Programma scolastico (Stati Uniti)

Matematica — classe 12ª

Matematica per il 12° anno secondo i Common Core State Standards, solitamente Precalcolo: numeri complessi in forma polare, vettori, matrici e sistemi di equazioni, valori trigonometrici, valore atteso e probabilità binomiale. Ogni argomento include schede didattiche stampabili.

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Cosa imparano gli studenti in matematica al 12° anno?

Nel 12° anno gli studenti scrivono numeri complessi in forma polare e ne determinano il modulo e il coniugato, sommano e scalano vettori e calcolano prodotti scalari, e moltiplicano e invertono matrici 2×2 per risolvere sistemi di equazioni. Determinano valori trigonometrici esatti e calcolano valori attesi e probabilità binomiali. La maggior parte di questi sono standard (+) rivolti agli studenti indirizzati allo studio del calcolo infinitesimale.

Informazioni sugli standard: gli standard Common Core per la scuola superiore sono organizzati per categoria concettuale (Numero e Quantità, Algebra, Funzioni, Geometria, Statistica e Probabilità), non per anno di corso. L'assegnazione di un argomento a un determinato anno è una nostra scelta, che segue la consueta sequenza didattica di Algebra I, Geometria, Algebra II e Precalcolo. Gli standard contrassegnati con (+) vanno oltre il nucleo fondamentale di preparazione per l'università e il lavoro.

Stato della pagina: gli argomenti di questo anno scolastico sono disponibili come esercizi semplici (istruzioni e formule); i problemi con diagrammi e i problemi applicativi saranno aggiunti a breve.

Ambito del programma

Punto del programma HSN-CN · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Il sistema dei numeri complessi

nostra traduzione · testo originale (EN): The Complex Number System

CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Complex Number System (HSN-CN)
Punto del programma HSN-CN.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Eseguire operazioni aritmetiche con i numeri complessi.

nostra traduzione · testo originale (EN): Perform arithmetic operations with complex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster A
Punto del programma HSN-CN.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Rappresentare i numeri complessi e le loro operazioni nel piano complesso.

nostra traduzione · testo originale (EN): Represent complex numbers and their operations on the complex plane.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, cluster B
Punto del programma HSN-CN.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Find the conjugate of a complex number; use conjugates to find moduli and quotients of c omplex numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.A.3

Complex Conjugates, Modulus, and Division (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-CN.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Rappresentare i numeri complessi sul piano complesso in forma rettangolare e polare (inclusi i numeri reali e immaginari) e spiegare perché le forme rettangolare e polare di un dato numero complesso rappresentano lo stesso numero.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Represent complex numbers on the complex plane in rectangular and polar f orm (including real and imaginary numbers), and explain why the rectangular and polar forms of a given complex number represent the same number.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.4

Polar and Rectangular Forms of Complex Numbers (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-CN.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Rappresentare geometricamente sul piano complesso l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione e la coniugazione dei numeri complessi; usare le proprietà di questa rappresentazione per il calcolo. Ad esempio, (–1 + √3 i)3 = 8 perché (–1 + √3 i) ha modulo 2 e argomento 120°.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Represent addition, subtraction, multiplication, and conjugation of c omplex numbers geometrically on the complex plane; use properties of this representation for computation. For example, (–1 + √3 i)3 = 8 because (–1 + √3 i) has modulus 2 and argument 120°.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.5
Punto del programma HSN-CN.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Calcolare la distanza tra numeri nel piano complesso come modulo della differenza, e il punto medio di un segmento come media dei numeri ai suoi estremi.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Calculate the distance between numbers in the complex plane as the modulus of the diff erence, and the midpoint of a segment as the average of the numbers at its endpoints.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Complex Number System, standard HSN-CN.B.6

Complex Conjugates, Modulus, and Division (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Quantità vettoriali e matriciali

nostra traduzione · testo originale (EN): Vector and Matrix Quantities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Vector and Matrix Quantities (HSN-VM)
Punto del programma HSN-VM.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Rappresentare e modellizzare con grandezze vettoriali.

nostra traduzione · testo originale (EN): Represent and model with vector quantities.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster A
Punto del programma HSN-VM.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Perform operations on vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster B
Punto del programma HSN-VM.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Eseguire operazioni sulle matrici e utilizzare le matrici nelle applicazioni.

nostra traduzione · testo originale (EN): Perform operations on matrices and use matrices in applications.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, cluster C
Punto del programma HSN-VM.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Riconoscere che le grandezze vettoriali hanno sia modulo sia direzione. Rappresentare le grandezze vettoriali mediante segmenti orientati e utilizzare simboli appropriati per i vettori e i loro moduli (ad es. v, |v|, ||v||, v).

