Matemáticas — 11.º curso

En 11.º curso, los estudiantes determinan funciones derivadas e interpretan el resultado como la tasa de variación instantánea. Calculan la derivada de polinomios utilizando reglas de derivación como la regla de la potencia, del factor constante y de la suma. Para funciones compuestas, aplican la regla del producto y la regla de la cadena con el fin de derivar expresiones analíticamente o hallar el valor de la pendiente en un punto determinado.

Los errores frecuentes se producen por una aplicación incompleta de las reglas de derivación. En el caso de los productos, a menudo se asume erróneamente que basta con derivar ambas partes por separado y multiplicarlas, en lugar de aplicar la regla del producto completa. En las funciones compuestas, en el fragor de los cálculos, se suele olvidar multiplicar por la derivada interna.

En la práctica, los estudiantes resuelven problemas concretos como la derivada de un polinomio, ejercicios sobre la regla del producto y la regla de la cadena, o calculan el valor de la derivada en un punto para un valor numérico dado.

En 11.º curso, los estudiantes aprenden a analizar algebraicamente el crecimiento y decrecimiento de las gráficas de funciones mediante la primera derivada. Determinan con precisión matemática en qué intervalos una gráfica crece o decrece y deducen a partir de ello la ubicación exacta de los máximos y mínimos locales.

Con frecuencia, los alumnos confunden el valor de la función en un punto con el valor de la derivada. Sin embargo, un valor positivo de la función no significa automáticamente que la gráfica también crezca. Otro error típico al buscar puntos extremos es limitarse a igualar la derivada a cero sin comprobar después si realmente se produce un cambio de signo de positivo a negativo o de negativo a positivo.

En los ejercicios prácticos, los estudiantes trabajan con cuestiones concretas de las siguientes áreas:

• Determinar dónde una gráfica es monótona creciente o monótona decreciente,
• Calcular con exactitud el punto y las coordenadas de un máximo local o un mínimo local.

En 11.º curso, los alumnos aplican operaciones aritméticas básicas a matrices. Forman combinaciones lineales sumando matrices del mismo tipo y multiplicándolas por números. Además, realizan multiplicaciones en las que una matriz opera sobre un vector o sobre otra matriz, con el fin de representar de forma matemática situaciones tabulares y procesos de varias etapas.

Un error típico ocurre en la multiplicación: a menudo se multiplican simplemente los elementos que ocupan la misma posición, en lugar de aplicar la regla de «fila por columna». Asimismo, con frecuencia se pasa por alto que una multiplicación solo está definida matemáticamente si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda matriz o del vector.

Los ejercicios prácticos se basan en los siguientes formatos:

• Combinación lineal de matrices: Las matrices dadas se escalan mediante factores y se suman o se restan entre sí.
• Matriz por vector: Se multiplica una matriz por un vector para calcular el resultado de un nuevo estado.
• Producto de matrices: Se multiplican dos matrices compatibles entre sí para resumir procesos secuenciales en una única matriz.

En 11.º curso, los estudiantes utilizan el producto escalar para investigar algebraicamente relaciones geométricas en el espacio tridimensional. Multiplican las coordenadas de dos vectores espaciales término a término y suman los productos obtenidos. A partir de este valor, en combinación con los módulos de los respectivos vectores, determinan la amplitud del ángulo que forman o demuestran que dos vectores son ortogonales entre sí cuando el producto escalar es igual a cero.

Con frecuencia, se confunde el producto escalar con una operación que da como resultado otro vector: en lugar de una simple magnitud escalar, por error se escribe de nuevo un vector. Además, al calcular ángulos a menudo se olvida dividir el producto escalar entre el producto de las longitudes de ambos vectores, o bien los errores de signo al multiplicar coordenadas negativas distorsionan el resultado.

En los ejercicios, los alumnos trabajan tres tipos característicos de problemas:

• Producto escalar en el espacio: cálculo directo del valor a partir de las coordenadas de los vectores.
• Vectores ortogonales en el espacio: comprobación de la ortogonalidad o cálculo de una coordenada desconocida para que dos vectores sean perpendiculares entre sí.
• Ángulo entre vectores en el espacio: determinación del ángulo de intersección o comprendido mediante la fórmula del coseno.

