Das Dreieck ist rechtwinklig: c ist die Hypotenuse, a eine Kathete. Berechne die andere Kathete b.
c = 52 cm, a = 20 cm, b = □
Lösung: 48 cm
Größen und Messen Klasse 10 Arbeitsblätter
Imaginesis: Mathe-Arbeitsblätter zum Ausdrucken, Klasse 10 (Deutschland), Leitidee Größen und Messen — Den Satz des Pythagoras anwenden, Volumen von Zylinder, Kegel und Kugel berechnen, Volumen und Oberfläche von dreiseitigen Prismen: Sachaufgaben mit Hinweisen, Lösungen und Rechenweg als PDF, auch als Klassenarbeit in Gruppen A–D.
Beispielaufgaben
Eine Kugel hat den Radius r. Berechne ihr Volumen — setze die Zahl in das Kästchen vor π ein.
r = 3 cm, □ π cm³
Lösung: 36
Die Grundfläche eines geraden Prismas ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a, b und c, die Höhe des Prismas ist h. Berechne seinen Oberflächeninhalt.
a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm, h = 5 cm
Lösung: 168 cm²
Kompetenzen in dieser Leitidee
Den Satz des Pythagoras anwenden
Jugendliche nutzen den Satz des Pythagoras, um fehlende Seiten im rechtwinkligen Dreieck zu berechnen und Dreiecke auf Rechtwinkligkeit zu überprüfen.
KMKS1.GM.10 berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen, auch unter Nutzung des Satzes von Pythagoras, von trigonometrischen Beziehungen und Ähnlichkeitsbeziehungen, auch mit Hilfe digitaler MathematikwerkzeugeKMKS1.RF.10 wenden Sätze der ebenen Geometrie (insbesondere den Satz des Pythagoras, den Satz des Thales, Ähnlichkeitsbeziehungen und Berechnungen an, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge, trigonometrische Beziehungen) bei Konstruktionen, Berechnungen, Begründungen und Beweisen an, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge
In der 10. Klasse wenden die Schülerinnen und Schüler die Beziehung a² + b² = c² gezielt an. Sie quadrieren gegebene Seitenlängen, addieren oder subtrahieren diese und ziehen die Quadratwurzel, um entweder die Hypotenuse oder eine der beiden Katheten zu bestimmen. Zudem prüfen sie anhand gegebener Seitenmaße rechnerisch, ob ein Dreieck tatsächlich einen rechten Winkel besitzt.
Häufige Fehler entstehen bei der Umstellung der Formel, wenn eine Kathete gesucht ist. Jugendliche addieren dann aus Gewohnheit die Quadrate der beiden bekannten Zahlen, anstatt das Kathetenquadrat von der quadrierten Hypotenuse zu subtrahieren. Ein weiterer typischer Stolperstein ist das Vergessen des letzten Schritts: Die Rechnung endet vorzeitig beim quadrierten Wert, ohne die abschließende Wurzel zu ziehen.
In Übungsaufgaben wie Die Hypotenuse berechnen oder Eine Kathete berechnen bestimmen die Lernenden aus zwei bekannten Seitenlängen das fehlende Maß. Das Aufgabenformat Ist das Dreieck rechtwinklig? fordert dazu auf, drei gegebene Längen in die Gleichung einzusetzen und die Gleichheit zu testen, während Formate wie Hypotenuse — wähle die Antwort das schnelle Erkennen und Zuordnen der gesuchten Seite trainieren.
Volumen von Zylinder, Kegel und Kugel berechnen
Jugendliche berechnen mithilfe passender Formeln das Volumen von Zylindern, Kegeln und Kugeln als Vorbereitung auf den Mittleren Schulabschluss.
KMKS1.GM.7 berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel sowie daraus zusammengesetzten Körpern, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge
In der 10. Klasse wenden Jugendliche die Formeln zur Körperberechnung sicher an, um den Rauminhalt runder Körper zu bestimmen. Sie nutzen dabei Potenzen beim Rechnen mit dem Radius und multiplizieren mit der Kreiszahl Pi, um exakte oder praxisnah gerundete Volumina zu ermitteln.
Typische Fehler entstehen vor allem durch Verwechslungen der Formelbestandteile: Häufig setzen Lernende den angegebenen Durchmesser direkt anstelle des Radius ein. Beim Kegel wird oft der Bruchfaktor Ein Drittel vergessen, während bei der Kugelberechnung wiederholt die dritte Potenz (r³) mit dem Quadrat (r²) verwechselt wird.
Auf den Aufgabenblättern bearbeiten die Jugendlichen konkrete geometrische Angaben zu den einzelnen Körpern:
- Volumen eines Zylinders: Berechnung des Rauminhalts anhand von gegebener Grundfläche bzw. Radius und Körperhöhe.
- Volumen eines Kegels: Bestimmung des Volumens unter Einbeziehung von Radius und Höhe mit dem entsprechenden Formelfaktor.
- Volumen einer Kugel: Ermittlung des Rauminhalts allein auf Basis des Radius oder Durchmessers.
Volumen und Oberfläche von dreiseitigen Prismen
Die Jugendlichen berechnen das Volumen und den Oberflächeninhalt von geraden dreiseitigen Prismen sicher als Wiederholung vor dem Mittleren Schulabschluss.
KMKS1.GM.7 berechnen Volumen und Oberflächeninhalt von Prisma, Pyramide, Zylinder, Kegel und Kugel sowie daraus zusammengesetzten Körpern, auch mit Hilfe digitaler Mathematikwerkzeuge
In der 10. Klasse festigen die Jugendlichen den Umgang mit geometrischen Körpern und berechnen den Rauminhalt und die Außenflächen gerader Prismen mit dreieckiger Grundfläche. Dazu bestimmen sie zunächst den Flächeninhalt des Grunddreiecks und multiplizieren diesen für das Volumen mit der Körperhöhe oder berechnen für die Oberfläche die beiden dreieckigen Grund- und Deckflächen zusammen mit den drei rechteckigen Mantelflächen.
Ein typischer Fehler liegt in der Verwechslung der verschiedenen Höhen: Häufig wird die Höhe des Grundflächendreiecks mit der Höhe des gesamten Prismas vertauscht. Beim Oberflächeninhalt wird zudem oft vergessen, die Dreiecksfläche doppelt einzurechnen, oder es werden nicht alle drei Rechtecke der Mantelfläche korrekt addiert.
Typische Aufgabenformate aus den Vorlagen Volumen eines dreiseitigen Prismas und Oberflächeninhalt eines dreiseitigen Prismas geben Maße wie die Seitenlängen des Grunddreiecks und die Höhe des Körpers vor. Die Lernenden setzen diese Werte in die passenden geometrischen Formeln ein und ermitteln so Schritt für Schritt das gesuchte Maß.