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Recognize vector quantities as having both magnitude and direction. R epresent vector quantities by directed line segments, and use appropriate symbols for vectors and their magnitudes (e.g., v, |v|, ||v||, v).

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.1
Punto del programma HSN-VM.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Trovare le componenti di un vettore sottraendo le coordinate di un punto iniziale dalle coordinate di un punto terminale.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Find the components of a vector by subtracting the coordinates of an initial point fr om the coordinates of a terminal point.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.2

Vector Lengths and Linear Combinations (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Risolvere problemi che coinvolgono la velocità e altre grandezze che possono essere rappresentate da vettori.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Solve problems involving velocity and other quantities that can be r epresented by vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.A.3
Punto del programma HSN-VM.B.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Sommare e sottrarre vettori. a. Sommare vettori con il metodo punta-coda, per componenti e con la regola del parallelogramma. Comprendere che il modulo della somma di due vettori in genere non è la somma dei moduli. b. Dati due vettori in forma di modulo e direzione, determinare il modulo e la direzione della loro somma. c. Comprendere la sottrazione di vettori v – w come v + (–w), dove –w è l'inverso additivo di w, con lo stesso modulo di w e che punta nella direzione opposta. Rappresentare graficamente la sottrazione di vettori collegando le punte nell'ordine appropriato ed eseguire la sottrazione di vettori per componenti.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Add and subtract vectors. a. Add vectors end-to-end, component-wise, and by the parallelogram rule. Understand that the magnitude of a sum of two vectors is typically not the sum of the magnitudes. b. Given two vectors in magnitude and direction form, determine the magnitude and direction of their sum. c. Understand vector subtraction v – w as v + (–w), where –w is the additive inverse of w, with the same magnitude as w and pointing in the opposite direction. Represent vector subtraction graphically by connecting the tips in the appropriate order, and perform vector subtraction component-wise.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.B.4

Vector Lengths and Linear Combinations (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Moltiplicare un vettore per uno scalare. a. Rappresentare graficamente la moltiplicazione per uno scalare scalando i vettori ed eventualmente invertendone la direzione; eseguire la moltiplicazione per uno scalare componente per componente, ad es. come c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Calcolare il modulo di un multiplo scalare cv utilizzando ||cv|| = |c|v. Calcolare la direzione di cv sapendo che quando |c|v ≠ 0, la direzione di cv è o lungo v (per c > 0) o contraria a v (per c < 0).

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Multiply a vector by a scalar. a. Represent scalar multiplication graphically by scaling vectors and possibly reversing their direction; perform scalar multiplication component-wise, e.g., as c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Compute the magnitude of a scalar multiple cv using ||cv|| = |c|v. Compute the direction of cv knowing that when |c|v ≠ 0, the direction of cv is either along v (for c > 0) or against v (for c < 0).

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.B.5

Vector Lengths and Linear Combinations (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM.C.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Utilizzare le matrici per rappresentare e manipolare dati, ad es. per rappresentare payoff o relazioni di incidenza in una rete.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Use matrices to represent and manipulate data, e.g., to represent payoffs or incidenc e relationships in a network.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.6
Punto del programma HSN-VM.C.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Moltiplicare matrici per scalari per produrre nuove matrici, ad es., come quando tutti i payoff in un gioco vengono raddoppiati.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Multiply matrices by scalars to produce new matrices, e.g., as when all of the pa yoffs in a game are doubled.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.7

Matrix Operations and Multiplying Vectors (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM.C.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Addizionare, sottrarre e moltiplicare matrici di dimensioni appropriate.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Add, subtract, and multiply matrices of appropriate dimensions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.8

Matrix Operations and Multiplying Vectors (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM.C.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Comprendere che, a differenza della moltiplicazione di numeri, la moltiplicazione tra matrici per matrici quadrate non è un'operazione commutativa, ma soddisfa comunque le proprietà associativa e distributiva.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Understand that, unlike multiplication of numbers, matrix multiplication for squar e matrices is not a commutative operation, but still satisfies the associative and distributive properties.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.9

Matrix Operations and Multiplying Vectors (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM.C.10 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Understand that the zero and identity matrices play a role in matrix addition and multiplica tion similar to the role of 0 and 1 in the real numbers. The determinant of a square matrix is nonzero if and only if the matrix has a multiplicative inverse.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.10

Finding the Determinant and Inverse of a 2×2 Matrix (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM.C.11 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Moltiplicare un vettore (considerato come una matrice con una colonna) per una matrice di dimensioni opportune per produrre un altro vettore. Lavorare con le matrici come trasformazioni di vettori.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Multiply a vector (regarded as a matrix with one column) by a matrix of suitable dimensions t o produce another vector. Work with matrices as transformations of vectors.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.11

Matrix Operations and Multiplying Vectors (da noi in classe 12)
Punto del programma HSN-VM.C.12 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Lavorare con matrici 2 × 2 come trasformazioni del piano, e interpretare il valore assoluto del determinante in termini di area.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Work with 2 × 2 matrices as transformations of the plane, and interpret the absolut e value of the determinant in terms of area.