En el espacio tridimensional, los estudiantes aprenden a representar direcciones geométricas y segmentos mediante coordenadas. Realizan operaciones aritméticas básicas, determinan la longitud (el módulo) de un vector a través de la suma de sus coordenadas al cuadrado y combinan varios vectores mediante la suma y la multiplicación por números para formar una combinación lineal. Además, analizan la colinealidad de los vectores para determinar si dos vectores son paralelos entre sí.

Los errores típicos se producen sobre todo al manejar los signos: si no se pone entre paréntesis un signo negativo al elevarlo al cuadrado para calcular la longitud, se generan errores de cálculo dentro de la raíz cuadrada. Al comprobar la colinealidad, a menudo se pasa por alto que el mismo factor de proporcionalidad debe ser válido para las tres coordenadas al mismo tiempo; si solo coincide en dos ejes, los vectores no son colineales.

En las actividades de este nivel, los estudiantes practican estos pasos con valores numéricos concretos:

• Longitud de un vector en el espacio: Determinar el módulo de un vector 3D dado de forma exacta o como un valor aproximado.
• Combinación lineal de vectores en el espacio: Multiplicar vectores por un escalar y sumarlos para calcular vectores resultantes.
• Vectores colineales en el espacio: Comprobar mediante cálculos si dos vectores son múltiplos el uno del otro.

En 11.º curso, los estudiantes analizan experimentos aleatorios compuestos mediante diagramas de árbol o tablas de contingencia para resolver numéricamente cuestiones de probabilidad condicionada. Suman las probabilidades de las distintas ramas para determinar la probabilidad global de un determinado suceso final (probabilidad total) y utilizan el teorema de Bayes para calcular la probabilidad de una causa previa concreta una vez conocido el resultado.

A menudo, en este tipo de ejercicios se confunde el sentido de las condiciones: a muchos les resulta difícil distinguir si se pregunta por la probabilidad de una característica dada una condición conocida o, al revés, por la causa cuando la característica ya ha sido observada. Además, a lo largo de las ramas del diagrama de árbol, a veces se suman erróneamente las probabilidades en lugar de multiplicarlas.

En los ejercicios, los estudiantes trabajan con modelos concretos de dos urnas: primero se elige una urna al azar y de ella se extrae una bola. Los problemas sobre la probabilidad total piden, por ejemplo, la probabilidad global de extraer una bola de un color determinado. Los ejercicios sobre el teorema de Bayes invierten esta pregunta: dada una bola de color ya extraída, los estudiantes calculan la probabilidad de que proceda de una urna específica entre las dos.

En 11.º curso, los estudiantes aprenden a describir matemáticamente procesos aleatorios con exactamente dos resultados posibles, como éxito o fracaso. Investigan situaciones en las que los ensayos se repiten de forma independiente entre sí y la probabilidad de éxito no cambia. A partir de esto, utilizan la distribución binomial para determinar probabilidades de un número determinado de éxitos y calcular parámetros como el valor esperado.

A menudo se cometen errores cuando se pasan por alto las condiciones de un experimento de Bernoulli: por ejemplo, en experimentos aleatorios sin reemplazo, las probabilidades cambian con cada extracción, por lo que no se debe aplicar la distribución binomial. Otro error típico consiste en omitir el coeficiente binomial en la fórmula de cálculo, lo que provoca que por error solo se considere una única trayectoria en lugar de todas las combinaciones posibles de éxitos.

En los ejercicios prácticos sobre el esquema de Bernoulli y el valor esperado de la distribución binomial, los estudiantes abordan problemas contextualizados en situaciones reales. Las tareas típicas requieren, por ejemplo, calcular la probabilidad de un determinado número de éxitos en controles de calidad, en pruebas de opción múltiple o en juegos de dados, así como determinar el valor medio esperado a largo plazo.

En 11.º curso, los estudiantes utilizan las funciones exponenciales que ya conocen de cursos anteriores para investigar relaciones cuantitativas mediante el cálculo. Sustituyen valores numéricos dados en la variable y calculan el valor correspondiente de la función, tanto para evoluciones crecientes como decrecientes.

