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Programa escolar (Estados Unidos)

Matemáticas — 10.º curso

Matemáticas de 10.º grado según los Estándares Estatales del Tronco Común (Common Core), generalmente Geometría: semejanza, trigonometría de triángulos rectángulos, las leyes de los senos y cosenos, círculos, geometría analítica, volumen y área superficial, y probabilidad condicional. Cada tema incluye hojas de trabajo imprimibles.

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¿Qué aprenden los estudiantes en matemáticas de 10.º grado?

En 10.º grado, los estudiantes utilizan la semejanza y la trigonometría de triángulos rectángulos, aplican las leyes de los senos y cosenos y trabajan con ángulos inscritos y centrales, tangentes y cuerdas. En el plano cartesiano hallan distancias, dividen segmentos y calculan áreas. Calculan el volumen y el área superficial de cilindros, conos y esferas, modelan con densidad y cuentan resultados para calcular probabilidades condicionales y compuestas.

Sobre los estándares: los estándares de Common Core para la escuela secundaria están organizados por categoría conceptual (Número y cantidad, Álgebra, Funciones, Geometría, Estadística y probabilidad), no por grado. La asignación de un tema a un grado es decisión nuestra, siguiendo la secuencia común de cursos de Álgebra I, Geometría, Álgebra II y Precálculo. Los estándares marcados con (+) van más allá del núcleo de preparación universitaria y profesional.

Estado de la página: los temas de este grado están listos como ejercicios simples (instrucciones y fórmulas); próximamente se añadirán problemas con diagramas y problemas verbales.

Alcance del currículo

  1. Punto del currículo HSA-SSE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Ver la estructura en las expresiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Seeing Structure in Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)

  2. Punto del currículo HSA-SSE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar la estructura de las expresiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret the structure of expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A

  3. Punto del currículo HSA-SSE.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Escribir expresiones en formas equivalentes para resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B

  4. Punto del currículo HSA-SSE.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar expresiones que representan una cantidad en términos de su contexto.★ a. Interpretar partes de una expresión, tales como términos, factores y coeficientes. b. Interpretar expresiones complicadas al considerar una o más de sus partes como una sola entidad. Por ejemplo, interpretar P(1+r)n como el producto de P y un factor que no depende de P.

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1

  5. Punto del currículo HSA-SSE.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2).

    nuestra traducción · texto original (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

    Using Special Product Formulas (en nuestro curso 9-11) · Factoring Polynomials with Grouping and Cubes (en nuestro curso 9-11)

  6. Punto del currículo HSA-APR · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Aritmética con polinomios y expresiones racionales

    nuestra traducción · texto original (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)

  7. Punto del currículo HSA-APR.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Realizar operaciones aritméticas con polinomios

    nuestra traducción · texto original (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A

  8. Punto del currículo HSA-APR.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender que los polinomios forman un sistema análogo al de los números enteros, es decir, son cerrados bajo las operaciones de suma, resta y multiplicación; sumar, restar y multiplicar polinomios.

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1

  9. Punto del currículo HSA-CED · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones★

    nuestra traducción · texto original (EN): Creating Equations★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)

  10. Punto del currículo HSA-CED.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones que describan números o relaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations that describe numbers or relationships

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A

  11. Punto del currículo HSA-CED.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones y desigualdades en una variable y usarlas para resolver problemas. Incluir ecuaciones que surgen de funciones lineales y cuadráticas, y funciones racionales y exponenciales simples.

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1

  12. Punto del currículo HSA-CED.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Crear ecuaciones con dos o más variables para representar relaciones entre cantidades; graficar ecuaciones en ejes de coordenadas con etiquetas y escalas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2

  13. Punto del currículo HSA-CED.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar restricciones mediante ecuaciones o desigualdades, y mediante sistemas de ecuaciones y/o desigualdades, e interpretar las soluciones como opciones viables o no viables en un contexto de modelado. Por ejemplo, representar desigualdades que describan restricciones nutricionales y de costo en combinaciones de diferentes alimentos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3

  14. Punto del currículo HSA-CED.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reorganizar fórmulas para destacar una cantidad de interés, utilizando el mismo razonamiento que al resolver ecuaciones. Por ejemplo, reorganizar la ley de Ohm V = IR para destacar la resistencia R.

    nuestra traducción · texto original (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4

  15. Punto del currículo HSA-REI · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Razonamiento con ecuaciones y desigualdades

    nuestra traducción · texto original (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)

  16. Punto del currículo HSA-REI.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la resolución de ecuaciones como un proceso de razonamiento y explicar el razonamiento

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A

  17. Punto del currículo HSA-REI.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resolver sistemas de ecuaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Solve systems of equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C

  18. Punto del currículo HSA-REI.D · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar y resolver ecuaciones e inecuaciones gráficamente

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D

  19. Punto del currículo HSA-REI.C.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar que, dado un sistema de dos ecuaciones con dos variables, reemplazar una ecuación por la suma de esa ecuación y un múltiplo de la otra produce un sistema con las mismas soluciones.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove that, given a system of two equations in two variables, replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.5

  20. Punto del currículo HSA-REI.D.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar por qué las coordenadas x de los puntos donde se intersecan las gráficas de las ecuaciones y = f(x) e y = g(x) son las soluciones de la ecuación f(x) = g(x); hallar las soluciones de forma aproximada, p. ej., usando tecnología para graficar las funciones, hacer tablas de valores o hallar aproximaciones sucesivas. Incluir casos en los que f(x) y/o g(x) sean funciones lineales, polinómicas, racionales, de valor absoluto, exponenciales y logarítmicas.★

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11

  21. Punto del currículo HSF-IF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretación de funciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpreting Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)

  22. Punto del currículo HSF-IF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretar funciones que surgen en aplicaciones en términos del contexto

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B

  23. Punto del currículo HSF-IF.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Analizar funciones utilizando diferentes representaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Analyze functions using different representations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C

  24. Punto del currículo HSF-IF.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Para una función que modela una relación entre dos cantidades, interpretar las características clave de gráficas y tablas en términos de las cantidades, y trazar gráficas que muestren las características clave dada una descripción verbal de la relación. Las características clave incluyen: intersecciones; intervalos donde la función es creciente, decreciente, positiva o negativa; máximos y mínimos relativos; simetrías; comportamiento en los extremos; y periodicidad .★

    nuestra traducción · texto original (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4

  25. Punto del currículo HSF-IF.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Relacionar el dominio de una función con su gráfica y, cuando corresponda, con la relación cuantitativa que describe. Por ejemplo, si la función h(n) da el número de horas-persona que se necesitan para ensamblar n motores en una fábrica, entonces los números enteros positivos serían un dominio adecuado para la función. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5

  26. Punto del currículo HSF-IF.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

    Finding Average Rate of Change (en nuestro curso 9-11)

  27. Punto del currículo HSF-IF.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Graficar funciones expresadas simbólicamente y mostrar las características clave de la gráfica, a mano en casos simples y utilizando tecnología para casos más complicados. ★ a. Graficar funciones lineales y cuadráticas y mostrar las intersecciones, los máximos y los mínimos. b. Graficar funciones de raíz cuadrada, raíz cúbica y definidas por partes, incluidas las funciones escalonadas y las funciones de valor absoluto. c. Graficar funciones polinómicas, identificando los ceros cuando se disponga de factorizaciones adecuadas, y mostrando el comportamiento en los extremos. d. (+) Graficar funciones racionales, identificando los ceros y las asíntotas cuando se disponga de factorizaciones adecuadas, y mostrando el comportamiento en los extremos. e. Graficar funciones exponenciales y logarítmicas, mostrando las intersecciones y el comportamiento en los extremos, y funciones trigonométricas, mostrando el período, la línea media y la amplitud.

    nuestra traducción · texto original (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7

  28. Punto del currículo HSF-IF.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

    Finding the Vertex and Using Vertex Form (en nuestro curso 9-11)

  29. Punto del currículo HSF-IF.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comparar propiedades de dos funciones representadas cada una de una forma diferente (algebraicamente, gráficamente, numéricamente en tablas o mediante descripciones verbales). Por ejemplo, dada la gráfica de una función cuadrática y una expresión algebraica de otra, indicar cuál tiene el máximo mayor.

    nuestra traducción · texto original (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9

  30. Punto del currículo HSF-BF · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construcción de funciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Building Functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)

  31. Punto del currículo HSF-BF.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir una función que modele una relación entre dos cantidades

    nuestra traducción · texto original (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A

  32. Punto del currículo HSF-BF.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir nuevas funciones a partir de funciones existentes

    nuestra traducción · texto original (EN): Build new functions from existing functions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B

  33. Punto del currículo HSF-BF.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

    Writing Equations of Lines and Parallel Lines (en nuestro curso 9-11) · Combining Functions Using Composition (en nuestro curso 9-11)

  34. Punto del currículo HSF-BF.B.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Identificar el efecto en la gráfica al reemplazar f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y de sus expresiones algebraicas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

