Program nauczania (Niemcy)

Matematyka — klasa 4 liceum i technikum

Matematyka w szkole średniej, klasa 12: analiza matematyczna, geometria analityczna i stochastyka w drodze do matury — pochodna, całka, wektory w przestrzeni, macierze i rozkład dwumianowy. Do każdego tematu dostępne są gotowe arkusze zadań do wydrukowania.

Wygeneruj arkusz z tego zakresu

Czego uczy się w klasie 12 z matematyki?

Klasa 12 prowadzi do matury. Pogłębia się zagadnienia pochodnych i całek aż do modelowania zasobów i brył obrotowych, pracuje z wektorami, prostymi i iloczynem skalarnym w przestrzeni, z macierzami i układami równań oraz opisuje losowość za pomocą prawdopodobieństwa warunkowego, wartości oczekiwanej i rozkładu dwumianowego.

Ważna uwaga dotycząca standardów edukacyjnych: Standardy edukacyjne KMK opisują, co osiąga się na koniec szkoły średniej I stopnia (Sekundarstufe I) lub przy uzyskaniu ogólnego świadectwa dojrzałości (Allgemeine Hochschulreife) — a nie rok po roku. Przyporządkowanie do danej klasy to nasza decyzja oparta na podstawach programowych krajów związkowych (począwszy od Nadrenii Północnej-Westfalii).

Status strony: Zadania dla tej klasy są gotowe jako czyste zadania obliczeniowe (treść zadania i wzór); zadania z ilustracjami oraz zadania osadzone w kontekście praktycznym pojawią się wkrótce.

Zakres programowy

KMKS2.AZ (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Algorytm i liczba

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Algorithmus und Zahl

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee Algorithmus und Zahl (L1)
KMKS2.AZ.1 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wybierać odpowiednie metody rozwiązywania równań i układów równań

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): geeignete Verfahren zur Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen auswählen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee AZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 1
KMKS2.AZ.2 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wyjaśnić algorytmiczną metodę rozwiązywania układów równań liniowych i ją zastosować

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): ein algorithmisches Lösungsverfahren für lineare Gleichungssysteme erläutern und es anwenden

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee AZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 2
KMKS2.AZ.3 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykorzystywać granice na podstawie propedeutycznego pojęcia granicy, w szczególności przy wyznaczaniu pochodnej i całki

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Grenzwerte auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs insbesondere bei der Bestimmung von Ableitung und Integral nutzen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee AZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 3
KMKS2.AZ.4 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

opisywać proste sytuacje za pomocą krotek lub macierzy

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): einfache Sachverhalte mit Tupeln oder Matrizen beschreiben

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee AZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 4
KMKS2.AZ.5 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

opisywać procesy matematyczne za pomocą macierzy z wykorzystaniem mnożenia macierzy i macierzy odwrotnych (A1)

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): mathematische Prozesse durch Matrizen unter Nutzung von Matrizenmultiplikation und inversen Matrizen beschreiben (A1)

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee AZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 5
KMKS2.ME (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Mierzenie

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Messen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee Messen (L2)
KMKS2.ME.1 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania

wyznaczać długości odcinków i miary kątów w przestrzeni również za pomocą iloczynu skalarnego

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Streckenlängen und Winkelgrößen im Raum auch mithilfe des Skalarprodukts bestimmen

opracowanie własne na podstawie aktu · KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee ME, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 1
KMKS2.ME.2 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wyznaczać współczynniki kierunkowe siecznych i stycznych do wykresów funkcji

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Sekanten- und Tangentensteigungen an Funktionsgraphen bestimmen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee ME, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 2
KMKS2.ME.3 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

obliczać i interpretować tempo zmian

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Änderungsraten berechnen und deuten

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee ME, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 3
KMKS2.ME.4 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wyznaczać pola obszarów ograniczonych wykresami funkcji

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Inhalte von Flächen, die durch Funktionsgraphen begrenzt sind, bestimmen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee ME, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 4
KMKS2.ME.5 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Obliczać stany na podstawie tempa zmian i stanu początkowego

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Bestände aus Änderungsraten und Anfangsbestand berechnen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee ME, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 5
KMKS2.ME.6 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Wyznaczać i interpretować miary położenia i rozproszenia próby

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Lage- und Streumaße einer Stichprobe bestimmen und deuten

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee ME, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 6
KMKS2.ME.7 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wyznaczać i interpretować wartość oczekiwaną oraz odchylenie standardowe dyskretnych zmiennych losowych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Erwartungswert und Standardabweichung diskreter Zufallsgrößen bestimmen und deuten

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee ME, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 7
KMKS2.RF (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Przestrzeń i kształt

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Raum und Form

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee Raum und Form (L3)
KMKS2.RF.1 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

opisywać za pomocą współrzędnych zagadnienia geometryczne na płaszczyźnie i w przestrzeni

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): geometrische Sachverhalte in Ebene und Raum koordinatisieren

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee RF, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 1
KMKS2.RF.2 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykonywać elementarne operacje na wektorach geometrycznych i badać kolinearność wektorów

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): elementare Operationen mit geometrischen Vektoren ausführen und Vektoren auf Kollinearität untersuchen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee RF, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 2
KMKS2.RF.3 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

interpretować geometrycznie iloczyn skalarny

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): das Skalarprodukt geometrisch deuten

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee RF, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 3
KMKS2.RF.4 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Stosować wektory podczas pracy z obiektami geometrycznymi ograniczonymi prostoliniowo lub płasko (A2)

