Matemáticas — 12.º curso

En 12.º curso, los estudiantes determinan la derivada de funciones polinómicas, así como de expresiones funcionales combinadas. Para ello, utilizan de forma específica la regla de la potencia, de la suma y del factor constante, y aplican la regla del producto y la regla de la cadena en expresiones más complejas. Interpretan la función derivada obtenida como una tasa de variación instantánea y la evalúan para valores numéricos concretos.

Los errores de cálculo típicos se producen sobre todo en expresiones compuestas por varias partes: en los productos, a menudo se deriva erróneamente cada factor por separado y simplemente se vuelven a multiplicar, en lugar de aplicar la fórmula con rigor. Además, en las funciones compuestas se suele pasar por alto la derivada interna o se olvida multiplicarla por la derivada externa.

En las hojas de ejercicios, los estudiantes resuelven tareas de cálculo específicas a partir de cuatro modelos:

• Derivada de un polinomio: derivar sumas y potencias término a término.
• Regla del producto: descomponer analíticamente y derivar productos de dos funciones.
• Regla de la cadena: identificar la función externa e interna y derivar la parte interna correctamente.
• Valor de la derivada en un punto: calcular la derivada obtenida para un valor fijo de x con el fin de determinar la pendiente instantánea.

En el 12.º curso, los estudiantes utilizan la primera derivada para analizar analíticamente el comportamiento de las gráficas de funciones. Deducen a partir del signo de la derivada dónde una gráfica es estrictamente creciente o decreciente, y determinan, mediante los ceros de la derivada, en qué puntos la gráfica tiene tangentes horizontales.

Un error típico consiste en confundir el trazado de la gráfica de la función con los valores de la derivada. Con frecuencia, los estudiantes igualan por error la propia ecuación de la función a cero en lugar de la derivada, o deducen erróneamente un comportamiento decreciente a partir de un valor negativo de la función, a pesar de que el signo de la derivada es lo único determinante para el crecimiento o decrecimiento.

En los ejercicios, los estudiantes resuelven tareas específicas:

• Monotonía: creciente y Monotonía: decreciente: determinación analítica de los intervalos en los que la derivada es positiva o negativa, respectivamente.
• Máximo local y Mínimo local: localización y comprobación sistemática de extremos relativos, así como cálculo de los correspondientes puntos máximos y mínimos.

En 12.º curso, los estudiantes aplican operaciones aritméticas básicas a matrices y vectores para representar procesos y situaciones matemáticas. Calculan combinaciones lineales de matrices mediante la suma de matrices compatibles y la multiplicación por escalares. Además, realizan multiplicaciones en las que se combinan matrices con otras matrices o con vectores.

Los errores ocurren con especial frecuencia durante el procedimiento de la multiplicación de matrices según el principio de «fila por columna». A menudo se confunden filas y columnas o se multiplican erróneamente los elementos componente a componente, como se hace en la suma. Además, a veces se pasa por alto que dos matrices solo se pueden multiplicar si el número de columnas de la primera matriz coincide exactamente con el número de filas de la segunda matriz.

En la práctica, los estudiantes trabajan con matrices numéricas y vectores dados en ejercicios sobre la combinación lineal de matrices, el producto de matrices y el cálculo de matriz por vector.

En 12.º curso, los estudiantes utilizan el producto escalar para realizar cálculos geométricos en el espacio tridimensional. Con él determinan longitudes de segmentos y calculan la amplitud de ángulos entre vectores. Además, demuestran mediante cálculos si dos vectores son ortogonales entre sí comprobando si su producto escalar es igual a cero.

Un error típico consiste en confundir el producto escalar con una multiplicación vectorial: el resultado es un único número y no un vector. A menudo también se confunden los signos al sumar las componentes, o se olvida dividir el producto de los vectores entre el producto de sus módulos al calcular el ángulo.