    Translating Function Graphs (en nuestro curso 9-11)

  35. Punto del currículo HSF-BF.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Hallar funciones inversas. a. Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tiene una inversa y escribir una expresión para la inversa. Por ejemplo, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) para x ≠ 1. b. (+) Verificar mediante composición que una función es la inversa de otra. c. (+) Leer valores de una función inversa a partir de una gráfica o una tabla, dado que la función tiene una inversa. d. (+) Producir una función invertible a partir de una función no invertible restringiendo el dominio.

    nuestra traducción · texto original (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

    Finding the Inverse of a Linear Function (en nuestro curso 9-11)

  36. Punto del currículo HSF-LE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Modelos lineales, cuadráticos y exponenciales★

    nuestra traducción · texto original (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)

  37. Punto del currículo HSF-LE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir y comparar modelos lineales, cuadráticos y exponenciales y resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A

  38. Punto del currículo HSG-CO · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Congruencia

    nuestra traducción · texto original (EN): Congruence

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Congruence (HSG-CO)

  39. Punto del currículo HSG-CO.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Experiment with transformations in the plane

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster A

  40. Punto del currículo HSG-CO.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la congruencia en términos de movimientos rígidos

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand congruence in terms of rigid motions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster B

  41. Punto del currículo HSG-CO.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar teoremas geométricos

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove geometric theorems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster C

  42. Punto del currículo HSG-CO.D · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Make geometric constructions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster D

  43. Punto del currículo HSG-CO.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Conocer definiciones precisas de ángulo, círculo, recta perpendicular, recta paralela y segmento de recta, basadas en las nociones no definidas de punto, recta, distancia a lo largo de una recta y distancia alrededor de un arco circular.

    nuestra traducción · texto original (EN): Know precise definitions of angle, circle, perpendicular line, parallel line, and line segment, based on the undefined notions of point, line, distance along a line, and distance around a circular arc.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.1

  44. Punto del currículo HSG-CO.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Representar transformaciones en el plano usando, p. ej., transparencias y software de geometría; describir transformaciones como funciones que toman puntos en el plano como entradas y dan otros puntos como salidas. Comparar transformaciones que conservan la distancia y el ángulo con aquellas que no lo hacen (p. ej., traslación frente a estiramiento horizontal).

    nuestra traducción · texto original (EN): Represent transformations in the plane using, e.g., transparencies and geometry software; describe transformations as functions that take points in the plane as inputs and give other points as outputs. Compare transformations that preserve distance and angle to those that do not (e.g., translation versus horizontal stretch).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.2

  45. Punto del currículo HSG-CO.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Dado un rectángulo, paralelogramo, trapecio o polígono regular, describe las rotaciones y reflexiones que lo llevan sobre sí mismo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Given a rectangle, parallelogram, trapezoid, or regular polygon, describe the rotations and reflections that carry it onto itself.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.3

  46. Punto del currículo HSG-CO.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Desarrollar definiciones de rotaciones, reflexiones y traslaciones en términos de ángulos, círculos, rectas perpendiculares, rectas paralelas y segmentos de recta.

    nuestra traducción · texto original (EN): Develop definitions of rotations, reflections, and translations in terms of angles, circles, perpendicular lines, parallel lines, and line segments.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.4

  47. Punto del currículo HSG-CO.A.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Dada una figura geométrica y una rotación, reflexión o traslación, dibujar la figura transformada usando, p. ej., papel cuadriculado, papel de calco o software de geometría. Especificar una secuencia de transformaciones que lleve una figura dada sobre otra.

    nuestra traducción · texto original (EN): Given a geometric figure and a rotation, reflection, or translation, draw the transformed figure using, e.g., graph paper, tracing paper, or geometry software. Specify a sequence of transformations that will carry a given figure onto another.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.5

  48. Punto del currículo HSG-CO.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar descripciones geométricas de movimientos rígidos para transformar figuras y para predecir el efecto de un movimiento rígido dado sobre una figura dada; dadas dos figuras, usar la definición de congruencia en términos de movimientos rígidos para decidir si son congruentes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use geometric descriptions of rigid motions to transform figures and to predict the effect of a given rigid motion on a given figure; given two figures, use the definition of congruence in terms of rigid motions to decide if they are congruent.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.B.6

  49. Punto del currículo HSG-CO.B.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar la definición de congruencia en términos de movimientos rígidos para demostrar que dos triángulos son congruentes si y solo si los pares correspondientes de lados y los pares correspondientes de ángulos son congruentes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use the definition of congruence in terms of rigid motions to show that two triangles are congruent if and only if corresponding pairs of sides and corresponding pairs of angles are congruent.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.B.7

  50. Punto del currículo HSG-CO.B.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar cómo los criterios de congruencia de triángulos (ALA, LAL y LLL) se derivan de la definición de congruencia en términos de movimientos rígidos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain how the criteria for triangle congruence (ASA, SAS, and SSS) follow from the definition of congruence in terms of rigid motions.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.B.8

  51. Punto del currículo HSG-CO.C.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar teoremas sobre rectas y ángulos. Los teoremas incluyen: los ángulos opuestos por el vértice son congruentes; cuando una transversal corta rectas paralelas, los ángulos alternos internos son congruentes y los ángulos correspondientes son congruentes; los puntos de una mediatriz de un segmento de recta son exactamente aquellos equidistantes de los extremos del segmento.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove theorems about lines and angles. Theorems include: vertical angles are congruent; when a transversal crosses parallel lines, alternate interior angles are congruent and corresponding angles are congruent; points on a perpendicular bisector of a line segment are exactly those equidistant from the segment’s endpoints.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.C.9

  52. Punto del currículo HSG-CO.C.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar teoremas sobre triángulos. Los teoremas incluyen: las medidas de los ángulos interiores de un triángulo suman 180°; los ángulos de la base de los triángulos isósceles son congruentes; el segmento que une los puntos medios de dos lados de un triángulo es paralelo al tercer lado y mide la mitad de su longitud; las medianas de un triángulo concurren en un punto.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove theorems about triangles. Theorems include: measures of interior angles of a triangle sum to 180°; base angles of isosceles triangles are congruent; the segment joining midpoints of two sides of a triangle is parallel to the third side and half the length; the medians of a triangle meet at a point.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.C.10

  53. Punto del currículo HSG-CO.C.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar teoremas sobre paralelogramos. Los teoremas incluyen: los lados opuestos son congruentes, los ángulos opuestos son congruentes, las diagonales de un paralelogramo se bisecan mutuamente, y a la inversa, los rectángulos son paralelogramos con diagonales congruentes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove theorems about parallelograms. Theorems include: opposite sides are congruent, opposite angles are congruent, the diagonals of a parallelogram bisect each other, and conversely, rectangles are parallelograms with congruent diagonals.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.C.11

  54. Punto del currículo HSG-CO.D.12 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Make formal geometric constructions with a variety of tools and methods (compass and straightedge, string, reflective devices, paper folding, dynamic geometric software, etc.). Copying a segment; copying an angle; bisecting a segment; bisecting an angle; constructing perpendicular lines, including the perpendicular bisector of a line segment; and constructing a line parallel to a given line through a point not on the line.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.D.12

  55. Punto del currículo HSG-CO.D.13 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir un triángulo equilátero, un cuadrado y un hexágono regular inscritos en una circunferencia.

    nuestra traducción · texto original (EN): Construct an equilateral triangle, a square, and a regular hexagon inscribed in a circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.D.13

  56. Punto del currículo HSG-SRT · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Semejanza, triángulos rectángulos y trigonometría

    nuestra traducción · texto original (EN): Similarity, Right Triangles, and Trigonometry

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Similarity, Right Triangles, and Trigonometry (HSG-SRT)

  57. Punto del currículo HSG-SRT.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Understand similarity in terms of similarity transformations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster A

  58. Punto del currículo HSG-SRT.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar teoremas sobre la semejanza

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove theorems involving similarity

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster B

  59. Punto del currículo HSG-SRT.C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Definir razones trigonométricas y resolver problemas que involucran triángulos rectángulos

    nuestra traducción · texto original (EN): Define trigonometric ratios and solve problems involving right triangles

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster C

  60. Punto del currículo HSG-SRT.D · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Aplicar la trigonometría a triángulos generales

    nuestra traducción · texto original (EN): Apply trigonometry to general triangles

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster D

  61. Punto del currículo HSG-SRT.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Verificar experimentalmente las propiedades de las homotecias dadas por un centro y un factor de escala: a. Una homotecia transforma una recta que no pasa por el centro de la homotecia en una recta paralela, y deja invariable una recta que pasa por el centro. b. La homotecia de un segmento de recta es más larga o más corta en la razón dada por el factor de escala.

    nuestra traducción · texto original (EN): Verify experimentally the properties of dilations given by a center and a scale factor: a. A dilation takes a line not passing through the center of the dilation to a parallel line, and leaves a line passing through the center unchanged. b. The dilation of a line segment is longer or shorter in the ratio given by the scale factor.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.A.1

