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Programma scolastico (Stati Uniti)

Matematica — classe 11ª

Matematica per l'11° anno secondo i Common Core State Standards, solitamente Algebra II: divisione tra polinomi, espressioni ed equazioni razionali, numeri complessi, teorema binomiale, misura in radianti e funzioni periodiche. Ogni argomento include schede didattiche stampabili.

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Cosa imparano gli studenti in matematica all'11° anno?

Nell'11ª classe gli studenti dividono polinomi, semplificano espressioni razionali e risolvono equazioni razionali. Eseguono calcoli con i numeri complessi e risolvono equazioni di secondo grado con radici complesse, sviluppano potenze con il teorema binomiale e trasformano grafici di funzioni. La misura in radianti e le funzioni periodiche preparano alla trigonometria del precalcolo.

Informazioni sugli standard: gli standard del Common Core per la scuola secondaria di secondo grado sono organizzati per categoria concettuale (Numero e Quantità, Algebra, Funzioni, Geometria, Statistica e Probabilità), non per classe. L'assegnazione di un argomento a una determinata classe è una nostra scelta, che segue la consueta sequenza di corsi: Algebra I, Geometria, Algebra II e Precalcolo. Gli standard contrassegnati con (+) vanno oltre le competenze essenziali per la preparazione universitaria e professionale.

Stato della pagina: gli argomenti di questo anno scolastico sono pronti sotto forma di semplici esercizi (consegna e formula); i problemi con diagrammi e i problemi a parole verranno aggiunti in seguito.

Ambito del programma

  1. Punto del programma HSN-CN · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Il sistema dei numeri complessi

    nostra traduzione · testo originale (EN): The Complex Number System

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Complex Number System (HSN-CN)

  2. Punto del programma HSN-CN.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Eseguire operazioni aritmetiche con i numeri complessi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Perform arithmetic operations with complex numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster A

  3. Punto del programma HSN-CN.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare i numeri complessi nelle identità polinomiali e nelle equazioni.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use complex numbers in polynomial identities and equations.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster C

  4. Punto del programma HSN-CN.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Sapere che esiste un numero complesso i tale che i2 = –1, e ogni numero complesso ha la forma a + bi con a e b reali.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Know there is a complex number i such that i2 = –1, and every complex number has the form a + bi with a and b real.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.1

    Adding, Multiplying, and Working with Complex Numbers (da noi in classe 11)

  5. Punto del programma HSN-CN.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare la relazione i2 = –1 e le proprietà commutativa, associativa e distributiva per addizionare, sottrarre e moltiplicare numeri complessi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use the relation i2 = –1 and the commutative, associative, and distributive properties to add, subtract, and multiply complex numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.2

    Adding, Multiplying, and Working with Complex Numbers (da noi in classe 11)

  6. Punto del programma HSN-CN.C.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Risolvere equazioni di secondo grado a coefficienti reali che hanno soluzioni complesse.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Solve quadratic equations with real coefficients that have complex solutions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.7

    Solving Quadratic Equations with Complex Roots (da noi in classe 11)

  7. Punto del programma HSN-CN.C.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Estendere le identità polinomiali ai numeri complessi. Ad esempio, riscrivere x2 + 4 come (x + 2i)(x – 2i).

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Extend polynomial identities to the complex numbers. For example, rewrite x2 + 4 as (x + 2i)(x – 2i).

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.8

    Solving Quadratic Equations with Complex Roots (da noi in classe 11)

  8. Punto del programma HSN-CN.C.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Conoscere il teorema fondamentale dell'algebra; mostrare che è vero per i polinomi di secondo grado.

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Know the Fundamental Theorem of Algebra; show that it is true for quadratic polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.C.9

  9. Punto del programma HSA-SSE · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Vedere la struttura nelle espressioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Seeing Structure in Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)

  10. Punto del programma HSA-SSE.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare la struttura delle espressioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret the structure of expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A

  11. Punto del programma HSA-SSE.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Scrivere espressioni in forme equivalenti per risolvere problemi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B

  12. Punto del programma HSA-SSE.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare espressioni che rappresentano una quantità in termini del suo contesto.★ a. Interpretare parti di un'espressione, come termini, fattori e coefficienti. b. Interpretare espressioni complicate considerando una o più delle loro parti come una singola entità. Per esempio, interpretare P(1+r)n come il prodotto di P e di un fattore non dipendente da P.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1

  13. Punto del programma HSA-SSE.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare la struttura di un'espressione per individuare modi per riscriverla. Per esempio, vedere x4 – y4 come (x2)2 – ( y2)2, riconoscendola così come una differenza di quadrati che può essere scomposta in fattori come (x2 – y2)(x2 + y2).

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

    Using Special Product Formulas (da noi in classe 9-11) · Factoring Polynomials with Grouping and Cubes (da noi in classe 9-11)

  14. Punto del programma HSA-SSE.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Ricavare la formula per la somma di una serie geometrica finita (quando la ragione non è 1) e utilizzare la formula per risolvere problemi. Ad esempio, calcolare le rate del mutuo.★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Derive the formula for the sum of a finite geometric series (when the common ratio is not 1), and use the formula to solve problems. For example, calculate mortgage payments.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.B.4

    Finding the nth Term and Sum of a Geometric Sequence (da noi in classe 9-11)

  15. Punto del programma HSA-APR · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Aritmetica con polinomi ed espressioni razionali

    nostra traduzione · testo originale (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)

  16. Punto del programma HSA-APR.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Eseguire operazioni aritmetiche sui polinomi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A

  17. Punto del programma HSA-APR.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere la relazione tra zeri e fattori dei polinomi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand the relationship between zeros and factors of polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster B

  18. Punto del programma HSA-APR.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare le identità polinomiali per risolvere problemi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use polynomial identities to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster C

  19. Punto del programma HSA-APR.D · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Riscrivere espressioni razionali

    nostra traduzione · testo originale (EN): Rewrite rational expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster D

  20. Punto del programma HSA-APR.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere che i polinomi formano un sistema analogo a quello dei numeri interi, ossia che sono chiusi rispetto alle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione; addizionare, sottrarre e moltiplicare polinomi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1

  21. Punto del programma HSA-APR.B.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Conoscere e applicare il teorema del resto: per un polinomio p(x) e un numero a, il resto della divisione per x – a è p(a), quindi p(a) = 0 se e solo se (x – a) è un fattore di p(x).

