Programme scolaire (États-Unis)

Mathématiques — 12e année

Mathématiques de 12e année selon les normes du Common Core, généralement le précalcul : nombres complexes sous forme polaire, vecteurs, matrices et systèmes d'équations, valeurs trigonométriques, espérance mathématique et probabilité binomiale. Chaque thème est accompagné de fiches d'exercices imprimables.

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Qu'apprennent les élèves en mathématiques en 12e année ?

En 12e année, les élèves écrivent les nombres complexes sous forme polaire et déterminent leur module et leur conjugué, additionnent et multiplient des vecteurs par un scalaire et calculent des produits scalaires, et multiplient et inversent des matrices 2×2 pour résoudre des systèmes d'équations. Ils trouvent des valeurs trigonométriques exactes et calculent des espérances mathématiques et des probabilités binomiales. La plupart de ces notions sont des normes (+) destinées aux élèves se préparant à l'analyse.

À propos des normes : les normes du Common Core pour le lycée sont organisées par catégorie conceptuelle (Nombres et quantités, Algèbre, Fonctions, Géométrie, Statistiques et probabilités), et non par niveau scolaire. L'attribution d'un sujet à un niveau est notre choix, suivant la progression courante : Algèbre I, Géométrie, Algèbre II et Précalcul. Les normes marquées d'un (+) vont au-delà du socle de préparation aux études supérieures et à la carrière professionnelle.

État de la page : les sujets de ce niveau sont prêts sous forme d'exercices simples (consigne et formule) ; les problèmes avec diagrammes et les problèmes sous forme d'énoncés textuels seront ajoutés ensuite.

Programme officiel

Point du programme HSN-CN · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Le système des nombres complexes

notre traduction · texte original (EN): The Complex Number System

CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Complex Number System (HSN-CN)
Point du programme HSN-CN.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Effectuer des opérations arithmétiques avec les nombres complexes.

notre traduction · texte original (EN): Perform arithmetic operations with complex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster A
Point du programme HSN-CN.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Représenter les nombres complexes et leurs opérations dans le plan complexe.

notre traduction · texte original (EN): Represent complex numbers and their operations on the complex plane.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster B
Point du programme HSN-CN.A.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Déterminer le conjugué d'un nombre complexe ; utiliser les conjugués pour déterminer les modules et les quotients de nombres complexes.

notre traduction · texte original (EN): (+) Find the conjugate of a complex number; use conjugates to find moduli and quotients of c omplex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.3

Complex Conjugates, Modulus, and Division (chez nous en classe 12)
Point du programme HSN-CN.B.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Représenter des nombres complexes dans le plan complexe sous forme rectangulaire et polaire (y compris les nombres réels et imaginaires), et expliquer pourquoi les formes rectangulaire et polaire d'un nombre complexe donné représentent le même nombre.

notre traduction · texte original (EN): (+) Represent complex numbers on the complex plane in rectangular and polar f orm (including real and imaginary numbers), and explain why the rectangular and polar forms of a given complex number represent the same number.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.4

Polar and Rectangular Forms of Complex Numbers (chez nous en classe 12)
Point du programme HSN-CN.B.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Représenter géométriquement l'addition, la soustraction, la multiplication et la conjugaison des nombres complexes dans le plan complexe ; utiliser les propriétés de cette représentation pour le calcul. Par exemple, (–1 + √3 i)3 = 8 car (–1 + √3 i) a pour module 2 et pour argument 120°.

notre traduction · texte original (EN): (+) Represent addition, subtraction, multiplication, and conjugation of c omplex numbers geometrically on the complex plane; use properties of this representation for computation. For example, (–1 + √3 i)3 = 8 because (–1 + √3 i) has modulus 2 and argument 120°.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.5
Point du programme HSN-CN.B.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Calculer la distance entre des nombres dans le plan complexe comme le module de la différence, et le milieu d'un segment comme la moyenne des nombres à ses extrémités.

notre traduction · texte original (EN): (+) Calculate the distance between numbers in the complex plane as the modulus of the diff erence, and the midpoint of a segment as the average of the numbers at its endpoints.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.6

Complex Conjugates, Modulus, and Division (chez nous en classe 12)
Point du programme HSN-VM · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Grandeurs vectorielles et matricielles

notre traduction · texte original (EN): Vector and Matrix Quantities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Vector and Matrix Quantities (HSN-VM)
Point du programme HSN-VM.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Représenter et modéliser avec des grandeurs vectorielles.

notre traduction · texte original (EN): Represent and model with vector quantities.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster A
Point du programme HSN-VM.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Perform operations on vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster B
Point du programme HSN-VM.C · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Effectuer des opérations sur les matrices et utiliser des matrices dans des applications.

notre traduction · texte original (EN): Perform operations on matrices and use matrices in applications.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster C
Point du programme HSN-VM.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Reconnaître que les grandeurs vectorielles ont à la fois une norme et une direction. Représenter les grandeurs vectorielles par des segments de droite orientés, et utiliser les symboles appropriés pour les vecteurs et leurs normes (p. ex., v, |v|, ||v||, v).

notre traduction · texte original (EN): (+) Recognize vector quantities as having both magnitude and direction. R epresent vector quantities by directed line segments, and use appropriate symbols for vectors and their magnitudes (e.g., v, |v|, ||v||, v).

