Mathematik — Klasse 4

In der vierten Klasse bestimmen die Kinder die Ausdehnung einer ebenen Fläche, indem sie das Karo als Maßeinheit verwenden. Sie lernen, den Flächeninhalt von Rechtecken und von Figuren, die aus mehreren Rechtecken zusammengesetzt sind, zu bestimmen, indem sie die Einheiten zählen, die sie bedecken, die Anordnung in Zeilen und Spalten mit der Multiplikation verbinden oder ausgehend von der bekannten Fläche die Länge einer Seite ermitteln.

Der häufigste Fehler besteht darin, Fläche und Umfang zu verwechseln: Anstatt die inneren Kästchen zu zählen, die die Figur ausfüllen, zählt das Kind die Striche, die die äußere Begrenzung bilden. Eine ähnliche Schwierigkeit tritt auf, wenn sich der Wert der Maßeinheit ändert, etwa in Fällen, in denen eine Fliese zwei Karos entspricht: Oft neigt man dazu, die einzelnen Karos unaufmerksam zu zählen, ohne die verlangte Proportion anzuwenden.

Die praktischen Aktivitäten sehen anschauliche und konkrete Aufgaben auf der Grundlage von karierten Rastern vor:

• berechnen, wie viele Karos ein Rechteck bedecken, oder herausfinden, wie viele Fliesen noch fehlen, um es zu vervollständigen;
• den Flächeninhalt einer Figur aus zwei Rechtecken bestimmen oder zwei Formen vergleichen, um zu erkennen, um wie viel eine Fläche größer ist als die andere;
• Fragen vom Typ wahr oder falsch lösen, einen falschen Flächeninhalt erkennen und korrigieren oder ein Rechteck mit dem gegebenen Flächeninhalt zeichnen.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, die mathematische Regel zu erkennen, die eine Zahlenfolge bestimmt. Sie beschränken sich nicht darauf, ein einfaches intuitives Muster fortzusetzen: Sie beobachten genau, um wie viel jeder Schritt zunimmt oder abnimmt, berechnen die Schrittweite der Folge und wenden diese Logik an, um die Reihe fortzusetzen, rückwärts zu gehen oder einen Wert zu berechnen, der viel weiter hinten steht.

Der typische Fehler besteht darin, nur die ersten beiden Glieder der Reihe zu betrachten und die Regel zu erraten, ohne zu überprüfen, ob die Schrittweite in den folgenden Schritten konsistent bleibt. Eine weitere häufige Schwierigkeit tritt auf, wenn eine fehlende Zahl in der Mitte gefunden werden muss: Oft wird ausgehend von einem Endpunkt eine Addition oder Subtraktion angewendet, ohne zu kontrollieren, ob das Ergebnis richtig an die folgende Zahl anschließt.

Bei den praktischen Aufgaben bearbeiten die Kinder Arbeitsblätter mit gezielten Aufgaben, darunter:

• herausfinden, um wie viel eine Folge jedes Mal wächst, oder einen abnehmenden Rhythmus fortsetzen;
• die fehlenden Glieder ergänzen, dabei angeben, welche Zahl in der Mitte fehlt, oder zurückrechnen, wie die erste Zahl lautete;
• Fehler in falsch vervollständigten Reihen erkennen und mehrere Rhythmen vergleichen, um zu verstehen, welche Folge schneller wächst.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, negative ganze Zahlen anhand einer realen Situation zu deuten: der Skala eines Thermometers. Sie lernen, die Null als Bezugspunkt zu verwenden, sowohl positive Temperaturen als auch Temperaturen unter null abzulesen und zwei Werte zu vergleichen, um herauszufinden, welche Messung die wärmere ist.

Der häufigste Fehler tritt auf, wenn man unter null kommt: Da die Kinder es gewohnt sind, von unten nach oben zu zählen, zählen viele die Striche in die falsche Richtung oder meinen, -5 °C sei wärmer als -2 °C, weil sie die Zahl 5 automatisch mit einer größeren Menge verbinden.

In den Arbeitsblättern vergleichen die Kinder sich mit Abbildungen von skalierten Thermometern. Die Aufgaben verlangen, die Temperatur am Thermometer abzulesen, zwischen wahren und falschen Aussagen zu wählen, fehlerhafte Ablesungen zu korrigieren oder Veränderungen zu berechnen, etwa herauszufinden, um wie viel Grad die Temperatur gestiegen ist oder wie viele Grad noch fehlen, um einen bestimmten Wert zu erreichen.

In der vierten Klasse lernt das Kind, den Umfang des Quadrats mit der Standardformel zu bestimmen: die Seitenlänge mit 4 multiplizieren, da alle Seiten gleich lang sind. Es arbeitet sowohl, indem es die Striche oder Kästchen auf einem Karomuster zählt, als auch, indem es die Rechnung direkt mit den vorgegebenen Maßen durchführt. Außerdem lernt es das umgekehrte Verfahren: die Seitenlänge ermitteln, indem es den Umfang durch 4 teilt.

Die häufigste Schwierigkeit betrifft die Verwirrung über die geometrische Bedeutung der Formel: Oft neigt das Kind dazu, die Seite mit sich selbst statt mit 4 zu multiplizieren. Bei den umgekehrten Aufgaben ist ein typischer Fehler, eine Größe abziehen zu wollen, anstatt die Division in vier gleiche Teile durchzuführen.

In den praktischen Übungen geht es um:

• die Berechnung des Umfangs ausgehend von der Zeichnung auf dem Karomuster oder vom Zahlenwert der Seite;
• die Ermittlung der Seitenlänge des Quadrats aus dem Umfang durch Division;
• Multiple-Choice-Fragen, Aussagen, die als wahr oder falsch zu bewerten sind, und Arbeitsblätter, auf denen Rechenfehler zu korrigieren sind;
• den Vergleich von Figuren, um festzustellen, um wie viel sich die Umfänge zweier verschiedener Quadrate unterscheiden.

In der vierten Klasse erforschen die Kinder ein anderes Zahlsystem als unser eigenes anhand der römischen Zahlen im Bereich von I bis XII, die auch beim Ablesen der Uhr üblich sind. Dabei ordnen sie die grundlegenden Zeichen (I, V, X) ihren jeweiligen Mengen zu und verstehen, wie sie durch Addition (etwa VII für die 7) und durch Subtraktion (etwa IV für die 4 oder IX für die 9) kombiniert werden.

Der häufigste Fehler entsteht durch die Verwechslung des modernen Stellenwertsystems mit den additiven oder subtraktiven Regeln der Römer. Oft vertauschen die Schülerinnen und Schüler die Reihenfolge der Zeichen (zum Beispiel IV mit VI) oder neigen dazu, dasselbe Zeichen viermal zu wiederholen (sie schreiben IIII statt IV) und vergessen dabei, dass ein Zeichen, das links von einem Zeichen mit größerem Wert steht, abgezogen wird.

In den praktischen Übungen beschäftigen sich die Kinder mit diesem Thema in verschiedenen Aufgabenformaten:

• die Zahlen von I bis XII auf- oder absteigend ordnen;
• die richtige Schreibweise auswählen oder den Fehler beim Lesen einer römischen Zahl finden;
• einfache Wahr-oder-falsch-Fragen beantworten und Summen berechnen, die direkt mit diesen Zeichen ausgedrückt werden.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, Tabellen und Balkendiagramme zu nutzen, um Informationen zu entnehmen und gezielte Vergleiche anzustellen. Auf dieser Stufe beschränken sich die Schülerinnen und Schüler nicht darauf, den höchsten oder niedrigsten Wert zu finden, sondern verwenden die Subtraktion, um zu bestimmen, wie viele mehr es in einer Zeile im Vergleich zu einer anderen gibt, und prüfen, wie viele Kategorien einen bestimmten Schwellenwert überschreiten.

Der häufigste Fehler tritt gerade bei Vergleichsfragen auf: Wenn gefragt wird, wie viele Elemente mehr vorhanden sind, schreiben viele Kinder einfach den absoluten Wert der höchsten Spalte ab und vergessen, die Differenz zu berechnen. Eine weitere verbreitete Schwierigkeit besteht darin, die Leserichtung der Tabelle zu verwechseln oder den Namen der Kategorie mit dem zugehörigen Zahlenwert zu verwechseln.

