Polski
Program nauczania (Stany Zjednoczone)

Matematyka — klasa 1 liceum i technikum

Matematyka dla klasy 9 według standardów Common Core State Standards, zazwyczaj Algebra I: równania liniowe, nierówności i układy równań, funkcje liniowe i kwadratowe, rozkład na czynniki, wykładniki wymierne, ciągi oraz funkcje wykładnicze. Do każdego tematu dołączone są karty pracy do wydrukowania.

Wygeneruj arkusz z tego zakresu

Czego uczniowie uczą się na matematyce w 9. klasie?

W 9. klasie uczniowie rozwiązują równania liniowe, nierówności i układy równań, wyznaczają wzory funkcji liniowych na podstawie dwóch punktów oraz interpretują średnie tempo zmian. Rozkładają wielomiany na czynniki, stosują wzory skróconego mnożenia i wykładniki wymierne, rozwiązują równania kwadratowe oraz pracują z postacią kanoniczną funkcji kwadratowej. Ciągi arytmetyczne i geometryczne, funkcje wykładnicze, składanie funkcji oraz funkcje odwrotne dopełniają program tego roku.

O standardach: standardy Common Core dla szkół średnich są zorganizowane według kategorii pojęciowych (Liczby i wielkości, Algebra, Funkcje, Geometria, Statystyka i prawdopodobieństwo), a nie według klas. Przypisanie danego tematu do klasy jest naszą decyzją, wynikającą z powszechnej kolejności kursów: Algebra I, Geometria, Algebra II i Precalculus. Standardy oznaczone symbolem (+) wykraczają poza podstawowy zakres przygotowania do studiów i kariery zawodowej.

Status strony: tematy dla tej klasy są gotowe w postaci prostych ćwiczeń (polecenie i wzór); zadania z diagramami oraz zadania tekstowe są dodawane w kolejnym etapie.

Zakres programowy

  1. Punkt podstawy HSN-RN · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    System liczb rzeczywistych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): The Real Number System

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Real Number System (HSN-RN)

  2. Punkt podstawy HSN-RN.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozszerzyć własności potęg na wykładniki wymierne.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Extend the properties of exponents to rational exponents.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, cluster A

  3. Punkt podstawy HSN-RN.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować własności liczb wymiernych i niewymiernych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use properties of rational and irrational numbers.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, cluster B

  4. Punkt podstawy HSN-RN.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyjaśnij, w jaki sposób definicja znaczenia wykładników wymiernych wynika z rozszerzenia własności wykładników całkowitych na te wartości, umożliwiając zapis pierwiastków za pomocą wykładników wymiernych. Na przykład definiujemy 5 1/3 jako pierwiastek sześcienny z 5, ponieważ chcemy, aby zachodziło (51/3)3 = 5(1/3)3, więc (51/3)3 musi być równe 5.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Explain how the definition of the meaning of rational exponents follows from extending the properties of integer exponents to those values, allowing for a notation for radicals in terms of rational exponents. For example, we define 5 1/3 to be the cube root of 5 because we want (51/3)3 = 5(1/3)3 to hold, so (51/3)3 must equal 5.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.A.1

  5. Punkt podstawy HSN-RN.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przekształcać wyrażenia zawierające pierwiastki i wykładniki wymierne, stosując własności potęg.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Rewrite expressions involving radicals and rational exponents using the properties of exponents.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.A.2

    Working with Fractional Exponents (u nas w klasie 9)

  6. Punkt podstawy HSN-RN.B.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyjaśnić, dlaczego suma lub iloczyn dwóch liczb wymiernych jest liczbą wymierną; że suma liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną; oraz że iloczyn niezerowej liczby wymiernej i liczby niewymiernej jest liczbą niewymierną.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Explain why the sum or product of two rational numbers is rational; that the sum of a rational number and an irrational number is irrational; and that the product of a nonzero rational number and an irrational number is irrational.

    CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.B.3

  7. Punkt podstawy HSN-Q · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wielkości★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Quantities★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Quantities★ (HSN-Q)

  8. Punkt podstawy HSN-Q.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumować ilościowo i używać jednostek do rozwiązywania problemów.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Reason quantitatively and use units to solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, cluster A

  9. Punkt podstawy HSN-Q.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Używać jednostek jako sposobu na zrozumienie problemów i ukierunkowanie rozwiązywania zadań wieloetapowych; konsekwentnie dobierać i interpretować jednostki we wzorach; dobierać i interpretować skalę oraz początek układu na wykresach i prezentacjach danych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use units as a way to understand problems and to guide the solution of multi-step problems; choose and interpret units consistently in formulas; choose and interpret the scale and the origin in graphs and data displays.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.1

  10. Punkt podstawy HSN-Q.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Definiować odpowiednie wielkości na potrzeby modelowania opisowego.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Define appropriate quantities for the purpose of descriptive modeling.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.2

  11. Punkt podstawy HSN-Q.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dobierać poziom dokładności odpowiedni do ograniczeń pomiaru przy podawaniu wielkości.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Choose a level of accuracy appropriate to limitations on measurement when reporting quantities.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.3

  12. Punkt podstawy HSA-SSE · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dostrzeganie struktury w wyrażeniach

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Seeing Structure in Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)

  13. Punkt podstawy HSA-SSE.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować strukturę wyrażeń

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret the structure of expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A

  14. Punkt podstawy HSA-SSE.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Zapisywać wyrażenia w postaciach równoważnych, aby rozwiązywać problemy

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B

  15. Punkt podstawy HSA-SSE.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować wyrażenia reprezentujące wielkość w odniesieniu do jej kontekstu.★ a. Interpretować części wyrażenia, takie jak wyrazy, czynniki i współczynniki. b. Interpretować złożone wyrażenia, traktując jedną lub więcej ich części jako pojedynczą całość. Na przykład interpretować P(1+r)n jako iloczyn P oraz czynnika niezależącego od P.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1

  16. Punkt podstawy HSA-SSE.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykorzystaj strukturę wyrażenia do zidentyfikowania sposobów jego przekształcenia. Na przykład dostrzeż x4 – y4 jako (x2)2 – ( y2)2, rozpoznając je w ten sposób jako różnicę kwadratów, którą można rozłożyć na czynniki jako (x2 – y2)(x2 + y2).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

    Multiplying Special Binomial Products (u nas w klasie 9-11) · Factoring Polynomials: Grouping and Cubes (u nas w klasie 9-11)

  17. Punkt podstawy HSA-SSE.B.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wybierać i tworzyć równoważną postać wyrażenia, aby ujawnić i wyjaśnić własności wielkości reprezentowanej przez to wyrażenie. ★ a. Rozkładać na czynniki wyrażenie kwadratowe, aby ujawnić miejsca zerowe funkcji, którą ono określa. b. Dopełniać do kwadratu w wyrażeniu kwadratowym, aby ujawnić wartość maksymalną lub minimalną funkcji, którą ono określa. c. Stosować własności potęg do przekształcania wyrażeń funkcji wykładniczych. Na przykład wyrażenie 1.15t można zapisać w postaci (1.151/12)12t ≈ 1.01212t, aby ujawnić przybliżoną równoważną miesięczną stopę procentową, jeśli roczna stopa wynosi 15%.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. ★ a. Factor a quadratic expression to reveal the zeros of the function it defines. b. Complete the square in a quadratic expression to reveal the maximum or minimum value of the function it defines. c. Use the properties of exponents to transform expressions for exponential functions. For example the expression 1.15t can be rewritten as (1.151/12)12t ≈ 1.01212t to reveal the approximate equivalent monthly interest rate if the annual rate is 15%.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.B.3

