Lehrplan (Vereinigte Staaten)

Mathematik — Klasse 12

Mathematik der 12. Klasse nach den Common Core State Standards, üblicherweise Precalculus: komplexe Zahlen in Polarform, Vektoren, Matrizen und Gleichungssysteme, trigonometrische Werte, Erwartungswert und Binomialwahrscheinlichkeit. Zu jedem Thema gibt es druckbare Arbeitsblätter.

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Was lernen Schüler in der 12. Klasse in Mathematik?

In der 12. Klasse stellen die Schülerinnen und Schüler komplexe Zahlen in Polarform dar, bestimmen deren Betrag und konjugiert komplexe Zahl, addieren und skalieren Vektoren, berechnen Skalarprodukte und multiplizieren sowie invertieren 2×2-Matrizen, um Gleichungssysteme zu lösen. Sie ermitteln exakte trigonometrische Werte und berechnen Erwartungswerte sowie Binomialwahrscheinlichkeiten. Die meisten davon sind (+)-Standards für Schülerinnen und Schüler auf dem Weg zur Analysis.

Über die Standards: Die High-School-Standards des Common Core sind nach konzeptionellen Kategorien gegliedert (Zahlen und Größen, Algebra, Funktionen, Geometrie, Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung), nicht nach Klassenstufen. Die Zuordnung eines Themas zu einer Klassenstufe ist unsere Entscheidung und folgt der üblichen Kursabfolge von Algebra I, Geometrie, Algebra II und Precalculus. Mit (+) gekennzeichnete Standards gehen über den Kernbereich für Studien- und Berufsbefähigung hinaus.

Seitenstatus: Die Themen dieser Klassenstufe stehen als einfache Übungen (Aufgabenstellung und Formel) bereit; Aufgaben mit Diagrammen und Textaufgaben werden als Nächstes ergänzt.

Lehrplanumfang

Lehrplanpunkt HSN-CN · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Das System der komplexen Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): The Complex Number System

CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Complex Number System (HSN-CN)
Lehrplanpunkt HSN-CN.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Arithmetische Operationen mit komplexen Zahlen durchführen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Perform arithmetic operations with complex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster A
Lehrplanpunkt HSN-CN.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Komplexe Zahlen und ihre Operationen in der komplexen Zahlenebene darstellen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Represent complex numbers and their operations on the complex plane.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster B
Lehrplanpunkt HSN-CN.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Find the conjugate of a complex number; use conjugates to find moduli and quotients of c omplex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.3

Complex Conjugates, Modulus, and Division (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-CN.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Komplexe Zahlen in der komplexen Zahlenebene in kartesischer Form und Polarform darstellen (einschließlich reeller und imaginärer Zahlen) und erklären, warum die kartesische Form und die Polarform einer gegebenen komplexen Zahl dieselbe Zahl darstellen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Represent complex numbers on the complex plane in rectangular and polar f orm (including real and imaginary numbers), and explain why the rectangular and polar forms of a given complex number represent the same number.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.4

Polar and Rectangular Forms of Complex Numbers (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-CN.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Addition, Subtraktion, Multiplikation und Konjugation komplexer Zahlen geometrisch in der komplexen Zahlenebene darstellen; Eigenschaften dieser Darstellung für Berechnungen nutzen. Zum Beispiel ist (–1 + √3 i)3 = 8, weil (–1 + √3 i) den Betrag 2 und das Argument 120° hat.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Represent addition, subtraction, multiplication, and conjugation of c omplex numbers geometrically on the complex plane; use properties of this representation for computation. For example, (–1 + √3 i)3 = 8 because (–1 + √3 i) has modulus 2 and argument 120°.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.5
Lehrplanpunkt HSN-CN.B.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Den Abstand zwischen Zahlen in der komplexen Zahlenebene als Betrag der Differenz und den Mittelpunkt einer Strecke als Mittelwert der Zahlen an ihren Endpunkten berechnen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Calculate the distance between numbers in the complex plane as the modulus of the diff erence, and the midpoint of a segment as the average of the numbers at its endpoints.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.6

Complex Conjugates, Modulus, and Division (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Vektor- und Matrixgrößen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Vector and Matrix Quantities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Vector and Matrix Quantities (HSN-VM)
Lehrplanpunkt HSN-VM.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Mit vektoriellen Größen darstellen und modellieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Represent and model with vector quantities.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster A
Lehrplanpunkt HSN-VM.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Perform operations on vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster B
Lehrplanpunkt HSN-VM.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Operationen mit Matrizen durchführen und Matrizen in Anwendungen verwenden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Perform operations on matrices and use matrices in applications.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster C
Lehrplanpunkt HSN-VM.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Vektorielle Größen als Größen erkennen, die sowohl einen Betrag als auch eine Richtung haben. Vektorielle Größen durch gerichtete Strecken darstellen und geeignete Symbole für Vektoren und ihre Beträge verwenden (z. B. v, |v|, ||v||, v).