In den Arbeitsblättern enthalten die Aufgaben Datentabellen oder Balkendiagramme, neben denen strukturierte Fragen stehen, bei denen das Kind:

• ermitteln muss, welche Kategorie die größte Menge aufweist;
• die Differenz zwischen zwei Zeilen oder zwischen dem größten und dem kleinsten Wert berechnen muss, die richtige Antwort angibt oder überprüft, ob eine Aussage wahr oder falsch ist;
• zählen muss, wie viele Gruppen die in der Aufgabenstellung genannte Zahl überschreiten.

In der vierten Klasse lernen die Schülerinnen und Schüler, den Umfang eines Rechtecks auf verschiedenen Wegen zu bestimmen: indem sie die Länge aller Seiten addieren oder indem sie direkte Formeln wie (Grundseite + Höhe) × 2 anwenden. Sie arbeiten sowohl mit Figuren, die auf Karopapier gezeichnet sind und bei denen die Maßeinheiten des Randes gezählt werden, als auch mit Figuren, denen Zahlenwerte zugewiesen sind, und sie ermitteln so das Maß einer fehlenden Dimension, wenn der Umfang bereits bekannt ist.

Der häufigste Fehler besteht darin, nur zwei aufeinanderfolgende Seiten (die Grundseite und die Höhe) zu addieren und dabei zu vergessen, die Summe zu verdoppeln oder die beiden anderen Seiten hinzuzufügen, um den gesamten Rand zu erfassen. Bei umgekehrten Aufgaben, bei denen eine fehlende Seite gesucht wird, kommt es häufig vor, dass die bekannte Seite direkt vom Gesamtumfang abgezogen wird, anstatt von der Hälfte des Umfangs.

Die praktischen Aufgaben bieten vielfältige Tätigkeiten: den richtigen Umfang bestimmen oder unter mehreren Möglichkeiten auswählen, prüfen, ob eine gegebene Rechnung korrekt ist, die Länge der fehlenden Seite finden, ein Rechteck anhand eines vorgegebenen Umfangs zeichnen und mehrere Figuren vergleichen, um herauszufinden, welche den größten Umfang hat.

In der vierten Klasse beginnen die Kinder mit Brüchen bei den unmittelbarsten Teilungen: der Hälfte und den Vierteln. Sie arbeiten sowohl mit einem zusammenhängenden Ganzen (einer geometrischen Figur, die in 2 oder 4 gleiche Teile geteilt ist) als auch mit diskreten Mengen von Gegenständen. Dabei lernen sie, den Bruchteil einer Zahlenmenge zu berechnen – etwa ein Viertel von 24 Elementen mithilfe einer Division – und den umgekehrten Weg zu gehen, also aus dem Wert eines einzigen Teils die Gesamtmenge zu ermitteln.

Der häufigste Fehler tritt auf, wenn man von der geometrischen Figur zu einer Gruppe von Gegenständen übergeht: Viele Schülerinnen und Schüler zählen die übrig gebliebenen Elemente, anstatt sie mit dem Ganzen zu vergleichen, oder sie vergessen, dass die Teile aus einer genau gleichen Anzahl von Elementen bestehen müssen. Häufig entsteht auch Verwirrung zwischen den betrachteten Teilen und den verbleibenden Teilen, etwa wenn der gefärbte Bruchteil mit dem ungefärbten verwechselt wird.

In den praktischen Übungen trainieren die Kinder mit gezielten Aufgaben:

• berechnen, wie viele Elemente einen Bruchteil einer Menge bilden, oder bei Wahr-oder-falsch-Fragen feststellen, wie viele ungefärbte Teile in einer Figur übrig bleiben;
• umgekehrte Situationen lösen, um das Gesamte zu finden, wie etwa bei Wie viele sind es insgesamt, wenn ein Teil ... ist?;
• vorgegebene Darstellungen analysieren, um Fehler bei der Division zu korrigieren, oder Mengen erfinden, die sich gleichmäßig auf zwei oder vier Gruppen verteilen lassen.

In der vierten Klasse lernen die Kinder ausgehend von praktischen und anschaulichen Kontexten, intuitiv einzuschätzen und zu erklären, welches von zwei Ereignissen wahrscheinlicher ist, oder zu erkennen, ob es sich um gleich wahrscheinliche Ereignisse handelt. In den einfachsten Fällen gelangen sie zu einer ersten zahlenmäßigen Quantifizierung auf der Grundlage des direkten Zählens: Sie vergleichen zum Beispiel die Anzahl der günstigen Elemente (etwa 6 rote Murmeln gegenüber 2 blauen), um zu begründen, warum eine Wahl vorteilhafter ist als die andere.

Der häufigste Fehler in diesem Alter besteht darin, sich auf subjektive Überzeugungen oder auf „Glücksgefühle“ zu verlassen, anstatt die vorhandenen Elemente zu zählen. Oft konzentrieren sich die Kinder nur auf ein Ergebnis, das sie gerne ziehen möchten, oder sie glauben, dass ein Ergebnis, das gerade erst aufgetreten ist, nicht sofort wieder auftreten kann, und ignorieren dabei die tatsächliche Zusammensetzung der Gruppe von Objekten.

In den praktischen Aufgaben stellen die Übungen sehr klar illustrierte Situationen dar:

• Übungen wie Ein Beutel mit Murmeln oder Was wirst du am leichtesten ziehen, bei denen eine Gruppe farbiger Objekte betrachtet und das wahrscheinlichste Ergebnis angegeben wird;
• Arbeitsblätter wie Fülle den Beutel, bei denen die Schülerinnen und Schüler die Elemente zeichnen oder verteilen müssen, um eine größere, kleinere oder gleiche Wahrscheinlichkeit zu erreichen;
• Fragen, in denen die Überlegung einer Figur analysiert, geprüft wird, ob sie den richtigen Vergleich angestellt hat, und der Fehler gegebenenfalls korrigiert wird.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, den Umfang eines Dreiecks zu bestimmen, indem sie die Längen seiner drei Seiten addieren. Neben der direkten Berechnung wenden sie umgekehrte Verfahren an: Wenn sie wissen, wie groß der gesamte Umfang ist, nutzen sie Subtraktionen, um die Länge einer unbekannten Seite zu ermitteln, oder sie nutzen die Eigenschaften der Figuren (etwa die Gleichheit der beiden Schenkel im gleichschenkligen Dreieck), um die fehlenden Maße zu bestimmen.

Die typische Schwierigkeit entsteht gerade bei Dreiecken mit gleich langen Seiten: Oft ziehen die Schülerinnen und Schüler die Basis vom Gesamtumfang ab, vergessen aber, die verbleibende Differenz durch zwei zu teilen, und verwechseln so die Summe der beiden Schenkel mit der Länge einer einzelnen Seite.

In den Arbeitsblättern variieren die Aufgaben zwischen Multiple-Choice-Übungen und Fragen vom Typ wahr oder falsch zum Umfang. Die praktischen Übungen verlangen, das Gesamtmaß der Außenlinie zu berechnen, die Länge der dritten Seite oder des Schenkels eines gleichschenkligen Dreiecks zu finden oder zwei verschiedene Figuren zu vergleichen, um herauszufinden, um wie viel der Umfang des einen Dreiecks größer ist als der des anderen.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, numerische Näherungswerte zu verwenden, um sich in alltäglichen Situationen zurechtzufinden. In diesem Lernpfad arbeiten sie vor allem mit dem Runden auf den nächsten Zehner oder aufrunden und wenden dies auf Additionen, Subtraktionen und konkrete Daten an, etwa Preise in Euro sowie Größen- und Raummaße.

Der typische Fehler besteht darin, zuerst das genaue Ergebnis berechnen zu wollen und es erst am Ende zu runden: Viele Schülerinnen und Schüler tun sich schwer, einer Rechnung "nach Gefühl" zu vertrauen. Oft verwechseln sie außerdem das Runden auf den nächsten Zehner mit dem Aufrunden, das dagegen sicherstellen soll, dass ein Geldbetrag ausreicht, bevor man an die Kasse geht.

In den praktischen Arbeitsblättern bearbeiten die Kinder kontextbezogene Aufgaben anhand gezielter Übungsmodelle:

• Ungefähr, was wir insgesamt bezahlen werden und Einen Einkauf durch Aufrunden schätzen, um einen Einkaufswagen zu bewerten;
• Schätze die Summe: auf den nächsten Zehner runden und Schätze die Differenz, um sich daran zu gewöhnen, Zahlen vor dem Rechnen zu vereinfachen;
• Wird es passen? und Finde Preise, die zur Schätzung passen, um die Plausibilität von Maßen, Platzbedarf und Kassenbons zu überprüfen.

