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Programa escolar (Estados Unidos)

Matemáticas — 9.º curso

Matemáticas de 9.º grado según los Estándares Estatales del Núcleo Común, generalmente Álgebra I: ecuaciones lineales, desigualdades y sistemas, funciones lineales y cuadráticas, factorización, exponentes racionales, sucesiones y funciones exponenciales. Cada tema incluye hojas de trabajo imprimibles.

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¿Qué aprenden los estudiantes en matemáticas de noveno grado?

En 9.º grado, los estudiantes resuelven ecuaciones lineales, desigualdades y sistemas, escriben funciones lineales a partir de dos puntos e interpretan la tasa de cambio promedio. Factorizan polinomios, usan productos notables y exponentes racionales, resuelven ecuaciones cuadráticas y trabajan con la forma del vértice de una función cuadrática. Las sucesiones aritméticas y geométricas, las funciones exponenciales, la composición y las funciones inversas completan el año.

Sobre los estándares: los estándares Common Core para la escuela secundaria están organizados por categoría conceptual (Número y cantidad, Álgebra, Funciones, Geometría, Estadística y probabilidad), no por grado. La asignación de un tema a un grado es una decisión propia, siguiendo la secuencia habitual de cursos: Álgebra I, Geometría, Álgebra II y Precálculo. Los estándares marcados con (+) van más allá del núcleo de preparación para la universidad y la carrera profesional.

Estado de la página: los temas de este grado están listos como ejercicios simples (instrucción y fórmula); a continuación se están añadiendo problemas con diagramas y problemas verbales.

Alcance del currículo

  1. Punto del currículo HSN-RN · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    El sistema de los números reales

    nuestra traducción · texto original (EN): The Real Number System

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Real Number System (HSN-RN)

  2. Punto del currículo HSN-RN.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Extender las propiedades de los exponentes a exponentes racionales.

    nuestra traducción · texto original (EN): Extend the properties of exponents to rational exponents.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, cluster A

  3. Punto del currículo HSN-RN.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Use properties of rational and irrational numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, cluster B

  4. Punto del currículo HSN-RN.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar cómo la definición del significado de los exponentes racionales se deriva de extender las propiedades de los exponentes enteros a esos valores, permitiendo una notación para los radicales en términos de exponentes racionales. Por ejemplo, definimos 5 1/3 como la raíz cúbica de 5 porque queremos que se cumpla (51/3)3 = 5(1/3)3, por lo que (51/3)3 debe ser igual a 5.

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain how the definition of the meaning of rational exponents follows from extending the properties of integer exponents to those values, allowing for a notation for radicals in terms of rational exponents. For example, we define 5 1/3 to be the cube root of 5 because we want (51/3)3 = 5(1/3)3 to hold, so (51/3)3 must equal 5.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.A.1

  5. Punto del currículo HSN-RN.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reescribir expresiones que involucran radicales y exponentes racionales utilizando las propiedades de los exponentes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Rewrite expressions involving radicals and rational exponents using the properties of exponents.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.A.2

    Working with Fractional Exponents (en nuestro curso 9)

  6. Punto del currículo HSN-RN.B.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar por qué la suma o el producto de dos números racionales es racional; que la suma de un número racional y un número irracional es irracional; y que el producto de un número racional distinto de cero y un número irracional es irracional.

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain why the sum or product of two rational numbers is rational; that the sum of a rational number and an irrational number is irrational; and that the product of a nonzero rational number and an irrational number is irrational.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.B.3

  7. Punto del currículo HSN-Q · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Cantidades★

    nuestra traducción · texto original (EN): Quantities★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Quantities★ (HSN-Q)

  8. Punto del currículo HSN-Q.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Razonar cuantitativamente y usar unidades para resolver problemas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Reason quantitatively and use units to solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, cluster A

  9. Punto del currículo HSN-Q.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar las unidades como una manera de comprender los problemas y de guiar la solución de problemas de varios pasos; elegir e interpretar unidades de manera coherente en fórmulas; elegir e interpretar la escala y el origen en gráficas y representaciones de datos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use units as a way to understand problems and to guide the solution of multi-step problems; choose and interpret units consistently in formulas; choose and interpret the scale and the origin in graphs and data displays.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.1

  10. Punto del currículo HSN-Q.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Definir cantidades adecuadas para el propósito del modelado descriptivo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Define appropriate quantities for the purpose of descriptive modeling.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.2

  11. Punto del currículo HSN-Q.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Elegir un nivel de exactitud adecuado a las limitaciones de la medición al reportar cantidades.

    nuestra traducción · texto original (EN): Choose a level of accuracy appropriate to limitations on measurement when reporting quantities.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.3

  12. Punto del currículo HSA-SSE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Ver la estructura en las expresiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Seeing Structure in Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)

  13. Punto del currículo HSA-SSE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar la estructura de las expresiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret the structure of expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A

  14. Punto del currículo HSA-SSE.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B

  15. Punto del currículo HSA-SSE.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto.★ a. Interpretar partes de una expresión, tales como términos, factores y coeficientes. b. Interpretar expresiones complicadas al considerar una o más de sus partes como una sola entidad. Por ejemplo, interpretar P(1+r)n como el producto de P y un factor que no depende de P.