Un error común surge al aplicar la jerarquía de las operaciones: en expresiones de funciones como a · b^x, a menudo se realiza primero por equivocación la multiplicación de a y b, en lugar de calcular primero la potencia b^x. Además, los exponentes fraccionarios o negativos en trayectorias decrecientes suelen provocar errores al transformar y evaluar las expresiones.

Los formatos de ejercicios habituales, como Valor de una función exponencial, exigen calcular con precisión el valor de la función en un punto concreto. En los ejercicios sobre la Función exponencial decreciente, los jóvenes determinan de forma específica valores intermedios o finales de procesos de desintegración y reducción a partir de la ecuación funcional correspondiente.

En 11.º curso, los estudiantes utilizan específicamente el método de reducción para resolver algebraicamente sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Mediante la multiplicación y la suma adecuadas de las filas, eliminan una variable y calculan el valor de la incógnita restante. Además, aprenden a determinar de forma sistemática el número de soluciones y a distinguir entre casos con solución única, sin solución e indeterminados.

Los errores típicos ocurren sobre todo en los cambios de signo al multiplicar ecuaciones por factores negativos para igualar coeficientes. A menudo también resulta difícil interpretar correctamente los casos especiales en el cálculo: una contradicción como 0 = 7 significa que el sistema no tiene solución, mientras que una proposición verdadera como 0 = 0 representa infinitas soluciones.

En la práctica, los estudiantes se encuentran con ejercicios como Sistema de ecuaciones — Método de reducción, en los que deben resolver paso a paso dos filas con coeficientes enteros. En el tipo de ejercicio Número de soluciones de un sistema, analizan pares de ecuaciones dados para comprobar si dan como resultado exactamente un par de números, ningún par de valores o infinitas soluciones.

En 11.º curso, los estudiantes aprenden a realizar con seguridad operaciones elementales con vectores geométricos. Determinan el módulo (la longitud geométrica) de un vector a partir de sus coordenadas y calculan combinaciones lineales multiplicando vectores por números reales y sumándolos o restándolos entre sí.

Con frecuencia se cometen errores de cálculo con los signos negativos: al calcular la longitud de un vector, se deben elevar al cuadrado las distintas coordenadas y sumarlas. En este proceso, a menudo se mantiene por error el signo menos delante de una coordenada incluso después de elevarla al cuadrado (por ejemplo, (-4)² = -16 en lugar de 16), lo que da lugar a valores incorrectos dentro de la raíz.

En los ejercicios prácticos, los alumnos trabajan habitualmente con dos tipos de tareas:

• Longitud de un vector: Para un vector de coordenadas dado, se determina el módulo exacto mediante la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus coordenadas.
• Combinación lineal de vectores: Los vectores dados se escalan con factores y se combinan componente a componente para determinar un nuevo vector resultante.

En 11.º curso, los alumnos aprenden a invertir la operación de cálculo de la derivada. Para una función dada, determinan una función primitiva adecuada y la utilizan para calcular con exactitud una integral definida en un intervalo fijo. Además, aprenden a interpretar este valor numérico en situaciones de aplicación, especialmente como la cantidad acumulada reconstruida de una magnitud cuya tasa de cambio se conoce.

Una fuente habitual de errores se produce al calcular la integral definida: tras hallar la función primitiva, se deben sustituir los límites superior e inferior y restar los resultados. En este paso suelen cometerse errores de signo si se olvidan los paréntesis alrededor del término restado correspondiente al límite inferior. Asimismo, al buscar la función primitiva, en ocasiones se deriva por descuido en lugar de integrar.

En las clases y en los ejercicios, la atención se centra en dos tipos de tareas:

• Función primitiva: a partir de la ecuación de una función, se determina su función primitiva correspondiente.
• Integral definida: se calcula analíticamente una integral con límites de integración fijos y se interpreta en relación con un contexto práctico.

En 11.º curso, los estudiantes utilizan vectores para analizar algebraicamente objetos geométricos en el espacio tridimensional. Representan rectas en forma paramétrica mediante un vector de posición y un vector director, y determinan la distancia exacta entre dos puntos en el espacio a partir de sus coordenadas.

