Lehrplan (Vereinigte Staaten)

Mathematik — Klasse 10

Mathematik der 10. Klasse nach den Common Core State Standards, üblicherweise Geometrie: Ähnlichkeit, Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck, Sinus- und Kosinussatz, Kreise, Koordinatengeometrie, Volumen und Oberflächeninhalt sowie bedingte Wahrscheinlichkeit. Zu jedem Thema gibt es ausdruckbare Arbeitsblätter.

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Was lernen Schüler in der 10. Klasse in Mathematik?

In der 10. Klasse nutzen Schülerinnen und Schüler Ähnlichkeit und Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck, wenden den Sinus- und Kosinussatz an und arbeiten mit Peripherie- und Mittelpunktswinkeln, Tangenten und Sehnen. In der Koordinatenebene bestimmen sie Abstände, teilen Strecken und berechnen Flächeninhalte. Sie berechnen das Volumen und die Oberfläche von Zylindern, Kegeln und Kugeln, modellieren mithilfe der Dichte und zählen Ergebnisse ab, um bedingte und zusammengesetzte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

Über die Standards: Die Common-Core-Standards für die High School sind nach thematischen Kategorien gegliedert (Zahlen und Größen, Algebra, Funktionen, Geometrie, Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung), nicht nach Klassenstufen. Die Zuordnung eines Themas zu einer Klassenstufe ist unsere Entscheidung und folgt der üblichen Kursabfolge Algebra I, Geometrie, Algebra II und Precalculus. Standards, die mit (+) gekennzeichnet sind, gehen über die Grundanforderungen für Studien- und Berufsfähigkeit hinaus.

Status der Seite: Die Themen dieser Klassenstufe stehen als reine Übungsaufgaben (Anweisung und Formel) bereit; Aufgaben mit Diagrammen und Textaufgaben werden als Nächstes hinzugefügt.

Lehrplanumfang

Lehrplanpunkt HSA-SSE · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Strukturen in Termen erkennen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Seeing Structure in Expressions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Seeing Structure in Expressions (HSA-SSE)
Lehrplanpunkt HSA-SSE.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Struktur von Termen interpretieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpret the structure of expressions

CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster A
Lehrplanpunkt HSA-SSE.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Terme in äquivalenten Formen schreiben, um Probleme zu lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Write expressions in equivalent forms to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, cluster B
Lehrplanpunkt HSA-SSE.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Ausdrücke, die eine Größe darstellen, im Kontext interpretieren.★ a. Teile eines Ausdrucks wie Terme, Faktoren und Koeffizienten interpretieren. b. Komplizierte Ausdrücke interpretieren, indem ein oder mehrere ihrer Teile als eine Einheit betrachtet werden. Zum Beispiel P(1+r)n als das Produkt von P und einem nicht von P abhängigen Faktor interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpret expressions that represent a quantity in terms of its context.★ a. Interpret parts of an expression, such as terms, factors, and coefficients. b. Interpret complicated expressions by viewing one or more of their parts as a single entity. For example, interpret P(1+r)n as the product of P and a factor not depending on P.

CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.1
Lehrplanpunkt HSA-SSE.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Struktur eines Terms nutzen, um Möglichkeiten zu dessen Umformung zu erkennen. Zum Beispiel x4 – y4 als (x2)2 – ( y2)2 ansehen und ihn dadurch als Differenz von Quadraten erkennen, die als (x2 – y2)(x2 + y2) faktorisiert werden kann.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use the structure of an expression to identify ways to rewrite it. For example, see x4 – y4 as (x2)2 – ( y2)2, thus recognizing it as a difference of squares that can be factored as (x2 – y2)(x2 + y2).

CCSS Mathematics (2010), High School, Seeing Structure in Expressions, standard HSA-SSE.A.2

Using Special Product Formulas (bei uns in Klasse 9-11) · Factoring Polynomials with Grouping and Cubes (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSA-APR · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Arithmetik mit Polynomen und rationalen Ausdrücken

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions (HSA-APR)
Lehrplanpunkt HSA-APR.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Arithmetische Operationen mit Polynomen durchführen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Perform arithmetic operations on polynomials

CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, cluster A
Lehrplanpunkt HSA-APR.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verstehen, dass Polynome ein System analog zu den ganzen Zahlen bilden, nämlich dass sie bezüglich der Operationen Addition, Subtraktion und Multiplikation abgeschlossen sind; Polynome addieren, subtrahieren und multiplizieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand that polynomials form a system analogous to the integers, namely, they are closed under the operations of addition, subtraction, and multiplication; add, subtract, and multiply polynomials.

CCSS Mathematics (2010), High School, Arithmetic with Polynomials and Rational Expressions, standard HSA-APR.A.1
Lehrplanpunkt HSA-CED · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen aufstellen★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Creating Equations★

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Creating Equations★ (HSA-CED)
Lehrplanpunkt HSA-CED.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen aufstellen, die Zahlen oder Beziehungen beschreiben

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Create equations that describe numbers or relationships

CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, cluster A
Lehrplanpunkt HSA-CED.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen und Ungleichungen mit einer Variablen aufstellen und diese zum Lösen von Problemen verwenden. Gleichungen einbeziehen, die sich aus linearen und quadratischen Funktionen sowie einfachen rationalen Funktionen und Exponentialfunktionen ergeben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Create equations and inequalities in one variable and use them to solve problems. Include equations arising from linear and quadratic functions, and simple rational and exponential functions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.1
Lehrplanpunkt HSA-CED.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen mit zwei oder mehr Variablen aufstellen, um Beziehungen zwischen Größen darzustellen; Gleichungen auf Koordinatenachsen mit Beschriftungen und Skalierungen grafisch darstellen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Create equations in two or more variables to represent relationships between quantities; graph equations on coordinate axes with labels and scales.

CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.2
Lehrplanpunkt HSA-CED.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Nebenbedingungen durch Gleichungen oder Ungleichungen sowie durch Systeme von Gleichungen und/oder Ungleichungen darstellen und Lösungen in einem Modellierungskontext als realisierbare oder nicht realisierbare Optionen interpretieren. Zum Beispiel Ungleichungen darstellen, die ernährungs- und kostenbezogene Nebenbedingungen bei Kombinationen verschiedener Lebensmittel beschreiben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Represent constraints by equations or inequalities, and by systems of equations and/or inequalities, and interpret solutions as viable or non-viable options in a modeling context. For example, represent inequalities describing nutritional and cost constraints on combinations of different foods.

CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.3
Lehrplanpunkt HSA-CED.A.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Formeln umstellen, um eine gesuchte Größe hervorzuheben, unter Verwendung derselben Überlegungen wie beim Lösen von Gleichungen. Zum Beispiel das ohmsche Gesetz V = IR umstellen, um den Widerstand R hervorzuheben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Rearrange formulas to highlight a quantity of interest, using the same reasoning as in solving equations. For example, rearrange Ohm’s law V = IR to highlight resistance R.

CCSS Mathematics (2010), High School, Creating Equations★, standard HSA-CED.A.4
Lehrplanpunkt HSA-REI · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Argumentieren mit Gleichungen und Ungleichungen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Reasoning with Equations and Inequalities

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Reasoning with Equations and Inequalities (HSA-REI)
Lehrplanpunkt HSA-REI.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Das Lösen von Gleichungen als Argumentationsprozess verstehen und die Argumentation erklären

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand solving equations as a process of reasoning and explain the reasoning

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster A
Lehrplanpunkt HSA-REI.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungssysteme lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Solve systems of equations

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster C
Lehrplanpunkt HSA-REI.D · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Gleichungen und Ungleichungen grafisch darstellen und lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Represent and solve equations and inequalities graphically

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, cluster D
Lehrplanpunkt HSA-REI.C.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Beweisen, dass bei einem gegebenen System aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen das Ersetzen einer Gleichung durch die Summe dieser Gleichung und eines Vielfachen der anderen ein System mit denselben Lösungen ergibt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Prove that, given a system of two equations in two variables, replacing one equation by the sum of that equation and a multiple of the other produces a system with the same solutions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.C.5
Lehrplanpunkt HSA-REI.D.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Erklären, warum die x-Koordinaten der Punkte, an denen sich die Graphen der Gleichungen y = f(x) und y = g(x) schneiden, die Lösungen der Gleichung f(x) = g(x) sind; die Lösungen näherungsweise bestimmen, z. B. unter Verwendung von Technologie, um die Funktionen grafisch darzustellen, Wertetabellen zu erstellen oder schrittweise Näherungen zu finden. Fälle einbeziehen, in denen f(x) und/oder g(x) lineare, polynomielle, rationale, Betrags-, Exponential- und logarithmische Funktionen sind.★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Explain why the x-coordinates of the points where the graphs of the equations y = f(x) and y = g(x) intersect are the solutions of the equation f(x) = g(x); find the solutions appr oximately, e.g., using technology to graph the functions, make tables of values, or find successive approximations. Include cases where f(x) and/or g(x ) are linear, polynomial, rational, absolute value, exponential, and logarithmic functions.★

CCSS Mathematics (2010), High School, Reasoning with Equations and Inequalities, standard HSA-REI.D.11
Lehrplanpunkt HSF-IF · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen interpretieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpreting Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Functions (HSF-IF)
Lehrplanpunkt HSF-IF.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen, die in Anwendungen auftreten, im Kontext interpretieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpret functions that arise in applications in terms of the context

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster B
Lehrplanpunkt HSF-IF.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen mithilfe verschiedener Darstellungen analysieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Analyze functions using different representations

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, cluster C
Lehrplanpunkt HSF-IF.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Für eine Funktion, die eine Beziehung zwischen zwei Größen modelliert, wesentliche Merkmale von Graphen und Tabellen bezogen auf die Größen interpretieren und bei gegebener verbaler Beschreibung der Beziehung Graphen skizzieren, die wesentliche Merkmale zeigen. Zu den wesentlichen Merkmalen gehören: Achsenabschnitte; Intervalle, in denen die Funktion steigend, fallend, positiv oder negativ ist; relative Maxima und Minima; Symmetrien; Verhalten im Unendlichen; und Periodizität.★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): For a function that models a relationship between two quantities, interpret key features of graphs and tables in terms of the quantities, and sketch graphs showing key features given a verbal description of the relationship. Key features include: intercepts; intervals where the function is increasing, decreasing, positive, or negat ive; relative maximums and minimums; symmetries; end behavior; and periodicity .★

