Programa escolar (Estados Unidos)

Matemáticas — 12.º curso

Matemáticas de 12.º grado según los Estándares Estatales Comunes, generalmente Precálculo: números complejos en forma polar, vectores, matrices y sistemas de ecuaciones, valores trigonométricos, valor esperado y probabilidad binomial. Cada tema incluye hojas de ejercicios imprimibles.

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¿Qué aprenden los estudiantes en matemáticas de 12.° grado?

En 12.º grado, los estudiantes escriben números complejos en forma polar y hallan su módulo y conjugado, suman y escalan vectores y calculan productos escalares, y multiplican e invierten matrices de 2×2 para resolver sistemas de ecuaciones. Hallan valores trigonométricos exactos y calculan valores esperados y probabilidades binomiales. La mayoría de estos son estándares (+) para estudiantes que se preparan para cálculo.

Acerca de los estándares: los estándares de secundaria de Common Core están organizados por categoría conceptual (Número y cantidad, Álgebra, Funciones, Geometría, Estadística y probabilidad), no por grado. La asignación de un tema a un grado es decisión nuestra, siguiendo la secuencia habitual de cursos: Álgebra I, Geometría, Álgebra II y Precálculo. Los estándares marcados con (+) van más allá del núcleo de preparación para la universidad y la carrera profesional.

Estado de la página: los temas de este grado están listos como ejercicios simples (instrucción y fórmula); a continuación se agregarán problemas con diagramas y problemas verbales.

Alcance del currículo

Punto del currículo HSN-CN · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

El sistema de los números complejos

nuestra traducción · texto original (EN): The Complex Number System

CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Complex Number System (HSN-CN)
Punto del currículo HSN-CN.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Realizar operaciones aritméticas con números complejos.

nuestra traducción · texto original (EN): Perform arithmetic operations with complex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster A
Punto del currículo HSN-CN.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Representar números complejos y sus operaciones en el plano complejo.

nuestra traducción · texto original (EN): Represent complex numbers and their operations on the complex plane.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster B
Punto del currículo HSN-CN.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Hallar el conjugado de un número complejo; usar conjugados para hallar módulos y cocientes de números complejos.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Find the conjugate of a complex number; use conjugates to find moduli and quotients of c omplex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.3

Complex Conjugates, Modulus, and Division (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-CN.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Representar números complejos en el plano complejo en forma rectangular y polar (incluyendo números reales e imaginarios), y explicar por qué las formas rectangular y polar de un número complejo dado representan el mismo número.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Represent complex numbers on the complex plane in rectangular and polar f orm (including real and imaginary numbers), and explain why the rectangular and polar forms of a given complex number represent the same number.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.4

Polar and Rectangular Forms of Complex Numbers (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-CN.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Representar la suma, la resta, la multiplicación y la conjugación de números complejos geométricamente en el plano complejo; usar las propiedades de esta representación para el cálculo. Por ejemplo, (–1 + √3 i)3 = 8 porque (–1 + √3 i) tiene módulo 2 y argumento 120°.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Represent addition, subtraction, multiplication, and conjugation of c omplex numbers geometrically on the complex plane; use properties of this representation for computation. For example, (–1 + √3 i)3 = 8 because (–1 + √3 i) has modulus 2 and argument 120°.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.5
Punto del currículo HSN-CN.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Calcular la distancia entre números en el plano complejo como el módulo de la diferencia, y el punto medio de un segmento como el promedio de los números en sus extremos.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Calculate the distance between numbers in the complex plane as the modulus of the diff erence, and the midpoint of a segment as the average of the numbers at its endpoints.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.6

Complex Conjugates, Modulus, and Division (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Cantidades vectoriales y matriciales

nuestra traducción · texto original (EN): Vector and Matrix Quantities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Vector and Matrix Quantities (HSN-VM)
Punto del currículo HSN-VM.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Representar y modelar con cantidades vectoriales.

nuestra traducción · texto original (EN): Represent and model with vector quantities.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster A
Punto del currículo HSN-VM.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Perform operations on vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster B
Punto del currículo HSN-VM.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Realizar operaciones con matrices y usar matrices en aplicaciones.

nuestra traducción · texto original (EN): Perform operations on matrices and use matrices in applications.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster C
Punto del currículo HSN-VM.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Reconocer que las cantidades vectoriales tienen tanto magnitud como dirección. Representar cantidades vectoriales mediante segmentos de recta dirigidos y usar símbolos apropiados para los vectores y sus magnitudes (p. ej., v, |v|, ||v||, v).