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.1
Point du programme HSN-VM.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Trouver les composantes d'un vecteur en soustrayant les coordonnées d'un point initial des coordonnées d'un point terminal.

notre traduction · texte original (EN): (+) Find the components of a vector by subtracting the coordinates of an initial point fr om the coordinates of a terminal point.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.2

Vector Lengths and Linear Combinations (chez nous en classe 12)
Point du programme HSN-VM.A.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Résoudre des problèmes impliquant la vitesse et d'autres grandeurs pouvant être représentées par des vecteurs.

notre traduction · texte original (EN): (+) Solve problems involving velocity and other quantities that can be r epresented by vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.3
Point du programme HSN-VM.B.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Additionner et soustraire des vecteurs. a. Additionner des vecteurs bout à bout, composante par composante et selon la règle du parallélogramme. Comprendre que la norme d'une somme de deux vecteurs n'est généralement pas la somme des normes. b. Étant donné deux vecteurs sous forme de norme et de direction, déterminer la norme et la direction de leur somme. c. Comprendre la soustraction vectorielle v – w comme v + (–w), où –w est l'opposé de w, ayant la même norme que w et pointant dans la direction opposée. Représenter graphiquement la soustraction vectorielle en reliant les extrémités dans l'ordre approprié, et effectuer la soustraction vectorielle composante par composante.

notre traduction · texte original (EN): (+) Add and subtract vectors. a. Add vectors end-to-end, component-wise, and by the parallelogram rule. Understand that the magnitude of a sum of two vectors is typically not the sum of the magnitudes. b. Given two vectors in magnitude and direction form, determine the magnitude and direction of their sum. c. Understand vector subtraction v – w as v + (–w), where –w is the additive inverse of w, with the same magnitude as w and pointing in the opposite direction. Represent vector subtraction graphically by connecting the tips in the appropriate order, and perform vector subtraction component-wise.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.B.4

Vector Lengths and Linear Combinations (chez nous en classe 12)
Point du programme HSN-VM.B.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Multiplier un vecteur par un scalaire. a. Représenter graphiquement la multiplication par un scalaire en modifiant l'échelle des vecteurs et éventuellement en inversant leur sens ; effectuer la multiplication par un scalaire composante par composante, p. ex., sous la forme c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Calculer la norme d'un multiple scalaire cv en utilisant ||cv|| = |c|v. Calculer la direction de cv en sachant que lorsque |c|v ≠ 0, la direction de cv est soit dans le même sens que v (pour c > 0), soit dans le sens opposé à v (pour c < 0).

notre traduction · texte original (EN): (+) Multiply a vector by a scalar. a. Represent scalar multiplication graphically by scaling vectors and possibly reversing their direction; perform scalar multiplication component-wise, e.g., as c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Compute the magnitude of a scalar multiple cv using ||cv|| = |c|v. Compute the direction of cv knowing that when |c|v ≠ 0, the direction of cv is either along v (for c > 0) or against v (for c < 0).

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.B.5

Vector Lengths and Linear Combinations (chez nous en classe 12)
Point du programme HSN-VM.C.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Utiliser des matrices pour représenter et manipuler des données, p. ex., pour représenter des gains ou des relations d'incidence dans un réseau.

notre traduction · texte original (EN): (+) Use matrices to represent and manipulate data, e.g., to represent payoffs or incidenc e relationships in a network.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.6
Point du programme HSN-VM.C.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Multiplier des matrices par des scalaires pour produire de nouvelles matrices, par exemple, comme lorsque tous les gains d'un jeu sont doublés.

notre traduction · texte original (EN): (+) Multiply matrices by scalars to produce new matrices, e.g., as when all of the pa yoffs in a game are doubled.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.7

Matrix Operations and Multiplying Vectors (chez nous en classe 12)
Point du programme HSN-VM.C.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Additionner, soustraire et multiplier des matrices de dimensions appropriées.

notre traduction · texte original (EN): (+) Add, subtract, and multiply matrices of appropriate dimensions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.8

Matrix Operations and Multiplying Vectors (chez nous en classe 12)
Point du programme HSN-VM.C.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Comprendre que, contrairement à la multiplication des nombres, la multiplication matricielle pour les matrices carrées n'est pas une opération commutative, mais satisfait toujours les propriétés associative et distributive.