CCSS Mathematics (2010), High School, Vector and Matrix Quantities, standard HSN-VM.C.12

Finding the Determinant and Inverse of a 2×2 Matrix (da noi in classe 12)
Punto del programma HSA-REI · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Ragionamento con equazioni e disequazioni

nostra traduzione · testo originale (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)
Punto del programma HSA-REI.C · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Risolvere sistemi di equazioni

nostra traduzione · testo originale (EN): Solve systems of equations

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C
Punto del programma HSA-REI.C.8 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Rappresentare un sistema di equazioni lineari come una singola equazione matriciale in una variabile vettoriale.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Represent a system of linear equations as a single matrix equation in a vector variable.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.8

Solving Systems of Equations with Matrices (da noi in classe 12)
Punto del programma HSA-REI.C.9 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Trovare l'inversa di una matrice se esiste e utilizzarla per risolvere sistemi di equazioni lineari (utilizzando la tecnologia per matrici di dimensione 3 × 3 o superiore).

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Find the inverse of a matrix if it exists and use it to solve systems of linear equations (using technology for matrices of dimension 3 × 3 or greater).

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.9

Solving Systems of Equations with Matrices (da noi in classe 12) · Finding the Determinant and Inverse of a 2×2 Matrix (da noi in classe 12)
Punto del programma HSF-BF · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Costruire funzioni

nostra traduzione · testo originale (EN): Building Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)
Punto del programma HSF-BF.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Costruire nuove funzioni a partire da funzioni esistenti

nostra traduzione · testo originale (EN): Build new functions from existing functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B
Punto del programma HSF-BF.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Comprendere la relazione inversa tra esponenti e logaritmi e utilizzare questa relazione per risolvere problemi che coinvolgono logaritmi ed esponenti.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Understand the inverse relationship between exponents and logarithms and use this relationship to solve problems involving logarithms and exponents.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.5
Punto del programma HSF-TF · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Funzioni trigonometriche

nostra traduzione · testo originale (EN): Trigonometric Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Trigonometric Functions (HSF-TF)
Punto del programma HSF-TF.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Estendere il dominio delle funzioni trigonometriche utilizzando la circonferenza goniometrica

nostra traduzione · testo originale (EN): Extend the domain of trigonometric functions using the unit circle

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster A
Punto del programma HSF-TF.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Modellizzare fenomeni periodici con funzioni trigonometriche

nostra traduzione · testo originale (EN): Model periodic phenomena with trigonometric functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, cluster B
Punto del programma HSF-TF.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Utilizzare triangoli speciali per determinare geometricamente i valori di seno, coseno, tangente per π/3, π/4 e π/6, e utilizzare la circonferenza goniometrica per esprimere i valori di seno, coseno e tangente per π–x, π+x e 2π–x in termini dei loro valori per x, dove x è un qualsiasi numero reale.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Use special triangles to determine geometrically the values of sine, cosine, tangent f or π/3, π/4 and π/6, and use the unit circle to express the values of sine, cosine, and tangent for π–x, π+x, and 2π–x in terms of their values for x, where x is any real number.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.3

Exact Values of Sine, Cosine, and Tangent (da noi in classe 12)
Punto del programma HSF-TF.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Utilizzare la circonferenza goniometrica per spiegare la simmetria (pari e dispari) e la periodicità delle funzioni trigonometriche.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Use the unit circle to explain symmetry (odd and even) and periodicity of trigonometric functions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.A.4
Punto del programma HSF-TF.B.6 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Comprendere che restringere una funzione trigonometrica a un dominio in cui è sempre crescente o sempre decrescente permette di costruirne l'inversa.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Understand that restricting a trigonometric function to a domain on which it is alw ays increasing or always decreasing allows its inverse to be constructed.