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Recognize vector quantities as having both magnitude and direction. R epresent vector quantities by directed line segments, and use appropriate symbols for vectors and their magnitudes (e.g., v, |v|, ||v||, v).

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.1
Punto del currículo HSN-VM.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Hallar las componentes de un vector restando las coordenadas de un punto inicial de las coordenadas de un punto terminal.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Find the components of a vector by subtracting the coordinates of an initial point fr om the coordinates of a terminal point.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.2

Vector Lengths and Linear Combinations (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Resolver problemas que involucran la velocidad y otras cantidades que se pueden representar mediante vectores.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Solve problems involving velocity and other quantities that can be r epresented by vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.3
Punto del currículo HSN-VM.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Sumar y restar vectores. a. Sumar vectores extremo a extremo, por componentes y mediante la regla del paralelogramo. Comprender que la magnitud de una suma de dos vectores típicamente no es la suma de las magnitudes. b. Dados dos vectores en forma de magnitud y dirección, determinar la magnitud y dirección de su suma. c. Comprender la resta de vectores v – w como v + (–w), donde –w es el inverso aditivo de w, con la misma magnitud que w y apuntando en la dirección opuesta. Representar gráficamente la resta de vectores conectando los extremos en el orden apropiado, y realizar la resta de vectores por componentes.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Add and subtract vectors. a. Add vectors end-to-end, component-wise, and by the parallelogram rule. Understand that the magnitude of a sum of two vectors is typically not the sum of the magnitudes. b. Given two vectors in magnitude and direction form, determine the magnitude and direction of their sum. c. Understand vector subtraction v – w as v + (–w), where –w is the additive inverse of w, with the same magnitude as w and pointing in the opposite direction. Represent vector subtraction graphically by connecting the tips in the appropriate order, and perform vector subtraction component-wise.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.B.4

Vector Lengths and Linear Combinations (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Multiplicar un vector por un escalar. a. Representar gráficamente la multiplicación por un escalar escalando vectores y posiblemente invirtiendo su dirección; realizar la multiplicación por un escalar por componentes, p. ej., como c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Calcular la magnitud de un múltiplo escalar cv usando ||cv|| = |c|v. Calcular la dirección de cv sabiendo que cuando |c|v ≠ 0, la dirección de cv es en el sentido de v (para c > 0) o en sentido opuesto a v (para c < 0).

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Multiply a vector by a scalar. a. Represent scalar multiplication graphically by scaling vectors and possibly reversing their direction; perform scalar multiplication component-wise, e.g., as c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Compute the magnitude of a scalar multiple cv using ||cv|| = |c|v. Compute the direction of cv knowing that when |c|v ≠ 0, the direction of cv is either along v (for c > 0) or against v (for c < 0).

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.B.5

Vector Lengths and Linear Combinations (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM.C.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Usar matrices para representar y manipular datos, p. ej., para representar pagos o relaciones de incidencia en una red.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Use matrices to represent and manipulate data, e.g., to represent payoffs or incidenc e relationships in a network.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.6
Punto del currículo HSN-VM.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Multiplicar matrices por escalares para producir nuevas matrices, p. ej., como cuando se duplican todas las ganancias en un juego.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Multiply matrices by scalars to produce new matrices, e.g., as when all of the pa yoffs in a game are doubled.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.7

Matrix Operations and Multiplying Vectors (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Sumar, restar y multiplicar matrices de dimensiones adecuadas.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Add, subtract, and multiply matrices of appropriate dimensions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.8

Matrix Operations and Multiplying Vectors (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Comprender que, a diferencia de la multiplicación de números, la multiplicación de matrices para matrices cuadradas no es una operación conmutativa, pero aun así satisface las propiedades asociativa y distributiva.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Understand that, unlike multiplication of numbers, matrix multiplication for squar e matrices is not a commutative operation, but still satisfies the associative and distributive properties.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.9

Matrix Operations and Multiplying Vectors (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM.C.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Understand that the zero and identity matrices play a role in matrix addition and multiplica tion similar to the role of 0 and 1 in the real numbers. The determinant of a square matrix is nonzero if and only if the matrix has a multiplicative inverse.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.10