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1

  16. Punto del currículo HSA-SSE.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2).

    nuestra traducción · texto original (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

    Multiplying Special Binomial Products (en nuestro curso 9-11) · Factoring Polynomials: Grouping and Cubes (en nuestro curso 9-11)

  17. Punto del currículo HSA-SSE.B.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Elegir y producir una forma equivalente de una expresión para revelar y explicar las propiedades de la cantidad representada por la expresión. ★ a. Factorizar una expresión cuadrática para revelar los ceros de la función que define. b. Completar el cuadrado en una expresión cuadrática para revelar el valor máximo o mínimo de la función que define. c. Usar las propiedades de los exponentes para transformar expresiones de funciones exponenciales. Por ejemplo, la expresión 1.15t se puede reescribir como (1.151/12)12t ≈ 1.01212t para revelar la tasa de interés mensual equivalente aproximada si la tasa anual es del 15%.

    nuestra traducción · texto original (EN): Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. ★ a. Factor a quadratic expression to reveal the zeros of the function it defines. b. Complete the square in a quadratic expression to reveal the maximum or minimum value of the function it defines. c. Use the properties of exponents to transform expressions for exponential functions. For example the expression 1.15t can be rewritten as (1.151/12)12t ≈ 1.01212t to reveal the approximate equivalent monthly interest rate if the annual rate is 15%.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.B.3

  18. Punto del currículo HSA-APR · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Aritmética con polinomios y expresiones racionales

    nuestra traducción · texto original (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)

  19. Punto del currículo HSA-APR.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Realizar operaciones aritméticas con polinomios

    nuestra traducción · texto original (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A

  20. Punto del currículo HSA-APR.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender que los polinomios forman un sistema análogo al de los números enteros, es decir, son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación; sumar, restar y multiplicar polinomios.

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1

  21. Punto del currículo HSA-CED · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones★

    nuestra traducción · texto original (EN): Creating Equations★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)

  22. Punto del currículo HSA-CED.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones que describan números o relaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations that describe numbers or relationships

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A

  23. Punto del currículo HSA-CED.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones y desigualdades en una variable y usarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surgen de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples.

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1

  24. Punto del currículo HSA-CED.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones con dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2

  25. Punto del currículo HSA-CED.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelado. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3

  26. Punto del currículo HSA-CED.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reorganizar fórmulas para destacar una cantidad de interés, utilizando el mismo razonamiento que al resolver ecuaciones. Por ejemplo, reorganizar la ley de Ohm V = IR para destacar la resistencia R.

    nuestra traducción · texto original (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4

  27. Punto del currículo HSA-REI · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Razonamiento con ecuaciones y desigualdades

    nuestra traducción · texto original (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)

  28. Punto del currículo HSA-REI.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la resolución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A

  29. Punto del currículo HSA-REI.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver ecuaciones e inecuaciones con una variable

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve equations and inequalities in one variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster B

  30. Punto del currículo HSA-REI.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver sistemas de ecuaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve systems of equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C

  31. Punto del currículo HSA-REI.D · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D

  32. Punto del currículo HSA-REI.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar cada paso al resolver una ecuación simple como consecuencia de la igualdad de números afirmada en el paso anterior, partiendo de la suposición de que la ecuación original tiene una solución. Construir un argumento viable para justificar un método de solución.

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain each step in solving a simple equation as following from the equality of numbers asserted at the previous step, starting from the assumption that the original equation has a solution. Construct a viable argument to justify a solution method.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.A.1

  33. Punto del currículo HSA-REI.B.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.B.3

    Solving Linear Inequalities in One Variable (en nuestro curso 9) · Equations with No Solution or Infinite Solutions (en nuestro curso 9)

  34. Punto del currículo HSA-REI.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable. a. Usar el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x – p)2 = q que tenga las mismas soluciones. Deducir la fórmula cuadrática a partir de esta forma. b. Resolver ecuaciones cuadráticas por inspección (p. ej., para x2 = 49), extrayendo raíces cuadradas, completando el cuadrado, mediante la fórmula cuadrática y factorizando, según sea adecuado para la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuándo la fórmula cuadrática da soluciones complejas y escribirlas como a ± bi para números reales a y b.

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve quadratic equations in one variable. a. Use the method of completing the square to transform any quadratic equation in x into an equation of the form (x – p)2 = q that has the same solutions. Derive the quadratic formula from this form. b. Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x2 = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi f or real numbers a and b.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.B.4

    Solving Quadratic Equations (en nuestro curso 9)

  35. Punto del currículo HSA-REI.C.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar que, dado un sistema de dos ecuaciones con dos variables, reemplazar una ecuación por la suma de esa ecuación y un múltiplo de la otra produce un sistema con las mismas soluciones.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove that, given a system of two equations in two variables, replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.5

  36. Punto del currículo HSA-REI.C.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma exacta y aproximada (p. ej., con gráficas), centrándose en pares de ecuaciones lineales con dos variables.

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve systems of linear equations exactly and approximately (e.g., with graphs), focusing on pairs of linear equations in two variables.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.6

    Solving Systems of Equations by Elimination (en nuestro curso 9)

  37. Punto del currículo HSA-REI.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver algebraica y gráficamente un sistema simple formado por una ecuación lineal y una ecuación cuadrática en dos variables. Por ejemplo, hallar los puntos de intersección entre la recta y = –3x y el círculo x2 + y2 = 3.

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve a simple system consisting of a linear equation and a quadratic equation in two variables algebraically and graphically. For example, find the points of intersection between the line y = –3x and the circle x2 + y2 = 3.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.7

    Solving Systems of a Line and a Parabola (en nuestro curso 9)

  38. Punto del currículo HSA-REI.D.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender que la gráfica de una ecuación en dos variables es el conjunto de todas sus soluciones representadas en el plano de coordenadas, que a menudo forma una curva (que podría ser una recta).

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.10

  39. Punto del currículo HSA-REI.D.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar por qué las coordenadas x de los puntos donde se intersecan las gráficas de las ecuaciones y = f(x) e y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); hallar las soluciones de forma aproximada, p. ej., usando tecnología para graficar las funciones, hacer tablas de valores o hallar aproximaciones sucesivas. Incluir casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas.★

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11

  40. Punto del currículo HSA-REI.D.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar gráficamente las soluciones de una desigualdad lineal en dos variables como un semiplano (excluyendo la frontera en el caso de una desigualdad estricta), y representar gráficamente el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales en dos variables como la intersección de los semiplanos correspondientes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Graph the solutions to a linear inequality in two variables as a half-plane (excluding the boundary in the case of a strict inequality), and graph the solution set to a system of linear inequalities in two variables as the intersection of the corresponding half-planes.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.12

  41. Punto del currículo HSF-IF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretación de funciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpreting Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)

