Español
Programa escolar (Estados Unidos)

Matemáticas — 11.º curso

Matemáticas de 11.º grado según los Estándares Estatales Básicos Comunes, generalmente Álgebra II: división de polinomios, expresiones y ecuaciones racionales, números complejos, el teorema del binomio, medida en radianes y funciones periódicas. Cada tema incluye hojas de trabajo imprimibles.

Crear una hoja de este programa

¿Qué aprenden los estudiantes en matemáticas de 11.º grado?

En 11.º grado, los estudiantes dividen polinomios, simplifican expresiones racionales y resuelven ecuaciones racionales. Operan con números complejos y resuelven ecuaciones cuadráticas con raíces complejas, desarrollan potencias con el teorema del binomio y transforman gráficas de funciones. La medida en radianes y las funciones periódicas preparan la trigonometría del precálculo.

Acerca de los estándares: los estándares de Common Core para la escuela secundaria están organizados por categoría conceptual (Número y cantidad, Álgebra, Funciones, Geometría, Estadística y probabilidad), no por grado. La asignación de un tema a un grado es nuestra decisión, siguiendo la secuencia habitual de cursos de Álgebra I, Geometría, Álgebra II y Precálculo. Los estándares marcados con (+) van más allá del núcleo de preparación para la universidad y la vida profesional.

Estado de la página: los temas de este grado están listos como ejercicios simples (instrucción y fórmula); a continuación se agregarán problemas con diagramas y problemas verbales.

Alcance del currículo

  1. Punto del currículo HSN-CN · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    El sistema de los números complejos

    nuestra traducción · texto original (EN): The Complex Number System

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Complex Number System (HSN-CN)

  2. Punto del currículo HSN-CN.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Realizar operaciones aritméticas con números complejos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Perform arithmetic operations with complex numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster A

  3. Punto del currículo HSN-CN.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar números complejos en identidades y ecuaciones polinomiales.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use complex numbers in polynomial identities and equations.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster C

  4. Punto del currículo HSN-CN.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Saber que existe un número complejo i tal que i2 = –1, y que todo número complejo tiene la forma a + bi con a y b reales.

    nuestra traducción · texto original (EN): Know there is a complex number i such that i2 = –1, and every complex number has the form a + bi with a and b real.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.1

    Adding, Multiplying, and Working with Complex Numbers (en nuestro curso 11)

  5. Punto del currículo HSN-CN.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar la relación i2 = –1 y las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva para sumar, restar y multiplicar números complejos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use the relation i2 = –1 and the commutative, associative, and distributive properties to add, subtract, and multiply complex numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.2

    Adding, Multiplying, and Working with Complex Numbers (en nuestro curso 11)

  6. Punto del currículo HSN-CN.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales que tienen soluciones complejas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve quadratic equations with real coefficients that have complex solutions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.7

    Solving Quadratic Equations with Complex Roots (en nuestro curso 11)

  7. Punto del currículo HSN-CN.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Extender las identidades polinómicas a los números complejos. Por ejemplo, reescribir x2 + 4 como (x + 2i)(x – 2i).

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Extend polynomial identities to the complex numbers. For example, rewrite x2 + 4 as (x + 2i)(x – 2i).

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.8

    Solving Quadratic Equations with Complex Roots (en nuestro curso 11)

  8. Punto del currículo HSN-CN.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Conocer el Teorema Fundamental del Álgebra; mostrar que es verdadero para polinomios cuadráticos.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Know the Fundamental Theorem of Algebra; show that it is true for quadratic polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.9

  9. Punto del currículo HSA-SSE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Ver la estructura en las expresiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Seeing Structure in Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)

  10. Punto del currículo HSA-SSE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar la estructura de las expresiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret the structure of expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A

  11. Punto del currículo HSA-SSE.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B

  12. Punto del currículo HSA-SSE.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto.★ a. Interpretar partes de una expresión, tales como términos, factores y coeficientes. b. Interpretar expresiones complicadas al considerar una o más de sus partes como una sola entidad. Por ejemplo, interpretar P(1+r)n como el producto de P y un factor que no depende de P.

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1

  13. Punto del currículo HSA-SSE.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2).

    nuestra traducción · texto original (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

    Using Special Product Formulas (en nuestro curso 9-11) · Factoring Polynomials with Grouping and Cubes (en nuestro curso 9-11)

  14. Punto del currículo HSA-SSE.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Deducir la fórmula para la suma de una serie geométrica finita (cuando la razón común no es 1), y usar la fórmula para resolver problemas. Por ejemplo, calcular los pagos de una hipoteca.★

    nuestra traducción · texto original (EN): Derive the formula for the sum of a finite geometric series (when the common ratio is not 1), and use the formula to solve problems. For example, calculate mortgage payments.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.B.4

    Finding the nth Term and Sum of a Geometric Sequence (en nuestro curso 9-11)

  15. Punto del currículo HSA-APR · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Aritmética con polinomios y expresiones racionales

    nuestra traducción · texto original (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)

  16. Punto del currículo HSA-APR.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Realizar operaciones aritméticas con polinomios

    nuestra traducción · texto original (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A

  17. Punto del currículo HSA-APR.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la relación entre los ceros y factores de polinomios

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand the relationship between zeros and factors of polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster B

  18. Punto del currículo HSA-APR.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar identidades polinómicas para resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Use polynomial identities to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster C

  19. Punto del currículo HSA-APR.D · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reescribir expresiones racionales

    nuestra traducción · texto original (EN): Rewrite rational expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster D

  20. Punto del currículo HSA-APR.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender que los polinomios forman un sistema análogo al de los números enteros, es decir, son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación; sumar, restar y multiplicar polinomios.