notre traduction · texte original (EN): (+) Understand that, unlike multiplication of numbers, matrix multiplication for squar e matrices is not a commutative operation, but still satisfies the associative and distributive properties.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.9

Matrix Operations and Multiplying Vectors (chez nous en classe 12)
Point du programme HSN-VM.C.10 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Understand that the zero and identity matrices play a role in matrix addition and multiplica tion similar to the role of 0 and 1 in the real numbers. The determinant of a square matrix is nonzero if and only if the matrix has a multiplicative inverse.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.10

Finding the Determinant and Inverse of a 2×2 Matrix (chez nous en classe 12)
Point du programme HSN-VM.C.11 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Multiplier un vecteur (considéré comme une matrice à une colonne) par une matrice de dimensions appropriées pour produire un autre vecteur. Travailler avec des matrices en tant que transformations de vecteurs.

notre traduction · texte original (EN): (+) Multiply a vector (regarded as a matrix with one column) by a matrix of suitable dimensions t o produce another vector. Work with matrices as transformations of vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.11

Matrix Operations and Multiplying Vectors (chez nous en classe 12)
Point du programme HSN-VM.C.12 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Travailler avec des matrices 2 × 2 comme transformations du plan, et interpréter la valeur absolue du déterminant en termes d'aire.

notre traduction · texte original (EN): (+) Work with 2 × 2 matrices as transformations of the plane, and interpret the absolut e value of the determinant in terms of area.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.12

Finding the Determinant and Inverse of a 2×2 Matrix (chez nous en classe 12)
Point du programme HSA-REI · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Raisonner avec des équations et des inéquations

notre traduction · texte original (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)
Point du programme HSA-REI.C · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Résoudre des systèmes d'équations

notre traduction · texte original (EN): Solve systems of equations

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C
Point du programme HSA-REI.C.8 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Représenter un système d'équations linéaires sous la forme d'une seule équation matricielle à variable vectorielle.

notre traduction · texte original (EN): (+) Represent a system of linear equations as a single matrix equation in a vector variable.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.8

Solving Systems of Equations with Matrices (chez nous en classe 12)
Point du programme HSA-REI.C.9 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Trouver l'inverse d'une matrice s'il existe et l'utiliser pour résoudre des systèmes d'équations linéaires (en utilisant la technologie pour les matrices de dimension 3 × 3 ou supérieure).

notre traduction · texte original (EN): (+) Find the inverse of a matrix if it exists and use it to solve systems of linear equations (using technology for matrices of dimension 3 × 3 or greater).

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.9

Solving Systems of Equations with Matrices (chez nous en classe 12) · Finding the Determinant and Inverse of a 2×2 Matrix (chez nous en classe 12)
Point du programme HSF-BF · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Construction de fonctions

notre traduction · texte original (EN): Building Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)
Point du programme HSF-BF.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Construire de nouvelles fonctions à partir de fonctions existantes

notre traduction · texte original (EN): Build new functions from existing functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B
Point du programme HSF-BF.B.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Comprendre la relation réciproque entre les exposants et les logarithmes et utiliser cette relation pour résoudre des problèmes impliquant des logarithmes et des exposants.

notre traduction · texte original (EN): (+) Understand the inverse relationship between exponents and logarithms and use this relationship to solve problems involving logarithms and exponents.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.5
Point du programme HSF-TF · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Fonctions trigonométriques

notre traduction · texte original (EN): Trigonometric Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Trigonometric Functions (HSF-TF)
Point du programme HSF-TF.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Étendre le domaine de définition des fonctions trigonométriques en utilisant le cercle trigonométrique

notre traduction · texte original (EN): Extend the domain of trigonometric functions using the unit circle

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster A
Point du programme HSF-TF.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Modéliser des phénomènes périodiques à l'aide de fonctions trigonométriques

notre traduction · texte original (EN): Model periodic phenomena with trigonometric functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster B
Point du programme HSF-TF.A.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Utiliser des triangles particuliers pour déterminer géométriquement les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente pour π/3, π/4 et π/6, et utiliser le cercle trigonométrique pour exprimer les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente pour π–x, π+x et 2π–x en fonction de leurs valeurs pour x, où x est un nombre réel quelconque.

notre traduction · texte original (EN): (+) Use special triangles to determine geometrically the values of sine, cosine, tangent f or π/3, π/4 and π/6, and use the unit circle to express the values of sine, cosine, and tangent for π–x, π+x, and 2π–x in terms of their values for x, where x is any real number.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.3