    Finding the Area of Similar Figures (en nuestro curso 10)

  62. Punto del currículo HSG-SRT.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Dadas dos figuras, usar la definición de semejanza en términos de transformaciones de semejanza para decidir si son semejantes; explicar utilizando transformaciones de semejanza el significado de la semejanza para triángulos como la igualdad de todos los pares de ángulos correspondientes y la proporcionalidad de todos los pares de lados correspondientes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Given two figures, use the definition of similarity in terms of similarity transformations to decide if the y are similar; explain using similarity transformations the meaning of similarity for triangles as the equality of all corresponding pairs of angles and the proportionality of all corresponding pairs of sides.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.A.2

  63. Punto del currículo HSG-SRT.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar las propiedades de las transformaciones de semejanza para establecer el criterio AA para que dos triángulos sean semejantes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use the properties of similarity transformations to establish the AA criterion for two triangles to be similar.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.A.3

  64. Punto del currículo HSG-SRT.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar teoremas sobre triángulos. Los teoremas incluyen: una recta paralela a un lado de un triángulo divide a los otros dos proporcionalmente, y viceversa; el teorema de Pitágoras demostrado mediante la semejanza de triángulos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove theorems about triangles. Theorems include: a line parallel to one side of a triangle divides the other two proportionally, and conversely; the Pythagorean Theorem proved using triangle similarity.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.B.4

  65. Punto del currículo HSG-SRT.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar criterios de congruencia y semejanza de triángulos para resolver problemas y para demostrar relaciones en figuras geométricas.

    nuestra traducción · texto original (EN): Use congruence and similarity criteria for triangles to solve problems and to prove relationships in geometric figures.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.B.5

    Using the Intercept Theorem to Find Lengths (en nuestro curso 10)

  66. Punto del currículo HSG-SRT.C.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender que, por semejanza, las razones entre los lados en triángulos rectángulos son propiedades de los ángulos en el triángulo, lo que lleva a las definiciones de las razones trigonométricas para ángulos agudos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand that by similarity, side ratios in right triangles are properties of the angles in the triangle, leading to definitions of trigonometric ratios for acute angles.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.C.6

  67. Punto del currículo HSG-SRT.C.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar y utilizar la relación entre el seno y el coseno de ángulos complementarios.

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain and use the relationship between the sine and cosine of complementary angles.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.C.7

  68. Punto del currículo HSG-SRT.C.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras para resolver triángulos rectángulos en problemas aplicados. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Use trigonometric ratios and the Pythagorean Theorem to solve right triangles in applied problems. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.C.8

    Finding Missing Sides of Right Triangles (en nuestro curso 10)

  69. Punto del currículo HSG-SRT.D.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Deducir la fórmula A = 1/2 ab sen(C) para el área de un triángulo trazando una línea auxiliar desde un vértice perpendicular al lado opuesto.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Derive the formula A = 1/2 ab sin(C) for the area of a triangle by drawing an auxiliary line from a vertex perpendicular to the opposite side.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.D.9

  70. Punto del currículo HSG-SRT.D.10 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Demostrar las leyes de los senos y cosenos y usarlas para resolver problemas.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Prove the Laws of Sines and Cosines and use them to solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.D.10

  71. Punto del currículo HSG-SRT.D.11 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Comprender y aplicar la ley de los senos y la ley de los cosenos para hallar medidas desconocidas en triángulos rectángulos y no rectángulos (p. ej., problemas de agrimensura, fuerzas resultantes).

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Understand and apply the Law of Sines and the Law of Cosines to find unkno wn measurements in right and non-right triangles (e.g., surveying problems, resultant forces).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.D.11

    Using the Laws of Sines and Cosines (en nuestro curso 10)

  72. Punto del currículo HSG-C · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Círculos

    nuestra traducción · texto original (EN): Circles

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Circles (HSG-C)

  73. Punto del currículo HSG-C.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender y aplicar teoremas sobre círculos

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand and apply theorems about circles

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, cluster A

  74. Punto del currículo HSG-C.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Hallar longitudes de arco y áreas de sectores circulares

    nuestra traducción · texto original (EN): Find arc lengths and areas of sectors of circles

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, cluster B

  75. Punto del currículo HSG-C.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Demostrar que todos los círculos son semejantes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Prove that all circles are similar.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.1

  76. Punto del currículo HSG-C.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Identificar y describir relaciones entre ángulos inscritos, radios y cuerdas. Incluir la relación entre ángulos centrales, inscritos y circunscritos; los ángulos inscritos sobre un diámetro son ángulos rectos; el radio de una circunferencia es perpendicular a la tangente donde el radio interseca la circunferencia.

    nuestra traducción · texto original (EN): Identify and describe relationships among inscribed angles, radii, and chords. Include the relationship between central, inscribed, and circumscribed angles; inscribed angles on a diameter are right angles; the radius of a circle is perpendicular to the tangent where the radius intersects the circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.2

    Finding Central and Inscribed Angles in Circles (en nuestro curso 10) · Finding Lengths of Chords and Tangent Segments (en nuestro curso 10)

  77. Punto del currículo HSG-C.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construct the inscribed and circumscribed circles of a triangle, and prove properties of angles for a quadrilateral inscribed in a circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.3

  78. Punto del currículo HSG-C.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Construir una recta tangente desde un punto exterior a una circunferencia dada a la circunferencia.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Construct a tangent line from a point outside a given circle to the circle.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.4

  79. Punto del currículo HSG-C.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Deducir, utilizando la semejanza, el hecho de que la longitud del arco interceptado por un ángulo es proporcional al radio, y definir la medida en radianes del ángulo como la constante de proporcionalidad; deducir la fórmula para el área de un sector.

    nuestra traducción · texto original (EN): Derive using similarity the fact that the length of the arc intercepted by an angle is proportional to the radius, and define the radian measure of the angle as the constant of proportionality; derive the formula for the area of a sector.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.B.5

  80. Punto del currículo HSG-GPE · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Expresar propiedades geométricas con ecuaciones

    nuestra traducción · texto original (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)

  81. Punto del currículo HSG-GPE.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Traducir entre la descripción geométrica y la ecuación de una sección cónica

    nuestra traducción · texto original (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A

  82. Punto del currículo HSG-GPE.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar coordenadas para demostrar algebraicamente teoremas geométricos sencillos

    nuestra traducción · texto original (EN): Use coordinates to prove simple geometric theorems algebraically

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster B

  83. Punto del currículo HSG-GPE.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Deducir la ecuación de una circunferencia de centro y radio dados utilizando el teorema de Pitágoras; completar el cuadrado para hallar el centro y el radio de una circunferencia dada por una ecuación.

    nuestra traducción · texto original (EN): Derive the equation of a circle of given center and radius using the Pythagorean Theorem; complete the square to find the center and radius of a circle given by an equation.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.1

  84. Punto del currículo HSG-GPE.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Deducir la ecuación de una parábola dados un foco y una directriz.

    nuestra traducción · texto original (EN): Derive the equation of a parabola given a focus and directrix.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.2

  85. Punto del currículo HSG-GPE.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar coordenadas para demostrar teoremas geométricos sencillos algebraicamente. Por ejemplo, demostrar o refutar que una figura definida por cuatro puntos dados en el plano de coordenadas es un rectángulo; demostrar o refutar que el punto (1, √3) se encuentra en la circunferencia con centro en el origen y que contiene el punto (0, 2).

    nuestra traducción · texto original (EN): Use coordinates to prove simple geometric theorems algebraically. For example, prove or disprove that a figure defined by four given points in the coordinate plane is a rectangle; prove or disprove that the point (1, √3) lies on the circle centered at the origin and containing the point (0, 2).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.4

  86. Punto del currículo HSG-GPE.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Prove the slope criteria for parallel and perpendicular lines and use them to solve geometric problems (e.g., find the equation of a line parallel or perpendicular to a given line that passes through a given point).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.5

  87. Punto del currículo HSG-GPE.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Hallar el punto en un segmento de recta dirigido entre dos puntos dados que divide el segmento en una razón dada.

    nuestra traducción · texto original (EN): Find the point on a directed line segment between two given points that partitions the segment in a given ratio.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.6

    Dividing a Line Segment in a Given Ratio (en nuestro curso 10)

  88. Punto del currículo HSG-GPE.B.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar coordenadas para calcular perímetros de polígonos y áreas de triángulos y rectángulos, p. ej., usando la fórmula de la distancia. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Use coordinates to compute perimeters of polygons and areas of triangles and rectangles, e.g., using the distance formula. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.7

    Finding the Area of a Triangle Using Coordinates (en nuestro curso 10) · Finding Distance Between Two Points Using Pythagoras (en nuestro curso 8)

  89. Punto del currículo HSG-GMD · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Medición geométrica y dimensión

    nuestra traducción · texto original (EN): Geometric Measurement and Dimension

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)