Finding the Determinant and Inverse of a 2×2 Matrix (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM.C.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Multiplicar un vector (considerado como una matriz de una columna) por una matriz de dimensiones adecuadas para producir otro vector. Trabajar con matrices como transformaciones de vectores.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Multiply a vector (regarded as a matrix with one column) by a matrix of suitable dimensions t o produce another vector. Work with matrices as transformations of vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.11

Matrix Operations and Multiplying Vectors (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSN-VM.C.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Trabajar con matrices de 2 × 2 como transformaciones del plano, e interpretar el valor absoluto del determinante en términos de área.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Work with 2 × 2 matrices as transformations of the plane, and interpret the absolut e value of the determinant in terms of area.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.12

Finding the Determinant and Inverse of a 2×2 Matrix (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSA-REI · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Razonamiento con ecuaciones y desigualdades

nuestra traducción · texto original (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)
Punto del currículo HSA-REI.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Resolver sistemas de ecuaciones

nuestra traducción · texto original (EN): Solve systems of equations

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C
Punto del currículo HSA-REI.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Representar un sistema de ecuaciones lineales como una sola ecuación matricial en una variable vectorial.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Represent a system of linear equations as a single matrix equation in a vector variable.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.8

Solving Systems of Equations with Matrices (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSA-REI.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Hallar la inversa de una matriz si existe y usarla para resolver sistemas de ecuaciones lineales (usando tecnología para matrices de dimensión 3 × 3 o mayor).

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Find the inverse of a matrix if it exists and use it to solve systems of linear equations (using technology for matrices of dimension 3 × 3 or greater).

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.9

Solving Systems of Equations with Matrices (en nuestro curso 12) · Finding the Determinant and Inverse of a 2×2 Matrix (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSF-BF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Construcción de funciones

nuestra traducción · texto original (EN): Building Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)
Punto del currículo HSF-BF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes

nuestra traducción · texto original (EN): Build new functions from existing functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B
Punto del currículo HSF-BF.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Comprender la relación inversa entre exponentes y logaritmos y usar esta relación para resolver problemas que involucran logaritmos y exponentes.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Understand the inverse relationship between exponents and logarithms and use this relationship to solve problems involving logarithms and exponents.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.5
Punto del currículo HSF-TF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Funciones trigonométricas

nuestra traducción · texto original (EN): Trigonometric Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Trigonometric Functions (HSF-TF)
Punto del currículo HSF-TF.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Extender el dominio de las funciones trigonométricas utilizando el círculo unitario

nuestra traducción · texto original (EN): Extend the domain of trigonometric functions using the unit circle

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster A
Punto del currículo HSF-TF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Modelar fenómenos periódicos con funciones trigonométricas

nuestra traducción · texto original (EN): Model periodic phenomena with trigonometric functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster B
Punto del currículo HSF-TF.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Usar triángulos especiales para determinar geométricamente los valores de seno, coseno, tangente para π/3, π/4 y π/6, y usar el círculo unitario para expresar los valores de seno, coseno y tangente para π–x, π+x y 2π–x en términos de sus valores para x, donde x es cualquier número real.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Use special triangles to determine geometrically the values of sine, cosine, tangent f or π/3, π/4 and π/6, and use the unit circle to express the values of sine, cosine, and tangent for π–x, π+x, and 2π–x in terms of their values for x, where x is any real number.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.3

Exact Values of Sine, Cosine, and Tangent (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSF-TF.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Usar el círculo unitario para explicar la simetría (impar y par) y la periodicidad de las funciones trigonométricas.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Use the unit circle to explain symmetry (odd and even) and periodicity of trigonometric functions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.4
Punto del currículo HSF-TF.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Comprender que restringir una función trigonométrica a un dominio en el que siempre sea creciente o siempre decreciente permite construir su inversa.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Understand that restricting a trigonometric function to a domain on which it is alw ays increasing or always decreasing allows its inverse to be constructed.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.6
Punto del currículo HSF-TF.B.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Usar funciones inversas para resolver ecuaciones trigonométricas que surgen en contextos de modelado; evaluar las soluciones utilizando tecnología, e interpretarlas en términos del contexto.★

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Use inverse functions to solve trigonometric equations that arise in modeling c ontexts; evaluate the solutions using technology, and interpret them in terms of the context.★

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.7
Punto del currículo HSG-GPE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Expresar propiedades geométricas con ecuaciones

nuestra traducción · texto original (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)
Punto del currículo HSG-GPE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Traducir entre la descripción geométrica y la ecuación de una sección cónica

nuestra traducción · texto original (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A
Punto del currículo HSG-GPE.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Deducir las ecuaciones de elipses e hipérbolas dados los focos, utilizando el hecho de que la suma o la diferencia de las distancias a los focos es constante.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Derive the equations of ellipses and hyperbolas given the foci, using the fact tha t the sum or difference of distances from the foci is constant.