In der vierten Klasse analysieren die Kinder konkrete Situationen, um sicher festzustellen, ob ein Ereignis mit Sicherheit eintreten wird, eintreten könnte oder niemals eintreten kann. Indem sie an Spielkontexten und visuellen Modellen arbeiten, lernen sie, ihre Antworten zu begründen und zwischen dem zu unterscheiden, was sicher, möglich oder unmöglich ist.

Der häufigste Fehler besteht darin, ein sehr wahrscheinliches Ereignis mit einem sicheren zu verwechseln oder ein sehr seltenes Ereignis mit einem unmöglichen. Wenn sich zum Beispiel in einer Gruppe zehn Spielsteine befinden und nur einer gelb ist, bezeichnen viele Schülerinnen und Schüler das Ziehen des gelben Steins als "unmöglich", nur weil es unwahrscheinlich ist, oder das Ziehen der anderen Farben als "sicher", und vergessen dabei, dass schon eine einzige Ausnahme genügt, um das Ereignis einfach möglich zu machen.

In den praktischen Aufgaben bearbeiten die Kinder Multiple-Choice-Fragen («Sicher, möglich oder unmöglich? Wähle aus») und Überprüfungen mit Aussagen wie «Wahr oder falsch», bei denen sie auch Denkfehler erkennen und korrigieren müssen. In handlungsorientierten Übungen wie «Fülle den Beutel» sollen sie dagegen Elemente mit den passenden Farben zeichnen oder verteilen, sodass eine bestimmte Ziehung sicher, möglich oder völlig unmöglich ist.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, nützliche Informationen aus Zahlentabellen und Piktogrammen abzulesen. Auf dieser Stufe können sie die Gesamtsumme berechnen, indem sie die Daten aus den einzelnen Zeilen addieren, Mengen vergleichen und Piktogramme interpretieren, in denen jede Zeichnung oder jedes Symbol einen vervielfachten Wert hat (zum Beispiel eine Zeichnung, die 2, 5 oder 10 Einheiten entspricht).

Der häufigste Fehler tritt gerade bei den Piktogrammen auf: Viele Kinder zählen einfach die Anzahl der gezeichneten Symbole, als hätte jedes den Wert eins, und übersehen die Legende, die jeder Figur eine größere Menge zuweist. Bei Tabellen zeigt sich eine weitere häufige Schwierigkeit, wenn die Gesamtsumme bekannt ist und ein fehlender Wert bestimmt werden muss: Die Schülerin oder der Schüler versucht, die sichtbaren Zahlen zu addieren, statt sie von der Gesamtsumme zu subtrahieren.

Bei den praktischen Aktivitäten bearbeiten die Kinder strukturierte Arbeitsblätter zu bestimmten Aufgaben:

• die Summe der Daten berechnen mit Wie viele insgesamt in der Tabelle oder indem sie die richtige Option aus mehreren Antworten wählen;
• überprüfen, ob eine Berechnung korrekt ist, anhand von Fragen wie Gesamtsumme aus der Tabelle: wahr oder falsch;
• die Anzahl der Symbole mit ihrem Wert multiplizieren in der Übung Piktogramm: Eine Zeichnung steht für mehrere Dinge;
• die Subtraktion nutzen, um die fehlende Angabe in der Aktivität Die fehlende Zeile, wenn die Gesamtsumme bekannt ist zu finden.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, das schriftliche Rechnen bei Addition und Subtraktion auf Dezimalzahlen zu übertragen. Das Hauptziel besteht darin, den Stellenwert der Ziffern richtig zu handhaben, indem Einer unter Einern, die Kommas untereinander und die Dezimalstellen (Zehntel, Hundertstel und Tausendstel) richtig ausgerichtet werden, damit die Rechnung sicher gelingt.

Der häufigste Fehler betrifft das Untereinanderschreiben: Viele Schülerinnen und Schüler richten die Zahlen wie bei ganzen Zahlen rechtsbündig aus und setzen dabei Ziffern mit unterschiedlichem Stellenwert übereinander (zum Beispiel werden Zehntel mit Hundertsteln addiert). Bei Subtraktionen besteht der typische Fehler außerdem darin, die Platzhalternullen nicht zu ergänzen, die nötig sind, um die Dezimalstellen anzugleichen, wodurch das Übertragen bzw. Entbündeln fehlerhaft ausgeführt wird.

In den Arbeitsblättern erscheinen die Übungen in Form von reinen Rechenaufgaben und praktischen Textaufgaben nach bestimmten Mustern:

• Dezimalzahlen addieren und Dezimalzahlen subtrahieren, bei denen die Summanden bzw. der Minuend und der Subtrahend richtig untereinandergeschrieben werden müssen, um das Ergebnis zu berechnen;
• Massen mit Dezimalzahlen addieren, wobei die Zahlen mit Komma auf reale Gewichtsangaben angewendet werden, die in derselben Maßeinheit ausgedrückt sind.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, sich zwischen den gängigsten Längeneinheiten (vom Millimeter bis zum Kilometer) zurechtzufinden und von einer Maßeinheit zur anderen zu wechseln. Ausgehend von Multiplikationen und Divisionen mit 10, 100 und 1000 sowie dem Umgang mit Dezimalzahlen können sie eine Messung umschreiben, ohne ihren Gesamtwert zu verändern.

Die häufigste Stolperfalle betrifft die Richtung der Umwandlung: Beim Übergang zu einer kleineren Einheit neigen die Schülerinnen und Schüler dazu, zu dividieren statt zu multiplizieren (oder umgekehrt), verwirrt davon, dass einer Messung mit einer größeren Zahl eine physisch kürzere Einheit entspricht. Häufig treten auch Schwierigkeiten beim korrekten Versetzen des Kommas oder beim Ergänzen fehlender Nullen auf.

Bei den praktischen Aufgaben zeigen sich die Übungen in drei Hauptformen:

• Umwandeln in eine kleinere Längeneinheit, indem die Ausgangsmessung multipliziert wird;
• Umwandeln in eine größere Längeneinheit, indem die Messung dividiert wird, um größere Vielfache zu ermitteln;
• Die Länge in einer einzigen Einheit angeben, indem Messungen mit verschiedenen Maßeinheiten in eine einzige ganze oder Dezimalzahl zusammengefasst werden.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, den Flächeninhalt eines Rechtecks zu bestimmen, indem sie die geometrische Formel mit der Multiplikation anwenden (Grundseite mal Höhe). Außerdem lernen sie, mit der umgekehrten Formel zu arbeiten: Wenn sie die Gesamtfläche und das Maß einer Seite kennen, führen sie eine Division aus, um die Länge der unbekannten Seite zu ermitteln.

Die häufigste Stolperfalle ist die Verwechslung von Umfang und Flächeninhalt. Oft addieren die Schülerinnen und Schüler die Seiten, statt sie zu multiplizieren, oder sie suchen die fehlende Seite, indem sie das bekannte Maß von der Fläche subtrahieren oder die Fläche halbieren, und vergessen dabei, dass die Umkehroperation zur Multiplikation der Seiten die Division der Fläche durch die bekannte Seite ist.

In den praktischen Aufgaben wird diese Arbeit über drei abgestufte Arbeitsblätter angeboten:

• Flächeninhalt des Rechtecks: Übungen mit geometrischen Figuren, bei denen die gegebenen Maße von Grundseite und Höhe multipliziert werden;
• Fehlende Seite des Rechtecks: Rückwärtsaufgaben, bei denen durch Division die Höhe oder die Grundseite bestimmt wird;
• Der Flächeninhalt des Rechtecks im Alltag: einfache Probleme aus realen Kontexten, etwa das Ausmessen des Fußbodens eines Zimmers oder eines Heftes.

In der vierten Klasse verwenden die Kinder Zeitmaße, um Dauern zu berechnen und einfache Umrechnungen zwischen Stunden, Minuten und Sekunden vorzunehmen. Anders als bei anderen Maßeinheiten, die auf dem Dezimalsystem beruhen, arbeiten sie hier mit dem Sexagesimalsystem: Sie wissen, dass 60 Sekunden eine Minute und 60 Minuten eine Stunde ergeben, und nutzen Multiplikationen und Additionen, um von einer Einheit zur anderen zu wechseln oder Zeitunterschiede zwischen Uhrzeiten zu berechnen.

Die typische Schwierigkeit besteht darin, die Zeit so zu behandeln, als wäre sie dezimal. Bei einem Zeitsprung, etwa von 14:50 bis 15:10, wenden die Schülerinnen und Schüler häufig eine herkömmliche schriftliche Subtraktion an und vergessen, dass nach 60 Minuten die nächste Stunde beginnt und nicht erst nach 100.