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1

  21. Punto del currículo HSA-APR.B.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Conocer y aplicar el teorema del resto: para un polinomio p(x) y un número a, el resto de la división por x – a es p(a), por lo que p(a) = 0 si y solo si (x – a) es un factor de p(x).

    nuestra traducción · texto original (EN): Know and apply the Remainder Theorem: For a polynomial p(x) and a number a, the remainder on division by x – a is p(a), so p(a) = 0 if and only if (x – a) is a factor of p(x).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.B.2

    Dividing Polynomials and the Remainder Theorem (en nuestro curso 11)

  22. Punto del currículo HSA-APR.B.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Identificar ceros de polinomios cuando se dispone de factorizaciones adecuadas, y usar los ceros para construir una gráfica aproximada de la función definida por el polinomio.

    nuestra traducción · texto original (EN): Identify zeros of polynomials when suitable factorizations are available, and use the zeros to construct a rough graph of the function defined by the polynomial.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.B.3

  23. Punto del currículo HSA-APR.C.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar identidades polinómicas y utilizarlas para describir relaciones numéricas. Por ejemplo, la identidad polinómica (x2 + y2)2 = ( x2 – y2)2 + (2xy)2 se puede utilizar para generar ternas pitagóricas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove polynomial identities and use them to describe numerical relationships. For example, the polynomial identity (x2 + y2)2 = ( x2 – y2)2 + (2xy)2 can be used to generate Pythagorean triples.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.C.4

  24. Punto del currículo HSA-APR.C.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Conocer y aplicar el teorema del binomio para el desarrollo de (x + y)n en potencias de x e y para un número entero positivo n, donde x e y son números cualesquiera, con coeficientes determinados, por ejemplo, por el triángulo de Pascal.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Know and apply the Binomial Theorem for the expansion of (x + y)n in powers of x and y for a positive integer n, where x and y are any numbers, with coefficients determined for example by Pascal’s Triangle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.C.5

    Finding Coefficients in Binomial Expansions (en nuestro curso 11)

  25. Punto del currículo HSA-APR.D.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reescribir expresiones racionales simples en diferentes formas; escribir a(x)/b(x) en la forma q(x) + r(x)/b(x), donde a(x), b(x), q(x) y r(x) son polinomios con el grado de r(x) menor que el grado de b(x), usando inspección, división larga o, para los ejemplos más complicados, un sistema de álgebra computacional.

    nuestra traducción · texto original (EN): Rewrite simple rational expressions in different forms; write a(x)/b(x) in the form q(x) + r(x)/b(x), where a(x), b(x), q(x), and r(x) are polynomials with the degree of r(x) less than the degree of b(x), using inspection, long division, or, for the more complicated examples, a computer algebra system.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.D.6

    Dividing Polynomials and the Remainder Theorem (en nuestro curso 11) · Multiplying and Subtracting Rational Expressions (en nuestro curso 11)

  26. Punto del currículo HSA-APR.D.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Comprender que las expresiones racionales forman un sistema análogo a los números racionales, cerrado bajo la suma, resta, multiplicación y división por una expresión racional distinta de cero; sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones racionales.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Understand that rational expressions form a system analogous to the rational numbers, closed under addition, subtraction, multiplication, and division by a nonzero rational expression; add, subtract, multiply, and divide rational expressions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.D.7

  27. Punto del currículo HSA-CED · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones★

    nuestra traducción · texto original (EN): Creating Equations★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)

  28. Punto del currículo HSA-CED.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones que describan números o relaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations that describe numbers or relationships

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A

  29. Punto del currículo HSA-CED.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones y desigualdades en una variable y usarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surgen de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples.

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1

  30. Punto del currículo HSA-CED.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones con dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2

  31. Punto del currículo HSA-CED.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelado. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3

  32. Punto del currículo HSA-CED.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reorganizar fórmulas para destacar una cantidad de interés, utilizando el mismo razonamiento que al resolver ecuaciones. Por ejemplo, reorganizar la ley de Ohm V = IR para destacar la resistencia R.

    nuestra traducción · texto original (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4

  33. Punto del currículo HSA-REI · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Razonamiento con ecuaciones y desigualdades

    nuestra traducción · texto original (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)

  34. Punto del currículo HSA-REI.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la resolución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A

  35. Punto del currículo HSA-REI.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver sistemas de ecuaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve systems of equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C

  36. Punto del currículo HSA-REI.D · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D

  37. Punto del currículo HSA-REI.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver ecuaciones racionales y radicales simples de una variable, y dar ejemplos que muestren cómo pueden surgir soluciones extrañas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve simple rational and radical equations in one variable, and give examples showing how extraneous solutions may arise.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.A.2

    Solving Rational and Radical Equations (en nuestro curso 11)

  38. Punto del currículo HSA-REI.D.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar por qué las coordenadas x de los puntos donde se intersecan las gráficas de las ecuaciones y = f(x) e y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); hallar las soluciones de forma aproximada, p. ej., usando tecnología para graficar las funciones, hacer tablas de valores o hallar aproximaciones sucesivas. Incluir casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas.★

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11

  39. Punto del currículo HSF-IF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretación de funciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpreting Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)

  40. Punto del currículo HSF-IF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B

  41. Punto del currículo HSF-IF.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Analizar funciones utilizando diferentes representaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Analyze functions using different representations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C