  18. Punkt podstawy HSA-APR · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Działania na wielomianach i wyrażeniach wymiernych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)

  19. Punkt podstawy HSA-APR.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wykonywać działania arytmetyczne na wielomianach

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A

  20. Punkt podstawy HSA-APR.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć, że wielomiany tworzą układ analogiczny do liczb całkowitych, mianowicie są zamknięte ze względu na działania dodawania, odejmowania i mnożenia; dodawać, odejmować i mnożyć wielomiany.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1

  21. Punkt podstawy HSA-CED · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzenie równań★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Creating Equations★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)

  22. Punkt podstawy HSA-CED.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzyć równania opisujące liczby lub zależności

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Create equations that describe numbers or relationships

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A

  23. Punkt podstawy HSA-CED.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzyć równania i nierówności z jedną zmienną i używać ich do rozwiązywania problemów. Uwzględniać równania wynikające z funkcji liniowych i kwadratowych oraz prostych funkcji wymiernych i wykładniczych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1

  24. Punkt podstawy HSA-CED.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzyć równania z dwiema lub więcej zmiennymi, aby przedstawić zależności między wielkościami; sporządzać wykresy równań na osiach współrzędnych z oznaczeniami i skalami.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2

  25. Punkt podstawy HSA-CED.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przedstawiać ograniczenia za pomocą równań lub nierówności oraz za pomocą układów równań i/lub nierówności i interpretować rozwiązania jako opcje dopuszczalne lub niedopuszczalne w kontekście modelowania. Na przykład przedstawiać nierówności opisujące ograniczenia żywieniowe i kosztowe dotyczące kombinacji różnych produktów spożywczych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3

  26. Punkt podstawy HSA-CED.A.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przekształcać wzory, aby wyznaczyć wskazaną wielkość, stosując to samo rozumowanie, co przy rozwiązywaniu równań. Na przykład przekształcić prawo Ohma V = IR, aby wyznaczyć opór R.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4

  27. Punkt podstawy HSA-REI · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumowanie z wykorzystaniem równań i nierówności

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)

  28. Punkt podstawy HSA-REI.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć rozwiązywanie równań jako proces rozumowania i wyjaśniać to rozumowanie

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A

  29. Punkt podstawy HSA-REI.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozwiązywać równania i nierówności z jedną niewiadomą

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Solve equations and inequalities in one variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster B

  30. Punkt podstawy HSA-REI.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozwiązywać układy równań

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Solve systems of equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C

  31. Punkt podstawy HSA-REI.D · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przedstawiać i rozwiązywać równania i nierówności graficznie

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D

  32. Punkt podstawy HSA-REI.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyjaśnić każdy krok w rozwiązywaniu prostego równania jako wynikający z równości liczb stwierdzonej w poprzednim kroku, wychodząc z założenia, że równanie wyjściowe ma rozwiązanie. Skonstruować poprawny argument, aby uzasadnić metodę rozwiązania.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Explain each step in solving a simple equation as following from the equality of numbers asserted at the previous step, starting from the assumption that the original equation has a solution. Construct a viable argument to justify a solution method.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.A.1

  33. Punkt podstawy HSA-REI.B.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.B.3

    Solving Linear Inequalities in One Variable (u nas w klasie 9) · Equations with No Solution or Infinite Solutions (u nas w klasie 9)

  34. Punkt podstawy HSA-REI.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozwiązywać równania kwadratowe z jedną niewiadomą. a. Stosować metodę dopełniania do kwadratu w celu przekształcenia dowolnego równania kwadratowego ze zmienną x w równanie postaci (x – p)2 = q mające te same rozwiązania. Wyprowadzać wzór na pierwiastki równania kwadratowego z tej postaci. b. Rozwiązywać równania kwadratowe przez ogląd (np. dla x2 = 49), pierwiastkowanie, dopełnianie do kwadratu, wzór na pierwiastki równania kwadratowego oraz rozkład na czynniki, stosownie do początkowej postaci równania. Rozpoznawać, kiedy wzór na pierwiastki równania kwadratowego daje rozwiązania zespolone, i zapisywać je jako a ± bi dla liczb rzeczywistych a i b.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Solve quadratic equations in one variable. a. Use the method of completing the square to transform any quadratic equation in x into an equation of the form (x – p)2 = q that has the same solutions. Derive the quadratic formula from this form. b. Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x2 = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi f or real numbers a and b.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.B.4

    Solving Quadratic Equations (u nas w klasie 9)

  35. Punkt podstawy HSA-REI.C.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Udowodnić, że dla danego układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi zastąpienie jednego równania sumą tego równania i wielokrotności drugiego daje układ o tych samych rozwiązaniach.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Prove that, given a system of two equations in two variables, replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.5

  36. Punkt podstawy HSA-REI.C.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozwiązywać układy równań liniowych dokładnie i w przybliżeniu (np. za pomocą wykresów), skupiając się na parach równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Solve systems of linear equations exactly and approximately (e.g., with graphs), focusing on pairs of linear equations in two variables.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.6

    Solving Systems of Equations by Elimination (u nas w klasie 9)

  37. Punkt podstawy HSA-REI.C.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozwiąż prosty układ składający się z równania liniowego i równania kwadratowego z dwiema zmiennymi algebraicznie i graficznie. Na przykład znajdź punkty przecięcia prostej y = –3x i okręgu x2 + y2 = 3.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Solve a simple system consisting of a linear equation and a quadratic equation in two variables algebraically and graphically. For example, find the points of intersection between the line y = –3x and the circle x2 + y2 = 3.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.7

    Solving Systems of a Line and a Parabola (u nas w klasie 9)

  38. Punkt podstawy HSA-REI.D.10 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć, że wykres równania z dwiema zmiennymi jest zbiorem wszystkich jego rozwiązań zaznaczonych na płaszczyźnie współrzędnych, często tworzącym krzywą (która może być prostą).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.10

  39. Punkt podstawy HSA-REI.D.11 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyjaśnij, dlaczego współrzędne x punktów przecięcia wykresów równań y = f(x) i y = g(x) są rozwiązaniami równania f(x) = g(x); znajdź rozwiązania w przybliżeniu, np. wykorzystując technologię do sporządzania wykresów funkcji, tworzenia tabel wartości lub znajdowania kolejnych przybliżeń. Uwzględnij przypadki, w których f(x) i/lub g(x) są funkcjami liniowymi, wielomianowymi, wymiernymi, z wartością bezwzględną, wykładniczymi i logarytmicznymi.★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11

  40. Punkt podstawy HSA-REI.D.12 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przedstaw graficznie rozwiązania nierówności liniowej z dwiema niewiadomymi jako półpłaszczyznę (z wyłączeniem brzegu w przypadku nierówności ostrej) oraz przedstaw graficznie zbiór rozwiązań układu nierówności liniowych z dwiema niewiadomymi jako część wspólną odpowiednich półpłaszczyzn.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Graph the solutions to a linear inequality in two variables as a half-plane (excluding the boundary in the case of a strict inequality), and graph the solution set to a system of linear inequalities in two variables as the intersection of the corresponding half-planes.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.12

  41. Punkt podstawy HSF-IF · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretowanie funkcji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpreting Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)

  42. Punkt podstawy HSF-IF.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozumieć pojęcie funkcji i stosować notację funkcyjną