Un error habitual se produce al comprobar si un punto pertenece a una recta: a menudo, los alumnos calculan el parámetro de la recta únicamente para la primera coordenada y asumen erróneamente que el punto se encuentra en ella. Sin embargo, para obtener un resultado correcto, el valor del parámetro debe coincidir en las tres coordenadas espaciales (x, y, z). Además, los signos y las coordenadas negativas al calcular las diferencias dentro de la raíz cuadrada de la fórmula de la distancia suelen originar errores de signo.

En los ejercicios prácticos, los estudiantes trabajan en cuestiones concretas centradas en dos áreas principales:

• Distancia entre dos puntos en el espacio: se proporcionan las coordenadas de dos puntos para calcular con exactitud la longitud del segmento que los une.
• Punto sobre una recta en el espacio: los alumnos igualan las coordenadas de un punto a la ecuación de la recta y comprueban, al resolver el sistema lineal, si el punto pertenece a dicha recta.

En 11.º curso, los estudiantes aprenden a calcular el determinante de matrices cuadradas de 2×2. Utilizan este valor para determinar si una matriz es invertible. Si el determinante es distinto de cero, obtienen la matriz inversa, con cuya ayuda se pueden revertir procesos de varias etapas mediante la multiplicación de matrices.

Los errores típicos surgen sobre todo con los signos negativos: al calcular el determinante se resta el producto de la diagonal secundaria, por lo que es fácil pasar por alto los signos menos. Al hallar la matriz inversa, a menudo también se confunden el intercambio de los elementos de la diagonal principal y el cambio de signo en la diagonal secundaria, o bien se olvida la división final entre el determinante.

En los tipos de ejercicios Determinante de una matriz y Matriz inversa, los estudiantes trabajan con matrices numéricas de 2×2 dadas. Calculan el valor del determinante, indican la matriz inversa si existe solución o justifican mediante cálculos por qué no existe inversa cuando el determinante es cero.

En 11.º curso, los estudiantes analizan situaciones con dos características y evalúan tablas de contingencia para ello. Aprenden a determinar una probabilidad bajo una condición previa ya conocida. Para ello, reducen el número total de casos al subgrupo determinado y relacionan los valores correspondientes entre sí.

Un obstáculo habitual es la confusión entre condición e intersección: con frecuencia, los estudiantes dividen por error el valor de la casilla interior entre el número total de casos, en lugar de hacerlo entre la suma de la fila o columna correspondiente. Asimismo, a menudo se confunde qué característica representa la condición ya conocida y qué suceso es el que realmente se busca.

Los formatos de ejercicios habituales utilizan la plantilla Probabilidad condicional a partir de la tabla de contingencia. A partir de frecuencias absolutas o probabilidades dadas en una tabla, los estudiantes resuelven cuestiones específicas, como la probabilidad de que ocurra una característica B si la característica A ya ha ocurrido con certeza.

En 11.º curso, los estudiantes determinan medidas de dispersión para muestras dadas. Primero calculan la media de una serie de datos y, a partir de ella, obtienen la varianza como medida de cuánto se dispersan los valores individuales alrededor de este centro, con el fin de interpretar adecuadamente la distribución.

Un error típico ocurre al calcular las desviaciones: si no se elevan al cuadrado las diferencias respecto a la media antes de sumarlas, las desviaciones positivas y negativas se anulan entre sí. Con frecuencia también se olvida dividir al final la suma de las desviaciones al cuadrado entre el número de valores.

En los ejercicios sobre la varianza de una serie de datos se presenta una serie de valores numéricos concretos, como por ejemplo datos de medición. Los estudiantes determinan el promedio, calculan para cada valor individual la distancia al cuadrado respecto a este y obtienen a partir de ahí la varianza mediante el cálculo.

En 11.º curso, los estudiantes aprenden a analizar el comportamiento a largo plazo de las sucesiones numéricas a medida que el índice n crece indefinidamente. A partir de una noción intuitiva y propedéutica del concepto de límite, determinan a qué valor numérico fijo se aproxima una sucesión. Esta comprensión prepara la introducción al cálculo diferencial e integral, donde los límites son indispensables para las derivadas y el cálculo de áreas.