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.4
Lehrplanpunkt HSF-IF.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Definitionsbereich einer Funktion zu ihrem Graphen und, falls zutreffend, zu der quantitativen Beziehung, die sie beschreibt, in Beziehung setzen. Wenn zum Beispiel die Funktion h(n) die Anzahl der Personenstunden angibt, die für die Montage von n Motoren in einer Fabrik benötigt werden, dann wären die positiven ganzen Zahlen ein geeigneter Definitionsbereich für die Funktion. ★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Relate the domain of a function to its graph and, where applicable, to the quantitative relationship it describes. For example, if the function h(n) gives the number of person-hours it takes to assemble n engines in a factory, then the positive integers would be an appropriate domain for the function. ★

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.5
Lehrplanpunkt HSF-IF.B.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion (symbolisch oder als Tabelle dargestellt) über einem vorgegebenen Intervall berechnen und interpretieren. Die Änderungsrate anhand eines Graphen schätzen. ★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Calculate and interpret the average rate of change of a function (presented symbolically or as a table) over a specified interval. Estimate the rate of change from a graph. ★

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.B.6

Finding Average Rate of Change (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-IF.C.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen, die symbolisch angegeben sind, grafisch darstellen und wesentliche Merkmale des Graphen aufzeigen, in einfachen Fällen von Hand und bei komplizierteren Fällen unter Einsatz von Technologie. ★ a. Lineare und quadratische Funktionen grafisch darstellen und Achsenabschnitte, Maxima und Minima aufzeigen. b. Quadratwurzel-, Kubikwurzel- und abschnittsweise definierte Funktionen grafisch darstellen, einschließlich Treppenfunktionen und Betragsfunktionen. c. Polynomfunktionen grafisch darstellen, Nullstellen bestimmen, wenn geeignete Faktorisierungen vorliegen, und das Verhalten im Unendlichen aufzeigen. d. (+) Rationale Funktionen grafisch darstellen, Nullstellen und Asymptoten bestimmen, wenn geeignete Faktorisierungen vorliegen, und das Verhalten im Unendlichen aufzeigen. e. Exponential- und Logarithmusfunktionen grafisch darstellen und dabei Achsenabschnitte und das Verhalten im Unendlichen aufzeigen sowie trigonometrische Funktionen grafisch darstellen und dabei Periode, Mittellinie und Amplitude aufzeigen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Graph functions expressed symbolically and show key features of the graph, by hand in simple cases and using technology for more complicated cases. ★ a. Graph linear and quadratic functions and show intercepts, maxima, and minima. b. Graph square root, cube root, and piecewise-defined functions, including step functions and absolute value functions. c. Graph polynomial functions, identifying zeros when suitable factorizations are available, and showing end behavior. d. (+) Graph rational functions, identifying zeros and asymptotes when suitable f actorizations are available, and showing end behavior. e. Graph exponential and logarithmic functions, showing intercepts and end behavior, and trigonometric functions, showing period, midline, and amplitude.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.7
Lehrplanpunkt HSF-IF.C.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.8

Finding the Vertex and Using Vertex Form (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-IF.C.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Eigenschaften zweier Funktionen vergleichen, die jeweils auf unterschiedliche Weise dargestellt sind (algebraisch, grafisch, numerisch in Tabellen oder durch verbale Beschreibungen). Zum Beispiel bei einem gegebenen Graphen einer quadratischen Funktion und einem algebraischen Ausdruck für eine andere angeben, welche das größere Maximum hat.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Compare properties of two functions each represented in a different way (algebraically, graphically, numerically in tables, or by verbal descriptions). For example, given a graph of one quadratic function and an algebraic expression for another, say which has the larger maximum.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Functions, standard HSF-IF.C.9
Lehrplanpunkt HSF-BF · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Funktionen bilden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Building Functions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Building Functions (HSF-BF)
Lehrplanpunkt HSF-BF.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Eine Funktion aufstellen, die eine Beziehung zwischen zwei Größen modelliert

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Build a function that models a relationship between two quantities

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster A
Lehrplanpunkt HSF-BF.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Neue Funktionen aus bestehenden Funktionen bilden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Build new functions from existing functions

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, cluster B
Lehrplanpunkt HSF-BF.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Eine Funktion aufstellen, die eine Beziehung zwischen zwei Größen beschreibt.★ a. Einen expliziten Ausdruck, einen rekursiven Prozess oder Rechenschritte aus einem Kontext bestimmen. b. Standardfunktionstypen unter Verwendung arithmetischer Operationen verknüpfen. Zum Beispiel eine Funktion aufstellen, die die Temperatur eines abkühlenden Körpers modelliert, indem eine konstante Funktion zu einer abklingenden Exponentialfunktion addiert wird, und diese Funktionen mit dem Modell in Beziehung setzen. c. (+) Funktionen verketten. Wenn zum Beispiel T(y) die Temperatur in der Atmosphäre als Funktion der Höhe ist und h(t) die Höhe eines Wetterballons als Funktion der Zeit, dann ist T(h(t)) die Temperatur am Ort des Wetterballons als Funktion der Zeit.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Write a function that describes a relationship between two quantities.★ a. Determine an explicit expression, a recursive process, or steps for calculation from a context. b. Combine standard function types using arithmetic operations. For example, build a function that models the temperature of a cooling body by adding a constant function to a decaying exponential, and relate these functions to the model. c. (+) Compose functions. For example, if T(y) is the temperature in the atmosphere as a function of height, and h(t) is the height of a weather balloon as a function of time, then T(h(t)) is the temperature at the location of the weather balloon as a function of time.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.A.1

Writing Equations of Lines and Parallel Lines (bei uns in Klasse 9-11) · Combining Functions Using Composition (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-BF.B.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Auswirkung auf den Graphen beim Ersetzen von f(x) durch f(x) + k, k f(x), f(kx) und f(x + k) für bestimmte Werte von k (sowohl positive als auch negative) bestimmen; den Wert von k anhand der Graphen ermitteln. Mit Fällen experimentieren und eine Erklärung der Auswirkungen auf den Graphen mithilfe von Technologie veranschaulichen. Das Erkennen gerader und ungerader Funktionen anhand ihrer Graphen und algebraischer Ausdrücke für diese einbeziehen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Identify the effect on the graph of replacing f(x) by f(x) + k, k f(x), f(kx), and f(x + k) for specific values of k (both positive and negative); find the value of k given the graphs. Experiment with cases and illustrate an explanation of the effects on the graph using technology. Include recognizing even and odd functions from their graphs and algebraic expressions for them.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.3

Translating Function Graphs (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-BF.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Umkehrfunktionen bestimmen. a. Eine Gleichung der Form f(x) = c für eine einfache Funktion f, die eine Umkehrfunktion besitzt, lösen und einen Term für die Umkehrfunktion angeben. Zum Beispiel f(x) =2 x3 oder f(x) = (x+1)/(x–1) für x ≠ 1. b. (+) Durch Verkettung nachweisen, dass eine Funktion die Umkehrfunktion einer anderen ist. c. (+) Werte einer Umkehrfunktion aus einem Graphen oder einer Tabelle ablesen, vorausgesetzt, dass die Funktion eine Umkehrfunktion besitzt. d. (+) Durch Einschränken des Definitionsbereichs aus einer nicht umkehrbaren Funktion eine umkehrbare Funktion bilden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Find inverse functions. a. Solve an equation of the form f(x) = c for a simple function f that has an inverse and write an expression for the inverse. For example, f(x) =2 x3 or f(x) = (x+1)/(x–1) for x ≠ 1. b. (+) Verify by composition that one function is the inverse of another. c. (+) Read values of an inverse function from a graph or a table, given that the function has an inverse. d. (+) Produce an invertible function from a non-invertible function by restricting the domain.

CCSS Mathematics (2010), High School, Building Functions, standard HSF-BF.B.4

Finding the Inverse of a Linear Function (bei uns in Klasse 9-11)
Lehrplanpunkt HSF-LE · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Lineare, quadratische und exponentielle Modelle★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Linear, Quadratic, and Exponential Models★

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Linear, Quadratic, and Exponential Models★ (HSF-LE)
Lehrplanpunkt HSF-LE.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Lineare, quadratische und exponentielle Modelle konstruieren und vergleichen und Probleme lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Construct and compare linear, quadratic, and exponential models and solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Linear, Quadratic, and Exponential Models★, cluster A
Lehrplanpunkt HSG-CO · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Kongruenz

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Congruence

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Congruence (HSG-CO)
Lehrplanpunkt HSG-CO.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Experiment with transformations in the plane

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster A
Lehrplanpunkt HSG-CO.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Kongruenz im Sinne von Kongruenzabbildungen verstehen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand congruence in terms of rigid motions

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster B
Lehrplanpunkt HSG-CO.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geometrische Sätze beweisen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Prove geometric theorems

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster C
Lehrplanpunkt HSG-CO.D · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Make geometric constructions

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, cluster D
Lehrplanpunkt HSG-CO.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Präzise Definitionen von Winkel, Kreis, senkrechter Gerade, paralleler Gerade und Strecke kennen, basierend auf den undefinierten Begriffen Punkt, Gerade, Abstand entlang einer Geraden und Abstand entlang eines Kreisbogens.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Know precise definitions of angle, circle, perpendicular line, parallel line, and line segment, based on the undefined notions of point, line, distance along a line, and distance around a circular arc.

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.1
Lehrplanpunkt HSG-CO.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Transformationen in der Ebene darstellen, z. B. mithilfe von Transparentfolien und Geometriesoftware; Transformationen als Funktionen beschreiben, die Punkte in der Ebene als Eingaben annehmen und andere Punkte als Ausgaben liefern. Transformationen, die Abstand und Winkel erhalten, mit solchen vergleichen, die dies nicht tun (z. B. Translation versus horizontale Streckung).

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Represent transformations in the plane using, e.g., transparencies and geometry software; describe transformations as functions that take points in the plane as inputs and give other points as outputs. Compare transformations that preserve distance and angle to those that do not (e.g., translation versus horizontal stretch).

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.2
Lehrplanpunkt HSG-CO.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Bei einem gegebenen Rechteck, Parallelogramm, Trapez oder regelmäßigen Vieleck die Drehungen und Spiegelungen beschreiben, die es auf sich selbst abbilden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Given a rectangle, parallelogram, trapezoid, or regular polygon, describe the rotations and reflections that carry it onto itself.

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.3
Lehrplanpunkt HSG-CO.A.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Definitionen von Drehungen, Spiegelungen und Verschiebungen anhand von Winkeln, Kreisen, senkrechten Geraden, parallelen Geraden und Strecken entwickeln.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Develop definitions of rotations, reflections, and translations in terms of angles, circles, perpendicular lines, parallel lines, and line segments.