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.3
Punto del currículo HSG-GMD · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Medición geométrica y dimensión

nuestra traducción · texto original (EN): Geometric Measurement and Dimension

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)
Punto del currículo HSG-GMD.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Explicar las fórmulas de volumen y usarlas para resolver problemas

nuestra traducción · texto original (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A
Punto del currículo HSG-GMD.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Dar un argumento informal utilizando el principio de Cavalieri para las fórmulas del volumen de una esfera y otras figuras sólidas.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Give an informal argument using Cavalieri’s principle for the formulas for the v olume of a sphere and other solid figures.

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.2
Punto del currículo HSS-MD · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Uso de la probabilidad para tomar decisiones

nuestra traducción · texto original (EN): Using Probability to Make Decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)
Punto del currículo HSS-MD.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Calcular valores esperados y utilizarlos para resolver problemas

nuestra traducción · texto original (EN): Calculate expected values and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster A
Punto del currículo HSS-MD.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

Usar la probabilidad para evaluar los resultados de decisiones

nuestra traducción · texto original (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B
Punto del currículo HSS-MD.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Definir una variable aleatoria para una cantidad de interés asignando un valor numérico a cada evento en un espacio muestral; graficar la distribución de probabilidad correspondiente utilizando las mismas representaciones gráficas que para las distribuciones de datos.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Define a random variable for a quantity of interest by assigning a numerical value to each event in a sample space; graph the corresponding probability distribution using the same graphical displays as for data distributions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.1
Punto del currículo HSS-MD.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Calcular el valor esperado de una variable aleatoria; interpretarlo como la media de la distribución de probabilidad.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Calculate the expected value of a random variable; interpret it as the mean of the probability distribution.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.2

Finding Expected Value from a Probability Table (en nuestro curso 10-12)
Punto del currículo HSS-MD.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Desarrollar una distribución de probabilidad para una variable aleatoria definida para un espacio muestral en el cual se puedan calcular probabilidades teóricas; hallar el valor esperado. Por ejemplo, hallar la distribución de probabilidad teórica para la cantidad de respuestas correctas obtenidas al adivinar en las cinco preguntas de un examen de opción múltiple donde cada pregunta tiene cuatro opciones, y hallar la calificación esperada bajo diversos esquemas de calificación.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample spac e in which theoretical probabilities can be calculated; find the expected value. For example, find the theoretical probability distribution for the number of correct answers obtained by guessing on all five questions of a multiple-choice test where each question has four choices, and find the expected grade under various grading schemes.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.3

Finding Expected Value from a Probability Table (en nuestro curso 10-12) · Binomial Distributions and Expected Value (en nuestro curso 12)
Punto del currículo HSS-MD.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Desarrollar una distribución de probabilidad para una variable aleatoria definida para un espacio muestral en el que las probabilidades se asignan empíricamente; hallar el valor esperado. Por ejemplo, hallar una distribución de datos actual sobre el número de televisores por hogar en los Estados Unidos y calcular el número esperado de televisores por hogar. ¿Cuántos televisores esperaría encontrar en 100 hogares seleccionados al azar?

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample spac e in which probabilities are assigned empirically; find the expected value. For example, find a current data distribution on the number of TV sets per household in the United States, and calculate the expected number of sets per household. How many TV sets would you expect to find in 100 randomly selected households?

