Daten und Zufall Klasse 11 Arbeitsblätter

In Klasse 11 untersuchen Jugendliche mehrstufige Zufallsexperimente mithilfe von Baumdiagrammen oder Vierfeldertafeln, um Fragestellungen zu bedingten Wahrscheinlichkeiten rechnerisch zu lösen. Sie addieren die Wahrscheinlichkeiten einzelner Pfade, um die Gesamtwahrscheinlichkeit eines bestimmten Endereignisses zu bestimmen (totale Wahrscheinlichkeit), und nutzen den Satz von Bayes, um bei bekanntem Ergebnis die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte vorangegangene Ursache zu ermitteln.

Häufig geraten bei diesen Aufgaben die Richtungen der Bedingungen durcheinander: Es fällt vielen schwer zu unterscheiden, ob nach der Wahrscheinlichkeit für ein Merkmal unter einer bekannten Voraussetzung gefragt ist oder umgekehrt nach der Ursache bei bereits beobachtetem Merkmal. Zudem werden entlang der Äste des Baumdiagramms gelegentlich Wahrscheinlichkeiten fälschlicherweise addiert statt multipliziert.

In den Übungen bearbeiten die Jugendlichen konkrete Urnenmodelle mit zwei Urnen: Zunächst wird per Zufall eine Urne gewählt und daraus eine Kugel gezogen. Aufgaben zur totalen Wahrscheinlichkeit verlangen etwa die Gesamtchance, eine Kugel einer bestimmten Farbe zu ziehen. Aufgaben zum Satz von Bayes kehren diese Frage um: Bei einer bereits gezogenen farbigen Kugel berechnen die Jugendlichen, wie wahrscheinlich es ist, dass diese aus einer bestimmten der beiden Urnen stammt.

In der 11. Klasse lernen die Jugendlichen, Zufallsprozesse mit genau zwei möglichen Ausgängen – wie Treffer oder Niete – mathematisch zu erfassen. Sie untersuchen Situationen, in denen Versuche unabhängig voneinander wiederholt werden und sich die Trefferwahrscheinlichkeit nicht ändert. Darauf aufbauend nutzen sie die Binomialverteilung, um Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Trefferzahlen zu ermitteln und Kenngrößen wie den Erwartungswert zu berechnen.

Häufig schleichen sich Fehler ein, wenn die Voraussetzungen eines Bernoulli-Experiments übersehen werden: Beispielsweise verändern sich bei Zufallsexperimenten ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeiten mit jedem Zug, sodass keine Binomialverteilung angewendet werden darf. Ein weiterer typischer Fehler liegt im Auslassen des Binomialkoeffizienten in der Rechenformel, wodurch versehentlich nur eine einzige Pfadreihenfolge statt aller möglichen Trefferkombinationen berücksichtigt wird.

In Übungsaufgaben zur Bernoulli-Kette und zum Erwartungswert der Binomialverteilung bearbeiten die Jugendlichen praxisnahe Fragestellungen. Typische Aufgaben verlangen etwa die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferzahl bei Qualitätsprüfungen, bei Multiple-Choice-Tests oder bei Würfelspielen sowie das Bestimmen des langfristig zu erwartenden Mittelwerts.

In der 11. Klasse untersuchen Jugendliche Sachverhalte mit zwei Merkmalen und werten dazu Vierfeldertafeln aus. Sie lernen, eine Wahrscheinlichkeit unter einer bereits bekannten Vorbedingung zu bestimmen. Dabei reduzieren sie die Gesamtzahl aller Fälle gezielt auf die vorgegebene Teilgruppe und setzen die entsprechenden Werte zueinander ins Verhältnis.

Ein typischer Stolperstein ist die Verwechslung von Bedingung und Schnittmenge: Häufig teilen Lernende den Wert aus dem inneren Feld versehentlich durch die Gesamtzahl aller Fälle statt durch die Summe der relevanten Zeile oder Spalte. Ebenso wird oft vertauscht, welches Merkmal die bereits bekannte Bedingung darstellt und welches Ereignis eigentlich gesucht ist.

Typische Aufgabenformate nutzen die Vorlage Bedingte Wahrscheinlichkeit aus der Vierfeldertafel. Anhand von vorgegebenen absoluten Häufigkeiten oder Wahrscheinlichkeiten in einer Tabelle berechnen die Lernenden gezielte Fragestellungen, beispielsweise wie wahrscheinlich ein Merkmal B eintritt, wenn Merkmal A bereits sicher eingetreten ist.