    nostra traduzione · testo originale (EN): Know and apply the Remainder Theorem: For a polynomial p(x) and a number a, the remainder on division by x – a is p(a), so p(a) = 0 if and only if (x – a) is a factor of p(x).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.B.2

    Dividing Polynomials and the Remainder Theorem (da noi in classe 11)

  22. Punto del programma HSA-APR.B.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Identificare gli zeri dei polinomi quando sono disponibili opportune fattorizzazioni, e utilizzare gli zeri per costruire un grafico approssimativo della funzione definita dal polinomio.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Identify zeros of polynomials when suitable factorizations are available, and use the zeros to construct a rough graph of the function defined by the polynomial.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.B.3

  23. Punto del programma HSA-APR.C.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dimostrare identità polinomiali e utilizzarle per descrivere relazioni numeriche. Ad esempio, l'identità polinomiale (x2 + y2)2 = ( x2 – y2)2 + (2xy)2 può essere utilizzata per generare terne pitagoriche.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Prove polynomial identities and use them to describe numerical relationships. For example, the polynomial identity (x2 + y2)2 = ( x2 – y2)2 + (2xy)2 can be used to generate Pythagorean triples.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.C.4

  24. Punto del programma HSA-APR.C.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Conoscere e applicare il teorema del binomio per lo sviluppo di (x + y)n in potenze di x e y per un intero positivo n, dove x e y sono numeri qualsiasi, con coefficienti determinati ad esempio dal triangolo di Pascal.

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Know and apply the Binomial Theorem for the expansion of (x + y)n in powers of x and y for a positive integer n, where x and y are any numbers, with coefficients determined for example by Pascal’s Triangle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.C.5

    Finding Coefficients in Binomial Expansions (da noi in classe 11)

  25. Punto del programma HSA-APR.D.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Riscrivere semplici espressioni razionali in forme diverse; scrivere a(x)/b(x) nella forma q(x) + r(x)/b(x), dove a(x), b(x), q(x) e r(x) sono polinomi con il grado di r(x) minore del grado di b(x), mediante ispezione, divisione lunga o, per gli esempi più complessi, un sistema di algebra computazionale.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Rewrite simple rational expressions in different forms; write a(x)/b(x) in the form q(x) + r(x)/b(x), where a(x), b(x), q(x), and r(x) are polynomials with the degree of r(x) less than the degree of b(x), using inspection, long division, or, for the more complicated examples, a computer algebra system.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.D.6

    Dividing Polynomials and the Remainder Theorem (da noi in classe 11) · Multiplying and Subtracting Rational Expressions (da noi in classe 11)

  26. Punto del programma HSA-APR.D.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Comprendere che le espressioni razionali formano un sistema analogo ai numeri razionali, chiuso rispetto ad addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione per un'espressione razionale diversa da zero; sommare, sottrarre, moltiplicare e dividere espressioni razionali.

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Understand that rational expressions form a system analogous to the rational numbers, closed under addition, subtraction, multiplication, and division by a nonzero rational expression; add, subtract, multiply, and divide rational expressions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.D.7

  27. Punto del programma HSA-CED · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Creare equazioni★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Creating Equations★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)

  28. Punto del programma HSA-CED.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Creare equazioni che descrivono numeri o relazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Create equations that describe numbers or relationships

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A

  29. Punto del programma HSA-CED.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Creare equazioni e disequazioni in una variabile e utilizzarle per risolvere problemi. Includere equazioni derivanti da funzioni lineari e quadratiche, e semplici funzioni razionali ed esponenziali.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1

  30. Punto del programma HSA-CED.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Creare equazioni in due o più variabili per rappresentare relazioni tra grandezze; rappresentare graficamente equazioni su assi coordinati con etichette e scale.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2

  31. Punto del programma HSA-CED.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rappresentare vincoli mediante equazioni o disequazioni, e mediante sistemi di equazioni e/o disequazioni, e interpretare le soluzioni come opzioni praticabili o non praticabili in un contesto di modellizzazione. Per esempio, rappresentare disequazioni che descrivono vincoli nutrizionali e di costo su combinazioni di alimenti diversi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3

  32. Punto del programma HSA-CED.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Riorganizzare formule per evidenziare una grandezza di interesse, utilizzando lo stesso ragionamento impiegato nella risoluzione delle equazioni. Per esempio, riorganizzare la legge di Ohm V = IR per evidenziare la resistenza R.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4

  33. Punto del programma HSA-REI · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Ragionamento con equazioni e disequazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)

  34. Punto del programma HSA-REI.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere la risoluzione di equazioni come un processo di ragionamento e spiegare il ragionamento

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A

  35. Punto del programma HSA-REI.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Risolvere sistemi di equazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Solve systems of equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C

  36. Punto del programma HSA-REI.D · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rappresentare e risolvere equazioni e disequazioni graficamente

    nostra traduzione · testo originale (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D

  37. Punto del programma HSA-REI.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Risolvere semplici equazioni fratte e irrazionali in una variabile e fornire esempi che mostrino come possano presentarsi soluzioni estranee.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Solve simple rational and radical equations in one variable, and give examples showing how extraneous solutions may arise.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.A.2

    Solving Rational and Radical Equations (da noi in classe 11)

  38. Punto del programma HSA-REI.D.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Spiegare perché le coordinate x dei punti in cui i grafici delle equazioni y = f(x) e y = g(x) si intersecano sono le soluzioni dell'equazione f(x) = g(x); trovare le soluzioni approssimativamente, ad es. utilizzando la tecnologia per rappresentare graficamente le funzioni, creare tabelle di valori o trovare approssimazioni successive. Includere casi in cui f(x) e/o g(x) sono funzioni lineari, polinomiali, razionali, con valore assoluto, esponenziali e logaritmiche.★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11

  39. Punto del programma HSF-IF · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare funzioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpreting Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)

  40. Punto del programma HSF-IF.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare funzioni che si presentano nelle applicazioni in termini del contesto

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B

  41. Punto del programma HSF-IF.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Analizzare funzioni utilizzando diverse rappresentazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Analyze functions using different representations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C