En los ejercicios, los alumnos trabajan con tareas concretas:

• Calculan el producto escalar en el espacio para unas coordenadas dadas.
• Determinan el ángulo entre vectores en el espacio mediante la fórmula del coseno.
• Examinan vectores ortogonales en el espacio o determinan las componentes vectoriales que faltan para que se forme un ángulo recto.

En 12.º curso, el alumnado trabaja con coordenadas en el espacio tridimensional. Realizan operaciones de cálculo básicas con vectores: calculan la longitud exacta de un vector a partir de sus tres componentes, forman combinaciones lineales mediante la suma y la multiplicación por un escalar, y analizan vectores para determinar su colinealidad, comprobando si apuntan en la misma dirección o en direcciones opuestas.

Un error habitual se produce al comprobar la colinealidad: a menudo, los estudiantes determinan el factor de escala solo para las dos primeras coordenadas y lo aplican sin verificarlo al tercer eje. Sin embargo, si el factor difiere en este último o se pasa por alto un signo negativo, los vectores no son paralelos. Además, al calcular la longitud, elevar al cuadrado coordenadas negativas sin utilizar paréntesis suele provocar errores de cálculo bajo la raíz.

Los tipos de ejercicios habituales incluyen:

• Longitud de un vector en el espacio: calcular el módulo de un vector a partir de sus tres coordenadas espaciales.
• Combinación lineal de vectores en el espacio: multiplicar vectores dados por un escalar, sumarlos o combinarlos para obtener un vector resultante.
• Vectores colineales en el espacio: comprobar si dos vectores son múltiplos entre sí o hallar coordenadas desconocidas para que exista paralelismo.

En 12.º curso, los estudiantes analizan situaciones compuestas de varias etapas de forma estructurada mediante diagramas de árbol o tablas de contingencia. Utilizan el teorema de la probabilidad total para determinar la probabilidad global de un suceso compuesto a través de distintas ramas, y aplican la fórmula de Bayes para calcular probabilidades condicionadas a posteriori cuando cambia la información disponible.

A menudo resulta difícil para los estudiantes distinguir con claridad el suceso conocido de la condición buscada. Un error típico es confundir la probabilidad de A condicionada a B con la probabilidad inversa de B condicionada a A. Además, al realizar cálculos en el diagrama de árbol, a veces se confunden la multiplicación y la suma de caminos.

En los ejercicios, los alumnos resuelven experimentos aleatorios concretos con urnas:

• Probabilidad total — dos urnas: Se elige una urna al azar y se extrae una bola de ella; se busca la probabilidad total de extraer una bola de un color determinado.
• Teorema de Bayes — dos urnas: Sabiendo que se ha extraído una bola determinada, los alumnos calculan la probabilidad de que dicha bola proceda de una urna concreta entre las dos.

En 12.º curso, los estudiantes aprenden a analizar matemáticamente experimentos aleatorios compuestos con exactamente dos resultados posibles. Utilizan las fórmulas de la distribución binomial para calcular probabilidades específicas para un número determinado de éxitos y determinan parámetros como la esperanza matemática.

Los errores típicos suelen surgir al determinar los parámetros: los estudiantes a veces pasan por alto que un esquema de Bernoulli requiere que la probabilidad de éxito permanezca exactamente igual a lo largo de todas las repeticiones. Asimismo, en el cálculo de probabilidades a menudo se olvida el coeficiente binomial o se confunde el número total de ensayos con el número deseado de éxitos.

En ejercicios prácticos como el esquema de Bernoulli, los jóvenes resuelven situaciones contextualizadas como lanzamientos repetidos de dados o controles de calidad. En las actividades sobre la esperanza matemática de la distribución binomial, calculan cuántos éxitos cabe esperar de media para un número determinado de ensayos.

En 12.º curso, los jóvenes utilizan funciones exponenciales para describir y analizar matemáticamente relaciones cuantitativas. Para ello, sustituyen números dados en la variable de la ecuación de la función y calculan el valor de la función correspondiente, por ejemplo, para determinar la cantidad en un proceso de crecimiento o decrecimiento en un momento determinado.