In den Unterrichtsmaterialien wird diese Arbeit durch gezielte Aktivitäten angeboten:

• Minuten und Sekunden in Sekunden: Berechnungen, bei denen die Minuten mit 60 multipliziert und die verbleibenden Sekunden addiert werden, um den Gesamtwert zu ermitteln;
• Wie viele Minuten sind vergangen?: Aufgaben, bei denen ausgehend von angegebenen Uhrzeiten die Zeit bis zum nächsten Zeitpunkt bestimmt wird;
• Wie lange hat es gedauert?: Probleme, bei denen Anfangs- und Endzeit verglichen werden, um die Gesamtdauer einer Tätigkeit zu bestimmen.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, Regelmäßigkeiten zu erkennen und zu beschreiben, die eine Zahlenfolge verbinden. Auf dieser Stufe erzeugen und verlängern die Schülerinnen und Schüler Zahlenfolgen, die auf zwei grundlegenden Operationen beruhen: der Addition eines konstanten Schritts oder der Multiplikation jedes Glieds mit derselben Zahl.

Der häufigste Fehler tritt auf, wenn die Zahlen schnell wachsen: Oft vermutet das Kind sofort eine additive Regel und berechnet nur die Differenz der ersten beiden Glieder, ohne zu prüfen, ob die Multiplikation die gesamte Folge besser beschreibt. Eine weitere typische Schwierigkeit besteht darin, die Regel auf den ersten Schritt anzuwenden, ohne zu kontrollieren, ob sie auch für alle bereits im Aufgabenteil angegebenen Zahlen gilt.

In den Arbeitsblättern treten die Aufgaben in drei typischen Formen auf:

• Folge: Addiere immer denselben Schritt, bei der die Kette durch wiederholtes Addieren eines angegebenen Wertes aufgebaut wird;
• Folge: Multipliziere mit derselben Zahl, bei der jedes folgende Glied durch Multiplikation mit dem gegebenen Faktor entsteht;
• Finde die Regel und setze die Folge fort, bei der das Kind zunächst die Schritte zwischen den angegebenen Zahlen untersuchen muss, um die richtige Operation zu entdecken, und danach die leeren Felder ausfüllt.

In der vierten Klasse bewältigen die Kinder Aufgaben, die mehrere aufeinanderfolgende Rechenschritte erfordern, um zur Lösung zu gelangen. Auf dieser Stufe lernen sie, die Struktur eines Textes zu erkennen und die Daten so zu ordnen, dass sie die Berechnungen in der richtigen Reihenfolge ausführen können: Sie verbinden Mengen durch Additionen und Multiplikationen oder nutzen die Division mit Rest, um zu bestimmen, wie viele Portionen oder vollständige Gruppen sich mit den vorhandenen Materialien bilden lassen.

Das häufigste Hindernis ist die Eile beim Rechnen: Viele Kinder nehmen alle im Text vorkommenden Zahlen und addieren oder multiplizieren sie sofort, ohne die Zwischenschritte zu planen. Bei Aufgaben zu Vorräten besteht der typische Fehler im Umgang mit dem Rest der Division. Dieser wird manchmal ignoriert oder unpassend addiert, ohne zu bedenken, dass die übrig gebliebenen Mengen nicht ausreichen, um eine weitere Gruppe zu vervollständigen.

In den Arbeitsblättern treten die Aufgaben in zwei Hauptformen auf: das Textproblem mit mehreren Schritten (kombinieren), bei dem zuerst ein Zwischenergebnis ermittelt werden muss, bevor die abschließende Frage beantwortet werden kann, und praktische Aufgaben wie wie viele Sets höchstens aus den Vorräten, bei denen die maximal herstellbare Anzahl an Packungen berechnet wird, indem der verfügbare Vorrat geteilt und der dabei entstehende Rest richtig gedeutet wird.

In der vierten Klasse erforschen die Kinder ein altes Zahlensystem und lernen, römische Zahlen bis 3000 zu erkennen und zusammenzusetzen. Sie verwenden die Grundsymbole (I, V, X, L, C, D, M) und wenden die additiven und subtraktiven Regeln an, mit denen man von unserer Stellenwertschreibweise zur römischen Schreibweise gelangt.

Der häufigste Fehler betrifft die Position der Symbole und die Subtraktionsregel. Oft verwechseln die Kinder den Wert, wenn eine kleinere Ziffer vor einer größeren steht (wie in IX oder CD), oder sie neigen dazu, dasselbe Symbol viermal hintereinander zu schreiben (etwa IIII statt IV) und dabei die Beschränkung auf höchstens drei Wiederholungen zu ignorieren.

Bei den praktischen Aufgaben konzentriert sich die Arbeit auf zwei Übungstypen:

• Eine römische Zahl lesen: Ausgegangen wird von einer Schreibweise mit römischen Buchstaben bis 3000, die in die entsprechende Zahl in Ziffern übersetzt wird;
• Eine Zahl in römischen Ziffern schreiben: Es wird eine Dezimalzahl vorgegeben, die korrekt mit römischen Symbolen zusammengesetzt werden soll.

In der vierten Klasse der Grundschule beginnen die Kinder, mit Brüchen zu rechnen. In diesem Lernweg lernen sie, einfache Additionen und Subtraktionen durchzuführen, die sich auf Brüche mit gleichem Nenner beschränken, wobei sie ausschließlich mit den Zählern arbeiten, um den resultierenden Teil des Ganzen zu finden.

Der typische Fehler besteht darin, auch die Nenner miteinander zu addieren oder zu subtrahieren und zum Beispiel 2/5 + 1/5 = 3/10 anstatt 3/5 zu schreiben. Das passiert, weil die Kinder dazu neigen, die Operation auf alle Zahlen in der Zeile anzuwenden, und dabei vergessen, dass der Nenner nur angibt, in wie viele Teile das Ganze unterteilt ist, und keine Menge ist, die man zählen kann.

Die Arbeitsblätter enthalten Aufgaben auf Basis der Muster Brüche mit gleichem Nenner addieren und Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren. Dabei handelt es sich um Operationen in einer Zeile, bei denen die Schülerin bzw. der Schüler den Nenner unverändert lassen und nur die Summe oder Differenz der Zähler berechnen muss.

In der vierten Klasse arbeiten die Kinder mit großen Zahlen und führen die schriftliche Rechnung mit mehrstelligen ganzen Zahlen durch. Dieser Schritt erfordert, die Summanden bzw. die Glieder der Subtraktion genau untereinanderzuschreiben und die Einer, Zehner, Hunderter und Tausender richtig auszurichten, um die Rechnungen sicher durchführen zu können.

Die typische Schwierigkeit tritt auf, wenn die beiden Zahlen unterschiedlich viele Stellen haben: Oft werden die Ziffern linksbündig statt rechtsbündig untereinandergeschrieben, wodurch verschiedene Größenordnungen verwechselt werden. Bei Subtraktionen erzeugen außerdem Nullen in der Mitte Unsicherheiten beim Borgen, was zu Fehlern beim Wechsel zwischen den einzelnen Stellenwerten führt.

Bei den praktischen Aufgaben wird mit Arbeitsblättern gearbeitet, die auf den Vorlagen Addition in Spalten und Subtraktion in Spalten beruhen. Die Aufgaben werden auf kariertem Raster dargestellt und helfen dem Kind, die richtige Ausrichtung einzuhalten und Übertrag sowie Borgen deutlich zu notieren.

In der vierten Klasse lernen die Kinder beim Umgang mit großen Zahlen, Werte zu vereinfachen, um die Größenordnung von Berechnungen einzuschätzen. Konkret entwickeln sie die Fähigkeit festzustellen, ob eine Zahl näher an der unteren oder oberen Zehn bzw. Hundert liegt, indem sie genau auf die Stelle achten, die den Wechsel bestimmt (die Einer für die Zehn, die Zehner für die Hundert).

Der häufigste Fehler tritt bei der Zwischenziffer 5 auf: Bei Zahlen wie 45 oder 350 rundet das Kind oft ab, obwohl es aufrunden müsste. Eine weitere typische Verwechslung besteht darin, die falsche Ziffer zu betrachten, etwa die Einer statt der Zehner, wenn das Ziel darin besteht, die nächste Hundert zu finden.