  90. Punto del currículo HSG-GMD.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Explicar las fórmulas de volumen y usarlas para resolver problemas

    nuestra traducción · texto original (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A

  91. Punto del currículo HSG-GMD.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Visualizar relaciones entre objetos bidimensionales y tridimensionales

    nuestra traducción · texto original (EN): Visualize relationships between two-dimensional and three-dimensional objects

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster B

  92. Punto del currículo HSG-GMD.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Dar un argumento informal para las fórmulas de la circunferencia de un círculo, área de un círculo, volumen de un cilindro, pirámide y cono. Usar argumentos de disección, el principio de Cavalieri y argumentos informales de límites.

    nuestra traducción · texto original (EN): Give an informal argument for the formulas for the circumference of a circle, area of a circle, volume of a cylinder, pyramid, and cone. Use dissection arguments, Cavalieri’s principle, and informal limit arguments.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.1

  93. Punto del currículo HSG-GMD.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar fórmulas de volumen para cilindros, pirámides, conos y esferas para resolver problemas. ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Use volume formulas for cylinders, pyramids, cones, and spheres to solve problems. ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.3

    Finding the Volume of Cylinders, Cones, and Spheres (en nuestro curso 8) · Surface Area of Cylinders, Cones, and Spheres (en nuestro curso 10)

  94. Punto del currículo HSG-GMD.B.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Identificar las formas de las secciones transversales bidimensionales de objetos tridimensionales e identificar objetos tridimensionales generados por rotaciones de objetos bidimensionales.

    nuestra traducción · texto original (EN): Identify the shapes of two-dimensional cross-sections of three-dimensional objects, and identify three-dimensional objects generated by rotations of two-dimensional objects.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.B.4

  95. Punto del currículo HSG-MG · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Modelado con geometría

    nuestra traducción · texto original (EN): Modeling with Geometry

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Modeling with Geometry (HSG-MG)

  96. Punto del currículo HSG-MG.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Aplicar conceptos geométricos en situaciones de modelización

    nuestra traducción · texto original (EN): Apply geometric concepts in modeling situations

    CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, cluster A

  97. Punto del currículo HSG-MG.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Utilizar figuras geométricas, sus medidas y sus propiedades para describir objetos (p. ej., modelar el tronco de un árbol o el torso humano como un cilindro). ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Use geometric shapes, their measures, and their properties to describe objects (e.g., modeling a tree trunk or a human torso as a cylinder). ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, standard HSG-MG.A.1

  98. Punto del currículo HSG-MG.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Aplicar conceptos de densidad basados en el área y el volumen en situaciones de modelado (por ejemplo, personas por milla cuadrada, BTU por pie cúbico). ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Apply concepts of density based on area and volume in modeling situations (e.g., persons per square mile, BTUs per cubic foot). ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, standard HSG-MG.A.2

    Finding Mass Using Density and Volume (en nuestro curso 10)

  99. Punto del currículo HSG-MG.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Aplicar métodos geométricos para resolver problemas de diseño (p. ej., diseñar un objeto o estructura para satisfacer restricciones físicas o minimizar costos; trabajar con sistemas de cuadrículas tipográficas basados en razones). ★

    nuestra traducción · texto original (EN): Apply geometric methods to solve design problems (e.g., designing an object or structure to satisfy physical constraints or minimize cost; working with typographic grid systems based on ratios). ★

    CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, standard HSG-MG.A.3

  100. Punto del currículo HSS-ID · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Interpretación de datos categóricos y cuantitativos

    nuestra traducción · texto original (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)

  101. Punto del currículo HSS-ID.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resumir, representar e interpretar datos sobre una sola variable de conteo o medición

    nuestra traducción · texto original (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A

  102. Punto del currículo HSS-ID.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Summarize, represent, and interpret data on two categorical and quantitative variables

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster B

  103. Punto del currículo HSS-ID.B.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Resumir datos categóricos para dos categorías en tablas de frecuencias de doble entrada. Interpretar frecuencias relativas en el contexto de los datos (incluidas frecuencias relativas conjuntas, marginales y condicionales). Reconocer posibles asociaciones y tendencias en los datos.

    nuestra traducción · texto original (EN): Summarize categorical data for two categories in two-way frequency tables. Interpret relative frequencies in the context of the data (including joint, marginal, and conditional relative frequencies). Recognize possible associations and trends in the data.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.5

    Finding Conditional Probability from a Table (en nuestro curso 9-10)

  104. Punto del currículo HSS-CP · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Probabilidad condicional y las reglas de probabilidad

    nuestra traducción · texto original (EN): Conditional Probability and the Rules of Probability

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Conditional Probability and the Rules of Probability (HSS-CP)

  105. Punto del currículo HSS-CP.A · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la independencia y la probabilidad condicional y utilizarlas para interpretar datos

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand independence and conditional probability and use them to interpret data

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, cluster A

  106. Punto del currículo HSS-CP.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar las reglas de probabilidad para calcular probabilidades de eventos compuestos en un modelo de probabilidad uniforme

    nuestra traducción · texto original (EN): Use the rules of probability to compute probabilities of compound events in a uniform probability model

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, cluster B

  107. Punto del currículo HSS-CP.A.1 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Describir eventos como subconjuntos de un espacio muestral (el conjunto de resultados) utilizando características (o categorías) de los resultados, o como uniones, intersecciones o complementos de otros eventos (“o”, “y”, “no”).

    nuestra traducción · texto original (EN): Describe events as subsets of a sample space (the set of outcomes) using characteristics (or categories) of the outcomes, or as unions, intersections, or complements of other events (“or,” “and,” “not”).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.1

    Finding the Probability of a Union of Events (en nuestro curso 10)

  108. Punto del currículo HSS-CP.A.2 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender que dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de que A y B ocurran juntos es el producto de sus probabilidades, y usar esta caracterización para determinar si son independientes.

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand that two events A and B are independent if the probability of A and B occurring together is the product of their probabilities, and use this characterization to determine if they are independent.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.2

  109. Punto del currículo HSS-CP.A.3 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Comprender la probabilidad condicional de A dado B como P(A y B)/P(B), e interpretar la independencia de A y B como que la probabilidad condicional de A dado B es la misma que la probabilidad de A, y la probabilidad condicional de B dado A es la misma que la probabilidad de B.

    nuestra traducción · texto original (EN): Understand the conditional probability of A given B as P(A and B)/P(B), and interpret independence of A and B as saying that the conditional probability of A given B is the same as the probability of A, and the conditional probability of B given A is the same as the probability of B.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.3

  110. Punto del currículo HSS-CP.A.4 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Construir e interpretar tablas de frecuencia de doble entrada de datos cuando dos categorías se asocian con cada objeto que se clasifica. Usar la tabla de doble entrada como un espacio muestral para decidir si los eventos son independientes y para aproximar probabilidades condicionales. Por ejemplo, recolectar datos de una muestra aleatoria de estudiantes de su escuela sobre su materia preferida entre matemáticas, ciencias e inglés. Estimar la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar de su escuela prefiera ciencias dado que el estudiante está en décimo grado. Hacer lo mismo para otras materias y comparar los resultados.

    nuestra traducción · texto original (EN): Construct and interpret two-way frequency tables of data when two categories are associated with each object being classified. Use the two-way table as a sample space to decide if events are independent and to approximate conditional probabilities. For example, collect data from a random sample of students in your school on their favorite subject among math, science, and English. Estimate the probability that a randomly selected student from your school will favor science given that the student is in tenth grade. Do the same for other subjects and compare the results.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.4

  111. Punto del currículo HSS-CP.A.5 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Reconocer y explicar los conceptos de probabilidad condicional e independencia en el lenguaje cotidiano y en situaciones cotidianas. Por ejemplo, comparar la probabilidad de tener cáncer de pulmón si se es fumador con la probabilidad de ser fumador si se tiene cáncer de pulmón.

    nuestra traducción · texto original (EN): Recognize and explain the concepts of conditional probability and independence in everyday language and everyday situations. For example, compare the chance of having lung cancer if you are a smoker with the chance of being a smoker if you have lung cancer.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.5

  112. Punto del currículo HSS-CP.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Hallar la probabilidad condicional de A dado B como la fracción de los resultados de B que también pertenecen a A, e interpretar la respuesta en términos del modelo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Find the conditional probability of A given B as the fraction of B’s outcomes that also belong to A, and interpret the answer in terms of the model.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.6

    Finding Conditional Probability from a Table (en nuestro curso 9-10)

  113. Punto del currículo HSS-CP.B.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Aplica la regla de la suma, P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B), e interpreta la respuesta en términos del modelo.

    nuestra traducción · texto original (EN): Apply the Addition Rule, P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B), and interpret the answer in terms of the model.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.7

    Finding the Probability of a Union of Events (en nuestro curso 10)

  114. Punto del currículo HSS-CP.B.8 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Aplicar la regla general de la multiplicación en un modelo de probabilidad uniforme, P(A y B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), e interpretar la respuesta en términos del modelo.