  42. Punto del currículo HSF-IF.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar las características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y trazar gráficas que muestren las características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: intersecciones; intervalos donde la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento en los extremos; y periodicidad .★

    nuestra traducción · texto original (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4

  43. Punto del currículo HSF-IF.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, cuando corresponda, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h(n) da el número de horas-persona que se necesitan para ensamblar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio adecuado para la función. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5

  44. Punto del currículo HSF-IF.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

    Finding the Average Rate of Change (en nuestro curso 9-11)

  45. Punto del currículo HSF-IF.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos simples y utilizando tecnología para casos más complicados. ★ a. Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar las intersecciones, los máximos y los mínimos. b. Graficar funciones de raíz cuadrada, raíz cúbica y definidas por partes, incluidas las funciones escalonadas y las funciones de valor absoluto. c. Graficar funciones polinómicas, identificando los ceros cuando se disponga de factorizaciones adecuadas, y mostrando el comportamiento en los extremos. d. (+) Graficar funciones racionales, identificando los ceros y las asíntotas cuando se disponga de factorizaciones adecuadas, y mostrando el comportamiento en los extremos. e. Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, mostrando las intersecciones y el comportamiento en los extremos, y funciones trigonométricas, mostrando el período, la línea media y la amplitud.

    nuestra traducción · texto original (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7

  46. Punto del currículo HSF-IF.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

    Finding the Vertex and Using Vertex Form (en nuestro curso 9-11)

  47. Punto del currículo HSF-IF.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una forma diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada la gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica de otra, indicar cuál tiene el máximo mayor.

    nuestra traducción · texto original (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9

  48. Punto del currículo HSF-BF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construcción de funciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Building Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)

  49. Punto del currículo HSF-BF.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir una función que modele una relación entre dos cantidades

    nuestra traducción · texto original (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A

  50. Punto del currículo HSF-BF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes

    nuestra traducción · texto original (EN): Build new functions from existing functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B

  51. Punto del currículo HSF-BF.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

    Writing Equations of Lines and Parallel Lines (en nuestro curso 9-11) · Combining Functions by Composition (en nuestro curso 9-11)

  52. Punto del currículo HSF-BF.B.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Identificar el efecto en la gráfica al reemplazar f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y de sus expresiones algebraicas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

    Shifting Graphs Horizontally and Vertically (en nuestro curso 9-11)

  53. Punto del currículo HSF-BF.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Hallar funciones inversas. a. Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tiene una inversa y escribir una expresión para la inversa. Por ejemplo, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) para x ≠ 1. b. (+) Verificar mediante composición que una función es la inversa de otra. c. (+) Leer valores de una función inversa a partir de una gráfica o una tabla, dado que la función tiene una inversa. d. (+) Producir una función invertible a partir de una función no invertible restringiendo el dominio.

    nuestra traducción · texto original (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

    Finding the Inverse of a Linear Function (en nuestro curso 9-11)

  54. Punto del currículo HSF-LE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Modelos lineales, cuadráticos y exponenciales★

    nuestra traducción · texto original (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)

  55. Punto del currículo HSF-LE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A

  56. Punto del currículo HSF-LE.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Para modelos exponenciales, expresar como un logaritmo la solución a abct = d donde a, c y d son números y la base b es 2, 10 o e; evaluar el logaritmo usando tecnología.

    nuestra traducción · texto original (EN): For exponential models, express as a logarithm the solution to abct = d where a, c, and d are numbers and the base b is 2, 10, or e; evaluate the logarithm using technology.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.4

  57. Punto del currículo HSF-TF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Funciones trigonométricas

    nuestra traducción · texto original (EN): Trigonometric Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Trigonometric Functions (HSF-TF)

  58. Punto del currículo HSF-TF.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Extender el dominio de las funciones trigonométricas utilizando el círculo unitario

    nuestra traducción · texto original (EN): Extend the domain of trigonometric functions using the unit circle

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster A

  59. Punto del currículo HSF-TF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Modelar fenómenos periódicos con funciones trigonométricas

    nuestra traducción · texto original (EN): Model periodic phenomena with trigonometric functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster B

  60. Punto del currículo HSF-TF.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar y aplicar identidades trigonométricas

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove and apply trigonometric identities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster C

  61. Punto del currículo HSF-TF.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la medida en radianes de un ángulo como la longitud del arco en el círculo unitario subtendido por el ángulo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand radian measure of an angle as the length of the arc on the unit circle subtended by the angle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.1

    Converting Between Degrees and Radians (en nuestro curso 11)

  62. Punto del currículo HSF-TF.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar cómo el círculo unitario en el plano de coordenadas permite la extensión de las funciones trigonométricas a todos los números reales, interpretados como medidas en radianes de ángulos recorridos en sentido antihorario alrededor del círculo unitario.