In den Arbeitsblättern wird das Thema durch gezielte Übungen mit den Titeln Runde auf die nächste Zehn und Runde auf die nächste Hundert behandelt. Die Kinder sollen Zahlenreihen abschreiben, indem sie jede Zahl durch ihren gerundeten Wert ersetzen. So schulen sie ihren Blick für Mengen und erleichtern das Schätzen des Ergebnisses bei Kopf- oder schriftlichen Rechnungen.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, den Umfang von Vielecken zu bestimmen, indem sie die Längen aller Seiten addieren. Sie können außerdem den umgekehrten Weg gehen: Ausgehend vom Gesamtumfang und den Maßen der bekannten Seiten verwenden sie Additionen und Subtraktionen (oder Divisionen, wenn das Vieleck regelmäßig ist), um das Maß der fehlenden Seite zu ermitteln.

Die typische Schwierigkeit tritt bei der Suche nach der unbekannten Seite auf: Häufig zieht der Lernende vom Umfang nur eine einzige bekannte Seite ab, statt die Summe aller übrigen Seiten abzuziehen, oder er vergisst, im Schaubild eine Seite mitzuzählen, wodurch das Endergebnis verfälscht wird.

In den Arbeitsblättern wird dieser Lerninhalt anhand von zwei Aufgabentypen geübt:

• Umfang des Vielecks, bei dem das Gesamtmaß berechnet wird, indem die Werte aller Seiten der Figur addiert werden;
• Fehlende Seite aus dem Umfang, bei der der Gesamtumfang zusammen mit einigen Seiten vorgegeben ist und das Maß der leer gelassenen Strecke berechnet werden soll.

In der vierten Grundschulklasse wenden die Kinder das Lernen über Maße und Dezimalzahlen auf das Geldsystem an und führen praktische Umrechnungen zwischen Euro und Cent durch. Die Schülerinnen und Schüler lernen, mit einem realen Budget umzugehen: Sie addieren die Kosten mehrerer Artikel, berechnen die Differenz zur anfänglichen Summe, um das Wechselgeld zu ermitteln, und vergleichen Zahlen bei unterschiedlichen Preisen.

Der häufigste Fehler zeigt sich beim Schreiben und beim Untereinanderschreiben der Cent-Beträge. Oft verwechseln Kinder Münzen unter zehn Cent, indem sie zum Beispiel 0,5 € statt 0,05 € schreiben. Eine weitere typische Schwierigkeit ist die Berechnung des Wechselgelds ausgehend von ganzen Beträgen (etwa einem Schein über 10 oder 20 Euro). Dabei vergessen sie, das Komma sowie die Nullen für die Cent zu setzen, um die schriftliche Subtraktion durchzuführen.

Bei den praktischen Aktivitäten zeigt sich diese Arbeit in konkreten Aufgaben, die auf zwei Aufgabentypen beruhen:

• Wie viel Geld bleibt übrig?: Ausgehend von einem Anfangsbetrag und dem Kassenbon oder dem Preis eines oder mehrerer Einkäufe wird das verbleibende Geld berechnet.
• Welches Angebot lohnt sich?: Zwei verschiedene Preise oder Packungen desselben Produkts werden verglichen, und man ermittelt die wirtschaftlich günstigere Wahl.

In der vierten Klasse beschäftigen sich die Kinder mit dem Studium großer mehrstelliger Zahlen. Auf dieser Stufe lernen sie, den Stellenwert jeder Ziffer anhand ihrer Position genau zu erkennen (Einer, Zehner, Hunderter, Tausender) und zu verstehen, wie jeder Stellenwechsel eine Ziffer zehnmal, hundertmal oder tausendmal größer macht.

Eine typische Schwierigkeit tritt auf, wenn Zahlen Null-Stellen in der Mitte enthalten oder unterschiedlich lang sind: Oft lassen sich Kinder von der Größe der einzelnen vorderen Ziffern täuschen, anstatt zuerst die Gesamtzahl der Ziffern zu berücksichtigen, oder sie vergessen, den tatsächlichen Wert der Null als Platzhalter zu beachten.

Die vorgeschlagenen Aktivitäten führen die Schülerinnen und Schüler Schritt für Schritt durch spezielle Arbeitsblätter:

• Mit der Vorlage Vergleiche mehrstellige Zahlen werden Zahlenpaare verglichen, indem die Zeichen für größer, kleiner oder gleich eingesetzt werden;
• mit Wie viel größer? Stellenwert wird über multiplikative Beziehungen zwischen Ziffern nachgedacht, die innerhalb der Zahl um Stellen verschoben wurden.

In der vierten Klasse arbeiten die Kinder mit großen Zahlen und lernen, sie auf die nächsten Tausender oder Zehntausender zu runden. Diese Fähigkeit ermöglicht es, sich zwischen Zahlen mit vier oder fünf Stellen zurechtzufinden, und ist wesentlich, um das wahrscheinliche Ergebnis einer Rechnung auf einen Blick abschätzen und prüfen zu können, ob das endgültige Ergebnis sinnvoll ist.

Die typische Schwierigkeit besteht darin, die richtige Ziffer zu erkennen, anhand derer entschieden wird, ob auf- oder abgerundet wird. Oft schauen die Kinder auf die Ziffer der geforderten Stelle statt auf die unmittelbar rechts davon stehende, oder sie runden die angegebene Ziffer richtig, vergessen aber, alle folgenden Stellen durch Null zu ersetzen, und schreiben zum Beispiel 35.720 statt 35.000.

In den Arbeitsblättern konzentrieren sich die Übungen auf gezielte Aufgaben wie Runde auf Tausender oder Runde auf Zehntausender. Bei Zahlen wie 4.820 oder 37.150 bestimmt der Lernende den Referenzwert und schreibt die gerundete Zahl neu auf, wodurch sich das Verfahren an konkreten Mengen festigt.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, Dreiecke zu beschreiben und zu benennen, indem sie zwei verschiedene Klassifikationskriterien anwenden: nach den Seiten (gleichseitig mit drei gleich langen Seiten, gleichschenklig mit zwei gleich langen Seiten, ungleichseitig mit allen verschiedenen Seitenlängen) und nach den Winkeln (rechtwinklig mit einem rechten Winkel, spitzwinklig mit drei spitzen Winkeln, stumpfwinklig mit einem stumpfen Winkel).

Der häufigste Fehler besteht darin, die beiden Kriterien miteinander zu verwechseln, etwa den Begriff gleichschenklig zur Beschreibung eines Winkels zu verwenden, oder sich von der Ausrichtung der Zeichnung auf dem Blatt täuschen zu lassen und Mühe zu haben, ein rechtwinkliges Dreieck zu erkennen, wenn der rechte Winkel nicht auf der waagerechten Grundlinie liegt.

Bei den praktischen Aufgaben konzentriert sich die Arbeit auf die Arbeitsblätter Art des Dreiecks nach den Winkeln und Art des Dreiecks nach den Seiten. Die Kinder betrachten geometrische Figuren, die in verschiedenen Lagen gezeichnet sind, vergleichen die Länge der Seiten bzw. die Öffnung der Winkel und ordnen jeder Figur den richtigen Namen zu.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, Zahlen zu runden, um das Ergebnis einer Addition zu schätzen, bevor sie diese vollständig berechnen. Diese Fähigkeit dient dazu, den Zahlensinn mit immer größeren Zahlen zu entwickeln, und ermöglicht es, die Größenordnung einer Summe vorherzusagen und zu überprüfen, ob das erhaltene Ergebnis sinnvoll ist.

Der typische Fehler besteht darin, trotzdem die genaue schriftliche Rechnung durchzuführen und erst am Ende zu runden. Oft verwechseln die Kinder das Schätzen mit dem genauen Rechnen aus Unsicherheit, oder sie runden die einzelnen Summanden falsch, etwa indem sie die Größenordnung verändern, und erhalten so einen Wert, der weit vom tatsächlichen Ergebnis entfernt ist.

In den Arbeitsblättern nach dem Modell Eine Summe schätzen werden Additionsaufgaben gestellt, bei denen ausdrücklich verlangt wird, nicht schriftlich zu rechnen: Die Schülerin oder der Schüler muss die Summanden im Kopf durch bequemere Zahlen ersetzen und das ungefähre Ergebnis unter mehreren Alternativen angeben oder eine plausible Schätzung notieren.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, dass dieselbe Menge mit verschiedenen Zahlen ausgedrückt werden kann. Um einen Bruch zu erweitern, multiplizieren sie sowohl den Zähler als auch den Nenner mit derselben ganzen Zahl (zum Beispiel werden beide Teile von 2/3 verdoppelt, um 4/6 zu erhalten), und überprüfen dabei konkret, dass sich der Gesamtwert des Bruchs nicht verändert.