  42. Punto del currículo HSF-IF.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender el concepto de función y utilizar la notación de funciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand the concept of a function and use function notation

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster A

  43. Punto del currículo HSF-IF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B

  44. Punto del currículo HSF-IF.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Analizar funciones utilizando diferentes representaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Analyze functions using different representations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C

  45. Punto del currículo HSF-IF.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Understand that a function from one set (called the domain) to another set (called the range) assigns to each element of the domain exactly one element of the range. If f is a function and x is an element of its domain, then f(x) denotes the output of f corresponding to the input x. The graph of f is the graph of the equation y = f(x).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.1

  46. Punto del currículo HSF-IF.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar la notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios, e interpretar enunciados que usan la notación de funciones en términos de un contexto.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use function notation, evaluate functions for inputs in their domains, and interpret statements that use function notation in terms of a context.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.2

    Finding the Value of a Quadratic Function (en nuestro curso 9) · Evaluating Linear Functions (en nuestro curso 8)

  47. Punto del currículo HSF-IF.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reconocer que las sucesiones son funciones, a veces definidas recursivamente, cuyo dominio es un subconjunto de los números enteros. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se define recursivamente mediante f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) para n ≥ 1.

    nuestra traducción · texto original (EN): Recognize that sequences are functions, sometimes defined recursively, whose domain is a subset of the integers. For example, the Fibonacci sequence is defined recursively by f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) for n ≥ 1.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.3

    Finding Terms of a Sequence (en nuestro curso 9)

  48. Punto del currículo HSF-IF.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar las características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y trazar gráficas que muestren las características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: intersecciones; intervalos donde la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento en los extremos; y periodicidad .★

    nuestra traducción · texto original (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4

  49. Punto del currículo HSF-IF.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, cuando corresponda, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h(n) da el número de horas-persona que se necesitan para ensamblar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio adecuado para la función. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5

  50. Punto del currículo HSF-IF.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

    Calculating Average Rate of Change (en nuestro curso 9-11)

  51. Punto del currículo HSF-IF.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos simples y utilizando tecnología para casos más complicados. ★ a. Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar las intersecciones, los máximos y los mínimos. b. Graficar funciones de raíz cuadrada, raíz cúbica y definidas por partes, incluidas las funciones escalonadas y las funciones de valor absoluto. c. Graficar funciones polinómicas, identificando los ceros cuando se disponga de factorizaciones adecuadas, y mostrando el comportamiento en los extremos. d. (+) Graficar funciones racionales, identificando los ceros y las asíntotas cuando se disponga de factorizaciones adecuadas, y mostrando el comportamiento en los extremos. e. Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, mostrando las intersecciones y el comportamiento en los extremos, y funciones trigonométricas, mostrando el período, la línea media y la amplitud.

    nuestra traducción · texto original (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7

  52. Punto del currículo HSF-IF.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

    Finding the Vertex and Using Vertex Form (en nuestro curso 9-11)

  53. Punto del currículo HSF-IF.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una forma diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada la gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica de otra, indicar cuál tiene el máximo mayor.

    nuestra traducción · texto original (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9

  54. Punto del currículo HSF-BF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construcción de funciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Building Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)

  55. Punto del currículo HSF-BF.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir una función que modele una relación entre dos cantidades

    nuestra traducción · texto original (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A

  56. Punto del currículo HSF-BF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes

    nuestra traducción · texto original (EN): Build new functions from existing functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B

  57. Punto del currículo HSF-BF.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

    Finding Equations of Lines and Parallel Lines (en nuestro curso 9-11) · Combining Functions Through Composition (en nuestro curso 9-11)

  58. Punto del currículo HSF-BF.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.2

    Finding Terms and Sums of Arithmetic Sequences (en nuestro curso 9) · Finding Terms and Sums of Geometric Sequences (en nuestro curso 9-11)

  59. Punto del currículo HSF-BF.B.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Identificar el efecto en la gráfica al reemplazar f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y de sus expresiones algebraicas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

    Shifting Function Graphs Up, Down, Left, and Right (en nuestro curso 9-11)

  60. Punto del currículo HSF-BF.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Hallar funciones inversas. a. Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tiene una inversa y escribir una expresión para la inversa. Por ejemplo, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) para x ≠ 1. b. (+) Verificar mediante composición que una función es la inversa de otra. c. (+) Leer valores de una función inversa a partir de una gráfica o una tabla, dado que la función tiene una inversa. d. (+) Producir una función invertible a partir de una función no invertible restringiendo el dominio.

    nuestra traducción · texto original (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

    Finding the Inverse of a Linear Function (en nuestro curso 9-11)

  61. Punto del currículo HSF-LE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Modelos lineales, cuadráticos y exponenciales★

    nuestra traducción · texto original (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)

  62. Punto del currículo HSF-LE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A

  63. Punto del currículo HSF-LE.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpret expressions for functions in terms of the situation they model

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster B

  64. Punto del currículo HSF-LE.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Distinguir entre situaciones que se pueden modelar con funciones lineales y con funciones exponenciales. a. Demostrar que las funciones lineales crecen por diferencias iguales a lo largo de intervalos iguales, y que las funciones exponenciales crecen por factores iguales a lo largo de intervalos iguales. b. Reconocer situaciones en las que una cantidad cambia a una razón constante por intervalo unitario en relación con otra. c. Reconocer situaciones en las que una cantidad crece o decae a una razón porcentual constante por intervalo unitario en relación con otra.

    nuestra traducción · texto original (EN): Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. a. Prove that linear functions grow by equal differences over equal intervals, and that exponential functions grow by equal factors over equal intervals. b. Recognize situations in which one quantity changes at a constant rate per unit interval relative to another. c. Recognize situations in which a quantity grows or decays by a constant percent rate per unit interval relative to another.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.1

  65. Punto del currículo HSF-LE.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir funciones lineales y exponenciales, incluidas las sucesiones aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos a partir de una tabla).

    nuestra traducción · texto original (EN): Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.2