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.4

Finding Expected Value from a Probability Table (en nuestro curso 10-12)
Punto del currículo HSS-MD.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

(+) Ponderar los posibles resultados de una decisión asignando probabilidades a los valores de pago y hallando los valores esperados. a. Hallar el pago esperado para un juego de azar. Por ejemplo, hallar las ganancias esperadas de un boleto de lotería estatal o de un juego en un restaurante de comida rápida. b. Evaluar y comparar estrategias sobre la base de los valores esperados. Por ejemplo, comparar una póliza de seguro de automóvil con deducible alto frente a una con deducible bajo utilizando diversas, pero razonables, probabilidades de tener un accidente menor o mayor.

nuestra traducción · texto original (EN): (+) Weigh the possible outcomes of a decision by assigning probabilities to pa yoff values and finding expected values. a. Find the expected payoff for a game of chance. For example, find the expected winnings from a state lottery ticket or a game at a fast-food restaurant. b. Evaluate and compare strategies on the basis of expected values. For example, compare a high-deductible versus a low-deductible automobile insurance policy using various, but reasonable, chances of having a minor or a major accident.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.5

Finding Expected Value from a Probability Table (en nuestro curso 10-12)

Competencias paso a paso

Complex Conjugates, Modulus, and Division

Students learn to find complex conjugates, calculate modulus and geometric distance, and use conjugates to divide complex numbers.

Punto del currículo HSN-CN.A.3 (+) Hallar el conjugado de un número complejo; usar conjugados para hallar módulos y cocientes de números complejos. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-CN.B.6 (+) Calcular la distancia entre números en el plano complejo como el módulo de la diferencia, y el punto medio de un segmento como el promedio de los números en sus extremos. (nuestra traducción)

At this level, students work with complex numbers written in standard form with real and imaginary parts. They learn to determine the complex conjugate by reversing the sign of the imaginary term, and they use this value to calculate a number's modulus—its absolute value or distance from zero. Students also use conjugates to divide complex numbers, clearing the imaginary unit from the denominator, and find the geometric distance between two points in the complex plane by taking the modulus of their difference.

A frequent stumbling block occurs when finding the conjugate: students often mistakenly change the sign of the real part rather than the imaginary part, converting 3 + 4i into -3 + 4i instead of 3 - 4i. When dividing, students also frequently make sign mistakes when multiplying terms involving the imaginary unit, forgetting that i multiplied by i equals -1.

Practice tasks prompt students to solve direct exercises across four core formats:

Complex conjugate: writing the conjugate for a given complex value.
Modulus of a complex number: computing the absolute value of an expression.
Dividing complex numbers: multiplying numerator and denominator by the conjugate to simplify a fraction into standard form.
Distance in the complex plane: finding the distance between two complex coordinates by calculating the modulus of their difference.

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Tipos de ejercicios: Módulo de un número complejo · Conjugado de un número complejo · Distancia en el plano complejo · División de números complejos

Matrix Operations and Multiplying Vectors

Students learn to scale, add, subtract, and multiply matrices, and multiply matrices by column vectors to model transformations.

Punto del currículo HSN-VM.C.11 (+) Multiplicar un vector (considerado como una matriz de una columna) por una matriz de dimensiones adecuadas para producir otro vector. Trabajar con matrices como transformaciones de vectores. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-VM.C.7 (+) Multiplicar matrices por escalares para producir nuevas matrices, p. ej., como cuando se duplican todas las ganancias en un juego. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-VM.C.8 (+) Sumar, restar y multiplicar matrices de dimensiones adecuadas. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-VM.C.9 (+) Comprender que, a diferencia de la multiplicación de números, la multiplicación de matrices para matrices cuadradas no es una operación conmutativa, pero aun así satisface las propiedades asociativa y distributiva. (nuestra traducción)

Students compute with matrices and vectors of appropriate dimensions. They perform scalar multiplication by scaling every entry, combine matrices through addition and subtraction, and multiply matrices together. They also multiply a matrix by a single-column vector to produce a new vector, while recognizing that matrix multiplication is associative and distributive, but not commutative.

A frequent error occurs during matrix multiplication when students try to multiply corresponding entries directly across, rather than multiplying each row's entries by a column's entries and adding the results. Students also commonly treat matrix multiplication like everyday number multiplication, mistakenly assuming that changing the order of the matrices will yield the exact same answer or failing to check whether the inner dimensions match.

In practice, students solve problems across three specific formats:

Linear combination of matrices, where they multiply matrices by numerical factors and add or subtract the resulting arrays;
Product of matrices, where they check that the column count of the first matrix matches the row count of the second before computing the final entries;
Matrix times vector, where they apply a transformation matrix to a single column vector to produce the resulting output vector.

