Daten und Zufall Klasse 12 Arbeitsblätter

In Klasse 12 untersuchen Schülerinnen und Schüler mehrstufige Sachverhalte strukturiert mithilfe von Baumdiagrammen oder Vierfeldertafeln. Sie nutzen den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit, um die Gesamtwahrscheinlichkeit eines zusammengesetzten Ereignisses über verschiedene Pfade zu ermitteln, und wenden die Formel von Bayes an, um bedingte Wahrscheinlichkeiten bei veränderter Informationslage rückwärts zu berechnen.

Häufig fällt es Jugendlichen schwer, das gegebene Ereignis und die gesuchte Bedingung sauber auseinanderzuhalten. Ein typischer Fehler ist das Verwechseln der Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B mit der umgekehrten Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A. Zudem werden beim Ausrechnen am Baumdiagramm mitunter die Pfadmultiplikation und die Pfadaddition miteinander vermengt.

In den Übungen bearbeiten die Lernenden konkrete Zufallsexperimente anhand von Urnen:

• Totale Wahrscheinlichkeit — zwei Urnen: Es wird zufällig eine Urne ausgewählt und daraus eine Kugel gezogen; gesucht ist die Gesamtwahrscheinlichkeit für das Ziehen einer bestimmten Kugelfarbe.
• Satz von Bayes — zwei Urnen: Unter der Voraussetzung, dass eine bestimmte Kugel gezogen wurde, berechnen die Lernenden die Wahrscheinlichkeit dafür, dass diese Kugel aus einer bestimmten der beiden Urnen stammt.

In der 12. Klasse lernen Schülerinnen und Schüler, mehrstufige Zufallsexperimente mit genau zwei möglichen Ausgängen mathematisch zu erfassen. Sie nutzen die Formeln der Binomialverteilung, um gezielt Wahrscheinlichkeiten für eine bestimmte Anzahl von Treffern zu berechnen, und bestimmen Kenngrößen wie den Erwartungswert.

Typische Fehler entstehen häufig beim Bestimmen der Parameter: Lernende übersehen mitunter, dass eine Bernoulli-Kette voraussetzt, dass die Trefferwahrscheinlichkeit über alle Durchgänge hinweg exakt gleich bleibt. Auch wird bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung oft der Binomialkoeffizient vergessen oder die Gesamtzahl der Versuche mit der gewünschten Trefferanzahl vertauscht.

In praktischen Übungen wie der Bernoulli-Kette bearbeiten die Jugendlichen Sachsituationen wie wiederholte Würfelwürfe oder Qualitätskontrollen. Bei Aufgaben zum Erwartungswert der Binomialverteilung berechnen sie rechnerisch, wie viele Treffer bei einer vorgegebenen Versuchszahl im Durchschnitt zu erwarten sind.

In der 12. Klasse untersuchen Jugendliche stochastische Zusammenhänge systematisch mithilfe von Vierfeldertafeln und Baumdiagrammen. Sie lernen dabei, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses unter der Voraussetzung zu bestimmen, dass ein anderes Ereignis bereits eingetreten ist. Aus den Häufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten in den Feldern und Randsummen leiten sie gezielt die gesuchte bedingte Wahrscheinlichkeit ab.

Ein typischer Fehler besteht darin, die Bezugsgröße zu verwechseln: Oft teilen Lernende den Wert einer Schnittmenge durch die Gesamtzahl aller Fälle statt durch die Summe der vorgegebenen Bedingung. Ebenso bereitet es häufig Schwierigkeiten, die Richtung der Bedingung korrekt zu erfassen, sodass etwa die Wahrscheinlichkeit von Merkmal A unter der Bedingung B mit der umgekehrten Bedingung verwechselt wird.

In Übungsaufgaben zur Vorlage Bedingte Wahrscheinlichkeit aus der Vierfeldertafel liegt meist eine tabellarische Übersicht mit zwei Merkmalspaaren vor. Die Schülerinnen und Schüler lesen die relevanten Werte für Bedingung und Schnittmenge ab, vervollständigen bei Bedarf fehlende Tabelleneinträge über die Randsummen und berechnen die exakte bedingte Wahrscheinlichkeit als Bruch oder Prozentwert.