  42. Punto del programma HSF-IF.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Per una funzione che modella una relazione tra due grandezze, interpretare le caratteristiche chiave di grafici e tabelle in termini delle grandezze, e tracciare grafici che mostrino le caratteristiche chiave data una descrizione verbale della relazione. Le caratteristiche chiave includono: intercette; intervalli in cui la funzione è crescente, decrescente, positiva o negativa; massimi e minimi relativi; simmetrie; comportamento all'infinito; e periodicità .★

    nostra traduzione · testo originale (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4

  43. Punto del programma HSF-IF.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Mettere in relazione il dominio di una funzione con il suo grafico e, ove applicabile, con la relazione quantitativa che descrive. Per esempio, se la funzione h(n) fornisce il numero di ore-persona necessarie per assemblare n motori in una fabbrica, allora gli interi positivi sarebbero un dominio appropriato per la funzione. ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5

  44. Punto del programma HSF-IF.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Calcolare e interpretare il tasso medio di variazione di una funzione (presentata simbolicamente o come tabella) in un intervallo specificato. Stimare il tasso di variazione da un grafico. ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

    Finding the Average Rate of Change (da noi in classe 9-11)

  45. Punto del programma HSF-IF.C.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Rappresentare graficamente funzioni espresse simbolicamente e mostrare le caratteristiche fondamentali del grafico, a mano nei casi semplici e utilizzando la tecnologia per i casi più complessi. ★ a. Rappresentare graficamente funzioni lineari e quadratiche e mostrare intercette, massimi e minimi. b. Rappresentare graficamente funzioni radice quadrata, radice cubica e definite a tratti, incluse le funzioni a gradino e le funzioni valore assoluto. c. Rappresentare graficamente funzioni polinomiali, identificando gli zeri quando sono disponibili opportune fattorizzazioni e mostrando il comportamento all'infinito. d. (+) Rappresentare graficamente funzioni razionali, identificando gli zeri e gli asintoti quando sono disponibili opportune fattorizzazioni e mostrando il comportamento all'infinito. e. Rappresentare graficamente funzioni esponenziali e logaritmiche, mostrando intercette e comportamento all'infinito, e funzioni trigonometriche, mostrando periodo, linea mediana e ampiezza.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7

  46. Punto del programma HSF-IF.C.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

    Finding the Vertex and Using Vertex Form (da noi in classe 9-11)

  47. Punto del programma HSF-IF.C.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Confrontare le proprietà di due funzioni ciascuna rappresentata in modo diverso (algebricamente, graficamente, numericamente in tabelle o mediante descrizioni verbali). Ad esempio, dato il grafico di una funzione quadratica e l'espressione algebrica di un'altra, dire quale ha il massimo maggiore.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9

  48. Punto del programma HSF-BF · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire funzioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Building Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)

  49. Punto del programma HSF-BF.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire una funzione che modelli una relazione tra due grandezze

    nostra traduzione · testo originale (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A

  50. Punto del programma HSF-BF.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire nuove funzioni a partire da funzioni esistenti

    nostra traduzione · testo originale (EN): Build new functions from existing functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B

  51. Punto del programma HSF-BF.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Scrivere una funzione che descrive una relazione tra due grandezze.★ a. Determinare un'espressione esplicita, un processo ricorsivo o passaggi di calcolo a partire da un contesto. b. Combinare tipi standard di funzioni utilizzando le operazioni aritmetiche. Per esempio, costruire una funzione che modella la temperatura di un corpo in raffreddamento sommando una funzione costante a un esponenziale decrescente, e mettere in relazione queste funzioni con il modello. c. (+) Comporre funzioni. Per esempio, se T(y) è la temperatura nell'atmosfera in funzione dell'altezza, e h(t) è l'altezza di un pallone meteorologico in funzione del tempo, allora T(h(t)) è la temperatura nella posizione del pallone meteorologico in funzione del tempo.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

    Writing Equations of Lines and Parallel Lines (da noi in classe 9-11) · Combining Functions by Composition (da noi in classe 9-11)

  52. Punto del programma HSF-BF.B.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Identificare l'effetto sul grafico della sostituzione di f(x) con f(x) + k, k f(x), f(kx) e f(x + k) per valori specifici di k (sia positivi sia negativi); trovare il valore di k dati i grafici. Sperimentare con diversi casi e illustrare una spiegazione degli effetti sul grafico mediante l'uso della tecnologia. Includere il riconoscimento di funzioni pari e dispari a partire dai loro grafici e dalle loro espressioni algebriche.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

    Shifting Graphs Horizontally and Vertically (da noi in classe 9-11)

  53. Punto del programma HSF-BF.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Trovare funzioni inverse. a. Risolvere un'equazione della forma f(x) = c per una funzione semplice f che ha un'inversa e scrivere un'espressione per l'inversa. Per esempio, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) per x ≠ 1. b. (+) Verificare mediante composizione che una funzione è l'inversa di un'altra. c. (+) Leggere i valori di una funzione inversa da un grafico o da una tabella, dato che la funzione ha un'inversa. d. (+) Produrre una funzione invertibile da una funzione non invertibile restringendo il dominio.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

    Finding the Inverse of a Linear Function (da noi in classe 9-11)

  54. Punto del programma HSF-LE · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Modelli lineari, quadratici ed esponenziali★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)

  55. Punto del programma HSF-LE.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Costruire e confrontare modelli lineari, quadratici ed esponenziali e risolvere problemi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A

  56. Punto del programma HSF-LE.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Per i modelli esponenziali, esprimere come logaritmo la soluzione di abct = d dove a, c e d sono numeri e la base b è 2, 10 o e; calcolare il logaritmo utilizzando la tecnologia.

    nostra traduzione · testo originale (EN): For exponential models, express as a logarithm the solution to abct = d where a, c, and d are numbers and the base b is 2, 10, or e; evaluate the logarithm using technology.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.4

  57. Punto del programma HSF-TF · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Funzioni trigonometriche

    nostra traduzione · testo originale (EN): Trigonometric Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Trigonometric Functions (HSF-TF)

  58. Punto del programma HSF-TF.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Estendere il dominio delle funzioni trigonometriche utilizzando la circonferenza goniometrica

    nostra traduzione · testo originale (EN): Extend the domain of trigonometric functions using the unit circle

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster A

  59. Punto del programma HSF-TF.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Modellizzare fenomeni periodici con funzioni trigonometriche

    nostra traduzione · testo originale (EN): Model periodic phenomena with trigonometric functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster B

  60. Punto del programma HSF-TF.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dimostrare e applicare identità trigonometriche

    nostra traduzione · testo originale (EN): Prove and apply trigonometric identities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster C