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.6
Punto del programma HSF-TF.B.7 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Utilizzare le funzioni inverse per risolvere equazioni trigonometriche che si presentano in contesti di modellizzazione; valutare le soluzioni mediante la tecnologia e interpretarle in termini del contesto.★

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Use inverse functions to solve trigonometric equations that arise in modeling c ontexts; evaluate the solutions using technology, and interpret them in terms of the context.★

CCSS Mathematics (2010), High School, Trigonometric Functions, standard HSF-TF.B.7
Punto del programma HSG-GPE · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Esprimere proprietà geometriche con equazioni

nostra traduzione · testo originale (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)
Punto del programma HSG-GPE.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Tradurre tra la descrizione geometrica e l'equazione di una sezione conica

nostra traduzione · testo originale (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A
Punto del programma HSG-GPE.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Ricavare le equazioni di ellissi e iperboli dati i fuochi, utilizzando il fatto che la somma o la differenza delle distanze dai fuochi è costante.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Derive the equations of ellipses and hyperbolas given the foci, using the fact tha t the sum or difference of distances from the foci is constant.

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.3
Punto del programma HSG-GMD · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Misura geometrica e dimensione

nostra traduzione · testo originale (EN): Geometric Measurement and Dimension

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)
Punto del programma HSG-GMD.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Spiegare le formule del volume e utilizzarle per risolvere problemi

nostra traduzione · testo originale (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A
Punto del programma HSG-GMD.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Fornire un'argomentazione informale utilizzando il principio di Cavalieri per le formule del volume di una sfera e di altre figure solide.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Give an informal argument using Cavalieri’s principle for the formulas for the v olume of a sphere and other solid figures.

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.2
Punto del programma HSS-MD · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare la probabilità per prendere decisioni

nostra traduzione · testo originale (EN): Using Probability to Make Decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)
Punto del programma HSS-MD.A · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Calcolare valori attesi e utilizzarli per risolvere problemi

nostra traduzione · testo originale (EN): Calculate expected values and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster A
Punto del programma HSS-MD.B · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

Utilizzare la probabilità per valutare gli esiti delle decisioni

nostra traduzione · testo originale (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B
Punto del programma HSS-MD.A.1 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Definire una variabile aleatoria per una quantità di interesse assegnando un valore numerico a ciascun evento in uno spazio campionario; rappresentare graficamente la corrispondente distribuzione di probabilità utilizzando le stesse rappresentazioni grafiche usate per le distribuzioni di dati.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Define a random variable for a quantity of interest by assigning a numerical value to each event in a sample space; graph the corresponding probability distribution using the same graphical displays as for data distributions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.1
Punto del programma HSS-MD.A.2 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Calcolare il valore atteso di una variabile casuale; interpretarlo come la media della distribuzione di probabilità.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Calculate the expected value of a random variable; interpret it as the mean of the probability distribution.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.2

Finding Expected Value from a Probability Table (da noi in classe 10-12)
Punto del programma HSS-MD.A.3 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Sviluppare una distribuzione di probabilità per una variabile aleatoria definita per uno spazio campionario in cui è possibile calcolare le probabilità teoriche; trovare il valore atteso. Per esempio, trovare la distribuzione di probabilità teorica per il numero di risposte corrette ottenute tirando a indovinare su tutte e cinque le domande di un test a risposta multipla in cui ogni domanda ha quattro opzioni, e trovare il voto atteso in base a diversi schemi di valutazione.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample spac e in which theoretical probabilities can be calculated; find the expected value. For example, find the theoretical probability distribution for the number of correct answers obtained by guessing on all five questions of a multiple-choice test where each question has four choices, and find the expected grade under various grading schemes.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.3

Finding Expected Value from a Probability Table (da noi in classe 10-12) · Binomial Distributions and Expected Value (da noi in classe 12)
Punto del programma HSS-MD.A.4 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Sviluppare una distribuzione di probabilità per una variabile casuale definita per uno spazio campionario in cui le probabilità sono assegnate empiricamente; trovare il valore atteso. Per esempio, trovare una distribuzione attuale di dati sul numero di apparecchi televisivi per nucleo familiare negli Stati Uniti e calcolare il numero atteso di apparecchi per nucleo familiare. Quanti apparecchi televisivi ci si aspetterebbe di trovare in 100 nuclei familiari selezionati casualmente?

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Develop a probability distribution for a random variable defined for a sample spac e in which probabilities are assigned empirically; find the expected value. For example, find a current data distribution on the number of TV sets per household in the United States, and calculate the expected number of sets per household. How many TV sets would you expect to find in 100 randomly selected households?