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Recognize vector quantities as having both magnitude and direction. R epresent vector quantities by directed line segments, and use appropriate symbols for vectors and their magnitudes (e.g., v, |v|, ||v||, v).

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.1
Lehrplanpunkt HSN-VM.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Die Komponenten eines Vektors durch Subtrahieren der Koordinaten eines Anfangspunkts von den Koordinaten eines Endpunkts bestimmen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Find the components of a vector by subtracting the coordinates of an initial point fr om the coordinates of a terminal point.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.2

Vector Lengths and Linear Combinations (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Probleme lösen, die Geschwindigkeit und andere Größen beinhalten, die durch Vektoren dargestellt werden können.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Solve problems involving velocity and other quantities that can be r epresented by vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.3
Lehrplanpunkt HSN-VM.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Vektoren addieren und subtrahieren. a. Vektoren aneinanderhängend, komponentenweise und nach der Parallelogrammregel addieren. Verstehen, dass der Betrag einer Summe zweier Vektoren typischerweise nicht die Summe der Beträge ist. b. Sind zwei Vektoren in Form von Betrag und Richtung gegeben, den Betrag und die Richtung ihrer Summe bestimmen. c. Die Vektorsubtraktion v – w als v + (–w) verstehen, wobei –w das additive Inverse von w ist, mit demselben Betrag wie w und in die entgegengesetzte Richtung zeigend. Die Vektorsubtraktion grafisch darstellen, indem die Spitzen in der entsprechenden Reihenfolge verbunden werden, und die Vektorsubtraktion komponentenweise durchführen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Add and subtract vectors. a. Add vectors end-to-end, component-wise, and by the parallelogram rule. Understand that the magnitude of a sum of two vectors is typically not the sum of the magnitudes. b. Given two vectors in magnitude and direction form, determine the magnitude and direction of their sum. c. Understand vector subtraction v – w as v + (–w), where –w is the additive inverse of w, with the same magnitude as w and pointing in the opposite direction. Represent vector subtraction graphically by connecting the tips in the appropriate order, and perform vector subtraction component-wise.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.B.4

Vector Lengths and Linear Combinations (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren. a. Die Skalarmultiplikation grafisch durch Skalieren von Vektoren und gegebenenfalls Umkehren ihrer Richtung darstellen; die Skalarmultiplikation komponentenweise durchführen, z. B. als c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Den Betrag eines skalaren Vielfachen cv unter Verwendung von ||cv|| = |c|v berechnen. Die Richtung von cv berechnen in dem Wissen, dass wenn |c|v ≠ 0, die Richtung von cv entweder entlang v (für c > 0) oder gegen v (für c < 0) verläuft.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Multiply a vector by a scalar. a. Represent scalar multiplication graphically by scaling vectors and possibly reversing their direction; perform scalar multiplication component-wise, e.g., as c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Compute the magnitude of a scalar multiple cv using ||cv|| = |c|v. Compute the direction of cv knowing that when |c|v ≠ 0, the direction of cv is either along v (for c > 0) or against v (for c < 0).

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.B.5

Vector Lengths and Linear Combinations (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Matrizen verwenden, um Daten darzustellen und zu manipulieren, z. B. um Auszahlungen oder Inzidenzbeziehungen in einem Netzwerk darzustellen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Use matrices to represent and manipulate data, e.g., to represent payoffs or incidenc e relationships in a network.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.6
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Matrizen mit Skalaren multiplizieren, um neue Matrizen zu erzeugen, z. B. wenn alle Auszahlungen in einem Spiel verdoppelt werden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Multiply matrices by scalars to produce new matrices, e.g., as when all of the pa yoffs in a game are doubled.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.7

Matrix Operations and Multiplying Vectors (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Matrizen geeigneter Dimensionen addieren, subtrahieren und multiplizieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Add, subtract, and multiply matrices of appropriate dimensions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.8

Matrix Operations and Multiplying Vectors (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Verstehen, dass die Matrizenmultiplikation für quadratische Matrizen im Gegensatz zur Multiplikation von Zahlen keine kommutative Operation ist, aber dennoch die Assoziativ- und Distributiveigenschaften erfüllt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Understand that, unlike multiplication of numbers, matrix multiplication for squar e matrices is not a commutative operation, but still satisfies the associative and distributive properties.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.9

Matrix Operations and Multiplying Vectors (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Understand that the zero and identity matrices play a role in matrix addition and multiplica tion similar to the role of 0 and 1 in the real numbers. The determinant of a square matrix is nonzero if and only if the matrix has a multiplicative inverse.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.10