Der häufigste Fehler besteht darin, nur eines der beiden Glieder zu multiplizieren – oft nur den Nenner – oder stattdessen eine Menge zu addieren, anstatt zu multiplizieren (indem dieselbe Zahl oben und unten hinzugefügt wird). Wenn das passiert, verliert das Kind den Begriff der Proportion aus den Augen und verändert den tatsächlichen Wert des Bruchs.

Auf den Arbeitsblättern mit der Aufgabe Finde den gleichwertigen Bruch besteht die Aufgabe darin, geführte Gleichungen zu vervollständigen: Ausgehend von einem Ausgangsbruch und einem vorgegebenen neuen Nenner ermittelt das Kind den Multiplikationsfaktor und berechnet den fehlenden Zähler, um die Gleichwertigkeit zu erhalten.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, die Größe von Winkeln zu vergleichen, wobei der rechte Winkel als wichtigster Bezugspunkt dient. Die Schülerinnen und Schüler betrachten die Figuren und stellen fest, ob die Öffnung zwischen zwei Halbgeraden einem rechten Winkel entspricht, ob sie kleiner ist (spitzer Winkel) oder ob sie größer ist (stumpfer Winkel), bis sie gestreckte Winkel und volle Winkel erkennen.

Ein sehr häufiger Fehler besteht darin, die Länge der gezeichneten Strecken mit der tatsächlichen Größe des Winkels zu verwechseln. Oft halten Kinder einen Winkel nur deshalb für "größer", weil seine Schenkel länger gezeichnet sind, oder sie haben Schwierigkeiten, wenn der Winkel gedreht oder im Vergleich zur Seite ungewöhnlich ausgerichtet ist.

Auf den Arbeitsblättern mit der Übung Erkenne die Art des Winkels üben die Kinder an geometrischen Figuren und einzelnen Winkeln, die in verschiedenen Lagen dargestellt sind: Sie vergleichen die gegebene Öffnung mit dem rechten Winkel und notieren die richtige Einordnung.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, aus einer gegebenen Zahlenmenge einen Bruchteil abzuleiten, um konkrete Situationen zu beschreiben und zu lösen. Um zum Beispiel die 3/4 von 24 zu bestimmen, wenden sie zwei genaue Schritte an: Sie teilen die ganze Zahl durch den Nenner, um die Brucheinheit zu berechnen (24 : 4 = 6), und multiplizieren den erhaltenen Wert mit dem Zähler (6 × 3 = 18).

Der häufigste Fehler besteht darin, die Schritte zu vertauschen oder die Funktionen der beiden Terme des Bruchs zu verwechseln: Manche Schüler teilen durch den Zähler statt durch den Nenner und verlieren so den Bezug zur praktischen Bedeutung, eine Menge in gleiche Teile zu teilen, um dann eine bestimmte Anzahl davon zu betrachten.

Bei Aufgaben vom Typ Berechne den Bruchteil einer Zahl bestehen die Übungen aus direkten Rechnungen ausgehend von ganzen Zahlen (etwa die 2/5 von 35 berechnen) oder aus kurzen Alltagskontexten, in denen die Abfolge von Division und Multiplikation angewendet wird.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, denselben rationalen Wert auf verschiedene Arten darzustellen, indem sie Zahlen mit Komma in die entsprechenden Brüche mit dem Nenner 10, 100 oder 1000 umwandeln. Die Schülerin bzw. der Schüler lernt, den Stellenwert der Dezimalstellen (Zehntel, Hundertstel, Tausendstel) mit dem Aufbau des Bruches zu verbinden, indem die Ziffern in den Zähler und die passende Zehnerpotenz in den Nenner gesetzt werden.

Der häufigste Fehler betrifft die Bestimmung des richtigen Nenners, wenn eine Null vorkommt: Zum Beispiel wird 0,04 als 4/10 statt als 4/100 geschrieben, wobei Hundertstel mit Zehntel verwechselt werden. Eine weitere häufige Schwierigkeit tritt bei Zahlen größer als eins auf, etwa 1,5: Das Kind neigt dazu, nur den Dezimalteil zu isolieren und schreibt 5/10, wobei es die Ganzzahl vergisst, anstatt den Bruch 15/10 festzuhalten.

Auf den Arbeitsblättern mit dem Muster Schreibe die Dezimalzahl als Bruch besteht die Aufgabe darin, eine Zahl mit Komma (etwa 0,7 oder 1,25) zu betrachten und direkt den gleichwertigen Bruch zu schreiben. Diese Übung macht die konkrete Verbindung zwischen der Dezimalschreibweise und der Aufteilung in Dezimalteile sichtbar.

In der vierten Klasse der Grundschule lernen die Kinder, Bruchschreibweise und Dezimalschreibweise miteinander zu verbinden, und verstehen, dass ein Bruch einen Teil der Einheit darstellt, der auch durch eine endliche Dezimalzahl ausgedrückt werden kann. Die Schülerinnen und Schüler verknüpfen so den Wert des Nenners (als Zehntel oder Hundertstel) mit der richtigen Stellung der Ziffern nach dem Komma.

Der häufigste Fehler betrifft den Umgang mit der Null und dem Stellenwert: Viele Kinder neigen dazu, Zähler und Nenner einfach durch das Komma getrennt zu schreiben (sie schreiben zum Beispiel 3/10 als 3,10), oder sie verwechseln Zehntel und Hundertstel, indem sie 3/100 als 0,3 statt als 0,03 schreiben.

In den praktischen Aufgaben des Modells Schreibe den Bruch als Dezimalzahl bekommen die Kinder einen Bruch vorgelegt, den sie in die entsprechende Zahl mit Komma umwandeln sollen, und gewöhnen sich so daran, sicher von einer Zahldarstellung zur anderen zu wechseln.

In der vierten Klasse der Grundschule lernen die Kinder, Paare von Dezimalzahlen zu vergleichen. Dazu betrachten sie zuerst den ganzzahligen Teil und, wenn dieser übereinstimmt, gehen sie zum Vergleich Ziffer für Ziffer des Dezimalteils über, beginnend bei den Zehnteln und dann Hundertstel und Tausendstel berücksichtigend.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Ziffern nach dem Komma so zu behandeln, als wären sie eine normale ganze Zahl. Oft denkt das Kind, dass 4,18 größer ist als 4,5, einfach weil 18 größer ist als 5, und vergisst, zuerst den Stellenwert der Zehntel zu vergleichen.

Auf den Arbeitsblättern der Aktivität Vergleiche Dezimalzahlen besteht die Aufgabe typischerweise darin, zwei Zahlen mit Komma zu betrachten und zwischen ihnen das richtige Zeichen einzusetzen, gewählt aus >, < oder =.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, eine natürliche Zahl zu zerlegen, indem sie alle ihre Teiler bestimmen. Dazu wenden sie die Division mit dem Rest null sowie die Beziehungen zwischen Multiplikation und Division an, die sie mit dem Einmaleins gelernt haben, und gehen dabei systematisch vor, um keine Möglichkeit auszulassen.

Der häufigste Fehler ist, die Zahl 1 oder die Zahl selbst zu vergessen, denn sie sind immer Ausgangsteiler. Oft entsteht außerdem Verwirrung zwischen Vielfachen und Teilern, oder die Suche wird zu früh abgebrochen, weil nicht paarweise vorgegangen wird (zum Beispiel bei der 20: 1 und 20, 2 und 10, 4 und 5).

Bei praktischen Aufgaben lautet der typische Auftrag: «Schreibe alle Teiler einer Zahl auf». Für eine vorgegebene Zahl berechnet und notiert das Kind in aufsteigender Reihenfolge alle entsprechenden genauen Teiler.

In diesem Lernpfad der vierten Klasse üben die Kinder, Äquivalenzen umzuwandeln, indem sie von einer Masseneinheit in eine andere mit kleinerem Wert wechseln (zum Beispiel von Kilogramm in Gramm). Für diese Umwandlung wenden sie die Multiplikation mit 10, 100 oder 1.000 an und nutzen dabei ihr Wissen über Zahlen und den Stellenwert der Ziffern.

Der häufigste Fehler besteht darin, die auszuführende Operation zu verwechseln oder die Schritte auf der Skala der Maßeinheiten falsch zu zählen. Oft sind die Kinder verunsichert, wenn die Einheit kleiner wird, und wenden dann eine Division statt einer Multiplikation an, oder sie vergessen einen Faktor zehn, etwa wenn sie beim Umwandeln von Kilogramm in Gramm nur zwei Nullen anstatt drei anhängen.