Con frecuencia se cometen errores de cálculo en el orden de las operaciones: en la expresión a · b^x, a veces se multiplica primero el valor inicial a por la base b antes de calcular la potencia. Además, en las funciones decrecientes, un signo negativo en el exponente suele generar confusión, ya que con frecuencia se interpreta erróneamente como un resultado total negativo en lugar de como la obtención del valor inverso.

En los ejercicios de los temas Valor de una función exponencial y Función exponencial decreciente, los estudiantes calculan valores específicos de la función a partir de expresiones funcionales dadas. Al hacerlo, analizan mediante cálculos comportamientos crecientes y decrecientes y determinan los valores buscados para exponentes enteros o fraccionarios.

En 12.º curso, los estudiantes eligen métodos de resolución adecuados para sistemas de ecuaciones lineales. En sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, utilizan de forma específica el método de reducción: multiplican adecuadamente las ecuaciones para que una variable se elimine al sumar fila por fila, calculan la incógnita restante y determinan a continuación el conjunto solución completo.

Los errores típicos ocurren con frecuencia al operar con signos negativos durante la suma de las filas. Otra dificultad reside en la interpretación de los casos especiales: si durante la transformación surge una contradicción aritmética como 0 = 4, a menudo se considera erróneamente un fallo propio en lugar de una prueba de que el sistema no tiene solución. Por el contrario, una fila como 0 = 0 indica que existen infinitas soluciones.

En los ejercicios, los alumnos resuelven tareas de la plantilla Sistema de ecuaciones — Método de reducción, en las que desarrollan el procedimiento paso a paso. En las tareas sobre el Número de soluciones de un sistema, comprueban y justifican cuál de los tres casos de solución se presenta.

En 12.º curso, los alumnos realizan operaciones de cálculo básicas con vectores en el espacio tridimensional. Forman las llamadas combinaciones lineales sumando, restando y multiplicando vectores por números coordenada a coordenada. Además, calculan el módulo o la longitud geométrica exacta de un vector y analizan si los vectores son colineales, es decir, múltiplos entre sí.

Los errores frecuentes se producen al calcular la longitud del vector cuando las coordenadas tienen un signo negativo: si, por ejemplo, se eleva al cuadrado -3, a menudo se opera el número sin paréntesis, de modo que por error acaba un resultado negativo bajo la raíz en lugar de (-3)² = 9. En las combinaciones lineales, además, en ocasiones se olvida multiplicar el escalar de manera uniforme por las tres coordenadas de un vector.

En la práctica, los alumnos trabajan con formatos de ejercicios adecuados para ello:

• Longitud de un vector: las coordenadas dadas se elevan al cuadrado y se suman para determinar la distancia exacta entre el punto inicial y el final mediante la raíz.
• Combinación lineal de vectores: varios vectores se operan fila por fila con factores dados para hallar el vector resultante o comparar direcciones entre sí.

En 12.º curso, los alumnos aprenden a integrar funciones matemáticas mediante primitivas. Aplican las reglas de integración para calcular con exactitud la integral definida entre dos límites fijos y aprenden a interpretar adecuadamente el valor calculado como una acumulación reconstruida –por ejemplo, para determinar el cambio total de una cantidad a partir de su tasa de cambio temporal.

Un error típico se produce al evaluar los límites de integración: tras hallar la primitiva, se debe restar el valor en el límite inferior del valor en el límite superior. En este paso, los errores de signo –especialmente con límites de intervalo negativos o expresiones entre paréntesis– o el derivar accidentalmente en lugar de integrar suelen dar lugar a resultados incorrectos.

Los formatos de ejercicios habituales utilizan las plantillas Primitiva e Integral definida: los estudiantes determinan primero una primitiva adecuada para una función dada y luego sustituyen los límites dados para calcular paso a paso la integral definida.