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.4
Lehrplanpunkt HSG-CO.A.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Zu einer gegebenen geometrischen Figur und einer Drehung, Spiegelung oder Verschiebung die transformierte Figur unter Verwendung von z. B. Karopapier, Pauspapier oder Geometriesoftware zeichnen. Eine Folge von Transformationen angeben, die eine gegebene Figur in eine andere überführt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Given a geometric figure and a rotation, reflection, or translation, draw the transformed figure using, e.g., graph paper, tracing paper, or geometry software. Specify a sequence of transformations that will carry a given figure onto another.

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.A.5
Lehrplanpunkt HSG-CO.B.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geometrische Beschreibungen von Kongruenzabbildungen verwenden, um Figuren zu transformieren und die Auswirkung einer gegebenen Kongruenzabbildung auf eine gegebene Figur vorherzusagen; bei zwei gegebenen Figuren die Definition der Kongruenz über Kongruenzabbildungen verwenden, um zu entscheiden, ob sie kongruent sind.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use geometric descriptions of rigid motions to transform figures and to predict the effect of a given rigid motion on a given figure; given two figures, use the definition of congruence in terms of rigid motions to decide if they are congruent.

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.B.6
Lehrplanpunkt HSG-CO.B.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Definition der Kongruenz mithilfe von Kongruenzabbildungen verwenden, um zu zeigen, dass zwei Dreiecke genau dann kongruent sind, wenn entsprechende Seitenpaare und entsprechende Winkelpaare kongruent sind.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use the definition of congruence in terms of rigid motions to show that two triangles are congruent if and only if corresponding pairs of sides and corresponding pairs of angles are congruent.

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.B.7
Lehrplanpunkt HSG-CO.B.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Erklären, wie die Kongruenzkriterien für Dreiecke (WSW, SWS und SSS) aus der Definition der Kongruenz über Kongruenzabbildungen folgen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Explain how the criteria for triangle congruence (ASA, SAS, and SSS) follow from the definition of congruence in terms of rigid motions.

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.B.8
Lehrplanpunkt HSG-CO.C.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Sätze über Geraden und Winkel beweisen. Zu den Sätzen gehören: Scheitelwinkel sind kongruent; wenn eine Transversale parallele Geraden schneidet, sind Wechselwinkel kongruent und Stufenwinkel kongruent; Punkte auf einer Mittelsenkrechten einer Strecke sind genau diejenigen, die von den Endpunkten der Strecke gleich weit entfernt sind.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Prove theorems about lines and angles. Theorems include: vertical angles are congruent; when a transversal crosses parallel lines, alternate interior angles are congruent and corresponding angles are congruent; points on a perpendicular bisector of a line segment are exactly those equidistant from the segment’s endpoints.

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.C.9
Lehrplanpunkt HSG-CO.C.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Sätze über Dreiecke beweisen. Zu den Sätzen gehören: Die Maße der Innenwinkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180°; die Basiswinkel gleichschenkliger Dreiecke sind kongruent; die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte zweier Seiten eines Dreiecks ist parallel zur dritten Seite und halb so lang; die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Prove theorems about triangles. Theorems include: measures of interior angles of a triangle sum to 180°; base angles of isosceles triangles are congruent; the segment joining midpoints of two sides of a triangle is parallel to the third side and half the length; the medians of a triangle meet at a point.

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.C.10
Lehrplanpunkt HSG-CO.C.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Sätze über Parallelogramme beweisen. Zu den Sätzen gehören: Gegenüberliegende Seiten sind kongruent, gegenüberliegende Winkel sind kongruent, die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren einander, und umgekehrt sind Rechtecke Parallelogramme mit kongruenten Diagonalen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Prove theorems about parallelograms. Theorems include: opposite sides are congruent, opposite angles are congruent, the diagonals of a parallelogram bisect each other, and conversely, rectangles are parallelograms with congruent diagonals.

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.C.11
Lehrplanpunkt HSG-CO.D.12 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Make formal geometric constructions with a variety of tools and methods (compass and straightedge, string, reflective devices, paper folding, dynamic geometric software, etc.). Copying a segment; copying an angle; bisecting a segment; bisecting an angle; constructing perpendicular lines, including the perpendicular bisector of a line segment; and constructing a line parallel to a given line through a point not on the line.

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.D.12
Lehrplanpunkt HSG-CO.D.13 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Ein gleichseitiges Dreieck, ein Quadrat und ein regelmäßiges Sechseck konstruieren, die einem Kreis einbeschrieben sind.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Construct an equilateral triangle, a square, and a regular hexagon inscribed in a circle.

CCSS Mathematics (2010), High School, Congruence, standard HSG-CO.D.13
Lehrplanpunkt HSG-SRT · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Ähnlichkeit, rechtwinklige Dreiecke und Trigonometrie

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Similarity, Right Triangles, and Trigonometry

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Similarity, Right Triangles, and Trigonometry (HSG-SRT)
Lehrplanpunkt HSG-SRT.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Understand similarity in terms of similarity transformations

CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster A
Lehrplanpunkt HSG-SRT.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Sätze zur Ähnlichkeit beweisen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Prove theorems involving similarity

CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster B
Lehrplanpunkt HSG-SRT.C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Trigonometrische Verhältnisse definieren und Probleme mit rechtwinkligen Dreiecken lösen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Define trigonometric ratios and solve problems involving right triangles

CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster C
Lehrplanpunkt HSG-SRT.D · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Trigonometrie auf allgemeine Dreiecke anwenden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Apply trigonometry to general triangles

CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, cluster D
Lehrplanpunkt HSG-SRT.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Eigenschaften von zentrischen Streckungen, die durch ein Zentrum und einen Streckungsfaktor gegeben sind, experimentell überprüfen: a. Eine zentrische Streckung bildet eine Gerade, die nicht durch das Zentrum der Streckung verläuft, auf eine parallele Gerade ab und lässt eine Gerade, die durch das Zentrum verläuft, unverändert. b. Die Streckung einer Strecke ist in dem durch den Streckungsfaktor gegebenen Verhältnis länger oder kürzer.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Verify experimentally the properties of dilations given by a center and a scale factor: a. A dilation takes a line not passing through the center of the dilation to a parallel line, and leaves a line passing through the center unchanged. b. The dilation of a line segment is longer or shorter in the ratio given by the scale factor.

CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.A.1

Finding the Area of Similar Figures (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt HSG-SRT.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Bei zwei gegebenen Figuren die Definition der Ähnlichkeit über Ähnlichkeitsabbildungen anwenden, um zu entscheiden, ob sie ähnlich sind; anhand von Ähnlichkeitsabbildungen die Bedeutung der Ähnlichkeit für Dreiecke als Gleichheit aller entsprechenden Winkelpaare und Proportionalität aller entsprechenden Seitenpaare erklären.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Given two figures, use the definition of similarity in terms of similarity transformations to decide if the y are similar; explain using similarity transformations the meaning of similarity for triangles as the equality of all corresponding pairs of angles and the proportionality of all corresponding pairs of sides.

CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.A.2
Lehrplanpunkt HSG-SRT.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Eigenschaften von Ähnlichkeitsabbildungen nutzen, um das WW-Kriterium für die Ähnlichkeit zweier Dreiecke zu begründen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use the properties of similarity transformations to establish the AA criterion for two triangles to be similar.

CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.A.3
Lehrplanpunkt HSG-SRT.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Sätze über Dreiecke beweisen. Zu den Sätzen gehören: eine zu einer Seite eines Dreiecks parallele Gerade teilt die beiden anderen proportional und umgekehrt; der Satz des Pythagoras, bewiesen mithilfe von Dreiecksähnlichkeit.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Prove theorems about triangles. Theorems include: a line parallel to one side of a triangle divides the other two proportionally, and conversely; the Pythagorean Theorem proved using triangle similarity.

CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.B.4
Lehrplanpunkt HSG-SRT.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Kongruenz- und Ähnlichkeitskriterien für Dreiecke anwenden, um Probleme zu lösen und Beziehungen in geometrischen Figuren zu beweisen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use congruence and similarity criteria for triangles to solve problems and to prove relationships in geometric figures.

CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.B.5

Using the Intercept Theorem to Find Lengths (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt HSG-SRT.C.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verstehen, dass durch Ähnlichkeit Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken Eigenschaften der Winkel im Dreieck sind, was zu Definitionen trigonometrischer Verhältnisse für spitze Winkel führt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand that by similarity, side ratios in right triangles are properties of the angles in the triangle, leading to definitions of trigonometric ratios for acute angles.

CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.C.6
Lehrplanpunkt HSG-SRT.C.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus von Komplementärwinkeln erklären und anwenden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Explain and use the relationship between the sine and cosine of complementary angles.

CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.C.7
Lehrplanpunkt HSG-SRT.C.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Trigonometrische Verhältnisse und den Satz des Pythagoras anwenden, um rechtwinklige Dreiecke in Anwendungsaufgaben zu berechnen. ★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use trigonometric ratios and the Pythagorean Theorem to solve right triangles in applied problems. ★

CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.C.8

Finding Missing Sides of Right Triangles (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt HSG-SRT.D.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Die Formel A = 1/2 ab sin(C) für den Flächeninhalt eines Dreiecks durch Zeichnen einer Hilfslinie von einem Eckpunkt senkrecht zur gegenüberliegenden Seite herleiten.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Derive the formula A = 1/2 ab sin(C) for the area of a triangle by drawing an auxiliary line from a vertex perpendicular to the opposite side.

CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.D.9
Lehrplanpunkt HSG-SRT.D.10 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Den Sinussatz und den Kosinussatz beweisen und sie verwenden, um Probleme zu lösen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Prove the Laws of Sines and Cosines and use them to solve problems.

CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.D.10
Lehrplanpunkt HSG-SRT.D.11 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Den Sinussatz und den Kosinussatz verstehen und anwenden, um unbekannte Maße in rechtwinkligen und nicht-rechtwinkligen Dreiecken zu bestimmen (z. B. Vermessungsprobleme, resultierende Kräfte).

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Understand and apply the Law of Sines and the Law of Cosines to find unkno wn measurements in right and non-right triangles (e.g., surveying problems, resultant forces).

