Ein Versuch wird 4-mal unabhängig wiederholt; jeder Versuch ist mit der Wahrscheinlichkeit p ein Erfolg. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Erfolge 1 beträgt.
p = 1/3
Lösung: 32/81
Funktionaler Zusammenhang Klasse 12 Arbeitsblätter
Imaginesis: Mathe-Arbeitsblätter zum Ausdrucken, Klasse 12 (Deutschland), Leitidee Funktionaler Zusammenhang — Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung anwenden, Werte von Exponentialfunktionen berechnen, Bestände aus Änderungsraten berechnen: Sachaufgaben mit Hinweisen, Lösungen und Rechenweg als PDF, auch als Klassenarbeit in Gruppen A–D.
Beispielaufgaben
Berechne den Funktionswert für den angegebenen x-Wert.
f(x) = 22 · (1/2)ˣ, f(3) = □
Lösung: 11/4
Ein Behälter enthält anfangs B₀ Liter Wasser; es fließt mit v(t) Litern pro Minute zu. Berechne den Bestand nach t Minuten.
B₀ = 101, v(t) = 11 - t, t = 2
Lösung: 121
Kompetenzen in dieser Leitidee
Bernoulli-Ketten und Binomialverteilung anwenden
Jugendliche berechnen Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufallsexperimente mit der Binomialverteilung und bestimmen deren Erwartungswert.
KMKS2.DZ.4 die Binomialverteilung und ihre Kenngrößen nutzenKMKS2.FZ.12 Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Beschreibung stochastischer Situationen nutzen
In der 12. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler, mehrstufige Zufallsexperimente mit genau zwei möglichen Ausgängen mathematisch zu erfassen. Sie nutzen die Formeln der Binomialverteilung, um gezielt Wahrscheinlichkeiten für eine bestimmte Anzahl von Treffern zu berechnen, und bestimmen Kenngrößen wie den Erwartungswert.
Typische Fehler entstehen häufig beim Bestimmen der Parameter: Lernende übersehen mitunter, dass eine Bernoulli-Kette voraussetzt, dass die Trefferwahrscheinlichkeit über alle Durchgänge hinweg exakt gleich bleibt. Auch wird bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung oft der Binomialkoeffizient vergessen oder die Gesamtzahl der Versuche mit der gewünschten Trefferanzahl vertauscht.
In praktischen Übungen wie der Bernoulli-Kette bearbeiten die Jugendlichen Sachsituationen wie wiederholte Würfelwürfe oder Qualitätskontrollen. Bei Aufgaben zum Erwartungswert der Binomialverteilung berechnen sie rechnerisch, wie viele Treffer bei einer vorgegebenen Versuchszahl im Durchschnitt zu erwarten sind.
Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen
Übungsblatt (nur Rechnen)
Aufgabentypen: Binomialverteilung: richtig oder falsch · Erwartungswert der Binomialverteilung · Bernoulli-Kette · Bernoulli-Kette: genau k Treffer · Bernoulli-Kette: richtig oder falsch · Binomialverteilung: wähle den Erwartungswert · Erwartungswert: wie viele Treffer im Mittel · Bernoulli-Kette: wähle die Wahrscheinlichkeit
Werte von Exponentialfunktionen berechnen
Schülerinnen und Schüler berechnen Funktionswerte von Exponentialfunktionen für gegebene Stellen und werten Wachstums- oder Zerfallsprozesse rechnerisch aus.
KMKS2.FZ.1 die sich aus den Funktionen der Sekundarstufe I ergebenden Funktionsklassen zur Beschreibung und Untersuchung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen
In Klasse 12 nutzen Jugendliche Exponentialfunktionen, um quantitative Zusammenhänge mathematisch zu beschreiben und zu untersuchen. Sie setzen dazu gegebene Zahlen für die Variable in die Funktionsgleichung ein und ermitteln den zugehörigen Funktionswert, etwa um den Bestand bei einem Wachstums- oder Abnahmeprozess zu einem bestimmten Zeitpunkt zu bestimmen.
Häufig treten Rechenfehler bei der Reihenfolge der Rechenschritte auf: Beim Term a · bx wird mitunter zuerst der Anfangswert a mit der Basis b multipliziert, bevor potenziert wird. Bei fallenden Funktionen führt zudem ein negatives Vorzeichen im Exponenten oft zu Verwirrung, weil es fälschlicherweise als negatives Gesamtergebnis interpretiert wird, anstatt als Kehrwertbildung.
In den Übungsaufgaben aus den Bereichen Wert einer Exponentialfunktion und Fallende Exponentialfunktion berechnen die Lernenden konkrete Funktionswerte anhand vorgegebener Funktionsterme. Sie werten dabei wachsende sowie abnehmende Verläufe rechnerisch aus und bestimmen die gesuchten Werte für ganzzahlige oder gebrochene Exponenten.
Arbeitsblatt zu dieser Kompetenz erstellen
Übungsblatt (nur Rechnen)
Aufgabentypen: Fallende Exponentialfunktion · Wert einer Exponentialfunktion · Wert einer Exponentialfunktion: richtig oder falsch · Exponentialfunktion: Bruch als Basis: wähle die Antwort · Exponentielles Wachstum: wie viele nach mehreren Schritten · Wert einer Exponentialfunktion: wähle die Antwort
Bestände aus Änderungsraten berechnen
Die Jugendlichen lernen, aus einer gegebenen Zuflussrate und einem Anfangswert den tatsächlichen Gesamtbestand mithilfe des bestimmten Integrals zu berechnen.
KMKS2.FZ.9 das bestimmte Integral deuten, insbesondere als (re-)konstruierten BestandKMKS2.ME.5 Bestände aus Änderungsraten und Anfangsbestand berechnen
In Klasse 12 nutzen die Schülerinnen und Schüler das bestimmte Integral, um aus einer veränderlichen Änderungsrate den dazugehörigen Gesamtbestand zu ermitteln. Sie deuten das Integral dabei als Werkzeug zur Rekonstruktion eines Bestands: Aus dem Verlauf der Rate über ein bestimmtes Zeitintervall berechnen sie die Bilanz der Veränderung und addieren diese zum gegebenen Anfangsbestand.
Ein typischer Fehler im Rechenalltag ist das Vergessen dieses Anfangswerts. Häufig berechnen Jugendliche zwar den Zuwachs über das Integral rechnerisch korrekt, setzen dieses Zwischenergebnis dann aber fälschlicherweise direkt mit dem Endbestand gleich, anstatt die Ausgangsmenge hinzuzurechnen.
Bei den Aufgaben zum Bestand aus der Zuflussrate wird meist ein realistischer Vorgang beschrieben, wie etwa das Befüllen eines Behälters bei schwankendem Zufluss. Gegeben sind der Anfangsbestand sowie eine Funktion für die Zuflussrate. Die Jugendlichen stellen das bestimmte Integral für das gefragte Zeitintervall auf, bilden die Stammfunktion und bestimmen so den gesuchten Endbestand.