    Finding Terms and Sums of Arithmetic Sequences (en nuestro curso 9) · Finding Terms and Sums of Geometric Sequences (en nuestro curso 9-11)

  66. Punto del currículo HSF-LE.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Observar, utilizando gráficas y tablas, que una cantidad que aumenta exponencialmente finalmente supera a una cantidad que aumenta linealmente, cuadráticamente o (más generalmente) como una función polinómica.

    nuestra traducción · texto original (EN): Observe using graphs and tables that a quantity increasing exponentially eventually exceeds a quantity increasing linearly, quadratically, or (more generally) as a polynomial function.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.3

  67. Punto del currículo HSF-LE.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en términos de un contexto.

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.B.5

    Finding Values of Exponential Functions (en nuestro curso 9)

  68. Punto del currículo HSS-ID · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretación de datos categóricos y cuantitativos

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)

  69. Punto del currículo HSS-ID.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resumir, representar e interpretar datos sobre una sola variable de conteo o medición

    nuestra traducción · texto original (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A

  70. Punto del currículo HSS-ID.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Summarize, represent, and interpret data on two categorical and quantitative variables

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster B

  71. Punto del currículo HSS-ID.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar modelos lineales

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret linear models

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster C

  72. Punto del currículo HSS-ID.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar datos con gráficas en la recta numérica real (diagramas de puntos, histogramas y diagramas de caja).

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent data with plots on the real number line (dot plots, histograms, and box plots).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.1

  73. Punto del currículo HSS-ID.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar estadísticas apropiadas para la forma de la distribución de los datos para comparar el centro (mediana, media) y la dispersión (rango intercuartílico, desviación estándar) de dos o más conjuntos de datos diferentes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use statistics appropriate to the shape of the data distribution to compare center (median, mean) and spread (interquartile range, standard deviation) of two or more different data sets.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.2

    Calculating the Variance of a Data Set (en nuestro curso 9)

  74. Punto del currículo HSS-ID.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar las diferencias en la forma, el centro y la dispersión en el contexto de los conjuntos de datos, teniendo en cuenta los posibles efectos de los puntos de datos extremos (valores atípicos).

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret differences in shape, center, and spread in the context of the data sets, accounting for possible effects of extreme data points (outliers).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.3

  75. Punto del currículo HSS-ID.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resumir datos categóricos para dos categorías en tablas de frecuencias de doble entrada. Interpretar frecuencias relativas en el contexto de los datos (incluidas frecuencias relativas conjuntas, marginales y condicionales). Reconocer posibles asociaciones y tendencias en los datos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Summarize categorical data for two categories in two-way frequency tables. Interpret relative frequencies in the context of the data (including joint, marginal, and conditional relative frequencies). Recognize possible associations and trends in the data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.5

  76. Punto del currículo HSS-ID.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar datos de dos variables cuantitativas en un diagrama de dispersión, y describir cómo se relacionan las variables. a. Ajustar una función a los datos; usar funciones ajustadas a los datos para resolver problemas en el contexto de los datos. Usar funciones dadas o elegir una función sugerida por el contexto. Enfatizar los modelos lineales, cuadráticos y exponenciales. b. Evaluar informalmente el ajuste de una función graficando y analizando los residuos. c. Ajustar una función lineal para un diagrama de dispersión que sugiere una asociación lineal.

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related. a. Fit a function to the data; use functions fitted to data to solve problems in the context of the data. Use given functions or choose a function suggested by the context. Emphasize linear, quadratic, and exponential models. b. Informally assess the fit of a function by plotting and analyzing residuals. c. Fit a linear function for a scatter plot that suggests a linear association.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.6

  77. Punto del currículo HSS-ID.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar la pendiente (tasa de cambio) y la intersección (término constante) de un modelo lineal en el contexto de los datos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret the slope (rate of change) and the intercept (constant term) of a linear model in the context of the data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.7

  78. Punto del currículo HSS-ID.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Calcular (utilizando tecnología) e interpretar el coeficiente de correlación de un ajuste lineal.

    nuestra traducción · texto original (EN): Compute (using technology) and interpret the correlation coefficient of a linear fit.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.8

  79. Punto del currículo HSS-ID.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Distinguir entre correlación y causalidad.

    nuestra traducción · texto original (EN): Distinguish between correlation and causation.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.9

Competencias paso a paso

Factoring Polynomials: Grouping and Cubes

Students learn to rewrite polynomial expressions by factoring out common monomials, grouping terms, and using the sum and difference of cubes.

Punto del currículo HSA-SSE.A.2 Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2). (nuestra traducción)

In 9th grade, students learn to inspect the structure of a polynomial expression to identify how it can be rewritten in factored form. At this stage, they expand beyond basic trinomials to extract greatest common factors, factor four-term expressions by grouping terms into pairs, and recognize expressions made of two cubed terms.

A frequent error occurs with negative signs when factoring by grouping: students often forget to change the sign of the second term when pulling a negative monomial out of a pair. With cubes, students commonly mix up the signs in the formula or mistakenly treat the resulting quadratic factor as a standard trinomial that can be factored further.

Printable practice on this skill focuses on three types of tasks:

  • Factoring out a monomial: finding the greatest common factor shared across all terms and dividing it out in front of parentheses.
  • Factoring by grouping: organizing four terms into two pairs to extract a common binomial factor.
  • Sum and difference of cubes: identifying expressions with two cubed terms and rewriting them as a product of a linear factor and a quadratic factor.
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Tipos de ejercicios: Sacar factor común un monomio · Factorización por agrupación · Suma y diferencia de cubos

Evaluating Linear Functions

Students learn to substitute a given input into a linear equation using function notation to calculate the single matching output value.