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Understand the concept of a function and use function notation

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster A

  43. Punkt podstawy HSF-IF.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować funkcje pojawiające się w zastosowaniach w odniesieniu do kontekstu

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B

  44. Punkt podstawy HSF-IF.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Analizować funkcje za pomocą różnych reprezentacji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Analyze functions using different representations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C

  45. Punkt podstawy HSF-IF.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Understand that a function from one set (called the domain) to another set (called the range) assigns to each element of the domain exactly one element of the range. If f is a function and x is an element of its domain, then f(x) denotes the output of f corresponding to the input x. The graph of f is the graph of the equation y = f(x).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.1

  46. Punkt podstawy HSF-IF.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Używać notacji funkcyjnej, obliczać wartości funkcji dla argumentów należących do ich dziedzin i interpretować stwierdzenia wykorzystujące notację funkcyjną w odniesieniu do kontekstu.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use function notation, evaluate functions for inputs in their domains, and interpret statements that use function notation in terms of a context.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.2

    Finding the Value of a Quadratic Function (u nas w klasie 9) · Evaluating Linear Functions (u nas w klasie 8)

  47. Punkt podstawy HSF-IF.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozpoznawać, że ciągi są funkcjami, czasami definiowanymi rekurencyjnie, których dziedziną jest podzbiór liczb całkowitych. Na przykład ciąg Fibonacciego jest zdefiniowany rekurencyjnie przez f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) dla n ≥ 1.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Recognize that sequences are functions, sometimes defined recursively, whose domain is a subset of the integers. For example, the Fibonacci sequence is defined recursively by f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) for n ≥ 1.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.3

    Finding Terms of a Sequence (u nas w klasie 9)

  48. Punkt podstawy HSF-IF.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Dla funkcji modelującej zależność między dwiema wielkościami interpretować kluczowe własności wykresów i tabel w odniesieniu do tych wielkości oraz szkicować wykresy przedstawiające kluczowe własności na podstawie słownego opisu zależności. Kluczowe własności obejmują: punkty przecięcia z osiami; przedziały, w których funkcja jest rosnąca, malejąca, dodatnia lub ujemna; maksima i minima lokalne; symetrie; zachowanie na krańcach; oraz okresowość.★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4

  49. Punkt podstawy HSF-IF.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Powiązać dziedzinę funkcji z jej wykresem oraz, tam gdzie ma to zastosowanie, z zależnością ilościową, którą opisuje. Na przykład, jeśli funkcja h(n) podaje liczbę roboczogodzin potrzebnych do zmontowania n silników w fabryce, wówczas dodatnie liczby całkowite byłyby odpowiednią dziedziną tej funkcji. ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5

  50. Punkt podstawy HSF-IF.B.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Obliczać i interpretować średnią szybkość zmian funkcji (przedstawionej symbolicznie lub w postaci tabeli) w określonym przedziale. Szacować szybkość zmian na podstawie wykresu. ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

    Calculating Average Rate of Change (u nas w klasie 9-11)

  51. Punkt podstawy HSF-IF.C.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Sporządzać wykresy funkcji wyrażonych symbolicznie i przedstawiać kluczowe cechy wykresu, ręcznie w prostych przypadkach oraz z użyciem technologii w przypadkach bardziej złożonych. ★ a. Sporządzać wykresy funkcji liniowych i kwadratowych oraz wskazywać punkty przecięcia z osiami, maksima i minima. b. Sporządzać wykresy funkcji pierwiastka kwadratowego, pierwiastka sześciennego oraz funkcji określonych przedziałami, w tym funkcji schodkowych i funkcji wartości bezwzględnej. c. Sporządzać wykresy funkcji wielomianowych, wyznaczając miejsca zerowe, gdy dostępny jest odpowiedni rozkład na czynniki, oraz wskazując zachowanie na krańcach dziedziny. d. (+) Sporządzać wykresy funkcji wymiernych, wyznaczając miejsca zerowe i asymptoty, gdy dostępny jest odpowiedni rozkład na czynniki, oraz wskazując zachowanie na krańcach dziedziny. e. Sporządzać wykresy funkcji wykładniczych i logarytmicznych, wskazując punkty przecięcia z osiami i zachowanie na krańcach dziedziny, oraz funkcji trygonometrycznych, wskazując okres, linię środkową i amplitudę.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7

  52. Punkt podstawy HSF-IF.C.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

    Finding the Vertex and Using Vertex Form (u nas w klasie 9-11)

  53. Punkt podstawy HSF-IF.C.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Porównaj własności dwóch funkcji, z których każda jest przedstawiona w inny sposób (algebraicznie, graficznie, liczbowo w tabelach lub za pomocą opisów słownych). Na przykład, mając dany wykres jednej funkcji kwadratowej i wyrażenie algebraiczne drugiej, określ, która ma większe maksimum.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9

  54. Punkt podstawy HSF-BF · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Budowanie funkcji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Building Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)

  55. Punkt podstawy HSF-BF.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Budować funkcję, która modeluje zależność między dwiema wielkościami

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A

  56. Punkt podstawy HSF-BF.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Tworzyć nowe funkcje z istniejących funkcji

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Build new functions from existing functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B

  57. Punkt podstawy HSF-BF.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Zapisać funkcję opisującą zależność między dwiema wielkościami.★ a. Wyznaczyć wyrażenie w postaci jawnej, proces rekurencyjny lub kroki obliczeń na podstawie kontekstu. b. Łączyć standardowe typy funkcji za pomocą działań arytmetycznych. Na przykład zbudować funkcję modelującą temperaturę stygnącego ciała poprzez dodanie funkcji stałej do malejącej funkcji wykładniczej oraz powiązać te funkcje z modelem. c. (+) Składać funkcje. Na przykład, jeśli T(y) jest temperaturą w atmosferze w zależności od wysokości, a h(t) jest wysokością balonu meteorologicznego w zależności od czasu, to T(h(t)) jest temperaturą w miejscu balonu meteorologicznego w zależności od czasu.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

    Finding Equations of Lines and Parallel Lines (u nas w klasie 9-11) · Combining Functions Through Composition (u nas w klasie 9-11)

  58. Punkt podstawy HSF-BF.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Zapisywać ciągi arytmetyczne i geometryczne zarówno rekurencyjnie, jak i za pomocą wzoru jawnego, wykorzystywać je do modelowania sytuacji oraz przechodzić między tymi dwiema postaciami. ★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.2

    Finding Terms and Sums of Arithmetic Sequences (u nas w klasie 9) · Finding Terms and Sums of Geometric Sequences (u nas w klasie 9-11)

  59. Punkt podstawy HSF-BF.B.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Identyfikować wpływ na wykres zastąpienia f(x) przez f(x) + k, k f(x), f(kx) oraz f(x + k) dla określonych wartości k (zarówno dodatnich, jak i ujemnych); wyznaczać wartość k na podstawie wykresów. Eksperymentować z przypadkami i ilustrować wyjaśnienie wpływu na wykres z wykorzystaniem technologii. Uwzględniać rozpoznawanie funkcji parzystych i nieparzystych na podstawie ich wykresów oraz opisujących je wyrażeń algebraicznych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

    Shifting Function Graphs Up, Down, Left, and Right (u nas w klasie 9-11)

