Lehrplan (Vereinigte Staaten)

Mathematik — Klasse 9

Mathematik der 9. Klasse nach den Common Core State Standards, üblicherweise Algebra I: lineare Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme, lineare und quadratische Funktionen, Faktorisieren, rationale Exponenten, Folgen und Exponentialfunktionen. Zu jedem Thema gibt es druckbare Arbeitsblätter.

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Was lernen Schüler in der 9. Klasse in Mathematik?

In der 9. Klasse lösen Schülerinnen und Schüler lineare Gleichungen, Ungleichungen und Gleichungssysteme, stellen lineare Funktionen aus zwei Punkten auf und interpretieren die mittlere Änderungsrate. Sie faktorisieren Polynome, nutzen binomische Formeln und rationale Exponenten, lösen quadratische Gleichungen und arbeiten mit der Scheitelpunktform einer quadratischen Funktion. Arithmetische und geometrische Folgen, Exponentialfunktionen, Funktionsverkettungen und Umkehrfunktionen runden das Schuljahr ab.

Zu den Standards: Die Common-Core-Standards für die High School sind nach inhaltlichen Kategorien (Zahlen und Größen, Algebra, Funktionen, Geometrie, Statistik und Wahrscheinlichkeit) gegliedert, nicht nach Klassenstufen. Die Zuordnung eines Themas zu einer Klassenstufe ist unsere Entscheidung und folgt der üblichen Kursabfolge von Algebra I, Geometrie, Algebra II und Precalculus. Mit (+) gekennzeichnete Standards gehen über die Kernanforderungen für Studien- und Berufsfähigkeit hinaus.

Status der Seite: Die Themen dieser Klassenstufe stehen als einfache Übungen (Aufgabenstellung und Formel) bereit; Aufgaben mit Diagrammen und Textaufgaben werden als Nächstes ergänzt.

Lehrplanumfang

Lehrplanpunkt HSN-RN · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Das System der reellen Zahlen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): The Real Number System

CCSS Mathematics (2010), High School, domain The Real Number System (HSN-RN)
Lehrplanpunkt HSN-RN.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Potenzgesetze auf rationale Exponenten erweitern.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Extend the properties of exponents to rational exponents.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, cluster A
Lehrplanpunkt HSN-RN.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Eigenschaften rationaler und irrationaler Zahlen anwenden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use properties of rational and irrational numbers.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, cluster B
Lehrplanpunkt HSN-RN.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Erklären, wie sich die Definition der Bedeutung rationaler Exponenten aus der Erweiterung der Eigenschaften ganzzahliger Exponenten auf diese Werte ergibt, was eine Schreibweise für Wurzeln mittels rationaler Exponenten ermöglicht. Zum Beispiel definieren wir 5 1/3 als die dritte Wurzel aus 5, weil wir wollen, dass (51/3)3 = 5(1/3)3 gilt, sodass (51/3)3 gleich 5 sein muss.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Explain how the definition of the meaning of rational exponents follows from extending the properties of integer exponents to those values, allowing for a notation for radicals in terms of rational exponents. For example, we define 5 1/3 to be the cube root of 5 because we want (51/3)3 = 5(1/3)3 to hold, so (51/3)3 must equal 5.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.A.1
Lehrplanpunkt HSN-RN.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Terme mit Wurzeln und rationalen Exponenten unter Verwendung der Potenzgesetze umschreiben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Rewrite expressions involving radicals and rational exponents using the properties of exponents.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.A.2

Working with Fractional Exponents (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt HSN-RN.B.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Erklären, warum die Summe oder das Produkt zweier rationaler Zahlen rational ist; dass die Summe einer rationalen Zahl und einer irrationalen Zahl irrational ist; und dass das Produkt einer von null verschiedenen rationalen Zahl und einer irrationalen Zahl irrational ist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Explain why the sum or product of two rational numbers is rational; that the sum of a rational number and an irrational number is irrational; and that the product of a nonzero rational number and an irrational number is irrational.

CCSS Mathematics (2010), High School, The Real Number System, standard HSN-RN.B.3
Lehrplanpunkt HSN-Q · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Größen★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Quantities★

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Quantities★ (HSN-Q)
Lehrplanpunkt HSN-Q.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Quantitativ argumentieren und Einheiten zum Lösen von Problemen verwenden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Reason quantitatively and use units to solve problems.

CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, cluster A
Lehrplanpunkt HSN-Q.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Einheiten als Möglichkeit nutzen, um Probleme zu verstehen und die Lösung mehrschrittiger Probleme zu leiten; Einheiten in Formeln konsistent wählen und interpretieren; den Maßstab und den Ursprung in Graphen und Datendarstellungen wählen und interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use units as a way to understand problems and to guide the solution of multi-step problems; choose and interpret units consistently in formulas; choose and interpret the scale and the origin in graphs and data displays.

CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.1
Lehrplanpunkt HSN-Q.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geeignete Größen zum Zweck der beschreibenden Modellierung definieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Define appropriate quantities for the purpose of descriptive modeling.

CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.2
Lehrplanpunkt HSN-Q.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Bei der Angabe von Größen einen den Einschränkungen der Messung angemessenen Genauigkeitsgrad wählen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Choose a level of accuracy appropriate to limitations on measurement when reporting quantities.

CCSS Mathematics (2010), High School, Quantities★, standard HSN-Q.A.3
Lehrplanpunkt HSA-SSE · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Strukturen in Termen erkennen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Seeing Structure in Expressions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)
Lehrplanpunkt HSA-SSE.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Struktur von Termen interpretieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpret the structure of expressions

CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A
Lehrplanpunkt HSA-SSE.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Terme in äquivalenten Formen schreiben, um Probleme zu lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B
Lehrplanpunkt HSA-SSE.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Ausdrücke, die eine Größe darstellen, im Kontext interpretieren.★ a. Teile eines Ausdrucks wie Terme, Faktoren und Koeffizienten interpretieren. b. Komplizierte Ausdrücke interpretieren, indem ein oder mehrere ihrer Teile als eine Einheit betrachtet werden. Zum Beispiel P(1+r)n als das Produkt von P und einem nicht von P abhängigen Faktor interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1
Lehrplanpunkt HSA-SSE.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Struktur eines Terms nutzen, um Möglichkeiten zu dessen Umformung zu erkennen. Zum Beispiel x4 – y4 als (x2)2 – ( y2)2 ansehen und ihn dadurch als Differenz von Quadraten erkennen, die als (x2 – y2)(x2 + y2) faktorisiert werden kann.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

Multiplying Special Binomial Products (bei uns in Klasse 9-11) · Factoring Polynomials: Grouping and Cubes (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSA-SSE.B.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Eine äquivalente Form eines Terms auswählen und erzeugen, um Eigenschaften der durch den Term dargestellten Größe aufzuzeigen und zu erklären. ★ a. Einen quadratischen Term faktorisieren, um die Nullstellen der durch ihn definierten Funktion aufzuzeigen. b. Die quadratische Ergänzung bei einem quadratischen Term anwenden, um den Maximal- oder Minimalwert der durch ihn definierten Funktion aufzuzeigen. c. Die Potenzgesetze verwenden, um Terme für Exponentialfunktionen umzuformen. Zum Beispiel kann der Term 1.15t als (1.151/12)12t ≈ 1.01212t umgeschrieben werden, um den ungefähren äquivalenten monatlichen Zinssatz aufzuzeigen, wenn der jährliche Zinssatz 15% beträgt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Choose and produce an equivalent form of an expression to reveal and explain properties of the quantity represented by the expression. ★ a. Factor a quadratic expression to reveal the zeros of the function it defines. b. Complete the square in a quadratic expression to reveal the maximum or minimum value of the function it defines. c. Use the properties of exponents to transform expressions for exponential functions. For example the expression 1.15t can be rewritten as (1.151/12)12t ≈ 1.01212t to reveal the approximate equivalent monthly interest rate if the annual rate is 15%.

CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.B.3
Lehrplanpunkt HSA-APR · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Arithmetik mit Polynomen und rationalen Ausdrücken

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)
Lehrplanpunkt HSA-APR.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Arithmetische Operationen mit Polynomen durchführen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A
Lehrplanpunkt HSA-APR.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verstehen, dass Polynome ein System analog zu den ganzen Zahlen bilden, nämlich dass sie bezüglich der Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation abgeschlossen sind; Polynome addieren, subtrahieren und multiplizieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1
Lehrplanpunkt HSA-CED · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen aufstellen★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Creating Equations★

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)
Lehrplanpunkt HSA-CED.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen aufstellen, die Zahlen oder Beziehungen beschreiben

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Create equations that describe numbers or relationships

CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A
Lehrplanpunkt HSA-CED.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen aufstellen und diese zum Lösen von Problemen verwenden. Gleichungen einbeziehen, die sich aus linearen und quadratischen Funktionen sowie einfachen rationalen Funktionen und Exponentialfunktionen ergeben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1
Lehrplanpunkt HSA-CED.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen mit zwei oder mehr Variablen aufstellen, um Beziehungen zwischen Größen darzustellen; Gleichungen auf Koordinatenachsen mit Beschriftungen und Skalierungen grafisch darstellen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2
Lehrplanpunkt HSA-CED.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Nebenbedingungen durch Gleichungen oder Ungleichungen sowie durch Systeme von Gleichungen und/oder Ungleichungen darstellen und Lösungen in einem Modellierungskontext als realisierbare oder nicht realisierbare Optionen interpretieren. Zum Beispiel Ungleichungen darstellen, die ernährungs- und kostenbezogene Nebenbedingungen bei Kombinationen verschiedener Lebensmittel beschreiben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3
Lehrplanpunkt HSA-CED.A.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Formeln umstellen, um eine gesuchte Größe hervorzuheben, unter Verwendung derselben Überlegungen wie beim Lösen von Gleichungen. Zum Beispiel das ohmsche Gesetz V = IR umstellen, um den Widerstand R hervorzuheben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4
Lehrplanpunkt HSA-REI · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Argumentieren mit Gleichungen und Ungleichungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)
Lehrplanpunkt HSA-REI.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Das Lösen von Gleichungen als Argumentationsprozess verstehen und die Argumentation erklären

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A
Lehrplanpunkt HSA-REI.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Solve equations and inequalities in one variable

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster B
Lehrplanpunkt HSA-REI.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungssysteme lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Solve systems of equations

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C
Lehrplanpunkt HSA-REI.D · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen und Ungleichungen grafisch darstellen und lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D
Lehrplanpunkt HSA-REI.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Jeden Schritt beim Lösen einer einfachen Gleichung als Folgerung aus der im vorherigen Schritt behaupteten Gleichheit von Zahlen erklären, ausgehend von der Annahme, dass die ursprüngliche Gleichung eine Lösung hat. Ein stichhaltiges Argument zur Begründung eines Lösungswegs konstruieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Explain each step in solving a simple equation as following from the equality of numbers asserted at the previous step, starting from the assumption that the original equation has a solution. Construct a viable argument to justify a solution method.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.A.1
Lehrplanpunkt HSA-REI.B.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.B.3

Solving Linear Inequalities in One Variable (bei uns in Klasse 9) · Equations with No Solution or Infinite Solutions (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt HSA-REI.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Quadratische Gleichungen mit einer Variablen lösen. a. Die Methode der quadratischen Ergänzung anwenden, um jede quadratische Gleichung in x in eine Gleichung der Form (x – p)2 = q umzuformen, die dieselben Lösungen hat. Die quadratische Lösungsformel aus dieser Form herleiten. b. Quadratische Gleichungen durch Hinsehen (z. B. für x2 = 49), Quadratwurzelziehen, quadratische Ergänzung, die quadratische Lösungsformel und Faktorisieren lösen, je nach Ausgangsform der Gleichung. Erkennen, wann die quadratische Lösungsformel komplexe Lösungen ergibt, und diese als a ± bi für reelle Zahlen a und b schreiben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Solve quadratic equations in one variable. a. Use the method of completing the square to transform any quadratic equation in x into an equation of the form (x – p)2 = q that has the same solutions. Derive the quadratic formula from this form. b. Solve quadratic equations by inspection (e.g., for x2 = 49), taking square roots, completing the square, the quadratic formula and factoring, as appropriate to the initial form of the equation. Recognize when the quadratic formula gives complex solutions and write them as a ± bi f or real numbers a and b.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.B.4

Solving Quadratic Equations (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt HSA-REI.C.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Beweisen, dass bei einem gegebenen System aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen das Ersetzen einer Gleichung durch die Summe dieser Gleichung und eines Vielfachen der anderen ein System mit denselben Lösungen ergibt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Prove that, given a system of two equations in two variables, replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.5
Lehrplanpunkt HSA-REI.C.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Lineare Gleichungssysteme exakt und näherungsweise (z. B. mit Graphen) lösen, mit Schwerpunkt auf Paaren linearer Gleichungen mit zwei Variablen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Solve systems of linear equations exactly and approximately (e.g., with graphs), focusing on pairs of linear equations in two variables.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.6

Solving Systems of Equations by Elimination (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt HSA-REI.C.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Ein einfaches System, bestehend aus einer linearen Gleichung und einer quadratischen Gleichung mit zwei Variablen, algebraisch und grafisch lösen. Zum Beispiel die Schnittpunkte zwischen der Geraden y = –3x und dem Kreis x2 + y2 = 3 finden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Solve a simple system consisting of a linear equation and a quadratic equation in two variables algebraically and graphically. For example, find the points of intersection between the line y = –3x and the circle x2 + y2 = 3.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.7

Solving Systems of a Line and a Parabola (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt HSA-REI.D.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verstehen, dass der Graph einer Gleichung mit zwei Variablen die Menge aller ihrer in der Koordinatenebene dargestellten Lösungen ist, die oft eine Kurve (die eine Gerade sein kann) bilden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand that the graph of an equation in two variables is the set of all its solutions plotted in the coordinate plane, often forming a curve (which could be a line).