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Apply the general Multiplication Rule in a uniform probability model, P(A and B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), and interpret the answer in terms of the model.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.8

    Using Total Probability and Bayes' Formula (en nuestro curso 10)

  115. Punto del currículo HSS-CP.B.9 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Use permutations and combinations to compute probabilities of compound events and solve problems.

    CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.9

    Finding Permutations and Counting Arrangements (en nuestro curso 10) · Calculating Probabilities Using Combinations (en nuestro curso 10)

  116. Punto del currículo HSS-MD · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Uso de la probabilidad para tomar decisiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Using Probability to Make Decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)

  117. Punto del currículo HSS-MD.B · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    Usar la probabilidad para evaluar los resultados de decisiones

    nuestra traducción · texto original (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B

  118. Punto del currículo HSS-MD.B.6 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Usar probabilidades para tomar decisiones justas (por ejemplo, hacer un sorteo, usar un generador de números aleatorios).

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Use probabilities to make fair decisions (e.g., drawing by lots, using a random number gener ator).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.6

  119. Punto del currículo HSS-MD.B.7 · Contenidos de enseñanza · verificado con el texto oficial

    (+) Analizar decisiones y estrategias utilizando conceptos de probabilidad (por ejemplo, pruebas de productos, pruebas médicas, retirar al portero de hockey al final de un partido).

    nuestra traducción · texto original (EN): (+) Analyze decisions and strategies using probability concepts (e.g., product t esting, medical testing, pulling a hockey goalie at the end of a game).

    CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.7

Competencias paso a paso

Finding Permutations and Counting Arrangements

Students learn to use multiplication rules and permutations to calculate the number of possible ordered arrangements and outcomes for everyday scenarios.

Punto del currículo HSS-CP.B.9 (+) Use permutations and combinations to compute probabilities of compound events and solve problems.

Students learn to determine the total number of ordered arrangements for a set of items or people using multiplication counting rules and permutations. In this grade, students calculate how many ways distinct positions can be filled when order matters and each choice reduces the options available for the next selection.

A common error is confusing when to add versus when to multiply possibilities across consecutive steps. Students also frequently forget to account for restrictions first; for instance, when building odd or even numbers without repeated digits, they may pick the starting digits before securing the required ending digit, leading to incorrect counts.

Practice tasks on this skill ask students to solve concrete arrangement problems, such as:

  • Calculating how many ways a set of students can stand in a single-file queue.
  • Finding the number of possible outcomes when awarding first-, second-, and third-place prizes to a group of contestants.
  • Determining how many unique even or odd multi-digit numbers can be created using a given set of digits without repetition.
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Tipos de ejercicios: Permutaciones — fila · Variaciones — reparto de premios · Números impares con una cifra una vez · Números pares con una cifra una vez

Surface Area of Cylinders, Cones, and Spheres

Students learn to calculate the total surface area of curved 3D solids—cylinders, cones, and spheres—and analyze the flat nets used to build them.

Punto del currículo HSG-GMD.A.3 Usar fórmulas de volumen para cilindros, pirámides, conos y esferas para resolver problemas. ★ (nuestra traducción)

Students learn to calculate the total outer area of three-dimensional curved solids, including cylinders, cones, and spheres. They apply geometric formulas that combine circular bases with curved lateral surfaces, and they analyze two-dimensional nets to understand how flat shapes fold into three-dimensional cones.

A common mistake is confusing a cone's vertical height with its slant height, which leads to incorrect lateral area calculations. Students also frequently forget to add the circular bases to the lateral area, such as omitting the top and bottom circles of a cylinder or struggling to connect the circumference of a cone's base to the arc length of its unrolled side.

Worksheet tasks provide diagrams of solids with labeled dimensions such as radii, heights, or slant heights. Typical exercises ask students to find the surface area of a cylinder, the surface area of a cone, or the surface area of a sphere, as well as calculate the central angle of a cone's net from its circular dimensions.

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Tipos de ejercicios: Área de la esfera · Área total del cilindro · Ángulo del desarrollo del cono · Área total del cono

Finding the Volume of Cylinders, Cones, and Spheres

Students learn to use formulas to calculate the volumes of cylinders, cones, and spheres in geometric and real-world problems.

Punto del currículo 8.G.C.9 Conocer las fórmulas para los volúmenes de conos, cilindros y esferas y usarlas para resolver problemas del mundo real y matemáticos. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSG-GMD.A.3 Usar fórmulas de volumen para cilindros, pirámides, conos y esferas para resolver problemas. ★ (nuestra traducción)

In 10th grade geometry, students apply specific geometric formulas to calculate the volume of curved three-dimensional solids: cylinders, cones, and spheres. They identify key dimensions from diagrams or descriptions—such as radius, diameter, and perpendicular height—and evaluate the formulas to determine total capacity.

A frequent error involves mixing up the radius and the diameter. Students often substitute a given diameter directly into the formula without dividing it by two first. Another common mistake is applying the wrong exponent or omitting fractional coefficients, such as squaring the radius instead of cubing it in a sphere calculation, or forgetting to multiply by 1/3 when working with a cone.

Worksheet tasks focus directly on three formats: Volume of a cylinder, Volume of a cone, and Volume of a sphere. A typical problem provides a shape with given dimensions, such as a cylinder with a radius of 4 units and a height of 10 units, and asks students to compute the volume either in terms of pi or rounded to a specified decimal place.

Factoring Polynomials with Grouping and Cubes

Students learn to rewrite polynomial expressions by factoring out common monomials, grouping terms, and applying sum and difference of cubes patterns.

Punto del currículo HSA-SSE.A.2 Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2). (nuestra traducción)

In 10th grade, students use the structure of polynomial expressions to identify ways to rewrite them into factored forms. Working with multi-term expressions and higher powers, students recognize when terms share an algebraic factor, when a four-term expression can be split into pairs, and how to spot the specific structure of a sum or difference of two perfect cubes.

A frequent stumbling block is managing negative signs. When factoring by grouping, students often forget to distribute a negative sign when pulling a negative factor out of the second pair of terms, leading to mismatched binomials. With the sum and difference of cubes, students frequently confuse the signs inside the linear and quadratic factors, especially the sign of the middle term in the resulting trinomial.

Worksheet tasks focus on three distinct structures:

  • Factoring out a monomial: identifying and extracting the greatest common numerical and variable factor from every term in an expression.
  • Factoring by grouping: partitioning a four-term polynomial into two pairs to extract common factors and reveal a shared binomial factor.
  • Sum and difference of cubes: identifying expressions built from two cubic terms and rewriting them into their corresponding linear and quadratic factors.
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Tipos de ejercicios: Sacar factor común un monomio · Factorización por agrupación · Suma y diferencia de cubos

Using the Laws of Sines and Cosines

Students find missing sides, angles, and areas in non-right triangles using the Law of Sines, the Law of Cosines, and sine area formulas.

Punto del currículo HSG-SRT.D.11 (+) Comprender y aplicar la ley de los senos y la ley de los cosenos para hallar medidas desconocidas en triángulos rectángulos y no rectángulos (p. ej., problemas de agrimensura, fuerzas resultantes). (nuestra traducción)

At this level, students extend triangle trigonometry beyond right-angled triangles to any general triangle. They use the Law of Sines and the Law of Cosines to calculate unknown side lengths and angle measures, and they use the sine ratio to calculate a triangle's total area when given two sides and the included angle.

A frequent stumbling block is selecting the incorrect rule for the information provided. For example, students often attempt to use the Law of Sines on a triangle where only three side lengths or two sides and the included angle are known, which does not provide a complete side-angle pair. Another common mistake occurs during the algebra of the Law of Cosines, where students mistakenly subtract terms before multiplying by the cosine of the angle.

Practice exercises fall into three main formats: Law of sines tasks where students solve for a missing measurement given angle-side pairings, Law of cosines problems focused on side-angle-side or side-side-side arrangements, and Area of a triangle with sine problems where students compute the area using two side lengths and the sine of the angle between them.

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Tipos de ejercicios: Área del triángulo con el seno · Teorema del coseno · Teorema del seno

Finding Distance Between Two Points Using Pythagoras

Students learn to find the straight-line distance between two points on a coordinate grid by treating the segment as the hypotenuse of a right triangle.

Punto del currículo 8.G.B.8 Aplicar el teorema de Pitágoras para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSG-GPE.B.7 Usar coordenadas para calcular perímetros de polígonos y áreas de triángulos y rectángulos, p. ej., usando la fórmula de la distancia. ★ (nuestra traducción)

Students use coordinates on a grid to calculate the straight-line distance between two points. By finding the horizontal difference between the x-coordinates and the vertical difference between the y-coordinates, they identify the two leg lengths of a right triangle. They then apply the Pythagorean Theorem—squaring both lengths, adding them together, and taking the square root—to find the unknown distance.

A frequent mistake involves subtracting negative coordinates when calculating the leg lengths. For instance, a student finding the horizontal distance between -3 and 4 might calculate 4 - 3 = 1 instead of 4 - (-3) = 7. Another common slip is calculating the sum of the squared legs but forgetting the final step of taking the square root, leaving the answer as c2 rather than c.