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain how the unit circle in the coordinate plane enables the extension of trigonometric functions to all real numbers, interpreted as radian measures of angles traversed counterclockwise around the unit circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.2

  63. Punto del currículo HSF-TF.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Elegir funciones trigonométricas para modelar fenómenos periódicos con amplitud, frecuencia y línea media especificadas. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Choose trigonometric functions to model periodic phenomena with specified amplitude, frequency, and midline. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.5

    Finding the Period and Amplitude of a Sine Curve (en nuestro curso 11)

  64. Punto del currículo HSF-TF.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar la identidad pitagórica sin2(θ) + cos2(θ) = 1 y usarla para hallar sin(θ), cos(θ) o tan(θ) dados sin(θ), cos(θ) o tan(θ) y el cuadrante del ángulo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove the Pythagorean identity sin2(θ) + cos2(θ) = 1 and use it to find sin(θ), cos(θ), or tan(θ) given sin(θ), cos(θ), or tan(θ) and the quadrant of the angle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.C.8

  65. Punto del currículo HSF-TF.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Demostrar las fórmulas de adición y sustracción para el seno, el coseno y la tangente y utilizarlas para resolver problemas.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Prove the addition and subtraction formulas for sine, cosine, and tangent and use them t o solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.C.9

  66. Punto del currículo HSG-GPE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Expresar propiedades geométricas con ecuaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)

  67. Punto del currículo HSG-GPE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Traducir entre la descripción geométrica y la ecuación de una sección cónica

    nuestra traducción · texto original (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A

  68. Punto del currículo HSG-GMD · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Medición geométrica y dimensión

    nuestra traducción · texto original (EN): Geometric Measurement and Dimension

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)

  69. Punto del currículo HSG-GMD.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar las fórmulas de volumen y usarlas para resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A

  70. Punto del currículo HSS-ID · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretación de datos categóricos y cuantitativos

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)

  71. Punto del currículo HSS-ID.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resumir, representar e interpretar datos sobre una sola variable de conteo o medición

    nuestra traducción · texto original (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A

  72. Punto del currículo HSS-ID.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar la media y la desviación estándar de un conjunto de datos para ajustarlo a una distribución normal y para estimar porcentajes de población. Reconocer que existen conjuntos de datos para los cuales dicho procedimiento no es apropiado. Utilizar calculadoras, hojas de cálculo y tablas para estimar áreas bajo la curva normal.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use the mean and standard deviation of a data set to fit it to a normal distribution and to estimate population percentages. Recognize that there are data sets for which such a procedure is not appropriate. Use calculators, spreadsheets, and tables to estimate areas under the normal curve.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.4

  73. Punto del currículo HSS-IC · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Hacer inferencias y justificar conclusiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Making Inferences and Justifying Conclusions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Making Inferences and Justifying Conclusions (HSS-IC)

  74. Punto del currículo HSS-IC.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender y evaluar procesos aleatorios subyacentes a experimentos estadísticos

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand and evaluate random processes underlying statistical experiments

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, cluster A

  75. Punto del currículo HSS-IC.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Hacer inferencias y justificar conclusiones a partir de encuestas por muestreo, experimentos y estudios observacionales

    nuestra traducción · texto original (EN): Make inferences and justify conclusions from sample surveys, experiments, and observational studies

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, cluster B

  76. Punto del currículo HSS-IC.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la estadística como un proceso para hacer inferencias sobre los parámetros de una población a partir de una muestra aleatoria de esa población.

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand statistics as a process for making inferences about population parameters based on a random sample from that population.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.A.1

  77. Punto del currículo HSS-IC.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Decidir si un modelo especificado es consistente con los resultados de un proceso de generación de datos dado, p. ej., usando simulación. Por ejemplo, un modelo dice que una moneda que gira cae en cara con probabilidad 0.5. ¿Un resultado de 5 cruces consecutivas haría dudar del modelo?

    nuestra traducción · texto original (EN): Decide if a specified model is consistent with results from a given data-generating process, e.g., using simulation. For example, a model says a spinning coin falls heads up with probability 0.5. Would a result of 5 tails in a row cause you to question the model?

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.A.2

  78. Punto del currículo HSS-IC.B.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reconocer los propósitos y las diferencias entre las encuestas por muestreo, los experimentos y los estudios observacionales; explicar cómo la aleatorización se relaciona con cada uno.

    nuestra traducción · texto original (EN): Recognize the purposes of and differences among sample surveys, experiments, and observational studies; explain how randomization relates to each.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.3

  79. Punto del currículo HSS-IC.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar datos de una encuesta por muestreo para estimar una media o proporción poblacional; desarrollar un margen de error mediante el uso de modelos de simulación para el muestreo aleatorio.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use data from a sample survey to estimate a population mean or proportion; develop a margin of error through the use of simulation models for random sampling.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.4

  80. Punto del currículo HSS-IC.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar datos de un experimento aleatorizado para comparar dos tratamientos; usar simulaciones para decidir si las diferencias entre parámetros son significativas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use data from a randomized experiment to compare two treatments; use simulations to decide if differences between parameters are significant.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.5

  81. Punto del currículo HSS-IC.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Evaluar informes basados en datos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Evaluate reports based on data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.6

  82. Punto del currículo HSS-MD · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Uso de la probabilidad para tomar decisiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Using Probability to Make Decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)

  83. Punto del currículo HSS-MD.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar la probabilidad para evaluar los resultados de decisiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B

  84. Punto del currículo HSS-MD.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Usar probabilidades para tomar decisiones justas (por ejemplo, hacer un sorteo, usar un generador de números aleatorios).

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Use probabilities to make fair decisions (e.g., drawing by lots, using a random number gener ator).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.6

  85. Punto del currículo HSS-MD.B.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Analizar decisiones y estrategias utilizando conceptos de probabilidad (por ejemplo, pruebas de productos, pruebas médicas, retirar al portero de hockey al final de un partido).

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Analyze decisions and strategies using probability concepts (e.g., product t esting, medical testing, pulling a hockey goalie at the end of a game).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.7

Competencias paso a paso

Factoring Polynomials with Grouping and Cubes

Students learn to break down complex algebraic expressions by pulling out common factors, grouping terms, and using patterns for the sum and difference of cubes.