Punto del currículo 8.F.A.1 Comprender que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente una salida. La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados que consiste en una entrada y la salida correspondiente. (nuestra traducción)
Punto del currículo 8.F.A.3 Interpretar la ecuación y = mx + b como la definición de una función lineal, cuya gráfica es una línea recta; dar ejemplos de funciones que no son lineales. Por ejemplo, la función A = s2 que da el área de un cuadrado en función de la longitud de su lado no es lineal porque su gráfica contiene los puntos (1,1), (2,4) y (3,9), los cuales no están en una línea recta. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSF-IF.A.2 Usar la notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios, e interpretar enunciados que usan la notación de funciones en términos de un contexto. (nuestra traducción)

At this stage, students work with linear rules in the form f(x) = mx + b. Given a specific numerical input for x, they substitute that value into the rule, multiply it by the slope, and add or subtract the constant term to find the unique output value.

A frequent error occurs when students confuse function notation with multiplication, reading f(4) as an instruction to multiply an unknown f by 4 rather than finding the rule's value at 4. Students also routinely make sign errors when substituting negative numbers or working with negative coefficients, dropping negative signs during the multiplication step.

Tasks on printable worksheets present linear functions and ask students to determine the output for a given domain value. In practice, students either solve for and enter the final value directly or identify the correct answer from multiple-choice options.

Finding Terms and Sums of Arithmetic Sequences

Students learn to write formulas to find any term in an arithmetic sequence and calculate the sum of a given number of terms.

Punto del currículo HSF-BF.A.2 Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms. ★
Punto del currículo HSF-LE.A.2 Construir funciones lineales y exponenciales, incluidas las sucesiones aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos a partir de una tabla). (nuestra traducción)

Students learn to identify arithmetic sequences with a constant difference added between consecutive terms. In 9th grade, they use explicit formulas to calculate any specific nth term directly and determine the total sum of a set number of terms without having to write out every value in between.

A frequent mistake happens when building the formula for the nth term: students often multiply the common difference by n rather than n − 1, forgetting that the starting term has no difference added yet. When calculating the sum of a sequence, students also commonly mix up the value of the final term with the total number of terms being added.

Worksheet practice focuses on two concrete exercise types:

  • Arithmetic sequence — nth term: Students take a sequence or table of values, determine the common difference, and calculate a distant term, such as the 20th or 50th term.
  • Arithmetic sequence — sum of terms: Students apply the sequence formula to find the combined total of the first n terms.
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Tipos de ejercicios: Progresión aritmética — suma · Progresión aritmética — término n-ésimo

Finding Terms and Sums of Geometric Sequences

Students learn to find any specific term in a geometric sequence and calculate the sum of a set of terms using formulas.

Punto del currículo HSA-SSE.B.4 Deducir la fórmula para la suma de una serie geométrica finita (cuando la razón común no es 1), y usar la fórmula para resolver problemas. Por ejemplo, calcular los pagos de una hipoteca.★ (nuestra traducción)
Punto del currículo HSF-BF.A.2 Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms. ★
Punto del currículo HSF-LE.A.2 Construir funciones lineales y exponenciales, incluidas las sucesiones aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos a partir de una tabla). (nuestra traducción)

In 9th grade, students work with geometric sequences—ordered lists of numbers where each term is found by multiplying the previous one by a fixed common ratio (not equal to 1). Students identify the starting value and the multiplier, write explicit formulas, and use them to calculate any distant term (the nth term) as well as the total sum of a finite number of terms.

A common error occurs in the exponent of the nth term formula. Students frequently multiply the starting term by the common ratio raised to the power of n instead of n − 1, forgetting that the first term involves zero multiplications. When finding sums, students often misapply negative signs or mishandle parentheses when the common ratio is a fraction or a negative number.

Worksheet tasks build this skill using two primary formats:

  • Geometric sequence — nth term: Students look at a given list of numbers (such as 3, 6, 12, ...) or a real-world scenario, determine the common ratio, and find a specific value, such as the 8th term.
  • Geometric sequence — sum of terms: Students take a sequence and calculate the total sum of its first several terms by substituting the first term, the ratio, and the count into the finite geometric series formula.
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Tipos de ejercicios: Progresión geométrica — suma · Progresión geométrica — término n-ésimo

Finding Terms of a Sequence

Students learn to find specific values in a sequence by substituting integer inputs into a formula or using a step-by-step recursive rule.

Punto del currículo HSF-IF.A.3 Reconocer que las sucesiones son funciones, a veces definidas recursivamente, cuyo dominio es un subconjunto de los números enteros. Por ejemplo, la sucesión de Fibonacci se define recursivamente mediante f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) para n ≥ 1. (nuestra traducción)

In 9th grade, students treat sequences as functions whose domain consists of integers, such as n ≥ 1 or starting from n = 0. Students learn to determine specific terms by evaluating an explicit algebraic formula for a given position or by stepping through a recursive definition using provided starting values.

A frequent stumbling block is confusing the term's position number, n, with the term's value, f(n). Students also commonly misinterpret notation such as f(n − 1), accidentally subtracting 1 from the term's numerical value instead of referring to the previous term in the sequence.

Practice tasks generally focus on two standard formats:

  • Term of a sequence from its formula: Students plug an integer position directly into a function formula to calculate that specific term.
  • Term of a recursive sequence: Students start with given initial terms (such as f(0) or f(1)) and apply a recurrence relation, like f(n + 1) = f(n) + 3, to generate subsequent terms one by one.
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Tipos de ejercicios: Término de una sucesión a partir de la fórmula · Término de una sucesión recurrente

Multiplying Special Binomial Products

Students learn to recognize patterns to quickly expand squares of binomials and products of sums and differences without multiplying term by term.

Punto del currículo HSA-SSE.A.2 Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2). (nuestra traducción)

In 9th grade, students learn to use the underlying structure of expressions to expand them efficiently using shortcut patterns. Rather than multiplying every term one by one, they identify whether a problem matches a specific algebraic rule to write down the expanded polynomial directly.

The most common mistake happens when squaring a sum or a difference. Students frequently write (x + 4)^2 as x^2 + 16, incorrectly applying the exponent to each term inside the parentheses and leaving out the middle term generated when multiplying the binomial by itself.