CCSS Mathematics (2010), High School, Similarity, Right Triangles, and Trigonometry, standard HSG-SRT.D.11

Using the Laws of Sines and Cosines (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt HSG-C · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Kreise

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Circles

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Circles (HSG-C)
Lehrplanpunkt HSG-C.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Sätze über Kreise verstehen und anwenden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand and apply theorems about circles

CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, cluster A
Lehrplanpunkt HSG-C.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Bogenlängen und Flächeninhalte von Kreissektoren berechnen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Find arc lengths and areas of sectors of circles

CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, cluster B
Lehrplanpunkt HSG-C.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Beweisen, dass alle Kreise ähnlich sind.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Prove that all circles are similar.

CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.1
Lehrplanpunkt HSG-C.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Beziehungen zwischen Umfangswinkeln, Radien und Sehnen identifizieren und beschreiben. Die Beziehung zwischen Mittelpunkts-, Umfangs- und Tangentenwinkeln einbeziehen; Umfangswinkel über einem Durchmesser sind rechte Winkel; der Radius eines Kreises steht senkrecht auf der Tangente dort, wo der Radius den Kreis schneidet.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Identify and describe relationships among inscribed angles, radii, and chords. Include the relationship between central, inscribed, and circumscribed angles; inscribed angles on a diameter are right angles; the radius of a circle is perpendicular to the tangent where the radius intersects the circle.

CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.2

Finding Central and Inscribed Angles in Circles (bei uns in Klasse 10) · Finding Lengths of Chords and Tangent Segments (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt HSG-C.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Construct the inscribed and circumscribed circles of a triangle, and prove properties of angles for a quadrilateral inscribed in a circle.

CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.3
Lehrplanpunkt HSG-C.A.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Eine Tangente von einem Punkt außerhalb eines gegebenen Kreises an den Kreis konstruieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Construct a tangent line from a point outside a given circle to the circle.

CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.A.4
Lehrplanpunkt HSG-C.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Mithilfe von Ähnlichkeit die Tatsache herleiten, dass die Länge des von einem Winkel ausgeschnittenen Kreisbogens proportional zum Radius ist, und das Bogenmaß des Winkels als Proportionalitätskonstante definieren; die Formel für den Flächeninhalt eines Kreissektors herleiten.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Derive using similarity the fact that the length of the arc intercepted by an angle is proportional to the radius, and define the radian measure of the angle as the constant of proportionality; derive the formula for the area of a sector.

CCSS Mathematics (2010), High School, Circles, standard HSG-C.B.5
Lehrplanpunkt HSG-GPE · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geometrische Eigenschaften mit Gleichungen ausdrücken

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Expressing Geometric Properties with Equations

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Expressing Geometric Properties with Equations (HSG-GPE)
Lehrplanpunkt HSG-GPE.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Zwischen der geometrischen Beschreibung und der Gleichung eines Kegelschnitts übersetzen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Translate between the geometric description and the equation for a conic section

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster A
Lehrplanpunkt HSG-GPE.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Koordinaten verwenden, um einfache geometrische Sätze algebraisch zu beweisen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use coordinates to prove simple geometric theorems algebraically

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, cluster B
Lehrplanpunkt HSG-GPE.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Gleichung eines Kreises mit gegebenem Mittelpunkt und Radius mithilfe des Satzes des Pythagoras herleiten; die quadratische Ergänzung anwenden, um den Mittelpunkt und den Radius eines durch eine Gleichung gegebenen Kreises zu bestimmen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Derive the equation of a circle of given center and radius using the Pythagorean Theorem; complete the square to find the center and radius of a circle given by an equation.

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.1
Lehrplanpunkt HSG-GPE.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Gleichung einer Parabel bei gegebenem Brennpunkt und gegebener Leitlinie herleiten.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Derive the equation of a parabola given a focus and directrix.

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.A.2
Lehrplanpunkt HSG-GPE.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Koordinaten verwenden, um einfache geometrische Sätze algebraisch zu beweisen. Zum Beispiel beweisen oder widerlegen, dass eine durch vier gegebene Punkte in der Koordinatenebene definierte Figur ein Rechteck ist; beweisen oder widerlegen, dass der Punkt (1, √3) auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt im Ursprung liegt, der den Punkt (0, 2) enthält.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use coordinates to prove simple geometric theorems algebraically. For example, prove or disprove that a figure defined by four given points in the coordinate plane is a rectangle; prove or disprove that the point (1, √3) lies on the circle centered at the origin and containing the point (0, 2).

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.4
Lehrplanpunkt HSG-GPE.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Prove the slope criteria for parallel and perpendicular lines and use them to solve geometric problems (e.g., find the equation of a line parallel or perpendicular to a given line that passes through a given point).

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.5
Lehrplanpunkt HSG-GPE.B.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Den Punkt auf einer gerichteten Strecke zwischen zwei gegebenen Punkten finden, der die Strecke in einem gegebenen Verhältnis teilt.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Find the point on a directed line segment between two given points that partitions the segment in a given ratio.

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.6

Dividing a Line Segment in a Given Ratio (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt HSG-GPE.B.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Koordinaten verwenden, um Umfänge von Vielecken und Flächeninhalte von Dreiecken und Rechtecken zu berechnen, z. B. mithilfe der Abstandsformel. ★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use coordinates to compute perimeters of polygons and areas of triangles and rectangles, e.g., using the distance formula. ★

CCSS Mathematics (2010), High School, Expressing Geometric Properties with Equations, standard HSG-GPE.B.7

Finding the Area of a Triangle Using Coordinates (bei uns in Klasse 10) · Finding Distance Between Two Points Using Pythagoras (bei uns in Klasse 8)
Lehrplanpunkt HSG-GMD · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geometrisches Messen und Dimension

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Geometric Measurement and Dimension

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Geometric Measurement and Dimension (HSG-GMD)
Lehrplanpunkt HSG-GMD.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Volumenformeln erklären und sie zum Lösen von Problemen verwenden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Explain volume formulas and use them to solve problems

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster A
Lehrplanpunkt HSG-GMD.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Beziehungen zwischen zweidimensionalen und dreidimensionalen Objekten visualisieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Visualize relationships between two-dimensional and three-dimensional objects

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, cluster B
Lehrplanpunkt HSG-GMD.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Eine informelle Begründung für die Formeln für den Umfang eines Kreises, den Flächeninhalt eines Kreises, das Volumen eines Zylinders, einer Pyramide und eines Kegels angeben. Zerlegungsargumente, das Prinzip von Cavalieri und informelle Grenzwertargumente verwenden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Give an informal argument for the formulas for the circumference of a circle, area of a circle, volume of a cylinder, pyramid, and cone. Use dissection arguments, Cavalieri’s principle, and informal limit arguments.

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.1
Lehrplanpunkt HSG-GMD.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Volumenformeln für Zylinder, Pyramiden, Kegel und Kugeln verwenden, um Probleme zu lösen. ★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use volume formulas for cylinders, pyramids, cones, and spheres to solve problems. ★

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.A.3

Finding the Volume of Cylinders, Cones, and Spheres (bei uns in Klasse 8) · Surface Area of Cylinders, Cones, and Spheres (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt HSG-GMD.B.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Formen zweidimensionaler Querschnitte dreidimensionaler Objekte identifizieren und dreidimensionale Objekte identifizieren, die durch Rotationen zweidimensionaler Objekte erzeugt werden.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Identify the shapes of two-dimensional cross-sections of three-dimensional objects, and identify three-dimensional objects generated by rotations of two-dimensional objects.

CCSS Mathematics (2010), High School, Geometric Measurement and Dimension, standard HSG-GMD.B.4
Lehrplanpunkt HSG-MG · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Modellieren mit Geometrie

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Modeling with Geometry

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Modeling with Geometry (HSG-MG)
Lehrplanpunkt HSG-MG.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geometrische Konzepte in Modellierungssituationen anwenden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Apply geometric concepts in modeling situations

CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, cluster A
Lehrplanpunkt HSG-MG.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geometrische Formen, ihre Maße und ihre Eigenschaften verwenden, um Objekte zu beschreiben (z. B. Modellieren eines Baumstamms oder eines menschlichen Torsos als Zylinder). ★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use geometric shapes, their measures, and their properties to describe objects (e.g., modeling a tree trunk or a human torso as a cylinder). ★

CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, standard HSG-MG.A.1
Lehrplanpunkt HSG-MG.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Konzepte der Dichte basierend auf Fläche und Volumen in Modellierungssituationen anwenden (z. B. Personen pro Quadratmeile, BTUs pro Kubikfuß). ★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Apply concepts of density based on area and volume in modeling situations (e.g., persons per square mile, BTUs per cubic foot). ★

CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, standard HSG-MG.A.2

Finding Mass Using Density and Volume (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt HSG-MG.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Geometrische Methoden anwenden, um Entwurfsprobleme zu lösen (z. B. ein Objekt oder eine Struktur entwerfen, um physikalische Einschränkungen zu erfüllen oder Kosten zu minimieren; mit typografischen Rastersystemen auf der Grundlage von Verhältnissen arbeiten). ★

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Apply geometric methods to solve design problems (e.g., designing an object or structure to satisfy physical constraints or minimize cost; working with typographic grid systems based on ratios). ★

CCSS Mathematics (2010), High School, Modeling with Geometry, standard HSG-MG.A.3
Lehrplanpunkt HSS-ID · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Interpretieren kategorialer und quantitativer Daten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Interpreting Categorical and Quantitative Data

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Interpreting Categorical and Quantitative Data (HSS-ID)
Lehrplanpunkt HSS-ID.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Daten zu einer einzelnen Zähl- oder Messvariable zusammenfassen, darstellen und interpretieren

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Summarize, represent, and interpret data on a single count or measurement variable

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster A
Lehrplanpunkt HSS-ID.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Summarize, represent, and interpret data on two categorical and quantitative variables

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, cluster B
Lehrplanpunkt HSS-ID.B.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Kategoriale Daten für zwei Kategorien in zweidimensionalen Häufigkeitstabellen zusammenfassen. Relative Häufigkeiten im Kontext der Daten interpretieren (einschließlich gemeinsamer, Rand- und bedingter relativer Häufigkeiten). Mögliche Zusammenhänge und Trends in den Daten erkennen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Summarize categorical data for two categories in two-way frequency tables. Interpret relative frequencies in the context of the data (including joint, marginal, and conditional relative frequencies). Recognize possible associations and trends in the data.