  61. Punto del programma HSF-TF.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere la misura in radianti di un angolo come la lunghezza dell'arco sulla circonferenza unitaria sotteso dall'angolo.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand radian measure of an angle as the length of the arc on the unit circle subtended by the angle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.1

    Converting Between Degrees and Radians (da noi in classe 11)

  62. Punto del programma HSF-TF.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Spiegare come la circonferenza goniometrica nel piano cartesiano consenta l'estensione delle funzioni trigonometriche a tutti i numeri reali, interpretati come misure in radianti di angoli percorsi in senso antiorario attorno alla circonferenza goniometrica.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Explain how the unit circle in the coordinate plane enables the extension of trigonometric functions to all real numbers, interpreted as radian measures of angles traversed counterclockwise around the unit circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.2

  63. Punto del programma HSF-TF.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Scegliere funzioni trigonometriche per modellizzare fenomeni periodici con ampiezza, frequenza e linea mediana specificate. ★

    nostra traduzione · testo originale (EN): Choose trigonometric functions to model periodic phenomena with specified amplitude, frequency, and midline. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.5

    Finding the Period and Amplitude of a Sine Curve (da noi in classe 11)

  64. Punto del programma HSF-TF.C.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Dimostrare l'identità pitagorica sin2(θ) + cos2(θ) = 1 e usarla per trovare sin(θ), cos(θ) o tan(θ) dati sin(θ), cos(θ) o tan(θ) e il quadrante dell'angolo.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Prove the Pythagorean identity sin2(θ) + cos2(θ) = 1 and use it to find sin(θ), cos(θ), or tan(θ) given sin(θ), cos(θ), or tan(θ) and the quadrant of the angle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.C.8

  65. Punto del programma HSF-TF.C.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Dimostrare le formule di addizione e sottrazione per seno, coseno e tangente e utilizzarle per risolvere problemi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Prove the addition and subtraction formulas for sine, cosine, and tangent and use them t o solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.C.9

  66. Punto del programma HSG-GPE · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Esprimere proprietà geometriche con equazioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)

  67. Punto del programma HSG-GPE.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Tradurre tra la descrizione geometrica e l'equazione di una sezione conica

    nostra traduzione · testo originale (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A

  68. Punto del programma HSG-GMD · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Misura geometrica e dimensione

    nostra traduzione · testo originale (EN): Geometric Measurement and Dimension

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)

  69. Punto del programma HSG-GMD.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Spiegare le formule del volume e utilizzarle per risolvere problemi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A

  70. Punto del programma HSS-ID · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Interpretare dati categorici e quantitativi

    nostra traduzione · testo originale (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)

  71. Punto del programma HSS-ID.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Sintetizzare, rappresentare e interpretare dati relativi a una singola variabile di conteggio o di misura

    nostra traduzione · testo originale (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A

  72. Punto del programma HSS-ID.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare la media e la deviazione standard di un insieme di dati per adattarlo a una distribuzione normale e per stimare le percentuali della popolazione. Riconoscere che vi sono insiemi di dati per i quali tale procedura non è appropriata. Utilizzare calcolatrici, fogli di calcolo e tabelle per stimare le aree sotto la curva normale.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use the mean and standard deviation of a data set to fit it to a normal distribution and to estimate population percentages. Recognize that there are data sets for which such a procedure is not appropriate. Use calculators, spreadsheets, and tables to estimate areas under the normal curve.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.4

  73. Punto del programma HSS-IC · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Trarre inferenze e giustificare conclusioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Making Inferences and Justifying Conclusions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Making Inferences and Justifying Conclusions (HSS-IC)

  74. Punto del programma HSS-IC.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere e valutare i processi casuali alla base di esperimenti statistici

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand and evaluate random processes underlying statistical experiments

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, cluster A

  75. Punto del programma HSS-IC.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Trarre inferenze e giustificare conclusioni da indagini campionarie, esperimenti e studi osservazionali

    nostra traduzione · testo originale (EN): Make inferences and justify conclusions from sample surveys, experiments, and observational studies

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, cluster B

  76. Punto del programma HSS-IC.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Comprendere la statistica come un processo per trarre inferenze sui parametri di una popolazione sulla base di un campione casuale estratto da tale popolazione.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Understand statistics as a process for making inferences about population parameters based on a random sample from that population.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.A.1

  77. Punto del programma HSS-IC.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Decidere se un modello specificato è coerente con i risultati di un dato processo di generazione dei dati, ad es. utilizzando una simulazione. Ad esempio, un modello afferma che una moneta che gira cade a testa in su con probabilità 0.5. Un risultato di 5 croci di seguito ti porterebbe a mettere in discussione il modello?

    nostra traduzione · testo originale (EN): Decide if a specified model is consistent with results from a given data-generating process, e.g., using simulation. For example, a model says a spinning coin falls heads up with probability 0.5. Would a result of 5 tails in a row cause you to question the model?

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.A.2

  78. Punto del programma HSS-IC.B.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Riconoscere gli scopi e le differenze tra indagini campionarie, esperimenti e studi osservazionali; spiegare come la randomizzazione si collega a ciascuno di essi.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Recognize the purposes of and differences among sample surveys, experiments, and observational studies; explain how randomization relates to each.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.3

  79. Punto del programma HSS-IC.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare i dati di un'indagine campionaria per stimare la media o la proporzione di una popolazione; sviluppare un margine di errore attraverso l'uso di modelli di simulazione per il campionamento casuale.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use data from a sample survey to estimate a population mean or proportion; develop a margin of error through the use of simulation models for random sampling.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.4

  80. Punto del programma HSS-IC.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare i dati di un esperimento randomizzato per confrontare due trattamenti; utilizzare simulazioni per decidere se le differenze tra parametri sono significative.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use data from a randomized experiment to compare two treatments; use simulations to decide if differences between parameters are significant.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.5

  81. Punto del programma HSS-IC.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Valutare resoconti basati su dati.

    nostra traduzione · testo originale (EN): Evaluate reports based on data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Making Inferences and Justifying Conclusions, standard HSS-IC.B.6

  82. Punto del programma HSS-MD · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare la probabilità per prendere decisioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Using Probability to Make Decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)

  83. Punto del programma HSS-MD.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    Utilizzare la probabilità per valutare gli esiti delle decisioni

    nostra traduzione · testo originale (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B

  84. Punto del programma HSS-MD.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Utilizzare le probabilità per prendere decisioni eque (ad es., estrazione a sorte, utilizzo di un generatore di numeri casuali).