En 12.º curso, los alumnos utilizan vectores en el espacio tridimensional para representar rectas de forma analítica en forma paramétrica. Determinan la distancia lineal entre dos puntos a partir de sus coordenadas y comprueban analíticamente, mediante una prueba de pertenencia, si un punto determinado se encuentra en una recta.

Suelen cometerse errores al resolver el sistema de ecuaciones lineales durante la comprobación del punto: un punto solo pertenece a la recta si se obtiene el mismo valor del parámetro para los tres ejes de coordenadas. A menudo, el cálculo se interrumpe después de la primera fila o se pasa por alto un error de signo al elevar al cuadrado diferencias de coordenadas negativas para hallar la distancia entre los puntos.

Los ejercicios típicos se basan en los modelos Distancia entre dos puntos en el espacio, donde se calcula la distancia directa a través de las componentes vectoriales, y Punto sobre una recta en el espacio, donde se comprueba la posición de un punto respecto a la ecuación de una recta dada.

En 12.º curso, los estudiantes aprenden a calcular el determinante de matrices cuadradas de 2×2 y, a partir de ahí, a hallar la matriz inversa. De este modo, establecen las bases de cálculo necesarias para describir procesos matriciales de forma reversible y resolver las ecuaciones correspondientes.

Los errores más frecuentes ocurren con los signos y la posición de los números: para la matriz inversa, se deben intercambiar los valores de la diagonal principal, mientras que en la diagonal secundaria únicamente cambia el signo. Además, a menudo se pasa por alto que una matriz no tiene inversa si el determinante es igual a cero, ya que esto implicaría dividir entre cero.

En las actividades sobre Determinante de una matriz y Matriz inversa, los alumnos suelen trabajar con elementos enteros o racionales. Primero calculan el valor de comprobación del determinante y, a partir de él, deducen paso a paso los elementos de la matriz inversa.

En 12.º curso, los estudiantes investigan sistemáticamente las relaciones estocásticas utilizando tablas de contingencia y diagramas de árbol. Al hacerlo, aprenden a determinar la probabilidad de un suceso bajo la condición de que ya haya ocurrido otro suceso. A partir de las frecuencias o probabilidades en las casillas y las sumas marginales, deducen de forma específica la probabilidad condicionada buscada.

Un error típico consiste en confundir el valor de referencia: a menudo, los estudiantes dividen el valor de una intersección por el número total de casos en lugar de por la suma de la condición dada. Asimismo, suele resultar difícil identificar correctamente el sentido de la condición, de modo que, por ejemplo, se confunde la probabilidad de la característica A dada la condición B con la condición inversa.

En los ejercicios correspondientes al tema Probabilidad condicionada a partir de una tabla de contingencia, suele presentarse una tabla con dos pares de características. El alumnado lee los valores relevantes para la condición y la intersección, completa si es necesario los datos que falten en la tabla a partir de las sumas marginales y calcula la probabilidad condicionada exacta en forma de fracción o porcentaje.

En 12.º curso, los estudiantes aprenden a calcular las medidas de dispersión de una muestra y a interpretar su significado. A partir de una serie de datos concreta, primero determinan el promedio y luego calculan la desviación cuadrática media de los valores individuales respecto a esta media.

Un error típico se produce cuando las distancias a la media no se elevan al cuadrado antes de sumarlas. En este caso, las desviaciones positivas y negativas se cancelan mutuamente, lo que conduce erróneamente a una dispersión de cero. Además, a menudo se olvida dividir al final la suma de las distancias al cuadrado entre el número de puntos de datos.

En ejercicios como la plantilla Varianza de una serie de datos, los estudiantes trabajan con muestras dadas de valores de medición o recuento. Realizan los pasos intermedios de forma tabular o mediante cálculos y utilizan el resultado para evaluar de manera comparativa la dispersión de los datos.

En 12.º curso, los estudiantes analizan el comportamiento de las sucesiones numéricas cuando la variable n crece indefinidamente. A partir de una noción intuitiva de límite, determinan a qué valor fijo se aproximan los términos de la sucesión. Esta comprensión constituye la base para deducir y utilizar más adelante derivadas e integrales con rigor matemático.