CCSS Mathematics (2010), High School, Interpreting Categorical and Quantitative Data, standard HSS-ID.B.5

Finding Conditional Probability from a Table (bei uns in Klasse 9-10)
Lehrplanpunkt HSS-CP · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Bedingte Wahrscheinlichkeit und die Regeln der Wahrscheinlichkeit

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Conditional Probability and the Rules of Probability

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Conditional Probability and the Rules of Probability (HSS-CP)
Lehrplanpunkt HSS-CP.A · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeit verstehen und sie zur Interpretation von Daten verwenden

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand independence and conditional probability and use them to interpret data

CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, cluster A
Lehrplanpunkt HSS-CP.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung anwenden, um Wahrscheinlichkeiten zusammengesetzter Ereignisse in einem Gleichverteilungsmodell zu berechnen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use the rules of probability to compute probabilities of compound events in a uniform probability model

CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, cluster B
Lehrplanpunkt HSS-CP.A.1 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Ereignisse als Teilmengen eines Ergebnisraums (der Menge der Ergebnisse) unter Verwendung von Merkmalen (oder Kategorien) der Ergebnisse oder als Vereinigungen, Schnittmengen oder Komplemente anderer Ereignisse („oder“, „und“, „nicht“) beschreiben.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Describe events as subsets of a sample space (the set of outcomes) using characteristics (or categories) of the outcomes, or as unions, intersections, or complements of other events (“or,” “and,” “not”).

CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.1

Finding the Probability of a Union of Events (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt HSS-CP.A.2 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Verstehen, dass zwei Ereignisse A und B unabhängig sind, wenn die Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens von A und B das Produkt ihrer Wahrscheinlichkeiten ist, und diese Charakterisierung verwenden, um zu bestimmen, ob sie unabhängig sind.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand that two events A and B are independent if the probability of A and B occurring together is the product of their probabilities, and use this characterization to determine if they are independent.

CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.2
Lehrplanpunkt HSS-CP.A.3 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B als P(A und B)/P(B) verstehen und die Unabhängigkeit von A und B so interpretieren, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B gleich der Wahrscheinlichkeit von A ist und die bedingte Wahrscheinlichkeit von B gegeben A gleich der Wahrscheinlichkeit von B ist.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Understand the conditional probability of A given B as P(A and B)/P(B), and interpret independence of A and B as saying that the conditional probability of A given B is the same as the probability of A, and the conditional probability of B given A is the same as the probability of B.

CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.3
Lehrplanpunkt HSS-CP.A.4 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Zwei-Wege-Häufigkeitstabellen von Daten erstellen und interpretieren, wenn jedem klassifizierten Objekt zwei Kategorien zugeordnet sind. Die Zwei-Wege-Tabelle als Ergebnisraum verwenden, um zu entscheiden, ob Ereignisse unabhängig sind, und um bedingte Wahrscheinlichkeiten anzunähern. Zum Beispiel Daten aus einer Zufallsstichprobe von Schülern der eigenen Schule zu ihrem Lieblingsfach aus Mathematik, Naturwissenschaften und Englisch erheben. Die Wahrscheinlichkeit schätzen, dass ein zufällig ausgewählter Schüler der eigenen Schule Naturwissenschaften bevorzugt, unter der Bedingung, dass der Schüler in der zehnten Klasse ist. Dasselbe für andere Fächer tun und die Ergebnisse vergleichen.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Construct and interpret two-way frequency tables of data when two categories are associated with each object being classified. Use the two-way table as a sample space to decide if events are independent and to approximate conditional probabilities. For example, collect data from a random sample of students in your school on their favorite subject among math, science, and English. Estimate the probability that a randomly selected student from your school will favor science given that the student is in tenth grade. Do the same for other subjects and compare the results.

CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.4
Lehrplanpunkt HSS-CP.A.5 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Begriffe der bedingten Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit in Alltagssprache und Alltagssituationen erkennen und erklären. Zum Beispiel die Chance, Lungenkrebs zu haben, wenn man Raucher ist, mit der Chance vergleichen, Raucher zu sein, wenn man Lungenkrebs hat.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Recognize and explain the concepts of conditional probability and independence in everyday language and everyday situations. For example, compare the chance of having lung cancer if you are a smoker with the chance of being a smoker if you have lung cancer.

CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.A.5
Lehrplanpunkt HSS-CP.B.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B als den Anteil der Ergebnisse von B bestimmen, die auch zu A gehören, und die Antwort im Kontext des Modells interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Find the conditional probability of A given B as the fraction of B’s outcomes that also belong to A, and interpret the answer in terms of the model.

CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.6

Finding Conditional Probability from a Table (bei uns in Klasse 9-10)
Lehrplanpunkt HSS-CP.B.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Die Additionsregel, P(A oder B) = P(A) + P(B) – P(A und B), anwenden und das Ergebnis im Kontext des Modells interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Apply the Addition Rule, P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B), and interpret the answer in terms of the model.

CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.7

Finding the Probability of a Union of Events (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt HSS-CP.B.8 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Die allgemeine Multiplikationsregel in einem uniformen Wahrscheinlichkeitsmodell, P(A und B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), anwenden und das Ergebnis im Kontext des Modells interpretieren.

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Apply the general Multiplication Rule in a uniform probability model, P(A and B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), and interpret the answer in terms of the model.

CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.8

Using Total Probability and Bayes' Formula (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt HSS-CP.B.9 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Use permutations and combinations to compute probabilities of compound events and solve problems.

CCSS Mathematics (2010), High School, Conditional Probability and the Rules of Probability, standard HSS-CP.B.9

Finding Permutations and Counting Arrangements (bei uns in Klasse 10) · Calculating Probabilities Using Combinations (bei uns in Klasse 10)
Lehrplanpunkt HSS-MD · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wahrscheinlichkeiten nutzen, um Entscheidungen zu treffen

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Using Probability to Make Decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, domain Using Probability to Make Decisions (HSS-MD)
Lehrplanpunkt HSS-MD.B · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

Wahrscheinlichkeit nutzen, um Ergebnisse von Entscheidungen zu bewerten

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): Use probability to evaluate outcomes of decisions

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, cluster B
Lehrplanpunkt HSS-MD.B.6 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Wahrscheinlichkeiten nutzen, um faire Entscheidungen zu treffen (z. B. Auslosen, Verwenden eines Zufallszahlengenerators).

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Use probabilities to make fair decisions (e.g., drawing by lots, using a random number gener ator).

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.6
Lehrplanpunkt HSS-MD.B.7 · Lerninhalte · mit dem Rechtsakt abgeglichen

(+) Entscheidungen und Strategien unter Verwendung von Wahrscheinlichkeitskonzepten analysieren (z. B. Produkttests, medizinische Tests, das Herausnehmen des Eishockeytorwarts am Ende eines Spiels).

unsere Übersetzung · Originalwortlaut (EN): (+) Analyze decisions and strategies using probability concepts (e.g., product t esting, medical testing, pulling a hockey goalie at the end of a game).

CCSS Mathematics (2010), High School, Using Probability to Make Decisions, standard HSS-MD.B.7

Kompetenzen Schritt für Schritt

Finding Permutations and Counting Arrangements

Students learn to use multiplication rules and permutations to calculate the number of possible ordered arrangements and outcomes for everyday scenarios.

Lehrplanpunkt HSS-CP.B.9 (+) Use permutations and combinations to compute probabilities of compound events and solve problems.

Students learn to determine the total number of ordered arrangements for a set of items or people using multiplication counting rules and permutations. In this grade, students calculate how many ways distinct positions can be filled when order matters and each choice reduces the options available for the next selection.

A common error is confusing when to add versus when to multiply possibilities across consecutive steps. Students also frequently forget to account for restrictions first; for instance, when building odd or even numbers without repeated digits, they may pick the starting digits before securing the required ending digit, leading to incorrect counts.

Practice tasks on this skill ask students to solve concrete arrangement problems, such as:

Calculating how many ways a set of students can stand in a single-file queue.
Finding the number of possible outcomes when awarding first-, second-, and third-place prizes to a group of contestants.
Determining how many unique even or odd multi-digit numbers can be created using a given set of digits without repetition.

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Aufgabentypen: Permutationen — Warteschlange · Variationen — Preise vergeben · Gerade Zahlen mit einer Ziffer genau einmal · Ungerade Zahlen mit einer Ziffer genau einmal

Surface Area of Cylinders, Cones, and Spheres

Students learn to calculate the total surface area of curved 3D solids—cylinders, cones, and spheres—and analyze the flat nets used to build them.

Lehrplanpunkt HSG-GMD.A.3 Volumenformeln für Zylinder, Pyramiden, Kegel und Kugeln verwenden, um Probleme zu lösen. ★ (unsere Übersetzung)

Students learn to calculate the total outer area of three-dimensional curved solids, including cylinders, cones, and spheres. They apply geometric formulas that combine circular bases with curved lateral surfaces, and they analyze two-dimensional nets to understand how flat shapes fold into three-dimensional cones.

A common mistake is confusing a cone's vertical height with its slant height, which leads to incorrect lateral area calculations. Students also frequently forget to add the circular bases to the lateral area, such as omitting the top and bottom circles of a cylinder or struggling to connect the circumference of a cone's base to the arc length of its unrolled side.

Worksheet tasks provide diagrams of solids with labeled dimensions such as radii, heights, or slant heights. Typical exercises ask students to find the surface area of a cylinder, the surface area of a cone, or the surface area of a sphere, as well as calculate the central angle of a cone's net from its circular dimensions.

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Aufgabentypen: Oberfläche einer Kugel · Oberfläche eines Zylinders · Mittelpunktswinkel der Kegelabwicklung · Oberfläche eines Kegels

Finding the Volume of Cylinders, Cones, and Spheres

Students learn to use formulas to calculate the volumes of cylinders, cones, and spheres in geometric and real-world problems.

Lehrplanpunkt 8.G.C.9 Die Formeln für die Volumina von Kegeln, Zylindern und Kugeln kennen und sie verwenden, um realitätsbezogene und mathematische Probleme zu lösen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSG-GMD.A.3 Volumenformeln für Zylinder, Pyramiden, Kegel und Kugeln verwenden, um Probleme zu lösen. ★ (unsere Übersetzung)

In 10th grade geometry, students apply specific geometric formulas to calculate the volume of curved three-dimensional solids: cylinders, cones, and spheres. They identify key dimensions from diagrams or descriptions—such as radius, diameter, and perpendicular height—and evaluate the formulas to determine total capacity.

A frequent error involves mixing up the radius and the diameter. Students often substitute a given diameter directly into the formula without dividing it by two first. Another common mistake is applying the wrong exponent or omitting fractional coefficients, such as squaring the radius instead of cubing it in a sphere calculation, or forgetting to multiply by 1/3 when working with a cone.