Practice tasks generally appear in two formats:

  • Distance between points with Pythagoras: Students look at two plotted points on a coordinate grid, draw or visualize the horizontal and vertical legs of a right triangle, and use the theorem to determine the length of the connecting segment.
  • Distance between two points: Students are given two coordinate pairs as numbers without a drawn triangle, requiring them to compute the leg lengths algebraically and solve for the distance.

Finding Terms and Sums of Geometric Sequences

Students learn to identify the common ratio in a geometric sequence, find any specific term using a formula, and calculate the total sum of a given number of terms.

Punto del currículo HSA-SSE.B.4 Deducir la fórmula para la suma de una serie geométrica finita (cuando la razón común no es 1), y usar la fórmula para resolver problemas. Por ejemplo, calcular los pagos de una hipoteca.★ (nuestra traducción)
Punto del currículo HSF-BF.A.2 Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms. ★
Punto del currículo HSF-LE.A.2 Construir funciones lineales y exponenciales, incluidas las sucesiones aritméticas y geométricas, dada una gráfica, una descripción de una relación o dos pares de entrada-salida (incluir la lectura de estos a partir de una tabla). (nuestra traducción)

Students learn to analyze sequences where each term is found by multiplying the previous term by a constant common ratio (where the ratio is not 1). They write explicit formulas to find any specific nth term without having to calculate every value in between. Additionally, they use the finite geometric series formula to calculate the total sum of a specified number of terms.

A common mistake occurs with the order of operations when calculating the nth term. Students often multiply the initial term by the common ratio before applying the exponent, rather than calculating the power first. Confusion also arises with powers in the formula, such as using an exponent of n instead of n − 1, or mismanaging signs when subtracting a negative ratio in the denominator of the sum formula.

Practice tasks generally fall into two formats:

  • Geometric sequence — nth term: Given the first few numbers of a sequence or a real-world scenario, students identify the starting term and common ratio, write the formula, and solve for a specific term, such as the 8th or 12th term.
  • Geometric sequence — sum of terms: Students determine the sum of a designated number of terms by substituting the first term, the common ratio, and the number of terms directly into the finite series formula.
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Tipos de ejercicios: Progresión geométrica — suma · Progresión geométrica — término n-ésimo

Using Total Probability and Bayes' Formula

Students learn to calculate overall event chances across multiple stages and find reversed conditional probabilities using two-urn models.

Punto del currículo HSS-CP.B.8 (+) Aplicar la regla general de la multiplicación en un modelo de probabilidad uniforme, P(A y B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), e interpretar la respuesta en términos del modelo. (nuestra traducción)

At this level, students apply the general multiplication rule to find the probability of combined events. Working with multi-step experiments, they calculate the total probability of an outcome that can happen through different paths, and use Bayes' formula to determine conditional probabilities in reverse—figuring out which initial path was taken after observing the final outcome.

A common mistake is confusing the condition with the outcome, treating the probability of drawing a specific item from an urn, P(ball | urn), as identical to the probability that a specific urn was picked, P(urn | ball). Students also frequently forget to multiply by the probability of selecting the first container itself, focusing only on the ratio of colored balls inside it.

Practice tasks center on two-urn experiments. For example, a student is given two urns containing different mixtures of colored marbles, such as red and green. In a total probability task, they determine the overall likelihood of drawing a red marble after randomly picking an urn. In a Bayes' formula task, they are told that a red marble was drawn and must calculate the probability that it came from the first urn.

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Tipos de ejercicios: Probabilidad total — dos urnas · Teorema de Bayes — dos urnas

Using Special Product Formulas

Students learn to use algebraic patterns to expand the square of a binomial and the product of a sum and a difference without multiplying term by term.

Punto del currículo HSA-SSE.A.2 Utilizar la estructura de una expresión para identificar maneras de reescribirla. Por ejemplo, ver x4 – y4 como (x2)2 – ( y2)2, reconociéndola de este modo como una diferencia de cuadrados que se puede factorizar como (x2 – y2)(x2 + y2). (nuestra traducción)

Students learn to identify the underlying structure of algebraic expressions to rewrite and expand them quickly. Rather than multiplying out terms individually, they apply standard shortcut patterns to expand binomial products involving addition and subtraction.

A common error happens when expanding the square of a sum or difference. Students frequently write (x + 4)^2 as x^2 + 16, mistakenly distributing the exponent to each term and dropping the middle term that comes from multiplying the two terms together and doubling the result.

Practice tasks focus directly on two standard formats:

  • Product of a sum and a difference: recognizing matching terms with opposite signs, such as (x + 4)(x - 4), and rewriting them directly as a difference of squares.
  • Square of a sum or difference: expanding expressions such as (x + 3)^2 or (x - 5)^2 into complete three-term expressions.
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Tipos de ejercicios: Cuadrado de una suma o diferencia · Suma por diferencia

Writing Equations of Lines and Parallel Lines

Students learn to write the equation of a line passing through two given points or passing through a specific point parallel to another line.

Punto del currículo HSF-BF.A.1 Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo. (nuestra traducción)

Students learn to write an explicit linear equation that describes the relationship between two coordinate values. In this grade, they determine the slope and intercept to define a line, using either two given coordinate points or a single point paired with an existing line that runs parallel to it.

A frequent error occurs when handling parallel lines: students sometimes confuse parallel and perpendicular relationships, mistakenly flipping or negating the slope rather than keeping it identical. Another common mistake is reversing the coordinate order when calculating slope, accidentally placing the change in x over the change in y or mixing up positive and negative signs during subtraction.

Worksheet tasks typically take one of two forms:

  • Linear function through two points: Students are given two coordinate pairs and must find the slope and solve for the equation.
  • Parallel line through a point: Students identify the slope from a given line's equation and use it alongside a new coordinate point to write the parallel line's equation.
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Tipos de ejercicios: Función lineal por dos puntos · Recta paralela por un punto

Finding the Vertex and Using Vertex Form

Students learn to rewrite quadratic equations into vertex form to identify the vertex, axis of symmetry, and maximum or minimum values of a parabola.

Punto del currículo HSF-IF.C.8 Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

Students work with quadratic equations to reveal key geometric features of parabolas. By completing the square, they transform standard quadratic expressions into vertex form to identify the graph's line of symmetry and its extreme values—specifically whether the parabola reaches a maximum or minimum point at its vertex.

A frequent error involves the signs when extracting the horizontal coordinate from vertex form, y = a(x - h)^2 + k. Students often take the sign inside the parentheses at face value, mistakenly naming the vertex of y = (x + 4)^2 + 1 as (4, 1) rather than (-4, 1), because they forget that the standard formula uses subtraction for the horizontal shift.

In practice, students complete tasks aligned with Vertex form of a quadratic function and Vertex of a parabola. These exercises ask them to convert standard quadratic expressions into vertex form through algebraic steps, read the coordinates of the turning point directly from the rewritten equation, and state whether that point represents a highest or lowest value.

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Tipos de ejercicios: Vértice de una parábola · Forma canónica de la función cuadrática

Finding Missing Sides of Right Triangles

Students learn to use trigonometric ratios to find the unknown length of a leg opposite or adjacent to a given angle in a right triangle.

Punto del currículo HSG-SRT.C.8 Usar las razones trigonométricas y el teorema de Pitágoras para resolver triángulos rectángulos en problemas aplicados. ★ (nuestra traducción)

At this stage, students use basic trigonometric ratios to calculate an unknown side length in a right-angled triangle. Given one acute angle measure and one side length, they identify the appropriate trigonometric ratio—sine, cosine, or tangent—to solve for an unknown leg length.

A frequent stumbling block is mixing up the sides relative to the reference angle. Students often confuse the opposite leg (the side facing across from the angle) with the adjacent leg (the side next to the angle, between it and the right angle). This leads to setting up the ratio upside down or choosing the wrong trigonometric function entirely.

Worksheet tasks provide a labeled right triangle diagram and focus on two concrete problem types:

  • Leg opposite an angle: using the given angle and another side to calculate the length of the side directly across from that angle.
  • Leg adjacent to an angle: using the given angle and another side to find the length of the leg bordering the angle.
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Tipos de ejercicios: Cateto contiguo · Cateto opuesto

Finding Central and Inscribed Angles in Circles

Students learn to find missing angle measures in circles using the rule that a central angle is twice the measure of an inscribed angle that intercepts the same arc.

Punto del currículo HSG-C.A.2 Identificar y describir relaciones entre ángulos inscritos, radios y cuerdas. Incluir la relación entre ángulos centrales, inscritos y circunscritos; los ángulos inscritos sobre un diámetro son ángulos rectos; el radio de una circunferencia es perpendicular a la tangente donde el radio interseca la circunferencia. (nuestra traducción)

In 10th grade geometry, students explore the relationship between angles inside a circle that open up to the same arc. They learn that a central angle, which has its vertex at the center of the circle, is always twice as large as an inscribed angle, which has its vertex on the circle itself. Using this relationship, students calculate unknown angles using simple doubling and halving.