Worksheet tasks give students practice with two specific templates:

  • Square of a sum or difference: expanding terms like (x + 5)^2 or (2x - 3)^2 into a complete three-term quadratic expression.
  • Product of a sum and a difference: multiplying pairs such as (x + 7)(x - 7) where the middle terms cancel out, leaving a difference of squares.
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Tipos de ejercicios: Cuadrado de una suma o diferencia · Suma por diferencia

Finding Values of Exponential Functions

Students learn to evaluate exponential functions for given inputs and interpret initial values and growth or decay factors in real-world contexts.

Punto del currículo HSF-LE.B.5 Interpretar los parámetros de una función lineal o exponencial en términos de un contexto. (nuestra traducción)

In Grade 9, students learn to calculate the output of an exponential function and understand what each parameter represents in a word problem. They identify the starting amount (the initial value when the input is zero) and use repeated multiplication by a constant base to determine how quantities change over time.

A frequent mistake happens when dealing with decay. When a quantity shrinks, students often confuse the rate of decrease with the base multiplier—for instance, multiplying by 0.15 instead of 0.85 when something decreases by 15%. Another common error is multiplying the initial value by the base before applying the exponent, ignoring the proper order of operations.

Worksheet tasks focus on problems like Value of an exponential function and Decreasing exponential function. A typical problem presents a real-world scenario, such as the declining value of a car or the cooling of an object, and asks students to evaluate the formula after a specific number of time intervals or state what a specific number in the equation means in that situation.

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Tipos de ejercicios: Función exponencial decreciente · Valor de una función exponencial

Finding Equations of Lines and Parallel Lines

Students learn to write the equation of a linear function given either two coordinate points or a single point and a parallel line.

Punto del currículo HSF-BF.A.1 Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo. (nuestra traducción)

In 9th grade, students learn to write an explicit algebraic equation for a linear function. They use coordinate points to calculate the slope—the rate of change—and determine where the line crosses the vertical axis (the y-intercept). When working with parallel lines, students recognize and apply the geometric principle that parallel lines share the exact same slope.

A common error occurs during coordinate substitution. When solving for the y-intercept, students frequently swap the x and y values into the formula, leading to an incorrect constant. When working with parallel lines, students also tend to alter the slope rather than keeping it identical to the original equation.

Worksheet tasks come in two standard formats:

  • Linear function through two points: Students receive two coordinates, calculate the slope between them, and write the resulting linear equation.
  • Parallel line through a point: Students are given an existing linear equation and a separate point, requiring them to extract the slope and construct a new line that passes through that specific point.
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Tipos de ejercicios: Función lineal por dos puntos · Recta paralela por un punto

Finding the Vertex and Using Vertex Form

Students learn to use vertex form and completing the square to identify the vertex, maximum or minimum value, and axis of symmetry of a parabola.

Punto del currículo HSF-IF.C.8 Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

In 9th grade Algebra I, students learn to rewrite quadratic expressions into vertex form to reveal key features of a parabola. By using techniques such as completing the square, they convert standard quadratic functions into equivalent forms that display the graph's extreme values (maximum or minimum points) and line of symmetry without needing to plot every point.

A common hurdle is keeping track of signs within the vertex form, typically written as y = a(x - h)2 + k (or without superscript tags, as a squared term). Because of the subtraction inside the parentheses, students often mix up positive and negative coordinates, incorrectly identifying the vertex of an expression like (x + 4)2 + 1 as (4, 1) rather than (-4, 1).

Practice tasks draw from templates such as Vertex of a parabola and Vertex form of a quadratic function. A typical problem presents a quadratic equation and asks students to extract the coordinates of the turning point, identify whether it opens upward or downward, or rewrite a standard polynomial expression to pinpoint its vertex directly.

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Tipos de ejercicios: Vértice de una parábola · Forma canónica de la función cuadrática

Solving Systems of Equations by Elimination

Students learn to solve pairs of linear equations in two variables using elimination and determine whether a system has one, none, or infinitely many solutions.

Punto del currículo HSA-REI.C.6 Resolver sistemas de ecuaciones lineales de forma exacta y aproximada (p. ej., con gráficas), centrándose en pares de ecuaciones lineales con dos variables. (nuestra traducción)

In Grade 9, students solve pairs of linear equations in two variables to find exact numerical solutions. Using the elimination method, they add or subtract equations—multiplying one or both equations by a constant when necessary—so that one variable cancels out. Students also evaluate the resulting algebraic statements to identify whether a system has a single coordinate pair as its solution, no solution, or infinitely many solutions.

A frequent error occurs when multiplying an entire equation to set up opposite coefficients. Students often forget to distribute negative signs or miss multiplying the constant term on the other side of the equal sign. Confusion also arises when both variables cancel out: students frequently confuse a false statement like 0 = 4 (which means there is no solution) with a true statement like 0 = 0 (which indicates infinitely many solutions).

Practice tasks generally fall into two formats:

  • System of equations — elimination presents two linear equations arranged in standard form, requiring students to find the exact values for both variables.
  • Number of solutions of a system asks students to manipulate and compare equations to state whether the system has one unique solution, no solution, or infinitely many solutions.
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Tipos de ejercicios: Número de soluciones de un sistema · Sistema de ecuaciones — reducción

Calculating the Variance of a Data Set

Students learn to calculate the variance of a data set to measure how individual values spread out from the mean.

Punto del currículo HSS-ID.A.2 Usar estadísticas apropiadas para la forma de la distribución de los datos para comparar el centro (mediana, media) y la dispersión (rango intercuartílico, desviación estándar) de dos o más conjuntos de datos diferentes. (nuestra traducción)

In Grade 9, students quantify how spread out numerical values are by calculating data variance. Working with a list of values, they find the mean, determine how far each data point deviates from that mean, square those individual differences, and then find the average of those squared values.

A frequent error occurs when working with deviations that fall below the mean. Students often struggle with squaring negative numbers, either dropping the negative signs too early or incorrectly writing a negative result after squaring. Another common mistake is adding the squared differences correctly but forgetting the final step of dividing by the number of data points.

Worksheets for this skill center on finding the variance of a data set. A typical task presents a short list of numbers, asking the student to carry out the calculation step-by-step to arrive at a single numerical measure of spread.