Worksheet tasks focus directly on three formats: Volume of a cylinder, Volume of a cone, and Volume of a sphere. A typical problem provides a shape with given dimensions, such as a cylinder with a radius of 4 units and a height of 10 units, and asks students to compute the volume either in terms of pi or rounded to a specified decimal place.

Factoring Polynomials with Grouping and Cubes

Students learn to rewrite polynomial expressions by factoring out common monomials, grouping terms, and applying sum and difference of cubes patterns.

Lehrplanpunkt HSA-SSE.A.2 Die Struktur eines Terms nutzen, um Möglichkeiten zu dessen Umformung zu erkennen. Zum Beispiel x4 – y4 als (x2)2 – ( y2)2 ansehen und ihn dadurch als Differenz von Quadraten erkennen, die als (x2 – y2)(x2 + y2) faktorisiert werden kann. (unsere Übersetzung)

In 10th grade, students use the structure of polynomial expressions to identify ways to rewrite them into factored forms. Working with multi-term expressions and higher powers, students recognize when terms share an algebraic factor, when a four-term expression can be split into pairs, and how to spot the specific structure of a sum or difference of two perfect cubes.

A frequent stumbling block is managing negative signs. When factoring by grouping, students often forget to distribute a negative sign when pulling a negative factor out of the second pair of terms, leading to mismatched binomials. With the sum and difference of cubes, students frequently confuse the signs inside the linear and quadratic factors, especially the sign of the middle term in the resulting trinomial.

Worksheet tasks focus on three distinct structures:

Factoring out a monomial: identifying and extracting the greatest common numerical and variable factor from every term in an expression.
Factoring by grouping: partitioning a four-term polynomial into two pairs to extract common factors and reveal a shared binomial factor.
Sum and difference of cubes: identifying expressions built from two cubic terms and rewriting them into their corresponding linear and quadratic factors.

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Aufgabentypen: Monom ausklammern · Faktorisieren durch Gruppieren · Summe und Differenz von Kuben

Using the Laws of Sines and Cosines

Students find missing sides, angles, and areas in non-right triangles using the Law of Sines, the Law of Cosines, and sine area formulas.

Lehrplanpunkt HSG-SRT.D.11 (+) Den Sinussatz und den Kosinussatz verstehen und anwenden, um unbekannte Maße in rechtwinkligen und nicht-rechtwinkligen Dreiecken zu bestimmen (z. B. Vermessungsprobleme, resultierende Kräfte). (unsere Übersetzung)

At this level, students extend triangle trigonometry beyond right-angled triangles to any general triangle. They use the Law of Sines and the Law of Cosines to calculate unknown side lengths and angle measures, and they use the sine ratio to calculate a triangle's total area when given two sides and the included angle.

A frequent stumbling block is selecting the incorrect rule for the information provided. For example, students often attempt to use the Law of Sines on a triangle where only three side lengths or two sides and the included angle are known, which does not provide a complete side-angle pair. Another common mistake occurs during the algebra of the Law of Cosines, where students mistakenly subtract terms before multiplying by the cosine of the angle.

Practice exercises fall into three main formats: Law of sines tasks where students solve for a missing measurement given angle-side pairings, Law of cosines problems focused on side-angle-side or side-side-side arrangements, and Area of a triangle with sine problems where students compute the area using two side lengths and the sine of the angle between them.

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Aufgabentypen: Dreiecksfläche mit Sinus · Kosinussatz · Sinussatz

Finding Distance Between Two Points Using Pythagoras

Students learn to find the straight-line distance between two points on a coordinate grid by treating the segment as the hypotenuse of a right triangle.

Lehrplanpunkt 8.G.B.8 Den Satz des Pythagoras anwenden, um den Abstand zwischen zwei Punkten in einem Koordinatensystem zu bestimmen. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSG-GPE.B.7 Koordinaten verwenden, um Umfänge von Vielecken und Flächeninhalte von Dreiecken und Rechtecken zu berechnen, z. B. mithilfe der Abstandsformel. ★ (unsere Übersetzung)

Students use coordinates on a grid to calculate the straight-line distance between two points. By finding the horizontal difference between the x-coordinates and the vertical difference between the y-coordinates, they identify the two leg lengths of a right triangle. They then apply the Pythagorean Theorem—squaring both lengths, adding them together, and taking the square root—to find the unknown distance.

A frequent mistake involves subtracting negative coordinates when calculating the leg lengths. For instance, a student finding the horizontal distance between -3 and 4 might calculate 4 - 3 = 1 instead of 4 - (-3) = 7. Another common slip is calculating the sum of the squared legs but forgetting the final step of taking the square root, leaving the answer as c² rather than c.

Practice tasks generally appear in two formats:

Distance between points with Pythagoras: Students look at two plotted points on a coordinate grid, draw or visualize the horizontal and vertical legs of a right triangle, and use the theorem to determine the length of the connecting segment.
Distance between two points: Students are given two coordinate pairs as numbers without a drawn triangle, requiring them to compute the leg lengths algebraically and solve for the distance.

Finding Terms and Sums of Geometric Sequences

Students learn to identify the common ratio in a geometric sequence, find any specific term using a formula, and calculate the total sum of a given number of terms.

Lehrplanpunkt HSA-SSE.B.4 Die Formel für die Summe einer endlichen geometrischen Reihe herleiten (wenn der Quotient nicht 1 ist) und die Formel verwenden, um Probleme zu lösen. Zum Beispiel Hypothekenzahlungen berechnen.★ (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSF-BF.A.2 Write arithmetic and geometric sequences both recursively and with an explicit formula, use them to model situations, and translate between the two forms. ★
Lehrplanpunkt HSF-LE.A.2 Lineare und exponentielle Funktionen, einschließlich arithmetischer und geometrischer Folgen, anhand eines Graphen, einer Beschreibung eines Zusammenhangs oder zweier Eingabe-Ausgabe-Paare aufstellen (einschließlich des Ablesens dieser aus einer Tabelle). (unsere Übersetzung)

Students learn to analyze sequences where each term is found by multiplying the previous term by a constant common ratio (where the ratio is not 1). They write explicit formulas to find any specific nth term without having to calculate every value in between. Additionally, they use the finite geometric series formula to calculate the total sum of a specified number of terms.

A common mistake occurs with the order of operations when calculating the nth term. Students often multiply the initial term by the common ratio before applying the exponent, rather than calculating the power first. Confusion also arises with powers in the formula, such as using an exponent of n instead of n − 1, or mismanaging signs when subtracting a negative ratio in the denominator of the sum formula.

Practice tasks generally fall into two formats:

Geometric sequence — nth term: Given the first few numbers of a sequence or a real-world scenario, students identify the starting term and common ratio, write the formula, and solve for a specific term, such as the 8th or 12th term.
Geometric sequence — sum of terms: Students determine the sum of a designated number of terms by substituting the first term, the common ratio, and the number of terms directly into the finite series formula.

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Aufgabentypen: Geometrische Folge — Summe · Geometrische Folge — n-tes Glied

Using Total Probability and Bayes' Formula

Students learn to calculate overall event chances across multiple stages and find reversed conditional probabilities using two-urn models.

Lehrplanpunkt HSS-CP.B.8 (+) Die allgemeine Multiplikationsregel in einem uniformen Wahrscheinlichkeitsmodell, P(A und B) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B), anwenden und das Ergebnis im Kontext des Modells interpretieren. (unsere Übersetzung)

At this level, students apply the general multiplication rule to find the probability of combined events. Working with multi-step experiments, they calculate the total probability of an outcome that can happen through different paths, and use Bayes' formula to determine conditional probabilities in reverse—figuring out which initial path was taken after observing the final outcome.

A common mistake is confusing the condition with the outcome, treating the probability of drawing a specific item from an urn, P(ball | urn), as identical to the probability that a specific urn was picked, P(urn | ball). Students also frequently forget to multiply by the probability of selecting the first container itself, focusing only on the ratio of colored balls inside it.

Practice tasks center on two-urn experiments. For example, a student is given two urns containing different mixtures of colored marbles, such as red and green. In a total probability task, they determine the overall likelihood of drawing a red marble after randomly picking an urn. In a Bayes' formula task, they are told that a red marble was drawn and must calculate the probability that it came from the first urn.

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Aufgabentypen: Satz von Bayes — zwei Urnen · Totale Wahrscheinlichkeit — zwei Urnen

Using Special Product Formulas

Students learn to use algebraic patterns to expand the square of a binomial and the product of a sum and a difference without multiplying term by term.

Students learn to identify the underlying structure of algebraic expressions to rewrite and expand them quickly. Rather than multiplying out terms individually, they apply standard shortcut patterns to expand binomial products involving addition and subtraction.

A common error happens when expanding the square of a sum or difference. Students frequently write (x + 4)^2 as x^2 + 16, mistakenly distributing the exponent to each term and dropping the middle term that comes from multiplying the two terms together and doubling the result.

Practice tasks focus directly on two standard formats:

Product of a sum and a difference: recognizing matching terms with opposite signs, such as (x + 4)(x - 4), and rewriting them directly as a difference of squares.
Square of a sum or difference: expanding expressions such as (x + 3)^2 or (x - 5)^2 into complete three-term expressions.

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Aufgabentypen: Produkt aus Summe und Differenz · Quadrat einer Summe oder Differenz

Writing Equations of Lines and Parallel Lines

Students learn to write the equation of a line passing through two given points or passing through a specific point parallel to another line.

Lehrplanpunkt HSF-BF.A.1 Eine Funktion aufstellen, die eine Beziehung zwischen zwei Größen beschreibt.★ a. Einen expliziten Ausdruck, einen rekursiven Prozess oder Rechenschritte aus einem Kontext bestimmen. b. Standardfunktionstypen unter Verwendung arithmetischer Operationen verknüpfen. Zum Beispiel eine Funktion aufstellen, die die Temperatur eines abkühlenden Körpers modelliert, indem eine konstante Funktion zu einer abklingenden Exponentialfunktion addiert wird, und diese Funktionen mit dem Modell in Beziehung setzen. c. (+) Funktionen verketten. Wenn zum Beispiel T(y) die Temperatur in der Atmosphäre als Funktion der Höhe ist und h(t) die Höhe eines Wetterballons als Funktion der Zeit, dann ist T(h(t)) die Temperatur am Ort des Wetterballons als Funktion der Zeit. (unsere Übersetzung)

Students learn to write an explicit linear equation that describes the relationship between two coordinate values. In this grade, they determine the slope and intercept to define a line, using either two given coordinate points or a single point paired with an existing line that runs parallel to it.