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.A.4

Finding Expected Value from a Probability Table (da noi in classe 10-12)
Punto del programma HSS-MD.B.5 · Contenuti di insegnamento · verificato con il testo ufficiale

(+) Ponderare i possibili esiti di una decisione assegnando probabilità ai valori di payoff e calcolando i valori attesi. a. Calcolare il payoff atteso per un gioco d'azzardo. Per esempio, calcolare la vincita attesa da un biglietto della lotteria statale o da un gioco in un fast-food. b. Valutare e confrontare strategie sulla base dei valori attesi. Per esempio, confrontare una polizza assicurativa per autoveicoli ad alta franchigia rispetto a una a bassa franchigia utilizzando probabilità diverse, ma ragionevoli, di avere un incidente lieve o grave.

nostra traduzione · testo originale (EN): (+) Weigh the possible outcomes of a decision by assigning probabilities to pa yoff values and finding expected values. a. Find the expected payoff for a game of chance. For example, find the expected winnings from a state lottery ticket or a game at a fast-food restaurant. b. Evaluate and compare strategies on the basis of expected values. For example, compare a high-deductible versus a low-deductible automobile insurance policy using various, but reasonable, chances of having a minor or a major accident.

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.5

Finding Expected Value from a Probability Table (da noi in classe 10-12)

Competenze passo dopo passo

Complex Conjugates, Modulus, and Division

Students learn to find complex conjugates, calculate modulus and geometric distance, and use conjugates to divide complex numbers.

Punto del programma HSN-CN.A.3 (+) Find the conjugate of a complex number; use conjugates to find moduli and quotients of c omplex numbers.
Punto del programma HSN-CN.B.6 (+) Calcolare la distanza tra numeri nel piano complesso come modulo della differenza, e il punto medio di un segmento come media dei numeri ai suoi estremi. (nostra traduzione)

At this level, students work with complex numbers written in standard form with real and imaginary parts. They learn to determine the complex conjugate by reversing the sign of the imaginary term, and they use this value to calculate a number's modulus—its absolute value or distance from zero. Students also use conjugates to divide complex numbers, clearing the imaginary unit from the denominator, and find the geometric distance between two points in the complex plane by taking the modulus of their difference.

A frequent stumbling block occurs when finding the conjugate: students often mistakenly change the sign of the real part rather than the imaginary part, converting 3 + 4i into -3 + 4i instead of 3 - 4i. When dividing, students also frequently make sign mistakes when multiplying terms involving the imaginary unit, forgetting that i multiplied by i equals -1.

Practice tasks prompt students to solve direct exercises across four core formats:

Complex conjugate: writing the conjugate for a given complex value.
Modulus of a complex number: computing the absolute value of an expression.
Dividing complex numbers: multiplying numerator and denominator by the conjugate to simplify a fraction into standard form.
Distance in the complex plane: finding the distance between two complex coordinates by calculating the modulus of their difference.

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Tipi di esercizi: Modulo di un numero complesso · Coniugato di un numero complesso · Distanza nel piano complesso · Divisione di numeri complessi

Matrix Operations and Multiplying Vectors

Students learn to scale, add, subtract, and multiply matrices, and multiply matrices by column vectors to model transformations.

Punto del programma HSN-VM.C.11 (+) Moltiplicare un vettore (considerato come una matrice con una colonna) per una matrice di dimensioni opportune per produrre un altro vettore. Lavorare con le matrici come trasformazioni di vettori. (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-VM.C.7 (+) Moltiplicare matrici per scalari per produrre nuove matrici, ad es., come quando tutti i payoff in un gioco vengono raddoppiati. (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-VM.C.8 (+) Addizionare, sottrarre e moltiplicare matrici di dimensioni appropriate. (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-VM.C.9 (+) Comprendere che, a differenza della moltiplicazione di numeri, la moltiplicazione tra matrici per matrici quadrate non è un'operazione commutativa, ma soddisfa comunque le proprietà associativa e distributiva. (nostra traduzione)

Students compute with matrices and vectors of appropriate dimensions. They perform scalar multiplication by scaling every entry, combine matrices through addition and subtraction, and multiply matrices together. They also multiply a matrix by a single-column vector to produce a new vector, while recognizing that matrix multiplication is associative and distributive, but not commutative.

A frequent error occurs during matrix multiplication when students try to multiply corresponding entries directly across, rather than multiplying each row's entries by a column's entries and adding the results. Students also commonly treat matrix multiplication like everyday number multiplication, mistakenly assuming that changing the order of the matrices will yield the exact same answer or failing to check whether the inner dimensions match.

In practice, students solve problems across three specific formats:

Linear combination of matrices, where they multiply matrices by numerical factors and add or subtract the resulting arrays;
Product of matrices, where they check that the column count of the first matrix matches the row count of the second before computing the final entries;
Matrix times vector, where they apply a transformation matrix to a single column vector to produce the resulting output vector.