Finding the Determinant and Inverse of a 2×2 Matrix (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Einen Vektor (aufgefasst als Matrix mit einer Spalte) mit einer Matrix geeigneter Dimensionen multiplizieren, um einen weiteren Vektor zu erzeugen. Mit Matrizen als Transformationen von Vektoren arbeiten.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Multiply a vector (regarded as a matrix with one column) by a matrix of suitable dimensions t o produce another vector. Work with matrices as transformations of vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.11

Matrix Operations and Multiplying Vectors (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Mit 2 × 2-Matrizen als Transformationen der Ebene arbeiten und den Betrag der Determinante als Flächeninhalt interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Work with 2 × 2 matrices as transformations of the plane, and interpret the absolut e value of the determinant in terms of area.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.12

Finding the Determinant and Inverse of a 2×2 Matrix (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSA-REI · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Argumentieren mit Gleichungen und Ungleichungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)
Lehrplanpunkt HSA-REI.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungssysteme lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Solve systems of equations

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C
Lehrplanpunkt HSA-REI.C.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Ein lineares Gleichungssystem als eine einzelne Matrixgleichung in einer Vektorvariablen darstellen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Represent a system of linear equations as a single matrix equation in a vector variable.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.8

Solving Systems of Equations with Matrices (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSA-REI.C.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Die Inverse einer Matrix bestimmen, falls sie existiert, und sie zum Lösen linearer Gleichungssysteme verwenden (unter Verwendung von Technologie für Matrizen der Dimension 3 × 3 oder größer).

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Find the inverse of a matrix if it exists and use it to solve systems of linear equations (using technology for matrices of dimension 3 × 3 or greater).

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.9

Solving Systems of Equations with Matrices (bei uns in Klasse 12) · Finding the Determinant and Inverse of a 2×2 Matrix (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSF-BF · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen bilden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Building Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)
Lehrplanpunkt HSF-BF.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Neue Funktionen aus bestehenden Funktionen bilden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Build new functions from existing functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B
Lehrplanpunkt HSF-BF.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Die Umkehrbeziehung zwischen Exponenten und Logarithmen verstehen und diese Beziehung nutzen, um Probleme mit Logarithmen und Exponenten zu lösen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Understand the inverse relationship between exponents and logarithms and use this relationship to solve problems involving logarithms and exponents.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.5
Lehrplanpunkt HSF-TF · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Trigonometrische Funktionen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Trigonometric Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Trigonometric Functions (HSF-TF)
Lehrplanpunkt HSF-TF.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Definitionsbereich trigonometrischer Funktionen mithilfe des Einheitskreises erweitern

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Extend the domain of trigonometric functions using the unit circle

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster A
Lehrplanpunkt HSF-TF.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Periodische Phänomene mit trigonometrischen Funktionen modellieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Model periodic phenomena with trigonometric functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster B
Lehrplanpunkt HSF-TF.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Besondere Dreiecke verwenden, um die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens für π/3, π/4 und π/6 geometrisch zu bestimmen, und den Einheitskreis verwenden, um die Werte von Sinus, Kosinus und Tangens für π–x, π+x und 2π–x durch ihre Werte für x auszudrücken, wobei x eine beliebige reelle Zahl ist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Use special triangles to determine geometrically the values of sine, cosine, tangent f or π/3, π/4 and π/6, and use the unit circle to express the values of sine, cosine, and tangent for π–x, π+x, and 2π–x in terms of their values for x, where x is any real number.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.3

Exact Values of Sine, Cosine, and Tangent (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSF-TF.A.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Den Einheitskreis nutzen, um die Symmetrie (ungerade und gerade) und Periodizität trigonometrischer Funktionen zu erklären.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Use the unit circle to explain symmetry (odd and even) and periodicity of trigonometric functions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.4
Lehrplanpunkt HSF-TF.B.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Verstehen, dass die Einschränkung einer trigonometrischen Funktion auf einen Definitionsbereich, auf dem sie stets wachsend oder stets fallend ist, die Konstruktion ihrer Umkehrfunktion ermöglicht.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Understand that restricting a trigonometric function to a domain on which it is alw ays increasing or always decreasing allows its inverse to be constructed.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.6
Lehrplanpunkt HSF-TF.B.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Umkehrfunktionen verwenden, um trigonometrische Gleichungen zu lösen, die in Modellierungskontexten auftreten; die Lösungen mithilfe von Technologie auswerten und im Hinblick auf den Kontext interpretieren.★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Use inverse functions to solve trigonometric equations that arise in modeling c ontexts; evaluate the solutions using technology, and interpret them in terms of the context.★

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.7
Lehrplanpunkt HSG-GPE · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geometrische Eigenschaften mit Gleichungen ausdrücken

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)
Lehrplanpunkt HSG-GPE.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Zwischen der geometrischen Beschreibung und der Gleichung eines Kegelschnitts übersetzen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A
Lehrplanpunkt HSG-GPE.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Die Gleichungen von Ellipsen und Hyperbeln bei gegebenen Brennpunkten herleiten unter Verwendung der Tatsache, dass die Summe oder Differenz der Abstände von den Brennpunkten konstant ist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Derive the equations of ellipses and hyperbolas given the foci, using the fact tha t the sum or difference of distances from the foci is constant.