Un error habitual al trabajar con fracciones es intentar sustituir mentalmente n simplemente por «infinito». Esto suele dar lugar a expresiones aparentemente irresolubles como «infinito dividido por infinito». Con frecuencia se pasa por alto que primero se deben dividir el numerador y el denominador entre la mayor potencia de n para hacer visibles las sucesiones que tienden a cero.

Las tareas típicas en el tema del límite de una sucesión fraccionaria requieren calcular analíticamente límites de expresiones racionales como (3n² + 1) / (2n² - 5). Los estudiantes simplifican la fracción de manera adecuada y deducen a partir de ella el límite exacto cuando n tiende a infinito.

En 12.º curso, los estudiantes determinan e interpretan la media ponderada como medida de posición estadística de una muestra. Para ello, tienen en cuenta que los valores individuales poseen un peso diferente: cada valor medido se multiplica por su respectiva ponderación o frecuencia y, a continuación, la suma total se divide entre la suma de todos los pesos.

Un error típico ocurre cuando se calcula por equivocación como si fuera la media aritmética simple. Con frecuencia, los alumnos dividen únicamente entre el número de categorías en lugar de entre la suma de las ponderaciones, o bien olvidan por completo los factores de ponderación, lo que hace que los valores con mayor peso tengan muy poca influencia en el resultado final.

En los ejercicios de la plantilla Media ponderada, los estudiantes trabajan con tablas prácticas, como resúmenes de calificaciones con partes de exámenes de distinta ponderación o resultados de encuestas con frecuencias grupales. A partir de ahí, calculan el valor total correcto y describen cómo influyen las diferentes ponderaciones en el resultado final.

En el 12.º curso, los estudiantes aprenden a determinar e interpretar adecuadamente el valor esperado de variables aleatorias discretas. A partir de una distribución de probabilidad en forma de tabla, multiplican cada resultado posible de una variable aleatoria por su probabilidad correspondiente y suman estos resultados parciales para calcular el valor promedio esperado a largo plazo.

Un error común consiste en sumar simplemente los valores de la variable aleatoria y dividirlos entre la cantidad de estos, como se suele hacer con la media aritmética simple. Al hacerlo, se pasa por alto que los distintos resultados pueden tener probabilidades diferentes y que, por tanto, deben ponderarse con su probabilidad respectiva. En ocasiones, también se confunden los valores que toma la variable aleatoria con los valores de probabilidad.

En los ejercicios del área Valor esperado a partir de una tabla de distribución se proporciona una tabla de dos filas que muestra en la parte superior los valores de la variable aleatoria y en la inferior las probabilidades correspondientes. A partir de ella, los alumnos calculan de forma sistemática el valor esperado e interpretan el resultado en el contexto del experimento aleatorio descrito.

En 12.º curso, los estudiantes aplican su comprensión de las familias básicas de funciones para analizar con precisión las relaciones funcionales. Relacionan con seguridad expresiones algebraicas y representaciones, y determinan cómo las constantes aditivas dentro y fuera del argumento de la función se reflejan como traslaciones geométricas a lo largo del eje x o del eje y.

Los errores de signo son especialmente frecuentes en la traslación en el eje x: una expresión de la forma f(x - 3) desplaza la gráfica hacia la derecha, en el sentido positivo del eje. Debido al signo menos, muchos alumnos suponen de forma intuitiva un movimiento hacia la izquierda y dibujan la gráfica en sentido contrario a la traslación real.

En los ejercicios de la plantilla Traslación de una gráfica, los estudiantes suelen trabajar con ecuaciones de funciones y sistemas de coordenadas. Convierten los vectores de traslación dados en una nueva expresión de la función o dibujan con exactitud en el sistema de coordenadas la gráfica trasladada según valores específicos.