A menudo surgen dificultades cuando el numerador y el denominador crecen al mismo tiempo. Los alumnos tienden con frecuencia a formular conjeturas imprecisas simplemente sustituyendo números grandes en lugar de transformar la fracción. De este modo, se pasa por alto fácilmente qué término de la fracción determina el crecimiento, o bien no se reconoce que las expresiones de la forma 1/n se aproximan al valor 0.

Los ejercicios típicos de la plantilla Límite de una sucesión fraccionaria presentan expresiones racionales en función de n, como por ejemplo (4n + 2) / (2n - 1). Para resolverlos, los estudiantes sacan factor común a la potencia más alta de n en el numerador y en el denominador, simplifican la fracción y justifican así, paso a paso, el límite exacto.

En 11.º curso, los estudiantes determinan la media ponderada como medida de posición de una muestra. Para ello, multiplican los valores medidos individuales o las calificaciones parciales por sus respectivos pesos, suman estos resultados intermedios y, a continuación, dividen la suma total entre la suma de todos los pesos.

Un error típico ocurre cuando, por costumbre, se calcula la media aritmética simple: los alumnos se limitan a sumar los valores y dividir entre su número, perdiendo así la diferente relevancia de cada dato individual. Con frecuencia, también se divide erróneamente al final la suma de los valores ponderados entre el número de categorías en lugar de entre el peso total.

En los ejercicios sobre la media ponderada, los alumnos calculan parámetros prácticos, como por ejemplo una calificación final a partir de exámenes escritos y participaciones orales con diferente ponderación, o valores medios a partir de frecuencias recopiladas en tablas.

En 11.º grado, los estudiantes aprenden a calcular el valor esperado de una variable aleatoria discreta. Para ello, utilizan una tabla de distribución: multiplican cada valor posible de la variable aleatoria por su probabilidad correspondiente y suman estos productos para determinar el valor promedio teórico.

Un error típico consiste en calcular una media simple, sumando todos los valores de la variable aleatoria y dividiendo la suma entre el número total de valores. Al hacer esto, se pasa por alto que los distintos resultados pueden tener probabilidades diferentes y que, por tanto, deben ponderarse según su probabilidad. En ocasiones, también se confunden los valores de la variable aleatoria con las probabilidades.

En los ejercicios de la plantilla Valor esperado a partir de una tabla de distribución suele presentarse una tabla de dos filas que enumera los posibles valores de una variable aleatoria y sus probabilidades correspondientes, a menudo contextualizada en situaciones prácticas como un juego de azar o un control de calidad. La tarea consiste en calcular con exactitud el valor esperado e interpretar el resultado de forma adecuada.

En 11.º grado, los estudiantes profundizan en el manejo de las familias de funciones básicas de la educación secundaria y analizan los cambios en sus gráficas. Aprenden de forma sistemática cómo se refleja algebraicamente un desplazamiento hacia arriba, abajo, izquierda o derecha en la expresión de la función, por ejemplo, sumando una constante al valor de la función o directamente al argumento x.

Un error común ocurre sobre todo en el desplazamiento horizontal a lo largo del eje x: si se quiere desplazar una gráfica hacia la derecha, se debe poner un signo menos en la expresión de la función (es decir, x - d). A menudo, los estudiantes ponen por costumbre un signo más y, sin darse cuenta, desplazan la gráfica en la dirección opuesta.

Los ejercicios típicos en el tema de desplazamiento de una gráfica requieren, o bien determinar la nueva expresión a partir de una función inicial dada tras un desplazamiento de un número determinado de unidades, o bien deducir a partir de una gráfica el desplazamiento exacto y describirlo algebraicamente.

En 11.º curso, los estudiantes aprenden a determinar la pendiente de la secante en gráficas de funciones y a calcular la tasa de variación media en un intervalo determinado. Para ello, utilizan la fórmula del cociente incremental y aprenden a interpretar el resultado en contextos de aplicación, por ejemplo, como velocidad media o crecimiento medio a lo largo de un período de tiempo determinado.