A common error occurs when students confuse which angle is larger. Because both angles share the exact same endpoints on the circle, students often assume the angles are equal, or they accidentally double a central angle rather than dividing it by two. Visualizing that the inscribed angle sits farther back on the circle's edge helps them remember that it must be the narrower angle.

Practice tasks provide labeled circle diagrams based on two formats: finding a central angle from the inscribed angle (for example, taking an inscribed angle of 35 degrees and multiplying by 2 to get 70 degrees) and finding an inscribed angle from the central angle (such as dividing a central angle of 110 degrees by 2 to find 55 degrees).

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Tipos de ejercicios: Ángulo central a partir del inscrito · Ángulo inscrito a partir del central

Finding Lengths of Chords and Tangent Segments

Students learn to calculate the lengths of chords and tangent segments in circles using properties of radii, tangents, and right triangles.

Punto del currículo HSG-C.A.2 Identificar y describir relaciones entre ángulos inscritos, radios y cuerdas. Incluir la relación entre ángulos centrales, inscritos y circunscritos; los ángulos inscritos sobre un diámetro son ángulos rectos; el radio de una circunferencia es perpendicular a la tangente donde el radio interseca la circunferencia. (nuestra traducción)

In tenth-grade geometry, students apply circle properties to solve for unknown side lengths. They use the rule that a circle’s radius is perpendicular to a tangent line at the point of contact, as well as the geometric relationships connecting radii to chords. By combining these geometric theorems with right-triangle relationships, students calculate missing lengths directly from geometric diagrams.

A common error involves misidentifying the right angle in tangent problems. Students often assume the right angle lies at an external point rather than where the radius meets the tangent line, which causes them to mislabel the hypotenuse. When solving chord problems, students also frequently forget that a perpendicular line from the center cuts the chord into two equal halves, leading them to report half the segment instead of the full chord length.

Practice tasks center on two main formats:

  • Length of a tangent segment: Students look at a circle with a radius and an external tangent line, using the given radius and the distance from the center to find the tangent segment’s length.
  • Length of a chord: Students work from a diagram showing a circle with a chord, using the radius and the perpendicular distance from the circle's center to determine the total length of the chord.
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Tipos de ejercicios: Longitud de una cuerda · Segmento tangente

Finding Conditional Probability from a Table

Students learn to find the probability of an event given another condition using data from a table, expressing the answer as a fraction and explaining its meaning.

Punto del currículo HSS-CP.B.6 Hallar la probabilidad condicional de A dado B como la fracción de los resultados de B que también pertenecen a A, e interpretar la respuesta en términos del modelo. (nuestra traducción)
Punto del currículo HSS-ID.B.5 Resumir datos categóricos para dos categorías en tablas de frecuencias de doble entrada. Interpretar frecuencias relativas en el contexto de los datos (incluidas frecuencias relativas conjuntas, marginales y condicionales). Reconocer posibles asociaciones y tendencias en los datos. (nuestra traducción)

Students learn to calculate the conditional probability of an event A given that another event B has occurred. They use data to identify the subset of outcomes that satisfy condition B, make that count their denominator, and find the fraction of those specific outcomes that also belong to A. Students then interpret what this fraction represents within the context of the problem.

A frequent error is dividing by the total population rather than the restricted condition. When asked for the probability of A given B, students often pull the grand total from the entire data set instead of restricting their focus to the row or column representing only condition B.

Worksheet tasks feature two-way frequency tables categorizing survey results or experimental data. Students read the table to locate the given condition, identify the overlapping category, and write the resulting conditional probability as a simplified fraction.

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Finding the Probability of a Union of Events

Students learn to use the Addition Rule to calculate the probability that at least one of two events occurs, accounting for any outcomes they share.

Punto del currículo HSS-CP.A.1 Describir eventos como subconjuntos de un espacio muestral (el conjunto de resultados) utilizando características (o categorías) de los resultados, o como uniones, intersecciones o complementos de otros eventos (“o”, “y”, “no”). (nuestra traducción)
Punto del currículo HSS-CP.B.7 Aplica la regla de la suma, P(A o B) = P(A) + P(B) – P(A y B), e interpreta la respuesta en términos del modelo. (nuestra traducción)

At this level, students calculate the probability that event A, event B, or both occur within a sample space. They apply the Addition Rule, represented as P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B), interpreting outcomes described with "or," "and," and "not." Students work with probabilities expressed as fractions, decimals, or percentages to model real-world situations.

The most common error is forgetting to subtract the intersection, P(A and B). When two events can happen at the same time, simply adding their individual probabilities double-counts the shared outcomes, which frequently results in an inaccurate answer or a probability greater than 1.

Tasks based on the Probability of a union of events template typically give students a scenario—such as drawing a card with specific characteristics or selecting a person from survey categories. Students identify the probability of each separate event, determine the probability of the overlap where both conditions are met, and apply the formula to find the combined probability.

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Calculating Probabilities Using Combinations

Students learn to use permutations and combinations to calculate the exact probability of compound events, such as picking items from a group without replacement.

Punto del currículo HSS-CP.B.9 (+) Use permutations and combinations to compute probabilities of compound events and solve problems.

In 10th grade, students learn to use permutations and combinations to calculate probabilities for compound events. Rather than trying to write out every possible result by hand, they apply combinatorial counting methods to determine both the total number of favorable outcomes and the total possible outcomes when selecting groups of items.

A common hurdle is confusing whether the order of selection matters. When picking a group where order is irrelevant, students often mistakenly use permutations instead of combinations. Another frequent error in multi-step selections is forgetting that each pick changes the pool, treating draws as independent events rather than accounting for the items removed from the total.

Practice problems typically feature scenarios like drawing colored balls from an urn or bag without replacement. For instance, given a set number of red and blue balls, a student might be asked to find the probability of drawing exactly two red balls and one blue ball in a sample of three, using combinations to evaluate both the successful subsets and the overall sample space.

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Translating Function Graphs

Students learn how adding or subtracting numbers shifts a graph up, down, left, or right, and how to identify these movements between equations and graphs.

Punto del currículo HSF-BF.B.3 Identificar el efecto en la gráfica al reemplazar f(x) por f(x) + k, k f(x), f(kx) y f(x + k) para valores específicos de k (tanto positivos como negativos); hallar el valor de k dadas las gráficas. Experimentar con casos e ilustrar una explicación de los efectos en la gráfica utilizando tecnología. Incluir el reconocimiento de funciones pares e impares a partir de sus gráficas y de sus expresiones algebraicas. (nuestra traducción)

Students learn to connect algebraic changes in a function to physical shifts of its graph on the coordinate plane. Specifically, they examine how replacing f(x) with f(x) + k or f(x + k) moves the curve vertically or horizontally using both positive and negative values of k. Given an original graph and its shifted image, they also find the specific value of k that caused the translation.

A frequent stumbling block is the direction of horizontal shifts. Because addition is associated with the positive direction on a number line, students often assume that f(x + 4) moves the graph four units to the right. In practice, adding inside the input shifts the graph to the left, while subtracting moves it to the right. Students also frequently confuse these horizontal adjustments inside the parentheses with vertical shifts added outside the function.

Worksheet tasks based on Translating a graph present students with a plotted curve and ask them to either graph the result of a transformation or identify the shift from an image. Students might take a given function, apply a rule such as f(x) − 3 or f(x + 2), and plot the translated points, or determine the numerical value of k by measuring the distance between key features on two displayed graphs.

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Finding Average Rate of Change

Students learn to calculate and interpret the average rate of change of a function across an interval using formulas, tables, and graphs.

Punto del currículo HSF-IF.B.6 Calcular e interpretar la tasa de cambio promedio de una función (presentada simbólicamente o como una tabla) en un intervalo especificado. Estimar la tasa de cambio a partir de una gráfica. ★ (nuestra traducción)

Students learn to measure how much a function's output changes relative to its input over a given interval. They calculate this rate using functions presented as algebraic equations or tables of values, and they estimate the rate by reading coordinates off a graph. Beyond calculating the numerical value, students learn to interpret what that rate means in real-world scenarios.

A common error is reversing the calculation by placing the change in input over the change in output, mixing up the independent and dependent variables. Students also frequently subtract values in mismatched directions—such as subtracting the first input from the second, but subtracting the second output from the first—which leads to an incorrect sign.

In the Average rate of change practice tasks, students typically receive a function rule, a data table, or a plotted curve alongside a specified interval. They locate or calculate the function values at both boundaries of the interval, set up the ratio of the vertical change to the horizontal change, and compute or estimate the average rate over that span.

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Combining Functions Using Composition

Students learn to evaluate and write composite functions by using the output of one function as the input for another.