  60. Punkt podstawy HSF-BF.B.4 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Wyznacz funkcje odwrotne. a. Rozwiąż równanie postaci f(x) = c dla prostej funkcji f, która ma funkcję odwrotną, i zapisz wyrażenie dla funkcji odwrotnej. Na przykład f(x) =2 x3 lub f(x) = (x+1)/(x–1) dla x ≠ 1. b. (+) Sprawdź za pomocą składania, że jedna funkcja jest funkcją odwrotną do drugiej. c. (+) Odczytaj wartości funkcji odwrotnej z wykresu lub tabeli, przy założeniu, że funkcja ma funkcję odwrotną. d. (+) Utwórz funkcję odwracalną z funkcji nieodwracalnej poprzez ograniczenie dziedziny.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

    Finding the Inverse of a Linear Function (u nas w klasie 9-11)

  61. Punkt podstawy HSF-LE · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Modele liniowe, kwadratowe i wykładnicze★

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)

  62. Punkt podstawy HSF-LE.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Konstruować i porównywać modele liniowe, kwadratowe i wykładnicze oraz rozwiązywać zadania

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A

  63. Punkt podstawy HSF-LE.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpret expressions for functions in terms of the situation they model

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster B

  64. Punkt podstawy HSF-LE.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozróżniać sytuacje, które można modelować za pomocą funkcji liniowych i funkcji wykładniczych. a. Dowodzić, że funkcje liniowe rosną o równe różnice w równych przedziałach, a funkcje wykładnicze rosną o równe czynniki w równych przedziałach. b. Rozpoznawać sytuacje, w których jedna wielkość zmienia się ze stałą szybkością w jednostkowym przedziale względem drugiej. c. Rozpoznawać sytuacje, w których wielkość rośnie lub maleje o stałą stopę procentową w jednostkowym przedziale względem drugiej.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. a. Prove that linear functions grow by equal differences over equal intervals, and that exponential functions grow by equal factors over equal intervals. b. Recognize situations in which one quantity changes at a constant rate per unit interval relative to another. c. Recognize situations in which a quantity grows or decays by a constant percent rate per unit interval relative to another.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.1

  65. Punkt podstawy HSF-LE.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Konstruować funkcje liniowe i wykładnicze, w tym ciągi arytmetyczne i geometryczne, na podstawie wykresu, opisu zależności lub dwóch par wartości wejściowych i wyjściowych (w tym odczytywanie ich z tabeli).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.2

    Finding Terms and Sums of Arithmetic Sequences (u nas w klasie 9) · Finding Terms and Sums of Geometric Sequences (u nas w klasie 9-11)

  66. Punkt podstawy HSF-LE.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Obserwować, korzystając z wykresów i tabel, że wielkość rosnąca wykładniczo ostatecznie przewyższa wielkość rosnącą liniowo, kwadratowo lub (ogólniej) jako funkcja wielomianowa.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Observe using graphs and tables that a quantity increasing exponentially eventually exceeds a quantity increasing linearly, quadratically, or (more generally) as a polynomial function.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.3

  67. Punkt podstawy HSF-LE.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować parametry funkcji liniowej lub wykładniczej w odniesieniu do kontekstu.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.B.5

    Finding Values of Exponential Functions (u nas w klasie 9)

  68. Punkt podstawy HSS-ID · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretowanie danych jakościowych i ilościowych

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)

  69. Punkt podstawy HSS-ID.A · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Podsumowywać, przedstawiać i interpretować dane dotyczące pojedynczej zmiennej zliczeniowej lub pomiarowej

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A

  70. Punkt podstawy HSS-ID.B · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Summarize, represent, and interpret data on two categorical and quantitative variables

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster B

  71. Punkt podstawy HSS-ID.C · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować modele liniowe

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret linear models

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster C

  72. Punkt podstawy HSS-ID.A.1 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przedstawiać dane za pomocą wykresów na osi liczb rzeczywistych (wykresy kropkowe, histogramy i wykresy pudełkowe).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Represent data with plots on the real number line (dot plots, histograms, and box plots).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.1

  73. Punkt podstawy HSS-ID.A.2 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Stosować statystyki odpowiednie do kształtu rozkładu danych, aby porównać środek (medianę, średnią) i rozproszenie (rozstęp międzykwartylowy, odchylenie standardowe) dwóch lub więcej różnych zestawów danych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Use statistics appropriate to the shape of the data distribution to compare center (median, mean) and spread (interquartile range, standard deviation) of two or more different data sets.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.2

    Calculating the Variance of a Data Set (u nas w klasie 9)

  74. Punkt podstawy HSS-ID.A.3 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować różnice w kształcie, środku i rozproszeniu w kontekście zestawów danych, uwzględniając możliwy wpływ skrajnych punktów danych (obserwacji odstających).

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret differences in shape, center, and spread in the context of the data sets, accounting for possible effects of extreme data points (outliers).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.3

  75. Punkt podstawy HSS-ID.B.5 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Podsumowywać dane jakościowe dla dwóch kategorii w dwudzielczych tabelach liczności. Interpretować częstości względne w kontekście danych (w tym łączne, brzegowe i warunkowe częstości względne). Rozpoznawać możliwe zależności i trendy w danych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Summarize categorical data for two categories in two-way frequency tables. Interpret relative frequencies in the context of the data (including joint, marginal, and conditional relative frequencies). Recognize possible associations and trends in the data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.5

  76. Punkt podstawy HSS-ID.B.6 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Przedstaw dane dotyczące dwóch zmiennych ilościowych na wykresie rozrzutu i opisz, jak te zmienne są powiązane. a. Dopasuj funkcję do danych; użyj funkcji dopasowanych do danych do rozwiązywania problemów w kontekście danych. Użyj danych funkcji lub wybierz funkcję sugerowaną przez kontekst. Połóż nacisk na modele liniowe, kwadratowe i wykładnicze. b. Nieformalnie oceń dopasowanie funkcji, wykreślając i analizując reszty. c. Dopasuj funkcję liniową do wykresu rozrzutu, który sugeruje zależność liniową.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related. a. Fit a function to the data; use functions fitted to data to solve problems in the context of the data. Use given functions or choose a function suggested by the context. Emphasize linear, quadratic, and exponential models. b. Informally assess the fit of a function by plotting and analyzing residuals. c. Fit a linear function for a scatter plot that suggests a linear association.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.6

  77. Punkt podstawy HSS-ID.C.7 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Interpretować współczynnik kierunkowy (tempo zmian) i punkt przecięcia z osią (wyraz wolny) modelu liniowego w kontekście danych.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Interpret the slope (rate of change) and the intercept (constant term) of a linear model in the context of the data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.7

  78. Punkt podstawy HSS-ID.C.8 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Obliczać (z wykorzystaniem technologii) i interpretować współczynnik korelacji dopasowania liniowego.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Compute (using technology) and interpret the correlation coefficient of a linear fit.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.8

  79. Punkt podstawy HSS-ID.C.9 · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

    Rozróżniać korelację i przyczynowość.

    nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (EN): Distinguish between correlation and causation.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.9

Umiejętności krok po kroku

Factoring Polynomials: Grouping and Cubes

Students learn to rewrite polynomial expressions by factoring out common monomials, grouping terms, and using the sum and difference of cubes.

Punkt podstawy HSA-SSE.A.2 Wykorzystaj strukturę wyrażenia do zidentyfikowania sposobów jego przekształcenia. Na przykład dostrzeż x4 – y4 jako (x2)2 – ( y2)2, rozpoznając je w ten sposób jako różnicę kwadratów, którą można rozłożyć na czynniki jako (x2 – y2)(x2 + y2). (nasze tłumaczenie)

In 9th grade, students learn to inspect the structure of a polynomial expression to identify how it can be rewritten in factored form. At this stage, they expand beyond basic trinomials to extract greatest common factors, factor four-term expressions by grouping terms into pairs, and recognize expressions made of two cubed terms.