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Use probabilities to make fair decisions (e.g., drawing by lots, using a random number gener ator).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.6

  85. Punto del programma HSS-MD.B.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

    (+) Analizzare decisioni e strategie utilizzando concetti di probabilità (ad es., test di prodotto, test medici, togliere il portiere nell'hockey alla fine di una partita).

    nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Analyze decisions and strategies using probability concepts (e.g., product t esting, medical testing, pulling a hockey goalie at the end of a game).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.7

Competenze passo dopo passo

Factoring Polynomials with Grouping and Cubes

Students learn to break down complex algebraic expressions by pulling out common factors, grouping terms, and using patterns for the sum and difference of cubes.

Punto del programma HSA-SSE.A.2 Utilizzare la struttura di un'espressione per individuare modi per riscriverla. Per esempio, vedere x4 – y4 come (x2)2 – ( y2)2, riconoscendola così come una differenza di quadrati che può essere scomposta in fattori come (x2 – y2)(x2 + y2). (nostra traduzione)

In 11th grade, students use the structure of an algebraic expression to break it into simpler factors. Instead of relying solely on basic quadratic methods, students examine multi-term expressions to locate greatest common factors, group terms with shared characteristics, and recognize expressions made of two perfect cubes.

A common error occurs with negative signs when factoring by grouping or using cube patterns. When grouping four terms, students often forget to distribute a negative sign out of the second pair, leaving mismatched binomials that prevent them from finishing the problem. With sum and difference of cubes, students frequently mix up the positive and negative signs in the linear and quadratic parts of the factored form.

Worksheet tasks reinforce these skills through three main formats:

  • Factoring out a monomial: identifying and extracting the greatest common factor shared by all terms in an expression.
  • Factoring by grouping: splitting four-term polynomials into pairs to reveal and pull out a common binomial factor.
  • Sum and difference of cubes: identifying cubed terms and applying the appropriate cube formula to rewrite the expression.
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Tipi di esercizi: Raccoglimento di un monomio · Scomposizione per raggruppamento · Somma e differenza di cubi

Adding, Multiplying, and Working with Complex Numbers

Students learn to add, subtract, and multiply complex numbers in the form a + bi and simplify powers of i using the rule that i² equals –1.

Punto del programma HSN-CN.A.1 Sapere che esiste un numero complesso i tale che i2 = –1, e ogni numero complesso ha la forma a + bi con a e b reali. (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-CN.A.2 Utilizzare la relazione i2 = –1 e le proprietà commutativa, associativa e distributiva per addizionare, sottrarre e moltiplicare numeri complessi. (nostra traduzione)

In Grade 11, students work with complex numbers written in standard a + bi form, where a and b are real numbers. By applying familiar algebraic rules—including the commutative, associative, and distributive properties—alongside the core definition that i² = –1, students learn to add, subtract, and multiply complex numbers, as well as evaluate positive powers of i.

A frequent error occurs during multiplication when students treat i simply as a regular variable like x. They often forget to substitute –1 for i², which causes a sign error in the final real part of the number. Another common mistake happens during subtraction, where students forget to distribute the negative sign across both the real and imaginary parts of the second number.

Practice tasks cover three clear formats based on these skills. In adding and subtracting complex numbers, students combine real terms with real terms and imaginary terms with imaginary terms. In multiplying complex numbers, students expand expressions like (3 + 2i)(1 – 4i) and simplify the result into standard a + bi form. Finally, tasks on powers of i require students to simplify higher exponents down to 1, –1, i, or –i by applying the rule that i² = –1.

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Tipi di esercizi: Addizione e sottrazione di numeri complessi · Potenze di i · Moltiplicazione di numeri complessi

Finding the nth Term and Sum of a Geometric Sequence

Students learn to write formulas to find any term in a geometric sequence and use the sum formula to calculate the total of a finite series.

Punto del programma HSA-SSE.B.4 Ricavare la formula per la somma di una serie geometrica finita (quando la ragione non è 1) e utilizzare la formula per risolvere problemi. Ad esempio, calcolare le rate del mutuo.★ (nostra traduzione)
Punto del programma HSF-BF.A.2 Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms. ★
Punto del programma HSF-LE.A.2 Costruire funzioni lineari ed esponenziali, comprese le successioni aritmetiche e geometriche, dato un grafico, una descrizione di una relazione o due coppie input-output (inclusa la loro lettura da una tabella). (nostra traduzione)

In Grade 11, students work with geometric sequences where each value is multiplied by a constant common ratio (other than 1). Students write explicit rules to calculate any specific term—known as the nth term—and use the finite geometric series formula to add up a set number of terms quickly.

A frequent error occurs when evaluating exponents and signs. When finding the nth term, students often mistakenly multiply the first term by the common ratio before applying the power, or they forget to use n − 1 in the exponent. When evaluating sums, negative common ratios often lead to sign errors in the denominator, where subtracting a negative value should result in addition.

Worksheet practice focuses on two main task templates:

  • Geometric sequence — nth term: Students identify the first term and common ratio from a list or table to calculate a specific later term, such as the 8th or 12th term.
  • Geometric sequence — sum of terms: Students apply the sum formula to find the total of the first n terms of a sequence without adding each value by hand.
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Tipi di esercizi: Progressione geometrica — somma · Progressione geometrica — termine n-esimo

Using Special Product Formulas

Students learn to use algebraic patterns to quickly expand the square of a sum or difference and the product of a sum and a difference.

Punto del programma HSA-SSE.A.2 Utilizzare la struttura di un'espressione per individuare modi per riscriverla. Per esempio, vedere x4 – y4 come (x2)2 – ( y2)2, riconoscendola così come una differenza di quadrati che può essere scomposta in fattori come (x2 – y2)(x2 + y2). (nostra traduzione)

At this level, students learn to recognize the structure of an algebraic expression rather than multiplying every term by hand. They identify expressions that match standard patterns and apply shortcut formulas to find the expanded form directly, working with sums and differences of terms containing variables and constants.

A very common mistake occurs when students square a binomial. Many forget the middle term entirely, incorrectly assuming that squaring a sum means simply squaring each individual term. This happens because they try to distribute the exponent over addition or subtraction instead of applying the complete multiplication pattern.