Punto del currículo HSF-BF.A.1 Escribir una función que describa una relación entre dos cantidades.★ a. Determinar una expresión explícita, un proceso recursivo o pasos para el cálculo a partir de un contexto. b. Combinar tipos de funciones estándar mediante operaciones aritméticas. Por ejemplo, construir una función que modele la temperatura de un cuerpo que se enfría sumando una función constante a una exponencial decreciente, y relacionar estas funciones con el modelo. c. (+) Componer funciones. Por ejemplo, si T(y) es la temperatura en la atmósfera en función de la altura, y h(t) es la altura de un globo meteorológico en función del tiempo, entonces T(h(t)) es la temperatura en la ubicación del globo meteorológico en función del tiempo. (nuestra traducción)

Students learn to compose functions by taking the output of an inner function and feeding it directly as the input into an outer function. At this level, students write composite rules such as f(g(x)) and apply them to contexts where quantities are linked across steps, such as finding atmospheric temperature at a given time when temperature depends on height and height depends on time.

A frequent stumbling block is confusing composition with multiplication. Instead of replacing the variable in the outside function with the entire inside expression, students often multiply the two formulas together. Another common mistake is reversing the order of operations, applying the outer function first instead of working from the inside out.

Practice with the Composition of functions template presents two distinct function definitions and prompts students to write a simplified rule for the combined function or compute the final numerical value for a specific input.

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Finding the Inverse of a Linear Function

Students learn to write the inverse rule for a linear function by reversing its algebraic operations and solving for the new output.

Punto del currículo HSF-BF.B.4 Hallar funciones inversas. a. Resolver una ecuación de la forma f(x) = c para una función simple f que tiene una inversa y escribir una expresión para la inversa. Por ejemplo, f(x) =2 x3 o f(x) = (x+1)/(x–1) para x ≠ 1. b. (+) Verificar mediante composición que una función es la inversa de otra. c. (+) Leer valores de una función inversa a partir de una gráfica o una tabla, dado que la función tiene una inversa. d. (+) Producir una función invertible a partir de una función no invertible restringiendo el dominio. (nuestra traducción)

At this level, students work with linear equations to determine their inverse functions. Given a linear rule such as f(x) = ax + b, students solve the equation for the input variable by systematically undoing each operation, producing a new formula that maps outputs back to their original inputs.

A common error is confusing the inverse notation f-1(x) with a negative exponent. Students often mistakenly write the reciprocal 1/f(x) instead of finding the inverse function. Another frequent issue is reversing the order of operations incorrectly, such as dividing by the slope before subtracting the constant term.

Practice tasks based on the Inverse of a linear function template present students with a single linear equation—often involving integers or simple fractions—and ask them to write the algebraic expression for its inverse.

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Finding the Area of Similar Figures

Students learn how side length scale factors affect two-dimensional space and calculate the unknown area of a similar figure.

Punto del currículo HSG-SRT.A.1 Verificar experimentalmente las propiedades de las homotecias dadas por un centro y un factor de escala: a. Una homotecia transforma una recta que no pasa por el centro de la homotecia en una recta paralela, y deja invariable una recta que pasa por el centro. b. La homotecia de un segmento de recta es más larga o más corta en la razón dada por el factor de escala. (nuestra traducción)

Students use the properties of dilations to determine how resizing a shape changes its measurements. When a figure is enlarged or reduced by a scale factor, segment lengths scale proportionally, and students apply this relationship to calculate the unknown area of a similar figure.

A common error is treating area like perimeter or side length. When two figures have a scale factor such as 3, students often multiply the original area directly by 3. They forget that area is two-dimensional and scales by the square of the scale factor, meaning the area actually increases by a factor of 9.

In practice, tasks like Area of a similar figure provide two similar polygons with a pair of corresponding side lengths and the area of one shape. Students identify the ratio between the matching sides, square that ratio, and use it to solve for the missing area.

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Using the Intercept Theorem to Find Lengths

Students learn to use the intercept theorem and triangle similarity to set up proportions and calculate missing side lengths in geometric figures.

Punto del currículo HSG-SRT.B.5 Utilizar criterios de congruencia y semejanza de triángulos para resolver problemas y para demostrar relaciones en figuras geométricas. (nuestra traducción)

In tenth-grade geometry, students apply similarity criteria to triangles crossed by parallel lines. Using the intercept theorem, they identify that parallel lines cut transversal lines into proportional segments. Students set up ratios comparing corresponding side lengths and solve algebraic proportions using multiplication and division to determine unknown segment lengths.

A common error occurs when students compare the parallel cross-segments to side segments. Instead of setting up a ratio between the small triangle's side and the full side of the larger triangle, students often pair a parallel base with only the bottom segment of a side. This happens because they treat every visually separated segment as an independent side of similar triangles rather than accounting for the full side length.

Worksheet tasks from the Intercept theorem template present geometric figures such as a triangle intersected by a line parallel to its base. Given three segment lengths as whole numbers or decimals, students write a proportion matching the corresponding parts and solve for a missing value labeled with a variable.

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Dividing a Line Segment in a Given Ratio

Students learn to find the coordinates of a point on a directed line segment that divides the segment in a given ratio.

Punto del currículo HSG-GPE.B.6 Hallar el punto en un segmento de recta dirigido entre dos puntos dados que divide el segmento en una razón dada. (nuestra traducción)

In 10th grade coordinate geometry, students learn to locate a specific point along a directed line segment between two known endpoints. Given the coordinates of the endpoints on the coordinate plane, they determine the exact x- and y-coordinates that partition the segment according to a specified ratio.

A common mistake occurs when students confuse a part-to-part ratio with a part-to-whole fraction. For example, when asked to partition a segment in a 1:3 ratio, students often calculate one-third of the horizontal and vertical distances instead of one-fourth. Another frequent error is running the calculation in the wrong direction, measuring from the second endpoint rather than the designated starting point of the directed segment.

Practice tasks based on the Dividing a segment in a ratio template present two coordinate points and a target ratio, such as partitioning directed segment AB from point A to point B in a ratio of 2:1. Students calculate the horizontal and vertical distance traveled, apply the appropriate fractional step, and name the resulting coordinate point.

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Finding the Area of a Triangle Using Coordinates

Students learn to find the area of a triangle on the coordinate plane by using vertex coordinates to determine side lengths and heights.

Punto del currículo HSG-GPE.B.7 Usar coordenadas para calcular perímetros de polígonos y áreas de triángulos y rectángulos, p. ej., usando la fórmula de la distancia. ★ (nuestra traducción)

Students use the coordinates of a triangle's three vertices on a coordinate plane to compute its area. In tenth grade, they apply the distance formula to find lengths of perpendicular bases and heights, or they enclose the slanted figure inside a bounding rectangle and subtract the area of the surrounding right triangles.

A common mistake occurs when a triangle has no horizontal or vertical edges. Students often treat an arbitrary side as the height without checking that it meets the chosen base at a right angle. Sign errors are also frequent when subtracting negative coordinate values during distance calculations.

Worksheet tasks based on the Area of a triangle from coordinates template present three vertex points, either plotted on a grid or written as coordinate pairs. Students identify or construct the required measurements and solve for the total area in square units.

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Finding Mass Using Density and Volume

Students learn to find the mass of a solid block by calculating its volume and multiplying by its given density.

Punto del currículo HSG-MG.A.2 Aplicar conceptos de densidad basados en el área y el volumen en situaciones de modelado (por ejemplo, personas por milla cuadrada, BTU por pie cúbico). ★ (nuestra traducción)

In 10th grade geometry, students connect three-dimensional geometric measurement to real-world objects. At this level, students find the volume of a solid rectangular block from its given dimensions and multiply that volume by a given density to determine the block's total mass.

A common error is confusing the algebraic relationship between mass, volume, and density. Because density is defined using division (mass divided by volume), students often mistakenly divide the volume by the density—or the density by the volume—rather than multiplying volume by density to isolate the mass.

In practice, tasks like mass of a block from density provide the length, width, and height of a block along with the density of the material. Students calculate the volume of the block and then multiply that volume by the density to find the final mass.

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Plantillas de ejercicios para imprimir

Todos los tipos de ejercicios, agrupados por habilidad. Un clic abre el generador con el tipo ya elegido.

Finding Permutations and Counting Arrangements

Surface Area of Cylinders, Cones, and Spheres

Factoring Polynomials with Grouping and Cubes

Using the Laws of Sines and Cosines

Finding Terms and Sums of Geometric Sequences

Using Total Probability and Bayes' Formula

Using Special Product Formulas

Writing Equations of Lines and Parallel Lines

Finding the Vertex and Using Vertex Form

Finding Missing Sides of Right Triangles

Finding Central and Inscribed Angles in Circles

Finding Lengths of Chords and Tangent Segments

Finding Conditional Probability from a Table

Finding the Probability of a Union of Events

Calculating Probabilities Using Combinations

Translating Function Graphs

Finding Average Rate of Change

Combining Functions Using Composition

Finding the Inverse of a Linear Function

Finding the Area of Similar Figures

Using the Intercept Theorem to Find Lengths

Dividing a Line Segment in a Given Ratio

Finding the Area of a Triangle Using Coordinates

Finding Mass Using Density and Volume

Otros tipos de ejercicios

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