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.10
Lehrplanpunkt HSA-REI.D.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Erklären, warum die x-Koordinaten der Punkte, an denen sich die Graphen der Gleichungen y = f(x) und y = g(x) schneiden, die Lösungen der Gleichung f(x) = g(x) sind; die Lösungen näherungsweise bestimmen, z. B. unter Verwendung von Technologie, um die Funktionen grafisch darzustellen, Wertetabellen zu erstellen oder schrittweise Näherungen zu finden. Fälle einbeziehen, in denen f(x) und/oder g(x) lineare, polynomielle, rationale, Betrags-, Exponential- und logarithmische Funktionen sind.★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11
Lehrplanpunkt HSA-REI.D.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Lösungen einer linearen Ungleichung mit zwei Variablen als Halbebene grafisch darstellen (unter Ausschluss des Randes im Fall einer strikten Ungleichung) und die Lösungsmenge eines Systems linearer Ungleichungen mit zwei Variablen als Schnittmenge der entsprechenden Halbebenen grafisch darstellen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Graph the solutions to a linear inequality in two variables as a half-plane (excluding the boundary in the case of a strict inequality), and graph the solution set to a system of linear inequalities in two variables as the intersection of the corresponding half-planes.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.12
Lehrplanpunkt HSF-IF · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen interpretieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpreting Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)
Lehrplanpunkt HSF-IF.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Funktionsbegriff verstehen und die Funktionsschreibweise verwenden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand the concept of a function and use function notation

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster A
Lehrplanpunkt HSF-IF.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen, die in Anwendungen auftreten, im Kontext interpretieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B
Lehrplanpunkt HSF-IF.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen mithilfe verschiedener Darstellungen analysieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Analyze functions using different representations

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C
Lehrplanpunkt HSF-IF.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Understand that a function from one set (called the domain) to another set (called the range) assigns to each element of the domain exactly one element of the range. If f is a function and x is an element of its domain, then f(x) denotes the output of f corresponding to the input x. The graph of f is the graph of the equation y = f(x).

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.1
Lehrplanpunkt HSF-IF.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionsschreibweise verwenden, Funktionen für Eingabewerte in ihren Definitionsbereichen auswerten und Aussagen, die die Funktionsschreibweise verwenden, im Kontext interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use function notation, evaluate functions for inputs in their domains, and interpret statements that use function notation in terms of a context.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.2

Finding the Value of a Quadratic Function (bei uns in Klasse 9) · Evaluating Linear Functions (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt HSF-IF.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Erkennen, dass Folgen Funktionen sind, manchmal rekursiv definiert, deren Definitionsbereich eine Teilmenge der ganzen Zahlen ist. Zum Beispiel ist die Fibonacci-Folge rekursiv definiert durch f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) für n ≥ 1.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Recognize that sequences are functions, sometimes defined recursively, whose domain is a subset of the integers. For example, the Fibonacci sequence is defined recursively by f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) for n ≥ 1.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.A.3

Finding Terms of a Sequence (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt HSF-IF.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Für eine Funktion, die eine Beziehung zwischen zwei Größen modelliert, wesentliche Merkmale von Graphen und Tabellen bezogen auf die Größen interpretieren und bei gegebener verbaler Beschreibung der Beziehung Graphen skizzieren, die wesentliche Merkmale zeigen. Zu den wesentlichen Merkmalen gehören: Achsenabschnitte; Intervalle, in denen die Funktion steigend, fallend, positiv oder negativ ist; relative Maxima und Minima; Symmetrien; Verhalten im Unendlichen; und Periodizität.★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4
Lehrplanpunkt HSF-IF.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Definitionsbereich einer Funktion zu ihrem Graphen und, falls zutreffend, zu der quantitativen Beziehung, die sie beschreibt, in Beziehung setzen. Wenn zum Beispiel die Funktion h(n) die Anzahl der Personenstunden angibt, die für die Montage von n Motoren in einer Fabrik benötigt werden, dann wären die positiven ganzen Zahlen ein geeigneter Definitionsbereich für die Funktion. ★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5
Lehrplanpunkt HSF-IF.B.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion (symbolisch oder als Tabelle dargestellt) über einem vorgegebenen Intervall berechnen und interpretieren. Die Änderungsrate anhand eines Graphen schätzen. ★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

Calculating Average Rate of Change (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-IF.C.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen, die symbolisch angegeben sind, grafisch darstellen und wesentliche Merkmale des Graphen aufzeigen, in einfachen Fällen von Hand und bei komplizierteren Fällen unter Einsatz von Technologie. ★ a. Lineare und quadratische Funktionen grafisch darstellen und Achsenabschnitte, Maxima und Minima aufzeigen. b. Quadratwurzel-, Kubikwurzel- und abschnittsweise definierte Funktionen grafisch darstellen, einschließlich Treppenfunktionen und Betragsfunktionen. c. Polynomfunktionen grafisch darstellen, Nullstellen bestimmen, wenn geeignete Faktorisierungen vorliegen, und das Verhalten im Unendlichen aufzeigen. d. (+) Rationale Funktionen grafisch darstellen, Nullstellen und Asymptoten bestimmen, wenn geeignete Faktorisierungen vorliegen, und das Verhalten im Unendlichen aufzeigen. e. Exponential- und Logarithmusfunktionen grafisch darstellen und dabei Achsenabschnitte und das Verhalten im Unendlichen aufzeigen sowie trigonometrische Funktionen grafisch darstellen und dabei Periode, Mittellinie und Amplitude aufzeigen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7
Lehrplanpunkt HSF-IF.C.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

Finding the Vertex and Using Vertex Form (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-IF.C.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Eigenschaften zweier Funktionen vergleichen, die jeweils auf unterschiedliche Weise dargestellt sind (algebraisch, grafisch, numerisch in Tabellen oder durch verbale Beschreibungen). Zum Beispiel bei einem gegebenen Graphen einer quadratischen Funktion und einem algebraischen Ausdruck für eine andere angeben, welche das größere Maximum hat.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9
Lehrplanpunkt HSF-BF · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen bilden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Building Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)
Lehrplanpunkt HSF-BF.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Eine Funktion aufstellen, die eine Beziehung zwischen zwei Größen modelliert

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A
Lehrplanpunkt HSF-BF.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Neue Funktionen aus bestehenden Funktionen bilden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Build new functions from existing functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B
Lehrplanpunkt HSF-BF.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Eine Funktion aufstellen, die eine Beziehung zwischen zwei Größen beschreibt.★ a. Einen expliziten Ausdruck, einen rekursiven Prozess oder Rechenschritte aus einem Kontext bestimmen. b. Standardfunktionstypen unter Verwendung arithmetischer Operationen verknüpfen. Zum Beispiel eine Funktion aufstellen, die die Temperatur eines abkühlenden Körpers modelliert, indem eine konstante Funktion zu einer abklingenden Exponentialfunktion addiert wird, und diese Funktionen mit dem Modell in Beziehung setzen. c. (+) Funktionen verketten. Wenn zum Beispiel T(y) die Temperatur in der Atmosphäre als Funktion der Höhe ist und h(t) die Höhe eines Wetterballons als Funktion der Zeit, dann ist T(h(t)) die Temperatur am Ort des Wetterballons als Funktion der Zeit.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

Finding Equations of Lines and Parallel Lines (bei uns in Klasse 9-11) · Combining Functions Through Composition (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-BF.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms. ★