Practice tasks for this skill typically focus on two formats:

  • Product of a sum and a difference, where students multiply conjugate pairs, such as (x + 5)(x – 5), to arrive directly at a difference of squares.
  • Square of a sum or difference, where students expand expressions like (x + 3) squared or (2x – 7) squared by including the doubled middle term alongside the squared end terms.
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Tipi di esercizi: Prodotto di una somma per una differenza · Quadrato di una somma o differenza

Dividing Polynomials and the Remainder Theorem

Students learn to divide polynomials by linear factors like x − a and find the remainder directly using the Remainder Theorem.

Punto del programma HSA-APR.B.2 Conoscere e applicare il teorema del resto: per un polinomio p(x) e un numero a, il resto della divisione per x – a è p(a), quindi p(a) = 0 se e solo se (x – a) è un fattore di p(x). (nostra traduzione)
Punto del programma HSA-APR.D.6 Riscrivere semplici espressioni razionali in forme diverse; scrivere a(x)/b(x) nella forma q(x) + r(x)/b(x), dove a(x), b(x), q(x) e r(x) sono polinomi con il grado di r(x) minore del grado di b(x), mediante ispezione, divisione lunga o, per gli esempi più complessi, un sistema di algebra computazionale. (nostra traduzione)

In Grade 11, students learn to divide a polynomial by a linear binomial of the form x − a using long division. They write their answers in the form q(x) + r/(x − a), where q(x) is the quotient and r is the constant remainder. Alongside division, students use the Remainder Theorem to find this remainder quickly: by calculating p(a), they can determine the remainder without completing the full division, confirming that x − a is an exact factor whenever p(a) = 0.

A frequent error is mixing up the sign of a. When dividing by a binomial such as x − 3, students often evaluate p(−3) instead of p(3) because they carry the minus sign into the calculation. In polynomial long division, students also tend to make sign errors when subtracting rows, especially when subtracting terms that already have negative coefficients.

Worksheet tasks for this skill center on two main formats. In Dividing a polynomial by a binomial, students work through polynomial division step by step to find the quotient and any leftover remainder. In Remainder of polynomial division, students use the Remainder Theorem to quickly calculate the remainder or check whether a given binomial divides evenly into the polynomial.

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Tipi di esercizi: Resto della divisione di un polinomio · Divisione di un polinomio per un binomio

Multiplying and Subtracting Rational Expressions

Students learn to multiply and subtract rational expressions formed by polynomials, simplifying the results into a single algebraic fraction.

Punto del programma HSA-APR.D.6 Riscrivere semplici espressioni razionali in forme diverse; scrivere a(x)/b(x) nella forma q(x) + r(x)/b(x), dove a(x), b(x), q(x) e r(x) sono polinomi con il grado di r(x) minore del grado di b(x), mediante ispezione, divisione lunga o, per gli esempi più complessi, un sistema di algebra computazionale. (nostra traduzione)

In 11th grade, students work with rational expressions—fractions where both the numerator and the denominator are polynomials. Students rewrite and combine these algebraic fractions using multiplication and subtraction to produce a single, simplified rational expression.

A common mistake during subtraction is forgetting to distribute the negative sign across every term in the numerator of the second fraction after finding a common denominator. When multiplying, students often attempt to cancel individual terms separated by addition or subtraction signs instead of factoring the polynomials first to divide out shared factors.

Practice tasks focus on two main formats: multiplying rational expressions and subtracting rational expressions. In subtraction problems, students identify a shared polynomial denominator and combine like terms in the numerator. In multiplication problems, students factor polynomial numerators and denominators completely to reduce the final product to its simplest form.

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Tipi di esercizi: Moltiplicazione di espressioni razionali · Sottrazione di espressioni razionali

Solving Rational and Radical Equations

Students learn to solve simple rational and radical equations in one variable and identify extraneous solutions that do not work in the original equation.

Punto del programma HSA-REI.A.2 Risolvere semplici equazioni fratte e irrazionali in una variabile e fornire esempi che mostrino come possano presentarsi soluzioni estranee. (nostra traduzione)

Students learn to solve simple one-variable equations that contain rational expressions (fractions with variables in the denominator) or radical expressions (roots containing variables). They apply algebraic techniques such as clearing denominators by multiplying by a common term or clearing roots by raising both sides of the equation to an appropriate power.

A common stumbling block is identifying extraneous solutions. Because algebraic steps like squaring both sides or multiplying by an expression containing the variable can create values that do not satisfy the original problem, students often forget to check their results. This leads to accepting invalid answers, such as values that make a denominator equal to zero or require a principal square root to equal a negative number.

Worksheets and practice tasks focus on two formats:

  • Radical equation: Tasks where students isolate a root, eliminate it by powering both sides, solve for the variable, and test for valid answers.
  • Rational equation: Tasks where students clear denominators, solve the remaining linear or polynomial equation, and check that no solutions cause division by zero.
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Tipi di esercizi: Equazione irrazionale · Equazione fratta

Writing Equations of Lines and Parallel Lines

Students learn to determine explicit linear functions given two coordinate points or a single point and a parallel line.

Punto del programma HSF-BF.A.1 Scrivere una funzione che descrive una relazione tra due grandezze.★ a. Determinare un'espressione esplicita, un processo ricorsivo o passaggi di calcolo a partire da un contesto. b. Combinare tipi standard di funzioni utilizzando le operazioni aritmetiche. Per esempio, costruire una funzione che modella la temperatura di un corpo in raffreddamento sommando una funzione costante a un esponenziale decrescente, e mettere in relazione queste funzioni con il modello. c. (+) Comporre funzioni. Per esempio, se T(y) è la temperatura nell'atmosfera in funzione dell'altezza, e h(t) è l'altezza di un pallone meteorologico in funzione del tempo, allora T(h(t)) è la temperatura nella posizione del pallone meteorologico in funzione del tempo. (nostra traduzione)

Students write explicit linear functions to describe the relationship between two quantities. They determine the slope between two given coordinates or identify the matching slope needed to write the equation of a parallel line passing through a target point.

A frequent error happens when working with parallel lines: students sometimes alter the slope—such as inverting or negating it—instead of keeping it identical. Another common mistake arises during the slope calculation itself, where students reverse the ratio by placing changes in x over changes in y, or swap the coordinate values when substituting them into the equation.