Punto del currículo HSA-SSE.A.2 Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2). (nuestra traducción)

In 11th grade, students use the structure of an algebraic expression to break it into simpler factors. Instead of relying solely on basic quadratic methods, students examine multi-term expressions to locate greatest common factors, group terms with shared characteristics, and recognize expressions made of two perfect cubes.

A common error occurs with negative signs when factoring by grouping or using cube patterns. When grouping four terms, students often forget to distribute a negative sign out of the second pair, leaving mismatched binomials that prevent them from finishing the problem. With sum and difference of cubes, students frequently mix up the positive and negative signs in the linear and quadratic parts of the factored form.

Worksheet tasks reinforce these skills through three main formats:

  • Factoring out a monomial: identifying and extracting the greatest common factor shared by all terms in an expression.
  • Factoring by grouping: splitting four-term polynomials into pairs to reveal and pull out a common binomial factor.
  • Sum and difference of cubes: identifying cubed terms and applying the appropriate cube formula to rewrite the expression.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Sacar factor común un monomio · Factorización por agrupación · Suma y diferencia de cubos

Adding, Multiplying, and Working with Complex Numbers

Students learn to add, subtract, and multiply complex numbers in the form a + bi and simplify powers of i using the rule that i² equals –1.

Punto del currículo HSN-CN.A.1 Saber que existe un número complejo i tal que i2 = –1, y que todo número complejo tiene la forma a + bi con a y b reales. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-CN.A.2 Utilizar la relación i2 = –1 y las propiedades conmutativa, asociativa y distributiva para sumar, restar y multiplicar números complejos. (nuestra traducción)

In Grade 11, students work with complex numbers written in standard a + bi form, where a and b are real numbers. By applying familiar algebraic rules—including the commutative, associative, and distributive properties—alongside the core definition that i² = –1, students learn to add, subtract, and multiply complex numbers, as well as evaluate positive powers of i.

A frequent error occurs during multiplication when students treat i simply as a regular variable like x. They often forget to substitute –1 for i², which causes a sign error in the final real part of the number. Another common mistake happens during subtraction, where students forget to distribute the negative sign across both the real and imaginary parts of the second number.

Practice tasks cover three clear formats based on these skills. In adding and subtracting complex numbers, students combine real terms with real terms and imaginary terms with imaginary terms. In multiplying complex numbers, students expand expressions like (3 + 2i)(1 – 4i) and simplify the result into standard a + bi form. Finally, tasks on powers of i require students to simplify higher exponents down to 1, –1, i, or –i by applying the rule that i² = –1.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Potencias de i · Suma y resta de números complejos · Multiplicación de números complejos

Finding the nth Term and Sum of a Geometric Sequence

Students learn to write formulas to find any term in a geometric sequence and use the sum formula to calculate the total of a finite series.

Punto del currículo HSA-SSE.B.4 Deducir la fórmula para la suma de una serie geométrica finita (cuando la razón común no es 1), y usar la fórmula para resolver problemas. Por ejemplo, calcular los pagos de una hipoteca.★ (nuestra traducción)
Punto del currículo HSF-BF.A.2 Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms. ★
Punto del currículo HSF-LE.A.2 Construir funciones lineales y exponenciales, incluidas las sucesiones aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos a partir de una tabla). (nuestra traducción)

In Grade 11, students work with geometric sequences where each value is multiplied by a constant common ratio (other than 1). Students write explicit rules to calculate any specific term—known as the nth term—and use the finite geometric series formula to add up a set number of terms quickly.

A frequent error occurs when evaluating exponents and signs. When finding the nth term, students often mistakenly multiply the first term by the common ratio before applying the power, or they forget to use n − 1 in the exponent. When evaluating sums, negative common ratios often lead to sign errors in the denominator, where subtracting a negative value should result in addition.

Worksheet practice focuses on two main task templates:

  • Geometric sequence — nth term: Students identify the first term and common ratio from a list or table to calculate a specific later term, such as the 8th or 12th term.
  • Geometric sequence — sum of terms: Students apply the sum formula to find the total of the first n terms of a sequence without adding each value by hand.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Progresión geométrica — suma · Progresión geométrica — término n-ésimo

Using Special Product Formulas

Students learn to use algebraic patterns to quickly expand the square of a sum or difference and the product of a sum and a difference.

Punto del currículo HSA-SSE.A.2 Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2). (nuestra traducción)

At this level, students learn to recognize the structure of an algebraic expression rather than multiplying every term by hand. They identify expressions that match standard patterns and apply shortcut formulas to find the expanded form directly, working with sums and differences of terms containing variables and constants.

A very common mistake occurs when students square a binomial. Many forget the middle term entirely, incorrectly assuming that squaring a sum means simply squaring each individual term. This happens because they try to distribute the exponent over addition or subtraction instead of applying the complete multiplication pattern.

Practice tasks for this skill typically focus on two formats:

  • Product of a sum and a difference, where students multiply conjugate pairs, such as (x + 5)(x – 5), to arrive directly at a difference of squares.
  • Square of a sum or difference, where students expand expressions like (x + 3) squared or (2x – 7) squared by including the doubled middle term alongside the squared end terms.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Cuadrado de una suma o diferencia · Suma por diferencia

Dividing Polynomials and the Remainder Theorem

Students learn to divide polynomials by linear factors like x − a and find the remainder directly using the Remainder Theorem.