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.2

Finding Terms and Sums of Arithmetic Sequences (bei uns in Klasse 9) · Finding Terms and Sums of Geometric Sequences (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-BF.B.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Auswirkung auf den Graphen beim Ersetzen von f(x) durch f(x) + k, k f(x), f(kx) und f(x + k) für bestimmte Werte von k (sowohl positive als auch negative) bestimmen; den Wert von k anhand der Graphen ermitteln. Mit Fällen experimentieren und eine Erklärung der Auswirkungen auf den Graphen mithilfe von Technologie veranschaulichen. Das Erkennen gerader und ungerader Funktionen anhand ihrer Graphen und algebraischer Ausdrücke für diese einbeziehen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

Shifting Function Graphs Up, Down, Left, and Right (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-BF.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Umkehrfunktionen bestimmen. a. Eine Gleichung der Form f(x) = c für eine einfache Funktion f, die eine Umkehrfunktion besitzt, lösen und einen Term für die Umkehrfunktion angeben. Zum Beispiel f(x) =2 x3 oder f(x) = (x+1)/(x–1) für x ≠ 1. b. (+) Durch Verkettung nachweisen, dass eine Funktion die Umkehrfunktion einer anderen ist. c. (+) Werte einer Umkehrfunktion aus einem Graphen oder einer Tabelle ablesen, vorausgesetzt, dass die Funktion eine Umkehrfunktion besitzt. d. (+) Durch Einschränken des Definitionsbereichs aus einer nicht umkehrbaren Funktion eine umkehrbare Funktion bilden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

Finding the Inverse of a Linear Function (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-LE · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Lineare, quadratische und exponentielle Modelle★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)
Lehrplanpunkt HSF-LE.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Lineare, quadratische und exponentielle Modelle konstruieren und vergleichen und Probleme lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A
Lehrplanpunkt HSF-LE.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Interpret expressions for functions in terms of the situation they model

CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster B
Lehrplanpunkt HSF-LE.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Zwischen Situationen unterscheiden, die mit linearen Funktionen und mit Exponentialfunktionen modelliert werden können. a. Beweisen, dass lineare Funktionen über gleichen Intervallen um gleiche Differenzen wachsen und dass Exponentialfunktionen über gleichen Intervallen um gleiche Faktoren wachsen. b. Situationen erkennen, in denen sich eine Größe im Verhältnis zu einer anderen mit einer konstanten Rate pro Einheitsintervall ändert. c. Situationen erkennen, in denen eine Größe im Verhältnis zu einer anderen mit einer konstanten prozentualen Rate pro Einheitsintervall wächst oder abnimmt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Distinguish between situations that can be modeled with linear functions and with exponential functions. a. Prove that linear functions grow by equal differences over equal intervals, and that exponential functions grow by equal factors over equal intervals. b. Recognize situations in which one quantity changes at a constant rate per unit interval relative to another. c. Recognize situations in which a quantity grows or decays by a constant percent rate per unit interval relative to another.

CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.1
Lehrplanpunkt HSF-LE.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Lineare und exponentielle Funktionen, einschließlich arithmetischer und geometrischer Folgen, anhand eines Graphen, einer Beschreibung eines Zusammenhangs oder zweier Eingabe-Ausgabe-Paare aufstellen (einschließlich des Ablesens dieser aus einer Tabelle).

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Construct linear and exponential functions, including arithmetic and geometric sequences, given a graph, a description of a relationship, or two input-output pairs (include reading these from a table).

CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.2

Finding Terms and Sums of Arithmetic Sequences (bei uns in Klasse 9) · Finding Terms and Sums of Geometric Sequences (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-LE.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Anhand von Graphen und Tabellen beobachten, dass eine exponentiell wachsende Größe eine linear, quadratisch oder (allgemeiner) als Polynomfunktion wachsende Größe schließlich übersteigt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Observe using graphs and tables that a quantity increasing exponentially eventually exceeds a quantity increasing linearly, quadratically, or (more generally) as a polynomial function.

CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.A.3
Lehrplanpunkt HSF-LE.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Parameter in einer linearen oder exponentiellen Funktion im Kontext interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpret the parameters in a linear or exponential function in terms of a context.

CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, standard HSF-LE.B.5

Finding Values of Exponential Functions (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt HSS-ID · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Interpretieren kategorialer und quantitativer Daten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)
Lehrplanpunkt HSS-ID.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Daten zu einer einzelnen Zähl- oder Messvariable zusammenfassen, darstellen und interpretieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A
Lehrplanpunkt HSS-ID.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Summarize, represent, and interpret data on two categorical and quantitative variables

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster B
Lehrplanpunkt HSS-ID.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Lineare Modelle interpretieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpret linear models

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster C
Lehrplanpunkt HSS-ID.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Daten mit Diagrammen auf der reellen Zahlengeraden darstellen (Punktdiagramme, Histogramme und Boxplots).

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Represent data with plots on the real number line (dot plots, histograms, and box plots).

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.1
Lehrplanpunkt HSS-ID.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Statistische Kennwerte, die der Form der Datenverteilung angemessen sind, verwenden, um Zentrum (Median, Mittelwert) und Streuung (Interquartilsabstand, Standardabweichung) von zwei oder mehr verschiedenen Datensätzen zu vergleichen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use statistics appropriate to the shape of the data distribution to compare center (median, mean) and spread (interquartile range, standard deviation) of two or more different data sets.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.2

Calculating the Variance of a Data Set (bei uns in Klasse 9)
Lehrplanpunkt HSS-ID.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Unterschiede in Form, Lage und Streuung im Kontext der Datensätze unter Berücksichtigung möglicher Auswirkungen extremer Datenpunkte (Ausreißer) interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpret differences in shape, center, and spread in the context of the data sets, accounting for possible effects of extreme data points (outliers).

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.A.3
Lehrplanpunkt HSS-ID.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Kategoriale Daten für zwei Kategorien in zweidimensionalen Häufigkeitstabellen zusammenfassen. Relative Häufigkeiten im Kontext der Daten interpretieren (einschließlich gemeinsamer, Rand- und bedingter relativer Häufigkeiten). Mögliche Zusammenhänge und Trends in den Daten erkennen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Summarize categorical data for two categories in two-way frequency tables. Interpret relative frequencies in the context of the data (including joint, marginal, and conditional relative frequencies). Recognize possible associations and trends in the data.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.5
Lehrplanpunkt HSS-ID.B.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Daten zu zwei quantitativen Variablen in einem Streudiagramm darstellen und beschreiben, wie die Variablen zusammenhängen. a. Eine Funktion an die Daten anpassen; an Daten angepasste Funktionen verwenden, um Probleme im Kontext der Daten zu lösen. Vorgegebene Funktionen verwenden oder eine durch den Kontext nahegelegte Funktion wählen. Lineare, quadratische und exponentielle Modelle hervorheben. b. Die Güte der Anpassung einer Funktion informell beurteilen, indem Residuen grafisch dargestellt und analysiert werden. c. Eine lineare Funktion an ein Streudiagramm anpassen, das einen linearen Zusammenhang nahelegt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Represent data on two quantitative variables on a scatter plot, and describe how the variables are related. a. Fit a function to the data; use functions fitted to data to solve problems in the context of the data. Use given functions or choose a function suggested by the context. Emphasize linear, quadratic, and exponential models. b. Informally assess the fit of a function by plotting and analyzing residuals. c. Fit a linear function for a scatter plot that suggests a linear association.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.6
Lehrplanpunkt HSS-ID.C.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Steigung (Änderungsrate) und den Achsenabschnitt (konstanten Term) eines linearen Modells im Kontext der Daten interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpret the slope (rate of change) and the intercept (constant term) of a linear model in the context of the data.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.7
Lehrplanpunkt HSS-ID.C.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Korrelationskoeffizienten einer linearen Anpassung (unter Verwendung von Technologie) berechnen und interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Compute (using technology) and interpret the correlation coefficient of a linear fit.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.8
Lehrplanpunkt HSS-ID.C.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Zwischen Korrelation und Kausalität unterscheiden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Distinguish between correlation and causation.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.C.9

Kompetenzen Schritt für Schritt

Factoring Polynomials: Grouping and Cubes

Students learn to rewrite polynomial expressions by factoring out common monomials, grouping terms, and using the sum and difference of cubes.