En 12.º curso, los estudiantes determinan la tasa de variación media mediante el cociente incremental y la interpretan de forma intuitiva como la pendiente de una recta secante que pasa por dos puntos de la gráfica de una función. Vinculan el cálculo formal con problemas aplicados e interpretan el valor calculado, por ejemplo, como la velocidad media o el crecimiento promedio a lo largo de un intervalo determinado.

Un error típico ocurre al plantear la fracción: con frecuencia se intercambian las diferencias del numerador y del denominador, de modo que se divide la diferencia de los valores de x entre la diferencia de los valores de y. Además, a algunos alumnos les resulta difícil distinguir claramente la tasa de variación media a lo largo de todo un período de la tasa de variación instantánea en un punto concreto.

Las tareas prácticas de la plantilla Tasa de variación media invitan a calcular el cociente incremental para una función y un intervalo dados, o bien a leer las coordenadas necesarias directamente de una tabla de valores o de una gráfica y justificar el resultado de manera adecuada.

En 12.º curso, los estudiantes componen dos funciones paso a paso: el valor de salida de una función interna se introduce directamente como entrada en una función externa. De este modo, utilizan la composición en casos sencillos para describir formalmente relaciones cuantitativas sucesivas.

Un error típico consiste en confundir el orden: en una expresión como f(g(x)), se aplica erróneamente primero la función externa o no se sustituye por completo la expresión de g(x) en cada aparición de la variable en f, lo que suele provocar fallos, especialmente al resolver paréntesis.

Las tareas típicas de la plantilla Composición de funciones requieren formular la nueva expresión algebraica de la función compuesta a partir de dos ecuaciones de funciones dadas, o bien calcular el resultado paso a paso, de dentro hacia fuera, para valores numéricos dados.

En 12.º curso, los estudiantes recurren a tipos de funciones conocidos de la educación secundaria para examinar relaciones mediante el cálculo. Pueden sustituir valores numéricos dados para la variable x en la ecuación de una función cuadrática y determinar el correspondiente valor de la función f(x).

Los errores típicos ocurren sobre todo al sustituir números negativos: a menudo se olvida poner entre paréntesis el número negativo al elevarlo al cuadrado, de modo que erróneamente se calcula -3² = -9 en lugar de (-3)² = 9. No respetar la jerarquía de las operaciones (primero calcular la potencia y luego multiplicar por el factor de escala) también suele dar lugar a resultados incorrectos.

En los ejercicios de la plantilla Valor de una función cuadrática, los alumnos reciben la ecuación de una función y deben calcular el valor correspondiente de la función para valores concretos de x.

En 12.º curso, los estudiantes aplican un método de resolución algorítmico —por lo general, el método de Gauss— para resolver sistemáticamente sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas. Transforman paso a paso las ecuaciones de modo que se eliminen variables individuales, determinan las incógnitas mediante sustitución regresiva y pueden justificar formalmente cada uno de los pasos de cálculo.

Las dificultades suelen presentarse en las operaciones por filas: al operar con las ecuaciones se cometen a menudo errores de signo, sobre todo al restar múltiplos entre sí. Además, una forma de proceder poco estructurada hace que una variable ya eliminada se vuelva a introducir involuntariamente en una fila posterior.

Los ejercicios típicos del tema Sistemas de ecuaciones lineales con tres incógnitas plantean tres ecuaciones con tres variables. Los estudiantes transforman gradualmente este sistema a una forma triangular para calcular con precisión el vector solución o los valores de las tres incógnitas.

En 12.º curso, los estudiantes aprenden en el ámbito del cálculo vectorial a calcular el producto escalar de dos vectores en el espacio y a interpretarlo geométricamente. Utilizan el resultado del cálculo para describir relaciones de posición entre vectores, sobre todo para determinar si dos vectores son ortogonales entre sí, ya que en este caso el producto escalar es exactamente cero.

Un error típico consiste en escribir erróneamente el producto escalar como un nuevo vector en lugar de como un número individual. Con frecuencia, los productos de las distintas coordenadas no se suman, sino que se vuelven a anotar componente por componente como un vector, lo que impide la posterior interpretación geométrica.