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Working with Fractional Exponents

Students learn to rewrite expressions involving fractional exponents and radicals by applying the standard properties of exponents.

Punto del currículo HSN-RN.A.2 Reescribir expresiones que involucran radicales y exponentes racionales utilizando las propiedades de los exponentes. (nuestra traducción)

In 9th grade, students learn to work with numbers and variables raised to fractional powers. They use properties of exponents to rewrite expressions that feature rational exponents, translating smoothly between radical form and power form.

A common mistake is confusing the roles of the numerator and the denominator in a fractional power. Students often forget which value represents the root and which represents the exponent, sometimes treating a denominator as a regular multiplier or reversing the root and power when converting to radical notation.

Practice tasks based on the Power with a rational exponent template present an expression with a base raised to a fraction. Students apply exponent rules to simplify the expression or convert it between radical form and exponential form.

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Solving Linear Inequalities in One Variable

Students learn to solve linear inequalities in one variable by isolating the unknown value to find all possible solutions.

Punto del currículo HSA-REI.B.3 Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.

In 9th grade, students solve linear inequalities with one variable by using inverse operations to isolate the unknown value. They manipulate expressions containing positive and negative numbers, as well as coefficients represented by letters, to determine the entire set of numbers that makes an inequality true.

The most common mistake happens when multiplying or dividing both sides by a negative value. Students frequently forget to reverse the inequality symbol, treating the problem like a standard equation and ending up with an inequality that points in the wrong direction.

Typical tasks from the linear inequality template ask students to solve problems such as -3x + 4 < 19 or expressions with variables on both sides. Students apply addition, subtraction, multiplication, and division to isolate the variable and state the final solution.

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Equations with No Solution or Infinite Solutions

Students learn to solve linear equations in one variable that result in either no solution or infinitely many solutions.

Punto del currículo HSA-REI.B.3 Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.

Students solve multi-step linear equations in one variable where the variable terms cancel out on both sides during simplification. They learn to interpret the remaining statement: if simplifying leads to a true mathematical statement (such as 5 = 5), there are infinitely many solutions; if it produces a contradiction (such as 0 = 7), the equation has no solution.

A common mistake occurs when the variables drop out entirely and leave a true statement like 0 = 0. Students often mistakenly write that the answer is x = 0, confusing zero as a specific value with a statement that holds true for all numbers. Similarly, when faced with a false statement like 3 = 8, students frequently assume they made an arithmetic error and continue searching for a single number instead of recognizing that no value can satisfy the equation.

Worksheet tasks present an equation with no or infinitely many solutions. Students apply standard algebraic steps—such as using the distributive property, combining like terms, and isolating variables—to simplify the equation and determine whether it has no solution or infinitely many solutions.

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Solving Quadratic Equations

Students learn to solve quadratic equations by factoring, taking square roots, completing the square, and using the quadratic formula, identifying both real and complex solutions.

Punto del currículo HSA-REI.B.4 Resolver ecuaciones cuadráticas en una variable. a. Usar el método de completar el cuadrado para transformar cualquier ecuación cuadrática en x en una ecuación de la forma (x – p)2 = q que tenga las mismas soluciones. Deducir la fórmula cuadrática a partir de esta forma. b. Resolver ecuaciones cuadráticas por inspección (p. ej., para x2 = 49), extrayendo raíces cuadradas, completando el cuadrado, mediante la fórmula cuadrática y factorizando, según sea adecuado para la forma inicial de la ecuación. Reconocer cuándo la fórmula cuadrática da soluciones complejas y escribirlas como a ± bi para números reales a y b. (nuestra traducción)

Students learn to solve quadratic equations in one variable using a range of methods matched to the equation's structure. They solve straightforward problems by inspection or square roots, such as finding values for equations like x² = 49, and transform equations into the form (x – p)² = q by completing the square. They also solve using factoring and the quadratic formula, learning to identify when an equation yields complex solutions and expressing those solutions in the form a ± bi.

A typical error happens when students take square roots and forget to include the negative root, reporting only the positive value (for example, finding 7 but omitting –7). Another frequent mistake involves sign errors when simplifying the terms under the square root in the quadratic formula, which often leads students to overlook when a solution requires complex numbers.

Practice tasks using the Quadratic equation template present equations in various initial forms. Students examine each equation, choose the most appropriate method—whether factoring, taking square roots, completing the square, or applying the quadratic formula—and write out the full solution steps.

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Shifting Function Graphs Up, Down, Left, and Right

Students learn how adding or subtracting a number shifts a graph up, down, left, or right, and identify the shift value from a coordinate graph.

Punto del currículo HSF-BF.B.3 Identificar el efecto en la gráfica al reemplazar f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y de sus expresiones algebraicas. (nuestra traducción)

In 9th grade, students explore how basic function graphs move along the coordinate plane when their formulas change. Focusing on translations, they learn to identify the visual effect of replacing f(x) with f(x) + k or f(x + k) for specific positive and negative values of k. They also work backward: given a base curve and a shifted curve, they find the exact positive or negative value of k that produced the move.

The most common mistake happens with horizontal translations. When students see an expression like f(x + 3), intuition tells them to move toward the positive numbers on the x-axis (to the right). In fact, adding a positive value inside the function moves the graph 3 units to the left, while subtracting moves it to the right. Students frequently reverse this horizontal direction, or confuse shifts applied inside the input, f(x + k), with vertical shifts added outside, f(x) + k.

In Translating a graph tasks, students usually work with coordinate grids showing an original function and its shifted copy. They may be asked to write the new formula, identify whether the transformation moved vertically or horizontally, or sketch the new position given an expression such as f(x) − 5 or f(x + 2).

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Calculating Average Rate of Change

Students learn to calculate, estimate, and interpret how quickly a function's values change over a specific interval using equations, tables, and graphs.

Punto del currículo HSF-IF.B.6 Calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. ★ (nuestra traducción)

In 9th grade, students learn to find how much a function’s output changes relative to its input over a set interval. Working with functions given as equations, data tables, or graphs, students compute the change in the output values divided by the change in the input values. When looking at a graph, they estimate this rate directly by observing the steepness between two points.