A frequent error occurs with negative signs when factoring by grouping: students often forget to change the sign of the second term when pulling a negative monomial out of a pair. With cubes, students commonly mix up the signs in the formula or mistakenly treat the resulting quadratic factor as a standard trinomial that can be factored further.

Printable practice on this skill focuses on three types of tasks:

  • Factoring out a monomial: finding the greatest common factor shared across all terms and dividing it out in front of parentheses.
  • Factoring by grouping: organizing four terms into two pairs to extract a common binomial factor.
  • Sum and difference of cubes: identifying expressions with two cubed terms and rewriting them as a product of a linear factor and a quadratic factor.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wyłączanie jednomianu przed nawias · Rozkład przez grupowanie · Suma i różnica sześcianów

Evaluating Linear Functions

Students learn to substitute a given input into a linear equation using function notation to calculate the single matching output value.

Punkt podstawy 8.F.A.1 Rozumie, że funkcja to reguła, która każdemu argumentowi (wartości wejściowej) przyporządkowuje dokładnie jedną wartość (wartość wyjściową). Wykresem funkcji jest zbiór par uporządkowanych składających się z argumentu i odpowiadającej mu wartości. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy 8.F.A.3 Interpretować równanie y = mx + b jako definiujące funkcję liniową, której wykresem jest prosta; podawać przykłady funkcji, które nie są liniowe. Na przykład funkcja A = s2 określająca pole kwadratu jako funkcję długości jego boku nie jest liniowa, ponieważ jej wykres zawiera punkty (1,1), (2,4) i (3,9), które nie leżą na prostej. (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSF-IF.A.2 Używać notacji funkcyjnej, obliczać wartości funkcji dla argumentów należących do ich dziedzin i interpretować stwierdzenia wykorzystujące notację funkcyjną w odniesieniu do kontekstu. (nasze tłumaczenie)

At this stage, students work with linear rules in the form f(x) = mx + b. Given a specific numerical input for x, they substitute that value into the rule, multiply it by the slope, and add or subtract the constant term to find the unique output value.

A frequent error occurs when students confuse function notation with multiplication, reading f(4) as an instruction to multiply an unknown f by 4 rather than finding the rule's value at 4. Students also routinely make sign errors when substituting negative numbers or working with negative coefficients, dropping negative signs during the multiplication step.

Tasks on printable worksheets present linear functions and ask students to determine the output for a given domain value. In practice, students either solve for and enter the final value directly or identify the correct answer from multiple-choice options.

Finding Terms and Sums of Arithmetic Sequences

Students learn to write formulas to find any term in an arithmetic sequence and calculate the sum of a given number of terms.

Punkt podstawy HSF-BF.A.2 Zapisywać ciągi arytmetyczne i geometryczne zarówno rekurencyjnie, jak i za pomocą wzoru jawnego, wykorzystywać je do modelowania sytuacji oraz przechodzić między tymi dwiema postaciami. ★ (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSF-LE.A.2 Konstruować funkcje liniowe i wykładnicze, w tym ciągi arytmetyczne i geometryczne, na podstawie wykresu, opisu zależności lub dwóch par wartości wejściowych i wyjściowych (w tym odczytywanie ich z tabeli). (nasze tłumaczenie)

Students learn to identify arithmetic sequences with a constant difference added between consecutive terms. In 9th grade, they use explicit formulas to calculate any specific nth term directly and determine the total sum of a set number of terms without having to write out every value in between.

A frequent mistake happens when building the formula for the nth term: students often multiply the common difference by n rather than n − 1, forgetting that the starting term has no difference added yet. When calculating the sum of a sequence, students also commonly mix up the value of the final term with the total number of terms being added.

Worksheet practice focuses on two concrete exercise types:

  • Arithmetic sequence — nth term: Students take a sequence or table of values, determine the common difference, and calculate a distant term, such as the 20th or 50th term.
  • Arithmetic sequence — sum of terms: Students apply the sequence formula to find the combined total of the first n terms.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Ciąg arytmetyczny — n-ty wyraz · Ciąg arytmetyczny — suma wyrazów

Finding Terms and Sums of Geometric Sequences

Students learn to find any specific term in a geometric sequence and calculate the sum of a set of terms using formulas.

Punkt podstawy HSA-SSE.B.4 Wyprowadzać wzór na sumę skończonego szeregu geometrycznego (gdy iloraz nie jest równy 1) i stosować ten wzór do rozwiązywania problemów. Na przykład obliczać raty kredytu hipotecznego.★ (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSF-BF.A.2 Zapisywać ciągi arytmetyczne i geometryczne zarówno rekurencyjnie, jak i za pomocą wzoru jawnego, wykorzystywać je do modelowania sytuacji oraz przechodzić między tymi dwiema postaciami. ★ (nasze tłumaczenie)
Punkt podstawy HSF-LE.A.2 Konstruować funkcje liniowe i wykładnicze, w tym ciągi arytmetyczne i geometryczne, na podstawie wykresu, opisu zależności lub dwóch par wartości wejściowych i wyjściowych (w tym odczytywanie ich z tabeli). (nasze tłumaczenie)

In 9th grade, students work with geometric sequences—ordered lists of numbers where each term is found by multiplying the previous one by a fixed common ratio (not equal to 1). Students identify the starting value and the multiplier, write explicit formulas, and use them to calculate any distant term (the nth term) as well as the total sum of a finite number of terms.

A common error occurs in the exponent of the nth term formula. Students frequently multiply the starting term by the common ratio raised to the power of n instead of n − 1, forgetting that the first term involves zero multiplications. When finding sums, students often misapply negative signs or mishandle parentheses when the common ratio is a fraction or a negative number.

Worksheet tasks build this skill using two primary formats:

  • Geometric sequence — nth term: Students look at a given list of numbers (such as 3, 6, 12, ...) or a real-world scenario, determine the common ratio, and find a specific value, such as the 8th term.
  • Geometric sequence — sum of terms: Students take a sequence and calculate the total sum of its first several terms by substituting the first term, the ratio, and the count into the finite geometric series formula.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Ciąg geometryczny — n-ty wyraz · Ciąg geometryczny — suma wyrazów

Finding Terms of a Sequence

Students learn to find specific values in a sequence by substituting integer inputs into a formula or using a step-by-step recursive rule.

Punkt podstawy HSF-IF.A.3 Rozpoznawać, że ciągi są funkcjami, czasami definiowanymi rekurencyjnie, których dziedziną jest podzbiór liczb całkowitych. Na przykład ciąg Fibonacciego jest zdefiniowany rekurencyjnie przez f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) dla n ≥ 1. (nasze tłumaczenie)

In 9th grade, students treat sequences as functions whose domain consists of integers, such as n ≥ 1 or starting from n = 0. Students learn to determine specific terms by evaluating an explicit algebraic formula for a given position or by stepping through a recursive definition using provided starting values.

A frequent stumbling block is confusing the term's position number, n, with the term's value, f(n). Students also commonly misinterpret notation such as f(n − 1), accidentally subtracting 1 from the term's numerical value instead of referring to the previous term in the sequence.