Punto del currículo HSA-APR.B.2 Conocer y aplicar el teorema del resto: para un polinomio p(x) y un número a, el resto de la división por x – a es p(a), por lo que p(a) = 0 si y solo si (x – a) es un factor de p(x). (nuestra traducción)
Punto del currículo HSA-APR.D.6 Reescribir expresiones racionales simples en diferentes formas; escribir a(x)/b(x) en la forma q(x) + r(x)/b(x), donde a(x), b(x), q(x) y r(x) son polinomios con el grado de r(x) menor que el grado de b(x), usando inspección, división larga o, para los ejemplos más complicados, un sistema de álgebra computacional. (nuestra traducción)

In Grade 11, students learn to divide a polynomial by a linear binomial of the form x − a using long division. They write their answers in the form q(x) + r/(x − a), where q(x) is the quotient and r is the constant remainder. Alongside division, students use the Remainder Theorem to find this remainder quickly: by calculating p(a), they can determine the remainder without completing the full division, confirming that x − a is an exact factor whenever p(a) = 0.

A frequent error is mixing up the sign of a. When dividing by a binomial such as x − 3, students often evaluate p(−3) instead of p(3) because they carry the minus sign into the calculation. In polynomial long division, students also tend to make sign errors when subtracting rows, especially when subtracting terms that already have negative coefficients.

Worksheet tasks for this skill center on two main formats. In Dividing a polynomial by a binomial, students work through polynomial division step by step to find the quotient and any leftover remainder. In Remainder of polynomial division, students use the Remainder Theorem to quickly calculate the remainder or check whether a given binomial divides evenly into the polynomial.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Resto de la división de un polinomio · División de un polinomio entre un binomio

Multiplying and Subtracting Rational Expressions

Students learn to multiply and subtract rational expressions formed by polynomials, simplifying the results into a single algebraic fraction.

Punto del currículo HSA-APR.D.6 Reescribir expresiones racionales simples en diferentes formas; escribir a(x)/b(x) en la forma q(x) + r(x)/b(x), donde a(x), b(x), q(x) y r(x) son polinomios con el grado de r(x) menor que el grado de b(x), usando inspección, división larga o, para los ejemplos más complicados, un sistema de álgebra computacional. (nuestra traducción)

In 11th grade, students work with rational expressions—fractions where both the numerator and the denominator are polynomials. Students rewrite and combine these algebraic fractions using multiplication and subtraction to produce a single, simplified rational expression.

A common mistake during subtraction is forgetting to distribute the negative sign across every term in the numerator of the second fraction after finding a common denominator. When multiplying, students often attempt to cancel individual terms separated by addition or subtraction signs instead of factoring the polynomials first to divide out shared factors.

Practice tasks focus on two main formats: multiplying rational expressions and subtracting rational expressions. In subtraction problems, students identify a shared polynomial denominator and combine like terms in the numerator. In multiplication problems, students factor polynomial numerators and denominators completely to reduce the final product to its simplest form.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Multiplicación de expresiones racionales · Resta de expresiones racionales

Solving Rational and Radical Equations

Students learn to solve simple rational and radical equations in one variable and identify extraneous solutions that do not work in the original equation.

Punto del currículo HSA-REI.A.2 Resolver ecuaciones racionales y radicales simples de una variable, y dar ejemplos que muestren cómo pueden surgir soluciones extrañas. (nuestra traducción)

Students learn to solve simple one-variable equations that contain rational expressions (fractions with variables in the denominator) or radical expressions (roots containing variables). They apply algebraic techniques such as clearing denominators by multiplying by a common term or clearing roots by raising both sides of the equation to an appropriate power.

A common stumbling block is identifying extraneous solutions. Because algebraic steps like squaring both sides or multiplying by an expression containing the variable can create values that do not satisfy the original problem, students often forget to check their results. This leads to accepting invalid answers, such as values that make a denominator equal to zero or require a principal square root to equal a negative number.

Worksheets and practice tasks focus on two formats:

  • Radical equation: Tasks where students isolate a root, eliminate it by powering both sides, solve for the variable, and test for valid answers.
  • Rational equation: Tasks where students clear denominators, solve the remaining linear or polynomial equation, and check that no solutions cause division by zero.
Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Ecuación irracional · Ecuación racional

Writing Equations of Lines and Parallel Lines

Students learn to determine explicit linear functions given two coordinate points or a single point and a parallel line.

Punto del currículo HSF-BF.A.1 Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo. (nuestra traducción)

Students write explicit linear functions to describe the relationship between two quantities. They determine the slope between two given coordinates or identify the matching slope needed to write the equation of a parallel line passing through a target point.

A frequent error happens when working with parallel lines: students sometimes alter the slope—such as inverting or negating it—instead of keeping it identical. Another common mistake arises during the slope calculation itself, where students reverse the ratio by placing changes in x over changes in y, or swap the coordinate values when substituting them into the equation.

Practice tasks include Parallel line through a point, where students use an existing linear equation and a given coordinate to write a new parallel line, and Linear function through two points, where they find the rate of change between two coordinates to build the complete linear equation.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Función lineal por dos puntos · Recta paralela por un punto

Finding the Vertex and Using Vertex Form

Students learn to rewrite quadratic equations into vertex form to identify a parabola's vertex, line of symmetry, and maximum or minimum values.

Punto del currículo HSF-IF.C.8 Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

In Grade 11, students use algebraic methods such as completing the square to rewrite quadratic functions into vertex form, y = a(x − h)2 + k. Converting to this form allows them to directly pinpoint the parabola's vertex at (h, k), determine the axis of symmetry, and state the function's extreme values (whether the graph opens up to a minimum or down to a maximum).