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Tipi di esercizi: Combinazione di matrici · Matrice per vettore · Prodotto di matrici

Binomial Distributions and Expected Value

Students calculate theoretical probabilities for repeated success-or-failure events and determine the expected value or mean outcome across those trials.

Punto del programma HSS-MD.A.3 (+) Sviluppare una distribuzione di probabilità per una variabile aleatoria definita per uno spazio campionario in cui è possibile calcolare le probabilità teoriche; trovare il valore atteso. Per esempio, trovare la distribuzione di probabilità teorica per il numero di risposte corrette ottenute tirando a indovinare su tutte e cinque le domande di un test a risposta multipla in cui ogni domanda ha quattro opzioni, e trovare il voto atteso in base a diversi schemi di valutazione. (nostra traduzione)

Students learn to model scenarios involving repeated independent events that have two outcomes, known as Bernoulli trials. Using situations like guessing on a five-question multiple-choice test with four options per question, students build probability distributions for the total number of successes and find the expected value under different scoring rules.

A typical error occurs when students calculate the probability of a specific outcome, such as getting two questions right out of five. They often multiply the probabilities of success and failure together but forget to account for the number of different orderings in which those successes can occur, leaving out the combination factor.

In practice, tasks draw from two main templates. In Bernoulli trials, students identify single-trial probabilities and compute the exact likelihood of getting a specific number of successes across repeated trials. In Mean of a binomial distribution, students use the number of trials and success probabilities to calculate the average expected outcome or expected grade over time.

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Tipi di esercizi: Valore atteso della binomiale · Schema di Bernoulli

Vector Lengths and Linear Combinations

Students learn to find the magnitude of a vector and combine vectors algebraically using scalar multiplication, addition, and subtraction.

Punto del programma HSN-VM.A.2 (+) Trovare le componenti di un vettore sottraendo le coordinate di un punto iniziale dalle coordinate di un punto terminale. (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-VM.B.4 (+) Sommare e sottrarre vettori. a. Sommare vettori con il metodo punta-coda, per componenti e con la regola del parallelogramma. Comprendere che il modulo della somma di due vettori in genere non è la somma dei moduli. b. Dati due vettori in forma di modulo e direzione, determinare il modulo e la direzione della loro somma. c. Comprendere la sottrazione di vettori v – w come v + (–w), dove –w è l'inverso additivo di w, con lo stesso modulo di w e che punta nella direzione opposta. Rappresentare graficamente la sottrazione di vettori collegando le punte nell'ordine appropriato ed eseguire la sottrazione di vettori per componenti. (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-VM.B.5 (+) Moltiplicare un vettore per uno scalare. a. Rappresentare graficamente la moltiplicazione per uno scalare scalando i vettori ed eventualmente invertendone la direzione; eseguire la moltiplicazione per uno scalare componente per componente, ad es. come c(vx, vy) = (cvx, cvy). b. Calcolare il modulo di un multiplo scalare cv utilizzando ||cv|| = |c|v. Calcolare la direzione di cv sapendo che quando |c|v ≠ 0, la direzione di cv è o lungo v (per c > 0) o contraria a v (per c < 0). (nostra traduzione)

At this stage, students work with two-dimensional vectors expressed in component form. They compute the length (magnitude) of a vector and create linear combinations by scaling vectors—multiplying components by a scalar factor c to produce (cv_x, cv_y)—and combining them through component-wise addition and subtraction.

A common misconception occurs when finding the magnitude of a combined vector: students often assume the length of a sum is equal to the sum of the individual lengths, which is typically not true. Another frequent mistake involves negative scalars. When multiplying by a negative number, students sometimes drop negative signs during component subtraction or forget that magnitude must remain positive, scaled by the absolute value of the scalar.

Worksheet tasks reinforce these skills through two specific formats:

Length of a vector: Students determine the numerical magnitude from a vector's given coordinate components.
Linear combination of vectors: Students are given two or more vectors and must scale and combine them to find the resulting vector components.

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Tipi di esercizi: Combinazione di vettori · Modulo di un vettore

Polar and Rectangular Forms of Complex Numbers

Students learn to find the argument of a complex number and convert between polar and rectangular forms using special angles on the complex plane.