Practice tasks generally focus on two standard formats:

  • Term of a sequence from its formula: Students plug an integer position directly into a function formula to calculate that specific term.
  • Term of a recursive sequence: Students start with given initial terms (such as f(0) or f(1)) and apply a recurrence relation, like f(n + 1) = f(n) + 3, to generate subsequent terms one by one.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wyraz ciągu ze wzoru ogólnego · Wyraz ciągu rekurencyjnego

Multiplying Special Binomial Products

Students learn to recognize patterns to quickly expand squares of binomials and products of sums and differences without multiplying term by term.

Punkt podstawy HSA-SSE.A.2 Wykorzystaj strukturę wyrażenia do zidentyfikowania sposobów jego przekształcenia. Na przykład dostrzeż x4 – y4 jako (x2)2 – ( y2)2, rozpoznając je w ten sposób jako różnicę kwadratów, którą można rozłożyć na czynniki jako (x2 – y2)(x2 + y2). (nasze tłumaczenie)

In 9th grade, students learn to use the underlying structure of expressions to expand them efficiently using shortcut patterns. Rather than multiplying every term one by one, they identify whether a problem matches a specific algebraic rule to write down the expanded polynomial directly.

The most common mistake happens when squaring a sum or a difference. Students frequently write (x + 4)^2 as x^2 + 16, incorrectly applying the exponent to each term inside the parentheses and leaving out the middle term generated when multiplying the binomial by itself.

Worksheet tasks give students practice with two specific templates:

  • Square of a sum or difference: expanding terms like (x + 5)^2 or (2x - 3)^2 into a complete three-term quadratic expression.
  • Product of a sum and a difference: multiplying pairs such as (x + 7)(x - 7) where the middle terms cancel out, leaving a difference of squares.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Iloczyn sumy i różnicy · Kwadrat sumy i różnicy

Finding Values of Exponential Functions

Students learn to evaluate exponential functions for given inputs and interpret initial values and growth or decay factors in real-world contexts.

Punkt podstawy HSF-LE.B.5 Interpretować parametry funkcji liniowej lub wykładniczej w odniesieniu do kontekstu. (nasze tłumaczenie)

In Grade 9, students learn to calculate the output of an exponential function and understand what each parameter represents in a word problem. They identify the starting amount (the initial value when the input is zero) and use repeated multiplication by a constant base to determine how quantities change over time.

A frequent mistake happens when dealing with decay. When a quantity shrinks, students often confuse the rate of decrease with the base multiplier—for instance, multiplying by 0.15 instead of 0.85 when something decreases by 15%. Another common error is multiplying the initial value by the base before applying the exponent, ignoring the proper order of operations.

Worksheet tasks focus on problems like Value of an exponential function and Decreasing exponential function. A typical problem presents a real-world scenario, such as the declining value of a car or the cooling of an object, and asks students to evaluate the formula after a specific number of time intervals or state what a specific number in the equation means in that situation.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Funkcja wykładnicza malejąca · Wartość funkcji wykładniczej

Finding Equations of Lines and Parallel Lines

Students learn to write the equation of a linear function given either two coordinate points or a single point and a parallel line.

Punkt podstawy HSF-BF.A.1 Zapisać funkcję opisującą zależność między dwiema wielkościami.★ a. Wyznaczyć wyrażenie w postaci jawnej, proces rekurencyjny lub kroki obliczeń na podstawie kontekstu. b. Łączyć standardowe typy funkcji za pomocą działań arytmetycznych. Na przykład zbudować funkcję modelującą temperaturę stygnącego ciała poprzez dodanie funkcji stałej do malejącej funkcji wykładniczej oraz powiązać te funkcje z modelem. c. (+) Składać funkcje. Na przykład, jeśli T(y) jest temperaturą w atmosferze w zależności od wysokości, a h(t) jest wysokością balonu meteorologicznego w zależności od czasu, to T(h(t)) jest temperaturą w miejscu balonu meteorologicznego w zależności od czasu. (nasze tłumaczenie)

In 9th grade, students learn to write an explicit algebraic equation for a linear function. They use coordinate points to calculate the slope—the rate of change—and determine where the line crosses the vertical axis (the y-intercept). When working with parallel lines, students recognize and apply the geometric principle that parallel lines share the exact same slope.

A common error occurs during coordinate substitution. When solving for the y-intercept, students frequently swap the x and y values into the formula, leading to an incorrect constant. When working with parallel lines, students also tend to alter the slope rather than keeping it identical to the original equation.

Worksheet tasks come in two standard formats:

  • Linear function through two points: Students receive two coordinates, calculate the slope between them, and write the resulting linear equation.
  • Parallel line through a point: Students are given an existing linear equation and a separate point, requiring them to extract the slope and construct a new line that passes through that specific point.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Prosta równoległa przez punkt · Wzór funkcji liniowej z dwóch punktów

Finding the Vertex and Using Vertex Form

Students learn to use vertex form and completing the square to identify the vertex, maximum or minimum value, and axis of symmetry of a parabola.

Punkt podstawy HSF-IF.C.8 Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

In 9th grade Algebra I, students learn to rewrite quadratic expressions into vertex form to reveal key features of a parabola. By using techniques such as completing the square, they convert standard quadratic functions into equivalent forms that display the graph's extreme values (maximum or minimum points) and line of symmetry without needing to plot every point.

A common hurdle is keeping track of signs within the vertex form, typically written as y = a(x - h)2 + k (or without superscript tags, as a squared term). Because of the subtraction inside the parentheses, students often mix up positive and negative coordinates, incorrectly identifying the vertex of an expression like (x + 4)2 + 1 as (4, 1) rather than (-4, 1).

Practice tasks draw from templates such as Vertex of a parabola and Vertex form of a quadratic function. A typical problem presents a quadratic equation and asks students to extract the coordinates of the turning point, identify whether it opens upward or downward, or rewrite a standard polynomial expression to pinpoint its vertex directly.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Wierzchołek paraboli · Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Solving Systems of Equations by Elimination

Students learn to solve pairs of linear equations in two variables using elimination and determine whether a system has one, none, or infinitely many solutions.

Punkt podstawy HSA-REI.C.6 Rozwiązywać układy równań liniowych dokładnie i w przybliżeniu (np. za pomocą wykresów), skupiając się na parach równań liniowych z dwiema niewiadomymi. (nasze tłumaczenie)

In Grade 9, students solve pairs of linear equations in two variables to find exact numerical solutions. Using the elimination method, they add or subtract equations—multiplying one or both equations by a constant when necessary—so that one variable cancels out. Students also evaluate the resulting algebraic statements to identify whether a system has a single coordinate pair as its solution, no solution, or infinitely many solutions.

A frequent error occurs when multiplying an entire equation to set up opposite coefficients. Students often forget to distribute negative signs or miss multiplying the constant term on the other side of the equal sign. Confusion also arises when both variables cancel out: students frequently confuse a false statement like 0 = 4 (which means there is no solution) with a true statement like 0 = 0 (which indicates infinitely many solutions).

Practice tasks generally fall into two formats:

  • System of equations — elimination presents two linear equations arranged in standard form, requiring students to find the exact values for both variables.
  • Number of solutions of a system asks students to manipulate and compare equations to state whether the system has one unique solution, no solution, or infinitely many solutions.
Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Typy zadań: Liczba rozwiązań układu · Układ równań — metoda przeciwnych współczynników

Calculating the Variance of a Data Set

Students learn to calculate the variance of a data set to measure how individual values spread out from the mean.