Lehrplanpunkt HSA-SSE.A.2 Die Struktur eines Terms nutzen, um Möglichkeiten zu dessen Umformung zu erkennen. Zum Beispiel x4 – y4 als (x2)2 – ( y2)2 ansehen und ihn dadurch als Differenz von Quadraten erkennen, die als (x2 – y2)(x2 + y2) faktorisiert werden kann. (unsere Übersetzung)

In 9th grade, students learn to inspect the structure of a polynomial expression to identify how it can be rewritten in factored form. At this stage, they expand beyond basic trinomials to extract greatest common factors, factor four-term expressions by grouping terms into pairs, and recognize expressions made of two cubed terms.

A frequent error occurs with negative signs when factoring by grouping: students often forget to change the sign of the second term when pulling a negative monomial out of a pair. With cubes, students commonly mix up the signs in the formula or mistakenly treat the resulting quadratic factor as a standard trinomial that can be factored further.

Printable practice on this skill focuses on three types of tasks:

Factoring out a monomial: finding the greatest common factor shared across all terms and dividing it out in front of parentheses.
Factoring by grouping: organizing four terms into two pairs to extract a common binomial factor.
Sum and difference of cubes: identifying expressions with two cubed terms and rewriting them as a product of a linear factor and a quadratic factor.

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Aufgabentypen: Monom ausklammern · Faktorisieren durch Gruppieren · Summe und Differenz von Kuben

Evaluating Linear Functions

Students learn to substitute a given input into a linear equation using function notation to calculate the single matching output value.

Lehrplanpunkt 8.F.A.1 Verstehen, dass eine Funktion eine Vorschrift ist, die jeder Eingabe genau eine Ausgabe zuordnet. Der Graph einer Funktion ist die Menge der geordneten Paare, die aus einer Eingabe und der zugehörigen Ausgabe bestehen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt 8.F.A.3 Die Gleichung y = mx + b als Definition einer linearen Funktion interpretieren, deren Graph eine Gerade ist; Beispiele für Funktionen angeben, die nicht linear sind. Beispielsweise ist die Funktion A = s2, die den Flächeninhalt eines Quadrats in Abhängigkeit von seiner Seitenlänge angibt, nicht linear, weil ihr Graph die Punkte (1,1), (2,4) und (3,9) enthält, die nicht auf einer Geraden liegen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSF-IF.A.2 Funktionsschreibweise verwenden, Funktionen für Eingabewerte in ihren Definitionsbereichen auswerten und Aussagen, die die Funktionsschreibweise verwenden, im Kontext interpretieren. (unsere Übersetzung)

At this stage, students work with linear rules in the form f(x) = mx + b. Given a specific numerical input for x, they substitute that value into the rule, multiply it by the slope, and add or subtract the constant term to find the unique output value.

A frequent error occurs when students confuse function notation with multiplication, reading f(4) as an instruction to multiply an unknown f by 4 rather than finding the rule's value at 4. Students also routinely make sign errors when substituting negative numbers or working with negative coefficients, dropping negative signs during the multiplication step.

Tasks on printable worksheets present linear functions and ask students to determine the output for a given domain value. In practice, students either solve for and enter the final value directly or identify the correct answer from multiple-choice options.

Finding Terms and Sums of Arithmetic Sequences

Students learn to write formulas to find any term in an arithmetic sequence and calculate the sum of a given number of terms.

Lehrplanpunkt HSF-BF.A.2 Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms. ★
Lehrplanpunkt HSF-LE.A.2 Lineare und exponentielle Funktionen, einschließlich arithmetischer und geometrischer Folgen, anhand eines Graphen, einer Beschreibung eines Zusammenhangs oder zweier Eingabe-Ausgabe-Paare aufstellen (einschließlich des Ablesens dieser aus einer Tabelle). (unsere Übersetzung)

Students learn to identify arithmetic sequences with a constant difference added between consecutive terms. In 9th grade, they use explicit formulas to calculate any specific nth term directly and determine the total sum of a set number of terms without having to write out every value in between.

A frequent mistake happens when building the formula for the nth term: students often multiply the common difference by n rather than n − 1, forgetting that the starting term has no difference added yet. When calculating the sum of a sequence, students also commonly mix up the value of the final term with the total number of terms being added.

Worksheet practice focuses on two concrete exercise types:

Arithmetic sequence — nth term: Students take a sequence or table of values, determine the common difference, and calculate a distant term, such as the 20th or 50th term.
Arithmetic sequence — sum of terms: Students apply the sequence formula to find the combined total of the first n terms.

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Aufgabentypen: Arithmetische Folge — Summe · Arithmetische Folge — n-tes Glied

Finding Terms and Sums of Geometric Sequences

Students learn to find any specific term in a geometric sequence and calculate the sum of a set of terms using formulas.

Lehrplanpunkt HSA-SSE.B.4 Die Formel für die Summe einer endlichen geometrischen Reihe herleiten (wenn der Quotient nicht 1 ist) und die Formel verwenden, um Probleme zu lösen. Zum Beispiel Hypothekenzahlungen berechnen.★ (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSF-BF.A.2 Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms. ★
Lehrplanpunkt HSF-LE.A.2 Lineare und exponentielle Funktionen, einschließlich arithmetischer und geometrischer Folgen, anhand eines Graphen, einer Beschreibung eines Zusammenhangs oder zweier Eingabe-Ausgabe-Paare aufstellen (einschließlich des Ablesens dieser aus einer Tabelle). (unsere Übersetzung)

In 9th grade, students work with geometric sequences—ordered lists of numbers where each term is found by multiplying the previous one by a fixed common ratio (not equal to 1). Students identify the starting value and the multiplier, write explicit formulas, and use them to calculate any distant term (the nth term) as well as the total sum of a finite number of terms.

A common error occurs in the exponent of the nth term formula. Students frequently multiply the starting term by the common ratio raised to the power of n instead of n − 1, forgetting that the first term involves zero multiplications. When finding sums, students often misapply negative signs or mishandle parentheses when the common ratio is a fraction or a negative number.

Worksheet tasks build this skill using two primary formats:

Geometric sequence — nth term: Students look at a given list of numbers (such as 3, 6, 12, ...) or a real-world scenario, determine the common ratio, and find a specific value, such as the 8th term.
Geometric sequence — sum of terms: Students take a sequence and calculate the total sum of its first several terms by substituting the first term, the ratio, and the count into the finite geometric series formula.