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.3
Lehrplanpunkt HSG-GMD · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geometrisches Messen und Dimension

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Geometric Measurement and Dimension

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)
Lehrplanpunkt HSG-GMD.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Volumenformeln erklären und sie zum Lösen von Problemen verwenden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A
Lehrplanpunkt HSG-GMD.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Eine informelle Begründung unter Verwendung des Prinzips von Cavalieri für die Formeln für das Volumen einer Kugel und anderer Körper angeben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Give an informal argument using Cavalieri’s principle for the formulas for the v olume of a sphere and other solid figures.

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.2
Lehrplanpunkt HSS-MD · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wahrscheinlichkeiten nutzen, um Entscheidungen zu treffen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Using Probability to Make Decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)
Lehrplanpunkt HSS-MD.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Erwartungswerte berechnen und sie zur Lösung von Problemen nutzen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Calculate expected values and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster A
Lehrplanpunkt HSS-MD.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wahrscheinlichkeit nutzen, um Ergebnisse von Entscheidungen zu bewerten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B
Lehrplanpunkt HSS-MD.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Eine Zufallsvariable für eine interessierende Größe definieren, indem jedem Ereignis in einem Ergebnisraum ein numerischer Wert zugeordnet wird; die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung unter Verwendung derselben grafischen Darstellungen wie für Datenverteilungen grafisch darstellen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Define a random variable for a quantity of interest by assigning a numerical value to each event in a sample space; graph the corresponding probability distribution using the same graphical displays as for data distributions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.1
Lehrplanpunkt HSS-MD.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Den Erwartungswert einer Zufallsvariablen berechnen; ihn als Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Calculate the expected value of a random variable; interpret it as the mean of the probability distribution.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.2

Finding Expected Value from a Probability Table (bei uns in Klasse 10-12)
Lehrplanpunkt HSS-MD.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable entwickeln, die für einen Ergebnisraum definiert ist, in dem theoretische Wahrscheinlichkeiten berechnet werden können; den Erwartungswert ermitteln. Zum Beispiel die theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der richtigen Antworten ermitteln, die durch Raten bei allen fünf Fragen eines Multiple-Choice-Tests erzielt werden, bei dem jede Frage vier Auswahlmöglichkeiten hat, und die erwartete Note unter verschiedenen Bewertungsschemata ermitteln.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample spac e in which theoretical probabilities can be calculated; find the expected value. For example, find the theoretical probability distribution for the number of correct answers obtained by guessing on all five questions of a multiple-choice test where each question has four choices, and find the expected grade under various grading schemes.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.3

Finding Expected Value from a Probability Table (bei uns in Klasse 10-12) · Binomial Distributions and Expected Value (bei uns in Klasse 12)
Lehrplanpunkt HSS-MD.A.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable entwickeln, die für einen Ergebnisraum definiert ist, in dem Wahrscheinlichkeiten empirisch zugeordnet werden; den Erwartungswert bestimmen. Zum Beispiel eine aktuelle Datenverteilung über die Anzahl der Fernsehgeräte pro Haushalt in den Vereinigten Staaten ermitteln und die erwartete Anzahl an Geräten pro Haushalt berechnen. Wie viele Fernsehgeräte würde man in 100 zufällig ausgewählten Haushalten erwarten?

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample spac e in which probabilities are assigned empirically; find the expected value. For example, find a current data distribution on the number of TV sets per household in the United States, and calculate the expected number of sets per household. How many TV sets would you expect to find in 100 randomly selected households?