Un error típico consiste en confundir los valores de los ejes: con frecuencia se intercambian en la fracción la diferencia de los valores de x y la diferencia de los valores de la función en el numerador y el denominador. Asimismo, un orden incoherente al sustituir las coordenadas suele provocar errores en los signos.

Los ejercicios típicos del tema Tasa de variación media proporcionan la ecuación de una función o una gráfica, así como dos valores de la variable independiente. Los alumnos calculan los valores de la función correspondientes, hallan el cociente entre la variación de los valores de la función y la variación de los valores de entrada, y determinan así la pendiente de la secante buscada.

En 11.º curso, los estudiantes aprenden a componer dos funciones en casos sencillos. En este proceso, el resultado de una función interna sirve como entrada para una función externa. De este modo, describen matemáticamente procesos cuantitativos de varias etapas mediante una única expresión funcional.

A menudo se producen confusiones con el orden: muchos estudiantes intercambian la función interna y la externa. En una expresión como f(g(x)), se sustituye erróneamente la expresión de f en g en lugar de lo contrario, o bien se multiplican por error ambas expresiones funcionales.

Los ejercicios típicos sobre la composición de funciones plantean dos ecuaciones funcionales sencillas, por ejemplo, una función lineal y una función potencial. A partir de ellas, los alumnos calculan las expresiones compuestas f(g(x)) y g(f(x)) y simplifican la expresión resultante tanto como sea posible.

En 11.º curso, los alumnos retoman las bases de la educación secundaria y evalúan numéricamente relaciones cuadráticas. Para una ecuación de la función dada de la forma f(x) = ax² + bx + c, sustituyen un número concreto en x y calculan paso a paso el valor de y o el valor de la función correspondiente.

Los errores típicos surgen sobre todo al trabajar con números negativos: al elevar al cuadrado un número negativo, a menudo se pasa por alto el uso de paréntesis (por ejemplo, -3² = -9 en lugar de (-3)² = 9). El orden de las operaciones también suele generar confusión cuando, erróneamente, se multiplica primero el número por el coeficiente a y solo después se eleva al cuadrado.

En los ejercicios de la plantilla Valor de una función cuadrática se proporciona una ecuación con coeficientes enteros o racionales. A partir de ella, los estudiantes calculan el valor de la función en un punto determinado, por ejemplo, f(-2) para f(x) = 2x² - 3x + 1.

En 11.º curso, los alumnos aplican un método de resolución algorítmico para resolver de manera sistemática sistemas de ecuaciones con tres incógnitas y justificar formalmente cada paso del cálculo. Por lo general, transforman el sistema en una forma escalonada mediante el método de Gauss para calcular con exactitud los valores de las tres variables a partir de ella.

Los errores típicos rara vez se deben a la comprensión básica, sino al proceso de cálculo: los errores de signo al restar filas enteras entre sí son frecuentes. Además, a menudo se opera con una ecuación que vuelve a introducir incógnitas ya eliminadas, lo que hace que se pierda la forma escalonada obtenida.

Los formatos típicos de ejercicios bajo el título Sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas presentan tres ecuaciones con tres variables (a menudo x, y y z). Los alumnos multiplican las filas convenientemente, las suman o restan paso a paso hasta que se pueda leer directamente el valor de una variable, y determinan las incógnitas restantes mediante sustitución progresiva.

En 11.º curso, los estudiantes aprenden a calcular algebraicamente e interpretar geométricamente el producto escalar de dos vectores en el espacio. Comprenden lo que indica el valor numérico obtenido sobre la orientación relativa de los vectores, sobre todo que un producto escalar igual a cero significa que los vectores son ortogonales entre sí y, por lo tanto, forman un ángulo recto.

Un error típico consiste en confundir el producto escalar con una suma de vectores o con el producto vectorial: a menudo se escribe erróneamente un nuevo vector como resultado en lugar de un único número (un escalar). Asimismo, a veces surgen dificultades para interpretar de forma adecuada el signo del resultado, el cual indica si entre los vectores hay un ángulo agudo o un ángulo obtuso.