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Aufgabentypen: Geometrische Folge — Summe · Geometrische Folge — n-tes Glied

Finding Terms of a Sequence

Students learn to find specific values in a sequence by substituting integer inputs into a formula or using a step-by-step recursive rule.

Lehrplanpunkt HSF-IF.A.3 Erkennen, dass Folgen Funktionen sind, manchmal rekursiv definiert, deren Definitionsbereich eine Teilmenge der ganzen Zahlen ist. Zum Beispiel ist die Fibonacci-Folge rekursiv definiert durch f(0) = f(1) = 1, f(n+1) = f(n) + f(n-1) für n ≥ 1. (unsere Übersetzung)

In 9th grade, students treat sequences as functions whose domain consists of integers, such as n ≥ 1 or starting from n = 0. Students learn to determine specific terms by evaluating an explicit algebraic formula for a given position or by stepping through a recursive definition using provided starting values.

A frequent stumbling block is confusing the term's position number, n, with the term's value, f(n). Students also commonly misinterpret notation such as f(n − 1), accidentally subtracting 1 from the term's numerical value instead of referring to the previous term in the sequence.

Practice tasks generally focus on two standard formats:

Term of a sequence from its formula: Students plug an integer position directly into a function formula to calculate that specific term.
Term of a recursive sequence: Students start with given initial terms (such as f(0) or f(1)) and apply a recurrence relation, like f(n + 1) = f(n) + 3, to generate subsequent terms one by one.

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Aufgabentypen: Folgenglied aus der Formel · Glied einer rekursiven Folge

Multiplying Special Binomial Products

Students learn to recognize patterns to quickly expand squares of binomials and products of sums and differences without multiplying term by term.

In 9th grade, students learn to use the underlying structure of expressions to expand them efficiently using shortcut patterns. Rather than multiplying every term one by one, they identify whether a problem matches a specific algebraic rule to write down the expanded polynomial directly.

The most common mistake happens when squaring a sum or a difference. Students frequently write (x + 4)^2 as x^2 + 16, incorrectly applying the exponent to each term inside the parentheses and leaving out the middle term generated when multiplying the binomial by itself.

Worksheet tasks give students practice with two specific templates:

Square of a sum or difference: expanding terms like (x + 5)^2 or (2x - 3)^2 into a complete three-term quadratic expression.
Product of a sum and a difference: multiplying pairs such as (x + 7)(x - 7) where the middle terms cancel out, leaving a difference of squares.

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Aufgabentypen: Produkt aus Summe und Differenz · Quadrat einer Summe oder Differenz

Finding Values of Exponential Functions

Students learn to evaluate exponential functions for given inputs and interpret initial values and growth or decay factors in real-world contexts.

Lehrplanpunkt HSF-LE.B.5 Die Parameter in einer linearen oder exponentiellen Funktion im Kontext interpretieren. (unsere Übersetzung)

In Grade 9, students learn to calculate the output of an exponential function and understand what each parameter represents in a word problem. They identify the starting amount (the initial value when the input is zero) and use repeated multiplication by a constant base to determine how quantities change over time.

A frequent mistake happens when dealing with decay. When a quantity shrinks, students often confuse the rate of decrease with the base multiplier—for instance, multiplying by 0.15 instead of 0.85 when something decreases by 15%. Another common error is multiplying the initial value by the base before applying the exponent, ignoring the proper order of operations.

Worksheet tasks focus on problems like Value of an exponential function and Decreasing exponential function. A typical problem presents a real-world scenario, such as the declining value of a car or the cooling of an object, and asks students to evaluate the formula after a specific number of time intervals or state what a specific number in the equation means in that situation.

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Aufgabentypen: Fallende Exponentialfunktion · Wert einer Exponentialfunktion

Finding Equations of Lines and Parallel Lines

Students learn to write the equation of a linear function given either two coordinate points or a single point and a parallel line.

Lehrplanpunkt HSF-BF.A.1 Eine Funktion aufstellen, die eine Beziehung zwischen zwei Größen beschreibt.★ a. Einen expliziten Ausdruck, einen rekursiven Prozess oder Rechenschritte aus einem Kontext bestimmen. b. Standardfunktionstypen unter Verwendung arithmetischer Operationen verknüpfen. Zum Beispiel eine Funktion aufstellen, die die Temperatur eines abkühlenden Körpers modelliert, indem eine konstante Funktion zu einer abklingenden Exponentialfunktion addiert wird, und diese Funktionen mit dem Modell in Beziehung setzen. c. (+) Funktionen verketten. Wenn zum Beispiel T(y) die Temperatur in der Atmosphäre als Funktion der Höhe ist und h(t) die Höhe eines Wetterballons als Funktion der Zeit, dann ist T(h(t)) die Temperatur am Ort des Wetterballons als Funktion der Zeit. (unsere Übersetzung)

In 9th grade, students learn to write an explicit algebraic equation for a linear function. They use coordinate points to calculate the slope—the rate of change—and determine where the line crosses the vertical axis (the y-intercept). When working with parallel lines, students recognize and apply the geometric principle that parallel lines share the exact same slope.

A common error occurs during coordinate substitution. When solving for the y-intercept, students frequently swap the x and y values into the formula, leading to an incorrect constant. When working with parallel lines, students also tend to alter the slope rather than keeping it identical to the original equation.

Worksheet tasks come in two standard formats:

Linear function through two points: Students receive two coordinates, calculate the slope between them, and write the resulting linear equation.
Parallel line through a point: Students are given an existing linear equation and a separate point, requiring them to extract the slope and construct a new line that passes through that specific point.

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Aufgabentypen: Lineare Funktion durch zwei Punkte · Parallele Gerade durch einen Punkt

Finding the Vertex and Using Vertex Form

Students learn to use vertex form and completing the square to identify the vertex, maximum or minimum value, and axis of symmetry of a parabola.

Lehrplanpunkt HSF-IF.C.8 Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

In 9th grade Algebra I, students learn to rewrite quadratic expressions into vertex form to reveal key features of a parabola. By using techniques such as completing the square, they convert standard quadratic functions into equivalent forms that display the graph's extreme values (maximum or minimum points) and line of symmetry without needing to plot every point.

A common hurdle is keeping track of signs within the vertex form, typically written as y = a(x - h)² + k (or without superscript tags, as a squared term). Because of the subtraction inside the parentheses, students often mix up positive and negative coordinates, incorrectly identifying the vertex of an expression like (x + 4)² + 1 as (4, 1) rather than (-4, 1).

Practice tasks draw from templates such as Vertex of a parabola and Vertex form of a quadratic function. A typical problem presents a quadratic equation and asks students to extract the coordinates of the turning point, identify whether it opens upward or downward, or rewrite a standard polynomial expression to pinpoint its vertex directly.

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Aufgabentypen: Scheitelpunkt einer Parabel · Scheitelpunktform

Solving Systems of Equations by Elimination

Students learn to solve pairs of linear equations in two variables using elimination and determine whether a system has one, none, or infinitely many solutions.

Lehrplanpunkt HSA-REI.C.6 Lineare Gleichungssysteme exakt und näherungsweise (z. B. mit Graphen) lösen, mit Schwerpunkt auf Paaren linearer Gleichungen mit zwei Variablen. (unsere Übersetzung)

In Grade 9, students solve pairs of linear equations in two variables to find exact numerical solutions. Using the elimination method, they add or subtract equations—multiplying one or both equations by a constant when necessary—so that one variable cancels out. Students also evaluate the resulting algebraic statements to identify whether a system has a single coordinate pair as its solution, no solution, or infinitely many solutions.