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.4

Finding Expected Value from a Probability Table (bei uns in Klasse 10-12)
Lehrplanpunkt HSS-MD.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Die möglichen Ergebnisse einer Entscheidung abwägen, indem Auszahlungswerten Wahrscheinlichkeiten zugeordnet und Erwartungswerte bestimmt werden. a. Die erwartete Auszahlung für ein Glücksspiel bestimmen. Zum Beispiel den erwarteten Gewinn aus einem staatlichen Lotterielos oder einem Spiel in einem Fast-Food-Restaurant bestimmen. b. Strategien auf der Grundlage von Erwartungswerten bewerten und vergleichen. Zum Beispiel eine Kfz-Versicherung mit hoher Selbstbeteiligung mit einer mit geringer Selbstbeteiligung anhand verschiedener, aber realistischer Wahrscheinlichkeiten für einen leichten oder schweren Unfall vergleichen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Weigh the possible outcomes of a decision by assigning probabilities to pa yoff values and finding expected values. a. Find the expected payoff for a game of chance. For example, find the expected winnings from a state lottery ticket or a game at a fast-food restaurant. b. Evaluate and compare strategies on the basis of expected values. For example, compare a high-deductible versus a low-deductible automobile insurance policy using various, but reasonable, chances of having a minor or a major accident.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.5

Finding Expected Value from a Probability Table (bei uns in Klasse 10-12)

Kompetenzen Schritt für Schritt

Complex Conjugates, Modulus, and Division

Students learn to find complex conjugates, calculate modulus and geometric distance, and use conjugates to divide complex numbers.

Lehrplanpunkt HSN-CN.A.3 (+) Find the conjugate of a complex number; use conjugates to find moduli and quotients of c omplex numbers.
Lehrplanpunkt HSN-CN.B.6 (+) Den Abstand zwischen Zahlen in der komplexen Zahlenebene als Betrag der Differenz und den Mittelpunkt einer Strecke als Mittelwert der Zahlen an ihren Endpunkten berechnen. (unsere Übersetzung)

At this level, students work with complex numbers written in standard form with real and imaginary parts. They learn to determine the complex conjugate by reversing the sign of the imaginary term, and they use this value to calculate a number's modulus—its absolute value or distance from zero. Students also use conjugates to divide complex numbers, clearing the imaginary unit from the denominator, and find the geometric distance between two points in the complex plane by taking the modulus of their difference.

A frequent stumbling block occurs when finding the conjugate: students often mistakenly change the sign of the real part rather than the imaginary part, converting 3 + 4i into -3 + 4i instead of 3 - 4i. When dividing, students also frequently make sign mistakes when multiplying terms involving the imaginary unit, forgetting that i multiplied by i equals -1.

Practice tasks prompt students to solve direct exercises across four core formats:

Complex conjugate: writing the conjugate for a given complex value.
Modulus of a complex number: computing the absolute value of an expression.
Dividing complex numbers: multiplying numerator and denominator by the conjugate to simplify a fraction into standard form.
Distance in the complex plane: finding the distance between two complex coordinates by calculating the modulus of their difference.

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Aufgabentypen: Betrag einer komplexen Zahl · Abstand in der komplexen Ebene · Konjugiert komplexe Zahl · Division komplexer Zahlen

Matrix Operations and Multiplying Vectors

Students learn to scale, add, subtract, and multiply matrices, and multiply matrices by column vectors to model transformations.

Lehrplanpunkt HSN-VM.C.11 (+) Einen Vektor (aufgefasst als Matrix mit einer Spalte) mit einer Matrix geeigneter Dimensionen multiplizieren, um einen weiteren Vektor zu erzeugen. Mit Matrizen als Transformationen von Vektoren arbeiten. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.7 (+) Matrizen mit Skalaren multiplizieren, um neue Matrizen zu erzeugen, z. B. wenn alle Auszahlungen in einem Spiel verdoppelt werden. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.8 (+) Matrizen geeigneter Dimensionen addieren, subtrahieren und multiplizieren. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.9 (+) Verstehen, dass die Matrizenmultiplikation für quadratische Matrizen im Gegensatz zur Multiplikation von Zahlen keine kommutative Operation ist, aber dennoch die Assoziativ- und Distributiveigenschaften erfüllt. (unsere Übersetzung)

Students compute with matrices and vectors of appropriate dimensions. They perform scalar multiplication by scaling every entry, combine matrices through addition and subtraction, and multiply matrices together. They also multiply a matrix by a single-column vector to produce a new vector, while recognizing that matrix multiplication is associative and distributive, but not commutative.

A frequent error occurs during matrix multiplication when students try to multiply corresponding entries directly across, rather than multiplying each row's entries by a column's entries and adding the results. Students also commonly treat matrix multiplication like everyday number multiplication, mistakenly assuming that changing the order of the matrices will yield the exact same answer or failing to check whether the inner dimensions match.

In practice, students solve problems across three specific formats:

Linear combination of matrices, where they multiply matrices by numerical factors and add or subtract the resulting arrays;
Product of matrices, where they check that the column count of the first matrix matches the row count of the second before computing the final entries;
Matrix times vector, where they apply a transformation matrix to a single column vector to produce the resulting output vector.