Exact Values of Sine, Cosine, and Tangent (chez nous en classe 12)
Point du programme HSF-TF.A.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Utiliser le cercle trigonométrique pour expliquer la symétrie (paire et impaire) et la périodicité des fonctions trigonométriques.

notre traduction · texte original (EN): (+) Use the unit circle to explain symmetry (odd and even) and periodicity of trigonometric functions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.4
Point du programme HSF-TF.B.6 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Comprendre que restreindre une fonction trigonométrique à un domaine sur lequel elle est toujours croissante ou toujours décroissante permet de construire sa réciproque.

notre traduction · texte original (EN): (+) Understand that restricting a trigonometric function to a domain on which it is alw ays increasing or always decreasing allows its inverse to be constructed.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.6
Point du programme HSF-TF.B.7 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Utiliser les fonctions réciproques pour résoudre des équations trigonométriques issues de contextes de modélisation ; évaluer les solutions à l'aide de la technologie, et les interpréter en fonction du contexte.★

notre traduction · texte original (EN): (+) Use inverse functions to solve trigonometric equations that arise in modeling c ontexts; evaluate the solutions using technology, and interpret them in terms of the context.★

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.7
Point du programme HSG-GPE · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Exprimer des propriétés géométriques avec des équations

notre traduction · texte original (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)
Point du programme HSG-GPE.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Passer de la description géométrique à l'équation d'une section conique

notre traduction · texte original (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A
Point du programme HSG-GPE.A.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Établir les équations des ellipses et des hyperboles étant donné les foyers, en utilisant le fait que la somme ou la différence des distances aux foyers est constante.

notre traduction · texte original (EN): (+) Derive the equations of ellipses and hyperbolas given the foci, using the fact tha t the sum or difference of distances from the foci is constant.

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.3
Point du programme HSG-GMD · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Mesure géométrique et dimension

notre traduction · texte original (EN): Geometric Measurement and Dimension

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)
Point du programme HSG-GMD.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Expliquer les formules de volume et les utiliser pour résoudre des problèmes

notre traduction · texte original (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A
Point du programme HSG-GMD.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Donner un argument informel utilisant le principe de Cavalieri pour les formules du volume d'une sphère et d'autres solides.

notre traduction · texte original (EN): (+) Give an informal argument using Cavalieri’s principle for the formulas for the v olume of a sphere and other solid figures.

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.2
Point du programme HSS-MD · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Utiliser la probabilité pour prendre des décisions

notre traduction · texte original (EN): Using Probability to Make Decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)
Point du programme HSS-MD.A · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Calculer des espérances mathématiques et les utiliser pour résoudre des problèmes

notre traduction · texte original (EN): Calculate expected values and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster A
Point du programme HSS-MD.B · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

Utiliser les probabilités pour évaluer les résultats de décisions

notre traduction · texte original (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B
Point du programme HSS-MD.A.1 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Définir une variable aléatoire pour une quantité d'intérêt en attribuant une valeur numérique à chaque événement d'un univers ; représenter graphiquement la loi de probabilité correspondante en utilisant les mêmes représentations graphiques que pour les distributions de données.

notre traduction · texte original (EN): (+) Define a random variable for a quantity of interest by assigning a numerical value to each event in a sample space; graph the corresponding probability distribution using the same graphical displays as for data distributions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.1
Point du programme HSS-MD.A.2 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Calculer l'espérance d'une variable aléatoire ; l'interpréter comme la moyenne de la loi de probabilité.

notre traduction · texte original (EN): (+) Calculate the expected value of a random variable; interpret it as the mean of the probability distribution.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.2

Finding Expected Value from a Probability Table (chez nous en classe 10-12)
Point du programme HSS-MD.A.3 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Établir une loi de probabilité pour une variable aléatoire définie sur un univers dans lequel des probabilités théoriques peuvent être calculées ; calculer l'espérance mathématique. Par exemple, déterminer la loi de probabilité théorique du nombre de bonnes réponses obtenues en répondant au hasard aux cinq questions d'un questionnaire à choix multiples où chaque question comporte quatre choix, et calculer la note espérée selon différents barèmes de notation.

notre traduction · texte original (EN): (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample spac e in which theoretical probabilities can be calculated; find the expected value. For example, find the theoretical probability distribution for the number of correct answers obtained by guessing on all five questions of a multiple-choice test where each question has four choices, and find the expected grade under various grading schemes.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.3

Finding Expected Value from a Probability Table (chez nous en classe 10-12) · Binomial Distributions and Expected Value (chez nous en classe 12)
Point du programme HSS-MD.A.4 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Établir une loi de probabilité pour une variable aléatoire définie sur un univers dans lequel les probabilités sont attribuées de manière empirique ; déterminer l'espérance mathématique. Par exemple, trouver une distribution actuelle de données sur le nombre de téléviseurs par ménage aux États-Unis, et calculer le nombre espéré d'appareils par ménage. Combien de téléviseurs s'attendrait-on à trouver dans 100 ménages choisis au hasard ?

notre traduction · texte original (EN): (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample spac e in which probabilities are assigned empirically; find the expected value. For example, find a current data distribution on the number of TV sets per household in the United States, and calculate the expected number of sets per household. How many TV sets would you expect to find in 100 randomly selected households?