Auf den Arbeitsblättern mit der Übung Converti in un'unità di massa più piccola wird eine Ausgangsmessung in einer bestimmten Einheit vorgegeben, und die Schülerin bzw. der Schüler soll den entsprechenden Wert in der angegebenen kleineren Einheit berechnen und aufschreiben.

In dieser Phase des Bruchrechnens lernt das Kind, Brüche mit gleichem Nenner zu vergleichen. Da das Ganze in die gleiche Anzahl gleich großer Teile unterteilt ist, versteht das Kind, dass der größere Bruch derjenige ist, der mehr Teile nimmt, also derjenige mit dem höheren Zähler.

Der häufigste Fehler tritt auf, wenn Kinder die Zeichen für größer und kleiner verwechseln, oder wenn sie die Ziffern unaufmerksam betrachten, ohne sie mit ihrer konkreten Bedeutung zu verbinden, und dabei vergessen, dass bei gleicher Gesamtzahl der Teile nur der vom Zähler angegebene Wert zählt.

In den praktischen Arbeitsblättern zu diesem Thema besteht die typische Übung aus Paaren von Brüchen, die verglichen werden sollen (etwa 3/8 und 5/8), wobei das richtige Zeichen eingesetzt werden soll, um die Größenordnung festzulegen.

In der vierten Klasse beginnt das Kind, den Bruch als konkreten Operator zu verwenden, um einen Teil einer bekannten Menge zu berechnen. Es lernt, den Bruchteil einer Gruppe von Elementen zu bestimmen (etwa a/b der Gesamtmenge): Es versteht, dass der Nenner angibt, in wie viele gleiche Teile das Ganze geteilt wird, um die Brucheinheit (1/b) zu erhalten, während der Zähler festlegt, wie viele dieser Teile berücksichtigt werden.

Der typische Fehler besteht darin, die Rollen der beiden Terme des Bruchs zu verwechseln und die Operationen zu vertauschen: zum Beispiel mit dem Nenner zu multiplizieren und durch den Zähler zu dividieren oder die Zahlen miteinander zu addieren. Oft fällt es Kindern schwer, den Zwischenschritt zu erkennen, und sie vergessen, zuerst den Wert eines einzelnen Teils zu berechnen, um ihn dann zu multiplizieren.

In den Arbeitsblättern zum Modell Bruchteil einer Menge: a/b des Ganzen bearbeitet der Schüler numerische und kontextbezogene Aufgaben: zum Beispiel die 3/5 einer Gruppe von 25 Elementen oder die 2/3 von 18 Gegenständen berechnen. Zur Lösung berechnet er zuerst die Division (25 : 5 = 5) und multipliziert dann das erhaltene Ergebnis mit dem Zähler (5 × 3 = 15).

In der vierten Klasse festigen die Kinder die Fähigkeit, natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl zu ordnen und zu vergleichen, indem sie mit Skalen arbeiten, deren Intervalle größer sind als eine einzelne Einheit. Auf dieser Stufe liegt der Schwerpunkt auf dem Ablesen des Zahlenstrahls in Zehnersprüngen, wodurch die Beherrschung des Stellenwerts der Ziffern gefestigt wird.

Der häufigste Fehler tritt auf, wenn der Lernende jeden Strich automatisch als einzelne Einheit statt als Zehner behandelt oder wenn er beim Übergang über die nächste Hundert die Kontrolle beim Zählen verliert (zum Beispiel beim Schritt von 190 nach 200).

Bei praktischen Aufgaben nach dem Modell des Zehnersprungs auf dem Zahlenstrahl beobachtet das Kind einen teilweise beschrifteten Zahlenstrahl und muss den Wert der leeren Striche ermitteln, indem es sich vorwärts oder rückwärts bewegt, um ganze Zehner hinzuzufügen oder wegzunehmen.

In der vierten Klasse festigen die Kinder das schriftliche Rechnen, indem sie Multiplikationen zwischen mehrstelligen Zahlen und einem einstelligen Multiplikator bearbeiten. Die Rechnung wird aufgestellt, indem der einstellige Faktor unter den Einern des Multiplikanden notiert wird; anschließend multipliziert man nacheinander Einer, Zehner, Hunderter und Tausender.

Das häufigste Hindernis betrifft den Umgang mit dem Übertrag. Oft addiert das Kind den Übertrag auf die nächste Stelle bevor es multipliziert, statt danach, oder es vergisst ganz, ihn zum soeben berechneten Teilprodukt hinzuzuzählen.

Bei den Arbeitsblättern nach dem Muster Schriftlich multiplizieren mit einer Ziffer besteht die Aufgabe darin, die Zahlen im Rechenraster anzuordnen und die Schritte spaltenweise auszuführen, wobei die Übträge in den dafür vorgesehenen Feldern notiert werden, bis das Endergebnis feststeht.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, die wichtigsten Hohlmaße zu handhaben, indem sie sich auf die Umrechnung in eine kleinere Einheit konzentrieren. Beim Arbeiten mit den gebräuchlichsten Einheiten – vom Liter über seine Unterteilungen wie Deziliter, Zentiliter und Milliliter – wenden die Schülerinnen und Schüler Multiplikationen mit 10, 100 oder 1.000 an, um dieselbe Menge mit einer anderen Einheit auszudrücken.

Der typische Fehler besteht darin, den Wert der Zahl mit der Größe der Einheit zu verwechseln: Wenn die Zieleinheit kleiner ist, versuchen manche Kinder, statt zu multiplizieren, zu dividieren. Eine weitere häufige Schwierigkeit ist das falsche Zählen der „Stufen“ zwischen nicht aufeinanderfolgenden Einheiten, etwa wenn man vergisst, dass zwischen Litern und Zentilitern zwei Stellen zu berücksichtigen sind und mit 100 multipliziert werden muss.

Bei Aufgaben vom Typ Converti in un'unità di capacità più piccola – also Umrechnen in eine kleinere Hohlmaßeinheit – vervollständigen die Kinder Gleichungen: Ausgehend von einer gegebenen Menge, zum Beispiel 5 l oder 12 dl, berechnen und schreiben sie den entsprechenden Wert in der geforderten Einheit, etwa in Zentilitern oder Millilitern.

In der vierten Klasse lernen die Kinder im Rahmen der Arbeit mit großen Zahlen und dem schriftlichen Rechnen, schriftliche Multiplikationen mit mehrstelligen Faktoren zu berechnen. Auf dieser Stufe behandeln sie die Multiplikation mit zweistelligen Zahlen, indem sie die einzelnen Teilprodukte ermitteln und diese anschließend addieren, um das Endergebnis zu erhalten.

Der häufigste Fehler tritt auf, wenn mit der Zehnerziffer multipliziert wird: Oft vergessen die Kinder, die Platzhalternull (bzw. das leere Feld) rechts anzufügen, und setzen das zweite Teilprodukt falsch untereinander. Eine weitere typische Schwierigkeit ist die Verwechslung der Überträge aus der Multiplikation mit denen der abschließenden Addition, besonders wenn diese unordentlich neben den Rechnungen notiert werden.

Die Arbeitsblätter zum Modell Mehrstellige Zahlen schriftlich multiplizieren bieten Aufgaben, die auf Karopapier vorbereitet sind oder selbstständig untereinandergeschrieben werden müssen, und leiten die Schülerinnen und Schüler an, jeden Schritt der Rechnung ordentlich bis zur abschließenden Addition auszuführen.

In der vierten Klasse lernen die Kinder die schriftliche Division natürlicher Zahlen mit einstelligem Divisor kennen. Indem sie das schriftliche Verfahren Schritt für Schritt anwenden, lernen sie, die Teilschritte zu berechnen, die nötigen Subtraktionen durchzuführen und den Quotienten sowie den eventuellen Rest am Ende klar zu bestimmen.

Die häufigste Hürde betrifft den Umgang mit den Zwischenschritten: Oft vergessen die Kinder, die nächste Ziffer herunterzuholen, oder sie berechnen den Zwischenrest falsch, bevor sie weitermachen. Eine weitere typische Schwierigkeit tritt auf, wenn eine Zwischenziffer kleiner als der Divisor ist und man vor dem Weiterrechnen im Quotienten eine Null notieren muss.