Punkt podstawy HSS-ID.A.2 Stosować statystyki odpowiednie do kształtu rozkładu danych, aby porównać środek (medianę, średnią) i rozproszenie (rozstęp międzykwartylowy, odchylenie standardowe) dwóch lub więcej różnych zestawów danych. (nasze tłumaczenie)

In Grade 9, students quantify how spread out numerical values are by calculating data variance. Working with a list of values, they find the mean, determine how far each data point deviates from that mean, square those individual differences, and then find the average of those squared values.

A frequent error occurs when working with deviations that fall below the mean. Students often struggle with squaring negative numbers, either dropping the negative signs too early or incorrectly writing a negative result after squaring. Another common mistake is adding the squared differences correctly but forgetting the final step of dividing by the number of data points.

Worksheets for this skill center on finding the variance of a data set. A typical task presents a short list of numbers, asking the student to carry out the calculation step-by-step to arrive at a single numerical measure of spread.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Working with Fractional Exponents

Students learn to rewrite expressions involving fractional exponents and radicals by applying the standard properties of exponents.

Punkt podstawy HSN-RN.A.2 Przekształcać wyrażenia zawierające pierwiastki i wykładniki wymierne, stosując własności potęg. (nasze tłumaczenie)

In 9th grade, students learn to work with numbers and variables raised to fractional powers. They use properties of exponents to rewrite expressions that feature rational exponents, translating smoothly between radical form and power form.

A common mistake is confusing the roles of the numerator and the denominator in a fractional power. Students often forget which value represents the root and which represents the exponent, sometimes treating a denominator as a regular multiplier or reversing the root and power when converting to radical notation.

Practice tasks based on the Power with a rational exponent template present an expression with a base raised to a fraction. Students apply exponent rules to simplify the expression or convert it between radical form and exponential form.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Solving Linear Inequalities in One Variable

Students learn to solve linear inequalities in one variable by isolating the unknown value to find all possible solutions.

Punkt podstawy HSA-REI.B.3 Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.

In 9th grade, students solve linear inequalities with one variable by using inverse operations to isolate the unknown value. They manipulate expressions containing positive and negative numbers, as well as coefficients represented by letters, to determine the entire set of numbers that makes an inequality true.

The most common mistake happens when multiplying or dividing both sides by a negative value. Students frequently forget to reverse the inequality symbol, treating the problem like a standard equation and ending up with an inequality that points in the wrong direction.

Typical tasks from the linear inequality template ask students to solve problems such as -3x + 4 < 19 or expressions with variables on both sides. Students apply addition, subtraction, multiplication, and division to isolate the variable and state the final solution.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Equations with No Solution or Infinite Solutions

Students learn to solve linear equations in one variable that result in either no solution or infinitely many solutions.

Punkt podstawy HSA-REI.B.3 Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.

Students solve multi-step linear equations in one variable where the variable terms cancel out on both sides during simplification. They learn to interpret the remaining statement: if simplifying leads to a true mathematical statement (such as 5 = 5), there are infinitely many solutions; if it produces a contradiction (such as 0 = 7), the equation has no solution.

A common mistake occurs when the variables drop out entirely and leave a true statement like 0 = 0. Students often mistakenly write that the answer is x = 0, confusing zero as a specific value with a statement that holds true for all numbers. Similarly, when faced with a false statement like 3 = 8, students frequently assume they made an arithmetic error and continue searching for a single number instead of recognizing that no value can satisfy the equation.

Worksheet tasks present an equation with no or infinitely many solutions. Students apply standard algebraic steps—such as using the distributive property, combining like terms, and isolating variables—to simplify the equation and determine whether it has no solution or infinitely many solutions.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Solving Quadratic Equations

Students learn to solve quadratic equations by factoring, taking square roots, completing the square, and using the quadratic formula, identifying both real and complex solutions.

Punkt podstawy HSA-REI.B.4 Rozwiązywać równania kwadratowe z jedną niewiadomą. a. Stosować metodę dopełniania do kwadratu w celu przekształcenia dowolnego równania kwadratowego ze zmienną x w równanie postaci (x – p)2 = q mające te same rozwiązania. Wyprowadzać wzór na pierwiastki równania kwadratowego z tej postaci. b. Rozwiązywać równania kwadratowe przez ogląd (np. dla x2 = 49), pierwiastkowanie, dopełnianie do kwadratu, wzór na pierwiastki równania kwadratowego oraz rozkład na czynniki, stosownie do początkowej postaci równania. Rozpoznawać, kiedy wzór na pierwiastki równania kwadratowego daje rozwiązania zespolone, i zapisywać je jako a ± bi dla liczb rzeczywistych a i b. (nasze tłumaczenie)

Students learn to solve quadratic equations in one variable using a range of methods matched to the equation's structure. They solve straightforward problems by inspection or square roots, such as finding values for equations like x² = 49, and transform equations into the form (x – p)² = q by completing the square. They also solve using factoring and the quadratic formula, learning to identify when an equation yields complex solutions and expressing those solutions in the form a ± bi.

A typical error happens when students take square roots and forget to include the negative root, reporting only the positive value (for example, finding 7 but omitting –7). Another frequent mistake involves sign errors when simplifying the terms under the square root in the quadratic formula, which often leads students to overlook when a solution requires complex numbers.

Practice tasks using the Quadratic equation template present equations in various initial forms. Students examine each equation, choose the most appropriate method—whether factoring, taking square roots, completing the square, or applying the quadratic formula—and write out the full solution steps.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Shifting Function Graphs Up, Down, Left, and Right

Students learn how adding or subtracting a number shifts a graph up, down, left, or right, and identify the shift value from a coordinate graph.

Punkt podstawy HSF-BF.B.3 Identyfikować wpływ na wykres zastąpienia f(x) przez f(x) + k, k f(x), f(kx) oraz f(x + k) dla określonych wartości k (zarówno dodatnich, jak i ujemnych); wyznaczać wartość k na podstawie wykresów. Eksperymentować z przypadkami i ilustrować wyjaśnienie wpływu na wykres z wykorzystaniem technologii. Uwzględniać rozpoznawanie funkcji parzystych i nieparzystych na podstawie ich wykresów oraz opisujących je wyrażeń algebraicznych. (nasze tłumaczenie)

In 9th grade, students explore how basic function graphs move along the coordinate plane when their formulas change. Focusing on translations, they learn to identify the visual effect of replacing f(x) with f(x) + k or f(x + k) for specific positive and negative values of k. They also work backward: given a base curve and a shifted curve, they find the exact positive or negative value of k that produced the move.

The most common mistake happens with horizontal translations. When students see an expression like f(x + 3), intuition tells them to move toward the positive numbers on the x-axis (to the right). In fact, adding a positive value inside the function moves the graph 3 units to the left, while subtracting moves it to the right. Students frequently reverse this horizontal direction, or confuse shifts applied inside the input, f(x + k), with vertical shifts added outside, f(x) + k.

In Translating a graph tasks, students usually work with coordinate grids showing an original function and its shifted copy. They may be asked to write the new formula, identify whether the transformation moved vertically or horizontally, or sketch the new position given an expression such as f(x) − 5 or f(x + 2).

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Calculating Average Rate of Change

Students learn to calculate, estimate, and interpret how quickly a function's values change over a specific interval using equations, tables, and graphs.

Punkt podstawy HSF-IF.B.6 Obliczać i interpretować średnią szybkość zmian funkcji (przedstawionej symbolicznie lub w postaci tabeli) w określonym przedziale. Szacować szybkość zmian na podstawie wykresu. ★ (nasze tłumaczenie)

In 9th grade, students learn to find how much a function’s output changes relative to its input over a set interval. Working with functions given as equations, data tables, or graphs, students compute the change in the output values divided by the change in the input values. When looking at a graph, they estimate this rate directly by observing the steepness between two points.