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.4

Finding Expected Value from a Probability Table (chez nous en classe 10-12)
Point du programme HSS-MD.B.5 · Contenus d'enseignement · vérifié avec le texte officiel

(+) Peser les issues possibles d'une décision en attribuant des probabilités aux valeurs des gains et en calculant les espérances mathématiques. a. Déterminer le gain espéré pour un jeu de hasard. Par exemple, déterminer l'espérance de gain d'un billet de loterie d'État ou d'un jeu dans un restaurant rapide. b. Évaluer et comparer des stratégies sur la base des espérances mathématiques. Par exemple, comparer une police d'assurance automobile à franchise élevée et une police à franchise faible en utilisant des probabilités variées, mais raisonnables, d'avoir un accident mineur ou majeur.

notre traduction · texte original (EN): (+) Weigh the possible outcomes of a decision by assigning probabilities to pa yoff values and finding expected values. a. Find the expected payoff for a game of chance. For example, find the expected winnings from a state lottery ticket or a game at a fast-food restaurant. b. Evaluate and compare strategies on the basis of expected values. For example, compare a high-deductible versus a low-deductible automobile insurance policy using various, but reasonable, chances of having a minor or a major accident.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.5

Finding Expected Value from a Probability Table (chez nous en classe 10-12)

Compétences étape par étape

Complex Conjugates, Modulus, and Division

Students learn to find complex conjugates, calculate modulus and geometric distance, and use conjugates to divide complex numbers.

Point du programme HSN-CN.A.3 (+) Déterminer le conjugué d'un nombre complexe ; utiliser les conjugués pour déterminer les modules et les quotients de nombres complexes. (notre traduction)
Point du programme HSN-CN.B.6 (+) Calculer la distance entre des nombres dans le plan complexe comme le module de la différence, et le milieu d'un segment comme la moyenne des nombres à ses extrémités. (notre traduction)

At this level, students work with complex numbers written in standard form with real and imaginary parts. They learn to determine the complex conjugate by reversing the sign of the imaginary term, and they use this value to calculate a number's modulus—its absolute value or distance from zero. Students also use conjugates to divide complex numbers, clearing the imaginary unit from the denominator, and find the geometric distance between two points in the complex plane by taking the modulus of their difference.

A frequent stumbling block occurs when finding the conjugate: students often mistakenly change the sign of the real part rather than the imaginary part, converting 3 + 4i into -3 + 4i instead of 3 - 4i. When dividing, students also frequently make sign mistakes when multiplying terms involving the imaginary unit, forgetting that i multiplied by i equals -1.

Practice tasks prompt students to solve direct exercises across four core formats:

Complex conjugate: writing the conjugate for a given complex value.
Modulus of a complex number: computing the absolute value of an expression.
Dividing complex numbers: multiplying numerator and denominator by the conjugate to simplify a fraction into standard form.
Distance in the complex plane: finding the distance between two complex coordinates by calculating the modulus of their difference.

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Types d’exercices: Module d'un nombre complexe · Conjugué d'un nombre complexe · Distance dans le plan complexe · Division de nombres complexes

Matrix Operations and Multiplying Vectors

Students learn to scale, add, subtract, and multiply matrices, and multiply matrices by column vectors to model transformations.

Point du programme HSN-VM.C.11 (+) Multiplier un vecteur (considéré comme une matrice à une colonne) par une matrice de dimensions appropriées pour produire un autre vecteur. Travailler avec des matrices en tant que transformations de vecteurs. (notre traduction)
Point du programme HSN-VM.C.7 (+) Multiplier des matrices par des scalaires pour produire de nouvelles matrices, par exemple, comme lorsque tous les gains d'un jeu sont doublés. (notre traduction)
Point du programme HSN-VM.C.8 (+) Additionner, soustraire et multiplier des matrices de dimensions appropriées. (notre traduction)
Point du programme HSN-VM.C.9 (+) Comprendre que, contrairement à la multiplication des nombres, la multiplication matricielle pour les matrices carrées n'est pas une opération commutative, mais satisfait toujours les propriétés associative et distributive. (notre traduction)

Students compute with matrices and vectors of appropriate dimensions. They perform scalar multiplication by scaling every entry, combine matrices through addition and subtraction, and multiply matrices together. They also multiply a matrix by a single-column vector to produce a new vector, while recognizing that matrix multiplication is associative and distributive, but not commutative.