Practice tasks include Parallel line through a point, where students use an existing linear equation and a given coordinate to write a new parallel line, and Linear function through two points, where they find the rate of change between two coordinates to build the complete linear equation.

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Tipi di esercizi: Funzione lineare per due punti · Retta parallela per un punto

Finding the Vertex and Using Vertex Form

Students learn to rewrite quadratic equations into vertex form to identify a parabola's vertex, line of symmetry, and maximum or minimum values.

Punto del programma HSF-IF.C.8 Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

In Grade 11, students use algebraic methods such as completing the square to rewrite quadratic functions into vertex form, y = a(x − h)2 + k. Converting to this form allows them to directly pinpoint the parabola's vertex at (h, k), determine the axis of symmetry, and state the function's extreme values (whether the graph opens up to a minimum or down to a maximum).

A frequent error occurs with the horizontal shift inside the squared term. Because the template contains a subtraction sign, students often misread the signs and identify the vertex of y = (x − 4)2 + 3 as (−4, 3) instead of (4, 3). Errors also happen when the leading coefficient a is not 1, where students forget to factor it out before completing the square or fail to balance the equation properly.

Worksheet tasks focus on Vertex form of a quadratic function and finding the Vertex of a parabola. Students practice converting equations from standard form to vertex form step by step, extracting the coordinates of the vertex, and interpreting what that turning point represents.

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Tipi di esercizi: Vertice di una parabola · Forma canonica della funzione quadratica

Converting Between Degrees and Radians

Students learn to understand radians as arc lengths on a unit circle and convert angle measurements between degrees and radians.

Punto del programma HSF-TF.A.1 Comprendere la misura in radianti di un angolo come la lunghezza dell'arco sulla circonferenza unitaria sotteso dall'angolo. (nostra traduzione)

In 11th grade, students learn that the radian measure of an angle is the length of the arc it cuts out on a unit circle. Using this definition, they connect their prior knowledge of degree turns to this new measurement system and learn to translate angle sizes back and forth between degrees and radians.

A typical error occurs when students invert the conversion fraction, multiplying by π/180° when they need to multiply by 180°/π. Learners also frequently assume that an angle is only in radians if it includes the symbol π, which causes confusion about what radians actually represent on the circle.

Tasks for this skill focus on two distinct worksheet templates: Degrees to radians, where students rewrite angles given in degrees as exact radian measures, and Radians to degrees, where they convert radian measures back into degree values.

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Tipi di esercizi: Gradi in radianti · Radianti in gradi

Finding the Period and Amplitude of a Sine Curve

Students learn to identify the period and find the maximum or amplitude of a sine curve to model periodic patterns.

Punto del programma HSF-TF.B.5 Scegliere funzioni trigonometriche per modellizzare fenomeni periodici con ampiezza, frequenza e linea mediana specificate. ★ (nostra traduzione)

In 11th grade, students examine the graphs of periodic functions to model repeating cycles. They identify the key geometric features of a sine curve, determining its period—the horizontal length of one full cycle—and locating the curve's maximum value to determine its amplitude.

A common error is confusing the total vertical height of the wave with its amplitude. Students often measure from the lowest trough all the way to the crest, forgetting that amplitude is measured from the center midline to the peak. Another frequent slip occurs when measuring the period: students often take the distance between two consecutive zero-crossings, which captures only half of a wave rather than a complete cycle.

Worksheet tasks focus directly on these visual features. Under Maximum of a sine curve, students read a graphed wave to find the highest value it reaches along the vertical axis. In Period of a sine curve, students inspect the horizontal axis to measure the exact distance from one wave peak to the next.

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Tipi di esercizi: Massimo di una sinusoide · Periodo di una sinusoide

Finding Coefficients in Binomial Expansions

Students learn to find specific coefficients in expressions of the form (x + c)ⁿ for positive whole-number powers using the Binomial Theorem or Pascal’s Triangle.

Punto del programma HSA-APR.C.5 (+) Conoscere e applicare il teorema del binomio per lo sviluppo di (x + y)n in potenze di x e y per un intero positivo n, dove x e y sono numeri qualsiasi, con coefficienti determinati ad esempio dal triangolo di Pascal. (nostra traduzione)

Students learn to determine terms in expressions of the form (x + c)n, where n is a positive integer and c is a constant number. Using the Binomial Theorem or rows of Pascal’s Triangle, they find the numerical coefficient of any designated power of x without needing to multiply the binomial repeatedly by hand.

A common error happens when students overlook the constant value c. They often correctly identify the combinatoric number from Pascal’s Triangle but forget to raise c to its corresponding power, or they mishandle negative signs when c is negative, leading to an incorrect final product for the coefficient.

Worksheet tasks focus directly on finding a single coefficient in a binomial expansion. For example, a student may be given an expression like (x + 3)5 and asked to calculate the coefficient of the x2 term.

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Shifting Graphs Horizontally and Vertically

Students learn to shift function graphs up, down, left, and right by changing the equation, and find the shift value given a graph.

Punto del programma HSF-BF.B.3 Identificare l'effetto sul grafico della sostituzione di f(x) con f(x) + k, k f(x), f(kx) e f(x + k) per valori specifici di k (sia positivi sia negativi); trovare il valore di k dati i grafici. Sperimentare con diversi casi e illustrare una spiegazione degli effetti sul grafico mediante l'uso della tecnologia. Includere il riconoscimento di funzioni pari e dispari a partire dai loro grafici e dalle loro espressioni algebriche. (nostra traduzione)

In 11th grade, students connect changes in an equation to physical movements of its graph on the coordinate plane. By working with specific positive and negative values of k, they learn that replacing f(x) with f(x) + k shifts the curve vertically up or down, while replacing it with f(x + k) shifts the curve horizontally left or right. They also analyze graphs to determine the exact numerical value of k.

A frequent mistake happens with horizontal shifts. Students routinely assume that f(x + 3) moves a graph three units to the right toward positive numbers, rather than three units to the left. Students also mix up operations applied inside the function's input, like f(x + k), with operations applied to the entire output, like f(x) + k.

Practice with Translating a graph worksheets presents students with a base curve alongside a shifted curve. Students count the units moved along the x- or y-axis to identify the value of k and write the new function formula, or they take a given formula and sketch the resulting shift.

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Finding the Average Rate of Change

Students learn to calculate and interpret the average rate of change of a function from an equation or table over a given interval, and estimate it from a graph.