In den Arbeitsblättern des Modells Schriftliche Division mit einstelligem Divisor erscheinen die Aufgaben entweder untereinandergeschrieben oder bereits mit den passenden Feldern für Dividend, Divisor und Zwischenrechnungen vorbereitet. Die Schülerinnen und Schüler sollen den gesamten Algorithmus durchführen, bis sie das Ergebnis und den erhaltenen Rest angeben.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, grafische Darstellungen zu nutzen, um konkrete Informationen zu gewinnen. Vor einem Balkendiagramm können sie die verschiedenen Säulen betrachten, miteinander vergleichen und schnell den häufigsten Wert, den seltensten Wert oder die Größenbeziehung zwischen den einzelnen analysierten Elementen erkennen.

Die typische Schwierigkeit besteht darin, die sichtbare Höhe der Säulen mit dem tatsächlichen Wert zu verwechseln, wenn die Zahlenskala auf der Achse nicht in Einerschritten voranschreitet. Oft zählen die Schülerinnen und Schüler einfach die Striche oder Kästchen und vergessen zu prüfen, ob jeder Abschnitt der Skala 2, 5, 10 oder mehr Einheiten darstellt.

Bei den Aufgaben des Arbeitsblatts Vergleiche die Balken des Diagramms wird dem Kind ein Balkendiagramm zusammen mit angeleiteten Fragen gezeigt. Die Übungen verlangen, zwei oder mehr Balken direkt miteinander zu vergleichen, um festzustellen, welche Menge größer ist, herauszufinden, welche Kategorie einem bestimmten Wert entspricht, oder den Zahlenunterschied zwischen zwei Säulen zu berechnen.

In der vierten Klasse der Grundschule erweitern die Kinder ihr Verständnis des Zahlensystems über die ganzen Einheiten hinaus und lernen, Dezimalzahlen zu lesen und zu schreiben. Auf dieser Stufe verbinden sie das Vorhandensein des Kommas mit der Bruchteilung des Ganzen und erkennen den Stellenwert der Ziffern im Dezimalteil, insbesondere der Zehntel und Hundertstel.

Die häufigste Schwierigkeit besteht darin, die Stellenreihenfolge nach dem Komma zu verwechseln: Viele Kinder neigen dazu, Zehntel und Hundertstel zu vertauschen, weil sie denken, dass sie sich wie bei ganzen Zahlen von rechts nach links entwickeln, oder sie ignorieren das Komma und lesen den Dezimalteil wie eine separate Zahl.

Bei den praktischen Aufgaben liegt der Schwerpunkt auf dem visuellen und stellenwertbezogenen Erkennen der Werte. Mit Übungen wie Finde die Hundertstelziffer steht die Schülerin bzw. der Schüler vor einer Zahl mit Komma und muss genau die Ziffer bestimmen, die an der zweiten Dezimalstelle steht.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, Dezimalzahlen auf einem Zahlenstrahl zu erkennen und zu interpretieren, indem sie beobachten, wie der Abstand zwischen zwei ganzen Zahlen in gleich große Teile unterteilt ist, etwa in Zehntel.

Der häufigste Fehler besteht darin, die Zwischenstriche so zu zählen, als wären es eigenständige ganze Zahlen, ohne den Wert des Intervalls zu berücksichtigen. Oft sind die Schülerinnen und Schüler nach dem Wert 1,9 versucht, den nächsten Strich als 1,10 zu lesen, anstatt den Übergang zur ganzen Zahl 2 zu erkennen.

In Aufgaben vom Typ Lies die Dezimalzahl auf dem Zahlenstrahl ab wird eine Zahlenlinie mit einigen angegebenen Endpunkten gezeigt, dazu ein Zeiger oder ein Pfeil, der auf einen Zwischenstrich zeigt: Das Kind muss die richtigen Schritte ausgehend von der nächstgelegenen ganzen Zahl zählen und die Zahl mit dem entsprechenden Komma aufschreiben.

In der vierten Klasse festigen die Kinder den Gebrauch des Zahlenstrahls, indem sie lernen, auch Brüche darzustellen und abzulesen. Auf dieser Stufe lernt das Kind, den Abstand zwischen ganzen Zahlen als ein Ganzes zu deuten, das in gleiche Teile zerlegt ist: Die Gesamtzahl dieser Teile entspricht dem Nenner, während die vom Anfang des Intervalls aus zurückgelegten Schritte den Zähler bestimmen.

Die häufigste Schwierigkeit besteht darin, die gezeichneten senkrechten Striche zu zählen statt der tatsächlichen Abstände zwischen ihnen. Oft zählen die Kinder auch den Strich der Null mit oder beschränken sich darauf, die Zeichen zu zählen, und ordnen so einen falschen Nenner zu, der nicht den tatsächlichen Teilen entspricht, in die die Einheit unterteilt ist.

Bei Aufgaben wie Lies den Bruch auf dem Zahlenstrahl ab wird eine skalierte Linie gezeigt, auf der ein Pfeil oder ein Punkt eine bestimmte Position markiert. Das Kind muss die Unterteilung der Einheit betrachten, die Abschnitte zählen und den Bruch aufschreiben, der dem angegebenen Punkt entspricht.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, die wichtigsten geometrischen Beziehungen in der Ebene sicher zu unterscheiden. Mithilfe des karierten Rasters als visuelle Hilfe untersuchen sie Paare von Strecken, um festzustellen, ob sie stets den gleichen Abstand behalten, ohne sich zu berühren (Parallelität), oder ob sie sich schneiden und dabei einen rechten Winkel bilden (Orthogonalität).

Die typische Schwierigkeit tritt auf, wenn die Strecken schräg zum Karomuster verlaufen. Viele Schüler neigen dazu zu glauben, parallele Linien müssten ausschließlich waagerecht oder senkrecht sein, oder sie verwechseln jede Kreuzung zweier Linien mit Orthogonalität und versäumen es, tatsächlich zu prüfen, ob ein rechter Winkel vorliegt.

In den Übungen des Arbeitsblatts Parallel oder senkrecht? betrachtet das Kind verschiedene Paare von Strecken, die auf dem Raster eingezeichnet sind. Für jedes Paar nutzt es die Kästchen, um die Neigung und den gegenseitigen Abstand zu überprüfen, und entscheidet schließlich, ob die Strecken parallel, senkrecht oder einfach sich schneidende Strecken sind.

In der vierten Klasse lernen die Kinder, die Größe von Winkeln mit einem speziellen Messinstrument zu bestimmen: dem Winkelmesser. Die Schülerin bzw. der Schüler lernt, den Mittelpunkt des Geräts mit dem Scheitelpunkt des Winkels zur Deckung zu bringen und einen der Schenkel an der Nulllinie auszurichten, um dann das richtige Maß in Grad auf dem Gradbogen abzulesen.

Der häufigste Fehler hängt mit der doppelten Zahlenskala auf dem Winkelmesser zusammen (die von 0° bis 180° sowohl von rechts als auch von links verläuft). Oft lesen Kinder den Wert auf der gegenüberliegenden Skala ab und verwechseln zum Beispiel einen spitzen Winkel von 50° mit einem stumpfen Winkel von 130°, weil sie nicht kontrollieren, welche Null auf dem ersten Schenkel des Winkels liegt.

In den praktischen Aufgaben des Modells Lies den Winkel am Winkelmesser ab betrachtet das Kind Figuren, in denen ein Winkel bereits auf einem Messinstrument mit Skala angeordnet ist. Die Aufgabe verlangt, die richtige Startskala zu erkennen, dem zweiten Schenkel des Winkels zu folgen und das genaue gemessene Maß aufzuschreiben.

In der vierten Klasse entwickeln die Kinder eine erste Fähigkeit zur geometrischen Vorstellung im Raum und in der Ebene. Auf diesem Niveau können sie grafische Modelle oder Materialien betrachten und die wichtigsten Körper korrekt erkennen: Prismen, Pyramiden, Zylinder, Kegel und Kugeln.

Der häufigste Fehler betrifft die Verwechslung von ebenen Figuren und Körpern, etwa wenn eine Kugel als «Kreis» oder ein Würfel als «Quadrat» bezeichnet wird, oder wenn Körper mit ähnlicher Grundfläche verwechselt werden, zum Beispiel wenn ein Kegel für eine Pyramide oder ein Zylinder für ein Prisma gehalten wird, weil nicht auf die Krümmung der Oberflächen geachtet wird.

Bei den praktischen Aktivitäten des Modells Welcher Körper ist das? wird dem Schüler die Abbildung eines Körpers gezeigt, und er soll dessen richtige Art bestimmen, indem er das Bild dem entsprechenden geometrischen Namen zuordnet.