En los ejercicios de la plantilla Producto escalar, los alumnos calculan el producto a partir de coordenadas dadas en el espacio tridimensional y comprueban de manera concreta con el resultado si determinadas direcciones son perpendiculares entre sí.

En 11.º curso, los estudiantes aplican los fundamentos del cálculo integral para determinar con exactitud el área de figuras delimitadas por líneas curvas. Para ello, hallan la función primitiva correspondiente a una parábola dada, sustituyen los límites de integración y calculan la diferencia de los valores para determinar el área entre la gráfica y el eje x.

A menudo se cometen errores cuando una parte de la gráfica queda por debajo del eje x. Dado que allí la integral arroja un valor negativo, las áreas situadas por encima y por debajo del eje se cancelan mutuamente si se realiza un cálculo global sin precaución. Por lo tanto, los alumnos deben identificar primero las raíces y calcular los intervalos por separado.

Los ejercicios típicos sobre el área bajo una parábola plantean una función cuadrática así como un intervalo o puntos de corte con el eje x. Los estudiantes esbozan o analizan la gráfica, plantean la integral definida y calculan el área exacta paso a paso.

En 11.º curso, los estudiantes aplican el cálculo integral a formas tridimensionales. Determinan el volumen de cuerpos simétricos que se generan cuando una curva gira alrededor del eje x. Para ello, elevan al cuadrado la ecuación de la función dada, hallan la primitiva correspondiente entre los límites del intervalo establecido y multiplican el resultado por el número pi.

Los errores de cálculo típicos suelen producirse en el orden de los pasos: a menudo se olvida elevar al cuadrado la expresión de la función antes de integrar, o bien se calcula primero la primitiva y se eleva al cuadrado después. Además, el factor constante pi a veces se pasa por alto al sustituir los límites de integración.

Los ejercicios sobre el volumen de revolución suelen proporcionar una función y un intervalo concreto, que a menudo modelizan objetos reales como jarrones, embudos o componentes de construcción. Los alumnos sustituyen la expresión de la función en la fórmula del volumen, determinan los límites exactos y calculan así el volumen resultante.

En 11.º curso, los estudiantes aprenden en el marco del cálculo integral cómo reconstruir un valor total a lo largo del tiempo a partir de una tasa de entrada o de variación. Utilizan la integral definida para determinar el cambio acumulado en un periodo de tiempo y combinan este resultado con la cantidad inicial para obtener el valor final real.

Un error típico consiste en olvidar la cantidad inicial. Aunque muchos alumnos calculan la integral de la tasa de variación de forma matemáticamente correcta, equiparan por error este resultado intermedio con la cantidad total. Al hacerlo, pasan por alto que la integral solo describe el incremento neto y que todavía se debe sumar la cantidad ya presente al comienzo.

En ejercicios como la plantilla Cantidad a partir de la tasa de entrada, los estudiantes resuelven situaciones prácticas y contextualizadas. Por ejemplo, suele proporcionarse una función que describe el flujo de entrada de agua en un depósito, junto con el nivel de agua al inicio. La tarea consiste en determinar con exactitud el volumen total de agua en un momento determinado mediante la integración de la tasa de entrada y la suma del valor inicial.

En 11.º curso, los estudiantes utilizan la primera derivada de una función para determinar con exactitud la pendiente de una gráfica en un punto concreto. A partir de esta pendiente y del punto de tangencia, obtienen la ecuación lineal completa de la recta tangente.

Un error típico se produce al confundir la función original y la derivada: con frecuencia, los estudiantes sustituyen el valor de x en la función original para obtener la pendiente, en lugar de utilizar la derivada. Asimismo, tras calcular la pendiente de la tangente, a menudo se olvidan de determinar algebraicamente la ordenada en el origen correspondiente a partir del punto de tangencia.

En los ejercicios típicos de la plantilla Tangente a la gráfica de una función se proporciona la ecuación de una función junto con el punto de tangencia. Los alumnos derivan la función, calculan la pendiente de la tangente en dicho punto y formulan finalmente la ecuación completa de la recta.