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Vektoren beim Arbeiten mit geradlinig bzw. ebenflächig begrenzten geometrischen Objekten anwenden (A2)

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee RF, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 4
KMKS2.RF.5 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

opisywać analitycznie proste i płaszczyzny oraz badać wzajemne położenie prostych (A2)

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Geraden und Ebenen analytisch beschreiben und die Lagebeziehungen von Geraden untersuchen (A2)

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee RF, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 5
KMKS2.FZ (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Zależność funkcyjna

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Funktionaler Zusammenhang

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee Funktionaler Zusammenhang (L4)
KMKS2.FZ.1 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykorzystywać klasy funkcji wynikające z funkcji szkoły średniej I stopnia do opisu i badania zależności dających się skwantyfikować

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): die sich aus den Funktionen der Sekundarstufe I ergebenden Funktionsklassen zur Beschreibung und Untersuchung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee FZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 1
KMKS2.FZ.2 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

w prostych przypadkach wykorzystywać działania na funkcjach i składanie funkcji do opisu zależności dających się określić ilościowo

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): in einfachen Fällen Verknüpfungen und Verkettungen von Funktionen zur Beschreibung quantifizierbarer Zusammenhänge nutzen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee FZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 2
KMKS2.FZ.3 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

interpretować pochodną w szczególności jako lokalną szybkość zmian

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): die Ableitung insbesondere als lokale Änderungsrate deuten

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee FZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 3
KMKS2.FZ.4 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

opisywać funkcyjnie szybkości zmian (funkcja pochodna) i interpretować

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Änderungsraten funktional beschreiben (Ableitungsfunktion) und interpretieren

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee FZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 4
KMKS2.FZ.5 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wyznaczać pochodne funkcji szkoły średniej I stopnia, również z wykorzystaniem reguły stałego czynnika i reguły sumy

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): die Funktionen der Sekundarstufe I ableiten, auch unter Nutzung der Faktor- und Summenregel

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee FZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 5
KMKS2.FZ.6 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

stosować regułę iloczynu do różniczkowania funkcji

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): die Produktregel zum Ableiten von Funktionen verwenden

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee FZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 6
KMKS2.FZ.7 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykorzystywać pochodną do wyznaczania monotoniczności i ekstremów funkcji

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): die Ableitung zur Bestimmung von Monotonie und Extrema von Funktionen nutzen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee FZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 7
KMKS2.FZ.8 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wyznaczać wykres pochodnej na podstawie wykresu funkcji i odwrotnie

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): den Ableitungsgraphen aus dem Funktionsgraphen und umgekehrt entwickeln

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee FZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 8
KMKS2.FZ.9 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

interpretować całkę oznaczoną, w szczególności jako (re-)konstruowany stan

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): das bestimmte Integral deuten, insbesondere als (re-)konstruierten Bestand

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee FZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 9
KMKS2.FZ.10 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

geometrycznie i poglądowo uzasadniać podstawowe twierdzenie jako związek między pojęciem pochodnej a całki

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): geometrisch-anschaulich den Hauptsatz als Beziehung zwischen Ableitungs- und Integralbegriff begründen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee FZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 10
KMKS2.FZ.11 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Całkować funkcje za pomocą funkcji pierwotnych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Funktionen mittels Stammfunktionen integrieren

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee FZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 11
KMKS2.FZ.12 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykorzystywać zmienne losowe i rozkłady prawdopodobieństwa do opisu sytuacji stochastycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Beschreibung stochastischer Situationen nutzen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee FZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 12
KMKS2.DZ (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Dane i przypadek

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Daten und Zufall

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee Daten und Zufall (L5)
KMKS2.DZ.1 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

przykładowo planować i oceniać badania statystyczne

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): exemplarisch statistische Erhebungen planen und beurteilen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee DZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 1
KMKS2.DZ.2 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

Badać sytuacje za pomocą diagramów drzewiastych lub tabel czteropolowych i rozwiązywać za ich pomocą problemy w kontekście prawdopodobieństwa warunkowego

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Sachverhalte mithilfe von Baumdiagrammen oder Vierfeldertafeln untersuchen und damit Problemstellungen im Kontext bedingter Wahrscheinlichkeiten lösen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee DZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 2
KMKS2.DZ.3 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

badać procesy składowe wieloetapowych doświadczeń losowych pod kątem niezależności stochastycznej na prostych przykładach

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Teilvorgänge mehrstufiger Zufallsexperimente auf stochastische Unabhängigkeit anhand einfacher Beispiele untersuchen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee DZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 3
KMKS2.DZ.4 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykorzystywać rozkład dwumianowy i jego parametry

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): die Binomialverteilung und ihre Kenngrößen nutzen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee DZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 4
KMKS2.DZ.5 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

wykorzystywać symulacje do badania sytuacji stochastycznych

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): Simulationen zur Untersuchung stochastischer Situationen verwenden

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee DZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 5
KMKS2.DZ.6 (numeracja redakcyjna) · Treści nauczania · cytat sprawdzony z aktem

w prostych przypadkach wnioskować o całości na podstawie prób

nasze tłumaczenie · brzmienie oryginalne (DE): in einfachen Fällen aufgrund von Stichproben auf die Gesamtheit schließen

KMK Bildungsstandards AHR (2012), Leitidee DZ, grundlegendes und erhöhtes Niveau, Punkt 6

Szablony zadań do druku

Wszystkie typy zadań, pogrupowane według umiejętności. Kliknięcie otwiera generator z wybranym już typem.

Pozostałe typy zadań

Wygeneruj arkusz z tego zakresu