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Tipos de ejercicios: Combinación de matrices · Matriz por vector · Producto de matrices

Binomial Distributions and Expected Value

Students calculate theoretical probabilities for repeated success-or-failure events and determine the expected value or mean outcome across those trials.

Punto del currículo HSS-MD.A.3 (+) Desarrollar una distribución de probabilidad para una variable aleatoria definida para un espacio muestral en el cual se puedan calcular probabilidades teóricas; hallar el valor esperado. Por ejemplo, hallar la distribución de probabilidad teórica para la cantidad de respuestas correctas obtenidas al adivinar en las cinco preguntas de un examen de opción múltiple donde cada pregunta tiene cuatro opciones, y hallar la calificación esperada bajo diversos esquemas de calificación. (nuestra traducción)

Students learn to model scenarios involving repeated independent events that have two outcomes, known as Bernoulli trials. Using situations like guessing on a five-question multiple-choice test with four options per question, students build probability distributions for the total number of successes and find the expected value under different scoring rules.

A typical error occurs when students calculate the probability of a specific outcome, such as getting two questions right out of five. They often multiply the probabilities of success and failure together but forget to account for the number of different orderings in which those successes can occur, leaving out the combination factor.

In practice, tasks draw from two main templates. In Bernoulli trials, students identify single-trial probabilities and compute the exact likelihood of getting a specific number of successes across repeated trials. In Mean of a binomial distribution, students use the number of trials and success probabilities to calculate the average expected outcome or expected grade over time.

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Tipos de ejercicios: Esperanza de la binomial · Esquema de Bernoulli

Vector Lengths and Linear Combinations

Students learn to find the magnitude of a vector and combine vectors algebraically using scalar multiplication, addition, and subtraction.

Punto del currículo HSN-VM.A.2 (+) Hallar las componentes de un vector restando las coordenadas de un punto inicial de las coordenadas de un punto terminal. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-VM.B.4 (+) Sumar y restar vectores. a. Sumar vectores extremo a extremo, por componentes y mediante la regla del paralelogramo. Comprender que la magnitud de una suma de dos vectores típicamente no es la suma de las magnitudes. b. Dados dos vectores en forma de magnitud y dirección, determinar la magnitud y dirección de su suma. c. Comprender la resta de vectores v – w como v + (–w), donde –w es el inverso aditivo de w, con la misma magnitud que w y apuntando en la dirección opuesta. Representar gráficamente la resta de vectores conectando los extremos en el orden apropiado, y realizar la resta de vectores por componentes. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-VM.B.5 (+) Multiplicar un vector por un escalar. a. Representar gráficamente la multiplicación por un escalar escalando vectores y posiblemente invirtiendo su dirección; realizar la multiplicación por un escalar por componentes, p. ej., como c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Calcular la magnitud de un múltiplo escalar cv usando ||cv|| = |c|v. Calcular la dirección de cv sabiendo que cuando |c|v ≠ 0, la dirección de cv es en el sentido de v (para c > 0) o en sentido opuesto a v (para c < 0). (nuestra traducción)

At this stage, students work with two-dimensional vectors expressed in component form. They compute the length (magnitude) of a vector and create linear combinations by scaling vectors—multiplying components by a scalar factor c to produce (cv_x, cv_y)—and combining them through component-wise addition and subtraction.

A common misconception occurs when finding the magnitude of a combined vector: students often assume the length of a sum is equal to the sum of the individual lengths, which is typically not true. Another frequent mistake involves negative scalars. When multiplying by a negative number, students sometimes drop negative signs during component subtraction or forget that magnitude must remain positive, scaled by the absolute value of the scalar.

Worksheet tasks reinforce these skills through two specific formats:

Length of a vector: Students determine the numerical magnitude from a vector's given coordinate components.
Linear combination of vectors: Students are given two or more vectors and must scale and combine them to find the resulting vector components.

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Tipos de ejercicios: Combinación de vectores · Módulo de un vector

Polar and Rectangular Forms of Complex Numbers

Students learn to find the argument of a complex number and convert between polar and rectangular forms using special angles on the complex plane.

Punto del currículo HSN-CN.B.4 (+) Representar números complejos en el plano complejo en forma rectangular y polar (incluyendo números reales e imaginarios), y explicar por qué las formas rectangular y polar de un número complejo dado representan el mismo número. (nuestra traducción)

At this stage, students learn to represent complex numbers—including real and purely imaginary numbers—on the complex plane in both rectangular and polar forms. They connect coordinates in standard a + bi form with the distance from the origin and the angle of rotation, using special trigonometric angles to find exact values without relying on rounded approximations.