A frequent error occurs when handling parallel lines: students sometimes confuse parallel and perpendicular relationships, mistakenly flipping or negating the slope rather than keeping it identical. Another common mistake is reversing the coordinate order when calculating slope, accidentally placing the change in x over the change in y or mixing up positive and negative signs during subtraction.

Worksheet tasks typically take one of two forms:

Linear function through two points: Students are given two coordinate pairs and must find the slope and solve for the equation.
Parallel line through a point: Students identify the slope from a given line's equation and use it alongside a new coordinate point to write the parallel line's equation.

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Aufgabentypen: Lineare Funktion durch zwei Punkte · Parallele Gerade durch einen Punkt

Finding the Vertex and Using Vertex Form

Students learn to rewrite quadratic equations into vertex form to identify the vertex, axis of symmetry, and maximum or minimum values of a parabola.

Lehrplanpunkt HSF-IF.C.8 Write a function defined by an expression in different but equivalent forms to reveal and explain different properties of the function. a. Use the process of factoring and completing the square in a quadratic function to show zeros, extreme values, and symmetry of the graph, and interpret these in terms of a context. b. Use the properties of exponents to interpret expressions for exponential functions. For example, identify percent rate of change in functions such as y = (1.02)t, y = (0.97)t, y = (1.01)12t, y = (1.2)t/10, and classify them as representing exponential growth or decay.

Students work with quadratic equations to reveal key geometric features of parabolas. By completing the square, they transform standard quadratic expressions into vertex form to identify the graph's line of symmetry and its extreme values—specifically whether the parabola reaches a maximum or minimum point at its vertex.

A frequent error involves the signs when extracting the horizontal coordinate from vertex form, y = a(x - h)^2 + k. Students often take the sign inside the parentheses at face value, mistakenly naming the vertex of y = (x + 4)^2 + 1 as (4, 1) rather than (-4, 1), because they forget that the standard formula uses subtraction for the horizontal shift.

In practice, students complete tasks aligned with Vertex form of a quadratic function and Vertex of a parabola. These exercises ask them to convert standard quadratic expressions into vertex form through algebraic steps, read the coordinates of the turning point directly from the rewritten equation, and state whether that point represents a highest or lowest value.

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Aufgabentypen: Scheitelpunkt einer Parabel · Scheitelpunktform

Finding Missing Sides of Right Triangles

Students learn to use trigonometric ratios to find the unknown length of a leg opposite or adjacent to a given angle in a right triangle.

Lehrplanpunkt HSG-SRT.C.8 Trigonometrische Verhältnisse und den Satz des Pythagoras anwenden, um rechtwinklige Dreiecke in Anwendungsaufgaben zu berechnen. ★ (unsere Übersetzung)

At this stage, students use basic trigonometric ratios to calculate an unknown side length in a right-angled triangle. Given one acute angle measure and one side length, they identify the appropriate trigonometric ratio—sine, cosine, or tangent—to solve for an unknown leg length.

A frequent stumbling block is mixing up the sides relative to the reference angle. Students often confuse the opposite leg (the side facing across from the angle) with the adjacent leg (the side next to the angle, between it and the right angle). This leads to setting up the ratio upside down or choosing the wrong trigonometric function entirely.

Worksheet tasks provide a labeled right triangle diagram and focus on two concrete problem types:

Leg opposite an angle: using the given angle and another side to calculate the length of the side directly across from that angle.
Leg adjacent to an angle: using the given angle and another side to find the length of the leg bordering the angle.

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Aufgabentypen: Ankathete · Gegenkathete

Finding Central and Inscribed Angles in Circles

Students learn to find missing angle measures in circles using the rule that a central angle is twice the measure of an inscribed angle that intercepts the same arc.

Lehrplanpunkt HSG-C.A.2 Beziehungen zwischen Umfangswinkeln, Radien und Sehnen identifizieren und beschreiben. Die Beziehung zwischen Mittelpunkts-, Umfangs- und Tangentenwinkeln einbeziehen; Umfangswinkel über einem Durchmesser sind rechte Winkel; der Radius eines Kreises steht senkrecht auf der Tangente dort, wo der Radius den Kreis schneidet. (unsere Übersetzung)

In 10th grade geometry, students explore the relationship between angles inside a circle that open up to the same arc. They learn that a central angle, which has its vertex at the center of the circle, is always twice as large as an inscribed angle, which has its vertex on the circle itself. Using this relationship, students calculate unknown angles using simple doubling and halving.

A common error occurs when students confuse which angle is larger. Because both angles share the exact same endpoints on the circle, students often assume the angles are equal, or they accidentally double a central angle rather than dividing it by two. Visualizing that the inscribed angle sits farther back on the circle's edge helps them remember that it must be the narrower angle.

Practice tasks provide labeled circle diagrams based on two formats: finding a central angle from the inscribed angle (for example, taking an inscribed angle of 35 degrees and multiplying by 2 to get 70 degrees) and finding an inscribed angle from the central angle (such as dividing a central angle of 110 degrees by 2 to find 55 degrees).

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Aufgabentypen: Mittelpunktswinkel aus dem Umfangswinkel · Umfangswinkel aus dem Mittelpunktswinkel

Finding Lengths of Chords and Tangent Segments

Students learn to calculate the lengths of chords and tangent segments in circles using properties of radii, tangents, and right triangles.

In tenth-grade geometry, students apply circle properties to solve for unknown side lengths. They use the rule that a circle’s radius is perpendicular to a tangent line at the point of contact, as well as the geometric relationships connecting radii to chords. By combining these geometric theorems with right-triangle relationships, students calculate missing lengths directly from geometric diagrams.

A common error involves misidentifying the right angle in tangent problems. Students often assume the right angle lies at an external point rather than where the radius meets the tangent line, which causes them to mislabel the hypotenuse. When solving chord problems, students also frequently forget that a perpendicular line from the center cuts the chord into two equal halves, leading them to report half the segment instead of the full chord length.

Practice tasks center on two main formats:

Length of a tangent segment: Students look at a circle with a radius and an external tangent line, using the given radius and the distance from the center to find the tangent segment’s length.
Length of a chord: Students work from a diagram showing a circle with a chord, using the radius and the perpendicular distance from the circle's center to determine the total length of the chord.

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Aufgabentypen: Länge des Tangentenabschnitts · Länge einer Sehne

Finding Conditional Probability from a Table

Students learn to find the probability of an event given another condition using data from a table, expressing the answer as a fraction and explaining its meaning.

Lehrplanpunkt HSS-CP.B.6 Die bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B als den Anteil der Ergebnisse von B bestimmen, die auch zu A gehören, und die Antwort im Kontext des Modells interpretieren. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSS-ID.B.5 Kategoriale Daten für zwei Kategorien in zweidimensionalen Häufigkeitstabellen zusammenfassen. Relative Häufigkeiten im Kontext der Daten interpretieren (einschließlich gemeinsamer, Rand- und bedingter relativer Häufigkeiten). Mögliche Zusammenhänge und Trends in den Daten erkennen. (unsere Übersetzung)

Students learn to calculate the conditional probability of an event A given that another event B has occurred. They use data to identify the subset of outcomes that satisfy condition B, make that count their denominator, and find the fraction of those specific outcomes that also belong to A. Students then interpret what this fraction represents within the context of the problem.

A frequent error is dividing by the total population rather than the restricted condition. When asked for the probability of A given B, students often pull the grand total from the entire data set instead of restricting their focus to the row or column representing only condition B.

Worksheet tasks feature two-way frequency tables categorizing survey results or experimental data. Students read the table to locate the given condition, identify the overlapping category, and write the resulting conditional probability as a simplified fraction.

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Finding the Probability of a Union of Events

Students learn to use the Addition Rule to calculate the probability that at least one of two events occurs, accounting for any outcomes they share.

Lehrplanpunkt HSS-CP.A.1 Ereignisse als Teilmengen eines Ergebnisraums (der Menge der Ergebnisse) unter Verwendung von Merkmalen (oder Kategorien) der Ergebnisse oder als Vereinigungen, Schnittmengen oder Komplemente anderer Ereignisse („oder“, „und“, „nicht“) beschreiben. (unsere Übersetzung)
Lehrplanpunkt HSS-CP.B.7 Die Additionsregel, P(A oder B) = P(A) + P(B) – P(A und B), anwenden und das Ergebnis im Kontext des Modells interpretieren. (unsere Übersetzung)

At this level, students calculate the probability that event A, event B, or both occur within a sample space. They apply the Addition Rule, represented as P(A or B) = P(A) + P(B) – P(A and B), interpreting outcomes described with "or," "and," and "not." Students work with probabilities expressed as fractions, decimals, or percentages to model real-world situations.

The most common error is forgetting to subtract the intersection, P(A and B). When two events can happen at the same time, simply adding their individual probabilities double-counts the shared outcomes, which frequently results in an inaccurate answer or a probability greater than 1.

Tasks based on the Probability of a union of events template typically give students a scenario—such as drawing a card with specific characteristics or selecting a person from survey categories. Students identify the probability of each separate event, determine the probability of the overlap where both conditions are met, and apply the formula to find the combined probability.

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Calculating Probabilities Using Combinations

Students learn to use permutations and combinations to calculate the exact probability of compound events, such as picking items from a group without replacement.

Lehrplanpunkt HSS-CP.B.9 (+) Use permutations and combinations to compute probabilities of compound events and solve problems.

In 10th grade, students learn to use permutations and combinations to calculate probabilities for compound events. Rather than trying to write out every possible result by hand, they apply combinatorial counting methods to determine both the total number of favorable outcomes and the total possible outcomes when selecting groups of items.

A common hurdle is confusing whether the order of selection matters. When picking a group where order is irrelevant, students often mistakenly use permutations instead of combinations. Another frequent error in multi-step selections is forgetting that each pick changes the pool, treating draws as independent events rather than accounting for the items removed from the total.

Practice problems typically feature scenarios like drawing colored balls from an urn or bag without replacement. For instance, given a set number of red and blue balls, a student might be asked to find the probability of drawing exactly two red balls and one blue ball in a sample of three, using combinations to evaluate both the successful subsets and the overall sample space.

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Translating Function Graphs

Students learn how adding or subtracting numbers shifts a graph up, down, left, or right, and how to identify these movements between equations and graphs.