A frequent stumbling block is reversing the inputs and outputs, leading students to divide the change in x by the change in y instead of change in y over change in x. Students also commonly mistake an interval notation like [2, 5] for an (x, y) coordinate pair rather than two separate input values, or they subtract the values in an inconsistent order across the numerator and denominator.

Worksheets using the Average rate of change template present students with a function formula, a table of values, or a plotted curve alongside a specified interval. Students calculate the function values at the start and end of that interval, carry out the division, and state the rate of change or interpret what that rate represents in real-world scenarios.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Combining Functions Through Composition

Students learn to substitute one function into another to evaluate or write composite expressions like f(g(x)).

Punkt podstawy HSF-BF.A.1 Zapisać funkcję opisującą zależność między dwiema wielkościami.★ a. Wyznaczyć wyrażenie w postaci jawnej, proces rekurencyjny lub kroki obliczeń na podstawie kontekstu. b. Łączyć standardowe typy funkcji za pomocą działań arytmetycznych. Na przykład zbudować funkcję modelującą temperaturę stygnącego ciała poprzez dodanie funkcji stałej do malejącej funkcji wykładniczej oraz powiązać te funkcje z modelem. c. (+) Składać funkcje. Na przykład, jeśli T(y) jest temperaturą w atmosferze w zależności od wysokości, a h(t) jest wysokością balonu meteorologicznego w zależności od czasu, to T(h(t)) jest temperaturą w miejscu balonu meteorologicznego w zależności od czasu. (nasze tłumaczenie)

In 9th grade, students learn to connect two relationships by using the output of one function directly as the input for another. They evaluate these nested rules at a given number, such as finding f(g(3)), and build new algebraic formulas for combined functions, written as f(g(x)), using the standard linear and quadratic relationships introduced in this grade.

A common error is confusing composition with multiplication. When asked to evaluate f(g(x)), students often calculate f(x) times g(x) instead of substituting the entire expression for g(x) into the variable of f(x). Another typical slip is reversing the sequence by applying the outer rule before the inner rule, rather than working from the inside out.

Tasks in the Composition of functions set typically present two function rules, such as f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3x - 4. Students are asked to evaluate the chained rule for a specific input value or to write and simplify a single algebraic expression representing the full composition.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Finding the Inverse of a Linear Function

Students learn to write the formula for the inverse of a linear function by rearranging the equation to solve for the original input.

Punkt podstawy HSF-BF.B.4 Wyznacz funkcje odwrotne. a. Rozwiąż równanie postaci f(x) = c dla prostej funkcji f, która ma funkcję odwrotną, i zapisz wyrażenie dla funkcji odwrotnej. Na przykład f(x) =2 x3 lub f(x) = (x+1)/(x–1) dla x ≠ 1. b. (+) Sprawdź za pomocą składania, że jedna funkcja jest funkcją odwrotną do drugiej. c. (+) Odczytaj wartości funkcji odwrotnej z wykresu lub tabeli, przy założeniu, że funkcja ma funkcję odwrotną. d. (+) Utwórz funkcję odwracalną z funkcji nieodwracalnej poprzez ograniczenie dziedziny. (nasze tłumaczenie)

In 9th grade, students learn to find the inverse of a simple linear function. They take an equation of the form f(x) = mx + b, set it equal to an output value or variable, and undo the operations step by step to solve for the original input variable x. This allows them to produce a new linear rule that reverses the effect of the starting function.

A common mistake is confusing an inverse function with a reciprocal. Students frequently write 1 / f(x) instead of finding the undoing rule, partly because negative exponent notation can look similar. Another frequent error is reversing the order of operations incorrectly—such as dividing by the slope before subtracting the constant term when isolating the variable.

Worksheet tasks for the Inverse of a linear function present a linear equation, such as f(x) = 4x - 7 or f(x) = -2x + 3. Students work through the algebraic steps to isolate the input and write the resulting inverse expression, typically expressed in function notation as f⁻¹(x) = (x + 7) / 4.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Solving Systems of a Line and a Parabola

Students learn to find the points where a straight line and a parabola intersect using algebraic methods and graphing.

Punkt podstawy HSA-REI.C.7 Rozwiąż prosty układ składający się z równania liniowego i równania kwadratowego z dwiema zmiennymi algebraicznie i graficznie. Na przykład znajdź punkty przecięcia prostej y = –3x i okręgu x2 + y2 = 3. (nasze tłumaczenie)

In Grade 9, students solve systems of equations that pair a linear equation with a quadratic equation. They learn to determine the coordinates where a line and a parabola meet, working both graphically on a coordinate grid and algebraically by substituting the linear expression into the quadratic equation to solve for the shared variables.

A common mistake is finding the values for x and stopping there. Because the solution to a system represents points of intersection, students must plug each x back into the linear equation to find its matching y-value and write the final answers as complete coordinate pairs, such as (x, y). Students also frequently make sign errors when setting the combined equation equal to zero before factoring or using the quadratic formula.

Worksheet tasks focus on finding the intersections of a parabola and a line. A typical exercise provides a system like y = x² + 2x - 1 and y = x + 5, asking students to either graph both equations to identify where they cross or use substitution to calculate the exact intersection points.

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Finding the Value of a Quadratic Function

Students learn to substitute a given number into a quadratic function and calculate its output value using function notation.

Punkt podstawy HSF-IF.A.2 Używać notacji funkcyjnej, obliczać wartości funkcji dla argumentów należących do ich dziedzin i interpretować stwierdzenia wykorzystujące notację funkcyjną w odniesieniu do kontekstu. (nasze tłumaczenie)

Students learn to use function notation to evaluate quadratic expressions for specific input numbers. Given a rule such as f(x), they replace the variable with the chosen input, square the value, multiply by any coefficients, and combine the terms to find the final output value.

A frequent stumbling block involves negative inputs and the order of operations. Students often misapply signs when squaring a negative number—writing -3² = -9 instead of (-3)² = 9—or they multiply the input by an outside coefficient before squaring, which leads to an incorrect result.

Practice tasks based on the Value of a quadratic function template typically present an equation such as f(x) = 2x² - 5x + 3 and prompt students to determine outputs such as f(4) or f(-2).

Wygeneruj arkusz z tej umiejętności

Szablony zadań do druku

Wszystkie typy zadań, pogrupowane według umiejętności. Kliknięcie otwiera generator z wybranym już typem.

Factoring Polynomials: Grouping and Cubes

Finding Terms and Sums of Arithmetic Sequences

Finding Terms and Sums of Geometric Sequences

Finding Terms of a Sequence

Multiplying Special Binomial Products

Finding Values of Exponential Functions

Finding Equations of Lines and Parallel Lines

Finding the Vertex and Using Vertex Form

Solving Systems of Equations by Elimination

Calculating the Variance of a Data Set

Working with Fractional Exponents

Solving Linear Inequalities in One Variable

Equations with No Solution or Infinite Solutions

Solving Quadratic Equations

Shifting Function Graphs Up, Down, Left, and Right

Calculating Average Rate of Change

Combining Functions Through Composition

Finding the Inverse of a Linear Function

Solving Systems of a Line and a Parabola

Finding the Value of a Quadratic Function

Pozostałe typy zadań

Wygeneruj arkusz z tego zakresu