Punto del programma HSN-CN.B.4 (+) Rappresentare i numeri complessi sul piano complesso in forma rettangolare e polare (inclusi i numeri reali e immaginari) e spiegare perché le forme rettangolare e polare di un dato numero complesso rappresentano lo stesso numero. (nostra traduzione)

At this stage, students learn to represent complex numbers—including real and purely imaginary numbers—on the complex plane in both rectangular and polar forms. They connect coordinates in standard a + bi form with the distance from the origin and the angle of rotation, using special trigonometric angles to find exact values without relying on rounded approximations.

A common mistake occurs when determining the angle, or argument, of a complex number outside the first quadrant. Students often find the correct reference angle using trigonometric ratios but fail to account for negative signs in the real or imaginary parts, placing the resulting angle in the wrong quadrant of the complex plane.

Practice tasks target this skill through two main exercises:

Argument of a complex number: Students identify the exact direction angle for a given complex value plotted on the complex plane.
Polar form to rectangular form: Students use exact values for special angles to convert polar expressions back into standard rectangular coordinates.

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Tipi di esercizi: Argomento di un numero complesso · Dalla forma trigonometrica alla forma algebrica

Finding the Determinant and Inverse of a 2×2 Matrix

Students learn to calculate the determinant of a 2×2 matrix and use it to find the matrix's multiplicative inverse.

Punto del programma HSA-REI.C.9 (+) Trovare l'inversa di una matrice se esiste e utilizzarla per risolvere sistemi di equazioni lineari (utilizzando la tecnologia per matrici di dimensione 3 × 3 o superiore). (nostra traduzione)
Punto del programma HSN-VM.C.10 (+) Understand that the zero and identity matrices play a role in matrix addition and multiplica tion similar to the role of 0 and 1 in the real numbers. The determinant of a square matrix is nonzero if and only if the matrix has a multiplicative inverse.
Punto del programma HSN-VM.C.12 (+) Lavorare con matrici 2 × 2 come trasformazioni del piano, e interpretare il valore assoluto del determinante in termini di area. (nostra traduzione)

Students work by hand with 2×2 square matrices to compute their determinants and determine whether an inverse exists. They learn that a matrix has a multiplicative inverse only when its determinant is not zero. When the determinant is nonzero, students use it alongside the rearranged matrix elements to calculate the exact inverse matrix.

A common error occurs with negative signs when calculating the determinant, where students add the diagonal products instead of subtracting the off-diagonal product from the main diagonal product. Students also frequently misplace signs or swap the wrong pairs of entries when writing out the inverse matrix, or they attempt to calculate an inverse for a matrix whose determinant equals zero.

Practice tasks come in two standard worksheet formats: Determinant of a matrix, where students evaluate the numerical value of a 2×2 grid of numbers, and Inverse matrix, where students first check if an inverse is possible and then write out the resulting inverse matrix.

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Tipi di esercizi: Determinante di una matrice · Matrice inversa

Finding Expected Value from a Probability Table

Students learn to calculate the expected value of a discrete random variable using a probability table and interpret it as the average outcome over time.

Punto del programma HSS-MD.A.2 (+) Calcolare il valore atteso di una variabile casuale; interpretarlo come la media della distribuzione di probabilità. (nostra traduzione)
Punto del programma HSS-MD.A.3 (+) Sviluppare una distribuzione di probabilità per una variabile aleatoria definita per uno spazio campionario in cui è possibile calcolare le probabilità teoriche; trovare il valore atteso. Per esempio, trovare la distribuzione di probabilità teorica per il numero di risposte corrette ottenute tirando a indovinare su tutte e cinque le domande di un test a risposta multipla in cui ogni domanda ha quattro opzioni, e trovare il voto atteso in base a diversi schemi di valutazione. (nostra traduzione)
Punto del programma HSS-MD.A.4 (+) Sviluppare una distribuzione di probabilità per una variabile casuale definita per uno spazio campionario in cui le probabilità sono assegnate empiricamente; trovare il valore atteso. Per esempio, trovare una distribuzione attuale di dati sul numero di apparecchi televisivi per nucleo familiare negli Stati Uniti e calcolare il numero atteso di apparecchi per nucleo familiare. Quanti apparecchi televisivi ci si aspetterebbe di trovare in 100 nuclei familiari selezionati casualmente? (nostra traduzione)
Punto del programma HSS-MD.B.5 (+) Ponderare i possibili esiti di una decisione assegnando probabilità ai valori di payoff e calcolando i valori attesi. a. Calcolare il payoff atteso per un gioco d'azzardo. Per esempio, calcolare la vincita attesa da un biglietto della lotteria statale o da un gioco in un fast-food. b. Valutare e confrontare strategie sulla base dei valori attesi. Per esempio, confrontare una polizza assicurativa per autoveicoli ad alta franchigia rispetto a una a bassa franchigia utilizzando probabilità diverse, ma ragionevoli, di avere un incidente lieve o grave. (nostra traduzione)
Punto del programma HSS-MD.B.6 (+) Utilizzare le probabilità per prendere decisioni eque (ad es., estrazione a sorte, utilizzo di un generatore di numeri casuali). (nostra traduzione)
Punto del programma HSS-MD.B.7 (+) Analizzare decisioni e strategie utilizzando concetti di probabilità (ad es., test di prodotto, test medici, togliere il portiere nell'hockey alla fine di una partita). (nostra traduzione)