Lehrplanpunkt HSF-BF.B.3 Die Auswirkung auf den Graphen beim Ersetzen von f(x) durch f(x) + k, k f(x), f(kx) und f(x + k) für bestimmte Werte von k (sowohl positive als auch negative) bestimmen; den Wert von k anhand der Graphen ermitteln. Mit Fällen experimentieren und eine Erklärung der Auswirkungen auf den Graphen mithilfe von Technologie veranschaulichen. Das Erkennen gerader und ungerader Funktionen anhand ihrer Graphen und algebraischer Ausdrücke für diese einbeziehen. (unsere Übersetzung)

Students learn to connect algebraic changes in a function to physical shifts of its graph on the coordinate plane. Specifically, they examine how replacing f(x) with f(x) + k or f(x + k) moves the curve vertically or horizontally using both positive and negative values of k. Given an original graph and its shifted image, they also find the specific value of k that caused the translation.

A frequent stumbling block is the direction of horizontal shifts. Because addition is associated with the positive direction on a number line, students often assume that f(x + 4) moves the graph four units to the right. In practice, adding inside the input shifts the graph to the left, while subtracting moves it to the right. Students also frequently confuse these horizontal adjustments inside the parentheses with vertical shifts added outside the function.

Worksheet tasks based on Translating a graph present students with a plotted curve and ask them to either graph the result of a transformation or identify the shift from an image. Students might take a given function, apply a rule such as f(x) − 3 or f(x + 2), and plot the translated points, or determine the numerical value of k by measuring the distance between key features on two displayed graphs.

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Finding Average Rate of Change

Students learn to calculate and interpret the average rate of change of a function across an interval using formulas, tables, and graphs.

Lehrplanpunkt HSF-IF.B.6 Die durchschnittliche Änderungsrate einer Funktion (symbolisch oder als Tabelle dargestellt) über einem vorgegebenen Intervall berechnen und interpretieren. Die Änderungsrate anhand eines Graphen schätzen. ★ (unsere Übersetzung)

Students learn to measure how much a function's output changes relative to its input over a given interval. They calculate this rate using functions presented as algebraic equations or tables of values, and they estimate the rate by reading coordinates off a graph. Beyond calculating the numerical value, students learn to interpret what that rate means in real-world scenarios.

A common error is reversing the calculation by placing the change in input over the change in output, mixing up the independent and dependent variables. Students also frequently subtract values in mismatched directions—such as subtracting the first input from the second, but subtracting the second output from the first—which leads to an incorrect sign.

In the Average rate of change practice tasks, students typically receive a function rule, a data table, or a plotted curve alongside a specified interval. They locate or calculate the function values at both boundaries of the interval, set up the ratio of the vertical change to the horizontal change, and compute or estimate the average rate over that span.

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Combining Functions Using Composition

Students learn to evaluate and write composite functions by using the output of one function as the input for another.

Students learn to compose functions by taking the output of an inner function and feeding it directly as the input into an outer function. At this level, students write composite rules such as f(g(x)) and apply them to contexts where quantities are linked across steps, such as finding atmospheric temperature at a given time when temperature depends on height and height depends on time.

A frequent stumbling block is confusing composition with multiplication. Instead of replacing the variable in the outside function with the entire inside expression, students often multiply the two formulas together. Another common mistake is reversing the order of operations, applying the outer function first instead of working from the inside out.

Practice with the Composition of functions template presents two distinct function definitions and prompts students to write a simplified rule for the combined function or compute the final numerical value for a specific input.

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Finding the Inverse of a Linear Function

Students learn to write the inverse rule for a linear function by reversing its algebraic operations and solving for the new output.

Lehrplanpunkt HSF-BF.B.4 Umkehrfunktionen bestimmen. a. Eine Gleichung der Form f(x) = c für eine einfache Funktion f, die eine Umkehrfunktion besitzt, lösen und einen Term für die Umkehrfunktion angeben. Zum Beispiel f(x) =2 x3 oder f(x) = (x+1)/(x–1) für x ≠ 1. b. (+) Durch Verkettung nachweisen, dass eine Funktion die Umkehrfunktion einer anderen ist. c. (+) Werte einer Umkehrfunktion aus einem Graphen oder einer Tabelle ablesen, vorausgesetzt, dass die Funktion eine Umkehrfunktion besitzt. d. (+) Durch Einschränken des Definitionsbereichs aus einer nicht umkehrbaren Funktion eine umkehrbare Funktion bilden. (unsere Übersetzung)

At this level, students work with linear equations to determine their inverse functions. Given a linear rule such as f(x) = ax + b, students solve the equation for the input variable by systematically undoing each operation, producing a new formula that maps outputs back to their original inputs.

A common error is confusing the inverse notation f^-1(x) with a negative exponent. Students often mistakenly write the reciprocal 1/f(x) instead of finding the inverse function. Another frequent issue is reversing the order of operations incorrectly, such as dividing by the slope before subtracting the constant term.

Practice tasks based on the Inverse of a linear function template present students with a single linear equation—often involving integers or simple fractions—and ask them to write the algebraic expression for its inverse.

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Finding the Area of Similar Figures

Students learn how side length scale factors affect two-dimensional space and calculate the unknown area of a similar figure.

Lehrplanpunkt HSG-SRT.A.1 Die Eigenschaften von zentrischen Streckungen, die durch ein Zentrum und einen Streckungsfaktor gegeben sind, experimentell überprüfen: a. Eine zentrische Streckung bildet eine Gerade, die nicht durch das Zentrum der Streckung verläuft, auf eine parallele Gerade ab und lässt eine Gerade, die durch das Zentrum verläuft, unverändert. b. Die Streckung einer Strecke ist in dem durch den Streckungsfaktor gegebenen Verhältnis länger oder kürzer. (unsere Übersetzung)

Students use the properties of dilations to determine how resizing a shape changes its measurements. When a figure is enlarged or reduced by a scale factor, segment lengths scale proportionally, and students apply this relationship to calculate the unknown area of a similar figure.

A common error is treating area like perimeter or side length. When two figures have a scale factor such as 3, students often multiply the original area directly by 3. They forget that area is two-dimensional and scales by the square of the scale factor, meaning the area actually increases by a factor of 9.

In practice, tasks like Area of a similar figure provide two similar polygons with a pair of corresponding side lengths and the area of one shape. Students identify the ratio between the matching sides, square that ratio, and use it to solve for the missing area.

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Using the Intercept Theorem to Find Lengths

Students learn to use the intercept theorem and triangle similarity to set up proportions and calculate missing side lengths in geometric figures.

Lehrplanpunkt HSG-SRT.B.5 Kongruenz- und Ähnlichkeitskriterien für Dreiecke anwenden, um Probleme zu lösen und Beziehungen in geometrischen Figuren zu beweisen. (unsere Übersetzung)

In tenth-grade geometry, students apply similarity criteria to triangles crossed by parallel lines. Using the intercept theorem, they identify that parallel lines cut transversal lines into proportional segments. Students set up ratios comparing corresponding side lengths and solve algebraic proportions using multiplication and division to determine unknown segment lengths.

A common error occurs when students compare the parallel cross-segments to side segments. Instead of setting up a ratio between the small triangle's side and the full side of the larger triangle, students often pair a parallel base with only the bottom segment of a side. This happens because they treat every visually separated segment as an independent side of similar triangles rather than accounting for the full side length.

Worksheet tasks from the Intercept theorem template present geometric figures such as a triangle intersected by a line parallel to its base. Given three segment lengths as whole numbers or decimals, students write a proportion matching the corresponding parts and solve for a missing value labeled with a variable.

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Dividing a Line Segment in a Given Ratio

Students learn to find the coordinates of a point on a directed line segment that divides the segment in a given ratio.

Lehrplanpunkt HSG-GPE.B.6 Den Punkt auf einer gerichteten Strecke zwischen zwei gegebenen Punkten finden, der die Strecke in einem gegebenen Verhältnis teilt. (unsere Übersetzung)

In 10th grade coordinate geometry, students learn to locate a specific point along a directed line segment between two known endpoints. Given the coordinates of the endpoints on the coordinate plane, they determine the exact x- and y-coordinates that partition the segment according to a specified ratio.

A common mistake occurs when students confuse a part-to-part ratio with a part-to-whole fraction. For example, when asked to partition a segment in a 1:3 ratio, students often calculate one-third of the horizontal and vertical distances instead of one-fourth. Another frequent error is running the calculation in the wrong direction, measuring from the second endpoint rather than the designated starting point of the directed segment.

Practice tasks based on the Dividing a segment in a ratio template present two coordinate points and a target ratio, such as partitioning directed segment AB from point A to point B in a ratio of 2:1. Students calculate the horizontal and vertical distance traveled, apply the appropriate fractional step, and name the resulting coordinate point.

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Finding the Area of a Triangle Using Coordinates

Students learn to find the area of a triangle on the coordinate plane by using vertex coordinates to determine side lengths and heights.

Lehrplanpunkt HSG-GPE.B.7 Koordinaten verwenden, um Umfänge von Vielecken und Flächeninhalte von Dreiecken und Rechtecken zu berechnen, z. B. mithilfe der Abstandsformel. ★ (unsere Übersetzung)

Students use the coordinates of a triangle's three vertices on a coordinate plane to compute its area. In tenth grade, they apply the distance formula to find lengths of perpendicular bases and heights, or they enclose the slanted figure inside a bounding rectangle and subtract the area of the surrounding right triangles.

A common mistake occurs when a triangle has no horizontal or vertical edges. Students often treat an arbitrary side as the height without checking that it meets the chosen base at a right angle. Sign errors are also frequent when subtracting negative coordinate values during distance calculations.

Worksheet tasks based on the Area of a triangle from coordinates template present three vertex points, either plotted on a grid or written as coordinate pairs. Students identify or construct the required measurements and solve for the total area in square units.

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Finding Mass Using Density and Volume

Students learn to find the mass of a solid block by calculating its volume and multiplying by its given density.

Lehrplanpunkt HSG-MG.A.2 Konzepte der Dichte basierend auf Fläche und Volumen in Modellierungssituationen anwenden (z. B. Personen pro Quadratmeile, BTUs pro Kubikfuß). ★ (unsere Übersetzung)

In 10th grade geometry, students connect three-dimensional geometric measurement to real-world objects. At this level, students find the volume of a solid rectangular block from its given dimensions and multiply that volume by a given density to determine the block's total mass.

A common error is confusing the algebraic relationship between mass, volume, and density. Because density is defined using division (mass divided by volume), students often mistakenly divide the volume by the density—or the density by the volume—rather than multiplying volume by density to isolate the mass.

In practice, tasks like mass of a block from density provide the length, width, and height of a block along with the density of the material. Students calculate the volume of the block and then multiply that volume by the density to find the final mass.

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Bedingte Wahrscheinlichkeit aus der Vierfeldertafel

Mathematik — Klasse 10

Was lernen Schüler in der 10. Klasse in Mathematik?

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