A frequent error occurs during matrix multiplication when students try to multiply corresponding entries directly across, rather than multiplying each row's entries by a column's entries and adding the results. Students also commonly treat matrix multiplication like everyday number multiplication, mistakenly assuming that changing the order of the matrices will yield the exact same answer or failing to check whether the inner dimensions match.

In practice, students solve problems across three specific formats:

Linear combination of matrices, where they multiply matrices by numerical factors and add or subtract the resulting arrays;
Product of matrices, where they check that the column count of the first matrix matches the row count of the second before computing the final entries;
Matrix times vector, where they apply a transformation matrix to a single column vector to produce the resulting output vector.

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Types d’exercices: Combinaison de matrices · Matrice fois vecteur · Produit de matrices

Binomial Distributions and Expected Value

Students calculate theoretical probabilities for repeated success-or-failure events and determine the expected value or mean outcome across those trials.

Point du programme HSS-MD.A.3 (+) Établir une loi de probabilité pour une variable aléatoire définie sur un univers dans lequel des probabilités théoriques peuvent être calculées ; calculer l'espérance mathématique. Par exemple, déterminer la loi de probabilité théorique du nombre de bonnes réponses obtenues en répondant au hasard aux cinq questions d'un questionnaire à choix multiples où chaque question comporte quatre choix, et calculer la note espérée selon différents barèmes de notation. (notre traduction)

Students learn to model scenarios involving repeated independent events that have two outcomes, known as Bernoulli trials. Using situations like guessing on a five-question multiple-choice test with four options per question, students build probability distributions for the total number of successes and find the expected value under different scoring rules.

A typical error occurs when students calculate the probability of a specific outcome, such as getting two questions right out of five. They often multiply the probabilities of success and failure together but forget to account for the number of different orderings in which those successes can occur, leaving out the combination factor.

In practice, tasks draw from two main templates. In Bernoulli trials, students identify single-trial probabilities and compute the exact likelihood of getting a specific number of successes across repeated trials. In Mean of a binomial distribution, students use the number of trials and success probabilities to calculate the average expected outcome or expected grade over time.

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Types d’exercices: Espérance de la loi binomiale · Schéma de Bernoulli

Vector Lengths and Linear Combinations

Students learn to find the magnitude of a vector and combine vectors algebraically using scalar multiplication, addition, and subtraction.

Point du programme HSN-VM.A.2 (+) Trouver les composantes d'un vecteur en soustrayant les coordonnées d'un point initial des coordonnées d'un point terminal. (notre traduction)
Point du programme HSN-VM.B.4 (+) Additionner et soustraire des vecteurs. a. Additionner des vecteurs bout à bout, composante par composante et selon la règle du parallélogramme. Comprendre que la norme d'une somme de deux vecteurs n'est généralement pas la somme des normes. b. Étant donné deux vecteurs sous forme de norme et de direction, déterminer la norme et la direction de leur somme. c. Comprendre la soustraction vectorielle v – w comme v + (–w), où –w est l'opposé de w, ayant la même norme que w et pointant dans la direction opposée. Représenter graphiquement la soustraction vectorielle en reliant les extrémités dans l'ordre approprié, et effectuer la soustraction vectorielle composante par composante. (notre traduction)
Point du programme HSN-VM.B.5 (+) Multiplier un vecteur par un scalaire. a. Représenter graphiquement la multiplication par un scalaire en modifiant l'échelle des vecteurs et éventuellement en inversant leur sens ; effectuer la multiplication par un scalaire composante par composante, p. ex., sous la forme c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Calculer la norme d'un multiple scalaire cv en utilisant ||cv|| = |c|v. Calculer la direction de cv en sachant que lorsque |c|v ≠ 0, la direction de cv est soit dans le même sens que v (pour c > 0), soit dans le sens opposé à v (pour c < 0). (notre traduction)

At this stage, students work with two-dimensional vectors expressed in component form. They compute the length (magnitude) of a vector and create linear combinations by scaling vectors—multiplying components by a scalar factor c to produce (cv_x, cv_y)—and combining them through component-wise addition and subtraction.

A common misconception occurs when finding the magnitude of a combined vector: students often assume the length of a sum is equal to the sum of the individual lengths, which is typically not true. Another frequent mistake involves negative scalars. When multiplying by a negative number, students sometimes drop negative signs during component subtraction or forget that magnitude must remain positive, scaled by the absolute value of the scalar.

Worksheet tasks reinforce these skills through two specific formats:

Length of a vector: Students determine the numerical magnitude from a vector's given coordinate components.
Linear combination of vectors: Students are given two or more vectors and must scale and combine them to find the resulting vector components.