A frequent error occurs with the horizontal shift inside the squared term. Because the template contains a subtraction sign, students often misread the signs and identify the vertex of y = (x − 4)2 + 3 as (−4, 3) instead of (4, 3). Errors also happen when the leading coefficient a is not 1, where students forget to factor it out before completing the square or fail to balance the equation properly.

Worksheet tasks focus on Vertex form of a quadratic function and finding the Vertex of a parabola. Students practice converting equations from standard form to vertex form step by step, extracting the coordinates of the vertex, and interpreting what that turning point represents.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Vértice de una parábola · Forma canónica de la función cuadrática

Converting Between Degrees and Radians

Students learn to understand radians as arc lengths on a unit circle and convert angle measurements between degrees and radians.

Punto del currículo HSF-TF.A.1 Comprender la medida en radianes de un ángulo como la longitud del arco en el círculo unitario subtendido por el ángulo. (nuestra traducción)

In 11th grade, students learn that the radian measure of an angle is the length of the arc it cuts out on a unit circle. Using this definition, they connect their prior knowledge of degree turns to this new measurement system and learn to translate angle sizes back and forth between degrees and radians.

A typical error occurs when students invert the conversion fraction, multiplying by π/180° when they need to multiply by 180°/π. Learners also frequently assume that an angle is only in radians if it includes the symbol π, which causes confusion about what radians actually represent on the circle.

Tasks for this skill focus on two distinct worksheet templates: Degrees to radians, where students rewrite angles given in degrees as exact radian measures, and Radians to degrees, where they convert radian measures back into degree values.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Grados a radianes · Radianes a grados

Finding the Period and Amplitude of a Sine Curve

Students learn to identify the period and find the maximum or amplitude of a sine curve to model periodic patterns.

Punto del currículo HSF-TF.B.5 Elegir funciones trigonométricas para modelar fenómenos periódicos con amplitud, frecuencia y línea media especificadas. ★ (nuestra traducción)

In 11th grade, students examine the graphs of periodic functions to model repeating cycles. They identify the key geometric features of a sine curve, determining its period—the horizontal length of one full cycle—and locating the curve's maximum value to determine its amplitude.

A common error is confusing the total vertical height of the wave with its amplitude. Students often measure from the lowest trough all the way to the crest, forgetting that amplitude is measured from the center midline to the peak. Another frequent slip occurs when measuring the period: students often take the distance between two consecutive zero-crossings, which captures only half of a wave rather than a complete cycle.

Worksheet tasks focus directly on these visual features. Under Maximum of a sine curve, students read a graphed wave to find the highest value it reaches along the vertical axis. In Period of a sine curve, students inspect the horizontal axis to measure the exact distance from one wave peak to the next.

Crear una hoja de esta habilidad

Tipos de ejercicios: Máximo de una sinusoide · Periodo de una sinusoide

Finding Coefficients in Binomial Expansions

Students learn to find specific coefficients in expressions of the form (x + c)ⁿ for positive whole-number powers using the Binomial Theorem or Pascal’s Triangle.

Punto del currículo HSA-APR.C.5 (+) Conocer y aplicar el teorema del binomio para el desarrollo de (x + y)n en potencias de x e y para un número entero positivo n, donde x e y son números cualesquiera, con coeficientes determinados, por ejemplo, por el triángulo de Pascal. (nuestra traducción)

Students learn to determine terms in expressions of the form (x + c)n, where n is a positive integer and c is a constant number. Using the Binomial Theorem or rows of Pascal’s Triangle, they find the numerical coefficient of any designated power of x without needing to multiply the binomial repeatedly by hand.

A common error happens when students overlook the constant value c. They often correctly identify the combinatoric number from Pascal’s Triangle but forget to raise c to its corresponding power, or they mishandle negative signs when c is negative, leading to an incorrect final product for the coefficient.

Worksheet tasks focus directly on finding a single coefficient in a binomial expansion. For example, a student may be given an expression like (x + 3)5 and asked to calculate the coefficient of the x2 term.

Crear una hoja de esta habilidad

Shifting Graphs Horizontally and Vertically

Students learn to shift function graphs up, down, left, and right by changing the equation, and find the shift value given a graph.

Punto del currículo HSF-BF.B.3 Identificar el efecto en la gráfica al reemplazar f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y de sus expresiones algebraicas. (nuestra traducción)

In 11th grade, students connect changes in an equation to physical movements of its graph on the coordinate plane. By working with specific positive and negative values of k, they learn that replacing f(x) with f(x) + k shifts the curve vertically up or down, while replacing it with f(x + k) shifts the curve horizontally left or right. They also analyze graphs to determine the exact numerical value of k.

A frequent mistake happens with horizontal shifts. Students routinely assume that f(x + 3) moves a graph three units to the right toward positive numbers, rather than three units to the left. Students also mix up operations applied inside the function's input, like f(x + k), with operations applied to the entire output, like f(x) + k.

Practice with Translating a graph worksheets presents students with a base curve alongside a shifted curve. Students count the units moved along the x- or y-axis to identify the value of k and write the new function formula, or they take a given formula and sketch the resulting shift.

Crear una hoja de esta habilidad

Finding the Average Rate of Change

Students learn to calculate and interpret the average rate of change of a function from an equation or table over a given interval, and estimate it from a graph.

