Berechne die Varianz der angegebenen Datenreihe. Die fünf Werte sind alle Daten (Grundgesamtheit): Teile durch 5, nicht durch 4.
1, 1, 4, 7, 11
Lösung: 364/25
Messen Klasse 11: Arbeitsblätter mit Lösungen (PDF)
Imaginesis: Mathe-Arbeitsblätter zum Ausdrucken, Klasse 11 (Deutschland), Leitidee Messen — Varianz und Streuung von Datenreihen berechnen, Den gewichteten Durchschnitt berechnen, Bestände aus Änderungsraten berechnen: Sachaufgaben mit Hinweisen, Lösungen und Rechenweg als PDF, auch als Klassenarbeit in Gruppen A–D.
Beispielaufgaben
Berechne das gewichtete Mittel der Werte x mit den Gewichten w aus der Tabelle.
x | 2 | 4 | 6; w | 5 | 1 | 5
Lösung: 4
Kompetenzen in dieser Leitidee
Varianz und Streuung von Datenreihen berechnen
Schülerinnen und Schüler berechnen die Varianz einer Stichprobe und beschreiben damit, wie weit Messwerte um ihren Mittelwert streuen.
KMKS2.ME.6 Lage- und Streumaße einer Stichprobe bestimmen und deuten
In Klasse 11 bestimmen Schülerinnen und Schüler Streumaße für gegebene Stichproben. Sie ermitteln zunächst den Mittelwert einer Datenreihe und berechnen daraus die Varianz als Maß dafür, wie weit die einzelnen Werte um dieses Zentrum streuen, um die Verteilung sachgerecht zu deuten.
Ein typischer Fehler entsteht bei der Berechnung der Abweichungen: Werden die Differenzen zum Mittelwert vor dem Aufsummieren nicht quadriert, heben sich positive und negative Abweichungen gegenseitig auf. Häufig wird auch vergessen, die Summe der quadrierten Abweichungen am Ende durch die Anzahl der Werte zu teilen.
In Aufgaben zur Varianz einer Datenreihe liegt eine Reihe konkreter Zahlenwerte vor, beispielsweise Messdaten. Die Lernenden bestimmen den Durchschnitt, berechnen für jeden Einzelwert den quadrierten Abstand dazu und ermitteln daraus rechnerisch die Varianz.
Den gewichteten Durchschnitt berechnen
Schülerinnen und Schüler lernen, den gewichteten Mittelwert aus Werten mit unterschiedlicher Bedeutung zu berechnen und das Ergebnis im Sachzusammenhang zu deuten.
KMKS2.ME.6 Lage- und Streumaße einer Stichprobe bestimmen und deuten
In Klasse 11 bestimmen Jugendliche das gewichtete Mittel als Lagemaß einer Stichprobe. Sie multiplizieren dafür einzelne Messwerte oder Teilnoten mit ihren jeweiligen Gewichten, addieren diese Zwischenergebnisse und teilen die Gesamtsumme anschließend durch die Summe aller Gewichte.
Ein typischer Fehler entsteht, wenn aus Gewohnheit das einfache arithmetische Mittel berechnet wird: Lernende addieren lediglich die Werte und teilen durch deren Anzahl, wodurch die unterschiedliche Bedeutung einzelner Angaben verloren geht. Häufig wird auch die Summe der gewichteten Werte am Ende fälschlicherweise durch die Anzahl der Kategorien statt durch das gesamte Gewicht geteilt.
In den Aufgaben zum Gewichteten Mittel berechnen die Schülerinnen und Schüler praxisnahe Kennwerte, beispielsweise eine Zeugnisnote aus unterschiedlich gewichteten Klausuren und mündlichen Beiträgen oder Durchschnittswerte aus tabellarisch erfassten Häufigkeiten.
Bestände aus Änderungsraten berechnen
Jugendliche lernen, aus einer gegebenen Änderungsrate und einem Anfangsbestand den tatsächlichen Gesamtbestand über das bestimmte Integral zu berechnen.
KMKS2.FZ.9 das bestimmte Integral deuten, insbesondere als (re-)konstruierten BestandKMKS2.ME.5 Bestände aus Änderungsraten und Anfangsbestand berechnen
In der 11. Klasse lernen die Jugendlichen im Rahmen der Integralrechnung, wie sich ein Gesamtwert über die Zeit aus einer Zufluss- oder Änderungsrate rekonstruieren lässt. Sie nutzen das bestimmte Integral, um die aufgelaufene Veränderung in einem Zeitraum zu ermitteln, und verknüpfen dieses Ergebnis mit dem Anfangsbestand, um den tatsächlichen Endwert zu bestimmen.
Ein typischer Fehler besteht darin, den Anfangsbestand zu vergessen. Viele Schülerinnen und Schüler berechnen zwar das Integral der Änderungsrate mathematisch richtig, setzen dieses Zwischenergebnis jedoch fälschlicherweise mit dem Gesamtbestand gleich. Dabei wird übersehen, dass das Integral nur den reinen Zuwachs beschreibt und die bereits zu Beginn vorhandene Menge noch addiert werden muss.
In Übungen wie der Vorlage Bestand aus der Zuflussrate bearbeiten die Jugendlichen praxisnahe Sachsituationen. Typischerweise ist beispielsweise eine Funktion vorgegeben, die das Einströmen von Wasser in ein Becken beschreibt, zusammen mit dem Wasserstand zu Beginn. Die Aufgabe besteht darin, durch Integration der Zuflussrate und Addition des Startwerts das gesamte Wasservolumen zu einem festgelegten Zeitpunkt exakt zu ermitteln.