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Types d’exercices: Combinaison de vecteurs · Norme d'un vecteur

Polar and Rectangular Forms of Complex Numbers

Students learn to find the argument of a complex number and convert between polar and rectangular forms using special angles on the complex plane.

Point du programme HSN-CN.B.4 (+) Représenter des nombres complexes dans le plan complexe sous forme rectangulaire et polaire (y compris les nombres réels et imaginaires), et expliquer pourquoi les formes rectangulaire et polaire d'un nombre complexe donné représentent le même nombre. (notre traduction)

At this stage, students learn to represent complex numbers—including real and purely imaginary numbers—on the complex plane in both rectangular and polar forms. They connect coordinates in standard a + bi form with the distance from the origin and the angle of rotation, using special trigonometric angles to find exact values without relying on rounded approximations.

A common mistake occurs when determining the angle, or argument, of a complex number outside the first quadrant. Students often find the correct reference angle using trigonometric ratios but fail to account for negative signs in the real or imaginary parts, placing the resulting angle in the wrong quadrant of the complex plane.

Practice tasks target this skill through two main exercises:

Argument of a complex number: Students identify the exact direction angle for a given complex value plotted on the complex plane.
Polar form to rectangular form: Students use exact values for special angles to convert polar expressions back into standard rectangular coordinates.

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Types d’exercices: Argument d'un nombre complexe · Forme trigonométrique vers forme algébrique

Finding the Determinant and Inverse of a 2×2 Matrix

Students learn to calculate the determinant of a 2×2 matrix and use it to find the matrix's multiplicative inverse.

Point du programme HSA-REI.C.9 (+) Trouver l'inverse d'une matrice s'il existe et l'utiliser pour résoudre des systèmes d'équations linéaires (en utilisant la technologie pour les matrices de dimension 3 × 3 ou supérieure). (notre traduction)
Point du programme HSN-VM.C.10 (+) Understand that the zero and identity matrices play a role in matrix addition and multiplica tion similar to the role of 0 and 1 in the real numbers. The determinant of a square matrix is nonzero if and only if the matrix has a multiplicative inverse.
Point du programme HSN-VM.C.12 (+) Travailler avec des matrices 2 × 2 comme transformations du plan, et interpréter la valeur absolue du déterminant en termes d'aire. (notre traduction)

Students work by hand with 2×2 square matrices to compute their determinants and determine whether an inverse exists. They learn that a matrix has a multiplicative inverse only when its determinant is not zero. When the determinant is nonzero, students use it alongside the rearranged matrix elements to calculate the exact inverse matrix.

A common error occurs with negative signs when calculating the determinant, where students add the diagonal products instead of subtracting the off-diagonal product from the main diagonal product. Students also frequently misplace signs or swap the wrong pairs of entries when writing out the inverse matrix, or they attempt to calculate an inverse for a matrix whose determinant equals zero.

Practice tasks come in two standard worksheet formats: Determinant of a matrix, where students evaluate the numerical value of a 2×2 grid of numbers, and Inverse matrix, where students first check if an inverse is possible and then write out the resulting inverse matrix.

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Types d’exercices: Déterminant d'une matrice · Matrice inverse

Finding Expected Value from a Probability Table

Students learn to calculate the expected value of a discrete random variable using a probability table and interpret it as the average outcome over time.

Point du programme HSS-MD.A.2 (+) Calculer l'espérance d'une variable aléatoire ; l'interpréter comme la moyenne de la loi de probabilité. (notre traduction)
Point du programme HSS-MD.A.3 (+) Établir une loi de probabilité pour une variable aléatoire définie sur un univers dans lequel des probabilités théoriques peuvent être calculées ; calculer l'espérance mathématique. Par exemple, déterminer la loi de probabilité théorique du nombre de bonnes réponses obtenues en répondant au hasard aux cinq questions d'un questionnaire à choix multiples où chaque question comporte quatre choix, et calculer la note espérée selon différents barèmes de notation. (notre traduction)
Point du programme HSS-MD.A.4 (+) Établir une loi de probabilité pour une variable aléatoire définie sur un univers dans lequel les probabilités sont attribuées de manière empirique ; déterminer l'espérance mathématique. Par exemple, trouver une distribution actuelle de données sur le nombre de téléviseurs par ménage aux États-Unis, et calculer le nombre espéré d'appareils par ménage. Combien de téléviseurs s'attendrait-on à trouver dans 100 ménages choisis au hasard ? (notre traduction)
Point du programme HSS-MD.B.5 (+) Peser les issues possibles d'une décision en attribuant des probabilités aux valeurs des gains et en calculant les espérances mathématiques. a. Déterminer le gain espéré pour un jeu de hasard. Par exemple, déterminer l'espérance de gain d'un billet de loterie d'État ou d'un jeu dans un restaurant rapide. b. Évaluer et comparer des stratégies sur la base des espérances mathématiques. Par exemple, comparer une police d'assurance automobile à franchise élevée et une police à franchise faible en utilisant des probabilités variées, mais raisonnables, d'avoir un accident mineur ou majeur. (notre traduction)
Point du programme HSS-MD.B.6 (+) Utiliser les probabilités pour prendre des décisions équitables (p. ex., tirer au sort, utiliser un générateur de nombres aléatoires). (notre traduction)
Point du programme HSS-MD.B.7 (+) Analyser des décisions et des stratégies à l'aide de concepts de probabilité (p. ex., tests de produits, tests médicaux, retrait d'un gardien de but au hockey en fin de partie). (notre traduction)