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Aufgabentypen: Linearkombination von Matrizen · Matrix mal Vektor · Produkt von Matrizen

Binomial Distributions and Expected Value

Students calculate theoretical probabilities for repeated success-or-failure events and determine the expected value or mean outcome across those trials.

Lehrplanpunkt HSS-MD.A.3 (+) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable entwickeln, die für einen Ergebnisraum definiert ist, in dem theoretische Wahrscheinlichkeiten berechnet werden können; den Erwartungswert ermitteln. Zum Beispiel die theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der richtigen Antworten ermitteln, die durch Raten bei allen fünf Fragen eines Multiple-Choice-Tests erzielt werden, bei dem jede Frage vier Auswahlmöglichkeiten hat, und die erwartete Note unter verschiedenen Bewertungsschemata ermitteln. (unsere Übersetzung)

Students learn to model scenarios involving repeated independent events that have two outcomes, known as Bernoulli trials. Using situations like guessing on a five-question multiple-choice test with four options per question, students build probability distributions for the total number of successes and find the expected value under different scoring rules.

A typical error occurs when students calculate the probability of a specific outcome, such as getting two questions right out of five. They often multiply the probabilities of success and failure together but forget to account for the number of different orderings in which those successes can occur, leaving out the combination factor.

In practice, tasks draw from two main templates. In Bernoulli trials, students identify single-trial probabilities and compute the exact likelihood of getting a specific number of successes across repeated trials. In Mean of a binomial distribution, students use the number of trials and success probabilities to calculate the average expected outcome or expected grade over time.

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Aufgabentypen: Erwartungswert der Binomialverteilung · Bernoulli-Kette

Vector Lengths and Linear Combinations

Students learn to find the magnitude of a vector and combine vectors algebraically using scalar multiplication, addition, and subtraction.

Lehrplanpunkt HSN-VM.A.2 (+) Die Komponenten eines Vektors durch Subtrahieren der Koordinaten eines Anfangspunkts von den Koordinaten eines Endpunkts bestimmen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSN-VM.B.4 (+) Vektoren addieren und subtrahieren. a. Vektoren aneinanderhängend, komponentenweise und nach der Parallelogrammregel addieren. Verstehen, dass der Betrag einer Summe zweier Vektoren typischerweise nicht die Summe der Beträge ist. b. Sind zwei Vektoren in Form von Betrag und Richtung gegeben, den Betrag und die Richtung ihrer Summe bestimmen. c. Die Vektorsubtraktion v – w als v + (–w) verstehen, wobei –w das additive Inverse von w ist, mit demselben Betrag wie w und in die entgegengesetzte Richtung zeigend. Die Vektorsubtraktion grafisch darstellen, indem die Spitzen in der entsprechenden Reihenfolge verbunden werden, und die Vektorsubtraktion komponentenweise durchführen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSN-VM.B.5 (+) Einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren. a. Die Skalarmultiplikation grafisch durch Skalieren von Vektoren und gegebenenfalls Umkehren ihrer Richtung darstellen; die Skalarmultiplikation komponentenweise durchführen, z. B. als c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Den Betrag eines skalaren Vielfachen cv unter Verwendung von ||cv|| = |c|v berechnen. Die Richtung von cv berechnen in dem Wissen, dass wenn |c|v ≠ 0, die Richtung von cv entweder entlang v (für c > 0) oder gegen v (für c < 0) verläuft. (unsere Übersetzung)

At this stage, students work with two-dimensional vectors expressed in component form. They compute the length (magnitude) of a vector and create linear combinations by scaling vectors—multiplying components by a scalar factor c to produce (cv_x, cv_y)—and combining them through component-wise addition and subtraction.

A common misconception occurs when finding the magnitude of a combined vector: students often assume the length of a sum is equal to the sum of the individual lengths, which is typically not true. Another frequent mistake involves negative scalars. When multiplying by a negative number, students sometimes drop negative signs during component subtraction or forget that magnitude must remain positive, scaled by the absolute value of the scalar.

Worksheet tasks reinforce these skills through two specific formats:

Length of a vector: Students determine the numerical magnitude from a vector's given coordinate components.
Linear combination of vectors: Students are given two or more vectors and must scale and combine them to find the resulting vector components.

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Aufgabentypen: Linearkombination von Vektoren · Länge eines Vektors

Polar and Rectangular Forms of Complex Numbers

Students learn to find the argument of a complex number and convert between polar and rectangular forms using special angles on the complex plane.

Lehrplanpunkt HSN-CN.B.4 (+) Komplexe Zahlen in der komplexen Zahlenebene in kartesischer Form und Polarform darstellen (einschließlich reeller und imaginärer Zahlen) und erklären, warum die kartesische Form und die Polarform einer gegebenen komplexen Zahl dieselbe Zahl darstellen. (unsere Übersetzung)

At this stage, students learn to represent complex numbers—including real and purely imaginary numbers—on the complex plane in both rectangular and polar forms. They connect coordinates in standard a + bi form with the distance from the origin and the angle of rotation, using special trigonometric angles to find exact values without relying on rounded approximations.