A frequent stumbling block is reversing the inputs and outputs, leading students to divide the change in x by the change in y instead of change in y over change in x. Students also commonly mistake an interval notation like [2, 5] for an (x, y) coordinate pair rather than two separate input values, or they subtract the values in an inconsistent order across the numerator and denominator.

Worksheets using the Average rate of change template present students with a function formula, a table of values, or a plotted curve alongside a specified interval. Students calculate the function values at the start and end of that interval, carry out the division, and state the rate of change or interpret what that rate represents in real-world scenarios.

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Combining Functions Through Composition

Students learn to substitute one function into another to evaluate or write composite expressions like f(g(x)).

Punto del currículo HSF-BF.A.1 Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo. (nuestra traducción)

In 9th grade, students learn to connect two relationships by using the output of one function directly as the input for another. They evaluate these nested rules at a given number, such as finding f(g(3)), and build new algebraic formulas for combined functions, written as f(g(x)), using the standard linear and quadratic relationships introduced in this grade.

A common error is confusing composition with multiplication. When asked to evaluate f(g(x)), students often calculate f(x) times g(x) instead of substituting the entire expression for g(x) into the variable of f(x). Another typical slip is reversing the sequence by applying the outer rule before the inner rule, rather than working from the inside out.

Tasks in the Composition of functions set typically present two function rules, such as f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3x - 4. Students are asked to evaluate the chained rule for a specific input value or to write and simplify a single algebraic expression representing the full composition.

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Finding the Inverse of a Linear Function

Students learn to write the formula for the inverse of a linear function by rearranging the equation to solve for the original input.

Punto del currículo HSF-BF.B.4 Hallar funciones inversas. a. Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tiene una inversa y escribir una expresión para la inversa. Por ejemplo, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) para x ≠ 1. b. (+) Verificar mediante composición que una función es la inversa de otra. c. (+) Leer valores de una función inversa a partir de una gráfica o una tabla, dado que la función tiene una inversa. d. (+) Producir una función invertible a partir de una función no invertible restringiendo el dominio. (nuestra traducción)

In 9th grade, students learn to find the inverse of a simple linear function. They take an equation of the form f(x) = mx + b, set it equal to an output value or variable, and undo the operations step by step to solve for the original input variable x. This allows them to produce a new linear rule that reverses the effect of the starting function.

A common mistake is confusing an inverse function with a reciprocal. Students frequently write 1 / f(x) instead of finding the undoing rule, partly because negative exponent notation can look similar. Another frequent error is reversing the order of operations incorrectly—such as dividing by the slope before subtracting the constant term when isolating the variable.

Worksheet tasks for the Inverse of a linear function present a linear equation, such as f(x) = 4x - 7 or f(x) = -2x + 3. Students work through the algebraic steps to isolate the input and write the resulting inverse expression, typically expressed in function notation as f⁻¹(x) = (x + 7) / 4.

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Solving Systems of a Line and a Parabola

Students learn to find the points where a straight line and a parabola intersect using algebraic methods and graphing.

Punto del currículo HSA-REI.C.7 Resolver algebraica y gráficamente un sistema simple formado por una ecuación lineal y una ecuación cuadrática en dos variables. Por ejemplo, hallar los puntos de intersección entre la recta y = –3x y el círculo x2 + y2 = 3. (nuestra traducción)

In Grade 9, students solve systems of equations that pair a linear equation with a quadratic equation. They learn to determine the coordinates where a line and a parabola meet, working both graphically on a coordinate grid and algebraically by substituting the linear expression into the quadratic equation to solve for the shared variables.

A common mistake is finding the values for x and stopping there. Because the solution to a system represents points of intersection, students must plug each x back into the linear equation to find its matching y-value and write the final answers as complete coordinate pairs, such as (x, y). Students also frequently make sign errors when setting the combined equation equal to zero before factoring or using the quadratic formula.

Worksheet tasks focus on finding the intersections of a parabola and a line. A typical exercise provides a system like y = x² + 2x - 1 and y = x + 5, asking students to either graph both equations to identify where they cross or use substitution to calculate the exact intersection points.

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Finding the Value of a Quadratic Function

Students learn to substitute a given number into a quadratic function and calculate its output value using function notation.

Punto del currículo HSF-IF.A.2 Usar la notación de funciones, evaluar funciones para entradas en sus dominios, e interpretar enunciados que usan la notación de funciones en términos de un contexto. (nuestra traducción)

Students learn to use function notation to evaluate quadratic expressions for specific input numbers. Given a rule such as f(x), they replace the variable with the chosen input, square the value, multiply by any coefficients, and combine the terms to find the final output value.

A frequent stumbling block involves negative inputs and the order of operations. Students often misapply signs when squaring a negative number—writing -3² = -9 instead of (-3)² = 9—or they multiply the input by an outside coefficient before squaring, which leads to an incorrect result.

Practice tasks based on the Value of a quadratic function template typically present an equation such as f(x) = 2x² - 5x + 3 and prompt students to determine outputs such as f(4) or f(-2).

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Plantillas de ejercicios para imprimir

Todos los tipos de ejercicios, agrupados por habilidad. Un clic abre el generador con el tipo ya elegido.

Factoring Polynomials: Grouping and Cubes

Finding Terms and Sums of Arithmetic Sequences

Finding Terms and Sums of Geometric Sequences

Finding Terms of a Sequence

Multiplying Special Binomial Products

Finding Values of Exponential Functions

Finding Equations of Lines and Parallel Lines

Finding the Vertex and Using Vertex Form

Solving Systems of Equations by Elimination

Calculating the Variance of a Data Set

Working with Fractional Exponents

Solving Linear Inequalities in One Variable

Equations with No Solution or Infinite Solutions

Solving Quadratic Equations

Shifting Function Graphs Up, Down, Left, and Right

Calculating Average Rate of Change

Combining Functions Through Composition

Finding the Inverse of a Linear Function

Solving Systems of a Line and a Parabola

Finding the Value of a Quadratic Function

Otros tipos de ejercicios

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