In Grade 12, students work with discrete random variables displayed in probability distribution tables. They calculate the expected value by multiplying each possible numerical outcome by its matching probability and adding all the products together. Through this process, they learn to interpret the resulting number as the mean or weighted center of the probability distribution.

A common error occurs when students treat all outcomes equally. Instead of calculating a weighted sum using the given probabilities, they may simply add up the possible outcome values and divide by the number of outcomes, confusing a basic arithmetic mean with expected value. Another frequent slip is accidentally multiplying probabilities by each other rather than pairing each outcome with its corresponding probability.

Worksheet tasks present a completed distribution table showing a row or column of numerical outcomes alongside their respective probabilities as fractions or decimals. Students compute the product for each pair, sum those values, and state the expected value of the random variable.

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Types d’exercices: Espérance à partir d'un tableau de loi · Le jeu est-il équitable ?

Exact Values of Sine, Cosine, and Tangent

Students find the exact values of sine, cosine, and tangent for key angles like π/6, π/4, and π/3, and use the unit circle to evaluate related angles across different quadrants.

Point du programme HSF-TF.A.3 (+) Utiliser des triangles particuliers pour déterminer géométriquement les valeurs du sinus, du cosinus, de la tangente pour π/3, π/4 et π/6, et utiliser le cercle trigonométrique pour exprimer les valeurs du sinus, du cosinus et de la tangente pour π–x, π+x et 2π–x en fonction de leurs valeurs pour x, où x est un nombre réel quelconque. (notre traduction)

In Grade 12, students determine the exact values of the sine, cosine, and tangent functions without relying on a calculator. They use special right triangles to find geometric values for benchmark angles—specifically π/6, π/4, and π/3 radians. Students then use the geometry of the unit circle to relate these values to other quadrants, rewriting expressions of the form π – x, π + x, and 2π – x in terms of an angle x.

A frequent stumbling block is getting the positive or negative sign wrong. Students often determine the correct numerical ratio from the reference angle but forget to check which quadrant the full angle lies in, mistakenly writing a positive value for cosine in the second quadrant or for sine in the third quadrant.

Worksheet tasks focusing on the Exact value of a trigonometric function present students with specific expressions such as finding the exact value of cos(5π/6) or tan(4π/3). Students identify the underlying special triangle, apply the reduction formula to locate the angle on the unit circle, and write the final solution as a simplified fraction or radical rather than a rounded decimal.

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Solving Systems of Equations with Matrices

Students learn to write linear systems as matrix equations and solve them using matrix inverses, using technology for systems of size 3 × 3 or larger.

Point du programme HSA-REI.C.8 (+) Représenter un système d'équations linéaires sous la forme d'une seule équation matricielle à variable vectorielle. (notre traduction)
Point du programme HSA-REI.C.9 (+) Trouver l'inverse d'une matrice s'il existe et l'utiliser pour résoudre des systèmes d'équations linéaires (en utilisant la technologie pour les matrices de dimension 3 × 3 ou supérieure). (notre traduction)

Students learn to rewrite a system of linear equations as a single matrix equation in the form Ax = b, where A is the coefficient matrix and x is the variable vector. They determine whether the coefficient matrix has an inverse and multiply by that inverse to solve for the unknown values. While students can compute inverses for simple systems by hand, they use technology to find inverses and solve systems with matrices of dimension 3 × 3 or greater.

A common error involves the order of matrix multiplication. Because matrix multiplication is not commutative, multiplying the constants by the inverse in the wrong order—calculating bA^-1 instead of A^-1b—leads to dimension mismatches or incorrect answers. Students also frequently overlook missing variables in an equation, forgetting to insert a 0 into the coefficient matrix for that position.

In practice, tasks like Solving a system with a matrix present students with two or more equations. Students first organize the equations into matrix form, find the inverse of the coefficient matrix either algebraically or using a graphing calculator, and then multiply to find the exact coordinates or variable values that satisfy the entire system.

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Valeur exacte d'une fonction trigonométrique

Solving Systems of Equations with Matrices

Système sous forme matricielle

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