A common mistake occurs when determining the angle, or argument, of a complex number outside the first quadrant. Students often find the correct reference angle using trigonometric ratios but fail to account for negative signs in the real or imaginary parts, placing the resulting angle in the wrong quadrant of the complex plane.

Practice tasks target this skill through two main exercises:

Argument of a complex number: Students identify the exact direction angle for a given complex value plotted on the complex plane.
Polar form to rectangular form: Students use exact values for special angles to convert polar expressions back into standard rectangular coordinates.

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Tipos de ejercicios: Argumento de un número complejo · De forma polar a forma binómica

Finding the Determinant and Inverse of a 2×2 Matrix

Students learn to calculate the determinant of a 2×2 matrix and use it to find the matrix's multiplicative inverse.

Punto del currículo HSA-REI.C.9 (+) Hallar la inversa de una matriz si existe y usarla para resolver sistemas de ecuaciones lineales (usando tecnología para matrices de dimensión 3 × 3 o mayor). (nuestra traducción)
Punto del currículo HSN-VM.C.10 (+) Understand that the zero and identity matrices play a role in matrix addition and multiplica tion similar to the role of 0 and 1 in the real numbers. The determinant of a square matrix is nonzero if and only if the matrix has a multiplicative inverse.
Punto del currículo HSN-VM.C.12 (+) Trabajar con matrices de 2 × 2 como transformaciones del plano, e interpretar el valor absoluto del determinante en términos de área. (nuestra traducción)

Students work by hand with 2×2 square matrices to compute their determinants and determine whether an inverse exists. They learn that a matrix has a multiplicative inverse only when its determinant is not zero. When the determinant is nonzero, students use it alongside the rearranged matrix elements to calculate the exact inverse matrix.

A common error occurs with negative signs when calculating the determinant, where students add the diagonal products instead of subtracting the off-diagonal product from the main diagonal product. Students also frequently misplace signs or swap the wrong pairs of entries when writing out the inverse matrix, or they attempt to calculate an inverse for a matrix whose determinant equals zero.

Practice tasks come in two standard worksheet formats: Determinant of a matrix, where students evaluate the numerical value of a 2×2 grid of numbers, and Inverse matrix, where students first check if an inverse is possible and then write out the resulting inverse matrix.

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Tipos de ejercicios: Determinante de una matriz · Matriz inversa

Finding Expected Value from a Probability Table

Students learn to calculate the expected value of a discrete random variable using a probability table and interpret it as the average outcome over time.

Punto del currículo HSS-MD.A.2 (+) Calcular el valor esperado de una variable aleatoria; interpretarlo como la media de la distribución de probabilidad. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSS-MD.A.3 (+) Desarrollar una distribución de probabilidad para una variable aleatoria definida para un espacio muestral en el cual se puedan calcular probabilidades teóricas; hallar el valor esperado. Por ejemplo, hallar la distribución de probabilidad teórica para la cantidad de respuestas correctas obtenidas al adivinar en las cinco preguntas de un examen de opción múltiple donde cada pregunta tiene cuatro opciones, y hallar la calificación esperada bajo diversos esquemas de calificación. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSS-MD.A.4 (+) Desarrollar una distribución de probabilidad para una variable aleatoria definida para un espacio muestral en el que las probabilidades se asignan empíricamente; hallar el valor esperado. Por ejemplo, hallar una distribución de datos actual sobre el número de televisores por hogar en los Estados Unidos y calcular el número esperado de televisores por hogar. ¿Cuántos televisores esperaría encontrar en 100 hogares seleccionados al azar? (nuestra traducción)
Punto del currículo HSS-MD.B.5 (+) Ponderar los posibles resultados de una decisión asignando probabilidades a los valores de pago y hallando los valores esperados. a. Hallar el pago esperado para un juego de azar. Por ejemplo, hallar las ganancias esperadas de un boleto de lotería estatal o de un juego en un restaurante de comida rápida. b. Evaluar y comparar estrategias sobre la base de los valores esperados. Por ejemplo, comparar una póliza de seguro de automóvil con deducible alto frente a una con deducible bajo utilizando diversas, pero razonables, probabilidades de tener un accidente menor o mayor. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSS-MD.B.6 (+) Usar probabilidades para tomar decisiones justas (por ejemplo, hacer un sorteo, usar un generador de números aleatorios). (nuestra traducción)
Punto del currículo HSS-MD.B.7 (+) Analizar decisiones y estrategias utilizando conceptos de probabilidad (por ejemplo, pruebas de productos, pruebas médicas, retirar al portero de hockey al final de un partido). (nuestra traducción)