En los ejercicios de la plantilla Producto escalar, los estudiantes calculan el producto a partir de las coordenadas de los vectores dadas y utilizan el resultado para demostrar mediante cálculos propiedades geométricas como los ángulos rectos.

En 12.º curso, los estudiantes determinan el área de regiones limitadas por gráficas de funciones. Mediante el cálculo integral, calculan el área comprendida entre una gráfica y el eje x. La atención se centra en las funciones cuadráticas, para las cuales se determinan primitivas y se sustituyen los límites de integración.

Un error común surge al manejar los signos: si una parte de la gráfica se encuentra por debajo del eje x, la integral da un valor negativo. Si se pasan por alto las raíces y se integra simplemente en todo el intervalo, las áreas por encima y por debajo del eje se anulan mutuamente, en lugar de dar el área total real.

En los ejercicios sobre el área bajo una parábola, los alumnos calculan de forma concreta el área entre la gráfica de una función cuadrática y el eje x. Para ello, suelen determinar primero los puntos de corte con el eje como límites de integración y, a continuación, evalúan la integral definida paso a paso.

En 12.º curso, los estudiantes aplican el cálculo integral a cuestiones espaciales. Determinan el volumen de cuerpos que se describen mediante la rotación de la curva de una función alrededor de un eje en el espacio. Para ello, elevan al cuadrado la ecuación de la función, hallan la función primitiva correspondiente y multiplican la integral calculada por el número pi.

A menudo se cometen errores de cálculo al utilizar la fórmula: muchos alumnos olvidan elevar al cuadrado la expresión de la función antes de integrar, o bien omiten el factor pi en el resultado final. También suelen cometerse los típicos errores de cálculo y de signos al desarrollar binomios en la expresión algebraica antes de determinar la primitiva.

En los ejercicios de la plantilla de tareas Volumen de revolución, los jóvenes resuelven problemas en los que, por ejemplo, se calcula con exactitud el volumen de recipientes con simetría de revolución, como jarrones o embudos, a partir de gráficas de funciones y límites de integración dados.

En 12.º curso, los estudiantes utilizan la integral definida para determinar la cantidad total correspondiente a partir de una tasa de cambio variable. Interpretan la integral como una herramienta para la reconstrucción de una cantidad acumulada: a partir de la evolución de la tasa a lo largo de un intervalo de tiempo determinado, calculan la variación neta y la suman a la cantidad inicial dada.

Un error típico en la práctica del cálculo es olvidar este valor inicial. Con frecuencia, los estudiantes calculan correctamente el incremento mediante la integral, pero luego igualan por error este resultado intermedio directamente con la cantidad final, en lugar de sumar la cantidad inicial.

En los ejercicios sobre la cantidad acumulada a partir de la tasa de entrada, suele describirse un proceso realista, como el llenado de un recipiente con un caudal variable. Se proporcionan la cantidad inicial y una función para la tasa de entrada. Los estudiantes plantean la integral definida para el intervalo de tiempo requerido, hallan la primitiva y determinan así la cantidad final buscada.

En 12.º curso, los estudiantes utilizan la primera derivada de una función para determinar con exactitud la pendiente de la gráfica en un punto concreto. Determinan las coordenadas del punto de tangencia y combinan el punto y la pendiente para calcular la ecuación lineal completa de la recta tangente.

Un error típico surge al confundir el valor de la función con la pendiente: con frecuencia, los alumnos introducen por error el valor calculado de la derivada f'(x) como coordenada y o utilizan erróneamente el valor de la función f(x) como pendiente. Para hallar correctamente la ecuación de la tangente, se deben diferenciar con claridad la función original para la posición del punto y la derivada para la pendiente.

Los ejercicios prácticos de la plantilla Tangente a la gráfica de una función suelen proporcionar la ecuación de una función y una coordenada x. Los estudiantes derivan la función, calculan la pendiente en el punto dado e indican la ecuación de la recta tangente completa.