Punto del currículo HSF-IF.B.6 Calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. ★ (nuestra traducción)

In Grade 11, students find how fast a function increases or decreases over a specific interval. They calculate the average rate of change using functions given as algebraic formulas (symbolically) or as tables of values, and they estimate this rate visually by reading points from a graph. They also learn to interpret what this rate of change represents in real-world contexts.

A frequent error occurs when students invert the calculation by dividing the change in inputs by the change in outputs, rather than dividing the change in function values by the interval length. Another common issue is finding only the total change between the two endpoints and forgetting to divide by the difference in the input values.

Worksheet tasks from the Average rate of change template present students with a specified interval alongside a function equation, a data table, or a graphed curve. Students determine the function values at the endpoints of the interval, divide the vertical change by the horizontal change, and write the final rate as a simplified value or rate with units.

Crear una hoja de esta habilidad

Combining Functions by Composition

Students learn to evaluate and write composite functions by using the output of one function as the input for another.

Punto del currículo HSF-BF.A.1 Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo. (nuestra traducción)

In 11th grade, students learn to combine two mathematical rules so that the output of one function serves as the input for the next, written as f(g(x)). They build explicit expressions for these combined functions and interpret them in practical models, such as linking time to temperature through a changing height.

A common difficulty is getting the sequence backward: students frequently evaluate the outer function first, calculating g(f(x)) instead of f(g(x)), or confuse function composition with multiplication by treating (f ∘ g)(x) as f(x) · g(x). When substituting an algebraic expression into the outer formula, learners also commonly forget to wrap the inner expression in parentheses, causing sign and exponent errors.

Tasks generated from the Composition of functions template provide pairs of formulas—such as linear, quadratic, or rational equations—and ask students to find the combined expression f(g(x)) or evaluate the composite function at a specific numerical value.

Crear una hoja de esta habilidad

Finding the Inverse of a Linear Function

Students learn to find the algebraic inverse of a linear function by reversing its operations and solving for the input variable.

Punto del currículo HSF-BF.B.4 Hallar funciones inversas. a. Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tiene una inversa y escribir una expresión para la inversa. Por ejemplo, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) para x ≠ 1. b. (+) Verificar mediante composición que una función es la inversa de otra. c. (+) Leer valores de una función inversa a partir de una gráfica o una tabla, dado que la función tiene una inversa. d. (+) Producir una función invertible a partir de una función no invertible restringiendo el dominio. (nuestra traducción)

Students work with linear equations written in function notation, such as f(x) = 3x + 4 or f(x) = -2x - 7. At this stage, they learn to undo the operations applied to the input variable by setting the function equal to an output value and solving for x. This allows them to write a clear formula for the inverse function, typically expressed as f⁻¹(x).

A common error is confusing an inverse function with a reciprocal, leading students to mistakenly treat f⁻¹(x) as 1/f(x). Another frequent misstep occurs during multi-step algebraic isolation: when dividing by the slope coefficient, students often divide only one term rather than the entire side of the equation, writing x/3 + 4 instead of (x - 4)/3.

On printable worksheets for the Inverse of a linear function template, tasks present a linear rule with integer or fractional coefficients and ask students to find the corresponding inverse equation. Students practice swapping the roles of the input and output variables and isolating the new dependent variable using inverse operations.

Crear una hoja de esta habilidad

Solving Quadratic Equations with Complex Roots

Students learn to solve quadratic equations with real coefficients that have complex solutions using the imaginary unit.

Punto del currículo HSN-CN.C.7 Resolver ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales que tienen soluciones complejas. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-CN.C.8 (+) Extender las identidades polinómicas a los números complejos. Por ejemplo, reescribir x2 + 4 como (x + 2i)(x – 2i). (nuestra traducción)

In Grade 11, students solve quadratic equations with real coefficients where the solutions are not real numbers. When working with equations such as x2 + 4 = 0 or using the quadratic formula on equations with a negative discriminant, they express the square roots of negative numbers using the imaginary unit i. They can also use complex numbers to factor expressions that do not factor over real numbers, rewriting forms like x2 + 4 as (x + 2i)(x – 2i).

A frequent mistake happens when simplifying the square root of a negative value under the radical. Students often drop the negative sign entirely or treat it like a regular negative result—for example, writing the square root of –16 as –4 instead of 4i. Another common hurdle is forgetting that complex roots always appear in conjugate pairs when solving quadratic equations with real coefficients.

Worksheet tasks from the Quadratic equation with complex roots template present students with equations such as x2 + 2x + 5 = 0. Students apply algebraic methods like the quadratic formula or completing the square to find both complex solutions, writing their final answers in standard a ± bi form.

Crear una hoja de esta habilidad

Plantillas de ejercicios para imprimir

Todos los tipos de ejercicios, agrupados por habilidad. Un clic abre el generador con el tipo ya elegido.

Factoring Polynomials with Grouping and Cubes

Adding, Multiplying, and Working with Complex Numbers

Finding the nth Term and Sum of a Geometric Sequence

Using Special Product Formulas

Dividing Polynomials and the Remainder Theorem

Multiplying and Subtracting Rational Expressions

Solving Rational and Radical Equations

Writing Equations of Lines and Parallel Lines

Finding the Vertex and Using Vertex Form

Converting Between Degrees and Radians

Finding the Period and Amplitude of a Sine Curve

Finding Coefficients in Binomial Expansions

Shifting Graphs Horizontally and Vertically

Finding the Average Rate of Change

Combining Functions by Composition

Finding the Inverse of a Linear Function

Solving Quadratic Equations with Complex Roots

Otros tipos de ejercicios

Crear una hoja de este programa