A common mistake occurs when determining the angle, or argument, of a complex number outside the first quadrant. Students often find the correct reference angle using trigonometric ratios but fail to account for negative signs in the real or imaginary parts, placing the resulting angle in the wrong quadrant of the complex plane.

Practice tasks target this skill through two main exercises:

Argument of a complex number: Students identify the exact direction angle for a given complex value plotted on the complex plane.
Polar form to rectangular form: Students use exact values for special angles to convert polar expressions back into standard rectangular coordinates.

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Aufgabentypen: Argument einer komplexen Zahl · Polarform in Normalform

Finding the Determinant and Inverse of a 2×2 Matrix

Students learn to calculate the determinant of a 2×2 matrix and use it to find the matrix's multiplicative inverse.

Lehrplanpunkt HSA-REI.C.9 (+) Die Inverse einer Matrix bestimmen, falls sie existiert, und sie zum Lösen linearer Gleichungssysteme verwenden (unter Verwendung von Technologie für Matrizen der Dimension 3 × 3 oder größer). (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.10 (+) Understand that the zero and identity matrices play a role in matrix addition and multiplica tion similar to the role of 0 and 1 in the real numbers. The determinant of a square matrix is nonzero if and only if the matrix has a multiplicative inverse.
Lehrplanpunkt HSN-VM.C.12 (+) Mit 2 × 2-Matrizen als Transformationen der Ebene arbeiten und den Betrag der Determinante als Flächeninhalt interpretieren. (unsere Übersetzung)

Students work by hand with 2×2 square matrices to compute their determinants and determine whether an inverse exists. They learn that a matrix has a multiplicative inverse only when its determinant is not zero. When the determinant is nonzero, students use it alongside the rearranged matrix elements to calculate the exact inverse matrix.

A common error occurs with negative signs when calculating the determinant, where students add the diagonal products instead of subtracting the off-diagonal product from the main diagonal product. Students also frequently misplace signs or swap the wrong pairs of entries when writing out the inverse matrix, or they attempt to calculate an inverse for a matrix whose determinant equals zero.

Practice tasks come in two standard worksheet formats: Determinant of a matrix, where students evaluate the numerical value of a 2×2 grid of numbers, and Inverse matrix, where students first check if an inverse is possible and then write out the resulting inverse matrix.

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Aufgabentypen: Determinante einer Matrix · Inverse Matrix

Finding Expected Value from a Probability Table

Students learn to calculate the expected value of a discrete random variable using a probability table and interpret it as the average outcome over time.

Lehrplanpunkt HSS-MD.A.2 (+) Den Erwartungswert einer Zufallsvariablen berechnen; ihn als Mittelwert der Wahrscheinlichkeitsverteilung interpretieren. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSS-MD.A.3 (+) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable entwickeln, die für einen Ergebnisraum definiert ist, in dem theoretische Wahrscheinlichkeiten berechnet werden können; den Erwartungswert ermitteln. Zum Beispiel die theoretische Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Anzahl der richtigen Antworten ermitteln, die durch Raten bei allen fünf Fragen eines Multiple-Choice-Tests erzielt werden, bei dem jede Frage vier Auswahlmöglichkeiten hat, und die erwartete Note unter verschiedenen Bewertungsschemata ermitteln. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSS-MD.A.4 (+) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Zufallsvariable entwickeln, die für einen Ergebnisraum definiert ist, in dem Wahrscheinlichkeiten empirisch zugeordnet werden; den Erwartungswert bestimmen. Zum Beispiel eine aktuelle Datenverteilung über die Anzahl der Fernsehgeräte pro Haushalt in den Vereinigten Staaten ermitteln und die erwartete Anzahl an Geräten pro Haushalt berechnen. Wie viele Fernsehgeräte würde man in 100 zufällig ausgewählten Haushalten erwarten? (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSS-MD.B.5 (+) Die möglichen Ergebnisse einer Entscheidung abwägen, indem Auszahlungswerten Wahrscheinlichkeiten zugeordnet und Erwartungswerte bestimmt werden. a. Die erwartete Auszahlung für ein Glücksspiel bestimmen. Zum Beispiel den erwarteten Gewinn aus einem staatlichen Lotterielos oder einem Spiel in einem Fast-Food-Restaurant bestimmen. b. Strategien auf der Grundlage von Erwartungswerten bewerten und vergleichen. Zum Beispiel eine Kfz-Versicherung mit hoher Selbstbeteiligung mit einer mit geringer Selbstbeteiligung anhand verschiedener, aber realistischer Wahrscheinlichkeiten für einen leichten oder schweren Unfall vergleichen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSS-MD.B.6 (+) Wahrscheinlichkeiten nutzen, um faire Entscheidungen zu treffen (z. B. Auslosen, Verwenden eines Zufallszahlengenerators). (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSS-MD.B.7 (+) Entscheidungen und Strategien unter Verwendung von Wahrscheinlichkeitskonzepten analysieren (z. B. Produkttests, medizinische Tests, das Herausnehmen des Eishockeytorwarts am Ende eines Spiels). (unsere Übersetzung)