A frequent error occurs when multiplying an entire equation to set up opposite coefficients. Students often forget to distribute negative signs or miss multiplying the constant term on the other side of the equal sign. Confusion also arises when both variables cancel out: students frequently confuse a false statement like 0 = 4 (which means there is no solution) with a true statement like 0 = 0 (which indicates infinitely many solutions).

Practice tasks generally fall into two formats:

System of equations — elimination presents two linear equations arranged in standard form, requiring students to find the exact values for both variables.
Number of solutions of a system asks students to manipulate and compare equations to state whether the system has one unique solution, no solution, or infinitely many solutions.

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Aufgabentypen: Anzahl der Lösungen eines Systems · Gleichungssystem — Additionsverfahren

Calculating the Variance of a Data Set

Students learn to calculate the variance of a data set to measure how individual values spread out from the mean.

Lehrplanpunkt HSS-ID.A.2 Statistische Kennwerte, die der Form der Datenverteilung angemessen sind, verwenden, um Zentrum (Median, Mittelwert) und Streuung (Interquartilsabstand, Standardabweichung) von zwei oder mehr verschiedenen Datensätzen zu vergleichen. (unsere Übersetzung)

In Grade 9, students quantify how spread out numerical values are by calculating data variance. Working with a list of values, they find the mean, determine how far each data point deviates from that mean, square those individual differences, and then find the average of those squared values.

A frequent error occurs when working with deviations that fall below the mean. Students often struggle with squaring negative numbers, either dropping the negative signs too early or incorrectly writing a negative result after squaring. Another common mistake is adding the squared differences correctly but forgetting the final step of dividing by the number of data points.

Worksheets for this skill center on finding the variance of a data set. A typical task presents a short list of numbers, asking the student to carry out the calculation step-by-step to arrive at a single numerical measure of spread.

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Working with Fractional Exponents

Students learn to rewrite expressions involving fractional exponents and radicals by applying the standard properties of exponents.

Lehrplanpunkt HSN-RN.A.2 Terme mit Wurzeln und rationalen Exponenten unter Verwendung der Potenzgesetze umschreiben. (unsere Übersetzung)

In 9th grade, students learn to work with numbers and variables raised to fractional powers. They use properties of exponents to rewrite expressions that feature rational exponents, translating smoothly between radical form and power form.

A common mistake is confusing the roles of the numerator and the denominator in a fractional power. Students often forget which value represents the root and which represents the exponent, sometimes treating a denominator as a regular multiplier or reversing the root and power when converting to radical notation.

Practice tasks based on the Power with a rational exponent template present an expression with a base raised to a fraction. Students apply exponent rules to simplify the expression or convert it between radical form and exponential form.

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Solving Linear Inequalities in One Variable

Students learn to solve linear inequalities in one variable by isolating the unknown value to find all possible solutions.

Lehrplanpunkt HSA-REI.B.3 Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.

In 9th grade, students solve linear inequalities with one variable by using inverse operations to isolate the unknown value. They manipulate expressions containing positive and negative numbers, as well as coefficients represented by letters, to determine the entire set of numbers that makes an inequality true.

The most common mistake happens when multiplying or dividing both sides by a negative value. Students frequently forget to reverse the inequality symbol, treating the problem like a standard equation and ending up with an inequality that points in the wrong direction.

Typical tasks from the linear inequality template ask students to solve problems such as -3x + 4 < 19 or expressions with variables on both sides. Students apply addition, subtraction, multiplication, and division to isolate the variable and state the final solution.

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Equations with No Solution or Infinite Solutions

Students learn to solve linear equations in one variable that result in either no solution or infinitely many solutions.

Lehrplanpunkt HSA-REI.B.3 Solve linear equations and inequalities in one variable, including equations with coefficients represented by letters.

Students solve multi-step linear equations in one variable where the variable terms cancel out on both sides during simplification. They learn to interpret the remaining statement: if simplifying leads to a true mathematical statement (such as 5 = 5), there are infinitely many solutions; if it produces a contradiction (such as 0 = 7), the equation has no solution.

A common mistake occurs when the variables drop out entirely and leave a true statement like 0 = 0. Students often mistakenly write that the answer is x = 0, confusing zero as a specific value with a statement that holds true for all numbers. Similarly, when faced with a false statement like 3 = 8, students frequently assume they made an arithmetic error and continue searching for a single number instead of recognizing that no value can satisfy the equation.

Worksheet tasks present an equation with no or infinitely many solutions. Students apply standard algebraic steps—such as using the distributive property, combining like terms, and isolating variables—to simplify the equation and determine whether it has no solution or infinitely many solutions.

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Solving Quadratic Equations

Students learn to solve quadratic equations by factoring, taking square roots, completing the square, and using the quadratic formula, identifying both real and complex solutions.

Lehrplanpunkt HSA-REI.B.4 Quadratische Gleichungen mit einer Variablen lösen. a. Die Methode der quadratischen Ergänzung anwenden, um jede quadratische Gleichung in x in eine Gleichung der Form (x – p)2 = q umzuformen, die dieselben Lösungen hat. Die quadratische Lösungsformel aus dieser Form herleiten. b. Quadratische Gleichungen durch Hinsehen (z. B. für x2 = 49), Quadratwurzelziehen, quadratische Ergänzung, die quadratische Lösungsformel und Faktorisieren lösen, je nach Ausgangsform der Gleichung. Erkennen, wann die quadratische Lösungsformel komplexe Lösungen ergibt, und diese als a ± bi für reelle Zahlen a und b schreiben. (unsere Übersetzung)

Students learn to solve quadratic equations in one variable using a range of methods matched to the equation's structure. They solve straightforward problems by inspection or square roots, such as finding values for equations like x² = 49, and transform equations into the form (x – p)² = q by completing the square. They also solve using factoring and the quadratic formula, learning to identify when an equation yields complex solutions and expressing those solutions in the form a ± bi.

A typical error happens when students take square roots and forget to include the negative root, reporting only the positive value (for example, finding 7 but omitting –7). Another frequent mistake involves sign errors when simplifying the terms under the square root in the quadratic formula, which often leads students to overlook when a solution requires complex numbers.

Practice tasks using the Quadratic equation template present equations in various initial forms. Students examine each equation, choose the most appropriate method—whether factoring, taking square roots, completing the square, or applying the quadratic formula—and write out the full solution steps.

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Shifting Function Graphs Up, Down, Left, and Right

Students learn how adding or subtracting a number shifts a graph up, down, left, or right, and identify the shift value from a coordinate graph.

Lehrplanpunkt HSF-BF.B.3 Die Auswirkung auf den Graphen beim Ersetzen von f(x) durch f(x) + k, k f(x), f(kx) und f(x + k) für bestimmte Werte von k (sowohl positive als auch negative) bestimmen; den Wert von k anhand der Graphen ermitteln. Mit Fällen experimentieren und eine Erklärung der Auswirkungen auf den Graphen mithilfe von Technologie veranschaulichen. Das Erkennen gerader und ungerader Funktionen anhand ihrer Graphen und algebraischer Ausdrücke für diese einbeziehen. (unsere Übersetzung)

In 9th grade, students explore how basic function graphs move along the coordinate plane when their formulas change. Focusing on translations, they learn to identify the visual effect of replacing f(x) with f(x) + k or f(x + k) for specific positive and negative values of k. They also work backward: given a base curve and a shifted curve, they find the exact positive or negative value of k that produced the move.