In Grade 12, students work with discrete random variables displayed in probability distribution tables. They calculate the expected value by multiplying each possible numerical outcome by its matching probability and adding all the products together. Through this process, they learn to interpret the resulting number as the mean or weighted center of the probability distribution.

A common error occurs when students treat all outcomes equally. Instead of calculating a weighted sum using the given probabilities, they may simply add up the possible outcome values and divide by the number of outcomes, confusing a basic arithmetic mean with expected value. Another frequent slip is accidentally multiplying probabilities by each other rather than pairing each outcome with its corresponding probability.

Worksheet tasks present a completed distribution table showing a row or column of numerical outcomes alongside their respective probabilities as fractions or decimals. Students compute the product for each pair, sum those values, and state the expected value of the random variable.

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Tipos de ejercicios: Esperanza a partir de una tabla · ¿Es justo el juego?

Exact Values of Sine, Cosine, and Tangent

Students find the exact values of sine, cosine, and tangent for key angles like π/6, π/4, and π/3, and use the unit circle to evaluate related angles across different quadrants.

Punto del currículo HSF-TF.A.3 (+) Usar triángulos especiales para determinar geométricamente los valores de seno, coseno, tangente para π/3, π/4 y π/6, y usar el círculo unitario para expresar los valores de seno, coseno y tangente para π–x, π+x y 2π–x en términos de sus valores para x, donde x es cualquier número real. (nuestra traducción)

In Grade 12, students determine the exact values of the sine, cosine, and tangent functions without relying on a calculator. They use special right triangles to find geometric values for benchmark angles—specifically π/6, π/4, and π/3 radians. Students then use the geometry of the unit circle to relate these values to other quadrants, rewriting expressions of the form π – x, π + x, and 2π – x in terms of an angle x.

A frequent stumbling block is getting the positive or negative sign wrong. Students often determine the correct numerical ratio from the reference angle but forget to check which quadrant the full angle lies in, mistakenly writing a positive value for cosine in the second quadrant or for sine in the third quadrant.

Worksheet tasks focusing on the Exact value of a trigonometric function present students with specific expressions such as finding the exact value of cos(5π/6) or tan(4π/3). Students identify the underlying special triangle, apply the reduction formula to locate the angle on the unit circle, and write the final solution as a simplified fraction or radical rather than a rounded decimal.

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Solving Systems of Equations with Matrices

Students learn to write linear systems as matrix equations and solve them using matrix inverses, using technology for systems of size 3 × 3 or larger.

Punto del currículo HSA-REI.C.8 (+) Representar un sistema de ecuaciones lineales como una sola ecuación matricial en una variable vectorial. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSA-REI.C.9 (+) Hallar la inversa de una matriz si existe y usarla para resolver sistemas de ecuaciones lineales (usando tecnología para matrices de dimensión 3 × 3 o mayor). (nuestra traducción)

Students learn to rewrite a system of linear equations as a single matrix equation in the form Ax = b, where A is the coefficient matrix and x is the variable vector. They determine whether the coefficient matrix has an inverse and multiply by that inverse to solve for the unknown values. While students can compute inverses for simple systems by hand, they use technology to find inverses and solve systems with matrices of dimension 3 × 3 or greater.

A common error involves the order of matrix multiplication. Because matrix multiplication is not commutative, multiplying the constants by the inverse in the wrong order—calculating bA^-1 instead of A^-1b—leads to dimension mismatches or incorrect answers. Students also frequently overlook missing variables in an equation, forgetting to insert a 0 into the coefficient matrix for that position.

In practice, tasks like Solving a system with a matrix present students with two or more equations. Students first organize the equations into matrix form, find the inverse of the coefficient matrix either algebraically or using a graphing calculator, and then multiply to find the exact coordinates or variable values that satisfy the entire system.

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Valor exacto de una función trigonométrica

Solving Systems of Equations with Matrices

Sistema en forma matricial

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