In Grade 12, students work with discrete random variables displayed in probability distribution tables. They calculate the expected value by multiplying each possible numerical outcome by its matching probability and adding all the products together. Through this process, they learn to interpret the resulting number as the mean or weighted center of the probability distribution.

A common error occurs when students treat all outcomes equally. Instead of calculating a weighted sum using the given probabilities, they may simply add up the possible outcome values and divide by the number of outcomes, confusing a basic arithmetic mean with expected value. Another frequent slip is accidentally multiplying probabilities by each other rather than pairing each outcome with its corresponding probability.

Worksheet tasks present a completed distribution table showing a row or column of numerical outcomes alongside their respective probabilities as fractions or decimals. Students compute the product for each pair, sum those values, and state the expected value of the random variable.

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Aufgabentypen: Erwartungswert aus einer Verteilungstabelle · Ist das Spiel fair?

Exact Values of Sine, Cosine, and Tangent

Students find the exact values of sine, cosine, and tangent for key angles like π/6, π/4, and π/3, and use the unit circle to evaluate related angles across different quadrants.

Lehrplanpunkt HSF-TF.A.3 (+) Besondere Dreiecke verwenden, um die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens für π/3, π/4 und π/6 geometrisch zu bestimmen, und den Einheitskreis verwenden, um die Werte von Sinus, Kosinus und Tangens für π–x, π+x und 2π–x durch ihre Werte für x auszudrücken, wobei x eine beliebige reelle Zahl ist. (unsere Übersetzung)

In Grade 12, students determine the exact values of the sine, cosine, and tangent functions without relying on a calculator. They use special right triangles to find geometric values for benchmark angles—specifically π/6, π/4, and π/3 radians. Students then use the geometry of the unit circle to relate these values to other quadrants, rewriting expressions of the form π – x, π + x, and 2π – x in terms of an angle x.

A frequent stumbling block is getting the positive or negative sign wrong. Students often determine the correct numerical ratio from the reference angle but forget to check which quadrant the full angle lies in, mistakenly writing a positive value for cosine in the second quadrant or for sine in the third quadrant.

Worksheet tasks focusing on the Exact value of a trigonometric function present students with specific expressions such as finding the exact value of cos(5π/6) or tan(4π/3). Students identify the underlying special triangle, apply the reduction formula to locate the angle on the unit circle, and write the final solution as a simplified fraction or radical rather than a rounded decimal.

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Solving Systems of Equations with Matrices

Students learn to write linear systems as matrix equations and solve them using matrix inverses, using technology for systems of size 3 × 3 or larger.

Lehrplanpunkt HSA-REI.C.8 (+) Ein lineares Gleichungssystem als eine einzelne Matrixgleichung in einer Vektorvariablen darstellen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSA-REI.C.9 (+) Die Inverse einer Matrix bestimmen, falls sie existiert, und sie zum Lösen linearer Gleichungssysteme verwenden (unter Verwendung von Technologie für Matrizen der Dimension 3 × 3 oder größer). (unsere Übersetzung)

Students learn to rewrite a system of linear equations as a single matrix equation in the form Ax = b, where A is the coefficient matrix and x is the variable vector. They determine whether the coefficient matrix has an inverse and multiply by that inverse to solve for the unknown values. While students can compute inverses for simple systems by hand, they use technology to find inverses and solve systems with matrices of dimension 3 × 3 or greater.

A common error involves the order of matrix multiplication. Because matrix multiplication is not commutative, multiplying the constants by the inverse in the wrong order—calculating bA^-1 instead of A^-1b—leads to dimension mismatches or incorrect answers. Students also frequently overlook missing variables in an equation, forgetting to insert a 0 into the coefficient matrix for that position.

In practice, tasks like Solving a system with a matrix present students with two or more equations. Students first organize the equations into matrix form, find the inverse of the coefficient matrix either algebraically or using a graphing calculator, and then multiply to find the exact coordinates or variable values that satisfy the entire system.

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Exakter Wert einer Winkelfunktion

Solving Systems of Equations with Matrices

Gleichungssystem in Matrixform

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