The most common mistake happens with horizontal translations. When students see an expression like f(x + 3), intuition tells them to move toward the positive numbers on the x-axis (to the right). In fact, adding a positive value inside the function moves the graph 3 units to the left, while subtracting moves it to the right. Students frequently reverse this horizontal direction, or confuse shifts applied inside the input, f(x + k), with vertical shifts added outside, f(x) + k.

In Translating a graph tasks, students usually work with coordinate grids showing an original function and its shifted copy. They may be asked to write the new formula, identify whether the transformation moved vertically or horizontally, or sketch the new position given an expression such as f(x) − 5 or f(x + 2).

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Calculating Average Rate of Change

Students learn to calculate, estimate, and interpret how quickly a function's values change over a specific interval using equations, tables, and graphs.

Lehrplanpunkt HSF-IF.B.6 Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion (symbolisch oder als Tabelle dargestellt) über einem vorgegebenen Intervall berechnen und interpretieren. Die Änderungsrate anhand eines Graphen schätzen. ★ (unsere Übersetzung)

In 9th grade, students learn to find how much a function’s output changes relative to its input over a set interval. Working with functions given as equations, data tables, or graphs, students compute the change in the output values divided by the change in the input values. When looking at a graph, they estimate this rate directly by observing the steepness between two points.

A frequent stumbling block is reversing the inputs and outputs, leading students to divide the change in x by the change in y instead of change in y over change in x. Students also commonly mistake an interval notation like [2, 5] for an (x, y) coordinate pair rather than two separate input values, or they subtract the values in an inconsistent order across the numerator and denominator.

Worksheets using the Average rate of change template present students with a function formula, a table of values, or a plotted curve alongside a specified interval. Students calculate the function values at the start and end of that interval, carry out the division, and state the rate of change or interpret what that rate represents in real-world scenarios.

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Combining Functions Through Composition

Students learn to substitute one function into another to evaluate or write composite expressions like f(g(x)).

In 9th grade, students learn to connect two relationships by using the output of one function directly as the input for another. They evaluate these nested rules at a given number, such as finding f(g(3)), and build new algebraic formulas for combined functions, written as f(g(x)), using the standard linear and quadratic relationships introduced in this grade.

A common error is confusing composition with multiplication. When asked to evaluate f(g(x)), students often calculate f(x) times g(x) instead of substituting the entire expression for g(x) into the variable of f(x). Another typical slip is reversing the sequence by applying the outer rule before the inner rule, rather than working from the inside out.

Tasks in the Composition of functions set typically present two function rules, such as f(x) = 2x + 1 and g(x) = 3x - 4. Students are asked to evaluate the chained rule for a specific input value or to write and simplify a single algebraic expression representing the full composition.

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Finding the Inverse of a Linear Function

Students learn to write the formula for the inverse of a linear function by rearranging the equation to solve for the original input.

Lehrplanpunkt HSF-BF.B.4 Umkehrfunktionen bestimmen. a. Eine Gleichung der Form f(x) = c für eine einfache Funktion f, die eine Umkehrfunktion besitzt, lösen und einen Term für die Umkehrfunktion angeben. Zum Beispiel f(x) =2 x3 oder f(x) = (x+1)/(x–1) für x ≠ 1. b. (+) Durch Verkettung nachweisen, dass eine Funktion die Umkehrfunktion einer anderen ist. c. (+) Werte einer Umkehrfunktion aus einem Graphen oder einer Tabelle ablesen, vorausgesetzt, dass die Funktion eine Umkehrfunktion besitzt. d. (+) Durch Einschränken des Definitionsbereichs aus einer nicht umkehrbaren Funktion eine umkehrbare Funktion bilden. (unsere Übersetzung)

In 9th grade, students learn to find the inverse of a simple linear function. They take an equation of the form f(x) = mx + b, set it equal to an output value or variable, and undo the operations step by step to solve for the original input variable x. This allows them to produce a new linear rule that reverses the effect of the starting function.

A common mistake is confusing an inverse function with a reciprocal. Students frequently write 1 / f(x) instead of finding the undoing rule, partly because negative exponent notation can look similar. Another frequent error is reversing the order of operations incorrectly—such as dividing by the slope before subtracting the constant term when isolating the variable.

Worksheet tasks for the Inverse of a linear function present a linear equation, such as f(x) = 4x - 7 or f(x) = -2x + 3. Students work through the algebraic steps to isolate the input and write the resulting inverse expression, typically expressed in function notation as f⁻¹(x) = (x + 7) / 4.

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Solving Systems of a Line and a Parabola

Students learn to find the points where a straight line and a parabola intersect using algebraic methods and graphing.

Lehrplanpunkt HSA-REI.C.7 Ein einfaches System, bestehend aus einer linearen Gleichung und einer quadratischen Gleichung mit zwei Variablen, algebraisch und grafisch lösen. Zum Beispiel die Schnittpunkte zwischen der Geraden y = –3x und dem Kreis x2 + y2 = 3 finden. (unsere Übersetzung)

In Grade 9, students solve systems of equations that pair a linear equation with a quadratic equation. They learn to determine the coordinates where a line and a parabola meet, working both graphically on a coordinate grid and algebraically by substituting the linear expression into the quadratic equation to solve for the shared variables.

A common mistake is finding the values for x and stopping there. Because the solution to a system represents points of intersection, students must plug each x back into the linear equation to find its matching y-value and write the final answers as complete coordinate pairs, such as (x, y). Students also frequently make sign errors when setting the combined equation equal to zero before factoring or using the quadratic formula.

Worksheet tasks focus on finding the intersections of a parabola and a line. A typical exercise provides a system like y = x² + 2x - 1 and y = x + 5, asking students to either graph both equations to identify where they cross or use substitution to calculate the exact intersection points.

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Finding the Value of a Quadratic Function

Students learn to substitute a given number into a quadratic function and calculate its output value using function notation.

Lehrplanpunkt HSF-IF.A.2 Funktionsschreibweise verwenden, Funktionen für Eingabewerte in ihren Definitionsbereichen auswerten und Aussagen, die die Funktionsschreibweise verwenden, im Kontext interpretieren. (unsere Übersetzung)

Students learn to use function notation to evaluate quadratic expressions for specific input numbers. Given a rule such as f(x), they replace the variable with the chosen input, square the value, multiply by any coefficients, and combine the terms to find the final output value.

A frequent stumbling block involves negative inputs and the order of operations. Students often misapply signs when squaring a negative number—writing -3² = -9 instead of (-3)² = 9—or they multiply the input by an outside coefficient before squaring, which leads to an incorrect result.

Practice tasks based on the Value of a quadratic function template typically present an equation such as f(x) = 2x² - 5x + 3 and prompt students to determine outputs such as f(4) or f(-2).

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Mathematik — Klasse 9

Was lernen Schüler in der 9. Klasse in Mathematik?

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