In Grade 12, students work with discrete random variables displayed in probability distribution tables. They calculate the expected value by multiplying each possible numerical outcome by its matching probability and adding all the products together. Through this process, they learn to interpret the resulting number as the mean or weighted center of the probability distribution.

A common error occurs when students treat all outcomes equally. Instead of calculating a weighted sum using the given probabilities, they may simply add up the possible outcome values and divide by the number of outcomes, confusing a basic arithmetic mean with expected value. Another frequent slip is accidentally multiplying probabilities by each other rather than pairing each outcome with its corresponding probability.

Worksheet tasks present a completed distribution table showing a row or column of numerical outcomes alongside their respective probabilities as fractions or decimals. Students compute the product for each pair, sum those values, and state the expected value of the random variable.

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Tipi di esercizi: Il gioco è equo? · Valore atteso da una tabella

Exact Values of Sine, Cosine, and Tangent

Students find the exact values of sine, cosine, and tangent for key angles like π/6, π/4, and π/3, and use the unit circle to evaluate related angles across different quadrants.

Punto del programma HSF-TF.A.3 (+) Utilizzare triangoli speciali per determinare geometricamente i valori di seno, coseno, tangente per π/3, π/4 e π/6, e utilizzare la circonferenza goniometrica per esprimere i valori di seno, coseno e tangente per π–x, π+x e 2π–x in termini dei loro valori per x, dove x è un qualsiasi numero reale. (nostra traduzione)

In Grade 12, students determine the exact values of the sine, cosine, and tangent functions without relying on a calculator. They use special right triangles to find geometric values for benchmark angles—specifically π/6, π/4, and π/3 radians. Students then use the geometry of the unit circle to relate these values to other quadrants, rewriting expressions of the form π – x, π + x, and 2π – x in terms of an angle x.

A frequent stumbling block is getting the positive or negative sign wrong. Students often determine the correct numerical ratio from the reference angle but forget to check which quadrant the full angle lies in, mistakenly writing a positive value for cosine in the second quadrant or for sine in the third quadrant.

Worksheet tasks focusing on the Exact value of a trigonometric function present students with specific expressions such as finding the exact value of cos(5π/6) or tan(4π/3). Students identify the underlying special triangle, apply the reduction formula to locate the angle on the unit circle, and write the final solution as a simplified fraction or radical rather than a rounded decimal.

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Solving Systems of Equations with Matrices

Students learn to write linear systems as matrix equations and solve them using matrix inverses, using technology for systems of size 3 × 3 or larger.

Punto del programma HSA-REI.C.8 (+) Rappresentare un sistema di equazioni lineari come una singola equazione matriciale in una variabile vettoriale. (nostra traduzione)
Punto del programma HSA-REI.C.9 (+) Trovare l'inversa di una matrice se esiste e utilizzarla per risolvere sistemi di equazioni lineari (utilizzando la tecnologia per matrici di dimensione 3 × 3 o superiore). (nostra traduzione)

Students learn to rewrite a system of linear equations as a single matrix equation in the form Ax = b, where A is the coefficient matrix and x is the variable vector. They determine whether the coefficient matrix has an inverse and multiply by that inverse to solve for the unknown values. While students can compute inverses for simple systems by hand, they use technology to find inverses and solve systems with matrices of dimension 3 × 3 or greater.

A common error involves the order of matrix multiplication. Because matrix multiplication is not commutative, multiplying the constants by the inverse in the wrong order—calculating bA^-1 instead of A^-1b—leads to dimension mismatches or incorrect answers. Students also frequently overlook missing variables in an equation, forgetting to insert a 0 into the coefficient matrix for that position.

In practice, tasks like Solving a system with a matrix present students with two or more equations. Students first organize the equations into matrix form, find the inverse of the coefficient matrix either algebraically or using a graphing calculator, and then multiply to find the exact coordinates or variable values that satisfy the entire system.

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Valore esatto di una funzione goniometrica

Solving Systems of Equations with Matrices

Sistema in forma matriciale

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