Punto del programma HSF-IF.B.6 Calcolare e interpretare il tasso medio di variazione di una funzione (presentata simbolicamente o come tabella) in un intervallo specificato. Stimare il tasso di variazione da un grafico. ★ (nostra traduzione)

In Grade 11, students find how fast a function increases or decreases over a specific interval. They calculate the average rate of change using functions given as algebraic formulas (symbolically) or as tables of values, and they estimate this rate visually by reading points from a graph. They also learn to interpret what this rate of change represents in real-world contexts.

A frequent error occurs when students invert the calculation by dividing the change in inputs by the change in outputs, rather than dividing the change in function values by the interval length. Another common issue is finding only the total change between the two endpoints and forgetting to divide by the difference in the input values.

Worksheet tasks from the Average rate of change template present students with a specified interval alongside a function equation, a data table, or a graphed curve. Students determine the function values at the endpoints of the interval, divide the vertical change by the horizontal change, and write the final rate as a simplified value or rate with units.

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Combining Functions by Composition

Students learn to evaluate and write composite functions by using the output of one function as the input for another.

Punto del programma HSF-BF.A.1 Scrivere una funzione che descrive una relazione tra due grandezze.★ a. Determinare un'espressione esplicita, un processo ricorsivo o passaggi di calcolo a partire da un contesto. b. Combinare tipi standard di funzioni utilizzando le operazioni aritmetiche. Per esempio, costruire una funzione che modella la temperatura di un corpo in raffreddamento sommando una funzione costante a un esponenziale decrescente, e mettere in relazione queste funzioni con il modello. c. (+) Comporre funzioni. Per esempio, se T(y) è la temperatura nell'atmosfera in funzione dell'altezza, e h(t) è l'altezza di un pallone meteorologico in funzione del tempo, allora T(h(t)) è la temperatura nella posizione del pallone meteorologico in funzione del tempo. (nostra traduzione)

In 11th grade, students learn to combine two mathematical rules so that the output of one function serves as the input for the next, written as f(g(x)). They build explicit expressions for these combined functions and interpret them in practical models, such as linking time to temperature through a changing height.

A common difficulty is getting the sequence backward: students frequently evaluate the outer function first, calculating g(f(x)) instead of f(g(x)), or confuse function composition with multiplication by treating (f ∘ g)(x) as f(x) · g(x). When substituting an algebraic expression into the outer formula, learners also commonly forget to wrap the inner expression in parentheses, causing sign and exponent errors.

Tasks generated from the Composition of functions template provide pairs of formulas—such as linear, quadratic, or rational equations—and ask students to find the combined expression f(g(x)) or evaluate the composite function at a specific numerical value.

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Finding the Inverse of a Linear Function

Students learn to find the algebraic inverse of a linear function by reversing its operations and solving for the input variable.

Punto del programma HSF-BF.B.4 Trovare funzioni inverse. a. Risolvere un'equazione della forma f(x) = c per una funzione semplice f che ha un'inversa e scrivere un'espressione per l'inversa. Per esempio, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) per x ≠ 1. b. (+) Verificare mediante composizione che una funzione è l'inversa di un'altra. c. (+) Leggere i valori di una funzione inversa da un grafico o da una tabella, dato che la funzione ha un'inversa. d. (+) Produrre una funzione invertibile da una funzione non invertibile restringendo il dominio. (nostra traduzione)

Students work with linear equations written in function notation, such as f(x) = 3x + 4 or f(x) = -2x - 7. At this stage, they learn to undo the operations applied to the input variable by setting the function equal to an output value and solving for x. This allows them to write a clear formula for the inverse function, typically expressed as f⁻¹(x).

A common error is confusing an inverse function with a reciprocal, leading students to mistakenly treat f⁻¹(x) as 1/f(x). Another frequent misstep occurs during multi-step algebraic isolation: when dividing by the slope coefficient, students often divide only one term rather than the entire side of the equation, writing x/3 + 4 instead of (x - 4)/3.

On printable worksheets for the Inverse of a linear function template, tasks present a linear rule with integer or fractional coefficients and ask students to find the corresponding inverse equation. Students practice swapping the roles of the input and output variables and isolating the new dependent variable using inverse operations.

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Solving Quadratic Equations with Complex Roots

Students learn to solve quadratic equations with real coefficients that have complex solutions using the imaginary unit.

Punto del programma HSN-CN.C.7 Risolvere equazioni di secondo grado a coefficienti reali che hanno soluzioni complesse. (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-CN.C.8 (+) Estendere le identità polinomiali ai numeri complessi. Ad esempio, riscrivere x2 + 4 come (x + 2i)(x – 2i). (nostra traduzione)

In Grade 11, students solve quadratic equations with real coefficients where the solutions are not real numbers. When working with equations such as x2 + 4 = 0 or using the quadratic formula on equations with a negative discriminant, they express the square roots of negative numbers using the imaginary unit i. They can also use complex numbers to factor expressions that do not factor over real numbers, rewriting forms like x2 + 4 as (x + 2i)(x – 2i).

A frequent mistake happens when simplifying the square root of a negative value under the radical. Students often drop the negative sign entirely or treat it like a regular negative result—for example, writing the square root of –16 as –4 instead of 4i. Another common hurdle is forgetting that complex roots always appear in conjugate pairs when solving quadratic equations with real coefficients.

Worksheet tasks from the Quadratic equation with complex roots template present students with equations such as x2 + 2x + 5 = 0. Students apply algebraic methods like the quadratic formula or completing the square to find both complex solutions, writing their final answers in standard a ± bi form.

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Modelli di esercizi da stampare

Tutti i tipi di esercizi, raggruppati per abilità. Un clic apre il generatore con il tipo già scelto.

Factoring Polynomials with Grouping and Cubes

Adding, Multiplying, and Working with Complex Numbers

Finding the nth Term and Sum of a Geometric Sequence

Using Special Product Formulas

Dividing Polynomials and the Remainder Theorem

Multiplying and Subtracting Rational Expressions

Solving Rational and Radical Equations

Writing Equations of Lines and Parallel Lines

Finding the Vertex and Using Vertex Form

Converting Between Degrees and Radians

Finding the Period and Amplitude of a Sine Curve

Finding Coefficients in Binomial Expansions

Shifting Graphs Horizontally and Vertically

Finding the Average Rate of Change

Combining Functions by Composition

Finding the Inverse of a Linear Function

Solving Quadratic Equations with Complex Roots

Altri tipi di esercizi

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