und 2π – x bezüglich eines Winkels x um.

Ein häufiger Stolperstein ist die Wahl des falschen Vorzeichens. Schülerinnen und Schüler ermitteln oft das richtige Zahlenverhältnis anhand des Referenzwinkels, vergessen jedoch zu überprüfen, in welchem Quadranten der gesamte Winkel liegt, und schreiben fälschlicherweise einen positiven Wert für den Kosinus im zweiten Quadranten oder für den Sinus im dritten Quadranten auf.

Aufgaben auf Arbeitsblättern zum Thema Exakter Wert einer trigonometrischen Funktion stellen Schülerinnen und Schüler vor konkrete Terme, wie etwa das Berechnen des exakten Werts von cos(5π/6) oder tan(4π/3). Die Lernenden identifizieren das zugrunde liegende spezielle Dreieck, wenden die Reduktionsformel an, um den Winkel auf dem Einheitskreis zu verorten, und geben das Endergebnis als vereinfachten Bruch oder Wurzelterm statt als gerundete Dezimalzahl an.

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Lösen von Gleichungssystemen mit Matrizen

Schülerinnen und Schüler lernen, lineare Gleichungssysteme als Matrixgleichungen darzustellen und mithilfe inverser Matrizen zu lösen, wobei für Systeme der Größe 3 × 3 oder größer digitale Hilfsmittel verwendet werden.

Lehrplanpunkt HSA-REI.C.8 (+) Ein lineares Gleichungssystem als eine einzelne Matrixgleichung in einer Vektorvariablen darstellen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSA-REI.C.9 (+) Die Inverse einer Matrix bestimmen, falls sie existiert, und sie zum Lösen linearer Gleichungssysteme verwenden (unter Verwendung von Technologie für Matrizen der Dimension 3 × 3 oder größer). (unsere Übersetzung)

Die Lernenden lernen, ein lineares Gleichungssystem als eine einzige Matrizengleichung der Form Ax = b umzuschreiben, wobei A die Koeffizientenmatrix und x der Variablenvektor ist. Sie bestimmen, ob die Koeffizientenmatrix eine Inverse besitzt, und multiplizieren mit dieser Inversen, um nach den unbekannten Werten aufzulösen. Während die Lernenden Inverse für einfache Systeme von Hand berechnen können, nutzen sie Technologie, um Inverse zu bestimmen und Systeme mit Matrizen der Dimension 3 × 3 oder größer zu lösen.

Ein häufiger Fehler betrifft die Reihenfolge der Matrizenmultiplikation. Da die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist, führt das Multiplizieren der Konstanten mit der Inversen in der falschen Reihenfolge – also das Berechnen von bA^-1 anstelle von A^-1b – zu unpassenden Dimensionen oder falschen Ergebnissen. Lernende übersehen zudem häufig fehlende Variablen in einer Gleichung und vergessen, an dieser Stelle eine 0 in die Koeffizientenmatrix einzutragen.

In der Praxis konfrontieren Aufgaben wie Lösen eines Gleichungssystems mithilfe einer Matrix die Lernenden mit zwei oder mehr Gleichungen. Die Lernenden bringen die Gleichungen zunächst in Matrizenform, bestimmen die Inverse der Koeffizientenmatrix entweder algebraisch oder mithilfe eines Grafikrechners und multiplizieren anschließend, um die exakten Koordinaten oder Variablenwerte zu ermitteln, die das gesamte System erfüllen.

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Aufgabenvorlagen zum Ausdrucken

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Exakter Wert einer Winkelfunktion

Lösen von Gleichungssystemen mit Matrizen

Gleichungssystem in Matrixform

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